КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Кинематические инварианты и распределение скоростей …
УДК 621.01
СТ. Н. БЪЧВАРОВ, В. Д. ЗЛАТАНОВ
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
СКОРОСТЕЙ ПРИ НАИБОЛЕЕ ОБЩЕМ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО
ТЕЛА
1. Введение
Движение твёрдого тела в наиболее общем случае рассмотрено во множестве работ
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 12 ,13, 14, 15]. Основной вопрос – определение закона распределения
скоростей точек тела
v  v A  ω  AM .
(1)
В соответствии с этим законом скорость v  v M произвольной точки М тела равна
геометрической сумме скоростей произвольно выбранной точки тела, принятой за полюс, и
скорости вращательного движении этой точки вокруг полюса (Эйлер).
Для выведения формулы (1) обыкновенно используют два метода. Первый базируется на теореме Эйлера и понятиях конечного и бесконечно малого поворота тела. Второй
способ связан с введением двух координатных систем, одна из которых неподвижна, а вторая жёстко связана с телом; исследование движения тела сводится к исследованию движения подвижной координатной системы относительно неподвижной [8, 9, 10].
2. Цель исследования
В работе подробно рассматривается получение формулы (1) на основе первого метода,
который назовем синтетическим. Затем на базе определенных инвариантов движения анализируется распределение скоростей точек тела.
3. Относительно вывода закона распределения скоростей
Известно, что положение абсолютно твёрдого тела в пространстве определяется положением трёх его точек, не лежащих на одной прямой. Ввиду этого перемещение тела в общем случае может быть сведено к перемещению одного жёстко связанного с телом треугольника (рис. 1), определяемого тремя точками А, М, N. Одна из этих точек, например, А,
выбирается за полюс, и около неё строится сфера произвольного радиуса. Эта сфера пересекает твёрдое тело по сферической фигуре, на которой выбираются две точки M и N, лежащие на одной окружности. При движении тела эта фигура перемещается вместе со сферой и
одновременно скользит по ней. Таким образом однозначно определяется положение треугольника AMN и тела.
Справедлива следующая теорема: всякое перемещение тела в пространстве может
быть осуществлено посредством одного поступательного перемещения, определенного полюсом и одним поворотом вокруг оси, проходящей через этот полюс (обобщенная теория
Эйлера–Даламбера).
Для доказательства примем точку А за полюс (рис. 1, а). Для перехода тела из положения А0М0N0 в положение АМ`N` совершаем сначала поступательное перемещение p  A0 A ,
переводящее тело из положения А0М0N0 в положение АMN. Перемещение тела из положения
AMN в положение AM`N` является перемещением при неподвижном полюсе А. Следовательно, согласно теореме Эйлера, оно может быть осуществлено одним поворотом вокруг
оси AJ, проходящей через полюс А. Для доказательства проведём дуги больших кругов MM`
Теория Механизмов и Машин. 2009. №2. Том 7.
49
Преподавание ТММ
и NN`, отметим их середины M1 и N1 и через них проведём перпендикулярные к предыдущим дугам большие круги. Такие круги всегда пересекутся; обозначим точку их пересечения через P. Из равенства сферических треугольников MPN и M`PN` следует, что треугольник MPN может быть совмещён с треугольником M`PN` одним поворотом на угол MPM`
вокруг центра P. Так как при таком перемещении точки А и P останутся неподвижными, то
и прямая АP останется неподвижной, то есть она будет служить осью поворота тела, что и
доказывает теорему Эйлера.
N
..
. .......
.
N' .M. . .
....
.ρ
M'
N0
p
M0
A0
ρ'
p
J
P
A
J
M ρ
. 0 κ
M1
e
ρ
O1
ρ ' M' ρ
0'
θ
A Δρ
б)
а)
Рис. 1
Предположим, что тело произвело такое перемещение. Конечное перемещение произвольно выбранной точки М тела будет иметь вид:
r  M0M  MM  p  MM ,
(2)
где p  M0M является поступательным перемещением тела, а ρ  MM – перемещением
в результате поворота тела вокруг оси AJ на угол  . Перемещение ρ  MM  ρ  ρ является разностью между радиус-векторами ρ и ρ точки М в начальный и конечный момент
вращения относительно полюса А. Так как эти векторы связывают полюс А с одной и той же
точкой М тела, они имеют одну длину (рис. 1, б).
Для определения перемещения ρ  MM  ρ  ρ в результате поворота тела на угол
 около оси AJ, необходимо задать направление этой оси единичным вектором e . Это
направление выбирается таким образом, чтобы с конца этого вектора вращение тела происходило против часовой стрелки. Определим перемещение ρ через угол  и векторы e и
ρ.
Ясно, что векторы ρ и ρ являются образующими кругового конуса, по оси которого
направлен единичный вектор e . Очевидно, что их проекция на ось вращения остается неизменной, т.е.
AO1   e  ρ  e   e ρ  e .
(3)
Тогда составляющие, перпендикулярные оси, будут иметь вид:
O1M  ρ0  ρ   e ρ  e .
50
(4)
http://tmm.spbstu.ru
Кинематические инварианты и распределение скоростей …
O1M  ρ0  ρ   e ρ e  ρ   e  ρ e .
(5)
Из рис. 1, б непосредственно имеем:
MM  Δρ  ρ0  ρ0  ρ  ρ  MМ1  М1M  2М1M ,
(6)
κ
и век2
произведения
т.к. M1 является серединой MM  и MМ1  М1M  . Отмечаем, что М1M  O1М1  tg
М1M
имеет
направление
векторного
1
1
1
e  O1М1  e  ρ0  ρ0   e  ρ  ρ  , где имеется ввиду, что O1М1   ρ0  ρ0  и учтены
2
2
2
равенства (4) и (5).
Таким образом, равенство (6) может быть записано в виде:
тор
κ
,
2
(7)
κ
κ
 ρ  e ρ  tg .
2
2
(8)
MM  ρ  ρ  e  ρ  ρ   tg
или результат может быть приведен к форме:
ρ  e  ρ  tg
Формула (8) известна как формула Родрига.
Для решения этого уравнения относительно ρ  умножим уравнение векторно слева на
e . Учитывая, что e  e  ρ    e  ρ e  ρ , и равенство (3), получаем
e  ρ  ρ tg

