Методические разработки уроков по теме Алгебра логики

Разработки уроков по теме: «Алгебра логики»
Урок №1. Алгебра логики. Понятие высказывания.
Цель урока: введение в предмет “алгебра логики”, систематизация знаний,
полученных в курсе информатики.
Форма организации урока: лекция, диалог (обсуждение).
Ход урока

Основоположник формальной логики – Аристотель.

Джорж Буль – основоположник алгебры логики.

Понятие “алгебры логики” как науки об общих операциях над
математическими объектами – логическими высказываниями.

Применение алгебры логики для описания работы релейно-контактных и
электронно-ламповых схем.

Высказывание – один из видов носителей информации. Истинные и
ложные высказывания. Простые и сложные высказывания.
Упражнения к уроку № 1:
1. Объясните, почему следующие предложения не являются
высказываниями:
 Какого цвета этот дом?
 Пейте томатный сок!
 Число Х не превосходит
 Эта тема скучна.
 Рикки Мартин – самый
единицы.
 4х+3.
популярный певец.
 Посмотрите в окно.
 Вы были в театре?
2. Объясните, почему формулировка любой теоремы является
высказыванием.
3. Приведите по 2 примера истинных и ложных высказываний из
математики, биологии, истории, информатики, литературы.
4. Из следующих предложений выбрать те, которые являются
высказываниями:
 Коля спросил: «Как пройти к Большому театру?»
 Как пройти в библиотеку?
1
 Картины Пикассо слишком абстрактны.
 Решение задачи – информационный процесс.
 Число 2 является делителем числа 7 в некоторой системе счисления.
5. Выбрать истинные высказывания:
 Город Джакарта – столица Индонезии.
 Решение задачи – информационный процесс.
 Меню в программе – это список возможных вариантов.
 Сканер – это устройство, которое может напечатать на бумаге то, что
изображено на экране компьютера.
 Мышка – это устройство ввода информации.
6. В приведенных предложениях вместо многоточия поставьте
подходящие по смыслу слова «необходимо», «достаточно», «необходимо
и достаточно». Получившиеся предложения должны быть истинными.
 Для того чтобы число делилось на 4, …, чтобы оно было четным.
(необходимо)
 Для того чтобы число делилось на 3, …, чтобы оно делилось на 9.
(достаточно)
 Для того чтобы число делилось на 10, … чтобы оно оканчивалось нулем. (н
д)
 Чтобы произведение двух чисел равнялось нулю, …, чтобы каждое из них
равнялось нулю. (д)
 Чтобы произведение двух чисел равнялось нулю, …, чтобы хоть одно из них
равнялось нулю. (н д)
 Чтобы умножить сумму нескольких чисел на какое-нибудь число, …, каждое
слагаемое умножить на это число и произведения сложить. (д)
 Чтобы произведение нескольких чисел разделить на какое-нибудь число, …,
разделить на это число только один из сомножителей и полученное частное
умножить на остальные сомножители. (д)
2
 Для того чтобы сумма двух чисел была числом четным, …, чтобы каждое из
слагаемых было четным числом. (д)
 Для того чтобы число делилось на 10, …, чтобы делилось на 5. (н)
 Для того чтобы число делилось на 6, …, чтобы делилось на 2 и на 3. (н д)
 Для того чтобы число делилось на 12, …, чтобы делилось на 2 и на 3. (н)
 Чтобы четырехугольник был квадратом, …, чтобы все его стороны были
равны. (н)
 Для того чтобы прямоугольник был квадратом, …, чтобы все его стороны
были равны. (н д)
 Чтобы периметр квадрата был равен 20 см, …, чтобы его сторона была равна
5 см.(н д)
 Чтобы площадь прямоугольника была равна 20 см2, …, чтобы его стороны
были равны 4 см и 5 см. (д)
Домашнее задание: упражнения 2, 3, 6 (последние 4) из Упражнений к уроку
№ 1.
Урок № 2. Логические операции. Таблицы истинности.
Цель урока:определение основных логических операций, систематизация
знаний, полученных в базовом курсе информатики.
Форма организации урока: диалог, обсуждение.
Ход урока

Простые и сложные высказывания. Логические связки.

Логические операции, их обозначения. Построение таблицы:
Связка
И
Ее название
Конъюнкция
Ее
Высказывание
Его
обознач , получаемое с математическая
ение
помощью
запись
связки
АиВ
& ()
АВ АВ
А В
Или
Дизъюнкция
+ ()
А или В
АВ А+В
Не
Отрицание,
⌐ (─)
Не А
⌐А
3
инверсия
А → В А В
Если … то Импликация
→ ()
Если А, то В
Либо
Исключающее
(∆)
Либо А, либо В А  В А ∆ В
…либо
или
Тогда и
Эквивалентнос ≡ ()
А тогда и
только
ть
только тогда,
тогда,
АВ А≡В
когда В.
когда

Запоминание названий логических операций с помощью мнемонической
системы “вешалка”, аналогия логических операций с операциями
обычной алгебры (сложение, умножение, отрицание).

Таблицы истинности для каждой логической операции.

Решение задач ЕГЭ А10.
Упражнения к уроку № 2:
1. В следующих высказываниях выделите простые, обозначив
каждое из них буквой; запишите с помощью букв и знаков
логических операций каждое составное высказывание:
 Число 376 четное и трехзначное
 Зимой дети катаются на коньках или на лыжах
 Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.
 Если сейчас не солнечно, то пасмурно.
 Земля имеет форму шара, который из космоса кажется голубым.
 Если вчера было воскресенье, то Дима вчера не был в школе и весь
день гулял.
 Если сумма цифр натурального числа делится на 3, то число
делится на 3.
 Число 15 делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа
15 делится на 3.
2. Постройте отрицания следующих высказываний:
4
 Сегодня в театре идет опера «Евгений Онегин».
 Каждый охотник желает знать, где сидит фазан.
 Число 1 есть простое число.
 Неверно, что число 3 не является делителем числа 198.
 Коля решил все задания контрольной работы.
3. Являются ли отрицаниями друг друга следующие предложения:
 Он – мой друг. Он – мой враг.
 Большой дом. Небольшой дом.
 Х>2. X<2.
4. Пусть p=Ане нравятся уроки математики; q=Ане нравятся
уроки химии. Выразите следующие формулы на обычном языке:
 p*q;

p  q;

p *q;

p*q;
 p* q ;

p  q;
 p+q;
 p  q;
 p+ q ;

