Document 4070471
advertisement
2 3 Ж. РИСК, №1, 2010 Г.Л. Бродецкий Д.т.н., проф. ГУ-ВШЭ СКРЫТЫЙ РЕЗЕРВ МАКСИМИЗАЦИИ ДОХОДОВ В ЦЕПЯХ ПОСТАВОК В работах [1-2] подчеркивалось, что модели задач, связанных с оптимизацией моментов действий в формате анализируемых процедур обслуживания имеющегося множества заказов, можно рассматривать как скрытый и/или еще не реализованный ресурс повышения эффективности процессов обслуживания в звеньях цепей поставок. Разным стратегиям выбора порядка выполнения заказов портфеля в моделях такого типа соответствуют и разные по величине оценки суммарного ожидаемого дохода. Для практического использования предлагаемых теорией традиционных моделей и правил выбора оптимальных стратегий, максимизирующих ожидаемый доход от портфеля заказов, менеджеру потребуются существенные модификации. Соответствующие показатели конечного экономического результата в указанных моделях, необходимо формализовать в качестве случайных величин, поскольку в реальных ситуациях менеджеру часто требуется учитывать риски возможных потерь для таких доходов. Модель должна также учитывать возможные варианты организации денежных потоков, обусловливаемых выплатой денежных сумм, в частности в виде некоторых рент. Каждой стратегии обслуживания будет соответствовать «свой» средний ожидаемый суммарный экономический результат. Его оптимизация (с учетом указанных особенностей моделей для процедур обслуживания в цепях поставок) является целью представленного в статье исследования для ситуаций, когда требуется максимизировать суммарный денежный результат, используя указанный скрытый ресурс повышения рентабельности систем такого типа. Другие оптимизационные модели можно найти, например, в работах [2-3]. Для рассмотренных ниже моделей принято, что величины финансовых потерь за каждую единицу времени ожидания начала обслуживания (и каждую единицу времени в процессе непосредственного обслуживания) любого заказа портфеля не зависят от длительности промежутка времени уже имеющего место такого ожидания. Такие атрибуты являются традиционными для моделей теории сетей обслуживания [3]. Другими словами, принимается, что издержки ожидания по каждому заказу растут линейно и пропорционально соответствующему увеличению длительности промежутка времени на ожидание начала обслуживания заказа (обусловливаемого выбором порядка реализации заказов портфеля). Такие оптимизационные модели в терминах финансового анализа и финансовой математики соответствуют учету издержек по схеме простых процентов. В общем случае представленные ниже модели позволят менеджеру учитывать следующие атрибуты реальных ситуаций: 1) то, что длительности промежутков времени выполнения заказов являются случайными величинами (из-за рисков задержек контрактных сроков исполнения заказов); 2) то, что величина прибыли по каждому выполненному заказу также может быть, вообще говоря, случайной (из-за соответствующих рисков потери части доходов); 3) то, что для выплат доходов по каждому обслуживаемому заказу могут использоваться ренты (что обусловит соответствующие риски снижения доходности). Подобные задачи могут возникать не только при моделировании цепей поставок, но и в других приложениях экономической деятельности. Атрибуты оптимизационной модели Предварительно отметим, что традиционная модель выбора оптимального порядка для обслуживания заказов портфеля при заданных контрактных суммах доходов, которая представлена в [1], предполагает следующее. Платежи поступают от заказчиков в моменты завершения выполнения работ по имеющемуся пакету заказов. Стратегия фирмы предполагает «работу на накопление». Это означает, что получаемые в моменты выполнения заказов соответствующие суммы прибыли накапливаются на депозитном счете фирмы к некоторому времени Т, заведомо превышающему момент завершения выполнения работ всего пакета заказов. Депозитная годовая ставка процента r известна, причем начисление процентов реализуется по схеме простых процентов. Требуется определить такой порядок выполнения заказов портфеля, при котором средняя ожидаемая сумма на депозите к моменту Т, представляющая собой сумму выплат по заказам (плюс соответствующие проценты) будет максимальной. В этой статье будет представлено обобщение такой модели с учетом указанной выше специфики (учет рисков задержек контрактных сроков исполнения заказов, рисков потери части доходов, рисков снижения доходности и рисков срыва отсрочек). При