2
 e  ρ  ρ tg
κ
κ
 2 e  ρ  e tg .
2
2
Из (8) и (9) определяем ρ  . Для этого умножаем (8) на 1 tg
(9)
κ
, и полученный результат
2
суммируем с (9). Получаем
ρ 
 
κ
κ
ρ1  tg 2   2 e  ρ  tg  2 e  ρ  e tg 2

κ
2
2
1  tg 2  
2
1
κ
.
2 
(10)
Эту формулу преобразуем к виду:
ρ  ρ 

κ
κ
κ 
e tg  ρ  e tg  e tg  ρ   ρ tg 2

κ
2
2
2 
1  tg 2 
2
2
Теория Механизмов и Машин. 2009. №2. Том 7.
κ
.
2 
(11)
51
Преподавание ТММ
Здесь последние два слагаемых дают двойное векторное произведение:
κ
κ 
κ
κ 
κ

etg  e  tg ρ   ρtg 2  etg   etg  ρ  , вследствие чего формула (11) может быть пред2
2 
2
2 
2

ставлена как
κ
2   ρ  etg κ  ρ  .
MM  ρ  ρ 

κ 
2

1  tg 2
2
2etg
(12)
Здесь вводится вектор
θ  2etg
κ
,
2
(13)
названный условно вектором конечного поворота. Вектор конечного поворота сонаправлен
κ
с ортом e и имеет величину θ  θ  2  tg . Перемещения точки М вокруг полюса А нахо2
дится из соотношения:
MM  ρ  ρ 
1
1


θρ  θρ .
1
2


1  θ2
4
(14)
Предположим, что тело совершило малое перемещение в пространстве. Тогда поступательное перемещение p  rA и элементарный угол поворота κ  κ будут малыми.
Вводим вектор бесконечно малого поворота θ , для которого из (13) получаем:
θ  2tg
κ
 e  κ  e ,
2
(15)
κ κ
. Он равен по величине углу поворота κ и