pq.
Домашнее задание: Упражнение 4 из Упражнений к уроку № 2.
Урок № 3. Решение логических задач.
Цель урока:выработка умений решения логических задач с помощью аппарата
алгебры логики.
Форма организация урока:комбинированный урок.
Ход урока
 Разбор решения логической задачи метом рассуждения, используя
логические операции.
 Решение логических задач из КИМов ЕГЭ 2010, 2011г.
Рассматриваемая задача:
5
Трое учеников нашли древнюю вещь. Первый предположил, что она
изготовлена в Греции в 5 веке, второй предположил, что она изготовлена в
Финикии в 3 веке, третий предположил, что она изготовлена не в Греции в 4
веке. Анализируя их предположения, учитель сказал, что каждый из них прав
только в одном из двух своих высказываний. Установить, где и когда
изготовлена находка.
Задачи для решения в классе:
1) В школьном первенстве по настольному теннису в четверку лучших вошли
девушки: Наташа, Маша, Люда и Рита. Самые горячие болельщики
высказали свои предположения о распределении мест в дальнейших
состязаниях. Один считает, что первой будет Наташа, а Маша будет
второй. Другой болельщик на второе место прочит Люду, а Рита, по его
мнению, займет четвертое место. Третий любитель тенниса с ними не
согласился. Он считает, что Рита займет третье место, а Наташа будет
второй. Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из
болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место на
чемпионате заняли Наташа, Маша, Люда, Рита? (В ответе перечислите
подряд без пробелов числа, соответствующие местам девочек в указанном
порядке имен.)
2) Когда сломался компьютер, его хозяин сказал «Память не могла выйти из
строя». Его сын предположил, что сгорел процессор, а винчестер исправен.
Пришедший специалист по обслуживанию сказал, что, скорее всего, с
процессором все в порядке, а память неисправна. В результате оказалось,
что двое из них сказали все верно, а третий – все неверно. Что же
сломалось?
3) В первом туре школьного конкурса «Эрудит» в четверку лучших вошли:
Дима, Катя, Миша и Нина. И конечно, болельщики высказывали свои
предположения о распределении мест во втором, финальном туре. Один
считал, что первым будет Дима, а Миша будет вторым. Другой болельщик
выразил надежду на то, что Катя займет четвертое место, а второе место
6
достанется Нине. Третий же был уверен в том, что Катя займет третье
место, а на втором месте будет Дима. В результате оказалось, что каждый
из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Какие места
заняли Дима, Катя, Миша, Нина? В ответе перечислите подряд без
пробелов числа, соответствующие местам в указанном порядке имен.
4) Алеша, Витя и Игорь после уроков нашли на полу в кабинете физики
маленькую гирьку. Каждый из них, рассматривая находку, высказал два
предположения. Алеша сказал: «Это гирька из латуни, и весит она, скорей
всего, 5 г», Витя предположил, что гирька сделана из меди и весит 3 г.
Игорь же считал, что гирька не из латуни и вес ее – 4 г. Учитель физики
обрадовался, что пропажа нашлась, и сказал ребятам, что каждый из них
прав только наполовину. Из какого металла – латуни (Л) или меди (М) –
изготовлена гирька, и каков ее вес? В ответе запишите первую букву
названия металла, а затем цифру, соответствующую весу гирьки,
например, Л4.
5) Три ученика из разных школ на вопрос, в какой школе учатся, ответили:
Артем:
я учусь в школе №534, а Кирилл – в школе №76.
Кирилл:
я учусь в школе №534, а Артем – в школе №105.
Максим:
я учусь в школе №534, а Артем – в школе №76.
Каждый из них один раз сказал правду и один раз солгал. В каких школах
учатся Артем, Кирилл и Максим? В ответе перечислите подряд без
пробелов числа, соответствующие номерам школ
в указанном порядке имен, например 53410576.
6) На перекрестке произошло дорожно-транспортное происшествие, в
котором участвовали автобус (А), грузовик (Г), легковой автомобиль (Л) и
маршрутное такси (М). Свидетели происшествия дали показания
инспектору ГИБДД. Первый свидетель считал, что первым на перекресток
выехал автобус, а маршрутное такси было вторым. Другой свидетель
полагал, что последним на перекресток выехал легковой автомобиль, а
вторым был грузовик. Третий свидетель уверял, что автобус выехал на
7
перекресток вторым, а следом за ним – легковой автомобиль. В результате
оказалось, что каждый из свидетелей был прав только в одном из своих
утверждений. В каком порядке выехали машины на перекресток? В ответе
перечислите подряд без пробелов первые буквы названий транспортных
средств в порядке их выезда на перекресток, например АМЛГ.
7) Три друга Олег, Борис и Арсений, закончив институт, разъехались по
разным городам. И вот спустя несколько лет, они, встретившись на вечере
встречи выпускников, решили разыграть своего товарища. На его вопрос,
где они теперь живут, друзья ответили:
Олег:
я живу в Екатеринбурге, а Борис - в Мурманске.
Борис:
я живу в Волгограде, а Олег - в Мурманске.
Арсений:
я живу в Мурманске, а Олег - в Волгограде.
Каждый из них один раз сказал правду и один раз солгал. Где живут
Арсений, Борис и Олег? В ответе перечислите подряд без пробелов первые
буквы названий городов, соответствующие именам друзей в указанном
порядке, например ВМЕ.
8) На одной улице стоят в ряд 4 дома, в каждом из них живет по одному
человеку. Их зовут Алексей, Егор, Виктор и Михаил. Известно, что все
они имеют разные профессии: рыбак, пчеловод, фермер и ветеринар.
Известно, что
(1) Фермер живет правее пчеловода.
(2) Рыбак живет правее фермера.
(3) Ветеринар живет рядом с рыбаком.
(4) Рыбак живет через дом от пчеловода.
(5) Алексей живет правее фермера.
(6) Виктор – не пчеловод.
(7) Егор живет рядом с рыбаком.
(8) Виктор живет правее Алексея.
8
Определите, кто где живет, и запишите начальные буквы имен жильцов
всех домов слева направо. Например, если бы в домах жили (слева
направо) Кирилл, Олег, Мефодий и Пафнутий, ответ был бы КОМП.
Домашнее задание:
9) На судне рядом расположены 4 каюты, в которых живут 4 матроса:
Виталий, Степан, Федот и Игнат. Известно, что каждый из них владеет
ровно одной из следующих морских профессий: моторист, рулевой, врач и
кок, но неизвестно, кто какой и неизвестно, кто в какой каюте живет.
Однако, известно, что:
(1) Врач живет рядом с коком.
(2) Кок живет правее рулевого.
(3) Моторист живет рядом с врачом и рулевым.
(4) Виталий живет рядом с мотористом.
(5) Степан не живет рядом с врачом.
(6) Игнат живет левее Виталия.
Определите, кто где живет, и запишите начальные буквы имен жильцов
всех кают слева направо. Например, если бы в каютах жили (слева
направо) Кирилл, Олег, Мефодий и Пафнутий, ответ был бы КОМП.
10) На одной улице стоят в ряд 4 дома, в которых живут 4 человека: Алексей,
Егор, Виктор и Михаил. Известно, что каждый из них владеет ровно одной
из следующих профессий: Токарь, Столяр, Хирург и Окулист, но
неизвестно, кто какой и неизвестно, кто в каком доме живет. Однако,
известно, что:
(1) Токарь живет левее Столяра
(2) Хирург живет правее Окулиста
(3) Окулист живет рядом со Столяром
(4) Токарь живет не рядом со Столяром
(5) Виктор живет правее Окулиста
(6) Михаил не Токарь
(7) Егор живет рядом со Столяром
9
(8) Виктор живет левее Егора
Выясните, кто какой профессии, и кто где живет, и дайте ответ в виде
заглавных букв имени людей, в порядке слева направо. Например, если бы
в домах жили (слева направо) Константин, Николай, Роман и Олег, ответ
был бы: КНРО.
Урок № 4. Логические формулы. Законы алгебры логики.
Цель урока:выработка умений построения таблиц истинности для сложных
логических формул, знакомство с законами алгебры логики.
Форма организация урока:лекция, диалог.
Ход урока

Логическая переменная и логическая формула.

