До 8 серии включительно с теорией
advertisement
6 класс, серия нс - 1, с теорией и делимостью ТЕОРИЯ. Сформулируйте и докажите признак делимости на 11, 25, 99, 101, 1001, 37, 13. 1. В ряд выписаны 100 чисел. Первые два числа равны 1, а каждое число, кроме первого и последнего, на единицу меньше произведения двух соседних с ним. Чему равно произведение всех этих чисел? 2. В школе учится 450 школьников, которые сидят за 225 партами. Известно, что ровно половина девочек сидит за одной партой с мальчиками. Докажите, что нельзя так пересадить школьников, чтобы ровно половина мальчиков сидела за одной партой с девочками. 3. По кругу лежат 7 непустых коробок, в которых в сумме находится не более 36 бриллиантов. В любых двух соседних коробках количество лежащих в них бриллиантов отличается на 2 или на 3. Какое наибольшее число бриллиантов может лежать в одной коробке? 4. Сколькими способами можно разбить числа 1, 2, …, 13 на несколько групп с равными суммами чисел в этих группах? 5. Найдите все пары натуральных чисел (a, b), для которых НОК(a, b) + НОД(a, b) = 77 6. Можно ли подобрать 6 таких натуральных чисел, чтобы их попарными Наибольшими Общими Делителями были числа 1, 2, 3, ….., 14, 15? 7. Последовательные числа 22, 23 и 24 обладают тем свойством, что в разложение каждого из них на простые множители каждый множитель входит в нечетной степени: 22=21•111, 23=231, 24=23•31. А какое наибольшее количество последовательных натуральных чисел может обладать таким свойством? 8. Известно, что n2= a×b, причем (a, b) = 1. Докажите, что и a, и b – точные квадраты. 9. Остатки от деления натурального числа на 10, 11, 12, …, 20 выписали в строчку. Оказалось, что каждое число, начиная со второго, больше предыдущего. Докажите, что в строчке записаны 11 последовательных целых чисел 10. Из 4 монет одна фальшивая – но неизвестно, легче она или тяжелее настоящей. Кроме того, имеется одна заведомо настоящая монета. Можно ли за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету и выяснить, легче она или тяжелее? 6 класс, серия нс - 1, с теорией и делимостью ТЕОРИЯ. Сформулируйте и докажите признак делимости на 11, 25, 99, 101, 1001, 37, 13. 1. В ряд выписаны 100 чисел. Первые два числа равны 1, а каждое число, кроме первого и последнего, на единицу меньше произведения двух соседних с ним. Чему равно произведение всех этих чисел? 2. В школе учится 450 школьников, которые сидят за 225 партами. Известно, что ровно половина девочек сидит за одной партой с мальчиками. Докажите, что нельзя так пересадить школьников, чтобы ровно половина мальчиков сидела за одной партой с девочками. 3. По кругу лежат 7 непустых коробок, в которых в сумме находится не более 36 бриллиантов. В любых двух соседних коробках количество лежащих в них бриллиантов отличается на 2 или на 3. Какое наибольшее число бриллиантов может лежать в одной коробке? 4. Сколькими способами можно разбить числа 1, 2, …, 13 на несколько групп с равными суммами чисел в этих группах? 5. Найдите все пары натуральных чисел (a, b), для которых НОК(a, b) + НОД(a, b) = 77 6. Можно ли подобрать 6 таких натуральных чисел, чтобы их попарными Наибольшими Общими Делителями были числа 1, 2, 3, ….., 14, 15? 7. Последовательные числа 22, 23 и 24 обладают тем свойством, что в разложение каждого из них на простые множители каждый множитель входит в нечетной степени: 22=21•111, 23=231, 24=23•31. А какое наибольшее количество последовательных натуральных чисел может обладать таким свойством? 8. Известно, что n2= a×b, причем (a, b) = 1. Докажите, что и a, и b – точные квадраты. 