2
2
направлен по оси конечного поворота АJ в рассматриваемый момент. Отметим, что угол
бесконечно малого поворота κ в общем случае не является дифференциалом какого-либо
угла.
Бесконечно малое перемещение точки М вокруг полюса А может быть определено из
κ
κ
(7). Принимая, что при κ  κ  0 , имеем tg  , ρ  ρ  2ρ , и из (7) получаем:
2
2
поскольку в первом приближении tg
MM  Δρ  κ e  ρ  θ  ρ .
(16)
Этот результат следует непосредственно из (12), если пренебречь бесконечно малыми величинами высших порядков.
Величина векторного произведения ρ  θ  ρsin  θ, ρ  , а его направление перпендикулярно плоскости, проходящей через полюс А и содержащей векторы ρ и θ . Это относительное (“вращательное”) перемещение удовлетворяет одному основному свойству: длина
52
http://tmm.spbstu.ru
Кинематические инварианты и распределение скоростей …
вектора ρ , связывающего две точки тела, остаётся неизменной. Таким образом,
ρ2  const . Варьируя это равенство, находим:
ρ  δρ  0 ,
(17)
т.е. δρ  ρ  ρ . Замещая здесь δρ  ρ из (16), получаем: ρ  δρ  ρ   θ  ρ   0 , т. е. перемещение δ ρ  θ  ρ действительно перпендикулярно вектору ρ .
Общее бесконечно малое перемещение точки М, согласно (2), будет иметь вид:
r  rA  ρ  rA  θ  ρ ,
(18)
где: p  rA , ρ  θ  ρ . Определяя скорость v как предел отношения малого перемещения
r к интервалу времени t при t  0 и на основе (18) находим:

r
r
θ 
 lim A   lim
ρ .
 t 0 t
 t 0 t
  t 0 t 
v  lim
Введя вектор угловой скорости
θ
,
 t 0  t
ω  lim
(19)
получаем формулу:
v  vA  ω  ρ ,
(20)
rA
– скорость полюса А, а ρ  AM , которая и является законом распределеt
ния скоростей.
где v A  lim
 t 0
4. Кинематические инварианты.
Кинематические величины, значения которых в рассматриваемы моменты одинаковы
для всех точек тела и не зависят от выбора полюса А, называются кинематическими инвариантами.
Первый инвариант. Вектор угловой скорости ω тела одинаков для всех точек тела и не зависит от выбранного полюса:
ω  inv .
(21)
Предположим, что для двух разных точек вектор различен и справедливы соотношения: d ρ1  θ1  ρ1 , d ρ 2  θ 2  ρ 2 . Тогда скалярное произведение ρ1  ρ2  const , т. к. длины
векторов ρ1 и ρ 2 и угол между ними не меняется. Имеем:
ρ2 dρ1  ρ1dρ2  0 ρ2   ω1  ρ1   ρ1   ω2  ρ3    ω1  ω2   ρ1  ρ 2   0 .
Поскольку вектор ρ1  ρ 2 произволен, следует ω1  ω 2  0  ω1  ω 2 , что противоречит
допущению. Следовательно, вектор угловой скорости ω в рассматриваемый момент времени один и тот же для всех точек тела.
Вектор ω не зависит от выбора полюса А. Выберем наряду с точкой А и некоторую
другую точку А1 за полюс. Пусть угловая скорость тела, когда за полюс выбрана точка А,
Теория Механизмов и Машин. 2009. №2. Том 7.
53
Преподавание ТММ
есть ω , а когда за полюс выбрана точка А1, – Ω . Тогда скорость произвольной точки М может быть выражена в виде: v  v A  ω  ρ , v  v A  Ω  ρ1 , где: ρ  AM и ρ1  A1M . То1
гда имеем: v A  ω  ρ  v A  Ω  ρ1 . Но скорость точки А1, когда за полюс выбрана точка
1
А, есть: v A  v A  ω  AA1 . Подставив это выражение в предыдущее равенство, получим:
1
v A  ω  ρ  v A  ω  AA1  Ω  ρ1
или
еще:
ω   ρ  AA1   Ω  ρ1 . Но так как
ρ  AA1  ρ1 , получаем уравнение:  ω  Ω  ρ1  0 . Отсюда, ввиду произвольности вектора ρ1 , следует, что вектор ω  Ω должен быть равен нулю, т. е. ω  Ω . Что и требовалось
доказать.
Второй инвариант. Скалярное произведение скорости любой точки тела и вектора
угловой скорости одинаково для всех точек тела.
Действительно, умножив обе части равенства (20) скалярно на ω , получим:
v  ω  v A  ω  ω  ρ   ω или:
v  ω  v A  ω  inv ,
(22)
т.к.  ω  ρ   ω  0 , т.е. это скалярное произведение остается одним и тем же для всех точек
тела.
Третий инвариант. Проекция скорости любой точки тела на направление угловой
скорости одинаково для всех точек тела (рис 2).
прω v  inv .
И действительно, из равенства:
прω v  v cos  
(23)
v  ω  v  ωcos  , где:     ω, v  , находим:
v ω
= inv , т. к. отношение двух инвариантных величин также инвариант
но.
Распределение скоростей точек в пространстве. Центральная или винтовая ось.
На основе третьего инварианта можно дать следующее представление о распределении скоростей точек тела в пространстве (рис. 3). Предположим, что даны угловая скорость ω тела
и скорость v A полюса А. Введём прямоугольную систему координат Аxyz. Ось Аz направим
по направлению вектора ω , ось Ах – в плоскости, содержащей векторы ω и v A , а ось Ау –
перпендикулярно этой плоскости таким образом, чтобы координатная система Ахуz была
правой. Скорость произвольной точки М оси Ау, для которой AM  y , будет:
v  v A  ω  AM .
(24)
Так как каждая из скоростей v и v A может быть разложена на два компонента, а именно:
v  v1  v2 и v A  v1  v 2 , где компоненты v 2 и v 2 параллельны оси Ах, то (24) преобразуется к виду
v2  v 2  ω  AM .
54
(25)
http://tmm.spbstu.ru
Кинематические инварианты и распределение скоростей …
z
ω
ω
v1
v1
ω
vA
v
φ
прωv = v1
A
M
y
φ
M
пр ωv= v2
┴
vC = v1
vM = v'
v2
C
y
v2'
ω AM
x v2
Рис. 2
Cω
Рис. 3
Все векторы этого равенства коллинеарны оси Ах и проектируя (25) на ось Ax получаем:
v2  v2   y .
(26)
Составляющие v 2 скоростей точек оси Ау линейны относительно ординаты y  AM . Очевидно, что на оси Ау существует точка С, для которой vC ,2  0 , т. е.
vC ,2  v2  ω yC  0  yC 
v2 vA sin 
,