такой постановке задачи оптимизации в качестве момента времени Т далее можно использовать момент времени завершения обслуживания всех заказов портфеля. Действительно, если ожидаемые поступления максимизируются к этому моменту, то можно утверждать, что ожидаемая наращенная сумма будет максимальной и к любому моменту времени в будущем. Подчеркнем, что показатели времени здесь и в последующих формулах будут измеряться в годах. Дополнительно отметим, что исходно задаваемые параметры модели включают: 4 N – число заказов в пакете; Si – время выполнения i-го заказа (как случайная величина, например, из-за рисков задержек сроков исполнения заказа); M[Si] – среднее время выполнения i-го заказа с учетом указанных рисков задержек сроков его исполнения; i=1/M[Si] – интенсивность выполнения i-го заказа; i =(i1, i2, … , iN) – вектор, задающий очередность выполнения заказов портфеля, т.е. первым выполняется заказ № i1 , вторым – заказ № i2 , и т.д.; Pi – контрактная сумма, выплачиваемая по i-му заказу (в формате базовой модели момент ее поступления соотносится с моментом завершения выполнения заказа); Ti - момент «выхода» i-го заказа после обслуживания (момент выплаты контрактной суммы Pi); T – момент времени, к которому реализуются накопления по схеме простых процентов с депозитной процентной ставкой r (годовая). В реальных ситуациях контрактные суммы по заказам портфеля могут выплачиваться частями, причем с различными схемами предоставления отсрочек. Так, например, некоторая часть контрактной суммы по iзаказу (обозначим такую часть указанной суммы через P0i) может быть получена уже в момент формирования портфеля, либо по некоторым схемам, «привязанным» к этому моменту. В условиях, когда учитывается временная структура процентных ставок, такая форма предоплаты уже сама по себе повышает эффективность бизнеса. Однако легко видеть, что соответствующие финансовые поступления P0i и поступления по любым схемам отмеченного типа (с привязкой их к моменту формирования портфеля) не будут отражаться на оптимальной стратегии выбора порядка обслуживания заказов портфеля. Такие поступления будут представлены в соответствующей целевой функции, формализующей модель, в виде слагаемых, которые не зависят от стратегии i обслуживания имеющегося портфеля заказов. Поэтому далее в анализируемых в этой статье моделях ситуации указанного типа не оговариваются и не учитываются. При нахождении оптимальных стратегий обслуживания заказов достаточно выделять ситуации, для которых анализируемые схемы финансовых поступлений соотносятся именно с моментами начала обслуживания заказов портфеля. Их эффективность уже будет зависеть от порядка обслуживания заказов, естественно, в условиях, когда учитывается принятая схема начисления процентов. Далее соответствующие используемые в моделях контрактные суммы по i-заказам будут соотноситься только с выплатами, реализуемыми по определенным схемам с момента, который привязан к моменту начала обслуживания этого заказа. Модели с постоянными рентами выплат на промежутках обслуживания заказов Сначала рассмотрим модель, которая предусматривает оговариваемые в контрактах по отдельному заказу финансовые поступления равными суммами и через равные промежутки времени (такие денежные потоки называют рентами). Далее считаем, что формат оптимизационной модели позволяет принять следующее. Длительности Si обслуживания i-заказов формализуются как дискретные случайные величины с целочисленными значениями. При этом единица измерения времени выбрана таким образом, что: 1) указанные финансовые поступления имеют место в конце каждого реализованного единичного периода времени обслуживания заказа (общего по длительности для всех заказов портфеля); 2) проценты на указанных единичных периодах времени не начисляются. По i-заказу указанные доходы/прибыли на каждом таком единичном периоде времени составляют согласованную условиями контракта сумму pi . Эти суммы поступают на депозитный счет и накапливаются с учетом схемы простых процентов к некоторому моменту времени Т (заведомо большему, чем момент окончания обслуживания всех заказов портфеля). Схемы денежных потоков указанного типа в финансовом анализе называют постоянными рентами (постнумерандо, т.