по общему курсу математики

СУНЦ 26.XI.2007г.
2007-08 уч. г.
11 класс
УТВЕРЖДАЮ:
ЗАВ. КАФЕДРОЙ «ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ»
профессор С.С.Граськин
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ
ПО ОБЩЕМУ КУРСУ МАТЕМАТИКИ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Множества и соответствия
1.* Множество, его характеристическое свойство. Способы задания. Привести
примеры.
2.* Операция пересечения множеств. Доказать коммутативность и ассоциативность пересечения, дистрибутивность относительно объединения. Привести
примеры.
3.* Операция объединения множеств. Доказать коммутативность и ассоциативность объединения, дистрибутивность относительно пересечения. Привести
примеры.
4.* Операция разности множеств. Доказать антидистрибутивность разности
относительно объединения множеств. Привести примеры.
5.* Функциональное соответствие. Области определения и значений.
Привести примеры.
6.* Взаимно обратные соответствия, их свойства. Привести примеры.
Общие свойства функций
7.* Действительная функция одного действительного переменного. Способы
задания. Монотонность, ограниченность, четность, нечетность, периодичность.
Понятие сложной функции. Привести примеры.
8.* Обратная функция. Необходимое и достаточное условие обратимости.
Доказать признак обратимости функции.
9. * Доказать теорему о графиках взаимно-обратных функций. Отыскание
обратных для алгебраических и трансцендентных функций. Привести примеры.
10.* Четные и нечетные функции. Доказать теоремы об их графиках. Доказать
арифметические теоремы об указанных функциях. Привести примеры.
11.* Периодические функции. Основной период. Доказать теорему о связи
периода функции y=f(kx) с периодом функции y=f(x). Привести примеры.
12.* Периодические функции. Доказать арифметические теоремы о
периодических функциях. Доказать теорему о периодичности сложной функции
от периодической функции. Привести примеры.
1
Числовые последовательности
13.* Модуль числа. Доказать неравенство о модуле суммы. Доказать неравенство
о модуле разности. Доказать теорему о модуле произведения и частного двух
чисел.
14.* Арифметическая прогрессия. Доказать характеристическое свойство.
Вывести формулу общего члена и суммы первых n-членов прогрессии.
15.* Геометрическая прогрессия. Доказать характеристическое свойство. Вывести
формулу общего члена и суммы первых n-членов прогрессии.
Вывести формулу для суммы членов бесконечной убывающей геометрической
прогрессии.
Непрерывность функции в точке
16.* Дать определение непрерывности функции в точке. Доказать арифметические теоремы о непрерывных функциях и непрерывность суперпозиции
непрерывных функций.
17.* Непрерывность функции в точке. Дать классификацию точек разрыва
(первого и второго рода). Непрерывность элементарных функций в области их
определения.
Производная функции в точке
18.* Производная, её геометрический смысл. Вывести формулы касательной и
нормали к графику функции в точке.
19.* Дифференцируемость функции в точке. Доказать необходимое и
достаточное условие дифференцируемости функции. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке. Таблица производных
основных элементарных функций.
20.* Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Правила
нахождения дифференциала. Таблица дифференциалов основных функций.
Привести примеры.
21.*Вывести формулу для производной степенной функции и показательной
функции.
22.* Вывести формулу для производной логарифмической функции.
23.* Вывести формулы для производной функции синус, функции косинус,
функции тангенс и функции котангенс.
24.* Вывести формулу для производной функции арксинус, функции арккосинус,
функции арктангенс и функции арккотангенс.
Основные теоремы дифференциального исчисления
25.* Дать определения максимума и минимума функции в точке. Доказать
необходимое условие экстремума функции в точке (теорему Ферма).
Дать определения стационарных и критических точек функции.
2
26.* Доказать теорему Ролля и теорему Лагранжа о конечном приращении
функции. Рассказать о геометрической интерпретации этих теорем.
27.* Выпуклость вниз и выпуклость вверх графика функции в точке. Точки
перегиба графика функции.
28.* Доказать достаточные условия максимума и минимума функции в точке.
29.* Наибольшее и наименьшее значения функции на числовом множестве.
I-я теорема Вейерштрасса об ограниченности функции, непрерывной на
отрезке. II-я теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях
функции непрерывной на отрезке.
30.* Вертикальные и наклонные асимптоты. Вывести формулы для углового
коэффициента и смещения наклонной асимптоты. Доказать необходимое и
достаточное условия существования асимптоты.
31.* Сформулировать основные положения схемы исследования свойств и построения графика функции.
Определенный и неопределенный интегралы
32.* Дать определение первообразной функции. Доказать теорему о первообразных. Неопределенный интеграл. Доказать его свойства. Привести примеры.
