3 1 ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. 1.1 Модуль числа и его свойства. Определение: Модулем числа “ x ” называют x= если если x, x , x >=0 x<0 Свойства модуля. 1. x 0 2. - x x x 3. x = - x 4. Если x < b, b>0, то -b< x <b 5. Если x > b, b>0, то x <-b или x >b 6. x + y x+y Доказательство: -x < x < x; - y < y < y ; откуда -x+y x + y < x + y и, следовательно, x + y x+y 7. x - y x-y Доказательство: x = y + (x – y) x = y + (x – y) y + x – y , откуда x - y x-y 8. x*y = x*y 9. x / y = x/y при условии y 0 10. x 2 = x 1.2 Числовые последовательности. Определение. Упорядоченное бесконечное множество чисел, каждое из которых имеет свой номер, называют числовой последовательностью. Например. x1, x2, ………, xn, ……., где x1, x2, ………, xn, - члены последовательности. {xn} - последовательность. xn – общий член последовательности. Пример. {2n} – 2,4,6,8,…. – все четные числа. { 1/n } – 1,1/2,1/3,1/4, …….. Обычно последовательность задают либо при помощи формулы, либо перечислением элементов данной последовательности: Пример. xn = 1 + (-1)n или 0, 2, 0, 2, 0, ………. 4 Определение. Последовательность { xn} называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M (m), что любой член данной последовательности меньше или равен этого M (m) xnM (либо больше (xn m)). Пример. { 1/n } – 1,1/2,1/3,1/4, …….., xn 1 , ограничена сверху. {n} – 1, 2, 3, 4, …….., xn 1 , ограничена снизу. Определение. Последовательность называется ограниченной, если существует такое число , для которого выполняется следующее равенство xn < . Определение. Пределом последовательности {xn} называют число такое, что для него выполняется следующее условие: Для любого положительного числа существует такой номер N, что для всех номеров больших или равных n N, выполняется следующее неравенство: xn - < , = lim x n >0 Nn (n N | xn-|< ) . n или | xn -|< , - < xn - < , - < xn < + . Начиная с номера N все члены последовательности попадают в -окрестность точки : xn + Примеры. 1. {C} : >0 Nn (n N | xn -|< ), т.е. |C-C|< , lim C C >0 . . n 2. n n 1 : 1 2 3 ; ; ; …. 2 3 4 , n 1 lim n 1 n Определение. Последовательность { xn} называется бесконечно большой, если: A >0 Nn (n N lim x n , | xn |>A ), т.е. если, начиная с некоторого номера, все чле- n ны последовательности положительные, то lim x n ; n 5 если отрицательные, то lim x n . n Определение. Последовательность {xn} называется бесконечно малой, если для любого положительного числа существует такое N: >0 Nn (n N Пример. lim x n 0 |xn|< ), т.е. n 1 1 : lim 0 n n n Теорема 1. Если последовательность {xn} бесконечно большая и все члены данной последовательности отличны от 0, то последовательность {1/xn} будет бесконечно малой. Если последовательность {xn} бесконечно малая, то последовательность {1/xn} будет бесконечно большой. Доказательство. { xn} –б.б. A >0 Nn (n N 1 рассмотрим , xn | xn|>A . 1 1 1 0 , т.е. = xn A xn 1 ), т.е. xn бесконечно малой последовательности. >0 Nn (n N 1 - б.м. по определению xn Теорема доказана. Теорема 2. Произведение б.м. последовательности на ограниченную последовательность, есть последовательность б.м. Доказательство. 1.{ xn} 2.{ n } - ограниченная последовательность. - б.м. последовательность 1. | xn| < m 2. >0 Nn (n N { xn* n }. n ) , Рассмотрим x n * n xn * n m * 1 0 . 1 >0 Nn (n N и требовалось доказать. x n * n 1 ) { xn* n } б.м., что 6 1.3 Свойства пределов. Необходимые и достаточные условия существования предела последовательности. Теорема 1. Если последовательности { a n } и { b n } имеют пределы, то lim (a n bn ) lim a n lim bn . n n n Доказательство. a lim a n , 1 >0 N1n (n N1 n a 1 ) b lim bn , 2 >0 N2n (n N2 bn b 2 ) n n Рассмотрим последовательность a n bn . a n bn a b a n a bn b a n a bn b 1 2 3 . a n bn a b 3 3 >0 N3n (n N3 ), lim (a n bn ) a b lim a n lim bn , при этом n n n N3 = max{N1, N2}, что и требовалось доказать. Теорема 2. (Необходимые и достаточные условия существования предела последовательности): Необходимость. Если lim a n a , то n n - б.м. последовательность. a n a n , где Достаточность. то Если a n a n , где n - б.м. последовательность, lim a n a . n Доказательство. an a ) ; 1) lim a n a , >0 Nn (n N n >0 N1n (n N a n a n n ) ; n - б.м., т.е. a n a n 2) a n a n ; lim a n lim a n lim a lim n a 0 a n n Теорема доказана. n n 7 lim a n a , Теорема 3. Если n lim bn b , тогда n lim (a n * bn ) lim a n * lim bn a * b n n n Доказательство. Пусть an a n , где { n } - б.м. последовательность. bn b n , где { n } - б.м. последовательность. a n * bn a * b a * n b * n n * n a * b n где n a * n b * n n * n - б.м. последовательность , lim (a n * bn ) a * b , откуда n что и требовалось доказать. Теорема 4. Сумма (произведение) двух б.м. (б.б.) последовательностей, есть последовательность б.м. (б.б.) Теорема 5. Если последовательность имеет предел, то она ограничена. Теорема 6. Если последовательность не возрастает и ограничена снизу, то она имеет предел. Если последовательность не убывает и ограничена сверху, то она имеет предел. Теорема 7. Если a lim n n b n lim a n a ; n lim bn b , ( bn 0 , b 0 ) то n a b Примеры . Вычислить пределы следующих последовательностей. 1 1 1 1 2 lim 2 lim lim 2 n n n n n 2* n n 1 n n lim lim = n 3 * n 2 2 * n 3 n 2 3 2 3 3 2 lim 3 lim lim 2 n n n n n n n 2 2 200 2 300 3 2 1 lim 2 n n n n 2*n 1 0 lim 0 n 2 * n 2 n 3 1 3 2 lim 2 2 n n n lim 8 1.4 Число e. n 1 Рассмотрим последовательность a n 1 . n Докажем, что данная последовательность имеет предел, т.е. покажем, что последовательность не возрастает и ограничена снизу. Будем использовать неравенство Бернулли. 1 x n 1 n * x n N где , xR , , x 1 1 Рассмотрим последовательность y n 1 n жем, что данная последовательность имеет предел. 1 1 n n 1 и пока- n 1 yn n 1 n2 y n 1 n 1 1 n 1 n 2 2 * n 1 2 n 2 * n n2 n 1 n 1 * n 2 n2 n 1 * 1 n 1 n * n 2 n 12 n * n 1 n * n 2 n2 * n2 n n 1 (Применяем неравенство Бернулли.) 1 n 1 * 1 , n n 1 yn 1 y n y n 1 y n 1 откуда т.е. последовательность y n не возрастает. Из очевидного условия y n 0 следует, что последовательность y n имеет предел. lim 1 n 1 n an yn n 1 1 1 n e , ; число e 2.71.... lim a n n lim y n n lim 1 n 1 n e e , 1 9 таким образом 1 lim 1 n n n 1 n 1 e lim 1 . n n 1.5 Применение числа e в экономике. Предположим, что банк дает P% годовых, т.е. вложив в банк в начале года А0 рублей, к концу первого года мы получим сумму A1=A0*(1+r), P где r – норма процента r . 100 К концу n-ого года величина вклада возрастет до Аn=А0*(1+r )n Будем считать, что банк осуществляет начисление процента m раз в течение года через равные промежутки времени. Тогда в конце 1-го года мы получим m rm r A1 1 * A0 1 rm * A0 , m - годовая норма процента при таком начислении. где r - норма процента для промежутка времени соответствующего m. m Иногда в банке говорят о непрерывном начислении процента. Для этого случая необходимо вычислить предел: m r lim 1 rm lim 1 e r m m m В конце первого года при непрерывном начислении процентов мы получим A1 A0 * e r . Пример. Пусть r 1 , тогда P=100% . Если начисление производится один раз в год, то в конце первого года мы получим 100 A1 1 * A0 2 * A0 . 100 Если начисление непрерывно, то в конце первого года получаем A1 A0 * e 2.71 * A0 Отсюда следует очевидный вывод, что для вкладчика более выгодно непрерывное начисление процента. 