Лекция №6. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ систем

ЛЕКЦИЯ №6. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ. КОРРЕКТИРУЮЩИЕ И
СТАБИЛИЗИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ (РЕГУЛЯТОРЫ).
(Слайд 1)
6.1. Понятие об устойчивости линейных систем
(Слайд 2)
Рассмотрим дифференциальное уравнение движения линеаризованной системы автоматического регулирования, записанное для регулируемой величины Х(t) при наличии управляющего воздействия Y(t) и равенстве нулю возмущающих воздействий
(ao pn  a1 pn 1  ...  an ) X  t   ( bo p m  b1 p m 1  ...  bm ) Y t  ,
(6.1)
где коэффициенты а0 – аn и b0 – bm представляют собой постоянные величины.
Степень оператора в правой части уравнения не может быть выше, чем
в левой m ≤ n.
Дифференциальное уравнение движения системы регулирования можно записать для возмущающего воздействия FK(t). В этом случае левая
часть (6.1) остаётся без изменения, а правая часть будет иметь другой
вид. В общем виде дифференциальное уравнение, определяющее изменение регулируемой величины, может быть записано так, что в правой его
части будет находиться некоторая функция времени f(t). Характер переходных процессов в системе определяется видом левой части дифференциального уравнения (6.1). Поэтому для определения качественной картины переходных процессов практически безразлично записать ли исходное
дифференциальное уравнение для управляющего или возмущающего
воздействий.
(Слайд 3)
Процесс регулирования определяется решением дифференциального
уравнения как суммы двух решений – частного решения неоднородного
уравнения (6.1) с правой частью и общего решения уравнения (6.1) без
правой части, то есть с правой частью, равной нулю:
X  t   X ÷àñò í  t   X î áù  t  .
(6.2)
Первое слагаемое (6.2) называют вынужденным решением (когда
Хчастн(t) = const, это будет установившееся значение), а второе слагаемое
переходной составляющей
1
X t   X Â t   X Ï t  .
(6.3)
Система будет называться устойчивой, если с течением времени при стремлении времени к бесконечности переходная составляющая будет стремиться к нулю (при t  , ХП(t)  0).
(Слайд 4)
Найдем из (6.1) общее решение (переходную составляющую). Для этой
цели необходимо решить дифференциальное уравнение (6.1) без правой
части
a0
dnX
dt n
 a1
d n 1X
dt n 1
 ...  a n X  0 .
(6.4)
Общее решение выполняется в виде
X Ï  t   X î áù  t   Cet .
(6.5)
Дифференцируя выражение (6.5) n раз, подставляем его в (6.4) и после
сокращения на общий множитель Cet имеем
a0n  a1 n 1  ...  an 1   an  0 .
(6.6)
Это уравнение называется характеристическим. Корни его 1 – n
будут определять характер переходного процесса в системе. Нетрудно
увидеть, что левая часть (6.6) полностью совпадает с левой частью (6.1) .
(Слайд 5)
Поэтому характеристическое уравнение получается приравниванием
левой части (6.1) нулю:
a0 p n  a1 p n 1  ...  an 1 p  an  0 .
(6.7)
Однако здесь буква «p» означает не символ дифференцирования (оператор), а некоторое комплексное число, которое является решением характеристического уравнения.
Так как в решении характеристического уравнения содержится n корней, то переходная составляющая (или общее решение), как известно,
представляется в виде:
X Ï  t   C1e1t  C2e2t  ...  Cn en t ,
(6.8)
где 1 – n – корни характеристического уравнения; С1 – Сn – постоянные
интегрирования, определяемые из начальных условий (управляющего
воздействия и его производных).
Если корни характеристического уравнения определяются только видом левой части уравнения (6.1), то постоянные интегрирования опреде2
ляются также и видом правой его части. Поэтому быстрота затухания и
форма переходного процесса определяются как левой, так и правой частью исходного дифференциального уравнения.