Преобразование логических формул в равносильные формулы,
использующие операции &

Приоритет выполнения логических операций: действия в скобках,
отрицание, конъюнкция, дизъюнкция.

Алгоритм построения таблицы истинности логической формулы:
1. Подсчитать количество переменных в формуле.
2. определить число строк в таблице 2n, где n – число переменных.
3. подсчитать количество логических операций в формуле.
4. установить последовательность выполнения логических операций с
учетом скобок и приоритетов.
5. определить количество столбцов в таблице: число переменных + число
операций.
6. выписать наборы значений переменных в виде нулей и единиц.
7. провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя
логические операции в соответствии с их очередностью.

Законы алгебры логики:

Какие из рассмотренных логических законов аналогичны алгебре чисел, а
какие нет?
10

Частичное доказательство законов алгебры логики с помощью
построения таблиц истинности.

Тождественно-истинные (тавтология) и тождественно-ложные
логические формулы.

Свойства разделительной конъюнкции, импликации и эквивалентности:
Упражненияк уроку №4:
 Доказать с помощью таблиц истинности свойства импликации,
эквивалентности и разделительной конъюнкции.
 Формализуйте приведенные ниже высказывания и постройте для них
таблицы истинности:
Х= «если одно слагаемое делится на 3 и сумма делится на 3, то и другое
слагаемое делится на 3»
У= «если одно слагаемое делится на 3, а другое не делится на 3, то сумма
не делится на 3»
Убедитесь, что результирующие столбцы совпадают.
 Какие из формул являются тавтологиями?
  (А А)
 А (ВА)
 (АВ)А
 Упростите формулу и покажите, что она тождественно ложна.
(АВВ)(АА)(ВСС)
 Решение задач ЕГЭ А3.
Домашнее задание: упражнения 3,4 из Упражнений к уроку № 4.
Урок № 5. Построение таблицы истинности в Excel.
Цель урока:используя встроенные логические функции Excel, построить
таблицу истинности.
Форма урока: практическая работа.
Ход урока

Префиксная форма записи логических функций Excel.
11

Выполнение практической работы по индивидуальным карточкам в среде
Excel.
X
y
not x
not y
not x * not y
x+y
not(x+y)
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА
ЛОЖЬ
x
y
not x
not y
not x * not y
x+y
not(x+y)
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
=НЕ(A2)
=НЕ(B2)
=И(C2;D2)
=ИЛИ(A2;B2)
=НЕ(F2)
ЛОЖЬ
ИСТИНА
=НЕ(A3)
=НЕ(B3)
=И(C3;D3)
=ИЛИ(A3;B3)
=НЕ(F3)
ИСТИНА
ЛОЖЬ
=НЕ(A4)
=НЕ(B4)
=И(C4;D4)
=ИЛИ(A4;B4)
=НЕ(F4)
ИСТИНА
ИСТИНА
=НЕ(A5)
=НЕ(B5)
=И(C5;D5)
=ИЛИ(A5;B5)
=НЕ(F5)

Домашнее задание: решение текстовой логической задачи.
Урок № 6. СДНФи СКНФ
Цель урока: научиться строить логическую функциюпо таблице истинности.
Форма организации урока:комбинированный урок
Ход урока
 Понятие СДНФи СКНФ. Алгоритмы их построения по таблице
истинности.
 Практическая работа: построение СДНФи СКНФ в Excel.
Алгоритм построения СДНФ:
 Выбрать в таблице истинности все строки, где результат равен 1.
12
 Записать в искомую формулу саму переменную, если в этой строке она
равна 1 или отрицание переменной, если в этой строке переменная равна
0.
 Соединить все переменные одной строки конъюнкцией.
 Все полученные конъюнкции (строки) соединить дизъюнкцией.
Алгоритм построения СКНФ:
 Выбрать в таблице истинности все строки, где результат равен 0.
 Записать в искомую формулу саму переменную, если в этой строке она
равна 0 или отрицание переменной, если в этой строке переменная равна
1.
 Соединить все переменные одной строки дизъюнкцией.
 Все полученные дизъюнкции (строки) соединить конъюнкцией.
Пример создания СКНФ
X
0
0
0
0
1
1
1
1
Y
0
0
1
1
0
0
1
1
X
0
0
0
0
1
1
1
1
Y
0
0
1
1
0
0
1
1
Z
0
1
0
1
0
1
0
1
Z
0
1
0
1
0
1
0
1
F
0
0
0
1
0
1
1
1
F
0
0
0
1
0
1
1
1
Исходная таблица
1. Выделить в таблице истинности все строки, в
которых функция принимает значения 0.
2. Для каждого выбранного набора записать элементарные дизъюнкции,
содержащие переменные
13
a. если
значение переменной равно 0, то записывается сама
переменная,
b. если значение переменной равно 1, то записывается инверсия
этой переменной.
X
0
0
0
0
1
1
1
1
Y
0
0
1
1
0
0
1
1
Z
0
1
0
1
0
1
0
1
F
0
0
0
1
0
1
1
1
X Y  Z
X Y  Z
X Y  Z
X Y  Z
3. Соединить элементарные дизъюнкции знаком конъюнкции.
F ( X ,Y , Z )  ( X  Y  Z )  ( X  Y  Z )  ( X  Y  Z )  ( X  Y  Z )
a
0
0
0
0
1
1
1
1
b
0
0
1
1
0
0
1
1
c
0
1
0
1
0
1
0
1
F
1
1
1
1
0
0
0
0
a
0
0
0
0
1
1
1
1
b
0
0
1
1
0
0
1
1
c
0
1
0
1
0
1
0
1
F
1
1
0
0
1
1
0
0
Практическая работа: построить СДНФ и СКНФ по
заданной таблице истинности в Excel и сравнить
результаты (они должны быть одинаковыми).
Домашнее задание:построить СДНФ и СКНФ по заданной
таблице истинности в Excel, файл с ответом прикрепить в
электронном дневнике.
Урок № 7. Проверочная работа.
14
Вариант 1.
1. Даны два высказывания: А={Число 5 - простое}, В={Луна – спутник
Венеры}.
Очевидно, что А=1, В=0. Сформулируйте на русском языке высказывания,
соответствующие следующим формулам:
a) А ;
b) А*В;
АВ
c)
Какие из них истинны?
2. Найдите значения выражений:
b) ((1*А)+( А *0))+1.
a) (1+1)+(1+0);
3. Постройте таблицы истинности для следующих формул:
a) А+(В*А);
b) А*(В+ В *С).
4. Упростите логическую формулу: (А*В* С )+(А*В*С)+(А*В).
Постройте схему к упрощенной функции.
5. Решите логическую задачу: Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено
обвинение в соучастии в ограблении банка. Похитители скрылись на
поджидавшем их автомобиле. На следствии Браун показал, что
преступники скрылись на синем «Бьюике»; Джонс сказал, что это был
черный «Крайслер», а Смит утверждал, что это был «Форд Мустанг», и
ни в коем случае не синий. Стало известно, что каждый из них указал
правильно либо марку машины, либо только ее цвет. Какого цвета и
какой марки был автомобиль?
Вариант 2.
1. Даны два высказывания: А={Число 5 - простое}; В={Луна – спутник
Венеры}. Очевидно, что А=1, В=0. Сформулируйте на русском языке
высказывания, соответствующие следующим формулам:
a) В ;
c) А  В .
b) А+В;
Какие из них ложны?
2. Найдите значения выражений:
b) (А+1)+( А +0).
a) (0*1)*1;
15
3. Постройте таблицы истинности для следующих формул:
a) В+(В*А);
b) А*(А+В+С).
4. Упростите логическую функцию:Х*У+(Z+Х)* У .
Постройте схему к упрощенной функции.
5. Решите логическую задачу: В соревнованиях по гимнастике участвуют
Алла, Валя, Сима и Даша. Болельщики высказали предположения о
возможных победителях:
1) Сима будет первой, Валя – второй;
2) Сима будет второй, Даша – третьей;
3) Алла будет второй, Даша – четвертой.
По окончании соревнований оказалось, что в каждом из предположений
толькоодно истинно, другое ложно. Какое место на соревнованиях заняла
каждая из девушек, если все они оказались на разных местах?
Урок № 8. Применение алгебры логики. Логические схемы.
Сумматор и триггер.
Цель урока: ввести понятие логического элемента (вентиля), рассмотреть
логические схемы сумматора двоичных чисел, триггера.
Форма урока: лекция, диалог.
Ход урока

