original_posl - Новгородский государственный университет

Комитет по образованию Администрации Великого Новгорода
Институт образовательного маркетинга и кадровых ресурсов
Е. М. Кондрушенко
Функции, уравнения и
неравенства в школьном
курсе математики
Великий Новгород
2007
1
ББК 74.262.2
К64
Рецензенты:
Пузанова Л. И., учитель математики
гимназии № 2 Великого Новгорода, Заслуженный учитель РФ
Коваленко Д. В., кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры алгебры и геометрии НовГУ имени Ярослава Мудрого
К64
Кондрушенко Е. М.
Функции, уравнения и неравенства в школьном курсе математики. — Великий Новгород: МОУ ПКС «Институт образовательного маркетинга и кадровых ресурсов», 2007. — 104 с.
В пособии рассматриваются методические аспекты обучения материалу содержательных линий «Функции», «Уравнения и неравенства» в
общеобразовательных учреждениях. Особое внимание уделяется необходимости раскрытия в процессе обучения взаимосвязи, взаимозависимости материала всех содержательных линий курсов алгебры, алгебры и
начал анализа для его активного усвоения. На основе анализа выполнения выпускниками заданий типа С единого государственного экзамена
по математике выделяются типичные ошибки, вскрываются причины их
появления, указываются пути предупреждения и устранения.
Книга предназначена для преподавателей теории и методики обучения математики, учителей математики, студентов-математиков учительских специальностей.
ББК 74.262.2
© Кондрушенко Е. М., 2007
© МОУ ПКС «Институт образовательного маркетинга и кадровых ресурсов»,
2007
2
Содержание
Введение ………………………………………………………....
4
Функции в школьном курсе математики
Различные подходы к определению
понятия функции ……………………………….....................
Изучение понятия функции, свойств функций и
конкретных видов функций в школьном курсе
математики
6
Развитие понятия функции в школьном курсе
математики……………………………………………………. 9
Методика изучения понятия «функция» и общих
свойств функций …………………………………………….. 11
Методические аспекты изучения некоторых понятий
темы «Производная» ……………………………………….. 19
Взаимосвязь функциональной линии с другими
содержательными линиями школьного курса
математики…….………………………………………………. 34
Уравнения, неравенства и их системы в школьном
курсе математики
Развитие содержательной линии «Уравнения и
неравенства» в школьном курсе математики ………….. 44
Методика изучения некоторых видов уравнений и
неравенств в школе …………………………………………… 63
Обучение учащихся решению текстовых задач ………… 84
Заключение ……………………………………………………... 101
Литература ……………………………………………………. 102
3
Введение
Основными содержательными линиями школьных курсов алгебры, алгебры и начал анализа являются:
- числа и вычисления;
- выражения и их преобразования;
- функции;
- уравнения и неравенства.
Эти линии являются сквозными (пронизывают весь школьный
курс с 1-го по 11-й классы), взаимосвязанными (без изучения чисел невозможно изучать понятие числовой функции, свойства
функций помогают решать уравнения и неравенства, имеющие
областью определения конкретные числовые множества и т. д.),
взаимозависимыми (непонимание материала одной линии ведет к
формальному усвоению материала других линий), взаимопроникающими (иногда не совсем ясно, к какой содержательной линии
следует отнести конкретный материал, изучаемый на уроке). Изучение ведущих понятий каждой линии ведется по восходящей
спирали. Сначала осуществляется пропедевтика понятия: учащиеся знакомятся с ведущим понятием и некоторыми сопутствующими ему понятиями на наглядно-интуитивном уровне через решение простейших задач. Затем выстраивается пропедевтический
курс, в котором дается определение ведущего понятия линии исторически более раннее (например, функция определяется как
зависимость значений одной переменной величины от другой) и
адаптированное на определенную возрастную группу; определяются некоторые сопутствующие понятия и решаются простейшие
задачи основных видов. И, наконец, как правило, в старшей школе, даются строгие формальные определения ведущего и сопутствующих понятий, формулируются и доказываются свойства,
строго обосновываются решения задач основных видов. В последующем происходит расширение каждого класса задач за счет повышения уровня сложности и включения элементов новых знаний.
Основная цель обучения — качественное и активное овладение учащимися системой понятий, свойств и умений, заложенных
в программу по алгебре, алгебре и началам анализа. Достижение
4
этой цели возможно лишь в том случае, когда учащиеся осознают
взаимосвязь изучаемого материала, умеют выделять в нем важные
общие существенные моменты, видеть принципиальные различия.
Курсы алгебры, алгебры и начал анализа не должны представляться как наборы отдельных ничем не связанных тем, материал которых надо запомнить. Поэтому организация учителем систематического, системного повторения, раскрывающего общность, взаимосвязь ранее изученного и изучаемого материала, является необходимым элементом в его работе. Одним из средств организации
такого повторения является система специально подобранных
(или составленных) упражнений.
Рассмотрим с указанных выше позиций методические аспекты изучения наиболее проблемных вопросов материала содержательных линий «Функции», «Уравнения и неравенства». Методические аспекты изучения материала содержательных линий «Числа и вычисления», «Выражения и их преобразования» рассматривались в книге [16].
5
ФУНКЦИИ В ШКОЛЬНОМ
КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
Различные подходы к определению
понятия функции
Функциональная линия является ведущей линией школьного
курса математики. Это связано прежде всего с фундаментальностью самого понятия «функция», отражающего процессы и явления реальной действительности. Идея функциональной зависимости восходит к древности. Она просматривается в первых математически выраженных соотношениях между величинами, правилах
действий над числами, формулах для нахождения площади фигур,
объема тел и т. д. Однако систематическое изучение функций
начинается в XVII веке, когда в математику проникает идея переменных. Явное определение функции было дано в 1718 году
швейцарским математиком Иоганном Бернулли. Споры ученых
вокруг этого понятия велись на протяжении XVIII и XIX веков.
В настоящее время существуют различные трактовки общего
понятия функции, в частности, функции одной переменной, являющегося основным объектом изучения в школе. Эти трактовки
даются в рамках двух основных направлений: классического и современного. Классическое направление исторически более раннее
и ориентировано, в основном, на традиционные приложения математики в физике и технике. В рамках классического направления понятие функции опирается на понятие переменной величины. Функция истолковывается либо как переменная величина,
значения которой изменяются в зависимости от числовых значе6
ний другой переменной величины, либо как закон (правило), по
которому значениям независимых переменных отвечают значения
рассматриваемой зависимой переменной.
Современное направление охватывает более широкий круг
объектов, включаемых в понятие «функция». Это связано с тем,
что в рамках современного, или иначе теоретико-множественного,
направления при определении понятия функции не используется
вовсе понятие переменной величины, уточнение смысла которого
связано с определенными трудностями. Функции рассматриваются на множествах произвольной природы, поэтому сфера их приложения существенно расширяется. В рамках современного
направления можно различить четыре основных подхода. При
первом подходе определяется не сама функция, а положение, при
котором можно говорить, что имеется функция, то есть функциональная ситуация. Эта функциональная ситуация определяется в
общем виде примерно следующим образом: Пусть M и N — два
произвольных множества. Говорят, что на множестве M определена функция f, принимающая значения из N, если элементу х M
поставлен в соответствие один и только один элемент из N.
В том случае, когда рассматриваются множества произвольной природы, вместо термина «функция» часто пользуются термином «отображение», говоря об отображении множества M в
множество N.
При втором подходе функция трактуется как правило или закон, по которому для каждого элемента одного множества указывается некоторый элемент другого множества.
При третьем подходе функция определяется через соответствие. Функция — особый вид соответствия, при котором каждому элементу x некоторого множества Х отвечает единственный элемент у некоторого множества У.
И, наконец, при четвертом подходе функция трактуется как
специальный вид отношения (функциональное отношение): Отношение хFу, где х  Х и у  У, является функциональным, если в
нем нет двух различных пар с одинаковыми первыми элементами.
Так как термин «соответствие» может пониматься как синоним для термина «отношение», то третий и четвертый подходы
представляют собой лишь два способа разъяснения понятия
«функция».
7
Основными достоинствами при реализации в школьном курсе
математики классического направления являются доступность для
восприятия учащимися школьного возраста, интуитивная ясность
и простота определений, подчеркивание в них процесса изменения
одной величины в зависимости от другой; относительная легкость
в составлении моделей для определенного класса школьных задач,
так как большинство функций при этом подходе выражаются аналитически или таблично. Одно из существенных ограничений состоит в том, что вольно или невольно с термином «переменная»
связывается числовое множество, из которого выбирается ее значение.
При реализации в школе современного направления необходимо иллюстрировать понятие функции при помощи разнообразных средств: задание функции стрелками, перечислением пар,
таблицей, графиком, формулой. Геометрические преобразования
плоскости и пространства при теоретико-множественном подходе
можно рассматривать как функции. Обобщенность вводимого понятия функции и возможность установления межпредметных связей в процессе обучения различным дисциплинам в школе представляются главными достоинствами трактовки понятия функции
с позиции второго направления. В конце 70-х годов XX века в
процессе осуществления реформы школьного математического
образования в тогда еще Советском Союзе в школах работали по
учебникам, в которых реализовывалось современное направление
в трактовке понятия функции (например, см. [21]). Функция определялась как «отношение между элементами двух множеств, при
котором каждому элементу первого множества соответствует не
более одного элемента второго множества» [21, с. 34). Чтобы такое определение было понято и усвоено учащимися, требовалась
его существенная методическая обработка. В соответствующем
тематическом плане на изучение тем «Функция. Способы задания
функции», «Прямая пропорциональность и ее свойства. График
прямой пропорциональности», «Линейная функция и ее график.
Угловой коэффициент прямой» отводился 21 час. В настоящее
время на изучение этих тем по учебнику [18] в математическом
планировании отводится 15 часов. Кроме того, общее понятие
функции, которое так тщательно доводилось до понимания учащихся в 6-м классе, в дальнейшем оказалось связанным в основном только с числовыми функциями одного числового аргумента.
8
Понятие же числовой функции числового аргумента значительно
проще формируется в рамках классического направления. Поскольку в курсах алгебры и начал анализа основное внимание
уделяется конкретно заданным функциям и их приложениям, то
в современном школьном курсе математики возобладало классическое направление в трактовке понятия функции. В курсе алгебры 7-го класса (по старой нумерации — 6-го) дается исторически более раннее определение функции в рамках одного из
двух основных подходов классического направления. В 10-м
классе авторы учебника [14] знакомят учащихся с более общим
определением функции в рамках современного направления. Однако определяется именно числовая функция. Учитель может сам
продемонстрировать примеры нечисловых функций и сказать о
том, что объектом изучения алгебры и начал анализа являются
числовые функции. Авторы учебников [4], [7], [24] остаются в
рамках классического направления.
Изучение понятия функции, свойств функций и
конкретных видов функций
в школьном курсе математики
Развитие понятия функции в школьном курсе математики
Фундаментальность понятия «функция» требует особенно
пристального к нему внимания. В школьном курсе математики
первоначально осуществляется пропедевтика (1–6-й классы) некоторых функциональных понятий. Сюда можно отнести знакомство
учащихся с формулами и нахождение с их помощью неизвестных
величин по известным; введение понятий «координатная прямая»
и «координатная плоскость»; изучение темы «Прямая и обратная
пропорциональность», построение диаграмм. В 7-м классе дается
пропедевтический курс: вводятся определение функции, сопутствующие понятия (область определения, множество значений,
9
зависимая переменная), рассматриваются способы задания функций (с помощью формулы, табличный, графический). Затем в 7–9х классах изучаются конкретные функции: y  kx , y  kx  b ,
y
k
, y  x 2 , y  x 3 , y  x , y  ax 2  bx  c ; рассматриваx
ются свойства: возрастание, убывание, сохранение знака на промежутке. И, наконец, в 10-м и 11-м классах даются строгие формальные определения функции, области определения и множества
значений функции; рассматриваются общие свойства функции:
непрерывность, периодичность, четность и нечетность, возрастание и убывание, экстремумы, наибольшее и наименьшее значения,
ограниченность, сохранение знака; раскрывается связь между
свойствами функции и ее графиком; изучаются тригонометрические, показательная и логарифмическая функции, их свойства и
графики. После изучения темы «Производная функции» учащиеся
знакомятся с теорией, на основании которой можно исследовать
свойства функций, и с учетом свойств строить графики. В 10–11-м
классах рассматриваются разнообразные приложения дифференциального и интегрального исчисления.
Как видим, функциональная линия является очень насыщенной и изучение материала в ней строится по восходящей спирали.
Развитие функциональной линии ведется по следующим основным направлениям:
– изучение понятия «функция» и системы понятий, с ним связанных (область определения, множество значений, способы задания, общие свойства функций и т. д.), причем практически для
каждого понятия рассматривается и его графическая интерпретация на основе метода координат;
– изучение отдельных функций и их классов;
– изучение математического аппарата, позволяющего исследовать функции;
– использование материала функциональной линии для решения самых разнообразных задач и развития других содержательных линий школьного курса математики.
10
Методика изучения понятия «функция» и
общих свойств функций
При введении понятия функции, осуществляемого, как правило, конкретно-индуктивным способом, необходимо установить по
смыслу предлагаемых для рассмотрения задач, что: а) значения
переменной х принадлежат некоторому множеству; б) значения
переменной у принадлежат некоторому множеству; в) каждому
значению переменной х соответствует одно и только одно значение переменной у.
Для усвоения учащимися этих характерных признаков понятия функции применяются различные способы задания функции,
основными из которых являются задание функции формулой, таблицей, графиком. Могут быть предложены следующие виды заданий (7 класс).
1. Какие из формул а) – д) задают функцию? Ответ объясните. Для
функций укажите те значения, которые принимает переменная у.
1
1
1
; 0; ; 2; 2 ;
2
2
2
1
б) y  x , х принимает значения 0; 2,25; 3 ; 7,001;
3
в) y  x ; х принимает значения –3, 75; –2; 0; 2,5; 3;
г) y  2 : x ; х принимает значения –2, –1; 2; 1;
а) y  2 x  1, х принимает значения –1, 
д) y 2  x  1 ; х принимает значения –1; 0; 3.
2. Какие из таблиц а) – в) задают функцию? Ответ объясните. Для
функций укажите область определения и множество значений.
а)
х –3
0
–2
3
4
у
5
1
–5
2
1
б)
х
у
1,1
2
1,2
–2
1,3
2
1,4
–2
х
у
–3
2
–2
1
0
2
–3
1
в)
11
3. Какие кривые на рисунке (см. рис. 1, а – г) задают функцию? Ответ объясните. Для функций укажите область определения и множество
значений.
а)
б)
в)
г)
Рис. 1
После решения каждой задачи желательно обобщать предложенные учащимися обоснования. Например: Если зависимая переменная в формуле находится под знаком модуля или возводится
в квадрат, то соответствующая формула не задает функцию.
12
Если в таблице есть столбцы с одинаковыми значениями аргумента и различными значениями зависимой переменной, то таблица не задает функцию. Если существует прямая, параллельная
оси ОУ, пересекающая кривую в двух и более точках, то кривая не
является графиком функции. Другими словами: если существует
хотя бы одно х, по которому находится два и более значений у,
то имеем дело не с функцией.
Ответ на второй вопрос третьего задания будет звучать так
(в 7-м классе с понятием числового промежутка учащиеся еще не
знакомы): область определения функции на рисунке б) — это числа –3, 3 и все числа от –3 до 3, а множество значений — числа –2,
4 и все числа от –2 до 4. Важно добиться от учеников понимания
того факта, что область определения находится на оси ОХ (позже:
числовой промежуток, являющийся ортогональной проекцией
графика на ось ОХ), а множество значений — по оси ОУ (позже:
числовой промежуток, являющийся ортогональной проекцией
графика на ось ОУ) в том случае, когда функция задана графиком.
Формированию умения находить область определения и множество значений функции, заданной графически, происходит постепенно при изучении алгебры в 7–9-х классах, в процессе периодического обращения к подобным задачам.
Важными видами задач, предшествующими приведенным
выше (см. с. 11–12), являются задачи на нахождение значения
зависимой величины по значению независимой в том случае, когда функция задана формулой, таблицей или графиком, и нахождение значения независимой величины, которому соответствует
известное значение зависимой. Таких задач, как правило, много в
учебниках.
Задания, аналогичные тем, примеры которых приведены выше, должны предлагаться на соответствующем для учащихся
уровне при повторном обращении к понятию функции в старших
классах. Приведем пример.
Верно ли что:
а) ни одна из замкнутых кривых, изображенных на координатной
плоскости, не является графиком функции;
б) любая кривая на координатной плоскости, симметричная относительно оси абсцисс, является графиком функции;
в) любая кривая на координатной плоскости, симметричная относительно оси ординат, является графиком функции;
13
г) кривая на координатной плоскости, симметричная относительно
оси ординат, может являться графиком функции;
д) кривая на координатной плоскости, симметричная относительно
оси абсцисс, может являться графиком функции?
Ответ поясните. В случае необходимости приведите пример, опровергающий утверждение.
При введении понятия функции необходимо показать учащимся, что одна и та же функция может быть задана по-разному.
Это важно как для усвоения ими многообразия аспектов понятия
«функция», так и для потребностей практики. Приведем пример.
7 класс
1. Функция задана таблицей. Задайте ее графиком и формулой.
х
у
–5
5
–3
3
–1
1
0
0
1
1
3
3
5
5
 x, при x  0;3,2;4,5;5,8;
2. Функция задана формулой y  