Поскольку в понятие устойчивости системы входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса (независимо от быстроты затухания и формы переходного процесса), то устойчивость линейной системы совершенно не зависит от вида правой части дифференциального уравнения (6.1) и определяется только характеристическим уравнением.
Чтобы определить, устойчива система или неустойчива, нет необходимости полностью знать корни характеристического уравнения. Выясним,
какие свойства корней необходимы и достаточны для того, чтобы система
была устойчивой.
В общем виде корни любого уравнения могут быть вещественными,
комплексными и чисто мнимыми. Рассмотрим эти случаи для характеристического уравнения.
(Слайд 6)
1. Вещественный корень
Xп(t)
1   
Пусть один из корней, например 1,
является вещественным. Если он отрицательный 1 = – α1, то слагаемое, определяемое этим корнем в (6.8), будет представлять собой экспоненту C1e 1t . Оче1  
видно, что при t   это слагаемое будет
«затухать».
0
t
При 1 = +α1 получим не затухающий,
а расходящийся процесс (рис. 6.1).
(Слайд 7)
Рис. 6.1. Вещественные корни
2. Комплексные корни
Комплексные корни бывают попарно сопряженными. При отрицательной вещественной части два корня, например 1 и 2, будут иметь вид
1 2    j .
(Слайд 8)
В этом случае слагаемые, определяемые этими корнями в уравнении
(6.8), могут быть представлены в виде:
  j  t
  j  t
C1 e 
 C2 e 
 A e t sin t    ,
(6.9)
где A и  – новые постоянные интегрирования.
Нетрудно увидеть, что мнимая часть корня  представляет собой круговую частоту затухающих колебаний, а  – показатель затухания огибающей к кривой переходного процесса (рис. 6.2, а). При положительной ве-
3
щественной части два корня будут иметь вид 1 2    j и колебательный процесс будет не затухающим, а расходящимся (рис. 6.2, б).
3. Мнимые корни
В этом случае 1 = +j и 2 = –j. Слагаемые, определяемые этими корнями в (6.8), будут представлять собой незатухающие колебания, то есть
колебания с постоянной амплитудой
C1 e jt  C2 e jt  Asin t    .
(6.10)
Такой процесс изображён на рис. 6.2, в.
Из анализа переходных процессов от корней различного вида можно
сделать вывод, что для затухания переходного процесса необходимо, чтобы вещественные части корней были отрицательными. Это относится как к вещественным, так и к комплексным корням. Если хотя бы один
корень характеристического уравнения будет иметь положительную вещественную часть, то переходный процесс в САР в целом будет расходиться,
то есть система окажется неустойчивой.
в
а
Xп(t)
X п(t)
1 2     j
1 2   j
t
0
0
t
б
Xп(t)
1 2     j
0
t
Рис. 6.2. Комплексные и
мнимые корни
(Слайд 9)
Корни характеристического уравнения можно представить в виде точек
на комплексной плоскости (рис. 6.3).
Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно,
чтобы все корни лежали слева от мнимой оси плоскости корней. Если
хотя бы один корень окажется справа от мнимой оси, то система будет неустойчивой. Таким образом, мнимая ось представляет собой границу устойчивости в плоскости корней, за которую не должны перехо4
+
дить корни характеристического уравнения. Вся левая полуплоскость
представляет собой при этом область устойчивости.
Превращение устойчивой системы в
неустойчивую произойдет в том случае,
V
если хотя бы один вещественный или пара
комплексных корней перейдет из левой
полуплоскости в правую. На границе перехода будем иметь так называемую границу
устойчивости системы. Различают три
типа границы устойчивости:
1) наличие нулевого корня;
0
U
2) наличие пары чисто мнимых корней;
3) наличие бесконечного корня.
Во всех трех случаях предполагается,
что все остальные корни имеют отрицаРис. 6.3. Граница устойчивости
тельные вещественные части.
В первом случае вещественный корень