10 2 ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 2.1 Понятие функции. Определение. Если каждому значению переменной x , принадлежащей некоторому множеству, соответствует вполне определенное значение другой переменной y , то y называют функцией переменной x y f x . x - независимая переменная, или аргумент функции , y - зависимая переменная. На плоскости функция изображается в виде графика, т.е. множества точек плоскости XY , координаты которых связаны отношением y f x , которое называется уравнением графика. Не любая линия на плоскости является графиком какой-либо функции. Y y1 X Пример: x0 y2 2 2 Данная линия x +y =1 не является графиком функции, т.к. одному значению x0 аргумента X соответствует два значения переменной Y - y1 и y2. 2.2 Примеры экономических функций. 1. q = Ф(p) – p – цена товара, q- спрос. Это функция спроса. 2. Производственные функции. Это функции, которые связывают вклад в производство (расходы) и выпуск продукции. 2.3 Способы задания функций. 1) Аналитический - это такой способ, при котором функция задается с помощью формулы: у = x2 . D(x) – множество всех значений X ; - область определения функции, E(y) – множество всех значений Y 0; - область значений функции. 2) Табличный. При этом способе выписываются в определенном порядке значения аргументов и соответствующие им значения функции: X Y x1 y1 x2 y2 x3 y3 …. xn …. yn 3) Графический. При этом способе функция задается при помощи графика. 11 2.4 Элементарные функции. К простейшим элементарным функциям относятся следующие функции: - постоянная C - const , y C , y xa , - степенная y ax , - показательная a 0, a 1 , y log a x , a 0 , a 1 , - логарифмическая - тригонометрические sinx; cosx; tgx; ctgx…. - обратные тригонометрические arcsinx; arccosx; arctgx; arcctgx . Все функции, которые получаются из простейших элементарных с использованием операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, посредством композиции функций, т.е. функции вида y=sin(x+2)2; y=sinu, u = (x+2)2; являются элементарными. 2.5 Предел функции в точке. Пусть функция f(x) определена на множестве Х. Рассмотрим последовательность аргумента данной функции: x1, x2, x3, …., xn, …., которая сходится к некоторому Хо. Рассмотрим последовательностей значений функции при перечисленных выше значениях Х: f(x1), f(x2), f(x3), …f(xn), … Определение. Число A называется пределом функции f(x), если последовательность значений функции, вычисленных при соответствующих значениях последовательности аргумента Х, сходится к числу А. Или Если для любой сходящейся к X0 последовательности аргумента существует соответствующая последовательность значений функции, которая сходится к числу A, то говорят, что функция имеет предел A при x x0 . A lim f ( x) x x0 По определению x n x 0 f ( x n ) A . 12 Примеры. 1) Рассмотрим функцию f(x)=С (равную константе): C, C, C,...... C , 2) f ( x) x x1 , x 2 ,....x n x 0 ; lim f ( x) C x x0 lim C C . x xn lim x x 0 . x x0 Существует второе определение предела функции в точке, которое равносильно первому. Определение 2. Число A называют пределом функции f (x) при x x 0 , если для любого положительного числа существует такое число , что для всех Х, удовлетворяющих неравенству 0 x x0 справедливо неравенство Y f ( x) A A+ A A- x0- x0 x0+ X A lim f ( x) , если 0 0x0 x x0 f ( x) A x x0 Из определения x x 0 f ( x) A x 0 x x 0 A f ( x) A 2.6 Односторонние пределы функции (правый и левый предел функции). Рассмотрим последовательность аргумента x n x1 , x 2 , x 3 ,...., x n ,... , lim x n x 0 . n Для данной последовательности составим последовательность f ( x1 ), f ( x 2 ),..., f ( x n ),... Рассмотрим функцию множестве X. f (x) , которая определена на некотором 13 Определение. Число A называют правым пределом функции в точке x 0 A lim f ( x) , если для любой, сходящейся к x последова 0 x x0 0 тельности аргумента, все элементы которой x n x 0 , соответствующая последовательность значений функции будет сходится к числу A . lim x n x 0 lim f ( x n ) A , n n xn x0 X x0 xi xi-1 Аналогично дается определение левого предела. A lim f ( x) lim x n x 0 lim f ( x n ) A , x x0 0 n n xn x0 . Можно дать другое определение левого и правого предела функции A lim f ( x) , 0 0xx0 x x0 f ( x) A . A lim f ( x) , 0 0xx0 x x0 f ( x) A . Пример. Y A B x x0 0 x x0 0 x0 lim x x0 0 f ( x) B , lim x x0 0 f ( x) A . Связь между односторонними пределами и пределом функции в точке определяется следующей теоремой. Теорема: Если функция f(x) имеет в точке x0 предел, то в этой точке существует правый и левый предел функции и они равны между собой и равны пределу функции в точке. lim f ( x) lim x x0 x x0 0 f ( x) lim x x0 0 f ( x) . Если существуют левый и правый предел функции в точке x0, и они равны между собой, то существует предел функции в этой точке и он равен односторонним пределам. 14 2.7 Предел функции на бесконечности. Определение. Число A называют пределом функции f(x) при x стремящемся к бесконечности A lim f ( x) lim f ( x) , если для люx x бой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к числу A. x n 0 x n 0 / , x n f ( x n) A Пример. Y 1 X lim f ( x) 1 x 2.8 Теоремы о пределах функции. Теорема 1. Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке x0 пределы, равные B и C, тогда функции f(x) g(x), f(x)*g(x), f(x)/g(x) (при условии g(x) 0) имеют в точке x0 пределы, равные B C, B*C, B/C (при C 0). числам Доказательство: Рассмотрим произвольную последовательность значений аргумента, которая имеет предел X0, и рассмотрим последовательность значений функции в этих точках f ( x n ) и g ( x n ) . Пусть данные последовательности имеют пределы lim f ( x n ) B n и lim g ( x n ) C . n Тогда по теореме о пределах последовательностей lim f ( x n ) g ( x n ) lim f ( x n ) lim g ( x n ) B C , n n f ( xn ) B f ( x n ) nlim lim n g ( x ) lim g ( x ) C n n n , lim f ( x n * g ( x n )) B * C , n n а это, по определению предела функции, означает lim f ( x) g ( x) B C , x x0 Теорема доказана. lim f ( x) * g ( x) B * C , x x0 lim x x0 f ( x) B . g ( x) C 15 Теорема 2. Пусть функции f 1 ( x), f 2 ( x), g ( x) определены в некоторой окрестности точки x0 и функции f 1 ( x), f 2 ( x) имеют пределы lim f 1 ( x) lim f 2 ( x) A . x x0 x x0 Если между данными функциями выполняется неравенство f 1 ( x) g ( x) f 2 ( x) , тогда функция g (x) имеет в точке lim g ( x) A . x0 предел x x0 Замечание: Все данные теоремы справедливы в том случае, если в пределах x . 2.9 Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Определение: Функция f (x) бесконечно малая, если lim f ( x) 0 . x x0 Определение: Функция f (x) бесконечно большая, если в точке x0 функция имеет предел f ( x) 0 f ( x ) 0 . lim f ( x) , x x0 Примеры. Y 1 0 . x x 1 lim . x 0 0 x X lim y 1 , x Теорема 1. Если функция f(x) бесконечно большая, то функция 1/f(x) (f(x)0) бесконечно малая. Если функция f(x) бесконечно малая, то функция 1/f(x) (f(x)0) бесконечно большая. Теорема 2. (Необходимое и достаточное условия существования предела функции в точке.) Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Для того чтобы функция f(x) имела в точки x0 предел необходимо и достаточно, чтобы функция f(x) в некоторой окрестности точки x0 была представима в виде f ( x) A ( x) , где (x) – бесконечно малая функция, А – число. Доказательство. 16 1) Необходимость. Пусть lim f ( x) A . x x0 Обозначим ( x) f ( x) A . Найдем пределы от обеих частей данного равенства: lim ( x) lim f ( x) A lim f ( x) A A A 0 , x x0 x x0 x x0 т.е. (x) - бесконечно малая функция. f ( x) A ( x) . 