33.* Вывести таблицу неопределенных интегралов основных элементарных
функций.
34* Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Сформулировать и
доказать свойствa определенного интеграла.
35.* Доказать теорему о производной интеграла по переменному верхнему
пределу. Доказать формулу Ньютона-Лейбница.
АЛГЕБРА
Линейная функция
36.* Доказать свойства линейной функции и построить ее график. Привести
примеры. Прямая на плоскости. Доказать теорему о линейности уравнения
прямой.Вывести уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Доказать условие параллельности и условие перпендикулярности прямых.
Вывести формулу для тангенса угла между прямыми.
Квадратичная функция.
37.* Квадратный трёхчлен. Выделение полного квадрата. Привести примеры.
Вывести формулы для его корней. Дискриминант. Доказать прямую и обратную
теоремы Виета.
38.* Доказать теорему о разложении на линейные множители квадратного трёхчлена. Построение графика квадратного трёхчлена по его коэффициентам.
39.* Доказать необходимое и достаточное условие того, что:
− данное число  меньше корней квадратного уравнения;
− данное число  расположено между корнями квадратного уравнения.
3
− данное число  больше корней квадратного уравнения.
− данное число  совпадает с меньшим (большим) корнем квадратного
уравнения.
Теория многочленов
40.* Свойства и график многочлена. Действия над многочленами. Алгоритм
деления многочленов с остатком (алгоритм Евклида).
41.* Сформулировать и доказать теорему Безу. Следствия. Схема Горнера.
42.* Понятие простого и кратного корней многочлена. Доказать теорему о целом
и рациональном корнях многочлена с целыми коэффицентами.
43.* Сформулировать основную теорему алгебры. Следствие о разложении
многочлена n-ой степени в произведение n линейных сомножителей. Следствие о
количестве корней многочлена n-ой степени.
44.* Многочлен с действительными коэффицентами. Леммы о комплексносопряженных корнях и о делимости многочлена на квадратный трёхчлен с действительными коэффицентами. Следствие основной теоремы о разложении многочлена в произведение неприводимых сомножителей.
Дробно-рациональная функция
45.* Правильная и простейшие рациональные дроби. Теорема о представлении
рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби.
Степенная и показательная функции
46. * Свойства степени числа с натуральным показателем. Степенная функция с
натуральным показателем, ее свойства и график.
47.* Доказать свойства степени числа с целым показателем. Степенная функция с
целым показателем, ее свойства и график.
48.*Арифметический и алгебраический корень. Показать на примере существование арифметического корня.
Степенная функция y= n x , доказать ее свойства и построить график.
49.* Свойства степени числа с рациональным показателем. Степенная функция с
рациональным показателем, доказать свойства и построить ее график.
50.* Показательная функция, доказать свойства и построить ее график.
Логарифм числа и логарифмическая функция
51.* Дать определение логарифма числа. Основное логарифмическое тождество.
Доказать теорему о логарифме произведения, частного, степени.
52.* Доказать теорему о логарифме числа по основанию a.
53.* Доказать теорему о переходе к новому основанию.
54.* Логарифмическая функция, доказать свойства и построить ее график.
Теория решений уравнений и неравенств
55.*Высказывание. Операции над высказываниями. Доказать теоремы о проносе
4
отрицания через логические связки.
56.* Дать определение видов теорем: прямой, обратной, противоположной.
Доказать теорему о связи между прямой теоремой и теоремой, противоположной
к обратной. Привести примеры.
57.* Методы доказательства теорем. Сформулировать метод доказательства «от
противного». Сформулировать принцип математической индукции.
58.* Дать определение равносильности уравнений на множестве. Доказать
теорему о равносильности прибавления (вычитания) к обеим частям уравнения
некоторой функции. Следствия. Привести примеры.
59.* Дать определение равносильности уравнений на множестве. Доказать
теорему о равносильности при умножении обеих частей уравнения на некоторую
функцию. Привести примеры.
60.* Дать определение равносильности неравенств на множестве. Доказать
теорему о равносильности прибавления (вычитания) к обеим частям неравенства
некоторой функции. Следствия. Привести примеры.
61.* Дать определение равносильности неравенств на множестве. Доказать
теорему о равносильности при умножении обеих частей неравенства на
некоторую функцию. Привести примеры.
62.* Доказать терему о равносильности преобразования уравнения, левая часть
которого есть сумма квадратов некоторых функций, а правая часть − нуль.
Привести примеры.
63.* Доказать теорему о решениях уравнения (неравенства), если его область
определения можно представить в виде объединения нескольких подмножеств.
Следствия для уравнений (неравенств) с модулем. Привести примеры.