попадает на границу устойчивости (ось мнимых) в начале координат, то
есть выполняется условие  = 0. Это означает, что в характеристическом
уравнении будет отсутствовать свободный член аn = 0. Дифференциальное уравнение (6.1) в этом случае может быть записано в виде:
+
+
+
(a0 pn 1  a1 pn  2  ...  an 1 ) p X  t   ( b0 pm  b1 pm 1  ...  bm ) Y t 
(6.11)
и система будет устойчивой не относительно регулируемой величины Х, а
относительно скорости ее изменения рХ. Величина же отклонения регулируемой величины может принимать произвольные значения. Такую систему называют нейтрально устойчивой, имея в виду её безразличие к значению самой регулируемой величины.
На границе устойчивости второго типа, которая называется колебательной границей устойчивости, два корня попадают на мнимую ось. Система в этом случае будет иметь незатухающие гармонические колебания
с постоянной амплитудой (рис. 6.2, в).
Наконец вещественный корень может попасть из левой полуплоскости
в правую, проходя через бесконечность. В этом случае слагаемое CK e K t
в выражении (6.8) обращается в нуль, что соответствует понижению порядка дифференциального уравнения на единицу. Это будет при а0 = 0.
Граница устойчивости третьего типа встречается очень редко.
Как было показано выше, ни одна реальная система автоматического
регулирования не является строго линейной. Линейные характеристики
звеньев и линейные дифференциальные уравнения можно получить путем
линеаризации реальных характеристик и уравнений. При разложении в
ряд Тейлора ограничиваемся линейными членами, отбрасывая члены
высших порядков, которые для малых отклонений считали также малыми.
(Слайд 10)
5
Обоснование законности такой линеаризации содержится в теоремах
Ляпунова, которые даны без доказательства.
1. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет все корни с отрицательными вещественными частями,
то реальная система будет также устойчивой, то есть малые нелинейные члены не могут в этом случае нарушить устойчивость
системы.
2. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один корень с положительной вещественной
частью, то реальная система будет также неустойчивой, то
есть малые нелинейные члены не могут сделать её устойчивой.
(Слайд 11)
3. При наличии нулевых и чисто мнимых корней поведение реальной системы не всегда даже качественно определяется её линеаризованными уравнениями. При этом даже малые нелинейные
члены могут коренным образом изменить вид переходного процесса, сделав систему устойчивой или неустойчивой.
Опираясь в своих линейных расчетах на эти теоремы Ляпунова, всегда
следует иметь в виду, что они, во-первых, относятся к исследованию
устойчивости «в малом», то есть в малой окрестности данного состояния
равновесия, когда кривая мало отличается от прямой и соответственно
отбрасываемые слагаемые малы. Во-вторых, всё это относится только к
описанному выше способу линеаризации уравнений – разложению нелинейных функций в степенные ряды, что геометрически соответствует замене кривой отрезком касательной, а не какому-либо другому способу линеаризации.
К сильно выраженным нелинейностям на больших участках, в том числе и к нелинейностям релейного типа, эти теоремы вообще неприменимы.
Для исследования устойчивости нелинейных систем общего вида имеются
другие методы, например, так называемый прямой метод Ляпунова.
Далеко не всегда бывает удобно вычислять корни характеристического
уравнения. Поэтому желательно иметь такие методики, с помощью которых можно было судить об устойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения без вычисления корней. Эти
методики называются критериями устойчивости.
6.2. Алгебраический критерий устойчивости
Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых
дифференциальными уравнениями любого порядка, была сформулирована Максвеллом в 1868 г. Эта же задача была впервые решена Раусом
в 1877 г. для уравнений четвертой и пятой степени.
Поскольку критерий Рауса был разработан в форме алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых
для решения задачи, использование его на практике было не удобным.
6
Поэтому большее распространение получил критерий устойчивости,
сформулированный в 1895 г. А. Гурвицем по просьбе словацкого профессора Стодолы, занимавшегося регулированием процессов в турбинах.
Рассмотрим без доказательства критерий устойчивости Гурвица.
Для характеристического уравнения (6.7) составим квадратную матрицу
(таблицу) коэффициентов, содержащую n строк и n столбцов.
(Слайд 12)
При построении матрицы руководствуются следующими правилами.
1. По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов выписываются все коэффициенты по порядку от а1 до аn.
2. Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими
индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными
и четными индексами.
3. В случае отсутствия данного коэффициента, если индекс меньше
нуля или больше n, на месте его пишется нуль.
(Слайд 13)
a1 a3
a0 a2
0 a1
0 a0
0 0
... ...
0 0
0 0
a5
a4
a3
a2
a1
...
0
0
...
0
0
...
0
0
...
0
0
...
0
0
...
0
0
... ... ... ...
...
...
an 1 0
...
0
an
(6.12)
Критерий устойчивости сводится к тому, что при а0 > 0 должны быть
больше нуля все n определителей Гурвица, полученных из квадратной матрицы коэффициентов.
(Слайд 14)
Определители Гурвица составляются по следующему правилу из
(6.12).
1  a1 ;
2 
a1
a0
a1
3  a0
0
7
(6.13)
a3
;
a2
a3
a2
a1
(6.14)
a5
a4 .
a3
(6.15)
(Слайд 15)
Последний определитель Δn включает в себя всю матрицу. Но так как в
последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю,
то последний определитель выражается через предпоследний следующим
образом:
Δn = аn Δn-1 .
(6.16)
Но в устойчивой системе предпоследний определитель тоже должен
быть больше нуля, поэтому условие положительности последнего определителя сводится к аn > 0.
Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравнивая нулю последний определитель Δn = 0, при положительности всех остальных определителей. Как следует из (6.16), это условие
распадается на два: аn = 0 и Δn-1 = 0. Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическая граница устойчивости) и
второе – границе второго типа (колебательная граница устойчивости).
6.3. Критерий устойчивости Михайлова
(Слайд 16)
Рассмотрим отдельно левую часть характеристического уравнения
(6.7), которая представляет собой характеристический полином
D  p   a0 pn  a1 pn 1  ...  an 1 p  an .
(6.17)
Подставим в этот полином чисто мнимое значение p = j, где  представляет собой угловую частоту колебаний, соответствующих чисто мнимому корню характеристического решения. В этом случае получим характеристический комплекс
D  j  U    jV   ,
(6.18)
(Слайд 17)
где вещественная часть будет содержать четные степени частоты
U    an  an  2 2  ... ,
(6.19)
а мнимая – нечетные степени частоты
V    an 1  an 3 3  ... .
(6.20)
Если заданы все коэффициенты и определенное значение частоты ,
то величина D(j) изобразится на комплексной плоскости в виде точки с
координатами U и V или в виде вектора, соединяющего эту точку с началом координат. Если же значение частоты  менять непрерывно от нуля
8
до бесконечности, то вектор будет изменяться по величине и направлению, описывая своим концом некоторую кривую (годограф), которая называется кривой Михайлова (рис. 6.4).
(Слайд 18)
Практически кривая Михайлова строится по точкам, причем задаются
различные значения частоты  и по формулам (6.19), (6.20) вычисляются
U() и V(). Результаты расчетов сводятся в табл. 6.1.
Таблица 6.1
Построение кривой Михайлова