2)Достаточность. Пусть f ( x) A ( x) , где (x) – бесконечно малая функция. тогда lim f ( x) lim ( A ( x)) lim A lim ( x) A 0 A . x x0 x x0 x x0 x x0 Теорема доказана. Теорема 3. Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых (бесконечно больших) функций, есть функция бесконечно малая (бесконечно большая). Теорема 4. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть функция бесконечно малая. Определение. Пусть (x) и (x) две бесконечно малые функции в точке x 0 . Если предел отношения этих функций при x стремящемся к x 0 равен 1, то эти функции называются эквивалентными. ( x) ( x) ~ ( x) lim 1 . x x0 ( x ) 2.10 Первый замечательный предел sin x Рассмотрим функцию , которая не определена в точке x 0 . Найдем x sin x предел данной функции при x 0. . lim x 0 x Рассмотрим окружность R=1. M C x r B A O Из данного рисунка видно, что MOA x ; OM OA ; S OMA S сект.OMA S OCA ; MB sin x ; OM 1 1 * MB * OA * sin x 2 2 0 x / 2 ; S OMA 17 S сект.OMA 1 1 1 * R 2 * x *1* x * x ; 2 2 2 S OCA 1 1 * CA * OA * tgx . 2 2 Подставив значения площадей в исходное неравенство и сократив на 1 , получим 2 sin x x tgx Поделим все части данного неравенства на sin x , x 1 , 1 sin x cos x Найдем обратные величины и развернем знак неравенства sin x cos x 1. x Из теоремы 2 подраздела 2.5 о трех функциях имеем sin x lim lim cos x lim 1 1 . x 0 x x 0 x 0 Таким образом sin x lim 1 . x 0 x Если x<0 , то sin( x) sin x sin x , cos( x) cos x и lim 1 . x 0 x x x Следствия из первого замечательного предела: sin( * x) ; x 0 sin( * x) sin( * x) ; x 0 x 2) lim tgx arctgx arcsin x lim lim 1; x 0 x x 0 x 0 x x 4) lim 1) lim 3) lim x 0 1 cos x x 2 1 . 2 2.11 Второй замечательный предел. x 1 lim 1 e . x x n 1 lim 1 e . Известно, что n n Здесь nN (N – множество натуральных чисел). Рассмотрим теперь значения x, учитывая, что xR (R- множество действительных чисел, все действительные значения, как целые, так и дробные, так и иррациональные). 1) x ; n x n 1 . 18 От всех величин в данном неравенстве возьмем обратные и изменим 1 1 1 знаки (перевернем) . n x n 1 Ко всем частям данного неравенства прибавим 1 1 1 1 . 1 1 1 n x n 1 Возведем все величины представленного неравенства в такие степени, которые не могут нарушить неравенство, поскольку между показателями степени знаки неравенства того же направления, а сами величины превышают значение 1 n 1 x n 1 1 1 1 1 1 . n x n 1 Рассмотрим далее n 1 n 1 1 1 lim 1 lim 1 * lim 1 e * 1 e . n n n n n n n 1 n 1 1 lim 1 lim 1 n n n 1 n 1 n 11 1 lim 1 n e n 1 e . 1 1 lim 1 n n 1 x 1 lim 1 e . x x Таким образом Рассмотрим случай, когда x стремится к минус бесконечности. x 2) x ; 1 lim 1 e , пусть x 1 t , x t 1 . x x 1 Тогда lim 1 t t 1 t 1 t t lim 1 t t 1 1 t 1 t 1 lim 1 t t t 1 1 1 = lim 1 * lim 1 lim 1 e . t t t t t t t 1 19 Следствия из второго замечательного предела. 1) lim 1 x ln(1 x) 1 , x 0 x x 1 k k lim 1 x , 2) x e , e x 0 x ax 1 4) lim ln a x 0 x 3) lim (1 x) m 1 5) lim m . x 0 x , Пример. x 1 x x 1 x 2 x 1 1 lim lim lim 1 x x 1 x x 1 x x 1 x 11 1 1 e x 1 lim e. x 1 1 0 1 x 1 2.12 Непрерывность функции. Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и x=x0+x , x-x0=x , x – приращение аргумента. f ( x 0 x) y x f ( x0 ) x 0 x x0 y – приращение функции. Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если бесf(x0+x) - f(x0)=y , конечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. lim y 0 x 0 Определение. Функция f(x) называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке данного множества. Можно дать еще два определения. Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если предел данной функции в точке x0 равен значению функции в этой точке lim f ( x) f ( x 0 ) . x x0 20 Из этого определения следует, для того, чтобы найти предел непрерывной функции в точке, достаточно подставить в функцию x0 вместо x. Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если левый предел равен правому пределу и равен значению функции в этой точке lim x x0 0 f ( x) lim x x0 0 f ( x) f ( x 0 ) . Пример. Рассмотрим функцию y x 3 и докажем, что эта функция непрерывна в любой точке, равной x0. 3 y f ( x 0 x) f ( x 0 ) ( x 0 x) 3 x 0 x 0 3 * x 0 * x 3 * x 0 * x 2 x 3 x 0 3 * x 0 * x 3 * x 0 * x 2 x 3 ; 3 2 3 2 lim y lim (3 * x 0 * x 3 * x 0 * x 2 x 3 ) 0 . 2 x 0 x 0 Можно доказать, что все простейшие элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения. Теорема 1. Сумма двух непрерывных функций в точке x0 есть функция непрерывная. Доказательство: Пусть f1(x) и f2(x) –непрерывны в точке x0, т.е. lim f 1 ( x) f ( x 0 ) ; lim f 2 ( x) f 2 ( x 0 ) ; x x0 Если тогда x x0 g ( x) f 1 ( x) f 2 ( x) , lim g ( x) lim ( f 1 ( x) f 2 ( x)) f 1 ( x 0 ) f 2 ( x 0 ) g ( x 0 ) , x x0 x x0 что и требовалось доказать. Теорема 2. Произведение двух непрерывных функций есть функция непрерывная. Теорема 3. Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная. Теорема 4. Если функция u (x) – непрерывна в точке x0, а y f (u ) непрерывна в точке u 0 ( x 0 ) , то сложная функция y f (u( x)) также будет непрерывна в точке x0. Определение. Точка x0 называется точкой разрыва для функции f(x) если в данной точке не выполняется условие непрерывности функции. 2.13 Классификация точек разрыва. Пусть точка x0 - точка разрыва для функции y f (x) . 21 1) Точка x0 – точка разрыва 1 рода, если существуют конечные правый и левый пределы функции в данной точке. Если при этом lim x x0 0 f ( x) lim x x0 0 f ( x) f ( x 0 ) , то точка x0 – точка разрыва I рода, устранимого разрыва. Если lim x x0 0 f ( x) lim x x0 0 f ( x) , то точка x0 – точка разрыва I рода со скачком. 2) Точка x0 – точка разрыва 2 рода, если правый или левый пределы функции в данной точке не существуют или равен бесконечности. Примеры. x2 , x 0 1) y 2 2 , x0 Здесь x 0 - точка разрыва 1 рода, устранимого разрыва, т.к. lim x 2 0 , lim x 2 0 , x 00 x 2) y но x 0 0 , x 1 f (0) 2 . 3 2*x+1 , x 1 1 Здесь x 0 - точка разрыва 1 рода со скачком, т.к. lim x 1 , x 1 0 а lim (2 * x 1) 3 . x 1 0 x 3) y 1 x 0 y Здесь x 0 - точка разрыва 2 рода, поскольку 1 , x 0 0 x lim а 1 . x 0 0 x lim 22 Теорема 1. Любая непрерывная на отрезке [a,b] функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значения. Теорема 2. Пусть функция y=f(x), непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает значения разного знака, тогда между числами a и b найдется такое число с, что f (c) 0 . y f(x) a c b x Теорема 3. Если функция непрерывна на отрезке [a,b], то она и ограничена на этом отрезке. 23 3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 3.1 Производная. Рассмотрим функцию f(x), которая определена на множестве Х. Зададим аргументу x приращение x и при этом получим приращение функции y f ( x 0 x) f ( x 0 ) . Определение. Производной функции в точке x 0 называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к 0, если этот предел существует. y lim y' f ' ( x0 ) . x 0 x Если же предел равен "+" или "-" бесконечность, то говорят, что функция имеет бесконечную производную. Дифференцирование – это операция нахождения производной функции. Пример. y C ; y C C 0 ; y 0 ; x y 0 ; x 0 x lim y' 0 . 3.2 Геометрический смысл производной. y=f(x) MP – секущая, P S S – касательная, MN = x , PN = y . M N f(x0+x) f(x0) x 0 x0 x 0 x PMN (x) , SMN 0 . Определение. Касательной к графику функции f(x) в точке M называют предельное положение секущей MP при условии, что x 0 , т.