Задачи и краткие решения

ФИО__________________ группа______
Экзаменационная работа по курсу
«Теория игр и экономическое моделирование», 2006 год
Время выполнения: 3 часа.
Можно пользоваться всем, кроме средств связи и помощи друга.
Выходить из аудитории во время экзамена нельзя.
Ничего передавать друг другу нельзя.
За любые нарушения правил следует удаление без дополнительных предупреждений.
Желаю успехов в самостоятельном решении задач!
Задача 1. Рассмотрим следующую игру в развернутой форме.
0 (Природа)
1/3
2/3
1
a
(2,2)
(0,0)
R
2
b
L
a
(0,0)
b
(1,1)
(2,2)
(1.1) Постройте нормальную форму этой игры для игроков 1 и 2 и найдите все равновесия
Нэша (РН) в чистых и смешанных стратегиях.
Решение. У игроков 1 и 2 есть по одному информационному множеству и по две стратегии.
Усреднив по фиксированной смешанной стратегии игрока 0, получим нормальную форму для игроков 1 и 2.
a
b
L 2/3,2/3 4/3,4/3
R 4/3,4/3 2/3,2/3
В этой игре два РН в чистых стратегиях (L,b) и (R,a).
Есть еще одно РН в смешанных стратегиях {(1/2,1/2), (1/2,1/2)}.
(1.2) Найдите все совершенные байесовские равновесия (СБР) (в чистых и смешанных стратегиях) и приведите ответ в следующем формате:
№ СБР стратегия игрока 1 стратегия игрока 2 представления игрока 2
Решение.
№ СБР стратегия игрока 1 стратегия игрока 2 представления игрока 2
1
L
b
(1/3,2/3)
2
R
a
(1,0)
3
1/2 L+1/2 R
1/2 a+1/2 b
(1/2,1/2)
1. Стратегии L игрока 1 по правилу согласования представлений соответствуют представления (1/3,2/3) игрока 2. При таких представлениях наилучшим ответом игрока 2 на L будет b. А
наилучшим ответом игрока 1 на b будет L. Все условия СБР выполнены.
2. Стратегии R соответствуют представления (1,0), которые ведут игрока 2 к выбору a, в ответ на что игрок 1 в СБР отвечает R.
3. В смешанном СБР 3 игроку 2 на 2-точечном информационном множестве должно быть все
равно, что выбирать. Это может быть только при представлениях (1/2,1/2). При какой смешанной
стратегии игрока 1 могут возникнуть такие представления у игрока 2? Обозначим через  ( L)  p
вероятность выбора L игроком 1. Тогда по условию согласования представлений и стратегий
2 1
1
должно быть выполнено p    p  . При такой смешанной стратегии игрока 1 обе страте3 3
2
гии игрока 2 становятся равноценны, а значит смешанная стратегия 1/2 L+1/2 R является наилучшим ответом игрока 1 на стратегию 1/2 a+1/2 b.
Обратите внимания, что все РН из (1.1) превратились в СБР.
Задача 2. Рассмотрим следующий вариант модели найма на работу по завершению образования. Есть два типа выпускников L и H. Тип L имеет выраженную в деньгах функцию психологических затрат на образование cL (e)  e 2 , а тип H – cH (e)  a  e2 , где e  0 – оценка уровня образования, а a  (0,1) – оценка повышенных способностей выпускник типа H. Предполагается, что во
время работы производительность выпускников типов L и H будет равна 1  e и 2  e , соответственно. Считается, что конкуренция между фирмами вынуждает каждую фирму стремиться
предлагать выпускнику при приеме на работу зарплату w , равную ожидаемому уровню его производительности.
(2.1) Какой уровень образования выберет тип L в любом выявляющем равновесии?
Решение. Для выпускника типа L в выявляющем равновесии нужно максимизировать свой выигрыш w  cL (e) , равный 1  e  e2 , поскольку зная тип L, фирма назначит зарплату 1  e , равную
производительности типа L. Максимум достигается при e  1/ 2 , при этом зарплата равна w  1  1/ 2  1.5 , а выигрыш равен 1  0.5  0.52  1.25 .
(2.2) Каков наименьший уровень образования для типа H в выявляющем равновесии?
Решение. На плоскости (e, w) через точку (0.5,1.5) , найденную при решении (2.1), проходит для
типа L кривая безразличия w  c(e)  1.25  w  e2  1.25  w  1.25  e 2 . Значит, чтобы для типа L
не было стимула претендовать на зарплату типа H должно выполняться условие 1.25  2  e  e2 .