ТРИГОНОМЕТРИЯ
64.*Понятие угла. Измерение углов. Направленные углы. Числовая окружность.
Соответствие между множеством действительных чисел и мерой угла в радианах.
Геометрическая интерпретация тригонометрических функций синус, косинус,
тангенс и котангенс на координатной окружности.
65.* Функция синус, доказать ее свойства и построить график.
66.* Функция косинус, доказать ее свойства и построить график.
67.* Функция тангенс, доказать ее свойства и построить график.
68.* Функция котангенс, доказать ее свойства и построить график.
69.* Доказать основное тригонометрическое тождество и его следствия.
70.* Доказать теоремы сложения. Вывести формулы приведения.
71.* Вывести формулы двойных и половинных углов.
72.* Вывести формулы тригонометрических функций через тангенс половинного
угла.
5
73.* Вывести формулы преобразования суммы тригонометрических функций в
произведение. Вывести формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.
74.* Вывести формулы для квадрата синуса и косинуса через косинус двойного
угла.
75.* Функция y=arcsin x, ее свойства и график. Связь с другими обратными
тригонометрическими функциями.
76.* Функция y=arccos x, ее свойства и график. Связь с другими обратными
тригонометрическими функциями.
77.* Функция y=arctg x, ее свойства и график. Связь с другими обратными
тригонометрическими функциями.
78.* Функция y=arcctg x, ее свойства и график. Связь с другими обратными
тригонометрическими функциями.
79.* Решение простейших тригонометрических уравнений:
sin x=a; cos x=a; tg x=a; ctg x=a.
СТЕРЕОМЕТРИЯ
80.* Аксиоматический метод. Основные понятия и отношения. Независимость,
полнота и непротиворечивость системы аксиом.
81.* Аксиоматика Г. Вейля-П.К. Рашевского построения геометрии. Основные
понятия, отношения и группы аксиом.
82.*. Аксиомы связи. Правило треугольника сложения векторов. Доказать теорему
о независимости суммы векторов от начальной точки.
83.* Доказать коммутативность сложения векторов. Правило параллелограмма
сложения векторов.
84.* Доказать ассоциативность сложения векторов. Правило многоугольника
сложения векторов.
85.* Правило вычитания векторов. Доказать существование разности векторов.
АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО
86.*Аффинное пространство. Базис. Размерность. Привести примеры аффинных
пространств различной размерности. Доказать теорему о существовании и единственности разложения вектора по произвольному базису. Координаты векторов.
87.*Аффинное пространство.Доказать теорему о координатах суммы векторов.
Доказать теорему о координатах вектора, умноженного на число.
88.*Доказать теорему о разложении радиуса-вектора точки, делящей отрезок в
данном отношении.
89.* Определение прямой. Вывести различные виды уравнения прямой (векторное, параметрическое, каноническое, как пересечение двух плоскостей). Привести примеры.
90.* Определение плоскости. Вывести уравнение плоскости.
6
91.* Взаимное расположение прямых в пространстве. Доказать существование и
признак параллельности прямых.
92.* Взаимное расположение прямых в пространстве. Доказать существование и
признак пересекающихся прямых.
93.* Взаимное расположение прямых в пространстве. Доказать признак
скрещивающихся прямых.
94.* Параллельные плоскости. Сформулировать признаки параллельности
плоскостей.
95. * Параллельность прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и
плоскости. Доказать теорему о параллельности линий пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью.
96.* Параллельность прямой и плоскости. Доказать теорему о параллельности
линии пересечения двух пересекающихся плоскостей прямой, параллельной
каждой из этих плоскостей.
МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
97.* Аксиомы скалярного произведения. Длина вектора. Орты. Доказать теорему
о нормировании вектора. Доказать неравенство Коши-Буняковского.
98.* Перпендикулярность в пространстве. Признак перпендикулярности прямой
и плоскости.
99.* Ортогональное проектирование в пространстве. Теорема о трёх перпендикулярах.
100.* Двугранные углы. Измерение двугранных углов. Теорема о площади
проекции многоугольника.
101.* Расстояние между геометрическими фигурами. Вывести формулу для
вычисления расстояния от точки до плоскости.
102.* Расстояние между геометрическими фигурами. Вывести формулу для
вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми. Доказать теорему
существования и единственности общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым.
103.* Различные виды уравнений плоскости (векторное, параметрическое,
нормальное, через три заданные точки, в отрезках). Привести примеры.
ПРИМЕЧАНИЕ
Зачетный билет содержит четыре вопроса по теории и четыре задачи.
Подготовлено доцентом В.Е.Епихиным на 7 стр.
7