 х, при х  2,1;1,5;1,0,3.
Задайте ее другой формулой.
3. Задайте функцию y  x , где x  0;1;2;3;4 таблицей, другой
формулой, графиком.
10 класс
1. Задайте аналитически функции y  f (x) и y  g (x) , графики
которых изображены на рисунках (см. рис. 2, 3).
Рис. 2
14
Рис. 3
2. Задайте другими формулами функции f (m)  m 2 ; g ( x)  x0 ;
h( z)  z  3  2 z  2 ; φ( x)  x 2  4 x  4  x 2  6 x  9 ;
z (t ) 
t 2  8t  16
, предварительно указав область их определения.
t4
При изучении общего понятия функции каждая приводимая в
качестве примера и предлагаемая для демонстрации того или иного понятия функция рассматривается индивидуально, не ставится
вопрос о сходстве свойств этих функций. Вслед за введением понятия функции и ряда связанных с ним понятий переходят к изучению классов функций. Функции, входящие в один класс, обладают общностью аналитического способа задания, сходными
свойствами и, соответственно, сходными особенностями графиков. Изучение функций, входящих в класс, чаще всего осуществляется по следующей схеме:
1) рассматривается ряд задач, в результате решения которых
появляются сходные по виду формулы, задающие функции;
2) дается определение функций данного класса через указание
общего вида формулы, их задающей;
3) рассматриваются задачи на подведение под понятие;
4) выясняется смысл параметров в правой части общей формулы через рассмотрение типичных представителей функций данного класса и построение их графиков;
5) выясняется вид графика функции в зависимости от параметров и способы его построения;
15
6) изучаются свойства всего класса функций и свойства подклассов, получаемых при наложении определенных условий на
параметры, на примерах их типичных представителей;
7) рассматриваются разнообразные приложения.
Данная схема не является застывшей: положение и формулировка этапов 4, 5, 6 определяются уровнем строгости изложения
материала, то есть соотношением наглядно-геометрических и аналитических методов исследования функций.
Исследовать функцию, то есть изучить ее свойства, — это
значит выяснить особенности изменения значений переменой у
при изменении значений переменной х. Если функция задана графически, то ее свойства изучаются, «прочитываются», по графику.
Если функция задана формулой, то ее исследование должно проводиться аналитически, то есть с использованием аппарата алгебры или аппарата дифференциального исчисления. График функции, если есть необходимость в его построении, строится на основании проведенного исследования. В противном случае многие, в
частности локальные (зависящие от значений функции в некоторой окрестности точки x0 и в самой x0 ), свойства функции могут
быть не учтены при построении графика. Исключения составляют
случаи, когда график получается из известного путем преобразований и когда строят графики функций y  f ( x)  g ( x) ,
f ( x) , где графики функций
y  f ( x)  g ( x) , y 
y  f (x) и
g ( x)
y  g (x) заданы или известны. С основными преобразованиями
графиков учащиеся знакомятся в школьном курсе математики.
Арифметические же операции с функциями в школе не определяются, их введение производится неявно. Наблюдается неосознанный перенос действия из числовой области в область функций.
Учащиеся не затрудняются при нахождении, например, значения
функций y  x  1  x 2 , y  x 2 x  1 при конкретном значении х.
Построение
графиков
функций
y  f ( x)  g ( x) ,
f ( x) из графиков функций
y  f ( x)  g ( x) , y 
y  f (x) и
g ( x)
y  g (x) в общем виде не рассматривается.
При изучении классов элементарных функций графики строятся по точкам без предварительного аналитического исследова16
ния или после проведения частичного аналитического исследования. После построения графиков нескольких конкретных функций
данного класса, установления их расположения в зависимости от
параметров указываются свойства рассматриваемых функций. Эти
свойства «прочитываются» по графикам, обобщаются и присваиваются всем функциям данного класса. На основании рассмотрения графиков нескольких функций делаются общие выводы. Проявляющиеся при таком изучении теории логические пробелы: построение графиков функций по точкам и общие выводы на основе
неполной индукции — вызваны необходимостью раннего изучения функций как математических моделей и недостаточностью у
учащихся знаний для проведения аналитического исследования.
Эти пробелы должны быть пояснены учащимся после изучения
темы «Производная». Исследование всех изученных ранее классов
функций в общем виде с использованием аппарата производной
позволит учащимся:
а) отработать схему исследования функций;
б) при самостоятельном исследовании проконтролировать
свои действия (так как свойства функций хорошо знакомы);
в) повторить основной материал функциональной линии;
г) осознать смысл параметров в формулах, задающих тот или
иной класс функций;
д) обосновать наличие у функций определенного класса тех
свойств, которые им ранее приписывались;
е) установить наличие у функций данного класса свойств, которые ранее не рассматривались.
При первоначальном построении графиков функций изучаемого класса по точкам необходимо использовать прием «загущения» точек на графике. Использование приема «загущения» способствует созданию первоначальных представлений о непрерывности. Суть приема состоит в том, что сначала в координатной
плоскости отмечается несколько точек, принадлежащих графику
функции, затем в результате наблюдения выясняется, что все построенные точки расположены на некоторой кривой, и, наконец,
устанавливается, что какое бы произвольное значение аргумента
из области определения функции мы не взяли, соответствующая
ему точка графика функции располагается на выделенной кривой.
Только после выполнения всех перечисленных действий делается
вывод о том, что полученная кривая является графиком функции.
17
Выполнив построение графиков нескольких функций рассматриваемого класса и убедившись, что графиками являются кривые
одного вида, учащиеся делают вывод: графиком любой функции
данного класса является кривая данного вида. В дальнейшем выделяются более простые способы построения графиков функций
данного класса исходя из того, что вид графиков известен.
Программа по математике для 7–9-х классов предусматривает
формирование у учащихся умения находить по графику функции
промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, нули функции, наибольшее и наименьшее значение.
В программе для старшей школы говорится о том, что учащиеся
должны «иметь наглядные представления об основных свойствах
функций, иллюстрировать их с помощью графических изображений» [25, с. 16]. Однако анализ результатов единого государственного экзамена по математике, проводимого в ряде регионов России,
и в частности в Новгородской области, в 2002–2006 годах свидетельствует о том, что учащиеся легче справляются с заданиями, в
которых требуется использовать непосредственно то или иное
определение, свойство, чем его графическую интерпретацию. Это
касается и использования учащимися теоретического материала
темы «Производная. Применение производной». По-видимому, в
основной школе формированию наглядных представлений о ряде
общих свойств функций уделяется недостаточное внимание, а в
старшей школе основной упор делается на изучение формулировок определений и свойств, их применение, соответствующая графическая интерпретация либо не рассматривается вообще, либо
только обговаривается. Понимание учащимися словесной формулировки определения, свойства должно быть неразрывно связано с
соответствующими геометрическими представлениями. Учитель
должен предлагать учащимся задачи не только на аналитическое
исследование свойств функции, но и на прочтение свойств по графику, а также задачи, в которых часть свойств устанавливается
аналитически, а часть — по графику. Например, нахождение множества значений функции чаще всего происходит после исследования и построения графика функции. Использование геометрических иллюстраций помогает учащимся глубже осознать соответствующий теоретический материал.
18
Методические аспекты изучения некоторых
понятий темы «Производная»
В настоящее время понятие производной вводится в общеобразовательных классах на наглядно-интуитивном уровне. Акцент
делается не на формальное построение теории, а на ее применение
к решению разнообразных задач, и в частности для исследования
функций. Поэтому, вводя то или иное понятие, надо знакомить и с
его геометрической интерпретацией, если такая существует.
Например, при введении понятия «непрерывность функции» следует пояснить его как на примерах функций, заданных формулой,
так и на примерах функций, заданных графически.
1. Является ли функция y  x 
2
x непрерывной в точках х = 1;
х = 4; х = 0; х = –2? Ответ поясните.
2. Является ли функция, график которой изображен на рисунке
(см. рис. 4), непрерывной в точках х = –2; х = –1; х = 0; х = 2,5; х = 4,
х = 6? Ответ поясните.
Рис. 4
19
Подобных примеров должно быть приведено достаточно
для усвоения учащимися понятия «непрерывность». Следует сказать о том, что в курсах алгебры и алгебры и начал анализа имеем
дело в основном с функциями, непрерывными в каждой точке области определения. Исключение составляет функция y  x
( х  x  x — дробная часть х), график которой приведен на
рисунке 5. Однако при решении подавляющего большинства задач
начал анализа необходимо устанавливать непрерывность рассматриваемых в них функций, ссылаясь на свойства изученных функций и правила предельного перехода [14, с. 107–108].
Рис. 5
При введении понятий «касательная к графику функции»,
«угловой коэффициент касательной», выводе уравнения касательной к графику функции в заданной точке полезно действовать по
нижеприведенной схеме.
I. Повторить материал темы «Линейная функция и ее график». Особое внимание уделить понятию углового коэффициента,
зависимости свойств линейной функции от знака углового коэффициента (возрастающая, убывающая, постоянная), трактовке углового коэффициента как тангенса угла наклона графика линейной функции к положительному направлению оси абсцисс, взаимному расположению графиков линейных функций в зависимости
от углового коэффициента. В задачный материал на повторение
включить задачи, через решение которых учащиеся не только
20
вспомнят, как составлять уравнение прямой по заданным условиям, но и будут подготовлены к выводу уравнения касательной к
графику функции y  f (x) , проходящей через точку с абсциссой x0 . Как любая прямая в координатной плоскости, не параллельная оси ординат, касательная является графиком некоторой
линейной функции. Ее уравнение имеет вид y  kx  b и может
быть легко получено, так как известна точка А ( x0 , f ( x0 ) ), лежащая на прямой, а также ее угловой коэффициент прямой
k  f ( x0 ) .
Система задач может быть следующей:
1. Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки:
a) М (3; 5), N (8; 5);
б) М (3; 5), N (6; 10);
в) М (2; –8), N (–2; 4);
г) M (a1 , f (a1 )) , N (a2 , f (a2 )) , где y  f (x) — функция, графику

f (a2 )  f (a1 ) 
 ;
a2  a1


д) M ( a, f (a )) , N ( x, f ( x)) , где y  f (x) — функция, графику кокоторой принадлежат точки M и N  k 

торой принадлежат M и N, причем точка M фиксированная, а точ-
f ( x)  f (a) 
ка N — произвольная, не совпадающая с M  k 
.

xa

2. Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через данную точку А:
а) А (2; 3), k = 1  y  3  1 ( x  2); y  1 x  2  ;
2 
2
2

б) А ( a, f (a )) , k = k0, где y  f (x) — функция, графику которой
принадлежит точка А  y  f (a)  k0 ( x  a)  ;
в) А ( a, f (a )) , k  f (a) , где y  f (x) — функция, графику которой принадлежит точка А, f (a ) — значение производной функции при х = а  y  f (a)  f (a)( x  a).
3. Найти угловые коэффициенты прямых, которые изображены на
рисунках (см. рис. 6, а – д на с. 22).
21
а)
б)
в)
г)
д)
Рис. 6
22
f ( x)  f (a )
,
xa
где k — угловой коэффициент прямой, проходящей через точки
M ( a, f (a )) и N ( x, f ( x)) графика функции y  f (x) (см. рис. 7).
Обозначим угол наклона секущей к положительному направлению оси ОХ через α. Проведем MQ  OX, NQ  OY.
В треугольнике MQN MQN = 90 , MNQ =    .
MQ f (a)  f ( x)
f ( x)  f (a)
.
tg (   ) 


QN
xa
xa
f ( x)  f (a)
f ( x)  f (a)
Итак,  tg  
, то есть k  tg  
.
xa
xa
Покажем, как может быть получена формула k 
Рис. 7
После решения первой из приведенных выше задач (см. на
с. 21) делаем вывод: уравнение прямой с угловым коэффициентом
k, проходящей через точку A (a; b), имеет вид y – b = k(x – a).
II. Ввести понятие секущей к графику функции y  f (x) ,
f
и продемонстрировать
x
изменение положения секущей при x  0 .
выразить ее угловой коэффициент как
23
III. Ввести понятие касательной к графику функции
y  f (x) , проходящей через точку с абсциссой х0. Показать, что
угловой коэффициент касательной равен f ( x0 ) . Обратить внимание на то, что касательная может иметь с графиком функции
более одной общей точки.
IV. Рассмотреть задачи:
а) на нахождение значения производной функции y  f (x) в
точке х0, если на рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой х0;
б) на выделение на графике функции y  f (x) точек, в абсциссах которых производная принимает положительные значения,
отрицательные значения, равна нулю, не существует;
в) на нахождение углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции y  f (x) , заданной формулой, в
точке с абсциссой х0;
г) на выделение из области определения функции y  f (x) ,
заданной формулой, значений х, являющихся абсциссами точек
графика, в которых касательная параллельна оси ОХ, не существует, наклонена под углом 30 ( 45 , 60 , 120 , 135 и т. д.) к положительному направлению оси ОХ;
д) на нахождение тангенса угла наклона касательной, проведенной к графику функции y  f (x) , заданной формулой, в точке
с абсциссой х0;
е) на нахождение промежутков из области определения функции y  f (x) , заданной формулой, на которых касательная к графику образует острый (тупой) угол с положительным направлением оси ОХ, параллельна оси ОХ;
V. Вывести уравнение касательной к графику функции
y  f (x) в точке с абсциссой х0.
VI. Решить ряд задач, в которых требуется составить уравнение касательной к графику функции y  f (x) :
а) проходящей через точку с абсциссой х0;
б) проходящей через заданную на графике точку;
в) проходящей через точку, не принадлежащую графику данной функции;
24
г) параллельной данной прямой;
д) составляющей заданный угол с положительным направлением оси ОХ.
В каждом случае обговорить план решения задачи и выработать алгоритм решения.
Такая продуманная работа поможет учащимся осмыслить
геометрический смысл производной и активно использовать его
при решении задач.
Работа с формулировками свойств и их геометрическими интерпретациями продолжается при исследовании функций с помощью производной.
Приведем примеры конкретных задач.
1. На рисунке (см. рис. 8) изображен график функции y  f (x) ,
заданной на промежутке [–4; 6], и касательная к нему в точке с абсциссой х0 = 4. Укажите промежутки, для которых f (x ) > 0, f (x ) < 0; точки, в которых f (x ) = 0, и точки, в которых f (x ) не существует.
Найдите значение производной в точке х0 = 4.
Рис. 8
25
2. Укажите точки минимума, максимума, промежутки возрастания и
убывания функции y  f (x) , заданной на отрезке [–2; 6], если на рисунке (см. рис. 9) изображен график ее производной. Укажите также
промежуток, на котором функция является линейной, и число максимумов функции y  f ( x)  x на промежутке [–2; 6].
Рис. 9
Остановимся на способах нахождения множества значений
функции. Для нахождения множества значений функции существуют три основных способа:
1) оценка значений выражения в правой части формулы, задающей функцию;
2) нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке с помощью аппарата производной или на
основе анализа свойств функции;
3) задание формулой функции, обратной заданной, и нахождение ее области определения.
Использовать первый из вышеперечисленных методов можно
только в тех случаях, когда заданная функция получена путем:
а) сложения элементарной функции с постоянной;
б) умножения элементарной функции на постоянную;
в) сложения возрастающих (убывающих) на данном промежутке функций;
г) умножения возрастающих (убывающих) функций, принимающих только положительные значения на данном промежутке.
26
Покажем на простом примере, что использование метода
оценки значений выражения в правой части формулы, задающей функцию, в других случаях может привести к неверному
ответу.
Пусть требуется найти множество значений следующих функций:
y = (x + 3) + (3 – x) и y = (x + 3)(3 – x), заданных на множестве [–1; 1].
Решая методом оценки, получим 2  х + 3  4, 2  3 – х  4, тогда
4  (х + 3) + (3 – х)  8, а 4  (х + 3)(3 – х)  16. На самом же деле, множество значений функции y = (x + 3) + (3 – x) состоит из одного числа 6, а
множество значений функции y = (x + 3)(3 – x) — это числовой промежуток [8; 9].
Метод оценки можно смело рекомендовать учащимся использовать при нахождении значений функции в задачах типа А единого государственного экзамена. При нахождении множества значений функции в задачах типа С лучше пользоваться вторым из
вышеперечисленных методов. Если в решении приводится эскиз
графика функции, то выполнять его следует на основе частичного
или полного исследования функции с использованием аппарата
производной, а не по точкам. Как правило, в задачах типа С рассматриваются сложные функции, и их графики не могут быть получены из графиков элементарных функций путем преобразований. Необходимым этапом решения задач на нахождение множества значений функции на заданном промежутке является обоснование того факта, что функция принимает все значения между
найденными наименьшим и наибольшим. Для этого указываются
значения х, при которых достигаются наименьшее и наибольшее
значения, и исследуется вопрос о непрерывности функции на заданном промежутке.
На завершающем этапе изучения функциональной линии
учащимся может быть предложена сводная таблица (пример такой таблицы см. на с. 28–33), в которой в сжатой форме раскрываются ведущие функциональные понятия и их графическая интерпретация.
27
Аналитическая
интерпретация
(функция задана
формулой y  f (x) )
Если не оговаривается в
тексте, то множество значений, при которых выражения в правой части формулы имеет смысл
№
п/п
Название
понятия
Определение или
характеристика
1
Область определения
функции y  f (x)
Обозначение: D ( f )
Множество значений, которые принимает независимая
переменная х
2
Множество значений
функции y  f (x)
Обозначение: E ( f )
Множество, состоящее из всех чисел
f (x) таких, что
x  D( f )
Для непрерывных — промежуток, границами которого являются наименьшее
и наибольшее значения
функции на D ( f ) . Для
терпящих разрывы — объединение множеств значений на каждом промежутке
непрерывности из D ( f )
3
Четная функция,
нечетная функция
( y  f (x) )
Функция называется
четной (нечетной),
если
1) D ( f ) симметричная относительно
О (0; 0);
2) f ( x)  f ( x)
( f ( x)   f ( x) )
Выясняется, обладает ли
функция указанными в
определении свойствами.
Если хотя бы одним из них
не обладает, то не является
ни четной, ни нечетной
28
Графическая
интерпретация (функция
задана графиком)
Примеры
(функция задана графиком)
Проекция графика функции
на ось ОХ. Проектирование
осуществляется параллельно
оси ОУ
D( f )   3;4 ,
E( f )   2;5
Проекция графика на ось ОУ.
Проектирование осуществляется параллельно оси ОХ
D( f )   2;4,
E( f )   2;1  2;3
График четной функции симметричен относительно оси
ОУ.
четная
График нечетной функции
симметричен относительно
начала координат
нечетная
29
№
п/п
Название
понятия
Определение или
характеристика
4
Периодическая
функция ( y  f (x) )
Функция называется
периодической, если
существует Т  0, что
для любого x  D( f )
x  T  D( f ) ,
x  T  D( f ) и
f (x  T )  f (x  T ) 
 f (x)
5
Непрерывная функция ( y  f (x) )
Если f ( x)  f ( x0 )
6
Нули функции
y  f (x)
при x  x0 , то
функцию называют
непрерывной в точке
х0. Если функция
непрерывна в каждой
точке промежутка
(a; b), то она называется непрерывной на
(a; b)
Значения х, при которых значение
функции равно нулю
30
Аналитическая
интерпретация
(функция задана
формулой y  f (x) )
На основе определения
конкретной функции выделяется Т  0 и проверяется
выполнимость условий
x  T  D( f ) ,
x  T  D( f ) ,
f ( x  T )  f ( x  T )  f (x )
Находится число, к которому стремится f (x) при
x  x0 , и сравнивается
с f ( x0 ) . Используются
свойства: сумма, произведение и частное непрерывных в точке х0 функций
непрерывны в точке х0
(при условии, что частное
существует)
Решение уравнения
f ( x)  0
Графическая
интерпретация (функция
задана графиком)
Примеры
(функция задана графиком)
График функции получается
параллельным переносом
вдоль оси ОХ на расстояние
Т основного фрагмента,
построенного на отрезке длиной Т
T0 = 2
Tn = 2n, где n  Z
График непрерывной на
D ( f ) функции изображается
непрерывными кривыми на
каждом промежутке, целиком
входящем в D ( f ) . Можно
построить не отрывая карандаша от бумаги
Непрерывна на промежутках (–2; 1) и (1; 4).
В точке х0 = 1 не является непрерывной
Абсциссы точек пересечения
графика с осью ОХ
D( f )   4;4
х = –2, х = 0, х = 2 — нули функции
31
Аналитическая
интерпретация
(функция задана
формулой y  f (x) )
Решение неравенства
f ( x)  0 ( f ( x)  0 )
№
п/п
Название
понятия
Определение или
характеристика
7
Промежутки знакопостоянства функции
y  f (x)
Множество значений
х, при которых
функция принимает
положительные (отрицательные) значения
8
Промежутки возрастания (убывания)
функции y  f (x)
Решение неравенства
f ( x)  0 ( f ( x)  0 )
9
Точки экстремума
функции y  f (x)
Множество значений
х, при которых
большему значению
х соответствует
большее (меньшее)
значение у
Точка х0 является
точкой максимума
(минимума) функции
y  f (x) , если для
всех х из некоторой
окрестности х0 выполнено неравенство
f ( x)  f ( x0 )
( f ( x)  f ( x0 ) )
10
Наибольшее
(наименьшее) значение функции
y  f (x) на отрезке
Наибольшее
(наименьшее) из значений функции, принимаемых на отрезке
Находятся точки экстремума, значения функции в
точках экстремума, принадлежащих отрезку, и в концах отрезка. Из найденных
значений функции выбирается наибольшее (наименьшее)
32
Точка x0  D( f ) , в которой
производная f (x ) обращается в нуль или не существует и при переходе через
которую слева направо меняет знак с «+» на «–»
(с «–» на «+»)
Графическая
интерпретация (функция
задана графиком)
Примеры
(функция задана графиком)
Проекция части графика, лежащей выше (ниже) оси ОХ на
ось ОХ
Числовые промежутки по оси
ОХ, на которых график «поднимается вверх» («опускается
вниз») при движении по оси ОХ
слева направо
[–4; –2]  (0; 2)  (2; 4] — значения х, при которых функция положительна
(–2; 0) — значения х, при которых функция
отрицательна
Для функции, рассматриваемой в п. 7, получим:
(–4; –3], [–1; 1], [2; 4] — промежутки возрастания
[–3; –1], [1; 2] — промежутки убывания
График в окрестности х0 имеет
вид гладкого «холма» или заостренного «пика» (гладкой или
заостренной «впадины»)
Для функции, рассматриваемой в п. 7, получим:
х = –3, х = 1 — точки максимума, причем
f (3) не существует, f (1)  0
х = –1, х = 2 — точки минимума, причем
f (1)  0 ,
f ( 2) не существует
Наибольшая (наименьшая) ордината точки графика функции
на данном отрезке
Для функции, рассматриваемой в п. 7, получим:
у = 5 — наибольшее значение,
у = –1 — наименьшее значение на [–4; 4]
33
Взаимосвязь функциональной линии с другими
содержательными линиями школьного курса математики
В данном параграфе остановимся особо на использовании
материала функциональной линии при решении уравнений и неравенств (взаимосвязь с числовой линией и линией тождественных преобразований раскрыта в брошюре [16]). В старших классах уравнение (неравенство) трактуется как равенство вида
f ( x)  g ( x) (неравенство вида
f ( x)  g ( x) ,
f ( x)  g ( x) ,
f ( x)  g ( x) , f ( x)  g ( x) ), где f(x) и g(x) — некоторые функции,
рассматриваемые на множестве, являющимся пересечением областей определения функций y  f (x) и y  g (x) . Это множество
называется областью определения уравнения (неравенства).
Уже при исследовании функций аналитическим методом следует обратить внимание учащихся на то, что для установления
нулей функции y  f (x) , промежутков ее знакопостоянства,
промежутков убывания и возрастания, необходимо решить соответственно уравнение f ( x)  0 , неравенства f ( x)  0 , f ( x)  0 ,
f ( x )  0 , f ( x)  0 . Метод решения неравенств с одной переменной, который чаще всего используется в школьном курсе математики и носит название метода интервалов, основан на свойстве непрерывных функций.
Рассмотрим применение свойств функции к решению уравнений и неравенств, которые другими способами в школьном курсе
математики решены быть не могут.
Наиболее часто встречаются задания на применение перечисленных ниже свойств и понятий.
I. Использование понятия «область определения функции».
Решить уравнение
sin x  4  sin x  tgx .
Р еше н ие. Область определения уравнения задается системой
sin x  0
, так как  sin x  0 при любом x  R . Решением системы