ω
ω
(27)
где: yC  AC и v2  v A sin  . Для определенной таким образом точки С оси Ау имеем
v C  v1 .Эта скорость коллинеарна вектору угловой скорости ω , т.е. v C ω и по значению
эта скорость является наименьшей.
Каждая точка А` оси Аz, выбранная за полюс, имеет скорость, равную скорости точки
А. Таким образом, она определяет точку С`, аналогичную точке С. Следовательно, существует бесконечное множество точек, подобных точке С. Все эти точки лежат на одной
прямой C , проходящей через построенную уже точку С и параллельную вектору угловой
скорости. Эта прямая, единственная из множества параллельных между собой мгновенных
осей вращения при разных полюсах, называется центральной или винтовой осью. Скорости
точек, лежащих на этой оси, коллинеарны вектору ω и направлены по оси. Пара коллинеарных векторов ω и v C называется кинематическим винтом, который является правым,
если направления векторов одинаковы, и левым, если направления противоположны.
Запишем уравнение винтовой оси при поступательно движущейся системе координат
Ах`у`z` с началом в полюсе А и осями, параллельными соответствующим осям инерциальной
координатной системы (рис. 4). Пусть точка С винтовой оси имеет координаты х, у, z. Скорость этой точки v C и угловая скорость ω являются коллинеарными векторами, т. е. существует число p такое, что
v C  pω .
(28)
Число р называется параметром кинематического винта. Выражая скорость v C через скорость v А полюса А, запишем уравнение (28) в виде: v A  ω  ρ  pω . Проецируя его на оси
координат, получаем соотношение:
Теория Механизмов и Машин. 2009. №2. Том 7.
55
Преподавание ТММ
v Ax  z  y  y z
x

