Теория смешанных объемов - Санкт

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской академии наук
(ПОМИ РАН)
191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27
тел. (812) 312-40-58, факс (812) 310-53-77
e-mail: admin@pdmi.ras.ru
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора
по научной работе ПОМИ РАН
доктор ф.-м. наук
_______________ С. И. Репин
«__»___________ 2015 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Теория смешанных объемов
основная образовательная программа подготовки аспиранта
по направлению 01.06.01 Математика и механика
направленность (профиль) подготовки - Геометрия и топология
Федеральный ГОС ВО
Форма обучения: очная
Программу в соответствии с ФГОС ВО разработал
Г.н.с., профессор, д.ф.-м.н.
Санкт-Петербург
Ю.Д. Бураго
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
- Целью преподавания данной дисциплины познакомить аспирантов с одним
из лучших достижений в геометрии выпуклых множеств – теорией смешанных
объемов. Основы теории смешанных объемов были заложены еще Г. Минковским,
затем она была развита многими математиками, в первую очередь – А.Д.
Александровым. Эта теория имеет многочисленные важные применения. Кроме
того, в 70-х годах 20 века была открыта глубокая связь между смешанными
объемами и теорией торических многообразий. В курсе особое внимание уделяется
развитию у учащихся навыков самостоятельного анализа решений различных задач
геометрии.
- Задачей освоения дисциплины является изучение основ теории смешанных
объемов и знакомство с ее различными применениями. Имеются в виду как
многочисленные неравенства между геометрическими характеристиками выпуклых
множеств, так и применения к решению задач существования, единственности и
устойчивости выпуклых множеств с заданными параметрами. После освоения
курса аспиранты должны достигнуть уровня, позволяющего им вести исследования
на переднем крае этой геометрической дисциплины.
Результаты обучения (компетенции) аспиранта, на формирование которых
ориентировано изучение дисциплины «Теория смешанных объемов».
Код
ПК-2
Результат обучения (компетенция) выпускника ООП
Готовность применять методы теории гомотопий теоретико-прикладных
задачах математики и механики.
Планируемые результаты изучения дисциплины, обеспечивающие достижение цели
изучения дисциплины «Теория смешанных объемов» и её вклад в формирование
результатов обучения (компетенций) слушателя:
- умение ориентироваться в научной литературе, критически оценивать
методы для решения теоретических задач.
- умение представить полученные научные результаты.
- знания о современных теоретических концепциях, лежащих в основе
дисциплины.
- умение применять освоенные теоретические методы в смежных
дисциплинах.
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ УЧЕБНОГО ПЛАНА
АСПИРАНТУРЫ
Дисциплина «Теория смешанных объемов» изучается в шестом семестре 3 курса
аспирантуры. Изучение данной дисциплины опирается на знания аспирантов в общих
курсах математического анализа, алгебры, геометрии и топологии. Освоение дисциплины
«Теория смешанных объемов» должна дать аспирантам возможность выйти на уровень,
который позволил бы им проводить исследования на переднем крае геометрии, включая
такие явления как коллапс.
3.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТРУДОЕМКОСТИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ПО
ВИДАМ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ И ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ
3.1 Виды учебной деятельности
Виды учебной работы
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Самостоятельная работа (СР)
Экзамен (Э)
Трудоемкость по семестрам
6 сем.
ач/нед
ач/сем
12
-
Общая трудоемкость освоения дисциплины
Итого, ач
12
В академических часах, ач
12
В зачетных единицах, ЗЕ
2
3.2 Разделы дисциплины и виды учебной работы
Изучаемый вопрос
1 Выпуклые множества.
2 Определение и основные свойства смешанных
объемов.
3 Поперечные меры.
4 Неравенство Александрова–Фенхеля.
5 Некоторые применения.
6 Алгебраический подход к смешанным объемам.
Итого по видам учебной работы
Общая трудоемкость освоения дисциплины: а.ч./ЗЕ
Л, ач
2
2
ПЗ, ач
СР, ач
2
2
2
2
12
12/2 ЗЕ
4. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ИХ СОДЕРЖАНИЕ
Разделы дисциплины
Содержание разделов
Выпуклые множества.