cos x  0
являются числа вида
x  k , где k  Z . Подставим x  k , где
34
k  Z , в уравнение, получим 0 = 0 + 0, то есть
корни исходного уравнения.
От ве т :
x  k , где k  Z , —
x  k , где k  Z .
II. Использование понятия «множество значений функции»
(или ограниченности).
Решить уравнение cos
x 2  8x
 x 2  1.
5
x 2  8x
2
 1 , а x  1  1 при любых
5

x 2  8x
cos
 1;

значениях x  R , то уравнение равносильно системе 
5
 x 2  1  1.

Р еше н ие . Так как  1  cos
Решением второго уравнения системы является х = 0. Подстановкой
убеждаемся, что х = 0 является и решением первого уравнения системы.
Поэтому х = 0 — корень исходного уравнения.
От ве т : х = 0.
III. Использование монотонности функции.
Использование монотонности основывается на утверждениях:
а) Пусть f (x ) — непрерывная и строго монотонная на промежутке J функция, тогда уравнение f ( x )  c , где с — постоянная, может иметь не более одного решения на J.
б) Пусть f (x ) и g (x ) — непрерывные на промежутке J
функции, f (x ) строго возрастает, а g (x ) строго убывает на этом
промежутке, тогда уравнение f ( x)  g ( x ) может иметь не более
одного решения на промежутке J.
З ам еча н и е . Решением уравнения с n неизвестными (n = 1, 2, 3…) называется совокупность n чисел (значений неизвестных), которая обращает
данное уравнение в верное числовое равенство. Для уравнения с одной
переменной понятия «решение уравнения» и «корень уравнения» эквивалентны. Понятие «корень уравнения» вводится только для уравнений с
одной переменной. В дальнейшем изложении будем использовать оба
термина в равной мере.
35
решения уравнения
f ( x)  g ( x) (неравенства
f ( x)  g ( x) ) с использованием монотонности будет следующим:
1. Найти область определения уравнения (неравенства).
2. Убедиться в том, что одна из функций y  f (x) ,
y  g (x) строго убывает, а другая строго возрастает на
области определения (либо выделить промежутки из области определения, на которых одна из функций возрастает, а другая убывает).
3. Найти подбором корни уравнения f ( x)  g ( x ) .
4. Сделать вывод на основе приведенных выше утверждений
(для уравнений записать числа, являющиеся корнями; для
неравенства — промежутки, на которых график функции
y  f (x) располагается выше графика функции
y  g (x) ).
Приведем пример.
План


Решить уравнение log 2 x  1  1  2  4 x  1 .
4
Р еше н ие . Область определения уравнения —
функции
f ( x)  log 2  x  1  1
и
x  R . Рассмотрим
4
g ( x)  2  4 x  1 .
При
x  (; 1) получим f ( x)  log 2 (2  x) , g ( x)  x  1 . y  f (x) строго убывает, а y  g (x) — строго возрастает при x  (; 1) . Значит,
исходное уравнение имеет не более одного корня на промежутке
(; 1) . 0  (; 1) и log 2 (2  0)  0  1, 1  1 — верное равенство.
То есть х = 0 является корнем уравнения. При x  [1; ) получим
f ( x)  log 2 x , g ( x)  3  x . y  f (x) строго возрастает, а y  g (x)
строго убывает при x  [1; ) . Значит, исходное уравнение имеет
не более одного корня на промежутке [1; ) . 2  [1; ) и
log 2 2  3  2 , 1  1 — верное числовое равенство. Следовательно,
х = 2 является корнем уравнения.
От ве т : х = 0, х = 2.
IV. Использование четности функций.
В основе решения лежат следующие утверждения:
а) Пусть y  f (x) — четная функция. Тогда если х0 является
36
корнем уравнения f ( x)  c , где с — некоторое число, то и –х0
является корнем этого уравнения.
б) Пусть y  f (x) — четная функция. Тогда если уравнение
f ( x)  c , где с — некоторое число, имеет нечетное количество
корней, то один из них х = 0.
Приведем пример.

Найти все значения а, при каждом из которых уравнение
2
x  4  a x  4  4  0 имеет ровно 7 действительных корней, и найти

эти корни.
Решение начинается с рассуждения. Так как функция, записанная в
левой части уравнения, четная, то уравнение может иметь 7 корней только в том случае, если один из них равен 0. Поэтому найдем значения а,
при которых 0 является корнем уравнения.
0  42  a 0  4  4  0 , 16  4a  4  0 , a  5 .
Найдем
 x  4
2
теперь
все
оставшиеся
корни
уравнения
 a x  4  4  0 . Введем новую переменную t  x  4 ,
t  0 . Получим уравнение t 2  5t  4  0 и т. д.
Как можно заметить, в записи уравнений, приведенных выше в
качестве примеров, участвуют различные элементарные функции
(тригонометрическая и корень n-й степени; тригонометрическая и
квадратичная; логарифмическая и корень n-й степени и т. д.). Такая
запись «подсказывает», что надо использовать либо метод замены
переменной, либо использовать свойства функций, присутствующих
в записи уравнения. Метод замены в первых трех из приведенных
примеров использовать нельзя, в четвертом решение получается более длинное и сложное. Остается использовать свойства функций.
Для решения многих задач в линии уравнений и неравенств
используется графический метод. Если учащиеся хорошо понимают, что решением уравнения f ( x)  0 являются абсциссы точек пересечения графика функции y  f (x) с осью ОХ, решением
неравенства f ( x)  0 — числовой промежуток, на котором график функции располагается выше оси ОХ, то указание числа корней уравнения f ( x)  a в зависимости от параметра а не вызывает затруднения, так же, как и графическое решение неравенств
вида f ( x)  a (а — параметр).
37
Поэтому нелишним будет при знакомстве с различными классами функций предлагать учащимся задания следующих видов:
I. Дан график функции y  f (x) .
1) Решите графически уравнения: f ( x)  0 , f ( x)  1 , f ( x)  2 ,
f ( x)  3 . Укажите число корней уравнения вида f ( x)  a в зависимости от параметра a.
2) Решите графически неравенства: f ( x)  0 , f ( x)  0 , f ( x)  1 ,
f ( x)  2 , f ( x)  3 . При каких значениях параметра а неравенство
f ( x)  a : а) не имеет решений; б) выполняется при всех х?
II. Даны графики функций y  f (x) и y  g (x) . Решите уравнение f ( x )  g ( x ) . Решите неравенства: f ( x)  g ( x) , f ( x)  g ( x) ?
f ( x)  g ( x) , f ( x)  g ( x) .
При конкретизации указанных задач желательно, чтобы абсциссы точек пересечения графиков (графика данной функции и
прямой, параллельной оси ОХ; графиков функций y  f (x) и
y  g (x) ) были целочисленными. Приведем примеры.
I. Дан график функции f ( x)  x 2  2 x  3 (см. рис. 10).
1) Решите графически уравнения f ( x)  0 , f ( x)  5 , f ( x)  4 ,
f ( x)  3 , f ( x)  5 . Укажите число корней уравнения f ( x)  a в
зависимости от параметра a.
2) Решите неравенства
f ( x)  5 ,
f ( x)  0 ,
f ( x)  0 ,
f ( x)  5 , f ( x)  4 , f ( x)  4 , f ( x)  3  0 , f ( x)  5  0 . При
каких значениях параметра а:
а) неравенство f ( x)  a не имеет решений;
б) решением неравенства f ( x)  a является вся числовая прямая?
II. Даны графики функций y  f (x) и y  g (x) с областью
определения [–4; 4] (см. рис. 11). Решить уравнение f ( x )  g ( x ) . Решить неравенства: f ( x)  g ( x) , f ( x)  g ( x) .
38
Рис. 10
Рис. 11
39
Решению указанных задач должны предшествовать задачи, в
которых требуется заштриховать часть координатной плоскости,
координаты точек которой удовлетворяют неравенству y  f (x) ,
y  f (x) , y  f (x) , y  f (x) , если график функции y  f (x)
задан или может быть построен. При этом можно использовать
функции, графики которых получаются из известного графика
y  f (x) путем преобразований ( y  f ( x  a) ,
функции
y  f ( x)  b , y  kf (x) , y  f (x) , y  f (x) , y  f ( x ) ).
Рассмотренные задания подготавливают учащихся к пониманию
сути решения уравнений и неравенств с параметрами.
Приведем пример решения уравнения с параметром, основанного на использовании графиков функций. Использование графиков
функций существенно облегчает решение задач, в которых требуется
указать число решений уравнения в зависимости от параметра а.
x
1
  1
Указать число решений уравнения  2 
 1 в зависимости от
a2
параметра а.
Р еше н ие . При а = –2 уравнение смысла не имеет. При а  –2
x
уравнение можно записать в виде  1   1  a  2 ,  1 
2
2
x
 a  1 . Рас-
x
смотрим функцию y   1  , определенную при x  R , и построим ее
2
график (см. рис. 12). Графиком функции y  a  1 является прямая, параллельная оси ОХ. При a  1  0, a  2 , то есть a  1, a  2 , уравнение решений не имеет. При 0  a  1  1, то есть  1  a  0 , уравнение имеет два решения. При a  1  1 , то есть a  0 — одно решение.
При a  0 уравнение решений не имеет.
Рис. 12
40
Примеры, подобные данному, легко составляются и органически вплетаются в изучаемый на уроке материал функциональной линии. Особенно четко взаимосвязь содержательных линий
школьных курсов алгебры и алгебры и начал анализа прослеживается при решении комплексных упражнений. Содержание таких
упражнений в 7–9-х классах может быть следующим.
1) Для данной функции y  f (x) :
а) укажите область определения;
б) постройте график;
в) укажите промежутки знакопостоянства; нули; промежутки возрастания и убывания; точки максимума и минимума.
2) Решите графически уравнения:
а) f ( x)  0 ;
б) f ( x)  2 ;
в) f ( x)  3 ;
г) f ( x)  u ( x) , где u(x) — заданная функция переменной х.
3) При каких значениях параметра а уравнение f ( x)  a :
а) не имеет корней;
б) имеет один корень;
в) имеет два корня и т. д.?
4) При каких значениях параметра а уравнение f ( x)  g (a ) ,
где g(a) — некоторая функция параметра а:
а) не имеет корней;
б) имеет один корень;
в) имеет два корня и т. д.?
5) При каких значениях параметра а решением неравенства
f ( x)  a ( f ( x)  a ) является:
а) вся числовая прямая;
б) один числовой промежуток;
в) объединение двух непересекающихся числовых промежутков;
г) объединение трех непересекающихся числовых промежутков и т. д.?
41
6) Решите графически неравенство f ( x)  h( x) ( f ( x)  h( x) ),
где h(x) — некоторая заданная функция переменной х.
7) Заштрихуйте множество точек координатной плоскости,
для которых выполняются условия:
 y  f ( x)
 y  f ( x)
; б) 
;
 y  v( x)
 y  v( x)
 y  f ( x)
 y  f ( x)
в) 
; г) 
,
 y  v( x)
 y  v( x)
а) 
где v(x) — некоторая заданная функция переменной х.
Замечание. Графики функций y  u (x ) , y  h(x ) , y  v(x)
должны быть хорошо знакомы учащимся и их построение не
должно вызывать затруднений.
В 10–11-х классах прежде, чем строить график, учащиеся
должны провести исследование свойств функции y  f (x) с помощью аппарата производной.
Приведем пример комплексного упражнения для 9-го класса.
1) Дана функция y  x 2  2 x  8 :
а) укажите область определения этой функции;
б) постройте график функции;
в) укажите промежутки знакопостоянства; нули; промежутки
возрастания и убывания; точки максимума и минимума данной функции.
2) Решите графически уравнения:
а) x 2  2 x  8  0 ;
б) x 2  2 x  8  2 ;
в) x 2  2 x  8  4 ;
г) x 2  2 x  8  x  1 .
3) При каких значениях параметра а уравнение f ( x)  a :
а) не имеет корней;
б) имеет четыре корня;
в) имеет три корня;
г) имеет два корня?
42
4) При каких значениях параметра а уравнение
x 2  2 x  8  2a  5 :
а) не имеет корней;
б) имеет четыре корня;
в) имеет три корня;
г) имеет два корня?
5) Решите неравенство:
а) x 2  2 x  8  4 ;
б) x 2  2 x  8  5 .
6) При каких значениях параметра а
x  2 x  8  a является вся числовая прямая?
решением неравенства
а
решением неравенства
2
7) При каких значениях параметра
x  2 x  8  a является:
2
а) один числовой промежуток;
б) объединение двух непересекающихся числовых промежутков?
8) При каких значениях параметра а решением неравенства
x 2  2 x  8  a  4 является:
а) один числовой промежуток;
б) объединение двух непересекающихся числовых промежутков?
9) Решите графически неравенство x 2  2 x  8  x  5 .
В упражнениях 2, 5, 9 абсциссы точек пересечения графиков соответствующих функций укажите приближенно, с точностью до десятых.
43
 x 2  5 x  6  0,

