medianax

Конспект урока
Журавлев Александр Юрьевич
Тема урока: Свойство медианы равнобедренного треугольника
Учебник: Учебник 7 кл, А.В. Погорелов "Геометрия",2-е изд, "Просвещение" 2013 г.
Тип урока: урок формирования нового знания.
Цели урока:
образовательные: повторить теоретический материал тем: «Первый признак равенства треугольников», «Второй признак равенства
треугольников», «Равнобедренный треугольник», «Высота, биссектриса и медиана треугольника»;
формировать у учащихся знание по теме «Свойство медианы равнобедренного треугольника».
развивающие: формировать у учащихся навык анализа доказательства теоремы «медиана в равнобедренном треугольнике», и
систематизации, как ранее полученных, так и полученных в течение урока знаний.
воспитательные: формировать у учащихся положительную мотивацию учебно-трудовой деятельности, путем вовлечения учащихся в
образовательный процесс;
Место урока в системе уроков данного раздела: седьмой урок раздела "Признаки равенства треугольников"
Изучаемые понятия:
Оборудование: мультимедийный проектор, персональный компьютер, презентация.
п/п Этап урока
1
Организация
Время, Задачи этапа
мин
1
Сосредоточить
внимание учащихся
на продуктивном
учебном процессе.
Предметные

Планируемые результаты
УУД
Личностные
Личностные: создание Сформировать у
условий формирования ученика стремление к
воли и настойчивости в обучению;
достижении цели.
формирование
Регулятивные: умение стремления
2
Актуализация 4
знаний
3
Первичное
11
усвоение
новых знаний
Актуализация ранее
полученных знаний
по теме:
"Равнобедренный
треугольник"
Владение
основным
теоретическим
материалом тем:
«Первый признак
равенства
треугольников»,
«Второй признак
равенства
треугольников»,
«Равнобедренный
треугольник»,
«Высота,
биссектриса и
медиана
треугольника».
Изучение свойства Научиться
медианы в
использовать
равнобедренном
свойство медианы
треугольнике;
в равнобедренном
разбор
треугольнике, а
доказательства
также доказывать
свойства медианы в это свойство.
равнобедренном
треугольнике ,
практическое
применение.
планировать пути
достижения цели,
соотносить свои
действия в процессе
достижения результата
Познавательные:
Понимать смысл
поставленной задачи,
приводить примеры.
Перерабатывать
информацию для
получения
необходимого
результата, давать
определения понятиям,
применять и
обосновывать выводы,
заключения.
Коммуникативные:
Обеспечение
продуктивного
взаимодействия с
учителем.
добиваться высоких
результатов в работе.
4
Рефлексия
3
Закрепление
полученных на
уроке знаний о
свойстве медианы.
Оценка результатов
деятельности.
5
Домашнее
задание
1
Рассмотреть
домашнее задание,
наметить способы
решения задач.
Систематизировать
знание о свойстве
медианы в
равнобедренном
треугольнике и его
совместное
использование с
знаниями
изученными в теме
"Признаки
равенства
треугольников"

Ход урока
№ Этапы
Содержание этапа
деятельность учителя
1.
2.
Организационный Учитель приветствует учеников
этап
Актуализация
Учитель актуализирует знания уч-ся по
знаний
понятиям, необходимые для изучения нового
материала; оценивает уровень усвоения знаний
учащихся по теме «равенство треугольников»,
деятельность учащихся
Основная форма
работы
Ученики настраиваются на предстоящую работу
фронтальная
Учащиеся ведут диалог с учителем, обговаривают понятия
и свойства, необходимые для изучения нового материала:
равенство треугольников по первому и второму признаку,
равнобедренный треугольник, свойство равнобедренного
фронтальная
«равнобедренный треугольник».
Вопросы:
Сформулируйте 1 и 2 признаки равенства
треугольников.
Какой треугольник называется
равнобедренным?
Назовите свойство равнобедренного
треугольника.
Назовите определения: биссектриса
треугольника, медиана треугольника, высота
треугольника.
треугольника, биссектриса, высота, медиана. Работают у
доски.
1 признак равенства треугольников: Если две стороны
и угол между ними одного треугольника
соответственно равны двум сторонам и углу между
ними другого треугольника, то такие треугольники
равны.
2 признак равенства треугольников: Если сторона и два
прилежащих к ней угла одного треугольника равны
соответственно стороне и двум прилежащим к ней
углам другого треугольника, то такие треугольники
равны.
Треугольник называется равнобедренным, если у него
две стороны равны между собой.
Боковыми называются равные стороны, а последняя —
основанием
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Биссектрисой треугольника, проведенной из данной
вершины, называется отрезок биссектрисы угла
треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на
противоположной стороне.