9. Остатки от деления натурального числа на 10, 11, 12, …, 20 выписали в строчку. Оказалось, что каждое число, начиная со второго, больше предыдущего. Докажите, что в строчке записаны 11 последовательных целых чисел 10. Из 4 монет одна фальшивая – но неизвестно, легче она или тяжелее настоящей. Кроме того, имеется одна заведомо настоящая монета. Можно ли за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету и выяснить, легче она или тяжелее? 6 класс, серия нс - 2, НЕлюбимая НЕпрерывность 11. Миша и Костя выходят из пункта А, а навстречу им из пункта Б выходят Оля и Андрей. Причем Миша идет в два раза быстрее Кости, а Андрей – в три раза быстрее Оли. Какая встреча произойдёт ближе к пункту А – Оли и Кости или Андрея и Миши? 12. Докажите, что если (n-1)!+1 делится на n, то n – простое число. 13. Известно, что существуют 2013 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа (кстати, а почему? Докажите!). А заодно докажите, что существует 2013 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно 5 простых чисел. 14. В ряд выложено 100 черных и 100 белых шаров, причем самый левый и самый правый шары – черные. Докажите, что можно выбрать слева подряд несколько шаров (но не все!) так, что среди них количество белых равно количеству черных. 15. а) На плоскости дано 100 точек. Докажите, что есть прямая, по обе стороны от которой лежит по 50 точек данного набора. б) На плоскости дана 101 точка. Обязательно ли найдется прямая, которая проходит ровно через одну из данных точек, а по обе стороны от ее лежат по 50 точек из данного набора? 16. а) Цифры числа N как-то переставили, и оно уменьшилось в 3 раза. Доказать, что N делится на 27. б) Суммы цифр чисел A и 2A равны. Докажите, что А делится на 9. 17. Докажите, что простых чисел бесконечно много. 18. На доске написано число 1. Каждую секунду к числу на доске прибавляют сумму его цифр. Может ли через некоторое время на доске появиться число 123456? 19. Докажите, что если НОК(a, a + 5)=НОК(b, b + 5) , то a=b. 20. Два кота делят огромную цепочку из 100 свиных и 200 говяжьих сосисок., причем разделить ее так, чтобы каждому досталось ровно по половине сосисок каждого вида. Какое минимальное число разрезов надо сделать для этого? 6 класс, серия нс - 2, НЕлюбимая НЕпрерывность ТЕОРИЯ по сравнениям 11. Миша и Костя выходят из пункта А, а навстречу им из пункта Б выходят Оля и Андрей. Причем Миша идет в два раза быстрее Кости, а Андрей – в три раза быстрее Оли. Какая встреча произойдёт ближе к пункту А – Оли и Кости или Андрея и Миши? 1. Сравнения можно складывать и вычитать 12. Докажите, что если (n-1)!+1 делится на n, то n – простое число. Если ab (mod m), то ka ≡ kb (mod m), a+tm ≡ b (mod m) 13. Известно, что существуют 2013 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа (кстати, а почему? Докажите!). А заодно докажите, что существует 2013 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно 5 простых чисел. 3. Сравнения можно умножать 14. В ряд выложено 100 черных и 100 белых шаров, причем самый левый и самый правый шары – черные. Докажите, что можно выбрать слева подряд несколько шаров (но не все!) так, что среди них количество белых равно количеству черных. 15. а) На плоскости дано 100 точек. Докажите, что есть прямая, по обе стороны от которой лежит по 50 точек данного набора. б) На плоскости дана 101 точка. Обязательно ли найдется прямая, которая проходит ровно через одну из данных точек, а по обе стороны от ее лежат по 50 точек из данного набора? 16. а) Цифры числа N как-то переставили, и оно уменьшилось в 3 раза. Доказать, что N делится на 27. б) Суммы цифр чисел A и 2A равны. Докажите, что А делится на 9. 17. Докажите, что простых чисел бесконечно много. 18. На доске написано число 1. Каждую секунду к числу на доске прибавляют сумму его цифр. Может ли через некоторое время на доске появиться число 123456? 