 x  2  0,
 x  5  0;

x
6
5
x
УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И
ИХ СИСТЕМЫ В ШКОЛЬНОМ
КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
Развитие содержательной линии
«Уравнения и неравенства»
в школьном курсе математики
Содержательная линия «Уравнения и неравенства» в школьном курсе математики является наиболее емкой по сравнению с
другими линиями. Это связано с широким использованием уравнений, неравенств и их систем в различных разделах математики и
при решении прикладных задач. Развитие линии происходит практически одновременно по следующим направлениям:
1) изучение наиболее важных классов уравнений, неравенств
и их систем;
2) изучение обобщенных понятий и методов, относящихся к
линии в целом;
3) изучение алгебраического метода решения задач;
4) установление связей данной линии с остальным содержанием школьных математических курсов.
В начальной школе и в 5–6-х классах осуществляется пропедевтика ведущих понятий линии, учащиеся учатся сначала решать
уравнения на основе зависимости между компонентами действий
(5 класс), затем на основе свойств, позволяющих преобразовывать
как отдельно левую и правую части уравнения, так и само уравнение. В некоторых учебных пособиях (например, см. [6]) тема «Ре44
шение уравнений» выделяется особо. Таким образом выстраивается пропедевтический курс. Пропедевтические курсы, в которых на
доступном для учащихся уровне вводятся ведущие понятия и
свойства рассматриваемой линии, выстраиваются и в 7-м классе
(см. учебные пособия [1], [12], [18]). В 7–11-х классах акцент
делается на изучении различных видов уравнений, неравенств и
их систем, а также на их использовании при решении различных
прикладных задач. Лишь в 9–11-х классах с углубленным изучением математики более детально останавливаются на рассмотрении общих понятий, свойств, методов линии «Уравнения и неравенства».
Обоснование решения уравнений, неравенств и их систем
может быть:
1) эмпирическим;
2) дедуктивным без явного использования понятия равносильности (Пусть х0 корень уравнения 5х  8  3х  10 , тогда
5 х0  8  3х0  10 — верное числовое равенство. Пользуясь свойствами числовых равенств, его можно записать в виде 2 х0  18 .
Значит, х0 — корень уравнения 2х  18 );
3) дедуктивным с использованием понятий равносильности и
логического следования.
Следует учитывать, что способ обоснования решения уравнения или неравенства, каким бы он ни был в учебнике, не является
самоцелью в классах общеобразовательного уровня и в классах
гуманитарного профиля. Цель изучения обоснований способов
решения уравнений и неравенств в этих классах состоит в обеспечении осознанности процесса решения.
Существуют различные подходы к понятию «уравнение»
(«неравенство») в математике. Укажем те из них, которые в адаптированном виде используются в школьном курсе математики.
При первом подходе уравнения рассматриваются как математическая модель конкретной задачи при алгебраическом способе
ее решения. Соответствующее определение имеет вид: Равенство,
содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением (аналогично определяется уравнение с двумя и более переменными). Поскольку буквой обозначено «неизвестное
число», то это число есть и оно называется корнем уравнения. Поэтому при первом подходе не признается существование уравнений, имеющих бесконечное множество корней и не имеющих кор45
5x  9  3x  1  10  2x ,
5
 0,
x3
2 x  1  2 при рассматриваемом подходе уравнениями не являются.
При втором — логико-математическом — подходе определение уравнения имеет следующий вид: Пусть на множестве М
зафиксирован набор алгебраических операций, х — переменная
на М. Тогда уравнением на множестве М относительно переменной х называется предикат вида a( x)  b( x) , где a(x) и b(x ) —
термы относительно заданных операций, в запись которых входит символ х.
Аналогично определяются уравнения с двумя и более переменными.
Наиболее близкими к приведенному будут следующие определения:
1. Предложение с переменой, имеющее вид равенства между
двумя выражениями с этой переменной, называется уравнением.
2. Равенство с переменной называется уравнением.
С термином «переменная» связана операция подстановки
числа вместо буквы. При подстановке конкретных чисел мы можем получать истинные или ложные числовые равенства. Может
оказаться, что не найдется значений x , обращающих уравнение в
истинное числовое равенство или, наоборот, при подстановке всех
возможных значений x будут получаться истинные числовые равенства. Таким образом, при втором подходе признается существование уравнений, не имеющих корней и имеющих бесконечное множество корней.
Хочется обратить внимание на следующий важный момент,
зафиксированный в формальном определении: переменная x пробегает значения из некоторого множества М.
Корнем или решением уравнения с одной переменной называется число, при подстановке которого в уравнение получается
верное числовое равенство.
В школьном курсе математики все уравнения рассматриваются на множестве действительных чисел. Вообще-то, оговорка о
том, на каком числовом множестве рассматривается то или иное
уравнение, обязательна. Так, уравнение x 2  5 x  9  0 на множе-
ней.
Так,
равенства
46
стве действительных чисел корней не имеет, а на множестве комплексных чисел имеет два корня. Полезно давать учащимся задания решить какое-либо уравнение на множестве натуральных (целых, рациональных) чисел.
Существуют уравнения, левая или правая часть которых не
может быть вычислена при некоторых действительных значениях x . В этом случае говорят, что указанные значения x не входят
в область определения уравнения. Область определения — это
подмножество множества действительных чисел, при которых
уравнение имеет смысл.
При третьем подходе уравнение трактуется как равенство
двух функций. Определение может быть следующим: Уравнение с
одним неизвестным х имеет вид f ( x)  g ( x) . Число x 0 называется корнем уравнения, если, во-первых, это число принадлежит
области определения каждой из функций f (x ) и g(x), и, вовторых, справедливо числовое равенство f ( x0 )  g ( x0 ) .
Областью определения уравнения f ( x)  g ( x) (или областью
допустимых значений неизвестного) называется множество всех
значений х, при которых существуют обе функции f(x) и g(x), другими словами — это пересечение областей определения функций
f(x) и g(x).
Первый из указанных подходов реализуется в 5–6-х классах,
второй — в 7–9-х классах, третий — в 10–11-х классах.
При определении понятия «неравенство» используются также
вышеперечисленные подходы.
Одним из важнейших логических средств, используемых в
процессе изучения уравнений и неравенств, является понятие равносильности. В логике два предиката, заданные на одних и тех же
множествах, называются равносильными, если при всех наборах
входящих в них переменных эти предикаты принимают одинаковые значения (истина или ложь). Два уравнения (неравенства)
равносильны, если равносильны соответствующие предикаты. Поскольку все уравнения (неравенства) в школьном курсе математики решаются на одном и том же множестве — множестве действительных чисел, то для равносильности двух и более уравнений
(неравенств) достаточно потребовать совпадение множеств их решений. В учебниках дается следующее определение равносильности уравнений: Два уравнения называются равносильными, если
47
каждый корень первого уравнения является корнем второго, а
каждый корень второго — корнем первого, или они не имеют
корней. Под равносильными неравенствами понимаются два неравенства, для которых решение первого неравенства является и
решением второго, а решение второго — решением первого, или
неравенства, не имеющие решений.
Установить равносильность двух уравнений (неравенств)
можно, либо решив их и сопоставив найденные множества решений, либо проверив, не получено ли первое из второго и второе из
первого с помощью равносильных преобразований, либо сопоставив их области определения (уравнения, имеющие непересекающиеся области определения, могут быть равносильными только в
том случае, если они не имеют решений).
Приведем примеры:
1) Уравнения x 2 1  x и x 2  1  1  x  1  x равносильны,
так как оба не имеют решений.
2) Уравнения x 2 1 
x и x 2  1  1  x  x  1  x не рав-
носильны, так как первое уравнение с областью определения
0;
x  1, в чем можно убедиться, построив графики функций y  x  1 и y  x при x  0; , а
областью определения второго уравнения является отрезок 0;1 .
имеет единственное решение при
2
3) Уравнения x 1 0 и x  1 
1
1
не равносильны, так

x 1 x 1
как при x  1, являющемся корнем первого уравнения, второе уравнение не определено.
4) Уравнения
2 x 2  2 x  3 3x 2  2 x  1
и 2 x 2  2 x  3  3x 2  2 x  1

x3
x3
равносильны, так как второе уравнение получается из первого умножением обеих частей на x  3  0 и число –3 не является корнем
второго уравнения.
5) Уравнения
2 x 2  2 x  3 3x 2  2 x  1
и 2 x 2  2 x  3  3x 2  2 x  1

x2
x2
не равносильны, так как второе уравнение получается из первого
умножением обеих частей на x  2  0 , но –2 является корнем второго уравнения.
48
Перечислим в общем виде свойства равносильных преобразований, которые используются в школьном курсе математики при
решении уравнений и неравенств. При формулировке будем использовать функциональный подход к понятиям уравнения и неравенства, являющийся основным в старшей школе.
1. Если к обеим частям уравнения f ( x )  g ( x) прибавить
одно и то же выражение  (x ) , которое имеет смысл при всех х из
области определения уравнения f ( x )  g ( x) , то получится уравнение f ( x)   ( x)  g ( x)   ( x) , равносильное данному.
2. Если обе части уравнения f ( x )  g ( x) умножить или разделить на одно и то же выражение  (x ) , которое имеет смысл при
всех значениях х из области определения данного уравнения и нигде в этой области не обращается в нуль, то получится уравнение,
равносильное данному.
3. Если обе части уравнения f ( x )  g ( x) , где f ( x) g ( x)  0
при всех значениях х из области определения уравнения, возвести
в одну и ту же степень n, то получится уравнение, равносильное
данному (если n — нечетное, то условие f ( x) g ( x)  0 при всех
значениях х из области определения уравнения можно опустить).
4. Если к обеим частям неравенства прибавить одну и ту же
функцию  (x ) , которая определена при всех значениях х из области определения исходного неравенства, и при этом оставить без
изменений знак неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному.
5. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на
одну и ту же функцию  (x ) , которая при всех значениях х из области определения исходного неравенства принимает только положительные значения, и при этом оставить без изменения знак
исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное
исходному.
6. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на
одну и ту же функцию  (x ) , которая при всех значениях х из области определения исходного неравенства принимает только отрицательные значения, и при этом изменить на противоположный
знак исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному.
49
7. Пусть дано неравенство f ( x)  g ( x ) , причем f ( x )  0 и
g ( x )  0 при всех х из области определения неравенства. Если
обе части неравенства возвести в одну и ту же степень n и при
этом знак неравенства оставить без изменения, то получится нераn
n
венство  f ( x)    g ( x)  , равносильное данному.
Используя перечисленные свойства, можно утверждать, что,
например, уравнения 3x 2  2 x  5  (7 x  1)  7 x  1  (7 x  1) и
3 x 2  2 x  5  7 x  1 равносильны, так как первое получается из второго
прибавлением к обеим частям выражения, имеющего смысл при всех х
2
из области определения второго уравнения, а уравнения x  1 и
x 2  x  1  x могут быть не равносильными, так как к обеим частям
уравнения x  1 прибавили
2
x , что сузило его область определения.
Уравнения x  1 и x 
x  1  x действительно не равносильны,
2
так как х = –1 является корнем уравнения x  1 , но не является корнем
уравнения x 2  x  1  x . Можно привести еще примеры. Если обе
6
части уравнения x   5 умножить на выражение  ( x )  x , имеющее
x
смысл при всех значениях х из области определения исходного уравнения ( x  0 ) и нигде в этой области не обращающееся в нуль, то получим
6x
уравнение x 2 
 5 x , равносильное исходному. Если же обе части
x
уравнения x  5  0 умножить на  ( x )  x  2 , то получим уравнение
x  5x  2  0 , неравносильное исходному, так как при х = 2, при2
2
надлежащем области определения исходного уравнения, выражение
 ( x)  x  2 обращается в нуль.
Другим логическим средством, которое используется при решении уравнений (неравенств) только в том случае, когда не удается найти равносильного преобразования, является логическое
следование.
Уравнение f1 ( x)  g1 ( x) , полученное из
уравнения
f ( x)  g ( x) с помощью некоторых преобразований, называется
следствием уравнения f ( x )  g ( x) , если каждый корень уравне-
50
f ( x)  g ( x) является в то же время корнем уравнения
f1 ( x)  g1 ( x) .
ния
Например, уравнение x  5x  2  0 является следствием уравнения x  5  0 , так как корень уравнения
корнем уравнения
x  5  0 является также
x  5x  2  0 ; уравнение x  62  
ется следствием уравнения x  6 
x

2
явля-
x , так как корень уравнения
2
x  6  x (х = 9) является и корнем уравнения x  6 
 x .
2
В том случае, когда переходят к уравнению-следствию, необходимым этапом решения уравнения будет проверка или исключение посторонних корней.
Приведем примеры.
1. Решите уравнение 4 cos x cos 2x cos 3x  cos 6x .
Р еше н ие. Умножим обе части уравнения на sin x .
(получили
4sin x cos x cos 2x cos 3x  cos 6x sin x
следствие).
уравнение-
sin 4x cos 3x  cos 6x sin x
sin 7 x  sin x  sin 7 x  sin 5x
sin x  sin 5x  0
2 sin 3x cos 2x  0
или
sin 3x  0
cos 2x  0
 n
k
x   ,n Z
x  ,k  Z
4 2
3
Так как корни уравнения sin x  0 не являются корнями исход-
ного, то исключим из полученных семейств решений все числа вида
x  m, m  Z .
k

n
 m, 1  2n  4m верно при всех
3
4 2
n Z , m  Z .
 n
k
От ве т :
, n Z .
, k  Z , k  3 p, p  Z ; 
3
4 2
2. Решите уравнение cos xtg x  1 .
 m, k  3 p, p  Z .

Р еше н ие :
sin x  1
x

2
 2m, m  Z
51
Пр о в е р к а :

 

cos  2m  tg   2m   1
2
2

 

Левая часть равенства смысла не имеет, так как функция y  tgx не
определена в точках x 

2
 2n, n  Z .
От ве т : уравнение решений не имеет.
Во втором примере исходное уравнение в решении было заменено уравнением с более широкой областью определения.
В таких случаях могут появиться посторонние корни (как и произошло в рассмотренном примере). Если в ходе решения уравнения используют преобразования, сужающие область определения
уравнения, то может произойти потеря корней. В этом случае
смотрят, за счет каких чисел или чисел какого вида произошло
сужение исходного уравнения и непосредственной подстановкой в
исходное уравнение проверяют, не являются ли они корнями исходного уравнения. Если таких чисел бесконечное множество и
они не имеют общей записи, то следует искать другой способ решения.
Приведем пример.
Решите уравнение
Р еше н ие :
sin x  5cos x  5  0 .
x

x
51  tg 2 
2
2  
5 0
x
x
2
2
1  tg
1  tg
2
2
2tg
Так как 1  tg 2
(*)
x 
x 
x
x
 1 , то уравнение 2tg  51  tg 2   51  tg 2   0
2
2 
2 
2
равносильно уравнению (*).
tg
x
 5 , x  2arctg 5  2k , k  Z .
2
Проверим, являются ли значения x    2n, n  Z , при которых
tg
x
не существует, корнями исходного уравнения.
2
sin   2n  5 cos  2n  5  0
52
sin   5cos  5  0
055  0
0  0 верное равенство.
От ве т :  2arctg 5  2k , k  Z , x    2n, n  Z .
Причиной появления посторонних корней или потери корней
может быть использование в решении формул, у которых области допустимых значений выражений в левой и правой части не совпадают
( xy  x y ,
 x
2
 x,
x

y
x ,
y
log a ( xy)  log a x  log a y
и т. д.).
Во всех случаях, когда в ходе преобразований уравнения произошло расширение (пришли к уравнению-следствию) или сужение области определения исходного уравнения, необходимым этапом решения является проверка найденных корней или исключенных из области определения чисел. Основными способами проверки являются:
1) непосредственная подстановка каждого из найденных или
возможно потерянных корней в исходное уравнение;
2) доказательство равносильности выполняемых преобразований уравнения на всех этапах решения;
3) проверка принадлежности найденных корней области
определения исходного уравнения.
Остановимся на типах преобразований уравнений и неравенств. Выделяют три основных типа. Перечислим их.
Преобразование одной из частей уравнения (неравенства).
Используется для упрощения выражения, входящего в запись уравнения (неравенства). При этом не всегда получается уравнение, равносильное данному (см. пример 2
на с. 51), прежде всего из-за изменения области определения уравнения. Основой таких преобразований являются
тождественные преобразования.
II. Согласованное преобразование обеих частей уравнения
(неравенства) в результате применения к ним арифметических действий или элементарных функций. К таким преобразованиям относятся:
1) прибавление к обеим частям уравнения (неравенства) одного и того же выражения;
I.
53
2) умножение (деление) обеих частей уравнения на
одно и то же выражение;
3) умножение (деление) обеих частей неравенства на
выражение, принимающее только положительные
значения;
4) умножение (деление) обеих частей неравенства на
выражение, принимающее только отрицательные
значения и изменение знака неравенства на противоположный;
5) переход от уравнения a  b к уравнению
f (a )  f (b) , где f — некоторая функция, или обратный переход;
6) переход от неравенства a  b к неравенству
f (a )  f (b) , где f — возрастающая функция, или
обратный переход;
7) переход от неравенства a  b к неравенству
f (a )  f (b) , где f — убывающая функция, или
обратный переход.
III. Преобразование логической структуры. К этому виду преобразований можно отнести арифметические и логические
преобразования.
Среди арифметических основаниями являются:
а) переход от уравнения вида a b  0 к совокупности
уравнений a  0 или b  0 (с учетом области определения исходного уравнения);
б) переход от системы уравнений к одному уравнению посредством почленного сложения, вычитания,
умножения или деления уравнений, входящих в систему.
Из логических преобразований можно отметить:
а) выделение из системы уравнений или неравенств
одного из уравнений;
б) замена переменных, то есть переход от уравнения
 y  f ( x),
F ( f ( x))  0 к системе 
;
F ( y)  0
54
в) преобразование, обратное преобразованию замены
 y  f ( x),
F ( y)  0
переменной, то есть переход от системы 
к уравнению F ( f ( x))  0 ;
г) преобразования, основанные на тождественно истинных формулах алгебры логики, имеющих вид
равносильности или логического следования (например, A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ) ).
Для того, чтобы продемонстрировать использование преобразований разных видов, рассмотрим простой пример.
36 ( x 2 )  27 x 3 x  2 ,
Решите систему уравнений 
.
( x  2)( x  5)  0;
2
36( x 2 )  27 x 3 x  2 ,