Понятие логического элемента (вентиля) преобразования информации.

Основные (базовые) логические элементы.

Логические схемы сумматора и триггера.
Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания
того, как функционируют аппаратные средства компьютера, поскольку
основной системой счисления в компьютере является двоичная, в которой
используются цифры 1 и 0, а значений логических переменных тоже два: «1» и
«0».
При этом:
16
1.
одни и те же устройства компьютера могут применяться для
обработки и хранения как числовой информации, представленной в двоичной
системе счисления, так и логических переменных;
2.
позволяет
на этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики
значительно
упростить
логические
функции,
описывающие
функционирование схем компьютера, и, следовательно, уменьшить число
элементарных логических элементов, из десятков тысяч которых состоят
основные узлы компьютера.
Логический элемент компьютера – это часть электронной логичеcкой
схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.
Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы НЕ,
И, ИЛИ, И–НЕ, ИЛИ–НЕ и другие, а также триггер.
С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию,
описывающую работу устройств компьютера.
Чтобы представить два логических состояния – «1» и «0» в вентилях,
соответствующие им входные и выходные сигналы имеют один из двух
установленных уровней напряжения.
Высокий уровень обычно соответствует значению «истина» («1»), а
низкий – значению «ложь» («0»).
Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое
выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно
электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание
сложных логических схем.
Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.
Таблица истинности это табличное представление логической схемы
(операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений
истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности
выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.
Схема И (конъюнктор) реализует конъюнкцию двух или более
логических значений.
17
Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда,
когда на всех входах будут единицы. Когда хотя бы на одном
входе будет ноль, на выходе также будет ноль.
Связь между выходом z этой схемы и входами x и y описывается соотношением: z=x.y (читается как «x
и y»). Операция конъюнкции на структурных схемах обозначается знаком «&» (читается как
«амперсэнд»), являющимся
сокращенной записью английского слова and.
Схема ИЛИ (дизъюнктор) реализует дизъюнкцию двух или более логических
значений. Когда хотя бы на одном входе схемы ИЛИ будет единица, на её
выходе также будет единица.
Знак «1» на схеме – от устаревшего обозначения
дизъюнкции как «>=1» (т.е. значение дизъюнкции равно
единице, если сумма значений операндов больше или равна 1). Связь между
выходом z этой схемы и входами x и y описывается соотношением: z = x v y
(читается как «x или y»).
Схема НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания. Связь между
входом x этой схемы и выходом z можно записать соотношением z =
, x где
читается как «не x» или «инверсия х».
Если на входе схемы 0, то на выходе 1. Когда на входе 1,
на выходе 0.
Схема И–НЕ состоит из элементаИи инвертора и осуществляет
отрицание результата схемы И. Связь между выходом z и входами x и y схемы
записывают следующим образом:
, где
читается как
«инверсия x и y».
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
1
1
1
0
Таблица истинности схемы И–НЕ
Схема ИЛИ–НЕ состоит из элемента ИЛИ и инвертора и осуществляет
отрицание результата схемы ИЛИ. Связь между выходом z и входами x и y
18
схемы записывают следующим образом:
, где
, читается как
«инверсия x или y».
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
Таблица истинности схемы ИЛИ–НЕ
1
0
0
0
Какие логические элементы строятся при помощи этих схем?
Триггер – это электронная схема, широко применяемая в регистрах
компьютера для надёжного запоминания одного разряда двоичного кода.
Триггер имеет два устойчивых состояния, одно из которых соответствует
двоичной единице, а другое – двоичному нулю.
Термин триггер происходит от английского слова trigger – защёлка,
спусковой крючок. Для обозначения этой схемы в английском языке чаще
употребляется термин flip-flop, что в переводе означает «хлопанье». Это
звукоподражательное название электронной схемы указывает на её способность
почти мгновенно переходить («перебрасываться») из одного электрического
состояния в другое и наоборот.
Самый распространённый тип триггера – так называемый RS-триггер (S и
R, соответственно, от английскихset – установка, и reset – сброс).
Он имеет два симметричных входа S и R и два
симметричных выхода Q и
, причем выходной сигнал Q
является логическим отрицанием сигнала
На каждый из двух входов S и R могут подаваться входные сигналы в
виде кратковременных импульсов (
).
Наличие импульса на входе будем считать
единицей, а его отсутствие – нулем.
Проанализируем
возможные
комбинации
значений входов R и S триггера, используя его схему и таблицу истинности
19
схемы ИЛИ–НЕ Если на входы триггера подать S= «1», R= «0», то (независимо
от состояния) на выходе Q верхнего вентиля появится «0». После этого на
входах нижнего вентиля окажется R= «0», Q= «0» и выход
станет равным
«1».
1.
Точно так же при подаче «0» на вход S и «1» на вход R на выходе
появится «0», а на Q – «1».
2.
Если на входы R и S подана логическая «1», то состояние Q и
не
меняется.
3.
Подача на оба входа R и S логического «0» может привести к
неоднозначному результату, поэтому эта комбинация входных сигналов
запрещена.
Поскольку один триггер может запомнить только один разряд двоичного
кода, то для запоминания байта нужно 8 триггеров, для запоминания килобайта,
соответственно, 8 х 210 = 8192 триггеров. Современные микросхемы памяти
содержат миллионы триггеров.
Сумматор
–
это
электронная
логическая
схема,
выполняющая
суммирование двоичных чисел.
Сумматор служит, прежде всего, центральным узлом арифметикологического устройства компьютера, однако он находит применение также и в
других устройствах машины.
Многоразрядный двоичный сумматор, предназначенный для сложения
многоразрядных
двоичных
чисел,
представляет
собой
комбинацию
одноразрядных сумматоров, с рассмотрения которых мы и
начнём.
При сложении чисел A и B в младшем разряде
приходится иметь дело с двумя цифрами:
1. цифра ai первого слагаемого;
2. цифра bi второго слагаемого;
В результате сложения получаются две цифры:
1. цифра ci для суммы;
20
2. перенос pi из данного разряда в старший.
Таким образом, одноразрядный двоичный сумматор младших разрадов
есть устройство с двумя входами и двумя выходами, работа которого может
быть описана следующей таблицей истинности:
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
c
0
1
1
0
pi
0
0
0
1
Построим логическую функцию суммы (ci) и переноса в
старший разряд (pi), используя СДНФ или СКНФ.
ci =
p i=
Теперь построим логическую схему:
1
&
1
&
a
b
1
&
c
p
При сложении чисел A и B в одном i-ом разряде приходится иметь дело с
тремя цифрами:
1. цифра ai первого слагаемого;
2. цифра bi второго слагаемого;
3. перенос pi–1 из младшего разряда.
В результате сложения получаются две цифры:
1. цифра ci для суммы;
2. перенос pi из данного разряда в старший.
Таким образом, одноразрядный двоичный сумматор есть устройство с
тремя входами и двумя выходами, работа которого может быть описана
следующей таблицей истинности:
pi-1
0
a
0
b
0
c
0
pi
0
21
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
Домашнее задание: по заданной таблице истинности
построить логическую функцию суммы (ci) и переноса в
старший разряд (pi), используя СДНФ или СКНФ.
Если
требуется
складывать
двоичные
слова
длиной два и более бит, то можно использовать последовательное соединение
таких сумматоров, причём для двух соседних сумматоров выход переноса
одного сумматора является входом для другого.
Например, схема вычисления суммы C = (с3 c2 c1 c0) двух двоичных
трехразрядных чисел A = (a2 a1 a0) и B = (b2 b1 b0) может иметь вид:
Урок № 9. Построение логических схем.
Цель урока: научиться строить логические схемы.
Форма урока:практическая работа.
Ход урока
Написать логические формулы выходных сигналов:
X
1
Y
Z