19. Докажите, что если НОК(a, a + 5)=НОК(b, b + 5) , то a=b. 20. Два кота делят огромную цепочку из 100 свиных и 200 говяжьих сосисок., причем разделить ее так, чтобы каждому досталось ровно по половине сосисок каждого вида. Какое минимальное число разрезов надо сделать для этого? Если a b (mod m) и c d (mod m), то a+c b+d(mod m), a–c b–d(mod m) 2. Сравнения можно умножать на одно и то же число Если a b (mod m) и c d (mod m), то ac bd(mod m) 4. Сравнения можно возводить в степень Если a b (mod m), то an bn (mod m), 5. Сравнения можно делить, если делятся обе части и модуль (тогда модуль ТОЖЕ делится) Если a ≡ b (mod m), a = a1d, b = b1d, m = m1d, то a1 ≡ b1 (mod m1) 6. Сравнения можно делить, если делятся обе части, а модуль ВЗАИМНО ПРОСТ Если a ≡ b (mod m), a = a1d, b = b1d, НОД(m, d)=1, то a1 ≡ b1 (mod m) 7. Если a≡b (mod m1), a≡b (mod m2),…, a≡b (mod mk), то a≡b (mod m), где m = НОК (m1,m2, …, mk) 8. Если a≡b (mod m), то a≡b (mod d), где d | m. 9. Если a≡b (mod m), то (a, m) = (b,m). Отдельная упражнялка по сравнениям 1. На какую цифру оканчивается число а) 777777; б) 72013+92013? 2. Найдите остаток от деления 32013 на 7. 3. Найдите остаток от деления: а) числа 9100 на 8; б) числа 12100 на 13; в) числа 2349 на 7; г) числа 275 276 277 278 на 5. 4. Найти остаток от деления на 3 следующих чисел 6 класс, серия нс - 3, оставшиеся остаточки а) 1316–255515; 21. Сумма цифр числа a равна 13, сумма цифр числа b равна 29. Найдите остатки от деления числа 19a3+22b5 на 3 и на 9 б) 776776+777777+778778 ; в) 418+517. 5. Найдите остаток от деления: а) числа 7778×7779×7780×7781×7782×7783 на 7; б) числа 1000100110021003 – 24 на 999; в) числа 1000100110021003 на 1004. 6. Найти остаток от деления (116+1717)21749 на 8 7. Найдите остаток от деления на 7 числа 1010+10100+…+1010000000000. 8. Пусть 3x+7y 1 (mod 11). а) Показать, что 3x+40y 1 (mod 11). б) Найти остаток от деления 14x-15y на 11. в) Найти остаток от деления 6x+3y на11. 22. На бесконечной шахматной доске стоит Бешеная Черепаха. Она может прыгать «уголком» 4 на 5 клеток. Докажите, что на какой бы клетке ни пытался укрыться от нее ребенок, она сможет укусить его за пятку. 23. У каждого марсианина три руки и несколько антенн. Каждый марсианин взял за руки трех других (так что все руки оказались заняты). Оказалось, что у любых двух из марсиан, взявшихся за руки, количество антенн отличается ровно в 6 раз. Может ли суммарное количество антенн у марсиан быть ровно 2013? 10. На сколько нулей оканчивается число 999999+1? 24. Сколькими способами можно представить число 18000 в виде произведения двух натуральных сомножителей? 11. Доказать, что если a2+b2 делится на 7, то и ab делится на 7. 25. Сколькими способами можно разбить 12 человек на пары? 12. Доказать, что 4323+2343 делится на 66. 26. На окружности отмечены 5 красных, 7 желтых и 9 зеленых точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках, у которых все вершины а) зеленые; б) одноцветные; в) все разноцветные; г) не все одноцветные? 9. Докажите, что 22225555+55552222 делится на 7. 13. Доказать, что 4343+1717 делится на 10. 14. Доказать, что (2n-1)n-3 делится на 2n-3 при любом натуральном n. 15. Доказать, что n3+5n делится на 6 при любом натуральном n. 16. Доказать, что 22n-1+3n+4 1989 17. Доказать, что 2 2 делится на 9 при любом натуральном n. 1 делится на 17. 18. Найти, какие остатки может давать квадрат числа при делении на а) 3; б) 4; в) 5; г) 8; д)16. 19. Найти, какие остатки может давать куб числа при делении на а) 7; б) 9; в) 13. 20. Докажите, что nn≡n (mod 8). 27. a и b – натуральные числа такие, что 17a=14b. Докажите, что 2a+b – составное число. 28. Докажите, что а) 7335–3235делится на 41; б) 52013+82013 делится на 13; 30. а) Найдите p, если p, 2p+1, 4p+1– простые числа; б) Найдите все простые p, для которых 4p2+1 и 6p2+1 тоже простые. 