е. для существования касательной в точке достаточно, чтобы существовал предел (x) при x 0 равный углу наклона касательной к положительному направлению оси ОХ. Очевидно, что tg (x) y . x 24 y . x 0 x 0 x lim tg (x) tg 0 f ' ( x 0 ) k . Поскольку P M при x 0 , - Вычислим lim tg (x) lim x 0 Таким образом производная функции в некоторой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции, проведенной именно в той же самой точке, к положительному направлению оси ОХ, или равна угловому коэффициенту касательной в данной точке. Уравнение касательной в точке M ( x 0 , y 0 ) k tg 0 f ' ( x 0 ) ; y y 0 f ' ( x 0 ) * ( x x 0 ) . 3.3 Применение производных в экономике. Рассмотрим функцию издержек производства k=K(x) , где k - издержки производства, x – количество выпущенной продукции. Если объем производства продукции увеличили на x, то количеству продукции x+x будут соответствовать издержки производства k = k(x+x) - k (x) . k =K’(x) называется преx 0 x дельными издержками производства (показывает скорость изменения Предел отношения приращений lim K(x)). Рассмотрим функцию u=u(x) – функция выручки от продажи x едиu ниц продукции, тогда lim u ' ( x) - предельная выручка. x 0 x Пусть дана y=f(x), для которой известна производная y'=f '(x). Эластичностью функции f(x) относительно x ( Ex(y) ) называют y y y x x E x ( y ) lim * lim * y ' , т.е. x 0 x y x 0 x y x Рассмотрим функцию спроса по цене E x ( y) x * y' . y q ( p ) . p * ' ( p) . q Эластичность спроса по цене показывает, на сколько процентов увеличится (уменьшится) спрос, если цена уменьшится (увеличится) на 1%. Тогда эластичность функции E p (q) 25 Если Е=2, тогда если p увеличится на 1%, то Е показывает, что спрос уменьшится на 2%. 3.4 Дифференцируемость функции Определение. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x 0 , если ее приращение в этой точке представимо в виде y A * x (x) * x A x (x) , где - число, - приращение аргумента, - бесконечно малая функция при x 0 . Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Доказательство. Необходимость. Если функция f (x) дифференцируема в точке x 0 , тогда, по определению y A * x (x) * x . Поделим обе части уравнения на x . Получим y y A (x) ; lim lim ( A (x)) A . x 0 x x 0 x Таким образом f ' ( x) A , это значит, что функция имеет производную. Достаточность. Если функция имеет производную равную А.. Это означает y f ' ( x) A , lim Откуда A. x 0 x y y lim A 0 . A (x) ; x 0 x x 0 lim ( (x)) (x) - б.м. x 0 Таким образом y A * x (x) * x , а это означает, что функция дифференцируема, что и требовалось доказать. Теорема. Если функция дифференцируема в точке, то она и непрерывна в этой точке. Доказательство. Если функция f (x) дифференцируема в точке x 0 , то y A * x (x) * x . 26 lim y lim ( A * x (x) * x) 0 Вычислим предел x 0 x 0 lim y 0 , Поскольку предел x 0 y f (x) непрерывна в то функция точке x 0 , что и требовалось доказать. 3.5 Основные правила дифференцирования Теорема. Пусть функции u (x) и v(x) дифференцируемы в точке x, тоu гда функции u v ; u * v ; также дифференцируемы в данной v точке и их производные равны (u v)' u 'v' ; (u * v)' u'*v u * v' ; u u '*v u * v' . ' v2 v Доказательство. Будем использовать определение производных и следующие формулы y f ( x x) f ( x) , f ( x x) y f ( x) . 1. u v ' lim u( x x) v( x x) (u ( x) v( x)) x 0 x u ( x x) u ( x) v( x x) v( x) lim u 'v' . x 0 x 0 x x = lim u ( x x) * v( x x) u ( x) * v( x) x 0 x 2. u * v ' lim (u u ( x)) * (v v( x)) u ( x) * v( x) u * v u ( x) * v v( x) * u lim x 0 x 0 x x lim = u( x) * (v( x))'v( x) * (u( x))' , поскольку u * v 0 . x 0 x lim u ( x x) u ( x) v( x x) v( x) u ( x x) * v( x) v( x x) * u ( x) u 3. ' lim lim x 0 x x * v( x x) * v( x) v x0 (u ( x) u ) * v( x) (v( x) v) * u ( x) x 0 x * v( x) * v( x x) lim u * v( x) u ( x) * v( x) v( x) * u ( x) v * u ( x) x 0 x * v( x) * v( x x) lim 27 u v * u ( x) u ' ( x) * v( x) v' ( x) * u ( x) x x , v( x x) * v( x) (v( x)) 2 v( x) * lim x 0 что и требовалось доказать. 3.6 Производные тригонометрических функций и логарифмической функции. Рассмотрим (sin x)' , (tgx)' , (ctgx)'. sin( x x) sin x lim x 0 x 0 x 1) y sin x ; y' lim lim 2 * sin x 2 * x x * cos 2 x x x 2 * lim cos 2 * x x 1 * cos x cos x . x 0 x 2 2 sin x 0 cos(x x) cos x lim x 0 x 0 x 2 * sin 2) y cos x ; y ' lim x 2 * x x * sin 2 x x 1 * sin x sin x . 2 2 1 sin x (sin x)'*cos x sin x * (cos x)' cos x sin x 3) y ' (tgx)' . 2 2 cos x cos x cos2 x cos x ' sin 2 x cos2 x 1 cos x (cos x)'*sin x cos x * (sin x)' 4) y ' (ctgx)' . sin 2 x sin 2 x sin 2 x sin x ' 5) y log a x ; log a ( x x) log a x lim x 0 x 0 x y ' lim log a x x x x x x x x ln 1 ln 1 1 1 1 x x x lim * lim * lim . x 0 ln a * x x ln a x 0 x x * ln a x 0 x * ln a *x x x ln Использовали одно из следствий второго замечательного предела, согласно которому 28 x ln 1 x lim 1 . x 0 x x 3.7 Производная от обратной функции. Пусть функция y f (x) имеет обратную функцию x ( y) . Теорема. Если функция y f (x) имеет в точке x 0 производную y' f ' ( x) , то обратная функция x ( y) имеет в точке 1 y 0 f ( x 0 ) производную, равную ' ( y0 ) . f ' ( x0 ) Доказательство. Для обратной функции x ( y) зададим приращение аргумента при этом приращение функции y , x ( y 0 y ) ( y 0 ) . Запишем отношение приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента x 1 . y y x Так как функция y=f(x) имеет производную, то она непрерывна в lim y 0 , то точке x 0 и тогда предел y при x 0 равен нулю , x 0 x 1 , откуда lim y 0 y x 0 y x что и требовалось доказать. lim ' ( y0 ) 1 , f ' ( x0 ) 3.8 Вычисление производных от показательной функции и обратных тригонометрических функций. 1) Рассмотрим функцию y a x (a>0; a1) . Для данной функции обратной функцией будет x log a y . x' 1 1 ; y' y * ln a x' (a x )' a x * ln a ; 1 y * ln a a x * ln a ; 1 y * ln a (e x )' e x . 2) y arccos x , ( | x | 1; 0 y ). 29 x cos y ; (arccos x)' 1 1 x 3) y arcsin x ( | x | 1; x sin y ; x' cos y ; 1 x 2 1 1 1 . sin y 1 cos2 y 1 x 2 . y 2 ). 1 1 1 . 2 2 cos y 1 sin y 1 x . 2 y . 2 2 4) y arctgx , x' 1 y ' cos2 y ; 2 cos y 1 (arctgx)' . 1 x2 1 1 tg y 2 1 1 x2 . (0 y ) . 5) y arcctgx , x ctgy ; 2 y' 1 (arcsin x)' x tgy ; y' x' sin y ; x' 1 2 ; sin y 1 (arcctgx)' . 1 x2 y ' sin 2 y 1 1 ctg y 2 1 1 x2 . 3.9 Производная от сложной функции. Рассмотрим сложную функцию y f (u ) , u (x) . Теорема. Если функция u (x) имеет в точке x 0 производную, а функция y f (u ) имеет производную в точке u 0 ( x 0 ) , то сложная функция y f ( ( x)) имеет в точке x 0 производную y ' f ' u (u 0 ) * ' x ( x 0 ) . Доказательство. Так как функция f (u) имеет производную, то ее приy ( f ' u (u 0 ) (u )) * u , ращение где (u ) - бесконечно малая функция при u 0 . Поделим обе части данного равенства на x : y f ' u (u 0 ) * u (u ) * u . x x x Вычислим пределы 30 y u u u , lim f ' u (u 0 ) * lim (u ) * lim f ' u (u 0 ) * x 0 x x 0 x x0 x x0 x поскольку предел бесконечно малой функции равен нулю. lim Таким образом f ' ( x0 ) f 'u (u0 ) * 'x ( x0 ) , что и требовалось доказать. 3.10 Производная от показательно-степенной функции. Показательно - степенной функцией называется функция, у которой показатель степени и основание степени зависят от x y x x ; y (sin x) x . Теорема. Если функции u (x) и v(x) дифференцируемы в точке x0 , то функция y (u ( x)) v ( x ) также дифференцируема в точке и y ' v * u v 1 * u 'u v * ln u * v' . Доказательство: Прологарифмируем обе части равенства y u v ln y v * ln u . Продифференцируем обе части полученного равенства (ln y)' (v * ln u)' , 1 1 * y ' v'*ln u v * * u ' , y u u' y ' y * v'*ln u v * u v * v'*ln u v * u v 1 * u ' , u что и требовалось доказать. y (sin x) x . Пример. y ' (sin x) x * 1 * ln(sin x) x * (sin x) x 1 * cos x . 