к. платежи реализуются в конце каждого очередного указанного периода времени). Суммарные доходы по i-заказу в формате такой модели будут случайными величинами, поскольку длительность выполнения заказа является случайной величиной. Их обозначим через ~ Pi , причем знак «тильда» над Pi подчеркивает указанный случайный характер для суммарных выплат. Поскольку длительность обслуживания i-заказа Si представляется в модели целочисленной случайной величиной, то для величины дохода ~ Pi имеем ~ равенство Pi = pi · Si (напомним, что в рассматриваемой модели проценты на указанных выше единичных периодах времени не начисляются). Перечислим дополнительные атрибуты рассматриваемой модифицированной модели максимизации суммарной ожидаемой суммы, наращенной на депозитном счете к заданному моменту времени Т (по всем имеющимся заказам портфеля), которые необходимы для вывода основных соотношений, формализующих такую модель. Si – целочисленная случайная величина, представляющая время выполнения i-заказа; i=1/M[Si] – интенсивность выполнения i-го заказа; 2 pi – контрактные поступления за каждую единицу времени реализации i-заказа; ~ ( Ti - Si +j) – случайный момент времени j-го поступления суммы pi по i-заказу; ~ (Т – Ti + Si -j) – случайный промежуток времени наращения процентов для такой суммы; r – годовая депозитная процентная ставка наращения; Чтобы не выписывать громоздкие выражения для интересующей нас наращенной суммы доходов по всем заказам портфеля к моменту времени Т при анализируемой стратегии обслуживания заказов, определяемой вектором i , обратим внимание на следующее. Согласно схеме простых процентов наращенная за некоторое время t сумма F по базовой сумме Р при годовой ставке наращения r , как известно из курса финансового анализа, определяется равенством F = P·(1+t·r) = P + P·t·r. Из последнего представления видно, что при заданном значении Р наращенная сумма F будет максимальной тогда и только тогда, когда будет максимальным и соответствующий наращенный процент, величина которого определяется составляющей r·P·t . Поэтому далее при нахождении оптимальной стратегии достаточно рассматривать только значение наращенного процента по всем заказам портфеля, соответствующее анализируемой стратегии. Для j-го по счету поступления суммы pi от выполняемого i-заказа соответствующий наращенный к ~ моменту времени Т процент составит r·pi·( Т – Ti + Si -j), где j=1, 2, … , Si . Следовательно суммарный ожидаемый наращенный процент П к указанному моменту времени по всем заказам портфеля определяется N Si ~ r M ( pi (T Ti Si j )) . Задача оптимизации для рассматриваемой модели равенством П = i 1 j 1 представляет собой задачу максимизации такого суммарного наращенного процента. Поскольку, как видим, заданная ставка наращения r не влияет на структуру оптимальной стратегии (но она, разумеется, повлияет на конечный экономический результат), то получаем следующую задачу оптимизации: N Si ~ M ( pi (T Ti Si j )) max . i 1 j 1 Преобразуем вид этой целевой функции, чтобы выделить отдельно ее составляющие, относительно которых можно будет утверждать одно из двух: 1) либо соответствующее выражение зависит от стратегии обслуживания заказов портфеля; 2) либо оно не зависит от такой стратегии. Это позволит затем получить эквивалентную задачу оптимизации, но в более удобной форме ее представления (в плане процедур нахождения оптимальной стратегии). После раскрытия скобок для выражения П имеем следующее представление: П = M (T N N N N ~ 2 p S p T S p S i i i i i i i pi Si (1 Si ) / 2) . i 1 i 1 i 1 i 1 Здесь последнее выражение под знаком математического ожидания при каждом значении i представляет собой сумму арифметической прогрессии pi·(1+2+ … + Si). После группировки последних двух выражений с учетом равенства ~ Pi = pi · Si , имеем: П = M (T N ~ N ~ ~ N P i Pi Ti pi Si (Si 1) / 2) . i 1 i 1 i 1 Из приведенного представления целевой функции видно, что только одно выражение под знаком математического ожидания зависит от порядка выполнения заказов портфеля. Это – второе выражение, N которое имеет вид ~ ~ P T . Остальные выражения под знаком математического ожидания не зависят от i 1 i i выбора стратегии обслуживания заказов портфеля, поскольку каждое из выражений типа pi·Si или pi· Si ·( Si -1) является только атрибутом только i-заказа и не зависит от того, когда начнется выполнение этого заказа. Учитывая знак указанного второго слагаемого в последнем представлении П, окончательно, отметим следующее. Интересующая нас задача оптимизации может быть представлена как эквивалентная задача минимизации ожидаемых потерь суммарного ожидаемого наращенного