Основные свойства выпуклых множеств.
Выпуклая оболочка. Классы точек
выпуклого множества. Теоремы КрейнаМильман и Страшевича. Опорная и
дистанционная функции. Двойственность.
Меры Хаусдорфа. Объем выпуклого
множества и площадь его границы.
Сложение по Минковскому. Неравенство
Брунна—Минковского, его
переформулировки и следствия. Случай
равенства. Изопереметрическое
неравенство.
Определение и основные свойства
смешанных объемов.
Теорема Минковского об объеме линейной
комбинации выпуклых множеств.
Определение и базисные свойства
смешанных объемов. Основные е примеры
смешанных объемов. Неравенства
Минковского и другие следствия
неравенства Брунна –Минковского для
смешанных объемов.
Поперечные меры.
Формула Коши. Поперечные меры как
смешанные объемы. Меры кривизны.
Формулы Куботы. Поверхностные меры.
Смешанные поверхностные меры.
Неравенство Александрова–Фенхеля.
Формулировка неравенства АлександроваФенхеля и его основные следствия..
Геометрические подходы к доказательству
неравенства Александрова-Фенхеля.
Смешанные дискриминанты. Случаи
равенства и устойчивость. Обобщения.
Некоторые применения.
Теоремы единственности для мер
кривизны. Теорема МинковскогоАлександрова о существовании и
единственности выпуклого множества с
данной поверхностной мерой.
Неравенства Дисканта. Теоремы
устойчивости. Неравенство для
разностных тел.
Алгебраический подход к смешанным
объемам.
Многогранники Ньютона. Теорема Д.
Бернштейна о равенстве числа решений
типичной системы полиномиальных
уравнений нормированному смешанному
объему их многогранников Ньютона.
5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Преподавании курса носит форму лекций с проверкой усвоения материала курса в форме
экзамена. Вместе с тем, в преподавании курса используются современные технологии,
такие как проблемное обучение, междисциплинарное обучение.
Традиционным для курса является широкое использование знаний аспирантов,
полученных ими в ходе освоения смежных теоретических курсов. Курс лекций «Теория
смешанных объемов» базируется на знаниях, приобретенных слушателями на
предыдущих этапах обучения, в частности при изучении математического анализа,
алгебры, геометрии и топологии.
6. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
6.1 Критерии оценивания
Оценкой успешной работы аспиранта при освоении дисциплины «Теория смешанных
объемов» является приобретение им знания:
- Определение и основные свойства выпуклых множеств.
- Формулировки и доказательства теорем Крейна-Мильман и Страшевича.
- Формулировка и доказательство неравенства Брунна—Минковского.
- Определение и основные свойства смешанных объемов.
- Формулировка и структура доказательства неравенства АлександроваФенхеля.
- Формулировка и доказательство теоремы Минковского-Александрова о
существовании и единственности выпуклого множества с данной поверхностной
мерой.
- Определение и основные свойства многогранников Ньютона.
- Формулировка и доказательство теоремы Д. Бернштейна о равенстве числа
решений типичной системы полиномиальных уравнений нормированному
смешанному объему их многогранников Ньютона.
- Умение ориентироваться в научной литературе по данной тематике.
6.2 Оценочные средства
Критерием усвоения материала курса лекций по дисциплине «Теория смешанных
объемов» является посещение лекций и успешная сдача экзамена для приобретения
дополнительных знаний, полезных для успешной сдачи кандидатского экзамена по
специальности 01.01.04 Геометрия и топология и выполнения квалификационной работы и
последующей защиты кандидатской диссертации.
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Рекомендованная литература
1. К.Лейхтвейс, “Выпуклые множества”, Москва, Наука, 1985, 335 стр.
R.Schneider, “Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory”, Cambridge Press, 1993, 505
pages.