Минимальный уровень образования е для типа H в выявляющем равновесии достигается при равенстве и составляет 1.5.
(2.3) Найдите эффективный уровень образования для типа H как функцию от a . Под эффективным образованием понимается максимизация производительности минус затраты.
1
Решение. Максимум функции 2  e  a  e2 достигается при e 
.
2a
(2.4) Рассмотрим эффективное выявляющее равновесие, при котором уровень образования
для обоих типов выпускников является эффективным. Найдите множество всех значений a , при
которых такое равновесие существует.
1
Решение. В выявляющем равновесии из решения (2.2) и (2.3) следует неравенство
 1.5 . От2a
1
сюда для существования эффективного выявляющего равновесия получаем условие 0  a  .
3
Задача 3. Есть три участника рынка: один продавец и два потенциальных покупателя неделимого товара. Общеизвестно, что оценки стоимости этого товара для покупателей являются независимыми случайными величинами, равномерно распределенными на отрезке [0,1], а затраты
продавца на производство товара будем считать нулевыми. Правила аукциона на данном рынке
таковы. Сначала покупатель 1 предлагает продать продавцу товар по цене b  0 , скрытой от покупателя 2. Увидев цену b , продавец может либо согласиться на сделку, либо отказаться от нее и
предложить покупателю 2 купить у него товар по цене p  0 . Если покупатель 2 соглашается на
сделку, то он получает товар по цене p . Если покупатель 2 отказывается от сделки, то товар достается покупателю 1 по цене b .
(3.1) Какова вероятность согласия покупателя 2 на сделку при условии, что он получил от
продавца предложение с ценой p ? Запишите ожидаемый выигрыш продавца в этом случае как
функцию от b и p . Запишите предложение, которое сделает продавец покупателю 2 в равновесии, как функцию от предложения b покупателя 1.
Решение. Покупатель 2 соглашается на предложение p продавца, если оценка стоимости товара
для него попадает в диапазон [ p,1] , что происходит с вероятностью 1  p . Ожидаемый доход про1 b
давца при этом равен p(1  p)  bp . Максимум достигается при p 
.
2
(3.2) Если покупатель 1 предлагает цену b , то какова вероятность того, что в равновесии
продавец вернется к сделке с ним? Каков ожидаемый выигрыш покупателя 1 как функция от его
оценки стоимости товара v1 и его предложения b ? Какова равновесная торговая стратегия покупателя 1?
Решение. Если покупатель 1 предлагает цену b , то с учетом (3.1) продавец (при отказе от сделки с
1 b
покупателем 1) предложит покупателю 2 цену p 
, от которой тот откажется от сделки с ве2
(1  b)(v1  b)
1 b
роятностью
. Значит, ожидаемый выигрыш покупателя 1 будет равен
. Эта ве2
2
v 1
личина достигает максимума в точке 1
 0 , поэтому наилучшим предложением покупателя 1
2
будет b  0 при любом v1 .
(3.3) Вычислите ожидаемый выигрыш продавца в равновесии.
Решение. Если предложение покупателя 1 в равновесии есть b  0 , то продавцу нет смысла на него соглашаться. Он лучше сделает предложение p  (1  b) / 2  1/ 2 покупателю 2 и получит выигрыш p(1  p)  bp  1/ 4 .
Задача 4. Рассмотрим следующую торговую игру между продавцом и покупателем. Сначала
продавец производит товар низкого качества ( q  0 ) или высокого качества ( q  1 ). Затраты на
производство товара низкого качества считаем равными 0, а затраты на производство товара высокого качества полагаем равными 1. Потребительная стоимость высоко качественного товара
для покупателя оценивается величиной v(1)  3 , а товара низкого качества – величиной v(0)  1 .
Покупатель не знает качества произведенного товара, но по правилам торгов он может предложить один трех вариантов цены покупки p : 0.5, 1.5 или 2.5. Узнав предложенную цену p , продавец может согласиться на сделку или отказаться от нее. Если продавец соглашается, то его выигрыш равен p  q , а выигрыш покупателя равен v(q)  p . Если продавец отказывается от сделки,
то его выигрыш равен q , а выигрыш покупателя равен 0.
(4.1) Изобразите дерево этой игры.