процента по всему портфелю заказов из-за принятого порядка их обслуживания: N ~ ~ PT min . М i 1 i i 3 С учетом результатов [1] последнюю задачу можно записать в виде, который полностью соответствует базовому (при формализации оптимизационной модели на основе оговариваемых контрактных сумм): N ~ М Pi Ti min . i 1 Таким образом, получен следующий результат. Выплата доходов по заказам портфеля в виде постоянной ренты (пропорционально времени обслуживания заказа) не изменяет оптимальную стратегию выполнения его заказов. Она соответствует оптимальной стратегии обслуживания портфеля для базовой модели и определяется оптимальным Рµ-правилом, в котором в качестве параметров Pi выступают средние ожидаемые значения ~ Pi M ( Pi ) контрактных сумм по i-заказам. Уточним специфику такого правила в формате рассматриваемой модификации оптимизационной модели. В формате рассматриваемой модели для указанных сумм выплат по заказам портфеля имеют место равенства: ~ 1 Pi = M ( Pi ) M ( pi Si ) pi M (Si ) pi i , где, напомним, µi = 1/M(Si). Следовательно показатель «Pi·µi», на основе которого реализуется оптимальное Рµ-правило, в формате анализируемой в этой статье модели для i-заказа можно задавать в виде ~ Pi·µi = M ( Pi ) i pi i i1 = pi. Соответственно заказы портфеля необходимо упорядочивать по показателю «тарифов» для указанных выше контрактных сумм pi . Итак, оптимальная стратегия должна обслуживать заказы в порядке убывания тарифов для размера постоянной ренты, выплачиваемой на промежутке времени обслуживания заказов. Наконец, отметим также следующую особенность найденной оптимальной стратегии. Если рассматривать аналогичную модель, но для которой финансовые поступления доходов по обслуживаемому заказу будут оговариваться не в конце, а в начале каждого периода принятой условной единичной длительности, то поток соответствующих приходящих платежей будет представлять постоянную ренту пренумерандо. Однако, и в этом случае все полученные выше выводы останутся справедливыми. При этом найденная и указанная выше стратегия обслуживания заказов портфеля будет оптимальной и для такой модификации модели. Модели, использующие ренты со случайными выплатами на промежутках времени обслуживания заказов Теперь рассмотрим дополнительно следующее обобщение представленной выше модели оптимизации порядка выполнения заказов. Обобщение относится к ситуации, когда для соответствующих финансовых поступлений (выплачиваемых по результату обслуживания заказов на каждом условном единичном периоде времени обслуживания) необходимо учитывать их стохастический характер, например, обусловливаемый соответствующими рисками недополучения или отклонения доходов. Подчеркнем, что такие ситуации могут обусловливаться не только необходимостью учета риска изменений финансовых возможностей заказчика, но и других рисков. В частности, - необходимостью учета специфики условий контрактов, технологии их исполнения, качества сырья, квалификации обслуживающего персонала, качества обслуживания и т.п. В таких ситуациях, чтобы учитывать указанные риски, менеджеру потребуется, чтобы «тарифы» выплат по заказам портфеля были формализованы в модели как случайные величины ( см., например, [4, 5]). Далее, чтобы учесть указанную особенность, для согласованных в контракте сумм выплат по iзаказу за каждый условный единичный период времени будем использовать обозначение ~ pi (вместо ~ pi - случайные величины, имеющие произвольные законы распределения pi ) . Кроме того, в вероятностей с конечными средними, для которых сохраним обозначение pi , т.е. pi = М( ~ pi не зависят от случайных длительностей обслуживания Sj модели принимается, что случайные величины ~ обозначения pi). Считаем, что других заказов (j≠i) и от порядка их выполнения. Другими словами, принимается, что стохастические особенности величин выплат доходов по i-заказу являются атрибутом только этого заказа (например, специфики технологии его реализации, специфики финансовых рисков конкретного заказчика и т.п.). Для практических ситуаций представляют интерес два подхода к обобщению рассмотренной выше pi по указанным единичным периодам модели с учетом стохастического характера выплат доходов ~ времени в процессе выполнения соответствующего i-заказа. 4 ~ pi относится ко всему промежутку времени обслуживания i-заказа, т.