A

1
B
C
X
1
22
A
1
B
1
X
1
Y
&
1
Z
1
Построить таблицу истинности и логическую схему для логической функции:
F ( X , Y , Z )  (( X  Y )  Y )  ( X  (Y  Z ))
F ( X , Y , Z )  (( X  Y )  Z )  ( X  Y )
Урок № 10. Применение алгебры логики. Алгебра переключательных
схем.
Цель урока: провести аналогию алгебры высказываний с алгеброй
“переключательных схем”.
Форма организации урока:комбинированный урок
Ход урока

Понятие “переключательной схемы”, соответствие операций алгебры
логики переключательным схемам.

Составление логических формул по данной схеме, синтез схемы по
заданной таблице истинности или словесному описанию.
Упражненияк уроку № 10:
Комиссия состоит из трех рядовых членов и председателя. Постройте
электрическую цепь для тайного голосования, если оно производится
следующим образом: каждый член комиссии при голосовании «за»
нажимает кнопку. Лампочка зажигается в случаях, если предложение
набрало большинство голосов или число голосов «за» и «против» равное, но
за предложение подан голос председателя.
23
А
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
В
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
С
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
D
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
F
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
F(A,B,C,D)=B&C&DA&CA&DA&B=B&C&
DA&(CDB)
B
C
D
C
D
B
A
1. Можно ли данную электрическую цепь заменить более простой схемой,
X
соответствующей формуле XY&Z ?
Z
Y
¬Y
X
X
2. Минимизируйте следующую переключательную схему.
¬X ¬Y
X
3.Минимизируйте следующую переключательную схему.
¬Y
X
X
Y
X
Y
Домашнее задание: упражнение 2,3 из Упражнений к уроку 10.
Урок № 11. Контрольная работа.
Цель урока:контроль ЗУН по теме “Алгебра логики”.
Форма урока:контрольная работа.
Вариант 1.
3. Дайте характеристику каждому предложению по следующему плану:
 Является ли данное предложение высказыванием;
 Истинное это или ложное высказывание;
24
 Простое это или сложное высказывание;
 Запишите сложное высказывание на языке алгебры логики.
a) Каждый четырехугольник имеет 4 угла и 4 стороны.
b) Пейте, дети, молоко!
c) CD-ROM – устройство вывода информации.
d) Все волки – хищники.
e) Х принадлежит промежутку [-10;10].
f) Низко ласточки летают – о дожде предупреждают.
g) Неверно, что Земля вращается вокруг Солнца.
2. Приведите по 2 примера простых истинных и ложных высказываний из
биологии.
3. Вычислите: ((1&0)1)&(1А).
4. Составьте таблицу истинности для следующей логической функции:
F=X &Y X & Y.
5. Пятеро одноклассников – Аня, Саша, Лена, Вася и Миша стали
победителями олимпиад школьников по физике, математике,
информатике, литературе и географии. Известно, что:
 победитель олимпиады по информатике учит Аню и Сашу работе на
компьютере;
 Лена и Вася тоже заинтересовались информатикой;
 Саша всегда побаивался физики;
 Лена, Саша и победитель олимпиады по литературе занимаются
плаванием;
 Саша и Лена поздравили победителя олимпиады по математике4
 Аня сожалеет о том, что у нее остается мало времени на литературу.
Победителем какой олимпиады стал каждый из этих ребят?
6. Начертите переключательную схему, реализующую следующую
логическую
функцию: F=X&YZ.
25
7. Найдите значение выходного сигнала в приведенной схеме, если:
a) А=0 и В=0
A
1
F
b) А=0 и В=1
B
c) А=1 и В=1
не
Вариант 2.
1. Дайте характеристику каждому предложению по следующему плану:
 Является ли данное предложение высказыванием;
 Истинное это или ложное высказывание;
 Простое это или сложное высказывание;
 Запишите сложное высказывание на языке алгебры логики.
a) В 1/4 килобайта 256 байт;
b) Сканер – устройство ввода информации;
c) Какого цвета ваш автомобиль;
d) Летом дети катаются на лыжах или коньках;
e) Неверно, что 41 – это простое число;
f) Х+2>10;
g) Если идет дождь, то, выходя на улицу, берут зонтик.
2. Приведите по 2 примера простых истинных и ложных высказываний из
географии.
3. Вычислите: ((0 & 0)0)&(1A)
4. Составьте таблицу истинности для следующей логической функции:
F= X &Y  X & Y.
5. Ваня, Петя, Саша и Коля носят фамилии, начинающиеся на буквы В, П, С
и К. Известно, что:
 Ваня и С. – отличники;
 Петя и В. – троечники;
 В ростом выше П.;
 Коля ростом ниже П.;
 У Саши и Пети одинаковый рост.
26
На какую букву начинается фамилия у каждого мальчика?
6. Начертите переключательную схему, реализующую следующую
логическую
функцию: F=(XY) & (ZQ).
7. Найдите значение выходного сигнала в приведенной схеме, если:
1) А=0 и В=0
A
2) А=0 и В=1
B
&
не
F
3) А=1 и В=0
4) А=1 и В=1
Урок № 12. Построение запросов для поиска информации в
Интернете.
Цель урока: дать понятие запроса к поисковой системе, сформировать
умение применять в запросах логические операции
Форма организации урока: практическая работа.
Ход урока:
 Построение запроса к поисковой системе с использованием
логических операций
 Решение задач ЕГЭ В12 по построению запросов к поисковой
системе.
Конъюнкция
Дизъюнкция
Инверсия
Рис. 2 Графическое представление логических операций, используемых в
запросах
27
 ввод какого-то слова (например, принтеры) в запросе поисковой системы
означает, что пользователь ищет Web-страницы, на которых встречается это слово
 операция «И» всегда ограничивает поиск, то есть, в ответ на запрос принтеры И
сканеры поисковый сервер выдаст меньше страниц, чем на запрос принтеры,
потому что будет искать страницы, на которых есть оба этих слова одновременно
 операция «ИЛИ» всегда расширяет поиск, то есть, в ответ на запрос
принтеры ИЛИ сканеры поисковый сервер выдаст больше страниц, чем на
запрос принтеры, потому что будет искать страницы, на которых есть хотя бы
одно из этих слов (или оба одновременно)
 если в запросе вводится фраза в кавычках, поисковый сервер ищет страницы, на
которых есть в точности эта фраза, а не просто отдельные слова; взятие
словосочетания в кавычки ограничивает поиск, то есть, в ответ на запрос
"принтеры сканеры" поисковый сервер выдаст меньше страниц, чем на запрос
принтеры сканеры, потому что будет искать только те страницы, на которых эти
слова стоят одно за другим.
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера
запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет
поисковый сервер по каждому запросу. Для обозначения логической