6 класс, серия нс - 3, оставшиеся остаточки 6 класс, серия нс - 4, остатки сладки 31. Докажите, что при любом натуральном n число 36n – 26n делится на 35. 21. Сумма цифр числа a равна 13, сумма цифр числа b равна 29. Найдите остатки от деления числа 19a3+22b5 на 3 и на 9 22. На бесконечной шахматной доске стоит Бешеная Черепаха. Она может прыгать «уголком» 4 на 5 клеток. Докажите, что на какой бы клетке ни пытался укрыться от нее ребенок, она сможет укусить его за пятку. 23. У каждого марсианина три руки и несколько антенн. Каждый марсианин взял за руки трех других (так что все руки оказались заняты). Оказалось, что у любых двух из марсиан, взявшихся за руки, количество антенн отличается ровно в 6 раз. Может ли суммарное количество антенн у марсиан быть ровно 2013? 24. Сколькими способами можно представить число 18000 в виде произведения двух натуральных сомножителей? 25. Сколькими способами можно разбить 12 человек на пары? 26. На окружности отмечены 5 красных, 7 желтых и 9 зеленых точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках, у которых все вершины а) зеленые; б) одноцветные; в) все разноцветные; г) не все одноцветные? 27. a и b – натуральные числа такие, что 17a=14b. Докажите, что 2a+b – составное число. 28. Докажите, что а) 7335–3235делится на 41; б) 52013+82013 делится на 13; 30. а) Найдите p, если p, 2p+1, 4p+1– простые числа; б) Найдите все простые p, для которых 4p2+1 и 6p2+1 тоже простые. 32. Существует ли такой набор из 10 натуральных чисел, что ни одно из них не делится ни на одно из остальных, а квадрат каждого из них делится на каждое из остальных? 33. а) Найдите все k, для которых 2k – 1 делится на 7; б) Докажите, что если 2k – 1 делится на 11, то оно делится на 31. 34. Докажите, что ни при каком натуральном k число 3k + 5k не является квадратом натурального числа. 35. Каким количеством способов можно раскрасить вершины правильного пятиугольника в n цветов, если способы, отличающиеся поворотом, мы считаем одинаковыми? 36. а) Сколькими способами можно расставить на первой горизонтали шахматной доски комплект белых фигур (король, ферзь, два слона, два коня, две ладьи)? б) Тот же вопрос, если слоны должны стоять на клетках разного цвета. 37. Докажите, что 19·8n + 17 является составным при любом натуральном n. 38. Последовательность задана следующим образом: а1 = а2 = 1, аn+2=аn·an+1+1. Докажите, что an – 3 составное число при n ≥ 7. 39. Натуральное число при делении на 25 дает в остатке 24, а при делении на 4 дает в остатке 3. а) Найдите наименьшее такое число. б) Найдите все такие числа, меньшие 1000. в) Найдите общую формулу для таких чисел. 40. За булочками в столовой выстроилась очередь из 15 человек. Тут прибежали четверо мальчиков и влезли в некоторые промежутки между стоящими. Сколько очередей могло получиться, если а) ни в один промежуток не влезло больше одного человека б) в промежуток могло влезть и больше одного человека. 6 класс, серия нс - 4, остатки сладки 31. Докажите, что при любом натуральном n число 36n – 26n делится на 35. 32. Существует ли такой набор из 10 натуральных чисел, что ни одно из них не делится ни на одно из остальных, а квадрат каждого из них делится на каждое из остальных? 2k 33. а) Найдите все k, для которых – 1 делится на 7; б) Докажите, что если 2k – 1 делится на 11, то оно делится на 31. 34. Докажите, что ни при каком натуральном k число 3k + 5k не является квадратом натурального числа. 35. Каким количеством способов можно раскрасить вершины правильного пятиугольника в n цветов, если способы, отличающиеся поворотом, мы считаем одинаковыми? 36. а) Сколькими способами можно расставить на первой горизонтали шахматной доски комплект белых фигур (король, ферзь, два слона, два коня, две ладьи)? б) Тот же вопрос, если слоны должны стоять на клетках разного цвета. 