Глава 1. Математические закономерности живой природы.
advertisement
Оглавление Оглавление .............................................................................................1 Введение..................................................................................................2 Глава 1. Математические закономерности живой природы. ......3 Глава 2. Принципы формообразования в природе .............................6 Глава 3. Золотое сечение ......................................................................9 Глава 4. Геометрическая рапсодия Эшера. .....................................16 Глава 5. Трансцендентное число .................................................18 Список использованной литературы. ...............................................20 1 Введение. При поверхностном знакомстве с математикой она может показаться непостижимым лабиринтом формул, числовых зависимостей и логических тропинок. Случайных посетителей, не познавших подлинной ценности математических сокровищ, страшит сухая схема математических абстракций, сквозь которую математик видит живое многоцветье реальности. Тот же, кто постиг удивительный мир математики, не остаётся только восторженным созерцателем её сокровищ. Он сам стремится создавать новые математические объекты, ищет пути решения новых задач, или новые, более совершенные, решения уже решённых задач. Уже найдено и опубликовано более 300 доказательств теоремы Пифагора, десятки неклассических квадратур круга, трисекций угла и удвоений куба. Но неспокойная пытливая мысль влечёт к новым поискам. При этом даже более чем сам результат привлекает поиск его. Это закономерно. Ведь путь к решению каждой достаточно содержательной задачи – всегда изумительная цепь умозаключений, сцементированная законом логики. Математическое творчество – подлинное творчество ума. Вот что писал советский математик Г.Д.Суворов: «Теорема, записанная логически безупречно, действительно представляется лишённой какого-либо поэтического начала и кажется не плодом пламенной фантазии, а хмурым ребёнком мамы-логики. Но никто не знает, кроме учёного, какой вихрь фантазий и поэтических взлётов породил в действительности эту теорему. Ведь она была крылатой, экзотической бабочкой, прежде чем её пленили, усыпили логикой и прикололи к бумаге булавками доказательств!». Закономерно, что в своих воспоминаниях К.Ф.Гаусс, А.Пуанкаре, Ж.Адамар, А.Н.Колмогоров и др. выдающиеся математики рассказали о великой радости, подлинном эстетическом наслаждении, которое они пережили, ища ответы на нерешённые задачи, которые для них были дорогами в незнаемое. Поскольку они шли к этим решениям впервые, и математика подарила им полную меру радости первооткрывателей. В некоторых задачах среди многих дорог к ответу есть одна, самая неожиданная, часто тщательно «замаскированная» и, как правило, самая красивая и желанная. Большое счастье найти её и по ней пройти. Поиск таких решений, умение выйти за пределы возможностей уже известных алгоритмов является подлинной эстетической математического творчества. 2 Глава 1. Математические закономерности живой природы. Живая природа демонстрирует многочисленные симметричные формы организмов. Во многих случаях симметричная форма организма дополняется красочной симметричной расцветкой. Маленький, едва достигающий 4 мм берёзовый долгоносик, конечно же, не знает высшей математики. Но, изготовляя колыбельку для своего потомства, он «вычерчивает», вернее вырезает на листке дерева эволюту – кривую, представляющую собой множество центров кривизны листка. Сам же край листка будет эвольвентой по отношению к кривой, прорезаемой долгоносиком. Сложным геометрическим закономерностям подчинена архитектура ячейки пчелиных сот. Теоретические кривые и численности популяций фазовая в кривая колебаний совокупности двух взаимодействующих видов (биоценоза) «хищник-жертва». 3 Вито Вольтера итальянский (1860-1940) – математик. выдающийся Построил теорию динамики численности биологических популяций, в которой применил метод дифференциальных уравнений. Как и большинство математических моделей биологических явлений, она исходит из многих упрощающих предположений. В прыжках центр массы животных описывает хорошо известную фигуру - квадратную параболу, ветви которой обращены вниз: y=ax2, a>1, a<0. 4 Красивы контуры листьев многих растений. С большой точностью формы их описываются изящными уравнениями в полярной или декартовой системе координат. 5 Глава 2. Принципы формообразования в природе Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали. Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, уравнению, вычерченная называется по его этому именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике. Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни». 