операции «ИЛИ» в запросе используется символ |, а для логической
операции «И» – &.
1) принтеры & сканеры & продажа
2) принтеры & сканеры
3) принтеры | сканеры
4) принтеры | сканеры | продажа
Решение (вариант 1, рассуждение с использованием свойств операций
«И» и «ИЛИ»):
1) меньше всего результатов выдаст запрос с наибольшими
ограничениями – первый (нужны одновременно принтеры, сканеры и
продажа)
2) на втором месте – второй запрос (одновременно принтеры и сканеры)
28
3) далее – третий запрос (принтеры или сканеры)
4) четвертый запрос дает наибольшее количество результатов (принтеры
или сканеры или продажа)
5) таким образом, верный ответ – 1234 .
Решение (вариант 2, через диаграммы):
1) запишем все ответы через логические операции
X 2  A B , X 3  A  B , X4  A  B  C
X1  A  B  C ,
2) покажем области, определяемые этими выражениями, на диаграмме с
тремя областями
X1  A  B  C
A
X 2  A B
B
С
A
X4  A B  C
X3  A  B
A
B
С
С
B
A
p
B
С
3) сравнивая диаграммы, находим последовательность областей в порядке
увеличения: (1,2,3,4), причем каждая следующая область в этом ряду
охватывает целиком предыдущую (как и предполагается в задании, это
важно!)
4) таким образом, верный ответ – 1234 .
Некоторый сегмент сети Интернет состоит из 1000 сайтов. Поисковый
сервер в автоматическом режиме составил таблицу ключевых слов для
сайтов этого сегмента. Вот ее фрагмент:
Ключевое
слово
Количество сайтов, для
которых данное слово
является ключевым
сканер
200
принтер
250
монитор
450
Сколько сайтов будет найдено по запросу
29
(принтер | сканер) & монитор
если по запросу принтер | сканер было найдено 450 сайтов, по запросу
принтер & монитор – 40, а по запросу сканер & монитор – 50.
Решение (вариант 1, использованием свойств операций «И» и «ИЛИ»):
1) обратим внимание на такой факт (справа указано количество сайтов по
каждому запросу)
сканер
200
принтер
250
принтер | сканер
450
поскольку последнее число равно сумме двух
предыдущих, можно сразу же придти к выводу,
(П | С) & M
С
П
что в этом сегменте сети нет сайтов, на которых
ключевыми словами являются одновременно
принтер и сканер:
принтер & сканер
0
М
диаграмма Эйлера для этого случая показана на рисунке справа:
2) с этого момента все просто: для того, чтобы определить, сколько
сайтов удовлетворяют заданному условию
достаточно просто сложить числа, соответствующие запросам принтер
& монитор и
сканер & монитор
3) таким образом, правильный ответ: 40 + 50 = 90.
Задачи для решения:
 В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите
обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц,
которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
А) физкультура
Б) физкультура & подтягивания & отжимания
В) физкультура & подтягивания
Г) физкультура | фитнесс
30
 В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите
обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц,
которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
А) волейбол | баскетбол | подача
Б) волейбол | баскетбол | подача | блок
В) волейбол | баскетбол
Г) волейбол & баскетбол & подача
 В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите
обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц,
которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
A) чемпионы | (бег & плавание)
Б) чемпионы & плавание
В) чемпионы | бег | плавание
Г) чемпионы & Европа & бег & плавание
 В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите
обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц,
которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
А) музыка | классика | Моцарт | серенада
Б) музыка | классика
В) музыка | классика | Моцарт
Г) музыка & классика & Моцарт
 В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите
обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц,
которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
А) реферат | математика | Гаусс
Б) реферат | математика | Гаусс | метод
В) реферат | математика
Г) реферат & математика & Гаусс
 В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел
поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:
31
Количество страниц
Запрос
(тыс.)
васильки &ландыши
650
ландыши&лютики
230
ландыши &(васильки | лютики)
740
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу ландыши &
васильки & лютики
 В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел
поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:
Количество страниц
Запрос
(тыс.)
декабрь &январь & февраль
113
декабрь&январь
225
декабрь &(январь | февраль)
645
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу декабрь & февраль
 В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел
поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:
Запрос
Количество страниц (тыс.)
март &май & июнь
150
март&май
420
март &(май | июнь)
520
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу март & июнь
 В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел
поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:
Запрос
Количество страниц (тыс.)
март &май
472
май&апрель
425
май &(март | апрель)
620
32
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу март & апрель &
май
Домашнее задание:
 В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите
номера запросов в порядке убывания количества страниц, которые
найдет поисковый сервер по каждому запросу. Для обозначения
логической операции «ИЛИ» в запросе используется символ |, а для
логической операции «И» – &.
1) хвост & лапы & (усы | документы)
2) усы & хвост & лапы & документы
3) лапы & хвост
4) лапы | хвост
 В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите
номера запросов в порядке убывания количества страниц, которые
найдет поисковый сервер по каждому запросу. Для обозначения
логической операции «ИЛИ» в запросе используется символ |, а для
логической операции «И» – &.
1) барокко | классицизм
2) барокко | (классицизм & модерн)
3) (барокко & ампир) | (классицизм & модерн)
4) барокко | ампир | классицизм | модерн
 Некоторый сегмент сети Интернет состоит из 5000 сайтов. Поисковый
сервер в автоматическом режиме составил таблицу ключевых слов для
сайтов этого сегмента. Вот ее фрагмент:
Ключевое слово
Количество сайтов, для которых
данное слово является ключевым
принтеры
400
сканеры
300
мониторы
500
33