v Ay  x  z  z x
x

v Az  y  x  x y
z
 p,
(29)
являющееся искомым уравнением винтовой оси.
На основании изложенного можно составить следующее описание распределения скоростей точек тела. Скорости точек, лежащих в плоскости α , перпендикулярной ω , могут быть
разложены на две составляющие: одну, лежащую в плоскости α , и другую, перпендикулярную плоскости α . Последняя имеет одно и то же значение для всех точек. Составляющие
скорости, лежащие в плоскости α , распределены, как и при плоском движении с мгновенным центром в точке С винтовой оси.
Модули скоростей точек тела, отстоящих от винтовой оси на расстояние CM  d , очевидно, определяются выражением:
v  v12  ω2 d 2 .
(30)
Следовательно, геометрическим местом точек, скорости которых равны по модулю, но отличаются по направлению, является круговой цилиндр, осью которого является винтовая
ось. Каждая из образующих этого цилиндра является геометрическим местом точек тела с
одинаковыми скоростями. Скорости точек любого из ортогональных сечений этого цилиндра расположены по прямолинейным образующим некоторого однополостного гиперболоида вращения.
z'
vC
Cω
v
v
ω
ω
C(x,y,z)
vA
M
y'
ρ
ω'
f'
ω
A
α
x'
A
f f' .
Рис. 4
d
. B
Рис. 5
Четвертый инвариант. Две параллельные угловые скорости ω и ω одной величины и противоположных направлений ( ω  ω , f  f ) назовём кинематической парой
или парой угловых скоростей (рис. 5).
Кратчайшее расстояние d между осями двух угловых скоростей называется плечом
пары. Геометрическая сумма двух угловых скоростей равна нулю, но кинематическая пара
не эквивалентна нулю.
Результирующая скорость произвольной точки тела, участвующего в двух вращениях, определяемых кинематической парой, отлична от нуля и остаётся одной и той же,
независимо от выбора этой точки.
Действительно, для произвольно выбранной точки М (см. рис. 5) имеем:


v M  ω   v M  ω  ω  AM  ω  BM  ω  AM  BM  ω  AB  v B ω  .
(31)
Эта геометрическая сумма, не зависящая от выбора точки М, характеризирует саму
кинематическую пару и называется линейной скоростью пары:
56
http://tmm.spbstu.ru
Кинематические инварианты и распределение скоростей …
v  v B  ω  AB  v  ω  AB sin  ω, AB   ω  d .
(32)
Численно линейная скорость равна произведению модуля угловой скорости на плечо пары, а
направлена она перпендикулярно плоскости пары.
Наоборот, движение с данной линейной скоростью может быть представлено в виде
соответствующей пары в плоскости, перпендикулярной скорости. При этом по произвольно выбранному плечу выбирается соответствующая угловая скорость или по произвольно
выбранной скорости выбирается плечо в соответствии с формулой (32).
Пусть движение тела задано скоростью v A полюса А и угловой скоростью ω
(рис. 6). Заменим эквивалентно скорость v A кинематической парой  ω1 , ω1  в плоскости α ,
перпендикулярной v A . Далее, угловую скорость ω1 пары векторно суммируем с угловой
скоростью ω тела. В результате получаем результирующую угловую скорость ω  , направленную по прямой, проходящей через точку А, которая скрещивается с директрисой угловой
скорости ω1 пары. Следовательно, происходит следующая эквивалентная замена:
ω, v A ~ ω  ω1, ω1  ~ ω , ω1 . Эта замена может быть осуществлена множеством способов.
Действительно, кинематическая пара может быть заменена другой, эквивалентной ей, таким
образом, чтобы произведение ω1  d  v A сохраняло свою величину. Кроме того, пара векторов может быть повёрнута на произвольный угол в своей плоскости. В конце концов, за полюс может быть выбрана произвольная точка тела. Но интересно, что какой бы ни была пара
векторов угловых скоростей ω  и ω1 , объём пирамиды ABSL, где ω  и ω1 – противоположные ребра, остается постоянным (четвертый инвариант, теорема Шаля).
Действительно, имеем
VABLS 
11
1
1
 AB  AL   AS   ω1  BA   ω  v A  ω  inv ,
32
6
6
(33)
что и доказывает утверждение.
Z
φ
S
s'
A
L
ω1'
ω1
B
α
Рис. 6
3
z
O
x
k'
n2
y
X
θ
y'
n
φ
N
N1
k
. .A
ψ
N2
=θ.
n
ω*
ω1= ψk
.
ω = φ k'
2
s
.
z'
vA
ω
ω
n1
y
x'
Рис. 7