37. Докажите, что 19·8n + 17 является составным при любом натуральном n. 38. Последовательность задана следующим образом: а1 = а2 = 1, аn+2=аn·an+1+1. Докажите, что an – 3 составное число при n ≥ 7. 39. Натуральное число при делении на 25 дает в остатке 24, а при делении на 4 дает в остатке 3. а) Найдите наименьшее такое число. б) Найдите все такие числа, меньшие 1000. в) Найдите общую формулу для таких чисел. 40. За булочками в столовой выстроилась очередь из 15 человек. Тут прибежали четверо мальчиков и влезли в некоторые промежутки между стоящими. Сколько очередей могло получиться, если а) ни в один промежуток не влезло больше одного человека б) в промежуток могло влезть и больше одного человека. 6 класс, серия нс - 5, остатки сладки 41. Докажите, что дробь 5n 4 несократима при всех натуральных n. 6n 5 42. Докажите, что произведение последней цифры числа 2n и суммы всех цифр этого числа, кроме последней, делится на 3. 43. n+1 длится на 3. Докажите, что 7n+4 делится на 3. 44. На берегу моря стоит большая пустая цистерна с краном, и две разных канистры емкостью 16 и 25 литров. Можно ли налить в эту цистерну ровно 2013 литров воды? А 2014? 45. Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом? 46. В стране 100 городов. Некоторые пары городов соединены дорогами, причем из каждого города выходит ровно 5 дорог. Страна разделилась на 2 республики по 50 городов в каждой. Докажите, что в первой республике дорог, соединяющих её города, столько же, сколько во второй. 47. В бассейн ведут две одинаковых трубы. Одна труба заполняет бассейн за 3 часа. Сначала включили обе трубы, но через час одна из труб засорилась и через нее вода стала поступать вдвое медленнее. Через сколько времени бассейн заполнится? 48. Семь футбольных команд провели турнир в один круг, причем каждая команда ровно два матча выиграла и ровно два проиграла. Могло ли такое случиться, что никакие 3 команды не выиграли друг у друга по циклу (то есть нет трёх таких команд А, Б и В, что А выиграла у Б, Б — у В, а В — у А)? 49. Даны 20 различных натуральных чисел. Девять из них делятся на 19, восемь из них делятся на 18, семь из них делятся на 17. Докажите, что одно из них больше 600. 50. Сложили числа 9, 99, 999, …, 99…99 (2013 девяток). Сколько единиц в записи получившейся суммы? 6 класс, серия нс - 5, остатки сладки 41. Докажите, что дробь 5n 4 несократима при всех натуральных n. 6n 5 42. Докажите, что произведение последней цифры числа 2n и суммы всех цифр этого числа, кроме последней, делится на 3. 43. n+1 длится на 3. Докажите, что 7n+4 делится на 3. 44. На берегу моря стоит большая пустая цистерна с краном, и две разных канистры емкостью 16 и 25 литров. Можно ли налить в эту цистерну ровно 2013 литров воды? А 2014? 45. Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом? 46. В стране 100 городов. Некоторые пары городов соединены дорогами, причем из каждого города выходит ровно 5 дорог. Страна разделилась на 2 республики по 50 городов в каждой. Докажите, что в первой республике дорог, соединяющих её города, столько же, сколько во второй. 47. В бассейн ведут две одинаковых трубы. Одна труба заполняет бассейн за 3 часа. Сначала включили обе трубы, но через час одна из труб засорилась и через нее вода стала поступать вдвое медленнее. Через сколько времени бассейн заполнится? 48. Семь футбольных команд провели турнир в один круг, причем каждая команда ровно два матча выиграла и ровно два проиграла. Могло ли такое случиться, что никакие 3 команды не выиграли друг у друга по циклу (то есть нет трёх таких команд А, Б и В, что А выиграла у Б, Б — у В, а В — у А)? 49. Даны 20 различных натуральных чисел. Девять из них делятся на 19, восемь из них делятся на 18, семь из них делятся на 17. Докажите, что одно из них больше 600. 