2. А.Д. Александров, К теории смешанных объемов выпуклых тел, ч. I-IV, в книге
“Избранные труды”, том 1: Геометрия и приложения, Новосибирск, 2006, стр. 20-152
3. Г. Хадвигер, “Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии”, Наука,
1965.
Дополнительная литература
1. Yu.D. Burago, V.A. Zalgaller, “Geometric inequalities”, in ser. Grundlehren der
mathematischen Wissenschaften, 285, Springer-Verlag, 1988, 331 pages.
2. G. Bonnesen, W. Fenchel, “Theorie der konvexen Korper,” Berlin, Springer, 1934.
8. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Лаборатория геометрии и топологии ПОМИ РАН, оснащенная необходимой техникой,
оборудованием и доступом к электронным ресурсам.
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской академии наук
(ПОМИ РАН)
191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27
тел. (812) 312-40-58, факс (812) 310-53-77
e-mail: admin@pdmi.ras.ru
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора
по научной работе ПОМИ РАН
доктор ф.-м. наук
_______________ С. И. Репин
«__»___________ 2015 г.
Фонд оценочных средств
Теория смешанных объемов
основная образовательная программа подготовки аспиранта
по направлению 01.06.01 Математика и механика
направленность (профиль) подготовки - Геометрия и топология
Санкт-Петербург
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
- Целью преподавания данной дисциплины познакомить аспирантов с одним
из лучших достижений в геометрии выпуклых множеств – теорией смешанных
объемов. Основы теории смешанных объемов были заложены еще Г. Минковским,
затем она была развита многими математиками, в первую очередь – А.Д.
Александровым. Эта теория имеет многочисленные важные применения. Кроме
того, в 70-х годах 20 века была открыта глубокая связь между смешанными
объемами и теорией торических многообразий. В курсе особое внимание уделяется
развитию у учащихся навыков самостоятельного анализа решений различных задач
геометрии.
- Задачей освоения дисциплины является изучение основ теории смешанных
объемов и знакомство с ее различными применениями. Имеются в виду как
многочисленные неравенства между геометрическими характеристиками выпуклых
множеств, так и применения к решению задач существования, единственности и
устойчивости выпуклых множеств с заданными параметрами. После освоения
курса аспиранты должны достигнуть уровня, позволяющего им вести исследования
на переднем крае этой геометрической дисциплины.
- Результаты обучения (компетенции) аспиранта, на формирование
которых ориентировано изучение дисциплины «Теория смешанных объемов».
Код
ПК-2
Результат обучения (компетенция) выпускника ООП
Готовность применять методы теории гомотопий теоретико-прикладных
задачах математики и механики.
Планируемые результаты изучения дисциплины, обеспечивающие достижение цели
изучения дисциплины «Теория смешанных объемов» и её вклад в формирование
результатов обучения (компетенций) слушателя:
 умение ориентироваться в научной литературе, критически оценивать
методы для решения теоретических задач.
 умение представить полученные научные результаты.
 знания о современных теоретических концепциях, лежащих в основе
дисциплины.
 умение применять освоенные теоретические методы в смежных
дисциплинах.
2. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
2.1. Критерии оценивания
Оценкой успешной работы аспиранта при освоении дисциплины «Теория смешанных
объемов» является приобретение им знания:
- Определение и основные свойства выпуклых множеств.
- Формулировки и доказательства теорем Крейна-Мильман и Страшевича.
- Формулировка и доказательство неравенства Брунна—Минковского.
- Определение и основные свойства смешанных объемов.
- Формулировка и структура доказательства неравенства АлександроваФенхеля.
- Формулировка и доказательство теоремы Минковского-Александрова о
существовании и единственности выпуклого множества с данной поверхностной
мерой.
- Определение и основные свойства многогранников Ньютона.
- Формулировка и доказательство теоремы Д. Бернштейна о равенстве числа
решений типичной системы полиномиальных уравнений нормированному
смешанному объему их многогранников Ньютона.
- Умение ориентироваться в научной литературе по данной тематике.