е. соответствующая конкретной реализации ~ pi сумма выплачивается 1) Случай, когда реализация случайного значения 2) последовательно и после 1-го единичного пери ода, и после 2-го, … , и после Si -го единичного периода при обслуживании этого заказа. (Модель учета специфики технологии работы с i-заказом). Случай, когда реализация случайного значения ~ pi соотносится только с одним очередным указанным единичным периодом времени обслуживания i-заказа. Это - случай, когда, выплаты доходов в процессе обслуживания этого заказа необходимо представлять последовательностью независимых реализаций ~ pi ( j ) последовательно для j= 1, 2, … , Si. (Модель учета финансовых рисков заказчика). Ниже анализируются оба таких подхода к обобщению интересующей нас в этом параграфе модели. Сначала рассмотрим первый из указанных случаев. При такой модификации модели сохраняется структура всех основных соотношений, характеризующих модель. Действительно, отметим следующее. 1) Наращенный к моменту времени Т процент по i-заказу при стратегии, задаваемой вектором i , составляет N ~ r ~p (T T S i 1 2) Суммарная величина i i i j) . ~ Pi поступлений по i-заказу является случайной величиной и определяется ~ Pi ~ pi Si , причем для соответствующего математического ожидания, напомним, ~ используется обозначение Pi M ( Pi ) . равенством 3) Задачу оптимизации для такого случая можно записать в виде N Si ~ M ( ~ pi (T Ti Si j )) max . i 1 j 1 Теперь, практически дословно повторяя рассуждения и упрощения, которые были приведены выше для исходной оптимизационной модели, получаем эквивалентную задачу минимизации для рассматриваемого обобщения модели, но уже представленную в формате базовой модели с учетом рисков отклонения N ~ ~ PT min . С учетом результатов указанной работы [1], последнюю задачу контрактных сумм: М i 1 i i снова можно записать в виде, который полностью соответствует базовой модели: N ~ М Pi Ti min . i 1 Таким образом, оптимальная стратегия выполнения заказов портфеля для рассмотренного подхода к pi , когда обобщению модели, учитывающему специальный характер случайных значений выплат ~ реализация такой случайной величины относится ко всему промежутку обслуживания i-заказа, соответствует оптимальной стратегии обслуживания портфеля для базовой модели и определяется оптимальным Рµ-правилом, в котором в качестве параметров Pi выступают средние ожидаемые значения ~ Pi M ( Pi ) случайных контрактных сумм по i-заказам. В формате рассматриваемой модели, если случайные величины ~ для показателя Pi имеем: Pi = M ( Pi ) M ( ~ pi ~ pi и Si являются независимыми, то Si ) M ( ~ pi ) M (Si ) pi 1 , где µi = 1/M(Si). Поэтому и в этом случае показатель «Pi·µi», на основе которого реализуется оптимальное Рµ-правило, в формате анализируемой модели для i-заказа принимает вид Pi·µi = ~ M ( Pi ) i pi i i1 = pi . Соответственно при оптимальной стратегии заказы портфеля снова необходимо упорядочивать по показателю «тарифов» для указанных выше контрактных сумм pi . Итак, при рассматриваемом обобщении оптимальная стратегия будет обслуживать заказы в порядке убывания средних ожидаемых показателей тарифов для величины постоянной ренты, выплачиваемой на промежутке времени обслуживания заказов. Теперь рассмотрим второй из указанных подходов к обобщению исходной модели этого параграфа для учета рисков отклонения доходов. Для такого подхода необходимо учитывать следующее. 1) Наращенный к моменту времени Т процент по i-заказу при стратегии, задаваемой вектором i , составляет 5 Si ~ r ~p ( j ) (T T S i j 1 где i j) , ~ pi ( j ) обозначает значения случайных доходов по i-заказу по окончанию j-го единичного периода его обслуживания. Суммарная величина 2) i равенством ~ Pi поступлений по i-заказу является случайной величиной и определяется ~ Si Pi ~ pi ( j ) , причем для соответствующего математического ожидания, как и j 1 ранее, используется обозначение Si ~ pi ( j ) ). Pi M ( Pi ) = М( ~ j 1 Задачу оптимизации для такого случая обобщения модели можно записать в виде 3) N Si ~ M ( ~ pi ( j ) (T Ti Si j )) max . i 1 j 1 Опуская промежуточные преобразования, отметим, что приведенная целевая функция приводится к виду N N Si N Si ~ ~ M (T ~ pi ( j )) - M ( Ti Pi ) + M ( ~ pi ( j ) ( Si j )) max . i 1 i 1 j 1 i 1 j 1 Здесь и первое, и последнее слагаемые в последнем представлении целевой функции не зависят от порядка обслуживания заказов. Следовательно, как и в случае предыдущей модификации (учитывая также знак второго слагаемого), интересующую нас задачу можно записать как задачу