литература - Московский институт электроники и математики

XIX Международное совещание «Радиационная физика твёрдого тела»
МЕТОД РАСЧЕТА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
И КОНЦЕНТРАЦИЙ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ПРИЭЛЕКТРОДНОМ
СЛОЕ ТЛЕЮЩЕГО РАЗРЯДА
Бондаренко Г.Г.1,2, Кристя В.И. 3, Супельняк М.И. 3
Московский государственный институт электроники и математики (ТУ)
(109028, г. Москва, Б. Трехсвятительский пер., 3/12)
2
Научно-ииследовательский институт перспективных материалов и технологий
МГИЭМ (ТУ) (115054, г. Москва, ул. Малая Пионерская, 12, niipmt@cea.ru)
3
Калужский филиал МГТУ им. Н.Э. Баумана
(248000, г. Калуга, ул. Баженова, 2, kristya@bmstu-kaluga.ru )
1
Долговечность
газоразрядных
приборов
в
значительной
степени
определяется процессом распыления поверхности их электродов ионами,
ускоряемыми электрическим полем в приэлектродном слое разряда. При
плотностях разрядного тока, характерных для таких приборов, объемный заряд
электронов и ионов оказывает существенное влияние на распределение
электрического поля в межэлектродном промежутке, а следовательно и на их
движение
[1,2].
Поэтому
при
моделировании
процессов
переноса
в
приэлектродном слое разряда необходимо проводить самосогласованный
расчет распределений поля и концентраций заряженных частиц. Наиболее
простой является гидродинамическая модель, в которой описание переноса
частиц проводится на основе уравнений их переноса, а величина коэффициента
ионизации газа электронами определяется напряженностью электрического
поля в данной точке [2,3]. Однако вследствие большого градиента
электрического поля у поверхности катода энергетическое распределение
электронов в катодном слое разряда является нелокальным, что приводит к
существенной
неточности
гидродинамическая
модель
вычисления
позволяет
коэффициента
осуществить
ионизации,
лишь
т.е.
качественное
описание процессов переноса в разряде.
Более точное моделирование движения частиц в сильно неоднородном поле
приэлектродного слоя разряда может быть выполнено на основе метода МонтеКарло, позволяющего проводить расчет траекторий отдельных заряженных
частиц в плазме разряда. Однако этот метод связан с проведением больших
объемов вычислений и требует больших затрат времени. Поэтому в работах
[4,5] предложен гибридный метод моделирования, состоящий в том, что
движение быстрых электронов с энергиями, достаточными для возбуждения и
412
XIX Международное совещание «Радиационная физика твёрдого тела»
ионизации атомов рабочего газа, производится методом Монте-Карло, а
движение медленных электронов и ионов осуществляется на основе уравнений
их
переноса.
В
[6,7]
предложен
метод
нахождения
энергетического
распределения электронов в катодном слое разряда, основанный на численном
решении одномерного кинетического уравнения для электронов, требующий
намного меньших затрат времени, чем метод Монте-Карло. Но в работах [6,7]
распределение
электрического
поля
предполагалось
известным,
т.е.
полученное решение не может рассматриваться как самосогласованное.
В данной работе предложена самосогласованная модель, в которой
кинетическое уравнение для быстрых электронов и уравнения
переноса
медленных электронов и ионов решаются совместно с уравнением Пуассона
для электрического поля.
Расчет энергетического распределения быстрых электронов производится
путем численного решения одномерного кинетического уравнения для
функции распределения электронов методом, описанным в
[7]. Найденная
функция распределения используется для вычисления функций источников
ионов и медленных электронов ri и res и концентрации быстрых электронов
nef в межэлектродном промежутке. После этого решается система уравнений
переноса ионов и медленных электронов вместе с уравнением Пуассона для
потенциала электрического поля
ni ji
(1)

 ri ,
t z
nes jes
(2)

 res ,
t
z
n
(3)
ji  i ni E  Di i ,
z
n
(4)
jes   es nes E  Des es ,
z
d 2
e
(5)

n n n ,
2
 0 i es ef
dz
где ось z считается направленной вдоль разрядного промежутка между

плоскими электродами, ni
электронов,
ji
и
jes
и nes

- концентрации ионов и медленных
- плотности их потоков,
электрического поля, Di , Des и  i ,
413
E
-
напряженность
 es - коэффициенты диффузии и
XIX Международное совещание «Радиационная физика твёрдого тела»
подвижности ионов и электронов в газе, e - величина элементарного заряда,
 0 - диэлектрическая постоянная.
В качестве граничных условий могут быть использованы нулевые значения
концентраций ионов и медленных электронов на электродах ni  0 , nes  0 , а
также значения потенциала электрического поля   0 на катоде и   U на
аноде.
Для построения разностной схемы межэлектродный промежуток длины d
разбивается на n отрезков длины z  d / n , т.е. строится сетка с узлами в
точках zm  m z , где m  0,..., n - номер узла. Значения концентраций ni , nes
и потенциала  задаются в узлах, а потоков
ji ,
jes и напряженности
электрического поля E - в серединах отрезков. Разностная схема для
уравнений переноса (1) и (2) строится с использованием экспоненциальной
схемы, описанной в [4,5].
В частности, на k  1 шаге по времени уравнение (1), описывающее перенос
ионов в узле m сетки может быть представлено в виде
k 1
k
k 1
(ni )m
1  j 
 j  
  i    i    (ri )m ,
t
2  z m  z m 
(6)
где (ni )km1 - изменение концентрации ионов в этом узле сетки на данном
шаге.
С учетом зависимостей
k 1
k 1
k
k
k 1
k
( ji )m
( ji )m
 ji 
 ji 
1 2  ( ji ) m 1 2
1 2  ( ji ) m 1 2