Медианой треугольника, проведенной из данной вершины,
называется отрезок, соединяющий эту вершину, с серединой
противоположной стороны .
Высотой треугольника, опущенной из данной
вершины, называется перпендикуляр, проведенный из
этой вершины к прямой, которая содержит
противолежащую сторону треугольника.
3.
Первичное
усвоение новых
знаний
на доске учитель рисует равнобедренный
треугольник ABC и к его основанию приводит
медиану; рассказывает теорему (3.5) о свойстве
медианы равнобедренного треугольника
Теорема(3.5):
Учащиеся записывают ход доказательства теоремы о
свойстве медианы в равнобедренном треугольнике,
выполняют решение задач
Теорема(3.5):
фронтальная
В равнобедренном треугольнике медиана,
проведенная к основанию, является
биссектрисой и высотой
Доказательство теоремы 3.5:
Дано:
Рис. 53
ΔАВС – равнобедренный
АВ – основание
CD – медиана;
Доказать: CD – высота и
биссектриса
Доказательство:
1.Что значит CD - биссектриса? (ACD=BCD)
2. Что значит CD – высота? (ADC=900; BDC=900)
3. ADC и BDC какие? (смежные)
4. Если ADC=900 и BDC=900, то между собой
они….? (равные)
5. Какие треугольники необходимо рассмотреть
чтобы доказать, что ACD=BCD и ADC=BDC?
(ΔACD и ΔBCD)
1.Дан ΔАВС – равнобедренный
АС=ВС(по определению равнобедренного
треугольника), CAD=CBD(по свойству
равнобедренного треугольника);
2. CD – медиана AD=BD
3. ΔACD=ΔBCD(по первому признаку равенства
треугольников) ACD=BCD; ADC=BDC
4. ACD=BCDCD – биссектриса
5. ADC=BDC
1
BDC= ADC=2ADB=900
CD – высота.
Пункт 26
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к
основанию, является биссектрисой и высотой
Рис. 53
Дано:
ΔАВС – равнобедренный
АВ – основание
CD – медиана;
Доказать: CD – высота и биссектриса
Доказательство:
1.Дан ΔАВС – равнобедренный
АС=ВС(по определению равнобедренного треугольника),
CAD=CBD(по свойству равнобедренного треугольника);
2. CD – медиана AD=BD
3. ΔACD=ΔBCD(по первому признаку равенства
треугольников) ACD=BCD; ADC=BDC
4. ACD=BCDCD – биссектриса
1
5. ADC=BDC BDC= ADC=2ADB=900
CDАВCD – высота.
Задача №20
Докажите что у равнобедренного треугольника:
1).биссектрисы, проведенные из вершин при
основании, равны; 2). медианы, проведенные из
тех же вершин, тоже равны.
Задача №20
1).
Дано:
АВС равнобедренный;
АВ - основание;
АЕ и ВF - биссектрисы;
Доказать: АE=ВF
Доказательство:
Из вершин А и В проведены биссектрисы AE и
BF; Рассмотрим AFB и AEB; углы
BAС=ABС(углы при основании
равнобедренного треугольника), AB - общая,
BAE=1/2BAC; FВА =1/2ABC (т.к BF и AE
биссектрисы, которые делят равные углы при
вершинах А и В пополам), ABF=ABE(2
признак равенства треугольников), AE=BF
1).
Дано:
АВС - равнобедренный;
АВ - основание;
АЕ и ВF - биссектрисы;
Доказать: АE=ВF
Доказательство:
Из вершин А и В проведены биссектрисы AE и BF;
Рассмотрим AFB и AEB; углы BAС=ABС(углы при
основании равнобедренного треугольника), AB - общая,
BAE=1/2BAC; FВА =1/2ABC (т.к BF и AE
биссектрисы, которые делят равные углы при вершинах А и
В пополам), ABF=ABE(2 признак равенства
треугольников), AE=BF
2).
Дано:
АВС - равнобедренный;
АВ - основание;
AE и BF - медианы;
Доказать: АЕ=ВF
Доказательство:
Рассмотрим AFB и AEB; AB - общая, ;
BAС=ABС(углы при основании равнобедренного
треугольника), AF=BE(т.к. AE и BF - медианы, боковых
сторон равнобедренного треугольника АВС, ВС и АС
соответственно  AF=1/2AC, BE=1/2BC), ABF=ABE
(1 признак равенства треугольников), следует что BF=AE
Задача №22
Дано:
ABE и CDE;
ABE - равнобедренный;
АВ - основание;
AO=BO, CO=DO;
Доказать: CDE равнобедренный с основанием CD
Доказательство:
Задача №22
Точки А, В, С, D, лежат
на одной прямой,
причем отрезки АВ и
CD имеют общую
середину. Докажите,
что если АВЕ
равнобедренный с
основание АВ, то CDE
тоже равнобедренный с
основанием CD
(рис. 64).
