Урок алгебры

Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям. 8 класс
Хорева Галина Михайловна
Цель урока: закрепить умение решения уравнений, сводящихся к квадратным.
Образовательная задача: познакомить учащихся с симметрическими уравнениями 4-й и 5-й
степени.
Воспитательная задача: развить у учащихся интерес к истории математики.
Техническое оснащение урока: компьютер, проектор для демонстрации презентации, экран.
Тип урока: урок обобщения и систематизации полученных знаний и выполнения практических
работ.
Ход урока.
I. Организация начала урока.
II. Презентация о Омаре Хайяме (презентация подготовлена учеником 8А класса Павленко А.)
III. Основная часть.
Решение уравнений методом замены переменной.
1.
1
1
1
 2 1 .
2
x
4
x
Уравнение составлено персидским ученым Омаром Хайямом (1048-1122гг.)
Используем метод замены переменной
t 2  2t  1
1
4
5

t   2

t  1
 2
Возвращаемся к исходной переменной:
5
1
x   2

1  1
 x 2
2

x   5

x  2
1
 t , решаем квадратное уравнение:
x
 2 
; 2 .
 5 
Ответ: 
x  12 x 2  2 x   12 .
2.
Замечаем,  x  1  x 2  2 x  1 , следовательно, замена x 2  2 x  t ,
2
t  1  t  12,
t 2  t  12  0
По теореме, обратной теореме Виета,
t  4
t  3

 x 2  2 x  4
 2
 x  2 x  3
x 2  2x  4  0
 2
 x  2 x  3  0

x  1

 x  3
Ответ:  3;1.
3. Самостоятельно решим уравнения с последующей проверкой:
x  34  13  x  32  36  0 ;
a.
Замена  x  3  t , t  0 .
2
Ответ:  6;  5;  1; 0.


b. x 4  a 2  9  x 2  9a 2  0 ;
Замена x 2  t , t  0 .
Ответ:  3;  a.
4 x 2  2  2 x  1  34  4 x
4.
4x
2

 4 x  1  2  2 x  1  35  0
2 x  12  2  2 x  1  35  0
2 x  1  2  2 x  1  35  0
2
Обозначив 2 x  1  t , t  0 , получим
t 2  2t  35  0
t  7
t  5, не удовлетв. t  0

Возвращаемся к исходной переменной:
2x  1  7
2 x  1  7
2 x  1  7

x  4
 x  3

Ответ:  3; 4.
5. Решим уравнение
 2 16  
x  2 x 
x  

Заменим x 
4
  12  0
x
4
 t , тогда
x
x2 
16
 8  t 2 , следовательно
2
x
x2 
16
 t2 8.
x2
Поставим в уравнение, получим
t 2  8  t  12  0
t 2  t  20  0
t  5
t  4

Осталось решить

x 

x 

4
5
x
4
 4
x
 x 2  5x  4  0
 2
 x  4 x  4  0

5 5
x 
2

 x  2

Ответ:  2;

5 5
.
2 
IV. Физкульминутка.
6. Поставим новую задачу: решить уравнение
x 4  7 x 3  14 x 2  7 x  1  0 .
Уравнение симметрическое. Поделим на x 2  0 .


Получим  x 2 
1 
1

 7   x    14  0 .
2 
x
x 

Такое уравнение решаем заменой
x
1
 t , следовательно
x
x2 
1
 t2  2
2
x
и t 2  7t  12  0
t  3
t  4


x 

x 

1
3
x
1
4
x
 x 2  3x  1  0
 2
 x  4 x  1  0

3 5
x 
2

 x  2  3
3  5

; 2  3 .
 2

Ответ: 
7. Еще одно симметрическое уравнение
2 x 5  5 x 4  13x 3  13x 2  5 x  2  0
Перегруппируем левую часть






2  x 5  1  5  x 4  x  13  x 3  x 2  0




2  x  1 x 4  x 3  x 2  x  1  5x  x  1 x 2  x  1  13x 2  x  1  0
x  12 x 4  2 x 3  2 x 2  2 x  5x 3  5x 2  5x  13x 2  2  0
x  1  0
 4
3
2
2 x  3x  16 x  3x  2  0
 x  1
 4
3
2
2 x  3x  16 x  3x  2  0
1 
1


2   x 2  2   3   x    16  0
x
x 


Дальше решаем самостоятельно.


Ответ:  2  3;  1; 2;
1
.
2
V. Подведение итогов.
На уроке мы:
1. познакомились с известным персидским ученым Омаром Хайямом;
2. закрепили умение решения уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям с помощью
замены переменной;
3. познакомились с симметрическими уравнениями
4-й степени a 4 x 4  a3 x 3  a 2 x 2  a3 x  a 4  0
и 5-й степени a1 x 5  a 2 x 4  a3 x 3  a3 x 2  a 2 x  a1  0
Это уравнение имеет корень x1  1.
В оставшееся время работаем по задачнику Галицкого №№ 9.23; 9.24; 9.25 (а, в)
Домашнее задание: Галицкий 9.23; 9.24; 9.25.