Пара векторов ω  и ω1 , характеризирующих движение тела в общем случае,
называется кинематическим крестом. Распределение скоростей точек тела в этом случае
может рассматриваться как результат наложения двух вращательных движений с угловыми
скоростями ω  и ω1 , совершаемых одновременно около двух скрещивающихся осей.
Теория Механизмов и Машин. 2009. №2. Том 7.
57
Преподавание ТММ
4. Вектор угловой скорости
Вектор угловой скорости направлен по оси поворота, совершаемого телом за бесконечно малый интервал времени. Поэтому эту ось называют мгновенной осью. Что же касается величины вектора ω , она не может быть определена как производная какого-либо угла
по времени. Такого угла просто не существует. Отсюда следует, что каждый поворот твёрдого тела вокруг полюса может рассматриваться как последовательность малых поворотов
вокруг оси, соответствующей каждым двум бесконечно близким положениям тела.
Пусть тело совершает два бесконечно малых поворота θ1 и θ 2 . Из теоремы Эйлера–
Даламбера эта совокупность двух поворотов может рассматриваться как один поворот с результирующим углом поворота θ . Для его определения рассмотрим произвольную точку М
тела с радиус-вектором ρ относительно полюса А. После первого поворота θ1 точка М переходит в положение М` с радиус-вектором ρ  ρ  d ρ  ρ  θ1  ρ . При втором повороте
θ 2 точка М из положения М` переходит в положение М`` с относительным радиус-вектором
ρ  ρ  d ρ  ρ  θ1  ρ  θ2  ρ  ρ  θ1  ρ  θ2  ρ  θ1  ρ   ρ  θ1  θ2   ρ  θ2  θ1  ρ  .
Пренебрегая последним слагаемым как величиной второго порядка малости, получаем:
ρ  ρ   θ1  θ2   ρ .
С другой стороны, выразив радиус-вектор ρ через вектор результирующего поворота
θ , находим:
ρ  ρ  θ  ρ ,
(34)
откуда, в силу произвольного положения вектора ρ , имеем:
θ  θ1  θ2 .
(35)
Если сначала произвести поворот θ 2 , а затем θ1 , получим:
ρ  ρ  θ2  ρ  θ1  ρ  θ2  ρ   ρ  θ2  θ1   ρ  θ1  θ2  ρ  ,
откуда, отбрасывая малую величину второго порядка и сравнивая (34) и (35), находим:
θ  θ2  θ1  θ1  θ2 .
(36)
Следовательно, два последовательных бесконечно малых поворота тела вокруг выбранного полюса могут быть заменены (они эквивалентны) одним результирующим малым
поворотом с вектором поворота, равным геометрической сумме векторов последовательных малых поворотов. При этом результирующий поворот не зависит от последовательности отдельных поворотов – слагаемых, т. е. он является коммутативным. Этот результат
остаётся в силе и для трёх и более последовательных малых поворотов тела.
Известно, что ориентация тела определяется тремя углами Эйлера ψ, θ и  (рис. 7),
определяющими положение подвижной координатной системы Аx`y`z`, жёстко связанной с
телом, относительно подвижной системы АXYZ, с началом в полюсе А и движущейся поступательно относительно неподвижной (инерциальной) координатной системы Оxyz.
Согласно изложенному выше, вектор произвольного малого поворота θ может быть
представлен как результат трёх последовательных поворотов около осей AZ, AN и Az`, на
углы ψ, θ,  соответственно, т. е.
58
http://tmm.spbstu.ru
Кинематические инварианты и распределение скоростей …
θ  k   n   k  ,
(37)
где k, n, k  – орты этих осей.
В результате подстановки полученного выражения формула (19) принимает вид:
  
  
  