0
…
∞
U
an
…
∞
V
0
…
∞

2

V
1 = 0
3
5
an
U
4
По этой таблице строится
сама кривая (рис. 6.4).
(Слайд 19)
Определим, чему должен
равняться угол поворота  вектора D(j) при изменении частоты  от нуля до бесконечности. Для этого запишем характеристический полином в виде
произведения сомножителей
D  p   a0  p  1  p  2  ...
...  p  n 
Рис. 6.4. Годограф Михайлова
,
(6.21)
где 1 – n – корни характеристического уравнения.
Характеристический вектор можно тогда представить в следующем виде:
D  j  a0  j  1 
 j   2 
...  j  n  .
(6.22)
Каждая из скобок представляет собой комплексное число. Следовательно, D(j) представляет собой произведение n комплексных чисел. При
перемножении аргументы комплексных чисел складываются.
(Слайд 20)
9
Поэтому результирующий угол поворота вектора D(j) будет равен
сумме углов поворота отдельных сомножителей (6.22) при изменении частоты  от нуля до бесконечности
  1   2  ...   n .
(6.23)
Определим каждое слагаемое в (6.22) по отдельности. Для обобщения
задачи рассмотрим различные виды корней.
(Слайд 21)
1. Пусть какой-либо корень, например 1, является вещественным и
отрицательным, то есть 1 = –1. Сомножитель в выражении (6.22),
определяемый этим корнем, будет иметь вид (1 + j). Построим годограф
этого вектора на комплексной плоскости при изменении частоты  от нуля
до бесконечности (рис. 6.5, а). При  = 0 вещественная часть U = 1, а
мнимая V = 0. Этому соответствует точка А, лежащая на вещественной
оси. При   0 вектор будет так изменяться, что его вещественная часть
будет по-прежнему равна , а мнимая V =  (точка В на графике). При увеличении частоты до бесконечности вектор уходит в бесконечность, причем
конец вектора все время остается на вертикальной прямой, проходящей
через точку А, а вектор поворачивается против часовой стрелки.
а
б
V

1  
2

В
В
A
0
0
1
V
 

1  
2
A
0
U
1
0
U
Рис. 6.5. Вещественные корни
Результирующий угол поворота вектора 1 = +( / 2).
2. Пусть теперь корень 1 является вещественным и положительным, то есть 1 = +1.Тогда сомножитель в (6.22), определяемый этим
корнем будет иметь вид (–1 + j). Аналогичные построения (рис. 6.5, б)
показывают, что результирующий угол поворота будет 1 = –( / 2). Знак
минус показывает, что вектор поворачивается по часовой стрелке.
(Слайд 22)
3. Пусть два сопряженных корня, например 2 и 3, являются комплексными с отрицательной вещественной частью, то есть
10
2;3 = – ± j. Аналогично сомножители в выражении (6.22), определяемые
этими корнями, будут иметь вид ( – j + j)( + j + j).
При  = 0 начальные положения двух векторов определяются точками
А1 и А2 (рис. 6.6, а). Первый вектор повернут относительно вещественной
оси по часовой стрелке на угол, равный arctg( / ), а второй вектор – на
тот же угол против часовой стрелки. При постепенном увеличении  от нуля до бесконечности концы обоих векторов уходят вверх в бесконечность и
оба вектора в пределе сливаются с мнимой осью.
Результирующий угол поворота первого вектора 2 = ( / 2) + . Результирующий угол поворота второго вектора 3 = ( / 2) – . Вектор, соответствующий произведению ( – j + j)( + j + j) повернется на угол
2 + 3 = 2 / 2 = .
4. Пусть те же комплексные корни имеют положительную вещественную часть, то есть 2;3 = + ± j.
Проводя построение аналогично рассмотренному ранее случаю
(рис 6.6, б), получим результирующий угол поворота 2 + 3 = –2 / 2 = –.
Таким образом, если характеристическое уравнение будет иметь f корней с положительной вещественной частью, то, каковы бы ни были эти
корни (вещественные или комплексные), им будет соответствовать сумма
углов поворотов, равная –f( / 2). Всем же остальным (n – f) корням характеристического уравнения, имеющим отрицательные вещественные части,
будет соответствовать сумма углов поворотов, равная +(n – f)( / 2). В результате общий угол поворота вектора D(j) при изменении частоты  от
нуля до бесконечности по формуле (6.23) будет иметь вид
 = (n – f)( / 2) – f( / 2) = n ( / 2) – f .
a
V
б