3.11 Таблица основных производных. Элементарные функции Сложные функции x n * x n ' a a x ' x n 1 * ln a u n * u n ' a a u ' u n 1 * u' * ln a * u ' log a x ' 1 * ln a log a u ' 1 * ln a * u ' sin x' cos x sin u ' cos u * u' cos x ' sin x cos u ' sin u * u' x u 31 tgx ' 1 tgu ' * u' cos2 u ctgu ' 12 * u ' sin u arcsin u ' 1 2 * u ' 1 u cos2 x ctgx ' 12 sin x arcsin x ' 1 2 1 x arccos x ' arctgx' 1 1 x arcctgx ' 2 arctgu ' 2 1 1 x 1 arccosu ' 1 1 x 1 1 1 u2 arcctgu ' 2 1 u 2 * u' * u' 1 1 u2 * u' 3.12 Производная от функции, заданной параметрически. Рассмотрим функцию, заданную параметрически x (t ) , y f (t ) , где t t1 , t 2 . Предположим, что функция x (t ) имеет обратную t (x) , тогда y f (( x)) , y' f ' (t ) * ' ( x) . Так как производная обратной функции связана с производной функции следующим образом 1 , ' (t ) ' ( x) то, подставляя данное соотношение в предыдущее равенство, получаем y ' f ' (t ) * ' ( x) f ' (t ) y ' (t ) . ' (t ) x' (t ) Пример. , где t 0;2 * x R * cos t y R * sin t y' R * cos t ctgt . R * sin t , x 2 y 2 R 2 - уравнение окружности, 32 3.13 Дифференциал функции Рассмотрим функция y f (x) , которая дифференцируема в точке x 0 . Тогда ее приращение y f ' ( x0 ) * x (x) * x , где (x) - бесконечно малая функция. Определение. Дифференциалом функции f (x) в точке x 0 назовем главную, линейную относительно x часть приращения функции в этой точке dy f ' ( x 0 ) * x . Покажем, что dx x . Рассмотрим y x и вычислим дифференциал dy f ' ( x) * x , dy x , dx x . dy dy f ' ( x 0 ) * dx , Значит f ' ( x0 ) dx Геометрический смысл дифференциала. y y=f(x) S 0 tg M x0 QN ; MN QMN=; tg=f ' (x0). S – касательная. Q N x0+x f ' ( x0 ) x QN f ' ( x 0 ) * x dy. x Дифференциал функции в точке x0 равен приращению ординаты касательной в точке . Так как нахождение дифференциала связано с нахождением производной, то для дифференциала справедливы следующие формулы 1. d (u v) du dv; 2. d (u * v) du * v u * dv; u du * v u * dv 3. d . v2 v Приближенные вычисления при помощи дифференциала. Так как y f ' ( x 0 ) * x (x) * x , то y dy (x) * x ; y dy. f ( x0 x) f ( x0 ) f ' ( x0 ) * x; f ( x0 x) f ( x0 ) f ' ( x0 ) * x . 33 2 2 * 0.7191 . 2 2 180 x ; x 0 1 ; dy f ' ( x 0 ) * dx ; Примеры. Вычислим sin 46 0 sin( 45 0 10 ) Вычислим дифференциал y sin f ' ( x) cos x 2* x cos10 f ' (1) ; 2 ; cos10 dy * dx. 2 3.14 Производные и дифференциалы высших порядков. Назовем производную от функции f(x) производной 1-го порядка. Тогда y'' y' ' - производная 2-го порядка; y ' '' y ' ' ' - производная 3-го порядка и так далее. Производные, начиная со второй, называют производными высших порядков. Примеры. 1) y 5 * x 4 ; y ' 20 * x 3 ; y ' ' 60 * x 2 ; y ' ' ' 120 * x . 2) y sin x ; y' cos x ; y' ' sin x ; y' ' ' cos x . Назовем дифференциал dy f ' ( x 0 ) * dx дифференциалом 1-го порядка. Тогда d (dy ) d 2 y f ' ' ( x 0 ) * (dx ) 2 - дифференциал 2-го порядка; d (d 2 y ) d 3 y f ' ' ' ( x 0 ) * (dx ) 3 - дифференциал 2-го порядка; и так далее. Дифференциалы, начиная со второго, называют дифференциалами высших порядков. Пример. y cos x , dy f ' ( x) * dx , sin x * dx , dy 2* x d 2 y f ' ' ( x) * (dx ) 2 , cos x ' sin x 2* x f ' ' ( x) 2* x sin x x * cos x 4* x* x ; * 2 * x sin x * 4* x d2y 1 x cos x sin x x * cos x 4* x* x sin x x 4* x * dx . 2 34 4 ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. 4.1 Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема 1. (Ферма) Пусть функция f(x) определена на интервале (a,b) и в некоторой точке x 0 этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение, тогда, если в точке x 0 существует производная, то она (эта производная) равна нулю. Доказательство. Пусть в точке x 0 функция f(x) принимает наибольшее значение. Это значит, что f(x)< f(x0) для x(a,b) Запишем y f ( x 0 x) f ( x 0 ) 0 . y Рассмотрим x> x0 . Вычислим lim 0 . x 0 0 x Рассмотрим x< x0 . Вычислим y 0 . x 0 0 x lim По условию, существует производная, а если существует, то y y y lim lim 0. x 0 x x 0 0 x x 0 0 x f ' ( x 0 ) lim f ' ( x 0 ) 0 , что и требовалось доказать. Таким образом Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что, если функция f(x) дифференцируема в точке x 0 , то касательная к функции в этой точке параллельна оси ОХ . Y y=f(x) 0 a x0 b X Теорема 2. ( Ролля) Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b] и при этом выполняются условия: 1) функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] , 2) функция f(x) дифференцируема на интервале (a,b) , 3) значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b) . Тогда существует точка c из (a,b), в которой производная данной функции равна нулю, т.е. f’(c)=0 . Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [a,b], то она на [a,b] принимает свое наибольшее и наименьшее значения: 35 m – наименьшее значение, M - наибольшее значение. Возможны 2 случая: для x a, b . f(x)=const , f '(x)=0 1) m= M, 2) m<M. Так как f(a) = f(b), то либо значение m либо значение M функция принимает в (a,b). Тогда по теореме Ферма в этой точке производная равна нулю. Что и требовалось доказать. Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что для функции f(x), которая непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b) , имеет значения f(a) = f(b), будет существовать такая точка внутри [a,b], в которой касательная будет параллельна оси ОХ. Y y=f(x) 0 a c b X Теорема 3. (Лагранжа) Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b] причем выполняются условия: 1) функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], 2) функция f(x) дифференцируема на интервале (a,b). Тогда существует точка c из (a,b), для которой выполняется следующее равенство f (b) f (a) . f ' (c ) ba Доказательство. Рассмотрим на отрезке [a,b] вспомогательную функцию f (b) f (a) * ( x a) , где ba F(x) – удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: 1) F(x) - непрерывна на [a,b], как разность двух непрерывных функций. 2) F(x) - дифференцируема на (a,b), как разность двух дифференцируемых функций. f (b) f (a) . F ' ( x) f ' ( x) ba 3) F(a)= F(b) , т.к. F(a)=0 и F(b)=0 . F ( x) f ( x) f (a ) 36 Тогда по теореме Ролля существует точка производная равна нулю f (b) f (a) 0 , ba что и требовалось доказать. F ' (c ) f ' ( c ) c из (a,b), в которой f ' (c ) f (b) f (a) , ba Геометрический смысл теоремы Лагранжа. Y B A N a c b X Из теоремы следует, внутри интервала (a,b) существует такая точка c, касательная графика функции в которой будет параллельна секущей AB. f ' (c ) f (b) f (a) , ba tgA f (b) f (a) K AB , ba f'(c) = KAB. Теорема Коши. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируемы на интервале (a,b) и, кроме того, производная функции g(x) отлична от нуля, тогда внутри интервала (a,b) существует такая точка c, в которой выполняется следующее равенство f ' (c) f (b) f (a) . g ' (c) g (b) g (a) Доказательство. Покажем, что для функции g(x) выполняется следующее условие g (a) g (b) . Имеет смысл следующее, если бы g(a)=g(b), то функция g(x) удовлетворила бы всем условиям теоремы Ролля, и тогда, по теореме Ролля, существовала бы такая точка c, в которой производная g(x) равнялась бы нулю. Рассмотрим вспомогательную функцию F ( x) f ( x) f (a ) f (b) f (a) * ( g ( x) g (a)) g (b) g (a) Данная функция удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля 1) F(x) непрерывна на отрезке [a,b], как разность двух непрерывных функций. 