( x  2)( x  5)  0;
2
2
2
6( x  2) 2  3( x 2  3 x  2),

 x  2  0,
 x  5  0;

(преобразования
II и
III групп)
2 x 2  8 x  8  x 2  3 x  2,

(преобразования I и II групп)
 x  2  0,
 x  5  0;

 x 2  5 x  6  0,

 x  2  0,
 x  5  0;

(преобразование II группы)
 x 2  5 x  6  0,

 x  2  0,
 2
 x  5 x  6  0,
 x  5  0;
(преобразование III группы)
55
 x  2,

 x  2  0,
 x  3,

 x  2  0,

 x  2,
 x  5  0;

 x  3,
 x  5  0;

(преобразование III группы)
От ве т : х = 2.
Любая система уравнений, неравенств, уравнений и неравенств представляет собой, с точки зрения логики, конъюнкцию
предикатов, заданных на общей области существования, которая
принимает значение «истина» только при тех наборах значений
входящих в предикат переменных, при которых истинен каждый
из предикатов. Другими словами, областью истинности конъюнкции предикатов является пересечение областей истинности всех
составляющих ее предикатов. Напомним, что для записи конъюнкции предикатов используется связка «и». Связка «или» используется для записи дизъюнкции предикатов. Дизъюнкция предикатов — это новый предикат, который принимает значение «истина» только при тех наборах значений переменных, при которых
значение истина принимает хотя бы один из предикатов, входящих в дизъюнкцию. Другими словами, область истинности дизъюнкции предикатов — это объединение областей истинности всех
составляющих предикатов. В школьном курсе математики рассматриваются совокупности уравнений, неравенств, уравнений и
неравенств (термин не всегда сообщается, но для записи используется связка «или»), представляющие на самом деле дизъюнкцию
предикатов.
Элементы логики не изучаются в школе. Но мы видим, что
изучение и использование преобразований уравнений, неравенств
и их систем способствует формированию логической культуры
учащихся и в то же время предполагает наличие достаточно высокой логической культуры у учащихся. При переходе из класса в
класс требование к сформированности такой культуры у учащихся
56
повышается. Формирование логической культуры происходит при
решении и обосновании решений конкретных задач из любой содержательной линии, в том числе и из линии уравнений и неравенств. Большую роль при этом играют осознанность решения,
понимание вопросов, связанных с характеризацией производимых
преобразований (являются ли они тождественными, равносильными или логическим следованием; требуется ли рассмотрение
нескольких случаев; нужна ли проверка). Сложность заключается
в том, что не всегда можно привести характеризацию одного и
того же преобразования однозначно: в одних случаях одно и то же
преобразование может оказаться равносильным, в других равносильность будет нарушена. Например, уравнения 3x  1  x  1 и
3x  12   x  1
2
 x  5 2   x  1 
2
равносильны, а уравнения x  5 
x 1 и
могут оказаться неравносильными (в первом
случае при всех х из области определения уравнения левая часть
принимает только положительные значения, во втором — как положительные, так и отрицательные). Поэтому в итоге изучения
материала линии уравнений и неравенств учащиеся должны не
только овладеть алгоритмическими предписаниями по решению
конкретных видов уравнений, неравенств и их систем, но и умением использовать логические средства для обоснования решения в
более сложных случаях.
Взаимосвязь линии уравнений и неравенств с другими содержательными линиями школьного курса математики прослеживается уже в самих определениях понятия уравнения и понятия неравенства («Равенство, содержащее неизвестное число…», «Предложение с переменной, имеющее вид равенства между двумя выражениями с этой переменной…», «Равенство вида f ( x )  g ( x) ,
где f (x ) и g (x ) — некоторые функции…» и т. д.).
В пособии [16] нами уже рассматривалась схема соподчиненности выражений (с. 10), те основные общие моменты, на которые
следует обратить пристальное внимание при изучении различных
содержательных линий школьных курсов алгебры, алгебры и
начал анализа (с. 11). Ошибки, которые учащиеся допускают при
решении уравнений, часто обусловлены тем, что:
а) не указывается числовое множество, которому принадлежат
корни уравнения (решения неравенства), если они существуют;
57
б) неверно выполняются тождественные преобразования в
одной из частей уравнения;
в) используются при преобразованиях формулы, изменяющие область определения уравнения (неравенства), и не исследуется, как это изменение сказывается на полученных
решениях;
г) с помощью неравносильных преобразований переходят к
уравнению-следствию (неравенству-следствию) и не выполняют проверку.
Например, типичным было следующее решение уравнения
 1  x   x (ЕГЭ, 2006 г.):
сos 7x =  1  x   x
2
cos 7x =
2
2
2
2
2
cos 7x = 1  x 2  x 2
cos 7x = 1
7 x  2k , k  z
2k
, kz.
x
7
2k
Ответ: x 
, kz
7
Для уравнения 3 x  4  (3 x  6)(3 x  9)  3 x  4 (ЕГЭ, 2005 г.)
часто предлагалось такое решение:
2
3
x

 4  (3 x  6)(3 x  9)  3 x  4
3 x  4  (3 x  6)(3 x  9)  3 x  4
(3 x  6)(3 x  9)  0
3x  6  0
3x  6
x  log 3 6
или
3x  9  0
уравнение решений не имеет
Ответ: x  log 3 6
В первом из приведенных решений не учли область определения уравнения, во втором — заменили данное уравнение в общем
случае неравносильным ему, никак не обосновав такой переход.
Наиболее полно связь линии «Уравнения и неравенства» с
числовой линией прослеживается при решении уравнений и нера58
венств, в которых требуется указать множество решений, принадлежащих числовому промежутку, множеству, заданному явно или
неявно (в ходе решения возникает необходимость сравнения иррациональных чисел с рациональными или между собой).
Приемы сравнения чисел приведены в пособии [16, с. 23].
Примерами такого рода заданий на решение уравнений и неравенств являются:
1. Решите уравнение 2 x 2  9 y 2  8 xy  3 y  0 в целых числах.
2. Сколько решений имеет уравнение
2 cos 2 x  5  7 cos x  2 sin 2 x на промежутке (20 ;30 ) ?
3. Решите уравнение sin 3x 4  x 2  0 .
4. Решите неравенство
x2 1
 x  1.
13  x 2
Процесс решения уравнения (неравенства) заключается в
замене его с помощью тождественных, равносильных преобразований и других логических средств равносильным уравнением
(неравенством) или системой уравнений (неравенств), системой
уравнений и неравенств. Связь линии уравнений и неравенств с
линией «Выражения и их преобразования» и с функциональной
линией очевидна.
Чтобы учащиеся более полно осознали ее, им можно предлагать комплексные упражнения. Целью выполнения комплексных
упражнений является не только раскрытие взаимосвязи между
изучаемым и изученным материалом, повторение изученного, но и
формирование осознанных умений по решению определенных
видов уравнений, неравенств и их систем.
Пример системы комплексных заданий, раскрывающей взаимосвязь содержательных линий курсов алгебры, алгебры и начал
анализа, можно найти в книге [16, с. 35–36].
Приведем примеры двух циклов взаимосвязанных упражнений, которые можно использовать на этапе заключительного повторения в 11-м классе [15, с. 61–62].
I цикл
1. Найдите область допустимых значений выражения:
а)
x 2  6 x  8; б)
4
log 3 x  6 log 3 x  8
59
2
2. Найдите область определения функции:
а) f ( x) 
x 2  6x  8 ;
б) f ( x)  4 log 3 x  6 log 3 x  8 .
2
Есть ли отличие между задачами 1 и 2, и если есть, то в
чем оно?
3. Найдите область определения уравнения:
x 2  6x  8  2x  1;
а)
б)
4
log 3 x  6 log 3 x  8  2 log 3 x  1 .
2
Укажите множество значений х, при котором каждое
из этих уравнений может иметь решения. Почему при
решении этих уравнений непосредственным возведением во вторую и четвертую степень соответственно
обязательным элементом решения является проверка?
Почему при решении этих уравнений заменой их
2 x  1  0
равносильными системами 
2
2
 x  6 x  8  (2 x  1)
и
2 log 2 x  1  0;
соответственно не

2
4
log 3 x  6 log 3 x  8  (2 log 3 x  1)
x 2  6x  8  0
записываются
неравенства
и
2
log 3 x  6 log 3 x  8  0 ?
В чем суть решения уравнения или неравенства методом
замены переменной? Какую замену при решении второй
системы следует сделать? Решите уравнение а) двумя
способами. Какой из способов оказался рациональнее в
данном случае? Почему?
II цикл
1. Найдите значение выражения:
59 3  413
 59  41 ;
18
( 3)3  ( 2 )3
 3 2 ;
б)
3 2
а)
60
3
3
в) lg 25  lg 4  lg 25  lg 4
lg 25  lg 4
2. Упростите выражение:
x3  y3
а)
 xy ;
x y
б)
в)
x3  y3
x y
 x y;
sin 3 (2 x  3)  cos 3 (2 x  3)
 sin( 2 x  3) cos( 2 x  3) ;
sin( 2 x  3)  cos( 2 x  3)
3. Решите уравнение:
а)
8 x 3  x 3  6 x 2  12 x  8
 2x 2  4x  0 ;
2x  x  2
lg x  lg 3 (2 x  1)
б)
 lg x lg( 2 x  1)  1
lg x  lg( 2 x  1)
3
Выполнялись ли в ходе решения уравнений преобразования, не являющиеся тождественными или равносильными? Ответ пояснить.
Взаимосвязь линии уравнений и неравенств с функциональной подробно раскрыта в предыдущей главе пособия. Наиболее
полно она проявляется в использовании графического метода решения уравнений, неравенств и их систем.
При работе над материалом содержательной линии «Уравнения и неравенства» следует обращать особое внимание на ошибки,
допускаемые учащимися при выполнении тождественных преобразований, равносильных преобразований, при использовании тех
или других логических средств. Эти ошибки могут служить основой для составления «провоцирующих» упражнений, упражнений,
в которых требуется найти ошибку в решении, и упражнений, в
которых требуется ответить на вопрос «Верно ли, что…». Суть
«провоцирующих» упражнений можно пояснить следующим образом. Допустим, что при решении определенного вида уравнений
(неравенств) учащиеся, опуская какой-либо существенный момент
в решении или допуская ошибку, получают верный ответ. Учитель
61
составляет (подбирает) новые «провоцирующие» уравнения (неравенства) так, что учащиеся, допустив ту же самую ошибку, получают неверный результат, в чем убеждаются, сделав проверку.
Выясняют, где именно была допущена ошибка, и решают еще серию аналогичных уравнений (неравенств). Можно привести варианты ошибочных решений и попросить учащихся найти ошибку.
Можно также, выделив причину допускаемой ошибки, предложить серию устных упражнений, в которых требуется ответить на
вопрос: «Верно ли, что…».
Например, при решении дробно-рациональных неравенств
методом интервалов основная ошибка учащихся состоит в том,
что они чередуют знаки на выделенных промежутках, не задумываясь о том, насколько это правильно. Поэтому, наряду с задачами
( x  2)( x  3)( x  5) >0,
на
решение
неравенств
вида
( x  2)( x  3)
( x  5)( x  3)
>0,
 0 учитель должен предлагать
x5
( x  2)
( x  2) 2 ( x  3)
 0,
( x  5)
( x  2) 2 ( x  3) 2
( x  2)( x  3) 2
( x  2) 2 ( x  3) 2

0

0
 0.
,
,
x5
( x  5) 2
( x  5) 2
( x  2)( x  3) 2 ( x  5) >0,
задания
Примерами устных упражнений, направленных на исправление
типичных ошибок учащихся, являются также приведенные ниже.
1. Верны ли следующие равенства:
а) 1  lg( x  1) 2  lg( x  1)  12 ;
x2
x 1 x2  x 1
;


x 1 x 1
x 1
в) log 3 (1  2 )(2  5 )  log 3 (1  2 )  log 3 (2  5 ) ;
б)
г) log 5 (1  2 ) 2  2 log 5 (1  2 )
д) x 2  x  1 
x  x2 1 ;
е) tg 2 x  2 tg x  1  tg x  1 ;
ж) sin 2 x  4 sin x  4  sin x  2 ;
(cos x  3) 2  cos x  3 ?
Ответ объясните. Исправьте ошибки.
з)
4
62
2. Верно ли, что равносильны следующие пары уравнений:
x 2  2x
 0 и x( x  2)  0 ;
x2
sin 2 x  1
б)
 0 и sin 2 x  1  0 ;
sin x
а)
в)

x  2  2x  1 и
 
2


x 2
 
2

2
2x  1 ;
2
г) x  2  2 x  1 и x  2  2 x  1 ?
Ответ объясните.
3. Верно ли, что равносильны следующие пары неравенств:
а) x( x  1) 2  0 и x  0 ;
б) x 2  2 x  4 <0 и  x 2  4 x  4 <0;
в) log 2 x  2  4 и log 2 x  2  4 ;
x( x  5)( x  4)
x
>
и x( x  5)( x  4) >х
x3
x3
д) x 2  5 и x  5 ?
г)
Методика изучения некоторых видов
уравнений и неравенств в школе
В данном параграфе мы не будем детально останавливаться
на способах решения уравнений тех или иных видов, методике
обучения учащихся их решению. Выделим основные, на наш
взгляд, аспекты, которые должны быть освещены и разобраны с
учащимися, а также общие моменты в методике изучения уравнений и неравенств различных видов.
Изучение конкретных видов уравнений и неравенств в
7–9-х классах проводится по следующей общей схеме:
1. Рассмотрение задач, приводящих к появлению схожих по
виду уравнений (неравенств).
2. Определение соответствующего вида уравнений (неравенств), рассмотрение задач на подведение под понятие.
63
3. Рассмотрение частных случаев в зависимости от параметров.
4. Решение уравнения (неравенства) в общем виде (или составление плана решения в более сложных случаях).
5. Формирование умения решать уравнения (неравенства)
данного вида в стандартных и нестандартных условиях.
Наиболее четко приведенная схема прослеживается при изучении линейных и квадратных уравнений. При изучении уравнений указанных выше видов учащиеся впервые встречаются с параметрами. Фактически решение линейных и квадратных уравнений в общем виде это и есть исследование решений указанных
уравнений в зависимости от параметров. Соответствующие исследования проводятся во всех учебных пособиях для школы и
могут быть сжато представлены в виде схем 1, 2(см. с. 65).
В приведенных схемах отражены подвиды уравнений в зависимости от параметров и способы их решения. Использование
схем на первых этапах обучения решению уравнений данных подвидов поможет учащимся правильно выбрать способ решения,
усвоить классификацию изучаемых уравнений. В подборку задачного материала необходимо включать уравнения данного вида
различных подвидов, а также уравнения к ним сводимые.
Например, уравнения 6 x  1  (4  6 x), 3 y  ( y  2)  2(2 y  1)
сводятся соответственно к уравнениям 0  x  3 и 0  y  0 .
Многие учащиеся при преобразованиях теряют переменную, получая 0  3 и 0 = 0. Такая запись приводит к появлению ответов «неверно», «верно», в то время как необходимо указать решения, если они есть, или сделать вывод об отсутствии решений.
Ошибку можно предупредить, объяснив учащимся, что при решении уравнений нас интересуют значения переменной, при которых
уравнение обращается в верное числовое равенство.
Процесс решения уравнения заключается в замене данного
уравнения уравнением, ему равносильным. Любое уравнение
должно содержать переменную (уравнение — это равенство с переменной). Поэтому переход от уравнений 6x  6x  3 ,
4 y  4 y  0 к равенствам 0  3 , 0  0 недопустим. Следует
записать (6  6)  x  3 , (4  4)  y  0 или 0  x  3 , 0  y  0 .
Равенства 0  x  3 , 0  y  0 являются уравнениями, и вывод об
их решении может быть сделан.
64
Схема 1
Схема 2
При решении квадратных уравнений следует чередовать полные квадратные уравнения с неполными. В противном случае
учащиеся забывают о существовании собственных способов ре65
шения последних и решают все квадратные уравнения находя
дискриминант. Для упрощения вычислений нельзя пренебрегать
прямой и обратной теоремами Виета, а также формулой для решения полных квадратных уравнений со вторым четным коэффициентом. Формула для решения полных квадратных уравнений, у
которых второй коэффициент — четное число, легко получается
из общей формулы. Если учитель покажет ее вывод и будет требовать от учащихся ее применения, то учащиеся оценят преимущества ее использования.
Рассмотрим уравнение ax 2  2kx  c  0 , где a  0 , k  0 ,
c  0.
D  (2k ) 2  4ac  4k 2  4ac  4(k 2  ac)
Если D  0 , то
x1, 2 

 2k  4(k 2  ac)  2k  2 (k 2  ac)