3 
2 


2
V
 


2
3
A2
2
A2
U
0

(6.24)
0
A1
A1
U

Рис. 6.6. Комплексные корни
Этим выражением и определяется искомая связь между формой кривой Михайлова и знаками вещественных частей корней характеристиче11
ского уравнения. В 1936 г. А.В. Михайловым был сформулирован следующий критерий устойчивости для линейных систем любого порядка.
Для устойчивости системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы вектор D(j), описывающий кривую Михайлова, при
изменении  от нуля до бесконечности имел угол поворота
 =n ( / 2).
Эта формулировка непосредственно вытекает из (6.24). Для устойчивости системы необходимо, чтобы все корни лежали в левой полуплоскости. Отсюда определяется требуемый результирующий угол
поворота вектора.
Критерий устойчивости Михайлова формулируется следующим образом: для устойчивости линейной САР необходимо и достаточно,
чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от нуля до
бесконечности, начавшись на положительной полуплоскости и не
пересекая начала координат, последовательно пересек столько
квадрантов комплексной плоскости, какой порядок имеет полином
характеристического уравнения системы.
(Слайд 23)
Оказывается, что кривая Михайлова
V
n=2
для устойчивых систем всегда имеет
плавную спиральную форму, причем коn= 5
нец ее уходит в бесконечность в том
квадранте комплексной плоскости, номер которого равен степени характеристического уравнения (рис. 6.7). Больше
 0
U
0
чем n число квадрантов кривая Михайлова вообще не может пройти. Поэтому
неустойчивость системы всегда связана
с тем, что в кривой Михайлова нарушается последовательность прохождения
n=3
квадрантов, вследствие чего угол поворота вектора D(j) оказывается меньше,
Рис. 6.7. Устойчивые САР
чем n ( / 2) (рис. 6.8).
(Слайд 24)
Для устойчивой системы кривая Михайлова проходит последовательно
n квадрантов комплексной плоскости.
Наличие границы устойчивости всех трех типов может быть определено по кривой Михайлова следующим образом.
При наличии границы устойчивости первого типа (нулевой корень)
отсутствует свободный член характеристического полинома an = 0, и кривая Михайлова выходит из начала координат (рис. 6.9, кривая 1)
При границе устойчивости второго типа (колебательная граница
устойчивости) левая часть характеристического уравнения, то есть характеристический полином, обращается в нуль при подстановке p = j0
12
(6.25)
D(j0) = X(0) + Y(0) = 0.
Откуда вытекают два равенства: X(0) = 0; Y(0) = 0. Это значит, что
точка  = 0 на кривой Михайлова попадает в начало координат (рис. 6.9,
кривая 2). При этом величина 0 есть частота незатухающих колебаний
системы.
Для границы устойчивости третьего типа (бесконечный корень) конец кривой Михайлова перебрасывается (рис. 6.9, кривая 3) из одного
квадранта в другой через бесконечность. При этом коэффициент а0 характеристического полинома (6.7) будет проходить через нулевое значение,
меняя знак с плюса на минус.
n=3
V
V
2
1
n=4
3
n=4
0
0
0
U
n=3
a0 < 0
Рис. 6.8. Неустойчивая САР
a0 = 0
1
2
3 U
a0 > 0
Рис. 6.9. Границы устойчивости
6.4. Критерий устойчивости Найквиста
(Слайд 25)
В 1932 году Найквистом, был предложен принципиально иной критерий
устойчивости. Критерий Найквиста – это графо аналитический критерий,
который позволяет делать вывод об устойчивости или неустойчивости замкнутой системы в зависимости от вида амплитудно-фазовой и логарифмической частотных характеристик разомкнутой системы.
Пусть передаточная функция разомкнутой САР представлена в виде
W  p 
B p 
,
C p
(6.26)
тогда рассмотрим вспомогательную функцию
1  W  p 
B p   C  p 
.
C p
13
(6.27)
Числитель этой функции представляет собой левую часть характеристического уравнения замкнутой системы, а знаменатель левую часть характеристического уравнения разомкнутой системы.
(Слайд 26)
Рассмотрим годограф вспомогательной функции при изменении значение частоты  непрерывно от нуля до бесконечности
1  W  j  1  W  j e j  
B j  C  j j 
,
e
C  j
(6.28)
где   1    2  , 1  - аргумент функции B j  C  j (замкнутая
система),  2  - аргумент функции C  j (разомкнутая система).
(Слайд 27)
Требования устойчивости САУ в замкнутом состоянии выразятся в равенстве (критерий Михайлова)
1  
n
, 0     , но   1    2  .
2
(6.29)
Пусть система в разомкнутом состоянии неустойчива и имеет l корней в
правой полуплоскости. Тогда из критерия Михайлова следует