,

,
 z 
 z 
z
z
 m
 m
k 1
k
k 1
( ji ) m
1 2  ( ji ) m 1 2  ( ji ) m 1 2 ,
k 1
k
k 1
( ji )m
1 2  ( ji ) m 1 2  ( ji ) m 1 2
его можно записать в виде
k 1
(ni )m
1
1
k 1
k 1

(ji )m
( ji ) km1 2  ( ji ) km1 2 .
1 2  ( ji ) m 1 2  ( ri ) m 
t
2  z
z




(7)
Из выражения для плотности потока ионов (3)
ji  ani  b
ni
,
z
414
(8)
XIX Международное совещание «Радиационная физика твёрдого тела»
где a  i  E  E , b  Di , используя экспоненциальный метод [4,5], в котором
предполагается, что поток частиц сохраняет величину на каждом частичном
отрезке, можно получить выражение для плотности потока в середине отрезка
(
k 1
ji )m
1 2

amk 11 2

1  exp 


k 1
k 1
k 1
(ni )m
1  exp  m 1 2 ( ni ) m
k 1
m 1 2
,
(9)
k 1
где  mk 11 2   a b m1 2 z .
Так как E  
d
 k 1  ik 1
, то Eik112   i1
, и с учетом (9) соотношение (8)
z
dz
можно представить в виде:
 C1mk 11  C2 mk 1  C3mk 11 
k 1
k 1
k 1
C4 (ni )m
1  C5 (ni ) m  C6 (ni ) m 1  f ,
(10)
где mk 1  mk 1  mk - изменение электрического потенциала в m - узле сетки
на k  1 шаге по времени, а коэффициенты C1  C6 и f зависят только от
значений переменных на предыдущем k - шаге по времени.
Из уравнений (2) и (4) аналогично может быть получено соотношение и для
k 1
изменения концентрации медленных электронов (nes )m
в узлах сетки на
k  1 шаге
 D1mk 11  D2 mk 1  D3mk 11 
k 1
k 1
k 1
 D4 (nes )m
1  D5 (nes ) m  D6 (nes ) m 1  h,
(11)
где коэффициенты D1  D6 и h зависят только от значений переменных на
предыдущем k - шаге по времени.
Уравнение Пуассона (5), представленное в форме
k
 d 2   d 2  
 2   
2 

 dz   dz 
k 1

e
0
 ni  ni  nes  nes  nef  ,
k 1
(12)
 d 2 
mk 11  2mk 1  mk 11
с учетом того, что  2  
, для m - го узла сетки
(z )2
 dz m
принимает вид
415
XIX Международное совещание «Радиационная физика твёрдого тела»
mk 1  2mk  mk 1

mk 11  2mk 1  mk 11
(z ) 2
e

ni  nes  nef
0

( z ) 2
m   
e
k
0

(13)
k 1
ni  nes m

или
mk 11  2mk 1  mk 11 
e (z ) 2
0
 ni km1 
e (z ) 2
0
 nes km1  gmk
(14)
где


g mk   mk 1  2mk  mk 1 
e (z )2
0
 ni  nes  nef m .
k
В результате на каждом шаге по времени получается три линейных
уравнения (10), (11) и (14) для приращений концентраций ионов и медленных
электронов, а также потенциала электрического поля в каждом внутреннем
узле сетки, т.е. для разрядного промежутка получается система линейных
уравнений порядка 3n  3 , которая решается методом Зейделя [8].
Рис. 1. Распределение напряженности электрического поля в разрядном
промежутке
416
XIX Международное совещание «Радиационная физика твёрдого тела»
После достижения стационарного распределения электрического поля снова
решаются кинетическое уравнение для функции распределения электронов и
система уравнений вида (10), (11) и (14) с новыми источниками ri и res до
выхода на стационарный режим. Данный процесс повторяется до достижения
самосогласованных стационарных распределений электрического поля и
концентраций электронов и ионов в разрядном промежутке, что требует
нескольких минут вычислений.
Рассчитанное описанным методом распределение электрического поля в
аргоне при давлении p =133 Па, температуре T =300 К, напряжении U =200 В,
длине разрядного промежутка d =0,02 м и числе его разбиений n =40
приведено на Рис. 1. Из рисунка видно, что в стационарном тлеющем разряде
вблизи катода образуется слой с большой напряженностью поля, ускоряющего
ионы в направлении катода. Это согласуются с результатами, полученными с
использованием метода Монте-Карло, требующего намного больших затрат
времени.
ЛИТЕРАТУРА
1. Актон Д., Свифт Д. Газоразрядные лампы с холодным катодом. М.:
Энергия, 1965.
2. Грановский В.Л. Электрический ток в газе. М.: Наука, 1971.
3. Райзер Ю.П. Физика газового разряда. М.: Наука, 1987.
4. Fiala A., Pitchford L.C., Boeuf J.P. // Phys. Rev. E. 1994. V.49. N 6. P.5607.
5. Bogaerts A., Gijbels R. // J. Appl. Phys. 1995. V.78. N 4. P.2233.
6. Paulick T.C. // J. Appl. Phys. 1990. V.67. N 6. P.2774.
7. Кристя В.И. // ТВТ. 1996. Т.34. N 2. С.197.
8. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.:
Наука, 1978.
417