=
2a
2a
 k  (k 2  ac)
.
a
Поэтому для решения данного уравнения можно вычислить
D
 k 2  ac , определить знак этого выражения, и если оно
4
неотрицательно,
то
корни
уравнения
найти
по
формуле
 k  (k  ac)
.
a
2
x1, 2 
Основой для решения линейных, квадратных и других неравенств служат свойства числовых неравенств, которые распространяются на неравенства с переменной без всяких обоснований.
Этот теоретический пробел необходимо хотя бы частично ликвидировать, доказав справедливость свойств, аналогичных свойствам числовых неравенств, для неравенств с переменной. Доказательства эти несложные. Требовать их от учащихся не следует.
Приведем доказательство одного из них (на уровне учащихся
7–9-х классов).
66
Дано: x 0 — любое решение неравенства f ( x )  g ( x ) , f (x ) ,
g (x ) — некоторые функции, рассматриваемые на общей области
определения, с — некоторое число.
Доказать: x 0 — решение неравенства f ( x)  c  g ( x)  c .
Доказательство:
Так как x 0 — решение неравенства f ( x )  g ( x ) , то
f ( x0 )  g ( x0 ) — верное числовое неравенство. Тогда по свойству числовых неравенств f ( x0 )  с  g ( x0 )  с также есть верное числовое неравенство. Значит, x 0 является также решением
неравенства f ( x)  c  g ( x)  c ▄
Справедлива и обратная теорема. Доказательство проводится аналогично. Поэтому если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то получим неравенство, равносильное
данному.
В 10–11-х классах это свойство можно сформулировать еще
в более общем виде: если к обеим частям неравенства
f ( x)  g ( x) , где f (x ) , g (x ) — некоторые функции, прибавить
функцию  (x ) , определенную для каждого значения х из области определения неравенства, то получим неравенство, равносильное данному.
Решение линейных неравенств после рассмотрения значительного числа примеров можно представить в общем виде
(см. схему 3 на с. 68), подчеркнув различия при решении линейных уравнений и неравенств (учащиеся часто формально переносят алгоритмы решения линейных и квадратных уравнений на
линейные и квадратные неравенства, что приводит к грубейшим
ошибкам). Схема 3 дается не для запоминания, так как для решения неравенств надо хорошо знать и уметь использовать их свойства, а для наглядного восприятия процесса решения неравенств
и сопоставления его с процессом решения линейных уравнений.
Сопоставление схем 1 и 3 позволяет сделать вывод о том, что
процесс решения линейных неравенств значительно более емкий
(выделяются случаи a  0 , a  0 , a  0 ). Решение неравенств
67
требует внимательного изучения самого неравенства, определения знака коэффициента при переменной и использования соответствующего свойства.
Схема 3
Для решения квадратных неравенств в школьном курсе алгебры предлагаются три способа:
1) использование свойств соответствующей квадратичной
функции;
2) сведение к совокупности систем линейных неравенств;
3) метод интервалов.
Использование первого способа позволяет решить любое
квадратное неравенство. Второй и третий способы используются
в том случае, если соответствующий квадратный трехчлен можно разложить на множители. Поэтому свойства квадратичной
функции и расположение ее графика относительно оси ОХ в зависимости от старшего коэффициента и знака дискриминанта
должны быть хорошо усвоены учащимися. На первых порах при
решении квадратных неравенств можно использовать следующую таблицу.
68
Дискриминант
Коэффициент а
Схематическое
расположение
графика функции
y  ax 2  bx  c
Решение
неравенства
Решение
неравенства
ax 2  bx  c  0
ax 2  bx  c  0
D0
xR
решений нет
D0
x  (; x1 )  ( x1 ;)
решений нет
D0
x  (; x1 )  ( x2 ;)
x  ( x1 ; x 2 )
D0
решений нет
xR
D0
решений нет
x  (; x1 )  ( x1 ;)
D0
x  ( x1 ; x 2 )
x  (; x1 )  ( x2 ;)
a0
a0
69
Особое внимание следует обратить на те случаи, в которых
неравенства ax 2  bx  c  0 , ax 2  bx  c  0 , ax 2  bx  c  0 ,
ax 2  bx  c  0 не имеют решений, либо их решением является
вся числовая прямая.
Часто в работах учащихся встречается запись x  2 для решения неравенства x 2  4  0 . Эта запись свидетельствует о том,
что, во-первых, учащийся неосознанно подменил решение неравенства решением соответствующего уравнения, и, во-вторых, он
никак не связывает решение подобных неравенств со свойствами
соответствующей квадратичной функции.
Поэтому полезно давать учащимся для решения неравенства,
левая часть которых представляет собой неполный квадратный трехчлен, и просить осуществить проверку найденного
решения, используя графический метод. Построив график
функции y  x 2  4 и выделив те значения х, при которых график
располагается выше оси ОХ, учащийся поймет свою ошибку.
Наряду с неравенствами ax 2  c  0 , ax 2  c  0 , ax 2  c  0 ,
ax 2  c  0 ( a  0 , c  0 ), имеющими решением промежуток
числовой прямой или объединение промежутков, необходимо
предлагать неравенства указанных видов, не имеющие решений
либо имеющие решением всю числовую прямую. Построение
графиков соответствующих квадратичных функций позволяет
убедиться в том, что рассмотренные неравенства не имеют решений либо имеют решением всю числовую прямую. После решения
определенного количества неравенств можно обобщить полученные результаты. Например, решением неравенства ax 2  c  0
при a  0 , c  0 является вся числовая прямая; неравенство
ax 2  c  0 при a  0 , c  0 решений не имеет; неравенство
ax 2  c  0 при a  0 , c  0 решений не имеет; решением неравенства ax 2  c  0 при a  0 , c  0 является вся числовая прямая; неравенства ax 2  c  0 и ax 2  c  0 при различных по
знаку значениях a и c имеют решением промежуток числовой
прямой или объединение промежутков числовой прямой,
причем концами промежутков являются числа  
70
c
,
a

c
.
a
Аналогичная работа может быть проведена при решении
неравенств вида ax 2  bx  0 , ax 2  bx  0 , ax 2  bx  0 ,
ax 2  bx  0 ( a  0 , b  0 ). Вывод, который делают учащиеся,
состоит в том, что указанные неравенства всегда имеют решения,
являющиеся подмножеством множества действительных чисел,
концами промежутка или промежутков, через которые записывается решение, являются числа 0 и 
b
.
a
И, наконец, используя графики, можно убедить учащихся в
том, что решением неравенства ax 2  0 при a  0 является вся
числовая прямая за исключением числа 0 ; решение неравенства
ax 2  0 при a  0 — вся числовая прямая; неравенство ax 2  0
при a  0 решений не имеет; решением неравенства ax 2  0 при
a  0 является x  0 и т. д. Все эти неравенства делением на
a  0 или a  0 сводятся к неравенствам x 2  0 , x 2  0 ,
x 2  0 , x 2  0 , решения которых очевидны и хорошо иллюстрируются с помощью графика функции y  x 2 .
Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, представлены в задачном материале курсов алгебры,
алгебры и начал анализа. С понятием «модуль числа» учащиеся
впервые встречаются при изучении действий над числами одного
знака и разных знаков. Под модулем числа а понимается расстояние от точки с координатой а до точки с координатой 0 на координатной (позже числовой) прямой. Так как речь идет о расстоянии между точками на координатной (числовой) прямой, то модуль любого числа есть число неотрицательное. Находя модули
различных чисел, учащиеся убеждаются в том, что модуль неотрицательного числа есть само это число, модуль отрицательного
числа есть число, ему противоположное. В дальнейшем это понятие используется в самых разнообразных задачах: при преобразовании иррациональных выражений, вычислении расстояния между точками числовой прямой, построении графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля, решении уравнений и
неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.
Приходится констатировать, что решение упражнений, в которых фигурирует понятие «модуль», представляет для учащихся
71
определенные затруднения, особенно в тех случаях, когда под знаком модуля находится выражение с переменной. Поэтому к этому
понятию необходимо периодически возвращаться в каждом классе,
постепенно расширяя круг задач с учетом изученного материала.
Так, после изучения линейных уравнений можно предлагать учащимся решение уравнений вида ax  b  c , где a, b, c — некоторые числа; после изучения линейных неравенств — уравнения,
сводящиеся к решению совокупности систем, состоящих из линейного неравенства и линейного уравнения вида ax  b  cx  d ,
n  ax  b  p  cx  d  m , где a, b, c, d, m, n, p — некоторые числа, причем a  0 , c  0 , n  0 , p  0 . Знание учащимися алгоритмов решения квадратных уравнений и сути метода замены переменной позволяет им решать уравнения вида ax 2  b x  c  0 ,
a f ( x)   b f ( x)  c  0 , где f (x) — линейная или квадратич2
ная
функция.
Отметим,
что
уравнения
ax 2  b x  c  0 ,
a f ( x)   b f ( x)  c  0 могут быть решены и сведением к сово2
купности систем, однако способ введения новой переменной проще.
После изучения темы «Квадратные неравенства» полезно
предложить для решения уравнения вида ax 2  bx  c  mx  d ,
ax 2  bx  c  mx 2  px  q , где a, b, c, d, m, p, q — некоторые
числа, причем a  0 , m  0 . Безусловно, все приведенные уравнения рассматриваются не в общем виде, а при конкретных значениях входящих в них параметров.
Аналогично, по мере ознакомления с материалом, необходимым для решения, расширяется и круг предлагаемых неравенств,
содержащих переменную под знаком модуля. В зависимости от
уровня подготовленности класса это могут быть простейшие неравенства с переменной х x  a , x  a (а — положительное число),
либо
более
сложные
—
cx  d  a ,
cx  d  a ,
cx  d  mx  n , cx  d  mx  n , m  cx  d  q  ax  b  p ,
m  cx  d  q  ax  b  p , ax 2  bx  c  p , ax 2  bx  c  p
72
( a  0 , p — положительное число), ax 2  bx  c  mx 2  px  q ,
ax 2  bx  c  mx 2  px  q ( a  0 , m  0 ).
Все эти неравенства могут быть решены сведением к совокупности
систем
неравенств.
Например,
неравенство
2
2
ax  bx  c  mx  px  q распадается на две системы:
ax 2  bx  c  0,
или
 2
ax  bx  c  mx2  px  c;
ax 2  bx  c  0,
 2
ax  bx  c  mx2  px  c.
Однако для решения простейших лучше использовать само
определение модуля, из которого следует, что неравенство
x  a (а — положительное число) равносильно неравенству
 a  x  a , а неравенство x  a (а — положительное число)
распадается на два: x  a или x  a . Тогда cx  d  a (а —
положительное число) равносильно  a  cx  d  a , cx  d  a
(а — положительное число) распадется на два: cx  d  a или

cx  d  a, 
.
cx  d  a  равносильно совокупности неравеств 

cx

d

a
:



Средством, которое позволяет учащимся более осознанно
подходить к решению уравнений, неравенств и их систем, увидеть наглядную интерпретацию решений, является графический
метод. В графическом методе решения уравнений, неравенств и
их систем наиболее полно прослеживается взаимосвязь числовой
и функциональной содержательных линий школьного курса математики с линией уравнений и неравенств. Игнорирование графического метода решения уравнений, неравенств и их систем
приводит к поверхностному, формальному использованию алгоритмов решения задач указанных видов, отсутствию понимания
общих идей и методов школьной математики. Школьный курс
математики воспринимается как набор разрозненных фактов,
определений, свойств, требующих только заучивания и исполь73
зования по предписаниям. В частности, в основе графического
метода лежат идеи взаимнооднозначного соответствия между
множеством действительных числе и множеством точек числовой прямой, между множеством упорядоченных пар действительных чисел и множеством точек координатной плоскости,
между множеством решений уравнения с двумя переменными и
множеством точек линии на плоскости, задаваемой этим уравнением прямой, между множеством решений неравенства с двумя
переменными и множеством точек координатной плоскости, задаваемым этим неравенством, и т. д. Каждая формула, задающая
функцию одной переменной, является в то же время уравнением
с двумя переменными, решением которого является множество
упорядоченных пар, среди которых нет пар с одинаковыми первыми и различными вторыми элементами. Первые элементы в
парах принадлежат области определения функции, вторые —
множеству значений функции. Таким образом, каждой формулой, задающей функцию одной переменной, изучаемой в школе,
задается на координатной плоскости и некоторая линия (или совокупность линий), обладающая следующим свойством: любая
прямая x  x0 , где x 0 принадлежит области определения функции, пересекает ее в одной точке. Использование указанных фактов дает возможность наглядно интерпретировать множества
решений уравнений, неравенств и их систем.
Приведем примеры.
1. Решите графически неравенство x 2  6 x  5 
1
x2.
2
Р еше н ие :
1. Строим график функции y  x 2  6 x  5 .
2. Строим график функции y 
1
x2.
2
3. Находим абсциссы точек пересечения графиков функций
1
1
1
x 2 : x  , x  2, x  3 , x 6.
2
2
2
4. Записываем те значения х, для которых график функции
1
y  x 2  6 x  5 располагается выше графика функции y  x  2
2
y  x 2  6x  5 и y 
(см. рис. 13).
74
Ри с. 1 3
1
1
От ве т : x    ;    2; 3   6;  .

2 
2
2. В координатной плоскости XOY заштрихуйте множеством точек,
 x 2  y 2  25,
 y  x 2 .
задаваемых системой неравенств 
Р еше н ие :
1. Строим в координатной плоскости окружность с центром в
начале координат радиусом r  5 .
2. Штриховкой отмечаем множество точек координатной плоскости, для которых x 2  y 2  25 . Точки окружности принадлежат этому
множеству.
3. Строим график функции y  x 2 .
4. Штриховкой с другим наклоном отмечаем множество точек
координатной плоскости, задаваемых неравенством y  x 2 . Точки параболы не принадлежат этому множеству.
5. Выделяем часть координатной плоскости, где штриховки
наложились друг на друга (см. рис. 14). Это и есть множество точек, за-
 x 2  y 2  25,
 y  x 2 .
даваемых системой неравенств 
75
Рис. 14
В ходе решения подобного рода упражнений учащиеся усваивают материал линии «Уравнения и неравенства» и повторяют
материал функциональной линии.
Метод интервалов является основным методом решения неравенств в школе. Знакомство учащихся с этим методом происходит в девятилетней школе на примере дробно-рациональных неравенств. После введения понятия «непрерывность функции в точке
и на промежутке» обосновывается правомерность решения указанным методом неравенств, левая часть которых представляет
собой некоторую функцию, непрерывную в каждой точке области
определения, а выражение в правой части равно нулю.
Существуют различные варианты описания метода
интервалов для решения неравенств вида f ( x )  0 , f ( x)  0 ,
f ( x)  0 , f ( x)  0 , где f ( x) 
( x  a1 ) n1 ( x  a2 ) n2 ...( x  ak ) nk
( x  b1 ) m1 ( x  b2 ) m2 ...( x  b p )
mp
,
n1 , n2 … n k , m1 , m2 … m p — натуральные числа и ai  a j ,
bi  b j при i  j ; ai  b j (i = 1, 2 … k; j = 1, 2 … p). В большинстве учебных пособий предлагается отметить на числовой прямой
нули и точки разрыва функции, записанной в левой части неравенства. Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки,
внутри каждого из которых рассматриваемая функция непрерывна
76
и сохраняет постоянный знак. Для установления знака на интересующем промежутке выбирается конкретная точка из промежутка
и определяется знак функции в этой точке. Если необходимо
определить знак функции на каждом из полученных промежутков,
то описанная операция выполняется для каждого промежутка.
Ошибки, появляющиеся при решении неравенств, возникают чаще
всего из-за того, что учащиеся, определив знак на одном из промежутков, расставляют их на других, не выполняя вычислений, а
просто чередуя знаки «плюс» и «минус». На такое «свертывание»
действий при решении неравенств их подталкивает однотипная
система однотипных упражнений на решение неравенств, в которых в левой части чаще всего записана дробь, в числителе и знаменателе которой стоят произведения линейных двучленов первой
степени, а в правой — ноль. В этом случае действительно знаки
функции в левой части неравенства на соседних промежутка чередуются. Подобная подборка ведет к возникновению у учащихся
ошибочных ассоциаций, свидетельствующих о поверхностном
восприятии изучаемого метода решения неравенств.
На самом деле метод интервалов не сводится к механическому определению знака функции на каждом из полученных промежутков. А если этих промежутков не два-три, а значительно
больше? Решение неравенства займет много времени за счет проведения необходимых вычислений и вызовет вполне понятное
неприятие данного метода как перегруженного рутинной работой.
Метод интервалов — это геометрический метод решения неравенств вида f ( x )  0 , f ( x)  0 , f ( x)  0 , f ( x)  0 , где
f ( x) 
( x  a1 ) n1 ( x  a2 ) n2 ...( x  ak ) nk
( x  b1 ) m1 ( x  b2 ) m2 ...( x  b p )
mp
,
n1 ,
n2 … n k ,
m1 ,
m2 … m p — натуральные числа и ai  a j , bi  b j при i  j ;
ai  b j (i = 1, 2 … k; j = 1, 2 … p), основанный на следующих
утверждениях:
1) если c — это наибольшее из чисел ai , b j , то в промежутке (c; ) функция f (x ) принимает положительные значения (так как каждый из двучленов принимает положительные
значения);
77
2) если ai — такая точка, что показатель степени ni выражеn
ния ( x  ai ) i число нечетное, то в соседних промежутках слева и
справа от ai функция f (x ) принимает значения разных знаков
(аналогично для b j );
3) если ai — такая точка, что показатель степени ni выражеn
ния ( x  ai ) i число четное, то в соседних промежутках слева и
справа от ai функция f (x ) принимает значения одного знака
(аналогично для b j );
Если точка ai (соответственно b j ) удовлетворяет утверждению 2), то она называется простой. При переходе через простую
точку функция меняет знак.
Если точка ai (соответственно b j ) удовлетворяет утверждению 3), то она называется двойной. При переходе через двойную
точку функция f (x ) не меняет знак.
План решения неравенств указанных видов методом интервалов заключается в следующем:
1. Отмечают все нули функции закрашенными (для нестрогого неравенства) или незакрашенными (для строгого неравенства) кружочками и точки разрыва незакрашенными
кружочками на числовой прямой.
2. Проводят, начиная из какой-нибудь точки, лежащей выше числовой прямой и правее наибольшего из чисел ai и
b j , волнообразную кривую, называемую кривой знаков,
так, что при переходе через простые точки кривая пересекает прямую, а при переходе через двойные точки она остается в той же полуплоскости относительно числовой прямой, что и была.
3. Выбирают промежутки числовой прямой, на которых кривая знаков проходит выше оси ОХ, если решаются неравенства f ( x )  0 , f ( x)  0 , и промежутки числовой прямой,
на которых кривая знаков проходит ниже оси ОХ, при решении неравенств f ( x)  0 , f ( x)  0 , записывают объединение выбранных промежутков.
78
Чтобы не запутаться при проведении кривой знаков, двойные
точки каким-нибудь образом выделяют. Например, подчеркивают
соответствующие им числа.
План решения неравенств методом интервалов в общем виде
(приведенном выше) учащимся сообщать не следует. Он отрабатывается на конкретных примерах и сообщается в упрощенном,
адаптированном для них виде.
Рассмотрим один из вариантов обучения учащихся решению
неравенств методом интервалов (объяснение ведет учитель).
3
2
Пусть требуется решить неравенство ( x  2) ( x  5)  0 . Рассмот( x  1) x 4
3
2
рим функцию f ( x)  ( x  2) ( x  5) .
4
( x  1) x
Назовите область определения функции. Верно ли, что эта функция
непрерывна в каждой точке области определения? Почему? Назовите
нули функции и точки, в которых функция не определена.
Отметим нули функции и точки, в которых она не определена на
числовой прямой, причем если рассматриваемая точка является решением неравенства, то будем отмечать ее заштрихованным кружочком, а
если не является — то не заштрихованным. Какие из точек –5, –1, 0, 2
следует заштриховать? Почему? Почему точки –1, 0 не заштриховываем? (На доске появляется рисунок (см. рис. 15)).
Рис. 15
Возьмем какое-нибудь число, большее каждого из отмеченных чисел, например 10. какой знак будет иметь разность чисел 10 и 2, 10 и 0,
10 и –1, 10 и –5? Почему? Верно ли, что для любого числа х из промежутка (2;) разности ( x  2) , ( x  0) , ( x  (1)) , ( x  (5)) будут поло3
2
жительны? Почему? Какой знак будет иметь выражение ( x  2) ( x  5)
4
( x  1) x
при любом x  (2;) ? Произойдет ли смена знака этого выражения при
переходе через точку 2 справа налево? Почему?
Точки, при переходе через которые будет происходить смена знака
у выражения, назовем простыми.
Есть ли еще простые точки среди отмеченных на числовой прямой?
Почему точка –1 также будет простой? Верно ли, что точка будет про-
79
стой в том случае, если показатель степени у соответствующего двучлена
нечетное число?
Точки 0 и –5 простыми не являются, так как показатели степени у
соответствующих двучленов четные числа: при переходе через точку 0
выражение x 4 знак не изменит, при переходе через точку –5 выражение
( x  5) 2 знак не изменит. Такие точки назовем двойными. Будем подчеркивать их двумя черточками (см. рис. 16).
Рис. 16
Теперь проведем волнообразную кривую, называемую кривой знаков, начиная с правого верхнего угла так, что при переходе через простые точки эта кривая будет пересекать ось ОХ и оказываться в другой
полуплоскости относительно оси ОХ, а при переходе через двойную точку кривая знаков ось ОХ пересекать не будет, оставаясь в той же полуплоскости. Для нашего случая кривая пройдет следующим образом (при
проведении кривой обговаривается, будет ли она переходить в другую
полуплоскость или нет и почему) (см. рис. 17).
Рис. 17
На тех промежутках, где кривая знаков располагается выше оси ОХ,
функция f (x ) принимает положительные значения, а на тех, где кривая
знаков располагается ниже оси ОХ, функция f (x ) принимает отрицательные значения. Следует также не забывать те значения х, при которых
f ( x)  0 . Поэтому решением исходного неравенства является
x   ;1  2; .
Итак, для того чтобы решить неравенство, в левой части которого
дробь с числителем и знаменателем, представляющими произведение
двучленов вида ( x  a ) m , а правая — ноль, надо:
1) отметить нули функции, стоящей в левой части неравенства, и
значения х, при которых она не существует, закрашенными или не закрашенными кружочками в зависимости от знака неравенства и того, в
числителе или в знаменателе находится соответствующий двучлен;
2) отметить двойные точки, то есть такие, при переходе через которые кривая знаков не будет пересекать ось ОХ;
80
3) провести кривую знаков, начиная с правого верхнего угла (для х,
больших каждого из отмеченных) с учетом того, простой или двойной
является каждая из отмеченных точек;
4) записать ответ.
Затем на уроке решаются совместно с учителем несколько неравенств указанного вида. На последующих уроках неравенства
усложняются. Усложнение происходит за счет:
а) появления при х положительных, отличных от 1, коэффициентов в некоторых двучленах;
б) появления в записи левой части двучленов с отрицательным коэффициентом при х в четной степени;
в) появления в записи левой части двучленов с отрицательными коэффициентами при х в нечетной степени;
г) появления в записи левой части в качестве множителей
квадратных трехчленов с неотрицательным дискриминантом;
д) появления в левой части в качестве множителей квадратных трехчленов с отрицательным дискриминантом и положительным страшим членом;
е) появление в левой части в качестве множителей квадратных трехчленов с отрицательным дискриминантом и отрицательным старшим членом;
ж) необходимости предварительного преобразования данного
неравенства путем переноса всех слагаемых в одну часть и разложения ее на множители.
Перечисленные виды неравенств сводятся к требуемому виду
либо вынесением отрицательных коэффициентов при х за скобки
и делением (умножением) обеих частей неравенства на одно и то
же число, отличное от нуля, (в), либо разложением квадратного
трехчлена на множители (г), либо делением (умножением) обеих
частей неравенства на квадратный трехчлен, принимающий значения одного знака при x  R , (д, е).
Рассмотренный вариант обучения учащихся решению неравенств методом интервалов можно рекомендовать для десятиклассников. В девятилетней школе метод интервалов также изучается,
но интерпретируется по-другому (определение знака выражения в
левой части на каждом из выделенных промежутков путем подставления какого-либо значения из рассматриваемого промежутка), о чем уже говорилось выше. Наличие двух интерпретаций одного и того же метода путает учащихся. Поэтому следует уже в
81
девятом классе изучать метод интервалов в том виде, в котором он
будет рассматриваться в старшей школе, но отрабатывать его на
более простых примерах.
На завершающем этапе обучения в 11-м классе наиболее подготовленные учащиеся используют метод интервалов и при решении более сложных неравенств, например,
2
6