Сколько сайтов будет найдено по запросу (принтеры | мониторы) &
сканеры, если по запросупринтеры | сканерыбыло найдено 600 сайтов,
по запросупринтеры | мониторы – 900, а по запросусканеры |
мониторы– 750.
 В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел
поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:
Запрос
Количество страниц (тыс.)
шахматы | теннис
7770
теннис
5500
шахматы &теннис
1000
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу шахматы
Урок № 13. Решение логических уравнений, систем логических
уравнений.
Цель урока: дать понятие логического уравнения, системы логических
уравнений, сформировать умение искать решение логического уравнения,
системы уравнений.
Форма организации урока: практическая работа.
Ход урока:
 Решение логического уравнения с помощью рассуждений и
таблицы истинности.
 Решение системы логических уравнений с помощью таблицы
истинности.
 Решение задач ЕГЭ В15 по решению логических уравнений и
систем логических уравнений.
Сколько различных решений имеет логическое уравнение
(¬X1X2)(¬X2X3)(¬X3X4)(¬X4X5)(¬X5X6) = 1
где x1, x2, …, x6 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять
все различные наборы значений переменных, при которых выполнено
34
данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких
наборов.
Решение:
1) перепишем уравнение, заменив знаки логических операций:
( X1  X 2 )  ( X 2  X 3 )  ( X 3  X 4 )  ( X 4  X 5 )  ( X 5  X 6 )  1
2) учитывая, что A  B  A  B , заменяем все выражения в скобках на
импликацию:
( X1  X 2 )  ( X 2  X 3 )  ( X 3  X 4 )  ( X 4  X 5 )  ( X 5  X 6 )  1
3) решение уравнения можно записать в виде шести двоичных знаков,
которые обозначают соответственно, переменные X1  X 6
4) далее вспомним, что импликация дает ложное значение, если её первая
часть (посылка) истинна, а вторая (следствие) ложно, поэтому
из A  B  0 сразу следует, что A  1, B  0
5) это значит, что в исходном выражении появится нуль, если в цепочке
битов, соответствующей значениям переменных, появится комбинация
10, то есть предыдущее значение истинно, а следующее за ним – ложно
6) поэтому решениями этого уравнения будут все комбинации значений
переменных, для которых в соответствующей битовой цепочке нет
последовательности 10;
7) таких цепочек всего 7:
000000, 000001, 000011, 000111, 001111, 011111, 111111
8) таким образом, ответ: 7 решений.
Сколько различных решений имеет система уравнений
¬X1 X2 = 1
¬X2 X3 = 1
...
¬X9X10 = 1
где x1, x2, …, x10 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять
все различные наборы значений переменных, при которых выполнено
35
данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких
наборов.
Решение (последовательное решение, через единицы):
9) количество комбинаций 10 логических переменных равно 210 = 1024,
поэтому вариант с построением полной таблицы истинности отпадает
сразу
10)
сначала рассмотрим первое уравнение X 1  X 2  1 ; согласно таблице
истинности операции «ИЛИ» оно имеет 3 решения (точнее, с учетом
других переменных, 3 группы решений): (0,0,*), (0,1,*) и (1,1,*); здесь
звездочка означает, что остальные 8 переменных могут быть любыми
11)
выпишем все решения в столбик, чтобы была видна
закономерность:
(0,0,*)
(0,1,*)
(1,1,*)
12)
заметим, что при X2 = 0 значение X1 должно быть равно 0, а при X2
= 1 значение X1 может быть любым
13)
второе уравнение, рассматриваемое отдельно, тоже имеет 3 группы
решений: (x1,0,0,*), (x1,0,1,*) и (x1,1,1,*), где x1, – некоторое логическое
значение переменной X1
14)
решения системы первых двух уравнений – это те комбинации
значений переменных, которые удовлетворяю одновременно и
первому, и второму
15)
из п. 4 следует, что при X2 = 0 значение X1 должно быть равно 0, а
при X2 = 1 значение X1 может быть любым, поэтому решение системы
двух первых уравнений включает 4 группы: из (x1,0,0,*) и (x1,0,1,*) при
X1 = 0получаем две группы
(0,0,0,*) и (0,0,1,*)
и из (x1,1,1,*) получается еще две:
(0,1,1,*) и (1,1,1,*).
36
16)
таким образом, система из двух уравнений имеет 4 решения
17)
выпишем все решения в столбик, чтобы была видна
закономерность:
(0,0,0,*)
(0,0,1,*)
(0,1,1,*)
(1,1,1,*)
18)
таким образом, если X3 = 0, все предыдущие переменные
определяются однозначно – они должны быть равны нулю (идем по
системе «снизу вверх»); если же X3 = 1, то предыдущие переменные
могут быть любыми, второе уравнение их не ограничивает
19)
поэтому при увеличении числа переменных на единицу количество
решений также увеличивается на единицу
20)
аналогично доказывается, что система из 3 уравнений имеет 5
решений, и т.д., то есть, система из 9 уравнений с 10 переменными
имеет 11 решений
21)
таким образом, ответ: 11 решений.
Решение (последовательное решение, через нули):
1) сначала рассмотрим первое уравнение X 1  X 2  1 ; согласно таблице
истинности операции «ИЛИ» оно НЕ выполняется только в одном
случае (точнее, с учетом других переменных, для одной группы
комбинаций): (1,0,*) здесь звездочка означает, что остальные 8
переменных могут быть любыми
2) общее количество комбинаций X1 и X2 равно 22 = 4, поэтому число
решений первого уравнения равно 4 – 1 = 3
3) второе уравнение, рассматриваемое отдельно, тоже ложно только для
одной комбинации имеет 3 группы решений: (x1,1,0,*), где x1, –
некоторое логическое значение переменной X1
4) теперь рассмотрим вместе первое и второе уравнения и определим, в
скольких случаях хотя бы одно из них неверно
37
5) множества (1,0,x3,*) и (x1,1,0,*) не пересекаются, потому что в первом
X2 = 0, а во втором X2 = 1, поэтому система из двух уравнений не
выполнена для 4-х комбинаций:
(1,0,0,*), (1,0,1,*), (0,1,0,*) и (1,1,0,*)
6) общее количество комбинаций трех логический переменных равно 23 =
8, поэтому количество решений системы из двух уравнений равно 8 – 4
=4
7) аналогично доказывается, что система из 3 уравнений имеет 5
решений, и т.д., то есть, система из 9 уравнений с 10 переменными
имеет 11 решений
8) таким образом, ответ: 11 решений.
Решение (табличный метод):
X1  X 2  1
1
0
1
1
X2 X1
0 0
0 1
1 0
1 1
1) рассмотрим все решения первого
уравнения X 1  X 2  1 по таблице
истинности:
2) выделенная строчка не удовлетворяет
условию, поэтому дальше ее рассматривать не будем
3) теперь подключаем третью переменную и второе уравнение:
X3 X2 X1
? 0 0
? 1 0
? 1 1
4) при каких значениях переменной X3 будет верно условие X 2  X 3  1?
Очевидно, что на это уже не влияет X1 (этот столбец выделен зеленым
цветом). Если X2 = 1, то сразу получаем, что X3 = 1 (иначе
X 2  X 3  0  0  0 ):
X3 X2 X1
0 0 0
1 0 0
38
1 1 0
1 1 1
5) как видно из таблицы, верхняя строчка предыдущей таблицы (где были
все нули) дает два решения при подключении очередного уравнения, а
все остальные – по одному
6) понятно, что такая же ситуация будет продолжаться и дальше, то есть,
при добавлении каждой новой переменной число решений
увеличивается на 1
7) рассуждая таким образом и дальше, получаем, что для 3-х уравнений с
4-мя переменными будет 5 решений, для 4 уравнений – 6 решений, …,
а для 9 уравнений – 11 решений
8) обратите внимание на форму таблицы – единицы и нули образуют два
треугольника
9) таким образом, ответ: 11 решений. Еще пример задания:
Сколько различных решений имеет система уравнений
¬(X1X2) (X3X4) = 1
¬(X3X4) (X5X6) = 1
¬(X5X6) (X7X8) = 1
¬(X7X8) (X9X10) = 1
где x1, x2, …, x10 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять
все различные наборы значений переменных, при которых выполнено
данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких
наборов.
Решение:
1) количество комбинаций 10 логических переменных равно 210 = 1024,
поэтому вариант с построением полной таблицы истинности отпадает
сразу
2) заметим, что при обозначениях Y1  ( X1  X 2 ) , Y2  ( X 3  X 4 ) ,
Y3  ( X 5  X 6 ) , Y4  ( X 7  X 8 ) и Y5  ( X 9  X10 ) мы получаем систему из 4
уравнений и 5 независимыми переменными; эта система уравнений
39
относится к типу, который рассмотрен в предыдущей разобранной
задаче:
¬Y1Y2 = 1
¬Y2Y3 = 1
¬Y3Y4 = 1
¬Y4Y5 = 1
3) как следует из разбора предыдущей задачи, такая система имеет 5+1 =
6 решений для переменных Y1 … Y5
4) теперь нужно получить количество решений в исходных переменных,
X1 … X10; для этого заметим, что переменные Y1 … Y5 независимы;
5) предположим, что значение Y1 известно (0 или 1); поскольку
Y1  ( X1  X 2 ) , по таблице истинности операции «эквивалентность»
(истина, когда два значения одинаковы), есть две соответствующих
пары (X1;X2) (как для случая Y1 = 0, так и дляслучая Y1 = 1)
6) у нас есть 5 переменных Y1 … Y5, каждая их комбинация дает 2 пары
(X1;X2), 2 пары (X3;X4), 2 пары (X5;X6), 2 пары (X7;X8) и 2 пары
(X9;X10), то есть всего 25 = 32 комбинации исходных переменных
7) таким образом, общее количество решений равно 6 ·32 = 192
8) ответ: 192 решения
Задачи для решения:
 Сколько различных решений имеет уравнение
(¬K ¬L ¬M)  (L ¬M ¬N) = 0
где K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять
все различные наборы значений K, L, M и N, при которых выполнено
данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать только количество
таких наборов.
 Сколько различных решений имеет уравнение
((J → K) → (M  N))  ((J  ¬K) → (¬M  ¬N))  (¬M  ¬N  K  L)=1
40
где J, K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять
все различные наборы значений J, K, L, M и N, при которых выполнено
данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать только количество
таких наборов.
 Сколько различных решений имеет система уравнений
(X1X2) (¬X1¬X2) (X1X3) = 1
(X2X3) (¬X2¬X3) (X2X4) = 1
...
(X7X8) (¬X7¬X8) (X7X9) = 1
(X8X9) (¬X8¬X9) (X8X10) = 0
где x1, x2, …, x10 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять
все различные наборы значений переменных, при которых выполнено
данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких
наборов.
 Сколько различных решений имеет система уравнений
(X1X2) (X1X10) (¬X1¬X10)= 1
(X2X3) (X2X10) (¬X2¬X10)= 1
...
(X9X10) (X9X10) (¬X9¬X10)= 1
(X1X10) = 0
Домашнее задание:
 Сколько различных решений имеет уравнение
¬((J → K) → (L  M  N))  ¬((L  M  N) → (¬J + K))  (M J)=0
где J, K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять
все различные наборы значений J, K, L, M и N, при которых выполнено
данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать только количество
таких наборов.
 Сколько различных решений имеет система уравнений
((X1X2) (X3X4)) (¬(X1X2) ¬(X3X4)) = 0
41
((X3X4) (X5X6)) (¬(X3X4) ¬(X5X6)) = 0
((X5X6) (X7X8)) (¬(X5X6) ¬(X7X8)) = 0
((X7X8) (X9X10)) (¬(X7X8) ¬(X9X10)) = 0
где x1, x2, …, x10 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять
все различные наборы значений переменных, при которых выполнено
данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких
наборов.
42
Список литературы
Андреева Е.В., Босова Л.Л. Математические основы информатики.
1.
Элективный курс. Учебное пособие. – М.: БИНОМ. 2007. – 328 с.
Босова Л.Л. Информатика: учебник для 6 класса. - М.: БИНОМ,
2.
2011. -229 с.
Задачник-практикум по информатике. В 2-х томах. /Под ред.
3.
И.Семакина, Е.Хеннера. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2010 г.
Кузнецов А. А. Основы общей теории и методики обучения информатике.
4.
Учебное пособие. – М.: БИНОМ. 2010. – 207 с.
Лапчик М.П. Семакин И.Г. Хеннер Е.К. Методика преподавания
5.
информатики: Учебноепособие для студ. пед. ВУЗов/ Под общей редакцией
М.П. Лапчика М.П.: Издательский центр «Академия», 2001. - 624 с.
13.
Программы для общеобразовательных учреждений: Информатика.2-11
классы. Бородин М. Н. - М., БИНОМ, 2006. - 448 с.
14.
Семакин И.Г. Информатикаи ИКТ. Базовый курс. 9 класс. - М.: БИНОМ,
2009. -341 с.
15.
Семакин И.Г. Информатика и ИКТ. Базовый курс. 10 класс. - М.:
БИНОМ, 2008. -165 с.
16.
Семакин И.Г. Информатика и ИКТ. Профильный курс. 10 класс. - М.:
БИНОМ, 2011. -363 с.
17.
Угринович Н.Д. Информатика и ИКТ. Базовый курс. 10 класс - М.:
БИНОМ 2008. - 212с
18.
Угринович Н.Д. Информатика и ИКТ. Профильный курс. 10 класс - М.:
БИНОМ 2010. - 387с
19.
Угринович Н.Д. Преподавание курса «Информатика и ИКТ» в основной
и старшей школе 8 – 11 классы: Методическое пособие. — М.: БИНОМ, 2008. 180 с.
20.
Шауцукова Л.З. Информатика. Учебное пособие для 10-11 класса
общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2005. – 416
43
с.http://festival.1september.ru/articles/413233/ Публикация уроков по теме
«Алгебра логики»
21.
http://kpolyakov.narod.ru/school/ege.htm Материалы для подготовки к ЕГЭ
22.
http://standart.edu.ru/ Федеральные госудаоственные образоательные
стандарты второго поколения.
44