50. Сложили числа 9, 99, 999, …, 99…99 (2013 девяток). Сколько единиц в записи получившейся суммы? 6 класс, серия нс - 6, осторожно с банком! 6 класс, серия нс - 6, осторожно с банком! 51. Прямая раскрашена в два цвета. Доказать, что обязательно найдется отрезок, концы и середина которого окрашен одинаково. 51. Прямая раскрашена в два цвета. Доказать, что обязательно найдется отрезок, концы и середина которого окрашен одинаково. 52. В классе 25 человек, причем среди любых трех из них есть пара друзей. Докажите, что в классе есть человек, у которого не менее 12 друзей. 52. В классе 25 человек, причем среди любых трех из них есть пара друзей. Докажите, что в классе есть человек, у которого не менее 12 друзей. 53. У ослика Иа-Иа есть 10 палочек. Докажите, что сломав не более двух из них (ослик ломает палочки на две части), он сможет сложить из всех палочек контур прямоугольника. 53. У ослика Иа-Иа есть 10 палочек. Докажите, что сломав не более двух из них (ослик ломает палочки на две части), он сможет сложить из всех палочек контур прямоугольника. 54. Плоскость окрашена в два цвета (то есть каждая точка имеет один из двух цветов). Докажите, что есть а) равносторонний треугольник; б) прямоугольник, все вершины которого окрашены в один цвет. 54. Плоскость окрашена в два цвета (то есть каждая точка имеет один из двух цветов). Докажите, что есть а) равносторонний треугольник; б) прямоугольник, все вершины которого окрашены в один цвет. 55. В классе из 32 человек создано 33 кружка, причем каждый кружок состоит из трех человек, и никакие два кружка не совпадают по составу. Докажите, что найдутся два кружка, которые пересекаются ровно по одному ученику. 55. В классе из 32 человек создано 33 кружка, причем каждый кружок состоит из трех человек, и никакие два кружка не совпадают по составу. Докажите, что найдутся два кружка, которые пересекаются ровно по одному ученику. 56. S(n) – сумма цифр числа n. Найдите все такие натуральные числа n, что 0 n+S(n)= 2014. б) Придумайте пример такого года, что уравнение n+S(n)= А, А – номер года, не решается. 56. S(n) – сумма цифр числа n. Найдите все такие натуральные числа n, что 0 n+S(n)= 2014. б) Придумайте пример такого года, что уравнение n+S(n)= А, А – номер года, не решается. 57. Докажите, что если уравнение n+S(n)= А, А – номер года, не решается, то уже на следующий год оно точно будет иметь решение 57. Докажите, что если уравнение n+S(n)= А, А – номер года, не решается, то уже на следующий год оно точно будет иметь решение 58. На доске было написано число вида 777…77. Витя стер у этого числа последнюю цифру, полученное число умножил на 3 и к произведению прибавил стертую цифру. С полученным числом он проделал ту же операцию и.т.д. Докажите, что через некоторое время у него получится число 7. 58. На доске было написано число вида 777…77. Витя стер у этого числа последнюю цифру, полученное число умножил на 3 и к произведению прибавил стертую цифру. С полученным числом он проделал ту же операцию и.т.д. Докажите, что через некоторое время у него получится число 7. 59. Вася положил на счет в банк 3 рубля. Каждый день к счету в этом банке прибавляется количество рублей, равное сумме цифр текущего счета. Когда Вася пришел забирать свой вклад, ему выдали ровно 1000000 рублей. Докажите, что его обсчитали. 59. Вася положил на счет в банк 3 рубля. Каждый день к счету в этом банке прибавляется количество рублей, равное сумме цифр текущего счета. Когда Вася пришел забирать свой вклад, ему выдали ровно 1000000 рублей. Докажите, что его обсчитали. 60. Вася решил быть осторожнее и положил на счет в банк 1 рубль. По-прежнему каждый день к счету в этом банке прибавляется количество рублей, равное сумме цифр текущего счета. Когда Вася пришел забирать свой вклад, ему выдали 3000000 рублей. Докажите, что его снова обсчитали. 