1 6x  6
0,
10  4 x
2

  1  x   1  x

    1    4 
 2 
  2 



  0,
( x  2)( x  3)

2
1 2x  5
 0,
x 2  5x  6



 log 1 x  3  log 1 x  2 




(log 2 x  1)( x  3)
2
2


  0 и т. д.
,

0
x2  6x  8
( x  2) 2 ( x  1)
При решении этих неравенств необходимо учитывать ряд дополнительных моментов, в частности, возрастающими или убывающими являются функции, присутствующими в записи левой
части неравенства, на каком числовом множестве они определены.
Если проведение кривой знаков вызывает затруднения, то лучше
определять знак функции в левой части неравенства на каждом
промежутке непосредственной подстановкой значений из этих
промежутков.
Приведем примеры решения неравенств.
x
x


2

x
x
1. Решить неравенство 2  1 2  5  0 .
x 2  5x  6


2

x
x
Р еше н ие : 2  1 2  5  0
2
x  5x  6
x
2 1  0 , x  0 .
2 x  5  0 , x  log 2 5 , log 2 4  log 2 5  log 2 8 , 2  log 2 5  3 .
Функция y  2 x является возрастающей, поэтому 2 x  1 при x  0
и 2 x  2log2 5 при x  log 2 5 (см. рис. 18).
Рис. 18
x  2; log 2 5  3;  0.
От ве т : x  2; log 2 5  3;  0.
82
2
  1  x   1  x

    1    4 
 2 
  2 


  0.
2. Решите неравенство: 
( x  2)( x  3)
Р еше н ие :
x
1
  1  0 , x  0 .
2
x
1
   4  0 , x  2 .
2
1
y 
2
Функция
x
является убывающей, поэтому при
x
x0
x
1
1
1
  1,   1  0, 1    0 .
2
2
 
2
 
x
2
  1  x   1  x

1        4 
  2    2 



  0.
( x  2)( x  3)
Рис. 18
x   ;0 2;3 .
От ве т : x   ;0 2;3 .



 log 1 x  3  log 1 x  2 



2
2

  0.
3. Решите неравенство 
( x  2) 2 ( x  1)
1
Р еше н ие : log 1 x  3  0 , x  .
8
2
log 1 x  2  0 , log 1 x  2 , x  4 .
2
2
Функция y  log 1 x определена при x  0 и является монотонно
2
убывающей.
83
log 1 x  3  0 при x 
2
3  log 1 x  0 при x 
2
1
, log 1 x  2  0 при x  4 . Значит,
8
2
1
,  log 1 x  2  0 при x  4 .
8
2

 

  3  log 1 x     log 1 x  2  


2
2

 

 0,
( x  2) 2 ( x  1)



 3  log 1 x   log 1 x  2 



2
2


  0.
( x  2) 2 ( x  1)
Рис. 20
 1
x   0;   4;  .
 8
1
От ве т : x   0;   4;  .
 8 
Обучение учащихся решению текстовых задач
Умение решать текстовые (сюжетные) задачи является одним
из важнейших показателей уровня развития математического
мышления школьников, глубины усвоения ими учебного материала. У многих учащихся решение текстовых задач вызывает затруднения, связанные с неумением представить и разделить жизненные ситуации, выделить величины и отношения между ними.
Наличие в задаче большого количества неизвестных величин пу84
гает учащихся. Обозначая каждую неизвестную величину через
переменную, учащиеся приходят к системе, которую решить не в
состоянии.
Текстовые задачи дают учителю большие возможности по
обучению учащихся анализу задачи, поиску ее решения, раскрытию сути идеи моделирования (краткая запись, схема, рисунок,
чертеж, математическая модель), развитию речи учащихся.
Процесс решения незнакомой учащимся по виду задачи есть
деятельность, которая состоит из следующих этапов: 1) анализ
задачи; 2) схематическая запись; 3) поиск способа решения;
4) осуществление решения; 5) проверка решения; 6) исследование
задачи; 7) формулирование ответа; 8) анализ решения [29, с. 29].
В процессе решения конкретной задачи все эти этапы переплетаются и представляют единое целое. Некоторые из них могут
отсутствовать (исследование задачи, анализ решения). Выполнение первых трех этапов способствует уяснению смысла задачи
учащимися и выработке плана ее решения. При проведении анализа устанавливается количество ситуаций, имеющихся в задаче;
выделяются известные и неизвестные величины и отношения
между ними; выделяются предложения, в которых раскрываются
функциональные связи между величинами, которые каким-либо
образом фиксируются.
Для осмысления задачи результаты анализа представляются в
виде схематической записи, которая может осуществляться параллельно с анализом. Схематическая запись — это модель текста
задачи, которая может быть в виде:
– линейной или столбчатой диаграммы;
– отрезка с составляющими его частями;
– таблицы;
– отрезка или луча с положением на нем движущихся объектов в различные моменты времени;
– графиков равномерного движения;
– рисунков и других объектов [9, с. 88].
Анализ текста задачи и его схематическая запись позволяют
перейти к поиску плана решения задачи, который завершается составлением математической модели задачи.
В курсе математики 5–9-х классов рассматриваются два основных способа решения текстовых задач: алгебраический и
арифметический. Причем использование алгебраического метода
85
от класса к классу расширяется, а арифметического — сужается,
поскольку уровень сложности задач возрастает, и алгебраический
способ их решения становится наиболее простым. Переход от
арифметического способа решения задач к алгебраическому сложен для учащихся (так как в последнем используется идея функциональной зависимости), поэтому он должен быть постепенным
и учащиеся должны быть подготовлены к восприятию алгебраического метода решения задач. В 5–6-х классах учащихся можно
ознакомить с решением задач с помощью уравнений, однако нельзя требовать, чтобы они любую задачу решали именно так. Полезно рассматривать различные арифметические методы и алгебраические решения одной и той же задачи и выбирать из них наиболее рациональный.
В 5–6-х классах наиболее рациональными являются арифметические способы решения задач. Как отмечает Шевкин А. В.,
«необходимо признать, что введение уравнений на ранней стадии
обучения не отвечает природе детского мышления и опыту младших школьников, что оно не оправдало себя и не улучшило результаты обучения школьников решению задач. Необходимо отказаться от раннего использования уравнений и возродить то положительное, что вырабатывалось в методике обучения решению
задач столетиями. Необходимо использовать разнообразные
арифметические способы решения для более широкого круга задач, в том числе и для задач «на работу», «на бассейны» [30, с. 17].
Шевкин предлагает отказаться от излишних надежд на попутное
воспитание в процессе обучения решению задач, а «практическую
значимость обучения видеть не только в применимости на практике изученных алгоритмов, но и в приложимости на практике развитого в процессе обучения умения анализировать исходные данные, намечать путь достижения цели, продвигаться по этому пути
и оценивать результаты». В своей статье Шевкин предлагает также отказаться от хаотического предложения учащимся задач на
разные темы из боязни формирования у них стереотипов в решении. Надо брать не числом задач, а умением учителя преподнести
их в нужной последовательности, блоками по нарастанию сложности. «Необходимо знакомить в 5-м классе учащихся с разнообразными способами рассуждений, опираясь на их опыт. На первых
порах процесс решения задачи может опираться на воображаемую
86
деятельность с предметами», — отмечает автор и приводит примеры1.
Пример 1
В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов.
Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Сколько в
клетке фазанов и кроликов?
Представьте, что кто-то кладет морковку на верх клетки.
Тогда зайцы встанут на задние лапы. Сколько ног в этот момент
будет стоять на земле? ( 35  2  70 ) Но в условии даны 94 ноги,
где же остальные? Не посчитаны — это передние лапы кроликов.
Сколько их? ( 94  70  24 ) Сколько же кроликов? (24 : 2 = 12)
А фазанов? ( 35  12  23 )
Пример 2
Новая машина может выкопать канаву за 8 ч, а старая — за
12 ч. Новая машина работала 3 ч, а старая — 5 ч. Какую часть
канавы осталось вырыть?
При решении подобных задач учащиеся приходят к пониманию того факта, что задачи на совместную работу могут решаться в частях.
1) 1 : 8=
1
— часть канавы, которую новая машина выкапы8
вает за 1 ч.
1
— часть канавы, которую старая машина вы12
капывает за 1 ч.
1
3
3)  3  — часть канавы, которую новая машина выкапы8
8
вает за 3 ч.
1
5
4)
— часть канавы, которую выкапывает старая
5 
12
12
машина за 5 ч.
3 5 19
5) 
— часть канавы, которую выкопали две ма
8 12 24
шины.
19
5
6) 1 
— часть канавы, которую осталось выкопать.

24 24
2) 1 : 12=
1
Оба примера, приведенных ниже, взяты из статьи [30, c. 18].
87
Для овладения учащимися алгебраическим методом решения
задач необходимо сформировать у них следующие умения.
1. Читать математические выражения, предлагать разную их
словесную трактовку. Например, выражения a  b  c можно
прочитать:
– сумма a и b равна с,
– a меньше c на b,
– b меньше c на a,
– c больше a на b,
– c больше b на a.
2. Символически записывать (разными словами) словесно
сформулированные зависимости.
3. Объяснять смысл данных выражений по заданным условиям. Например, пусть х — длина прямоугольника, у — ширина. Как
трактовать следующие выражения: x  y , 2( x  y ) , xy , x  y ?
4. Составлять различные уравнения по тексту задачи и составлять задачи по данному уравнению.
5. Выражать одну величину через другие в найденных зависимостях.
6. Составлять различные модели для данной задачи или схожих по математической сути задач.
Приведем примеры.
1) Задача-сказка, принесенная Синим и Оранжевым гномиками
(можно сделать соответствующие игрушки на указательные пальцы, короба — кубики)1.
В лунную ночь в нашем лесу хорошо растут пряники. В одну из таких ночей отправились мы в лес за пряниками. Синий набрал целый короб пряников. Оранжевый — втрое больше. Сосчитайте, сколько набрал
каждый из них, если дома при подсчете оказалось:
а) всего собрано 48 пряников;
б) Оранжевый набрал на 18 пряников больше Синего.
Модель 1
а)
б)
О.
О.
С.
1
С.
48
Пример взят из [27, с. 23].
88
18
Модель 2
а)
б)
О.
х
С.
х
х
х
48
О.
х
С.
х
х
х
18
Модель 3
а)
О.
С.
3х
48
1х
б)
О.
3х
С.
1х
на 18 больше
Модель 4
а)
б)
3х + х = 48
3х – х = 18
О.
О.
С.
С.
2) Задача1
Чтобы приготовить состав для полировки медных изделий, берут 10
частей воды, 5 частей нашатырного спирта, 2 части мела (по массе).
Сколько граммов каждого вещества надо взять, чтобы приготовить 340 г
состава?
Модель 1
Внашатырный спирт
Ввода
340 г
1
Пример взят из [5].
89
Вмел
Модель2
340 г
ххххххххх ххххх
вода
нашатырный
спирт
хх
мел
Модель 3
10х + 5х + 2х = 340
3) Задача
В три магазина привезли 3840 кг масла. После того, как первый магазин продал 568 кг, второй — 624 кг и третий – 401 кг, масла осталось
во всех магазинах поровну. Сколько кг масла получил каждый магазин?
Модель 1
3480 кг
?
продали
568 кг
осталось
1-й
магазин
продали
624 кг
?
осталось
2-й
магазин
?
продали
401 кг
осталось
3-й
магазин
Схематическая запись в виде диаграммы поможет ребятам составить более простое уравнение.
Модель 2
х кг масла осталось в каждом магазине, тогда
х + 568 + х + 624 + х + 401 = 3840
Модель 3
х кг масла привезли в первый магазин, тогда
х + (х – 568 + 624) + (х – 568 + 401) = 3840
90
7. Выделять одну и ту же с точки зрения математики зависимость в различных по сюжету задачах. (Функциональная зависимость фигурирующих в задаче величин). Например, большинство
задач на движение, на работу и ряд других — это задачи на обратно пропорциональную зависимость. При фиксированном пути (S),
при равномерном прямолинейном движении скорость (v) и время
(t) находятся в обратно пропорциональной зависимости; при фиксированной работе (А) производительность (N) и время (t) находятся в такой же зависимости. В 7–8-х классах можно раскрыть
перед учащимися условность деления задач на движение и на работу, продемонстрировав использование графиков при решении
задач на составление уравнений (метод решения сюжетных задач,
очень редко используемый в практике обучения). Этот метод помогает решению ряда методических задач:
а) четко определяется начало действия;
б) графическая иллюстрация облегчает проведение анализа,
составление уравнений, помогает найти несколько способов решения;
в) расширяется область использования графиков, повышается
графическая культура;
г) совершенствуется техника решения уравнений (разделение
переменных)
д) реализуются межпредметные (математика и физика) и
внутрипредметные (алгебра и геометрия) связи.
Поясним использование геометрического метода, описанного
в статье [13, с. 22].
Рассмотрим график обратной пропорциональной зависимости
(см. рис. 21).
v
v
v1
N1
N2
v2
N3
v3
0 t1 t2
t3
t
0
Рис. 21
91
t1 t2
t3
t
Опуская перпендикуляры из точек графика на оси координат,
получаем ряд равновеликих прямоугольников.
v1t1  v2t2  ...  vntn  S  const .
N1t1  N 2t2  ...  N ntn  A  const .
Использование прямоугольников и лежит в основе предлагаемого метода, который применим к подавляющему большинству
задач на работу, задач на движение и к ряду других задач. В качестве примера рассмотрим следующую задачу.
Зада ча . Пройдя половину пути, теплоход увеличил скорость в
2 раза, благодаря чему прибыл в конечный пункт на час раньше срока.
Сколько времени плыл теплоход?
Р еше н ие (рис. 22). Пусть t — планируемая затрата времени (в ч),
(t – 1) — фактическая затрата времени (в ч).
I способ.
vt  v 
t
t