 2   n  2l  , 0     ,
2
(6.30)
следовательно для неустойчивой системы
 
n
 l
 n  2l    2 .
2
2 2
(6.31)
Так как вспомогательная функция 1  W i отличается от частотной
характеристики W  j разомкнутой системы лишь на + 1, то условие
устойчивости (6.31) можно непосредственно перенести на W  j . Таким
образом получим критерий устойчивости Найквиста:
Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф разомкнутой системы W  j при изменении значения частоты  непрерывно от нуля до бесконечности охватывал l/2 раз в положительном направлении точку (-1, j0), где l – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.
(Слайд 28)
В частном случаи, если разомкнутая система устойчива, критерий Найквиста представляется в виде:
14
Если разомкнутая система устойчива (l = 0), то для устойчивости
замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф W  j при изменении значения частоты  непрерывно от нуля
до бесконечности охватывал точку (-1, j0), как показано на рис. 6.10, а.
V
-1
∞
0
V
U
-1
0
∞
0
U
0
б
a
V
-1
∞
0
U
Рис. 6.10. АФЧХ разомкнутой
системы для устойчивой (а),
неустойчивой (б) и находящейся
на границе устойчивости (в)
замкнутой системы управления
0
в
Если замкнутая система неустойчива, то в полиноме B j  C  j появляются сомножители второго порядка, дающие корни с положительной
действительной частью, тогда АФЧХ разомкнутой системы охватывает
точку (-1, j0) (рис. 6.10, б).
В случаи если система находится на границе устойчивости, то в полиноме B j  C  j , нет корней с положительной вещественной частью, но
имеется пара чисто мнимых корней. В таком состоянии годограф АФЧХ
разомкнутой системы проходит через точку (-1, j0) (рис. 6.10, в).
6.5. Определение устойчивости по логарифмическим
характеристикам
Для определения устойчивости по логарифмическим характеристикам
используется критерий устойчивости Найквиста, но строится не амплитудно-фазовая характеристика САР, а логарифмическая амплитудная частотная характеристика и логарифмическая фазовая частотная характеристика разомкнутой системы.
15
(Слайд 29)
Построение ЛАХ выполняется по выражению
L() = 20 lg A() = 20 lg W(j).
(6.32)
В абсолютно устойчивых системах фазовый сдвиг может достигать
значения  = –180 только при модулях, меньших чем единица. В условно
устойчивых системах фазовый сдвиг может достигать –180 чётное число
раз (два, четыре и т. д.) (рис. 6.11, в).
а
б
L 
1
0
-180 ,0
2
L 
 