37 2) F(x) дифференцируема на интервале (a,b), как разность двух дифференцируемых функций. f (b) f (a) . F ' ( x) f ' ( x) g ' ( x) * g (b) g (a) 3) F(a)= F(b) ,т.к. F(a)=0 и F(b)=0. Тогда по теореме Ролля существует F'(c) = 0 и тогда: f (b) f (a) f ' (c) f (b) f (a ) f (c ) g (c ) * 0 ' , g (b) g (a ) g (c) g (b) g (a ) ' ' что и требовалось доказать. 4.2 Правило Лопиталя. Это правило применяется для раскрытия неопределенностей при вычислении пределов. 1) Раскрытие неопределенности вида 0/0. Теорема. Пусть функции f(x) и g(x) удовлетворяют следующим условиям: 1) Они определены и непрерывны в некоторой окрестности точки x0. g ' ( x ) 0 , g ( x) 0 . Также в этой окрестности lim f ( x) 0 , lim g ( x) 0 . 2) Существуют пределы функций: 3) Существует предел lim Тогда существует предел x x0 f ' ( x) x x0 K . x x0 g ' ( x) lim f ( x) K . g ( x) x x0 Доказательство. Доопределим функции f(x) и g(x) в точке x0 таким образом, что f ( x 0 ) g ( x 0 ) 0 . На интервале (x0 , x) для функций f(x) и g(x) выполняются все условия теоремы Коши, поэтому f ( x) f ( x0 ) f ' (c) g ( x) g ( x0 ) g ' (c) ; c ( x0 , x) ; f ( x ) f ' (c ) . g ( x ) g ' (c ) Вычислим пределы от обеих частей данного равенства: 38 f ( x) f ' (c ) f ' (c ) f ' ( x) lim lim ' lim ' lim ' K , c ( x0 , x) , c x0 , x x0 g ( x ) x x0 g (c ) c x0 g ( c ) x x0 g ( x ) что и требовалось доказать. Пример. (ln cos x) ' ln cos x 0 1 lim lim lim ( * ( sin x)) lim (tgx) 0 . x 0 x 0 cos x x 0 x 0 x 0 ( x ) ' Замечания. 1) Правило Лопиталя к одному и тому же пределу можно применять повторно. 2) Если получается предел К = , то правило Лопиталя можно применять. 3) Правило Лопиталя можно применять, также если x стремится к : f ( x) f ' ( x) lim lim ' ; x g ( x) x g ( x ) 1 1 1 1 f f ' * 2 f ' f ( x) f ' ( x) 1 1 t t t t lim x , t lim lim lim lim . x g ( x ) t x t 0 1 t 0 ' 1 1 t 0 ' 1 x g ' ( x ) g g * 2 g t t t t 4.3 Раскрытие неопределенности . Если возникает при вычислении предела неопределенность , то можно применить правило Лопиталя, т.к. будет справедлива теорема, доказанная в предыдущем подразделе. Пример. ln x 1 lim lim 0 ; x x x x ex lim lim e x . x x x 4.4 Раскрытие неопределенностей вида , ,0 , 1 , 0 , 0 При вычислении пределов неопределенности одного вида можно свести к неопределенностям другого вида. Примеры: sin x 1 1 1 sin x 0 tgx lim lim 1) lim cos x x cos x 0 x cos x x cos x 2 2 2 39 cos x 0 lim 0 . sin x 1 x 2 2) 1 ln x x lim x 0 . lim x * ln x 0 * lim lim x 0 0 x 0 1 x 0 x 0 1 2 x x 3) lim x x 00 lim e x*ln x e 3) x 0 1 lim x 0 x поскольку tgx ( lim( x*ln x )) x 0 x 0 lim e 0 1 ln x x 0 e0 1 . tgx lim e x 0 1 tgx *ln x lim e tgx*( ln x ) e 0 1 , x 0 1 ln x sin 2 x 0 x lim tgx * ln x 0 * lim lim lim x 0 x 0 ctgx x 0 x 0 x 0 1 2 sin x 2 * sin x * cos x lim 0. x 0 1 4.5 Условие постоянства функций на промежутке Теорема. Если функция f(x) дифференцируема на некотором интервале (a,b) и внутри данного интервала производная функции равна нулю, то на данном интервале функция f(x) будет неизменной, т.е. f(x)=const . Доказательство. Пусть x, x 0 (a, b) , тогда на интервале ( x, x 0 ) для функции f(x) выполняются все условия теоремы Лагранжа и будет существовать точка c(x0,x), в которой f ' (c ) f ( x) f ( x 0 ) , x x0 f ( x) f ( x 0 ) 0 , f ( x ) f ( x 0 ) f ' (c ) * ( x x 0 ) 0 , f ( x) f ( x 0 ) f ( x) const . Теорема доказана. 4.6 Возрастание и убывание функции Пусть дана f(x) на (a, b) . Определения. 1) f(x) называется возрастающей на интервале (a,b), если для любых значений x1, x2 из интервал (a,b), для которых выполняется неравенство x1<x2, будет следовать f(x1)<f(x2). 40 2) f(x) называется убывающей на интервале (a,b), если для любых значений x1, x2 из интервал (a,b), для которых выполняется неравенство x1<x2, будет следовать f(x1)>f(x2). Теорема 1. ( Достаточное условие возрастания (убывания) функции на интервале). Если всюду в интервале (a,b) производная f ' ( x ) 0 ( f ' ( x) 0) , то функция f(x) возрастающая (убывающая) на этом интервале. Доказательство. Рассмотрим первый случай. Пусть на интервале (a,b) f ' ( x ) 0 . x1 , x 2 (a, b) рассмотрим отрезок [x1,x2] . На этом отрезке выполняются все условия теоремы Лагранжа для функции f(x). c ( x1 , x 2 ) , f ( x 2 ) f ( x1 ) f ' (c) * ( x 2 x1 ) , ( x 2 x1 ) 0 , f ( x 2 ) f ( x1 ) 0 f ( x 2 ) f ( x1 ) , откуда следует, что f(x) возрастает на (a,b). Теорема доказана. Данное условие не является необходимым для возрастания и убывания функции на промежутке. Пример. На интервале (-1;1) существует y=x3 . y' = 3*x2 . В точке x=0 y'(0)=0. Функция возрастает. Y y=x3 0 X Теорема 2. (Необходимое условие возрастания и убывания функции). Если функция f(x) возрастает (или убывает) на интервале (a,b), то ее производная на этом интервале f ' ( x ) 0 , ( f ' ( x ) 0) . Доказательство. Пусть функция f(x) возрастает на интервале (a,b). x1 , x 2 (a, b) , x1 x 2 f ( x1 ) f ( x 2 ) , 41 f ( x 2 ) f ( x1 ) 0; x 2 x1 Теорема доказана. lim x2 x1 f ( x 2 ) f ( x1 ) y 0; lim 0; f ' ( x) 0. x 0 x x 2 x1 Определение. Интервалы возрастания (или убывания) функции называются интервалами монотонности функции. ( x 1) 2 y . x 1 Пример. Рассмотрим функцию Область определения функции y' 2 * ( x 1) * ( x 1) ( x 1) 2 ( x 1) 2 x (;1) (1;) . ( x 1) * (2 * x 2 x 1) ( x 1) 2 ( x 1) * ( x 3) ( x 1) 2 0. y ' 0 при x (,1) (3, ) , y ' 0 при x (1,3) . + -1 +1 + y’ +3 x 4.7 Точки экстремума функции. Определение. Функция f(x) во внутренней точки области определения x0 имеет точку максимума (минимума), если найдется окрестность точки x0, в которой значение функции f(x0) будет наибольшим (наименьшим) значением, т.е. f ( x 0 ) f ( x) (для максимума), f ( x 0 ) f ( x) (для минимума). Точки максимума и минимума называют точками экстремума, а значения функции в точке экстремума, называют максимумом или минимумом функции. Y 0 x1 x2 x3 x4 На отрезке может быть несколько экстремумов. x5 X 42 Теорема 1. (Необходимое условие экстремума). Если функция f(x) имеет в точке x0 экстремум, то она в этой точке либо не дифференцируема, либо ее производная равна нулю. Доказательство: Пусть точка x0 – точка экстремума. В этой точке функция дифференцируема. Так как эта точка – точка экстремума, то значение функции в этой точке наибольшее (наименьшее) Тогда по теореме Ферма f '(x0) = 0 , что и требовалось доказать. Пример. Y y=|x| 0 X В точке x = 0 функция не дифференцируема. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то касательная к графику функции в этой точке будет параллельна оси ОХ. Определение. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками. Теорема 2. (Достаточное условие существования максимума и минимума функции). Пусть функция f(x) имеет точку x0, которая является критической для данной функции, и в этой точке функция непрерывна, тогда, если при переходе через точку x0, производная меняет знак “+” на “-” то в этом случае точка x0 – точка максимума; если же при переходе через точку x0, производная меняет знак “-” на “+” то в этом случае (.) x0 – точка минимума. Доказательство. Рассмотрим случай, когда при переходе f(x) меняет знак с “+” на “-” . Возьмем точку x x 0 , тогда на отрезке между x и x 0 для f(x) выполняются все условия теоремы Лагранжа f ( x) f ( x0 ) f ' (c) * ( x x0 ) . Если x x 0 , то производная функции в точке c a f ( x) f ( x 0 ) . f ' (c ) 0 , При x x 0 , f ' (c) 0 f ( x) f ( x 0 ) 0 , откуда x 0 - точка максимума, что и требовалось доказать. 