6 Листья на молодых побегах растений располагаются по пространственной спирали. А рассматривая их сверху, обнаружим вторую спираль, поскольку они располагаются ещё так, чтобы не мешать друг солнечный другу свет. воспринимать Расстояния между отдельными листьями характеризуются числами ряда Фибоначчи: 1,1,2,3,5,8,…,un, un+1,…, где un=un-1+un-2. В подсолнухе семечки расположены по характерным дугам, близким к двум семействам логарифмических спиралей. Раковина моллюсков Nautilus, Haliotis и других формируются в форме логарифмической спирали:p=ae b φ. 7 Природа предпочла логарифмическую спираль благодаря многим замечательным свойствам этой кривой. Например, она не изменяется при преобразовании подобия. Следовательно, организму нет надобности перестраивать архитектуру своего тела в процессе роста. Ярким примером асимметрии живого на субмолекулярном уровне является вторичная форма материальных носителей наследственной информации двойная спираль молекулы-гиганта ДНК. Но ДНК – уже спираль, накрученная на нуклеосому, она – спираль вдвойне. Жизнь возникает в трудноуловимом, поразительно точном процессе реализации планов природы-архитектора, согласно которым строятся молекулы белка. Паук плетёт свою западню в форме сложной трансцендентной кривой – логарифмической спирали p=ae b φ 8 Глава 3. Золотое сечение Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a : b = c : d. Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами: на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС; на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют); таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС. Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b = b : c или с : b = b : а. Геометрическое изображение золотой пропорции Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC Из точки В восстанавливается перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии 9 откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям. Свойства золотого сечения описываются уравнением: x2 – x – 1 = 0. Решение этого уравнения: Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения. История золотого сечения Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления. Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников. 10 Динамические прямоугольники Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления. В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления. В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным. В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии. Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными 11 иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь отрезок – бога духа святого). Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь отрезок – бога духа святого). Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное. В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать». Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера. Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). 12 В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой». Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д. Золотые пропорции в фигуре человека 13 Золотые пропорции в частях тела человека В конце XIX – начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д. Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Цикорий Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения. 14 В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Ящерица живородящая И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого. Яйцо птицы Великий Гете, поэт, естествоиспытатель и художник (он рисовал и писал акварелью), мечтал о создании единого учения о форме, образовании и преобразовании органических тел. Пьер Кюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды. Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия. Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863...1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии. 15 Глава 4. Геометрическая рапсодия Эшера. Голландский художник Маур Корнелюс Эшер(1898-1971) создал зрительных образов, целый мир раскрывающих фундаментальные идеи и закономерности математики, физики, психологические особенности восприятия человеком объектов реальной действительности в окружающем нас трёхмерном пространстве. Неограниченность пространства, зеркальные образы, противоречия между плоскостью и пространством - все эти понятия воплощены в запоминающихся, исполненных особого очарования образах. Ящерицы в наглядном виде представляют геометрические отображения, изучаемые в средней школе. Всадники дают прекрасное наглядное представление о параллельном переносе, симметрии, заполнении всей фигурами сложной конфигурации. 