60. Вася решил быть осторожнее и положил на счет в банк 1 рубль. По-прежнему каждый день к счету в этом банке прибавляется количество рублей, равное сумме цифр текущего счета. Когда Вася пришел забирать свой вклад, ему выдали 3000000 рублей. Докажите, что его снова обсчитали. 6 класс, серия нс - 7, граф Евклид! 6 класс, серия нс - 7, граф Евклид! Теория. (a, b) = НОД(a, b), [a, b] = НОК(a, b). Алгоритм Евклида (a, b) = (a–b, b). Подумайте, почему он работает (то есть дает правильный результат за конечное время). Как его усовершенствовать? Теория. (a, b) = НОД(a, b), [a, b] = НОК(a, b). Алгоритм Евклида (a, b) = (a–b, b). Подумайте, почему он работает (то есть дает правильный результат за конечное время). Как его усовершенствовать? 61. 20 школьников решали 20 задач. Каждый решил ровно две задачи, и каждую задачу решили ровно двое. Доказать, что можно устроить разбор задач так, чтобы каждый рассказал одну решённую им задачу. 61. 20 школьников решали 20 задач. Каждый решил ровно две задачи, и каждую задачу решили ровно двое. Доказать, что можно устроить разбор задач так, чтобы каждый рассказал одну решённую им задачу. 62. На вечере ни один мальчик не танцевал со всеми девочками, а каждая девочка танцевала хотя бы с одним мальчиком. Доказать, что существует 2 мальчика и 2 девочки такие, что первый танцевал с первой, второй -- со второй, а первый со второй и второй с первой не танцевали. 62. На вечере ни один мальчик не танцевал со всеми девочками, а каждая девочка танцевала хотя бы с одним мальчиком. Доказать, что существует 2 мальчика и 2 девочки такие, что первый танцевал с первой, второй -- со второй, а первый со второй и второй с первой не танцевали. 63. Треть книжной полки занимают словари толщиной 5 мм, а оставшиеся две трети занимают энциклопедии толщиной 7 мм. Докажите, что на полке не менее 17 книг. 63. Треть книжной полки занимают словари толщиной 5 мм, а оставшиеся две трети занимают энциклопедии толщиной 7 мм. Докажите, что на полке не менее 17 книг. 64. Верно ли, что при всех целых n число n2+n+41 простое? 64. Верно ли, что при всех целых n число n2+n+41 простое? 65. Докажите, что при n>2 число n!-1 не является точным квадратом. 65. Докажите, что при n>2 число n!-1 не является точным квадратом. 66. Сколько решений в целых числах имеет уравнение 72х – 6y = 15? 66. Сколько решений в целых числах имеет уравнение 72х – 6y = 15? 67. Найдите наибольший общий делитель чисел 2А+13 и А+7. 67. Найдите наибольший общий делитель чисел 2А+13 и А+7. 68. Над строкой можно производить следующие операции: стереть все числа, стоящие на четных местах или стереть все числа, стоящие на нечетных местах. Над строкой 1, 2, 3, ..., 100 последовательно выполняют одну из указанных операций до тех пор, пока не останется два числа. Могут ли они оба делится на 3? 68. Над строкой можно производить следующие операции: стереть все числа, стоящие на четных местах или стереть все числа, стоящие на нечетных местах. Над строкой 1, 2, 3, ..., 100 последовательно выполняют одну из указанных операций до тех пор, пока не останется два числа. Могут ли они оба делится на 3? 69. Гусеница ползает по проволочному каркасу куба. Сможет ли гусеница совершить путешествие по всем двенадцати ребрам, не проползая дважды по одному ребру? 69. Гусеница ползает по проволочному каркасу куба. Сможет ли гусеница совершить путешествие по всем двенадцати ребрам, не проползая дважды по одному ребру? 70. Найдите НОД (11…1, 11…1), если в записи первого числа 100 единиц, а в записи второго – 60 единиц. 70. Найдите НОД (11…1, 11…1), если в записи первого числа 100 единиц, а в записи второго – 60 единиц. 