43 Пример. y 2* x3 ; Область определения x (;2) (2;2) (2;) . x2 4 2 * 3 * x 2 * ( x 2 4) 2 * x * 2 * x 3 ' y ( x 2 4) 2 2 * x 2 * (3 * x 2 12 2 * x 2 ) ( x 2 4) 2 x 2 * 3 , x0 , 2 * x 2 * ( x 2 12) ( x 2 4) 2 0 , y’=0. x 2 * 3 . x 2 * 3 - точка максимума, x 2 * 3 - точка минимума. y’ + - - - - + x -2* 3 -2 0 +2 +2* 3 4.8 Наибольшее значение и наименьшее значение функции на отрезке Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она на этом отрезке принимает свое наибольшее и наименьшее значение. Наибольшее и наименьшее значения функция может принимать либо в точках экстремума, либо на концах отрезка, поэтому для отыскания наибольшего и наименьшего значений нужно вычислить значения функции на концах отрезка и в точках экстремумов, или в критических точках. Из найденных таким образом значений выбираем наибольшее (наименьшее). Пример. y x 3 3 * x 2 4 на [-1,4]. f(0) = -4 ; f(-1) = -8; f(2) = - 8; f(4) = 12 . D(y) = R; y ' 3 * x 2 6 * x 3 * x * ( x 2) . y' = 0 , при x = 0 или x = 2. Наибольшее значение y = 12, наименьшее - y = -8. 4.9 Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба. Рассмотрим f(x) дифференцируемую на (a,b). 44 Определение. График функции f(x) называется выпуклым (вогнутым), если он расположен не выше (не ниже) любой касательной к графику функции на интервале (a,b). Y f(x) Y выпукл. Вогнут. f(x) X 0 a b X 0 a b Теорема 1. (Достаточное условие выпуклости и вогнутости.) Если f(x) на интервале (a,b) имеет вторую производную, которая больше нуля f''(x)>0 (меньше нуля f''(x)<0 ) , то график функции f(x) на интервале (a,b) вогнутый (выпуклый). Y N f(x) M А X a x0 x b Доказательство: Пусть f'' (x)>0 на (a;b) . Сравним ординаты точек M и N . Точка M лежит на касательной. Уравнение касательной y f ( x 0 ) f ' ( x 0 ) * ( x x 0 ) . Точка M ( x, y ) , точка N ( x, y) , y f (x) . y y f ( x0 ) f ' ( x0 ) * ( x x0 ) f ( x) . На ( x 0 , x) для f (x) выполняются все условия теоремы Лагранжа: f ( x) f ( x 0 ) f ' (c) * ( x x 0 ) , где точка c ( x 0 , x) . f ' (c) * ( x x0 ) f ' ( x0 ) * ( x x0 ) ( x x0 ) * ( f ' (c) f ' ( x0 )) . Поскольку а из f '' ( x) 0 f ' ( x) возрастает на (a, b) , x x0 , c x0 , f ' (c) f ' ( x0 ) NA MA 0 и отсюда график f (x) вогнут. Теорема доказана. Определение. Точка М с координатой x 0 называется точкой перегиба для графика функции f(x) , если в точке М график имеет касательную и существует такая окрестность точки x 0 , в которой график функции f(x) имеет слева и справа от точки x 0 разные направления выпуклости. 45 Теорема 2. (Достаточное условие существования точки перегиба.) Пусть функция y = f(x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки x 0 , тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная от функции имеет разные знаки слева и справа от точки x 0 , то точка x 0 является точкой перегиба графика. Доказательство. По условию слева и справа от точки x 0 производная имеет разные знаки, а это означает по теореме 1, что слева и справа от точки x 0 для графика функции направление выпуклости будет разное, следовательно x 0 – точка перегиба. Что и требовалось доказать. Пример. Найти точки перегиба y x 3 3 * x 2 2 , D( y ) R . y ' 3 * x 2 6 * x , y '' 6 * x 6 , 6*x – 6 = 0 Из равенства следует y’’=0 . x = 1. y'' + 1 X x = 1 – точка перегиба. График функции выпуклый на (;1) , вогнутый на (1;) . 4.10 Асимптоты для графиков функций При исследовании поведения функции на бесконечности и вблизи точек разрыва 2-го рода график функции часто сколь угодно близко приближается к той или иной прямой, которую называют асимптотой. Существует три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные Определение. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой для графика функции f(x), если при x a 0 или при x a 0 функция f(x) будет бесконечно большой. lim f ( x) . xa 0 Определение. Прямая y=b называется вертикальной асимптотой для графика функции f(x), если предел lim f ( x) b . x 46 Определение. Прямая y=k*x+b , где k отлично от нуля называется наклонной асимптотой для графика функции f(x), если при x функция f(x)= k*x+b + (x) , где (x) - бесконечно малая функция (б.м.ф.). 1 , x3 . x3 x 3 - вертикальная асимптота, т.к.: 1 1 lim ; lim ; x 3 0 x 3 x 3 0 x 3 y 0 - горизонтальная асимптота, т.к.: 1 lim 0 . x x 3 y Пример. Теорема. (необходимое и достаточное условия существования наклонной асимптоты). Для того, чтобы график функции f(x) имел при x наклонную асимптоту y=k*x+b 1) необходимо, чтобы выполнялись следующие условия f ( x) k ; lim ( f ( x) k * x) b . x x x 2) достаточно, чтобы lim ( f ( x) k * x) b при некотором k . lim x Доказательство. 1) Необходимость. Пусть график функции f(x) имеет наклонную асимптоту y=k*x+b, тогда по определению наклонной асимптоты при x функция f(x) представима в виде f(x)= k*x+b + (x) , Вычислим lim x где (x) - б.м.ф.. f ( x) k * x b ( x) b ( x) lim lim k k ; x x x x x x lim ( f ( x) k * x) lim (k * x b ( x) k * x) lim (b ( x)) b . x x x 2. Достаточность. Пусть для некоторого числа k 0 выполняется равенство lim ( f ( x) k * x) b . x Тогда, используя для x необходимое и достаточное условие существования предела функции f(x) - k*x = b + (x) , где (x) - б.м.ф., 47 получим f(x)= k*x+b + (x) . Это означает, что прямая y=k*x+b является наклонной асимптотой при x , что и требовалось доказать. x2 2 * x 1 ; y x 1 Пример: x 1 , D( y) R \ 1 . x2 2 * x 1 1. x 1 - вертикальная асимптота, т.к. lim . x 1 0 x 1 f ( x) x2 2 * x 1 2* x 2 2. y k * x b ; k lim lim lim x x x 2 * x 1 x x * ( x 1) 2 2 x 2 1 . lim x 1 2 2 x x2 2 * x 1 3* x 1 b lim ( f ( x) k * x) lim 1 * x lim 3 . x x x x 1 x 1 - наклонная асимптота. Горизонтальной асимптоты нет (т.к. горизонтальная асимптота – это частный случай наклонной при k = 0.). y=x+3 4.11 Схема исследования функций 1. D(y) - область определения. 2. Непрерывность функции, точки разрыва. 3. Асимптоты. 4. Четность, нечетность, периодичность. 5. Возрастание, убывание функции, точки экстремумов. 6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба. 7. Точки пересечения с осями координат. Дополнительные точки. 8. Построение графика. y Пример: x3 3 x2 1. D( y ) ; 3 . 3; 3 3; , так как 3 x 2 0 x 3 . 2. Данная функция непрерывна во всей области определения, как частное двух непрерывных функций. Точки разрыва x 3 ; 48 lim x 3 0 x3 3 x2 x 3 Откуда , x3 lim x 3 0 3 x2 , - точки разрыва второго рода. 3. x 3 - вертикальные асимптоты. yk*xb - наклонная асимптота. f ( x) x3 x2 k lim lim lim 1 , x x (3 x 2 ) * x x 3 x 2 x x3 x3 3 * x x3 3* x 3 lim b lim ( 1 ) * x lim lim 0. 2 x x 3 x 2 x 3 x 2 x 2 * x 3 x Таким образом y = -x - наклонная асимптота. Горизонтальных асимптот нет. 4. Если f(-x)=f(x) – функция четная, график симметричен относительно оси “0Y” Если f(-x)= - f(x) – функция нечетная, график симметричен относительно точки 0(0,0). x3 f ( x) , поэтому исследуемая в В нашем случае f ( x) 3 x2 данном примере функция нечетная, график симметричен относительно точки 0(0,0). Функция непериодическая. 5. y ' 3 * x 2 * (3 x 2 ) x 3 * (2 * x) (3 x 2 ) 2 9 * x2 x4 (3 x 2 ) 2 x 2 * (9 x 2 ) (3 x 2 ) 2 . x 2 * (9 x 2 ) 0 x 2 0 x1 0 ; 9 x 2 0 ; x 2 9 x1, 2 3 . В точках x 3 производная не определена, т.