2.2. Оценочные средства
Промежуточная аттестация производится в форме экзамена.
Вопросы экзамена:
1. Основные свойства выпуклых множеств. Выпуклая оболочка. Классы точек
выпуклого множества.
2. Теорема Крейна-Мильмана.
3. Теорема Страшевича.
4. Опорная и дистанционная функции. Двойственность.
5. Меры Хаусдорфа. Объем выпуклого множества и площадь его границы.
6. Сложение по Минковскому. Неравенство Брунна—Минковского, его
переформулировки и следствия. Случай равенства.
7. Изопереметрическое неравенство.
8. Теорема Минковского об объеме линейной комбинации выпуклых множеств.
9. Определение и базисные свойства смешанных объемов. Основные примеры
смешанных объемов.
10. Неравенства Минковского и другие следствия неравенства Брунна –Минковского
для смешанных объемов.
11. Формула Коши.
12. Формулы Куботы.
13. Формулировка неравенства Александрова-Фенхеля и его основные следствия.
Геометрические подходы к доказательству неравенства Александрова-Фенхеля.
14. Теоремы единственности для мер кривизны.
15. Теорема Минковского-Александрова о существовании и единственности
выпуклого множества с данной поверхностной мерой.
16. Неравенства Дисканта.
17. Многогранники Ньютона. Теорема Д. Бернштейна о равенстве числа решений
типичной системы полиномиальных уравнений нормированному смешанному объему
их. многогранников Ньютона.
Тесты:
1. Выпуклая оболочка в трехмерном евклидовом пространстве не может быть
a. конусом;
b. сферой;
c. шаром;
d. кубом.
2. Какое из следующих утверждений не верно
a. экспонированная точка является экстремальной;
b. экстремальная точка является экспонированной;
c. экстремальная точка является граничной;
d. экспонированная точка является граничной.
3. Дважды взятая выпуклая оболочка совпадает с
a. самим множеством;
b. со внутренностью множества;
c. с замыканием множества;
d. с выпуклой оболочкой множества.
4. Мера Хаусдорфа не обладает этим свойством
a. монотонность;
b. счетная субаддитивность;
c. не увиличивается при нерастягивающих отображениях;
d. не уменьшается при нерастягивающих отображениях.
5. Максимальный объем при заданной площади поверхности имеет
a. куб;
b. шар;
c. тетраэдр;
d. эллипсоид.
6. Смешанный объём не
a. инвариантен относительно параллельных переносов тел в наборе;
b. убывает по включению тел;
c. непрерывен относительно метрики Хаусдорфа;
d. неотрицателен.
7. Непустое выпуклое замкнутое множество, не содержит прямую, тогда
a. у него может не быть экстремальных точек;
b. у него может не быть экспонированных точек;
c. у него может не быть граничных точек;
d. у него может не быть опорных гиперплосокстей.
8. Равенство в неравенстве Брунна - Минковского достигается для
a. непустых компактных выпуклых множеств, одно из которых шар;
b. непустых компактных выпуклых множеств, лежащих в параллельных гиперплоскостях;
c. непустых компактных выпуклых множеств, одно из которых куб;
d. непустых компактных выпуклых множеств, имеющих непустое пересечение.
9. Эту величину выпуклого тела можно получить, как смешанный объем
a. радиус вписнной сферы;
b. радиус описанной сферы;
c. площадь поверхности;
d. ширину.
10. Типичное число решений системы полиномиальных уравнений равно
a. площади поверхности соответствующего многогранника Ньютона;
b. квадратному корню из площади поверхности соответствующего многогранника
Ньютона;
c. объему соответствующего многогранника Ньютона;
d. половине объема соответствующего многогранника Ньютона.
Критерием усвоения материала курса лекций по дисциплине «Теория смешанных
объемов» является посещение лекций и успешная сдача экзамена для приобретения
дополнительных знаний, полезных для успешной сдачи кандидатского экзамена по
специальности 01.01.04 Геометрия и топология и выполнения квалификационной работы и
последующей защиты кандидатской диссертации.