6 класс, серия нс – 8, математическая индукция 6 класс, серия нс – 8, математическая индукция 71. а) Докажите, что доску 4×4 с вырезанной угловой клеткой можно разрезать на уголки. б) Докажите то же утверждение для доски 8×8. в) докажите, что доску 64×64 с одной вырезанной клеткой (не обязательно угловой) можно разрезать на уголки. г) Докажите это же утверждение для доски 2n×2n. 71. а) Докажите, что доску 4×4 с вырезанной угловой клеткой можно разрезать на уголки. б) Докажите то же утверждение для доски 8×8. в) докажите, что доску 64×64 с одной вырезанной клеткой (не обязательно угловой) можно разрезать на уголки. г) Докажите это же утверждение для доски 2n×2n. 72. (Игра "Ханойская башня") Имеется пирамида с n кольцами возрастающих размеров и еще два пустых стержня той же высоты. Разрешается перекладывать верхнее кольцо с одного стержня на другой, но при этом запрещается класть большее кольцо на меньшее. Докажите, что a) можно переложить все кольца с первого стержня на один из пустых стержней; b) это можно сделать за 2n-1 перекладывание. 72. (Игра "Ханойская башня") Имеется пирамида с n кольцами возрастающих размеров и еще два пустых стержня той же высоты. Разрешается перекладывать верхнее кольцо с одного стержня на другой, но при этом запрещается класть большее кольцо на меньшее. Докажите, что a) можно переложить все кольца с первого стержня на один из пустых стержней; b) это можно сделать за 2n-1 перекладывание. 73. Плоскость поделена на области несколькими прямыми. Докажите, что эти области можно раскрасить в два цвета так, чтобы любые две соседние области были раскрашены в различные цвета. (Соседние области – это области, имеющие общий участок границы.) 73. Плоскость поделена на области несколькими прямыми. Докажите, что эти области можно раскрасить в два цвета так, чтобы любые две соседние области были раскрашены в различные цвета. (Соседние области – это области, имеющие общий участок границы.) 74. а) Докажите, что квадрат можно разрезать на n квадратов для любого n≥6. б) Докажите, что правильный треугольник можно разрезать на n правильных треугольников для любого n≥6. 74. а) Докажите, что квадрат можно разрезать на n квадратов для любого n≥6. б) Докажите, что правильный треугольник можно разрезать на n правильных треугольников для любого n≥6. 75. Докажите, что любое число можно представить как сумму нескольких различных степеней двойки (т.е. перевести его в двоичную систему счисления). 75. Докажите, что любое число можно представить как сумму нескольких различных степеней двойки (т.е. перевести его в двоичную систему счисления). 76. На плоскости даны N прямых общего положения. Найти число частей, на которые они делят эту плоскость. 76. На плоскости даны N прямых общего положения. Найти число частей, на которые они делят эту плоскость. 77. НА плоскости даны N прямых общего положения. Докажите, что к каждой прямой прилегает хотя бы один треугольник. 77. НА плоскости даны N прямых общего положения. Докажите, что к каждой прямой прилегает хотя бы один треугольник. 78. В компании из k человек (k>3) у каждого появилась новость, известная ему одному. За один телефонный разговор двое сообщают друг другу все известные им новости. Докажите, что за 2k-4 разговора все они могут узнать все новости. 78. В компании из k человек (k>3) у каждого появилась новость, известная ему одному. За один телефонный разговор двое сообщают друг другу все известные им новости. Докажите, что за 2k-4 разговора все они могут узнать все новости. 79. Докажите, что а) в каждом дереве есть лист; б) и даже два; в) если в дереве n вершин, то в нем n–1 ребро. 79. Докажите, что а) в каждом дереве есть лист; б) и даже два; в) если в дереве n вершин, то в нем n–1 ребро. 80. Докажите, что число 111…1 (729 единиц) делится на 729. 80. Докажите, что число 111…1 (729 единиц) делится на 729.