 2v t  1   , t  4 .
2
2

От ве т : 3 ч.
II способ. Исключается общая площадь I.
t 
t

2v t  1    v t   , t  4 , t  1  3 .
2
2

 

III способ. Исключается общая площадь II.
t

(2v  v) t  1    v(t  (t  1)) , t  4 , t  1  3 .
2

v
2v
v
II
I
0
t 1
t
2
t
t
Рис. 22
Особые затруднения у учащихся вызывает решение задач на
проценты.
В большинстве действующих учебников выделяется три
основных вида задач на проценты, и учащиеся должны запом92
нить способы их решения. Такая работа не является плодотворной. Можно предложить еще два варианта работы над этим
материалом.
I вариант
Переведем на математический язык отношение «А составляет
a
a
от В» — A   B .
b
b
p
Соответственно «А составляет p % от В» — A 
B.
100
На основе этого равенства выстраивается тройка взаимосвязанных задач по следующей схеме.
«А составляет p % от В»
p
A
B
100
A?
A
p
B
100
B?
p
?
100
p
 A: B
100
B  A:
p
100
Преобразование исходной модели приводит к трем взаимосвязанным действиям: «нахождение процентов от числа», «нахождение частного в процентах», «нахождение числа по его процентам». Поэтому при обучении, в основе которого лежит выявление
ведущей закономерности, ее фиксации в виде равенства, отпадает
необходимость заучивания названных формул.
Выделение этой зависимости в тексте конкретной задачи сделает понятным рассуждения по составлению и решению двух других задач, связанных с данной. Кроме этого, позволит раскрыть
круг рассматриваемых вопросов прикладного характера. К ним
можно отнести задачи сплавы, растворы, процентные ставки
и т. п. В них анализируемая зависимость обычно имеет вид «сплав
(раствор) нескольких составляющих компонентов содержит p %
одного из них». Иначе: «один компонент сплава (раствора) соp
ставляет p % от сплава (раствора)». V1 
 V , где V1 — объем
100
93
(масса) одного из составляющих компонентов, V – объем (масса)
всего раствора (сплава).
Приведем пример.
Сколько чистого спирта надо прибавить к 800 г 16%-ного раствора
йода в спирте, чтобы получить 10%-ный раствор?
Здесь зависимость «йод в спиртовом растворе составляет p % от
массы» используется два раза. Первый раз «йод в спирте составляет 16 %
от массы общего раствора» и переводится как V0  0,16V , где V  800 ,
тогда V0  128 (г).
Второй раз она имеет вид «йод в спирте составляет 10% от новой
массы раствора», т. е. V0  0,1(V  Y ) , где Y — масса чистого спирта, добавленного в прежний раствор. Тогда 128  0,1(800  Y ) , Y = 480 (г).
Аналогично в задачах на процентные ставки и прибыли искомая зависимость имеет вид «на денежный вклад начисляется p %
p
годовых» и переводится так: A1 
 A , где A1 — денежное го100
довое начисление от общей суммы вклада А за год. Эта зависимость включается в новую, позволяющую вычислить всю сумму,
накопленную за год или оставшуюся после снятия процентов при
определенных операциях — «было А, увеличили на p % от А, стало В», «было А, уменьшили на p % от А, стало В».
B  A
p
 A,
100
B  A
p
A
100
Каждая из формул задает три взаимосвязанные задачи. По
двум известным компонентам можно найти третий.
p
BA
p  p

 A , А=В: 1 

,
100
A
 100  100
p
A B
p  p

B  A
 A , A  B : 1 

.
,
100
A
 100  100
B  A
Эти зависимости сначала отрабатываются на простых задачах.
Примеры задач.
A
p
B
100
1. Сколько меди содержится в 12 кг сплава меди с оловом, содержащем 45 % меди?
94
2. В сплаве меди с оловом содержится 10 кг меди, что составляет
25 % сплава. Какова масса сплава?
3. В 20 кг сплава меди с оловом содержится 8 кг меди. Каково процентное содержание меди в сплаве?
4. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий
45 % меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы
получившийся новый сплав содержал 40% меди?
Р еше н ие :
mM  0,45  m ; mM  0,45 12  5,4 (кг) — масса меди в 12 кг сплава.
mM  0,4  m1 ;
5,4  0,4  m1 ;
5,4 ; m  13,5 (кг)
m1 
1
0,4
Тогда надо добавить 13,5 – 12 = 1,5 (кг) олова.
От ве т : 1,5 кг.
Аналогичных задач, в том числе и на процентные ставки на
прибыли, можно придумать (или подобрать) сколько угодно.
После усвоения зависимости осуществляется постепенный
переход к задачам, в которых масса сплава (смеси) неизвестна,
легко решаемым с помощью введения переменой.
Примеры задач.
1. Сплав содержит 62 % олова и 32 % свинца. В куске такого сплава олова содержится на 7,2 г больше, чем свинца. Сколько граммов
свинца в этом куске?
2. Припой содержит 40 % олова, 2 % сурьмы, остальную часть
припоя составляет свинец. В куске такого припоя свинца на 3,2 кг больше, чем олова. Определите вес куска припоя.
p
p
A, B  A 
A,
100
100
где буквой B обозначено, сколько было, а буквой A — сколько
стало.
Примеры задач на зависимость B  A 
1. Кофе при жарении теряет 12 % своего веса.
а) Сколько жареного кофе получится из 2,5 кг необжаренного?
б) Сколько необжаренного кофе надо взять, чтобы получить
2,2 кг жареного?
2. Сколько процентов своего веса теряет кофе при жарке, если из
двух кг необжаренного получается 1,8 кг жареного?
95
3. Число 200 увеличили на 20 %, полученный результат уменьшили
на 20 %. Получится ли число 200 в результате? Какое число получится?
Пусть Б — первоначальное число, тогда
C  (1  0,2) Б
С1  (1  0,2)C
С  1,2  200  240
С1  0,8  240  192
4. Число а увеличили на 20 %, потом еще на 20 %. Во сколько раз
увеличилось число а? На сколько процентов увеличилось число а за два
раза?
Р еше н ие. Пусть а — данное число.
a1  1,2a
a2  (1  0,2)  1,2a  1,44a
а2
 1,44
а
а2
 100%  144%
а
144 % – 100 % = 44 %
От ве т : в 1,44 раза, на 44 %.
5. Цену товара сначала повысили на 10%, а затем понизили на 10 %.
Как изменилась цена в результате?
Р еше н ие. Пусть а — первоначальная цена.
a1  1,1a
а2  (1  0,1) 1,1а  0,9 1,1а  0,99а
0,99а
0,99  100%  99%
 0,99
а
100 % – 99 % = 1%
От ве т : Уменьшилась на 1%.
II вариант — использование понятия прямопропорциональная зависимость и составление пропорции. Приведем примеры.
1. Мясо при варке теряет 40 % своего веса.
а) Сколько вареного мяса получится из 6 кг сырого?
б) Сколько сырого надо взять, чтобы получить 6 кг вареного?
Р еше н ие :
а)
100 % — 6 кг
60 % — х
100 6

60 x
х = 3,6 (кг)
б)
100 % — y
60 % — 6 кг
у = 10 (кг)
96
2. Свежие грибы содержат 90 % воды, а сушеные — 12 %.
а) Сколько получится сушеных грибов из 88 кг свежих?
б) Сколько свежих грибов надо взять, чтобы получить 2 кг сушеных?
Р еше н ие :
а)
Свежие
Сушеные
100 % — 88 кг
10 % — х
х = 8,8 (кг)
100 % — y
88 % — 8,8 кг
y = 10 (кг)
От ве т : 10 (кг)
б)
Сушеные
Свежие
100 % — 2 кг
88 % — х
100 % — y
10 % — 1,76 кг
x
2  88
 1,76 (кг)
100
у = 17,6 (кг)
От ве т : 17,6 кг.
Более сложные задачи сводятся к элементарным.
Покажем один из вариантов работы над более сложными задачами.
1. Два туриста вышли одновременно навстречу друг другу, один —
из А в В, другой — из В в А. Каждый шел с постоянной скоростью и,
придя в конечный пункт, немедленно поворачивал обратно. Первый раз
они встретились в 12 км от В, второй раз — в 6 км от А через 6 ч после
первой встречи. Найдите расстояние между А и В и скорости обоих туристов.
Учитель выясняет вместе с учащимися, какая зависимость рассматривается, сколько ситуаций можно выделить. Для понимания смысла
задачи используются схемы (см. рис. 23, 24 на с. 98).
97
Рис. 23
а)
б)
Рис. 24
Данные задачи заносятся в таблицу.
Путь, км
I-й
S – 12
II-й
12
От I до II
I-й 12 + S – 6 = S + 6
встречи
II-й S – 12 + 6 = S – 6
S — расстояние между А и В
Скорость, км/ч
Время, ч
До I встречи
S
6
6
Далее учащиеся заполняют таблицу, используя
 vt . Возможны различные способы решения.
зависимость
I с по со б
До I встречи
Путь, км
Скорость, км/ч
Время, ч
S – 12
S 6
6
( S  12)  6
S 6
12
S 6
6
12  6
S 6
S 6
6
6
S+6
S 6
6
6
S–6
I-й
II-й
От I до II
встречи
I-й
II-й
98
( S  12)  6 12  6

S 6
S 6
S  12
12

S 6 S 6
(S – 12) (S – 6) = 12S + 72
S 2  18S  72  12S  72
S 2  30 S  0
S = 0 или S = 30
V1  6 (км/ч)
V2  4 (км/ч)
I I с по со б
До I встречи
От I до II
встречи
I-й
II-й
I-й
II-й
Путь, км
S – 12
S
12
S+6
2S
S–6
Скорость, км/ч
4
4
Время, ч
3
3
6
6
Учащиеся замечают, что путь 2S вместе проходят за 6 ч. Тогда при
этом движении путь S пройдут за 3 ч. Значит, скорость второго туриста
12 : 3 = 4 (км/ч). Дальнейшее заполнение таблицы не требуется.
S 6
 6; S  30
4
S  12 18

6
3
3
Ответ: 6 км/ч, 4 км/ч, 30 км.
2. В бассейн проведены две трубы — подающая и отводящая, причем через первую бассейн наполняется на 2 ч дольше, чем через вторую
опустошается. При заполненном на
1
бассейне были открыты две тру3
бы, и бассейн оказался пустым через 8 ч. За сколько часов, действуя отдельно, первая труба наполняет, а вторая опустошает бассейн?
В данном случае анализ задачи и поиск ее решения осуществляется
в ходе заполнения таблицы.
99
I с по со б
Объем работы
(в частях)
П
1
О
1
II с
П
1
заполнен на
3
О
8
t2
2
t
Ic
Производительность
(часть в час)
1
t2
1
t
1
t2
1
t
Время
(час)
t+2
t
8
8
1
8
8


3 t2 t
t = 6 t = –8 < 0
Ответ: за 6 ч опустошает, за 8 ч заполняет.
I I с по со б
Объем работы Производительность
(в частях)
(часть в час)
Время
(час)
П
1
х
1
x
О
1
x
1  2x
1
1  2x
2
x
x
II с
П
8х
х
8
1
заполнен на
3
О
8x
1  2x
x
1  2x
8
Iс
1 ;1: 1
8x
1
 8 (ч)
 8x  ; x 
8
8
1  2x
3
Могут быть рассмотрены и другие способы решения. Количество
способов решения зависит от того, сколько пустых прямоугольников
осталось в таблице после ее заполнения на основе анализа текста задачи.
Табличная запись условия задачи помогает учащимся понять задачу
и найти различные способы ее решения.
100
Заключение
В предложенной вниманию читателей книге с позиции преемственности, взаимосвязи, взаимозависимости материала основных содержательных линий школьного курса математики раскрыты некоторые методические аспекты изучения функций, уравнений и неравенств.
Основное внимание уделено теоретическим вопросам курсов
алгебры, алгебры и начал анализа, вызывающим наибольшие затруднения у учащихся, а также задачному материалу и критериям
его отбора. Выделение проблемных для усвоения школьниками
тем и разделов произведено на основе анализа результатов единых
государственных экзаменов выпускников школ Новгородской области в 2002–2006 годах, личного опыта работы в качестве учителя математики МОУ «Гимназия № 2», опыта работы учителей математики школ Великого Новгорода.
В книгах «Тождественные преобразования выражений в
школьном курсе математики» и «Функции, уравнения и неравенства в школьном курсе математики» автором предпринята попытка реализации системного подхода к обучению учащихся материалу содержательных линий «Числа и вычисления», «Тождества и
тождественные преобразования выражений», «Функции», «Уравнения и неравенства».
В условиях реализации системного подхода можно говорить
не только об усвоении знаний, умений и навыков, но об усвоении
системы математических знаний, умений и навыков, а также о более эффективном формировании способов умственных действий
(общих, частных, специальных), чем при традиционном подходе.
101
Список литературы
1. Алимов Ш. А. и др. Алгебра. 7 класс. — М.: Просвещение, 2005.
2. Алимов Ш. А. и др. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение, 2005.
3. Алимов Ш. А. и др. Алгебра. 9 класс. — М.: Просвещение, 2005.
4. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. Федорова Н. Е., Шабунин М. И. Алгебра и начала анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение, 1992.
5. Виленкин Н. Я., Жохов В. И. Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений. —
М.: Мнемозина, 2005.
6. Виленкин Н. Я., Жохов В. И. Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений. —
М.: Мнемозина, 2005.
7. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и
математический анализ для 10 класса. Учебное пособие для учащихся
школ и классов с углубленным изучением математики. — М.: Просвещение, 1992.
8. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учеб. Пособие для учащихся школ и классов с
углубленным изучением математики. — М.: Просвещение, 1994.
9. Григорьева Т. П., Иванова Т. А., Кузнецова Л. И., Перевозчикова Е.
Н. Основы технологий развивающего обучения математике: Учебное
пособие. — Нижний Новгород: НГПУ, 1997.
10. Дорофеев Г. В. и др. Математика. Алгебра, функции, анализ данных.
8 класс. — М.: Просвещение, 2005.
11. Дорофеев Г. В. и др. Математика. Алгебра, функции, анализ данных.
9 класс. — М.: Просвещение, 2005.
12. Дорофеев Г. В. и др. Математика. Алгебра. 7 класс. — М.: Просвещение, 2005.
13. Кац М. Т. Использование графиков при решении задач на составление уравнений // Математика в школе. — 1996. — № 2. — С. 22–25.
14. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын А. П. и др. Алгебра и
начала анализа: Учебник для 10–11 классов средней школы / Под ред. А.
Н. Колмогорова. — М.: Просвещение, 1991.
15. Кондрушенко Е. М. Математика // Анализ результатов единого государственного экзамена выпускников Новгородской области в 2005 г.:
Учебно-методическое пособие для учителей и школьников / Под ред. Ф.
А. Груздева, Е. Л. Тульцева, В. А. Вейкова. — Великий Новгород: НовГУ, 2005.
16. Кондрушенко Е. М. Тождественные преобразования в школьном
курсе математики. — Великий Новгород: МОУ ПКС «Институт образовательного маркетинга и кадровых ресурсов», 2006.
102
17. Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике: Алгебра: Тригонометрия: Учеб. пособие для студентов физико-математических пед. Институтов. — М.: Просвещение, 1991.
18. Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра: Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений. — М.: Мнемозина, 2005.
19. Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра: Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений. — М.: Мнемозина, 2005.
20. Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра: Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений. — М.: Мнемозина, 2005.
21. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Т., Муравин К. С. Алгебра: 6 класс /
Под ред. А. И. Маркушевича. — М.: Просвещение, 1977.
22. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С. Тригонометрия: Задачник к школьному курсу. — М.: АСТ-ПРЕСС: Магистр-S,
1998.
23. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика / Сост. В. И. Мишин. — М.: Просвещение, 1987.
24. Муравин Г. К. Алгебра и начала анализа. 10 класс: Учебник для 10–
11 классов средней школы. — М.: Просвещение, 1993.
25. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика. 5–11 классы / Сост. Г. М. Кузнецова, Н. Г. Миндюк. — М.:
Дрофа, 2000.
26. Рогановский Н. М. Методика преподавания математики в средней
школе. — Мн.: Высшая школа, 1990.
27. Фокин Б. Д. Здравый смысл и решение задачи // Математика в школе. — 1991. — № 2. — С. 21–23.
28. Фонин Д. С., Целищева И. И. Моделирование как основа обучения
решению задач разными способами // Математика в школе. — 1994. —
№ 2. — С. 15–18.
29. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н., Стеценко В. Я. Как научиться решать задачи: Беседы о решении математических задач. Пособие для
учащихся. — М.: Просвещение, 1979.
30. Шевкин А. В. О задачах «на работу» и не только о них // Математика
в школе. — 1993. — № 6. — С. 16–19.
103
Учебное издание
Кондрушенко Елена Михайловна
Функции, уравнения и неравенства
в школьном курсе математики
Редактор Е. С. Копылова
Ответственный за выпуск Н. В. Вахтерова
Лицензия ИД № 02634 от 28.08.2000 г.
Подписано в печать 07.05.2006. Гарнитура «Times New Roman».
Формат 60х90/16. Усл. печ. л. 6,5. Тираж 100 экз. Заказ № 88.
Отпечатано в МОУ ПКС «Институт образовательного
маркетинга и кадровых ресурсов»
173000, Великий Новгород, ул. Черемнова-Конюхова, д. 7
Тел. 66-57-32. Адрес электронной почты: izdat@iem.adm.nov.ru
104