(4.2) Найдите совершенное по подыграм равновесие Нэша (СПРН). Отметьте равновесные
действия продавца и покупателя во всех вершинах дерева игры. Определите выигрыши игроков в
равновесии.
Решение. Есть одно нетривиальное информационное множество. В шести подыграх, соответствующих предфинальным вершинам дерева, продавцу S всегда выгодно соглашаться.
Продавец (S)
0
S
(0,0)
0.5
S 1.5
(0,0)
(0.5,0.5)
2.5
S
(0,0)
(1.5,-0.5)
1
Покупатель
0.5
1.5
S
S
(-1,0)
(-1,0)
2.5
S
(-1,0)
(2.5,-1.5) (-0.5,2.5) (0.5,1.5)
(1.5,0.5)
Сокращая дерево, фактически получим игру двух лиц с одновременными ходами, которой
соответствует следующая нормальная форма.
Сокращенная игра
Продавец
0
1
Покупатель
0.5
1.5
2.5
(0.5,0.5) (1.5,-0.5) (2.5,-1.5)
(-0.5,2.5) (0.5,1.5) (1.5,0.5)
В ней у обоих игроков есть доминирующая стратегия. Эти стратегии образуют единственное
РН в этой игре (сравните с ДЗ). В итоге получается СПРН, в котором продавец производит товар
низкого качества, получает предложение продать его по низкой цене 0.5 и соглашается, что приводит к выигрышам (0.5,0.5).
Предположим теперь, что эта игра повторяется бесконечное число раз с одним и тем же продавцом, но разными потенциальными покупателями в каждом периоде. Новый покупатель знает
качество товара, проданного во всех предшествующих периодах. Если товар не продан в данном
периоде, то он портится, и продавец должен произвести к следующему периоду новую единицу
товара. Коэффициент дисконтирования для выигрышей продавца за период равен  .
Отметим, что повторение СПРН из (4.2) составляет СПРН в повторяющейся игре, но оно не
идеально для продавца. Идеальным для продавца было бы производство высоко качественного
товара каждый период при получении предложения от покупателей цены 2.5.
(4.3) Предположим, что по некоторым причинам покупатели всегда предлагают цену 2.5, если продавец никогда в прошлом не продавал товар низкого качества. Найдите условия на  , при
которых в ответ на такую стратегию покупателей продавец всегда будет производить товар высокого качества.
Решение. В этих условиях, если продавец всегда производит товар высокого качества, то он продает его по цене 2.5 каждый период и получает совокупный дисконтированный выигрыш от всех
2.5  1
периодов, равный
. Если он отклоняется и производит товар низкого качества, то в одном
1 
периоде он получает выигрыш 2.5, но потом цена падает до 0.5, как и его выигрыш. Итого, дис0.5
контированный выигрыш при отклонении равен 2.5 
. Получаем условие невыгодности от1
клонения для продавца:
2.5  1
0.5
2.5  1 2.5  2
1
 2.5 


  .
1 
1 
1 
1 
2
(4.4) На самом деле покупатели могут предлагать цены, меньшие 2.5, но продавец может
взять обязательство не соглашаться на сделку по цене 0.5 или 1.5. При каких значениях  продавец в СПРН производит в каждом периоде товар высокого качества и получает в каждом периоде
от покупателя предложение цены 2.5, причем если покупатель отклоняется от цены 2.5, то продавец отказывается от сделки по любой меньшей цене?
Решение. Пусть покупатель отклоняется от цены 2.5 и предлагает 1.5. Если продавец (в силу своей стратегии) соглашается на сделки по цене 1.5, то в одном периоде он выигрывает 1.5 по сравнению с отказом от сделки, но теряет 1 на понижении цены с 2.5 до 1.5 в каждом следующем периоде, если покупатели предлагают 1.5. Обязательство отказываться от сделки по 1.5 выгодно продавцу при условии

   0.6 .
1
Для цены 0.5 аналогично получается несущественное дополнительное условие
2
0.5 
 0.5  0.5  2  2.5  0.5    0.2 .
1 
Итак, при   0.6 в силу решения пунктов (4.1)-(4.3) стратегия продавца производить в каждом
периоде товар высокого качества и соглашаться только на высокую цену 2.5 в сочетании со стратегиями покупателей предлагать высокую цену 2.5, пока не было продаж товара низкого качества,
образуют СПРН, поскольку покупателям не выгодно отклоняться от предложения 2.5, зная, что
товар высокого качества и «халявы не будет».
1.5 