 
1
0
-180 ,0
2

в
L 
0
-180 ,0

г

1; 2

L 
0
-180 ,0
2

1

Рис. 6.11. Примеры ЛАХ и ЛФХ разомкнутых САР
Это позволяет легко определить устойчивость по виду ЛАХ и ЛФХ
разомкнутой системы.
На рис. 6.11, а изображен случай абсолютно устойчивой системы. Точка пересечения ЛАХ с осью нуля децибел (точка 1) лежит левее точки, где
фазовый сдвиг достигает значения  = –180 (точка 2).
На рис. 6.11, б изображен случай условно устойчивой системы. Точка 1
по-прежнему лежит левее точки 2, но фазовый сдвиг достигает значения
 = –180 дважды при модулях, больших чем единица (точки 3 и 4).
На рис. 6.11, в изображен случай колебательной границы устойчивости
и на рис. 6.11, г – случай неустойчивой системы.
16
6.6. Корректирующие и стабилизирующие звенья (регуляторы)
(Слайд 30)
Для достижения точности работы системы и увеличения ее устойчивости, можно изменить ее структуру путем добавления в нее, корректирующих и стабилизирующих звеньев. Так называемых регуляторов.
Различают шесть основных видов регуляторов
 Пропорциональные (П)
 Интегральные (И)
 Дифференциальные (Д)
 Пропорционально-интегральные (ПИ)
 Пропорционально-дифференциальные (ПД)
 ПИД
Рассмотрим все регуляторы по порядку.
(Слайд 31)
1. Пропорциональный
Пропорциональный регулятор реализуется на основе безынерционного
звена и имеет следующую передаточную функцию
Wðåã  p   k ðåã  k Ï ,
(6.33)
где k Ï – пропорциональная составляющая передаточного коэффициента.
Преимуществами такого регулятора являются быстродействие и простота реализации, но он в тоже время обладает ограниченной точностью.
2. Интегральный
Передаточная функция интегрального регулятора имеет вид
W ðåã  p  
k ðåã
kÈ
,

p TÈ p
(6.34)
где k È – интегральная составляющая передаточного коэффициента, TÈ –
постоянная времени интегрирования.
При использовании такого типа регуляторов в системе сглаживаются
кратковременные выбросы отклонения, и увеличивается (по сравнению с
предыдущим) точность в установившемся режиме. В тоже время большая
чем у пропорционального регулятора колебательность, приводит к понижению точности в переходных режимах.
3. Дифференциальный
Передаточная функция интегрального регулятора имеет вид
Wðåã  p   k Ä p  k ðåãTÄ p ,
17
(6.35)
где k Ä – дифференциальная составляющая передаточного коэффициента, T Ä – постоянная времени дифференцирования.
На практике подобный тип регулятора почти не применяется, из-за не
возможности практической реализации идеального дифференцирующего
звена, но при необходимости возможно использование такого регулятора в
виде инерционного интегрирующего звена с введением дополнительной
постоянной времени.
(Слайд 32)
4. Пропорционально-интегральный
Передаточная функция такого регулятора имеет вид
W ðåã  p   k Ï 
k ðåã k ðåã TÈ p  1
kÈ
 k ðåã 

.
p
TÈ p
TÈ p
(6.36)
Такой регулятор обеспечивает высокую точность в установившемся
режиме, а точность в динамическом режиме зависит от соотношения пропорциональной и интегральной составляющих передаточного коэффициента.
5. Пропорционально-дифференциальный
Передаточная функция такого регулятора имеет вид
W ðåã  p   k Ï  k Ä p  k ðåã  k ðåãTÄ p  k ðåã 1  T Ä p  .
(6.37)
Пропорционально-дифференциальный регулятор реагирует не только
на величину сигнала ошибки, но и на скорость его изменения, то есть введение в систему ПД регулятора позволяет упреждать появления отклонений. Благодаря этому ПД регулятор обладает наибольшим быстродействием, но при этом снижается точность в установившемся режиме.
6. ПИД-регулятор
Передаточная функция ПИД-регулятора имеет вид


k ðåã TÈ TÄ p 2  ÒÈ p  1
kÈ
,
Wðåã  p   k Ï 
 kÄ p 
p
TÈ p
(6.38)
где коэффициенты связаны соотношениями
k Ï  k ðåã , k È  k ðåã / ÒÈ и k Ä  k ðåãÒÄ .
(6.39)
ПИД-регулятор, объединяет в себе все преимущества рассмотренных
регуляторов. Но его применение далеко не всегда целесообразно из-за
сложности его технической реализации.
18
Все передаточные коэффициенты и постоянные времени входящие в
состав любого регулятора, называются подстроечными параметрами.
19