к. (3 x 2 ) 0 . y' + -3 3 + + 0 3 + x +3 Таким образом x min 3 , x max 3 , y min 27 27 4.5 , y max 4.5 . 6 6 49 18 * x 4 * x * 3 x 2 * 3 x * (2 * x) * 9 * x 2 2 3 6. y '' 2 (3 x 2 ) 4 2 * x * (27 9 * x 2 6 * x 2 2 * x 4 18 * x 2 2 * x 4 ) (3 x 2 ) 3 2 x4 2 * x * (3 * x 2 27 ) (3 x 2 ) 3 при x 3 y'' не определена. y'' =0 при x1 = 0 . Таким образом, для y'' + 3 + 0 3 y'' Следовательно, x . x=0, y(0)=0 - точка перегиба. 7. Пересечения с осями координат. Точка пересечения с осью OX: y x3 0 x 0. 3 x2 Точка пересечения с осью OY: y 0 , x 0 , также точка (0,0). 8. График функции можем построить в результате проведенного анализа. Y вертикальные асимптоты + 4,5 X -3 3 0 3 +3 наклонная асимптота - 4,5 ; 50 4.12 Приложение исследования функций в экономике. 1. Экономическая интерпретация теоремы Ферма. Один из базовых законов теории производства звучит так: “Оптимальный для производителя уровень выпуска товаров определяется равенством предельных издержек и предельного дохода, т.е. уровень товара x0 будет оптимальным для производителя, если выполняется следующее равенство MC ( x 0 ) MR ( x 0 ) предельные издержки = предельный доход. Рассмотрим функцию прибыли D( x ) R ( x ) C ( x ) . Оптимальным уровень товара будет в том случае, когда функция D(x) имеет максимум. D ' ( x0 ) R ' ( x0 ) C ' ( x0 ) 0 , По теореме Ферма MC ( x 0 ) MR ( x 0 ) . откуда Другое важное понятие теории производства – это уровень наиболее экономичного производства, при котором средние затраты по производству товара минимальны. Соответствующий экономический закон гласит так: Уровень наиболее экономичного производства определяется равенством средних и предельных издержек. Этот закон может быть получен по теореме Ферма. C ( x) (Средние издержки). AC ( x) x Минимум данной функции достигается в критической точке x 0 . AC ( x 0 ) ' откуда C ' ( x0 ) * x0 C ( x0 ) C ' ( x0 ) x0 2 C ( x0 ) ; x0 0 C ' ( x0 ) * x 0 C ( x 0 ) 0; MC ( x 0 ) AC ( x 0 ) . 2. Понятие выпуклости в экономике. Закон убывающей доходности. С увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса, с некоторого момента начинает убывать. y , Иными словами величина, равная x где x – приращение ресурса, 51 y - приращение выпуска продукции, уменьшается при увеличении x. Таким образом закон убывающей производительности звучит следующим образом: «Функция равная f(x) , выражающая зависимость выпуска продукции от некоторого вложенного ресурса, является выпуклой.» 113 СОДЕРЖАНИЕ. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ...................................................................... 3 1.1 Модуль числа и его свойства. .............................................................. 3 1.2 Числовые последовательности............................................................. 3 1.3 Свойства пределов. Необходимые и достаточные условия существования предела последовательности. .................................. 6 1.4 Число e. ................................................................................................... 8 1.5 Применение числа e в экономике. ....................................................... 9 2 ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ..................................................... 10 2.1 Понятие функции. ............................................................................... 10 2.2 Примеры экономических функций. ................................................... 10 2.3 Способы задания функций. ................................................................ 10 2.4 Элементарные функции. ..................................................................... 11 2.5 Предел функции в точке. .................................................................... 11 2.6 Односторонние пределы функции (правый и левый предел функции). .............................................................................................. 12 2.7 Предел функции на бесконечности. .................................................. 14 2.8 Теоремы о пределах функции. ........................................................... 14 2.9 Бесконечно малые и бесконечно большие функции. ...................... 15 2.10 Первый замечательный предел .......................................................... 16 2.11 Второй замечательный предел. .......................................................... 17 2.12 Непрерывность функции. ................................................................... 19 2.13 Классификация точек разрыва. .......................................................... 20 3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ......................................................................................... 23 3.1 Производная. ........................................................................................ 23 3.2 Геометрический смысл производной. ............................................... 23 3.3 Применение производных в экономике. ........................................... 24 3.4 Дифференцируемость функции ......................................................... 25 3.5 Основные правила дифференцирования ........................................... 26 3.6 Производные тригонометрических функций и логарифмической функции.............................................................. 27 3.7 Производная от обратной функции. .................................................. 28 3.8 Вычисление производных от показательной функции и обратных тригонометрических функций. ...................................... 28 3.9 Производная от сложной функции. ................................................... 29 3.10 Производная от показательно-степенной функции. ........................ 30 3.11 Таблица основных производных. ...................................................... 30 3.12 Производная от функции, заданной параметрически. .................... 31 3.13 Дифференциал функции ..................................................................... 32 3.14 Производные и дифференциалы высших порядков. ....................... 33 1 114 4 ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. .................................................................................................. 34 4.1 Основные теоремы дифференциального исчисления...................... 34 4.2 Правило Лопиталя. .............................................................................. 37 4.3 Раскрытие неопределенности . ................................................. 38 Раскрытие неопределенностей вида , ,0 , 1 , 0 , 0 .............................................................................................. 38 4.5 Условие постоянства функций на промежутке ................................ 39 4.6 Возрастание и убывание функции ..................................................... 39 4.7 Точки экстремума функции................................................................ 41 4.8 Наибольшее значение и наименьшее значение функции на отрезке .............................................................................................. 43 4.9 Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба. ................. 43 4.10 Асимптоты для графиков функций ................................................... 45 4.11 Схема исследования функций ............................................................ 47 4.12 Приложение исследования функций в экономике. .......................... 50 4.4