минимизации: N ~ ~ PT min М i i i 1 или (с учетом результатов [1]) как эквивалентную задачу: N ~ М Pi Ti min . i 1 Соответственно сохраняются все выводы относительно оптимальной стратегии обслуживания портфеля заказов. Таким образом, оптимальная стратегия выполнения заказов портфеля для рассмотренного подхода к обобщению модели, учитывающему специальный характер случайных значений выплат ~ pi , когда реализация такой случайной величины соотносится только с одним очередным единичным периодом обслуживания i-заказа, соответствует оптимальной стратегии обслуживания портфеля для базовой модели и определяется оптимальным Рµ-правилом. В формате такого правила, как видно из последнего представления целевой функции, в качестве параметров Pi должны выступать средние ожидаемые значения ~ Pi M ( Pi ) случайных контрактных сумм по i-заказам. pi ( j ) не зависят от Si и имеют одинаковые математические В частности, если случайные величины ~ ~ ожидания pi = M [ pi ( j )] , то для средней ожидаемой суммарной величины дохода Pi по i-заказу имеем: Pi ~ = M (P ) M ( ~ p ( j) S ) M [ ~ p ( j )] M (S ) p 1 , где µi = 1/M(Si). Поэтому и в этом случае i i i i i i показатель «Pi·µi», на основе которого реализуется оптимальное Рµ-правило, в формате анализируемой модели для i-заказа снова принимает вид Pi·µi = pi . Соответственно при оптимальной стратегии заказы портфеля снова необходимо упорядочивать по показателю «тарифов» для указанных выше ожидаемых значений доходов pi для контрактных сумм. Итак, при этом обобщении оптимальная стратегия будет обслуживать заказы в порядке убывания средних ожидаемых показателей тарифов для величины постоянной ренты, выплачиваемой на промежутке времени обслуживания заказов. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. В статье представлены обобщения для оптимальных стратегий обслуживания портфеля заказов, позволяющие повысить эффективность отдельных звеньев цепей поставок. Анализ проведен для случая, когда экономический результат формализуется через контрактные цены по заказам портфеля, причем требуется учесть специфику выплат таких сумм, которая формализуется представлением приходящих денежных потоков в виде рент. Полученные здесь результаты исследований позволяют отметить следующее. Впервые обоснована структура оптимальной стратегии обслуживания для моделей с выплатой контрактных сумм по заказам портфеля в виде указанных рент. Приведенное в статье обобщение позволяет также учитывать риски возможных случайных потерь дохода (за счет формализованного в модели 6 случайного характера размеров таких выплат). Доказано, что несмотря на стохастический характер указанных атрибутов, связанных с модификацией и обобщением модели, для алгоритма нахождения оптимальной стратегии, тем не менее, будет иметь место так называемое оптимальное Р-правило, представляющее базовую модель оптимизации, в формате которой указанные риски и специфика потока платежей не учитываются. Приведенные в статье результаты могут быть использованы менеджерами в области логистики для повышения эффективности работы отдельных звеньев цепей поставок. В статье использованы материалы гранта: «Индивидуальный исследовательский проект № 09-010013 «Скрытый ресурс минимизации издержек обслуживания в цепях поставок», выполнен при поддержке Программы «Научный фонд ГУ-ВШЭ». Библиографический список 1. 2. 3. 4. 5. Бродецкий Г.Л. Оптимальный порядок обслуживания заказов в цепях поставок с учетом рисков потери доходов и инфляции // Журн. «Логистика и управление цепями поставок», №5, 2009. Бродецкий Г.Л. Минимизация издержек обслуживания портфеля заказов при случайных тарифах штрафных функций // Журн. РИСК, № 3, 2009. Уолрэнд Дж. Введение в теорию сетей массового обслуживания. М.: Мир, 1993 г. - 336 с. Бродецкий Г.Л. Моделирование логистических систем. Оптимальные решения в условиях риска. – М.: «Вершина», 2006. – 376 с. Бродецкий Г.Л., Гусев Д.А., Елин Е.А. Управление рисками в логистике. Учебное пособие // Издво «Академия», 2010. – 192 с. Аннотация Представлена структура оптимальной стратегии, максимизирующей ожидаемую прибыль от обслуживания портфеля заказов при выплате доходов в виде ренты и учете рисков их получения. Впервые обращается внимание на то, что процедуры/правила такой оптимизации не изменяются при учете рисков недополучения контрактных сумм. Для оптимальной стратегии в формате таких моделей остается справедливым оптимальное Р-правило. 7