Рис. 64
В АВЕ проведем в нем медиану EO, являющейся
биссектрисой и высотой; рассмотрим CEO и DEO, О центр CD, следует что CO=OD, EO - общая сторона, т.к.
отрезок АВ принадлежит отрезку CD, а EOАВ, то EOCD,
следует COE=DOE=900, то COE=DOE(1 признак
равенства треугольников), отсюда следует что CE=DE,
следует что CED - равнобедренный (из определения
равнобедренного треугольника) .
Задача №25
Докажите что треугольник АВС равнобедренный
если у него:
1). медиана BD является высотой; 2). высота BD
является биссектрисой;
Задача №25
1).
Дано:
АВС;
BD - медиана, высота;
Доказать: АВС - равнобедренный;
Доказательство:
АВС, в нем проведена медиана BD, являющаяся высотой.
Рассмотрим ABD и CBD: т.к. BD - медиана  AD=CD;
т.к. BD - высота, то ADB=CDB=900; BD - общая сторона
 ABD=CBD (1 признак равенства треугольников)
АВ=СВ АВС - равнобедренный (по определению
равнобедренного треугольника).
2).
Дано:
АВС;
BD - биссектриса, высота;
Доказать: АВС - равнобедренный;
Доказательство:
Дан АВС, в нем проведена высота BD, являющаяся
биссектрисой.
Рассмотрим ABD и CBD: т.к. BD - высота, то
ADB=CDB=900; т.к. BD - биссектриса, то ABD=CBD,
BD - общая сторонаABD=CBD (2 признак равенства
треугольников), АВ=СВ  АВС - равнобедренный (по
определению равнобедренного треугольника).
4.
Рефлексия
(подведение
итогов занятия)
Учитель оценивает деятельность учащихся.
Задача №25
Докажите что треугольник АВС равнобедренный
если у него:
1). медиана BD является высотой; 2). высота BD
является биссектрисой; 3). биссектриса BD
является медианой.
3).
Дано:
АВС;
BD - медиана,
биссектриса;
Доказать: АВС равнобедренный;
Доказательство:
1. Продолжим биссектрису BD так, что BD=BD1
2. Рассмотрим ABD и CDB1
3. BD - медиана AD=CD; BD=B1D(по условию);
ADB=CDB1(вертикальные)ABD=CB1D 
AB=CB1, и ABD=CB1D
4. Аналогично доказывается что BDC=B1DA,
AB1=BC и AB1D=CBD.
5. AB1D=CBD, ABD=CBD (BD биссектриса) ) ABD= AB1D ABB1 равнобедренный(по свойству равнобедренного
Один из учащихся записывает решение задачи на доске,
остальные учащиеся записывают решение в тетради.
3).
Дано:
АВС;
BD - медиана, биссектриса;
Доказать: АВС - равнобедренный;
Доказательство:
Дан АВС, в нем проведена биссектриса BD, являющаяся
медианой.
Продолжим биссектрису BD так, что BD=BD1,
Рассмотрим ABD и CDB1: т.к. BD - медиана, то AD=CD;
BD=B1D(по условию), ADB=CDB1(вертикальные), 
ABD=CB1D,  AB=CB1, и ABD=CB1D
Аналогично доказывается, что BDC=B1DA, AB1=BC и
AB1D=CBD.
Т.к. AB1D=CBD, ABD=CBD (BD - биссектриса)
ABD= AB1D ABB1 - равнобедренный(по свойству
равнобедренного треугольника),  АВ=АВ1, а т.к. АВ=АВ1,
ВС=АВ1, то АВ=ВС;  АВС - равнобедренный ( по
определению равнобедренного треугольника).
фронтальная
треугольника)
6. ABB1 - равнобедренный(по свойству
равнобедренного треугольника)  АВ=АВ1, а т.к.
АВ=АВ1, ВС=АВ1, то АВ=ВС;  АВС равнобедренный ( по определению
равнобедренного треугольника).
5.
Информация о
д/з
Стр. 34 пункт 26; стр. 41 №27
Записывают домашнее задание, обсуждают ход решения.
Задача №27
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
проведена медиана BD. Найдите её длину, если периметр
треугольника АВС равен 50 м, а треугольника ABD - 40 м.
Дано:
АВС - равнобедренный;
РАВС=50м;
АС - основание;
BD - медиана;
РABD=40м;
Найти: BD
Решение:
ABC - равнобедренный, АВ=ВС(по условию); BD медиана, следовательно AD=DC; обозначим АВ через Х
тогда:РABC= 2Х+2AD=50; сократим уравнение на 2 и
получим Х+AD=25.
PABD=Х+AD+BD=40 или PABD=25+BD=40, следовательно
BD=15
Ответ: BD=15м.
индивидуальная