16 плоскости «Куб и волшебные ленты». Ленты «Бельведер» - не просто - действительно волшебные: геометрическая шутка, а целый «протуберанцы» на них можно комплекс неожиданностей, рас сматривать признак и выпуклости, порождённых особенностями и вогнутости. восприятия человеком предметов Достаточно изменить точку зрения, в трёхмерном пространстве. как ленты сразу перекрутятся Мауриц Корнелюс Эшер создал уникальную галерею картин, принадлежащих одновременно искусству и науке. Они иллюстрируют теорию относительности Эйнштейна, строение материи, геометрические преобразования, топологию, кристаллографию, физику. Об этом свидетельствуют названия некоторых альбомов художника: «Неограниченное пространство», «Зеркальные образы», «Инверсии», «Многогранники», «Относительности», «Противоречия между плоскостью и пространством», «Невозможные конструкции». «Я часто чувствую себя ближе к математикам, чем к своим коллегам-художникам», - писал Эшер. И действительно, его картины необычны, они наполнены глубоким философским смыслом, передают сложные математические отношения. Репродукции картин Эшера широко используются как иллюстрации в научных и научно-популярных книгах. 17 Глава 5. Трансцендентное число Природа числа - одна из самых больших загадок математики. Интуиция подсказывала, что длина окружности и её диаметр – величины в равной степени постижимые. многие ученые В книге «Кошмары выдающихся личностей» известный английский математик и философ Бертран Рассел писал: «Лицо Пи было скрыто маской. Все понимали, что сорвать её, оставшись при этом в живых, не сможет никто. Сквозь прорези маски пронзительно, безжалостно, холодно и загадочно смотрели математического понятия излишне верно. Действительно, история числа глаза». Может быть, для описания патетично, однако, в общем, - это волнующие страницы многовековой победной поступи математической мысли, неутомимого труда открывателей истины. Были на этом пути триумфы побед, были горькие поражения, драматические коллизии и комические недоразумения. Учёные проделали гигантскую работу поиска, раскрывая арифметическую природу одного из самых неподдающихся, загадочных и популярных чисел – числа, обозначаемого греческой буквой . Шумеро-вавилонские математики вычисляли длину окружности и площадь круга с приближениями, которым соответствует значение =3, знали они и более точное приближение В папирусе Райна (Ахмеса) указывается, что площадь круга равна (8/9*2R)2=256/81R2 Это означает, что ≈3,1605… . Архимед первым поставил задачу вычисления длины окружности и площади круга на научную основу. Итак, r = > 48a96≈3,1410>3 10/71 Учёный вычислил верхний предел (3 1/7): 3 10/71≈3,14084…< <3 1/7≈3,14258. Узбекский математик и астроном аль-Каши, работавший в научном центре известного математика и астронома Улугбека, вычислил число 2 десятичных знаков: 2 с точностью до 16 правильных 83 185 307 179 5866. С помощью удвоения числа сторон правильных, вписанных в окружность многоугольников он получил многоугольник с 800 355 168 сторонами. 18 Голландский математик Лудольф Ван Цейлен (1540-1610) вычислил 35 десятичных знаков и завещал высечь это значение на своём могильном памятнике. Одна из красивейших квадратур круга, 19 выполненная польским математиком А.А.Коханьским (1631-1700). Все построения выполняются при одном и том же растворе циркуля и быстро приводят к достаточно хорошему приближению числа. Иоганн Генрих Ламберт (1728-1777) – немецкий математик, физик, астроном и философ. Сделал решающий шаг к разгадке числа . В1766г. он доказал иррациональность числа Итог раскрытию тайны числа подвёл немецкийматематик Фердинанд Линдеман (1852-1939). В 1882г. он доказал, что число является трансцендентным. Тем самым была доказана невозможность квадратуры круга в классической постановке этой задачи. Случайные события: реализовались с они помощью бросания иголки и также помогали учёным вычислить число с достаточно высокой точностью. Эту задачу впервые поставил и осуществил французский естествоиспытатель Жорж Луи Леклерк Бюффон(1707-1788). Таким самым способом швейцарский астроном и математик Рудольф Вольф (1816-1896)в результате 5 тысяч бросаний иголки нашёл, что =3,1596. Другие учёные получили следующие результаты: при 3204 бросаниях =3,1533; при 3408 бросаниях =3,141593. Список использованной литературы. 1. Энциклопедический словарь юного математика 2. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые.- М.: Наука, 1976 3. Маркушевич А.И. Замечательные кривые. – М., Наука, 1978 4. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. – М., Наука, 1984 5. Глейзер Г.И. История математики в школе., М., Просвещение, 1982 20 6. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. М., Мир. 1978 7. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Выща школа, 1989. 8. Кеплер И. О шестиугольных снежинках. – М., 1982. 9. Дюрер А. Дневники, письма, трактаты – Л., М., 1957. 10. Цеков-Карандаш Ц. О втором золотом сечении. – София, 1983. 11. Стахов А. Коды золотой пропорции. 21