ω  lim 
k   lim  n   lim 
k 
t 0  t  t 0  t   t 0  t

или
ω  k   n   k  .
(38)
Здесь слагаемые ω1  k , ω2  k и ω3  k  являются угловыми скоростями прецессии,
нутации и собственного вращения вокруг поступательно движущейся оси AZ, линии узлов
АN и оси Аz`, жёстко связанной с телом, соответственно. Следовательно, угловая скорость
тела в каждый момент времени равна геометрической сумме этих угловых скоростей.
Используя формулу (38), легко можно определить проекции вектора ω на подвижные
оси Аx`y`z`. Для этого проводим нормаль АN1 к плоскости ANz`( линии пересечения плоскостей Ax`y` и AZz`) и раскладываем орт k по осям Az`, Ax` и Ay`. Получаем:
k  sin  n1  cos  k   sin  sin  i  sin  cos  j  cos  k  ,
(39)
т. к. n1  sin  i  cos  j (см. рис. 7). Орт n , со своей стороны, имеет следующее разложение
n  cos  i  sin  j .
(40)
Подставляя (39) и (40) в (38), получаем:

 

ω   sin  sin    cos  i   sin  cos    sin  j    cos   k .
Отсюда непосредственно находим:
x   sin  sin    cos  ,  y   sin  cos    sin  , x   cos    .
(41)
Для нахождения проекций вектора ω на поступательно движущиеся оси AXYZ проводим нормаль AN2 к плоскости ANZ (линии пересечения плоскостей AXY и AZz)` и раскладываем орт k  по осям AZ, AX и AY (см. рис. 7). Получаем:
k   sin  n2  cos  k  sin  sin  i  sin  cos  j  cos  k ,
(42)
т. к. n 2  sin  i  cos  j . Со своей стороны орт n имеет следующее разложение в плоскости
AXY (см. рис. 7):
n  cos  i  sin  j .
(43)
Подставляя (42) и (43) в (38), получаем:
Теория Механизмов и Машин. 2009. №2. Том 7.
59
Преподавание ТММ

 

ω   sin  sin    cos  i   sin  cos    sin  j    cos     k ,
откуда непосредственно находим:
x   sin  sin    cos  ,  y   sin  cos    sin  , x   cos    .
(44)
5. Заключение.
Представлено систематическое изложение синтетического метода выведения закона
распределения скоростей точек твёрдого тела в наиболее общем случае движения посредством введения на базе теории Эйлера понятия конечного и бесконечно малого поворота.
Рассмотрен и вопрос об инвариантах мгновенного движения тела.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Аппель П. Теоретическая механика І.  М.: Физматгиз, 1960. – 515 с.
Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики І.  М.: Наука, 1965. – 467 с.
Бъчваров С. Механика, ч. І.  София: Стандартизация принт, 2001. – 391 с.
Бъчваров С.Н., Джонджоров А.А. Върху разпределението на скоростите на точките
на твърдо тяло при най-общ случай на движение.  София: Годишник на МЕИ, т. Х,
кн. I, 1961.
Зоммерфельд А. Механика.  М.: РХД, 2001. – 368 с.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика.  М.: Наука, 1988. – 215 с.
Лойцянский Л.Г. Лурье А.И. Курс теоретической механики. Ч. 1  М.: Наука, 1982.
– 352 с.
Лурье А.И. Аналитическая механика.  М.: Физматгиз, 1961. – 824 с.
Некрасов А.И. Курс теоретической механики. Ч. I.  М.: ГИТТЛ, 1956. – 388 с.
Писарев А., Парасков Ц., Бъчваров С. Курс по теоретична механика. Ч. І.  София: Техника, 1974. – 427 с.
Синг Дж.Л. Классическая механика.  М.: Физматгиз, 1963. – 448 с.
Стоянов А. Теоретична механика. Ч. ІІ. Кинематика и динамика.  Наука и изкуство,
1953. – 356 с.
Суслов Г.К. Теоретическая механика.  М.: Гостехиздат, 1946. – 667 с.
Харламов П.В. О распределении скоростей в твёрдом теле.  Республиканский
межведомственный сборник “Механика твердого тела” – Киев: Наукова думка, 1969.
– С. 77-81.
Уиттекер Э.Т. Аналитическая динамика.  М. Л.: ОНТИ, 1937. – 586 с.
Поступила в редакцию 21.09.2009
После доработки 04.11.2009
60
http://tmm.spbstu.ru