Лекция 6-7

ЛЕКЦИЯ 6
ЭВОЛЮЦИЯ РАДИОНУКЛИДОВ В ГЕНЕТИЧЕСКИ СВЯЗАННЫХ
ПАРАХ
Последовательный радиоактивный распад. Анализ временных
зависимостей связывающих число радиоактивных атомов и активность
дочернего
радионуклида.
Радиоактивные
равновесия.
Подвижное
радиоактивное
равновесие.
Вековое
радиоактивное
равновесие:
необходимые и достаточные условия его достижения. Время достижения
векового равновесия. Случай отсутствия радиоактивного равновесия.
Радиоактивный распад можно схематически изобразить:
Э1 → Э2(стаб.),
тогда число образующихся в результате распада ядер для каждого нуклида
будет иметь вид:
 t
1,
N1  N01 e
 t
1).
N2  N01 (1 e
Далеко не всегда продукт распада устойчив (стабилен):
образовавшийся нуклид может быть радиоактивным. В общем случае
последовательные радиоактивные превращения могут составить целый ряд,
семейство. Говорят, что в этом случае радионуклиды «генетически связаны»,
при этом используют термины «материнский» радионуклид и «дочерний»
радионуклид. Такое семейство (с произвольным числом членов) всегда
заканчивается стабильным нуклидом.
Например:
 - 137mBa 

137Cs 
137 Ba
(стаб.)
30 лет
2,54 мин
В общем случае:
Э1 → Э2 → Э3(стаб.),
где Э1 – «материнский» радионуклид, Э2 – «дочерний» радионуклид.
Будем индексами "1" и "2" помечать параметры и переменные,
относящиеся
соответственно
к
"материнскому"
и
"дочернему"
радионуклидам. Рассмотрим эволюцию радионуклидов во времени. При этих
условиях эволюция "генетической пары" представляет собой вариант
классической "бассейновой" задачи: "Прирост числа атомов дочернего
радионуклида в единицу времени равен разности скоростей актов распада
материнского и дочернего радионуклидов, поскольку скорость распада
материнского радионуклида равна скорости возникновения дочернего".
Тогда:
59
dN
1   N ,
1 1
dt
dN2
 1N1  2 N2  2 N2  1N01et .
dt
Следует подчеркнуть, что в общем случае
знак.
dN2
может иметь любой
dt
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого
порядка можно решить, например, методом Лагранжа (метод вариации
постоянной). В результате при наложении условия, что при t = 0 N02 = 0
решение будет иметь вид
N 
2
A 
2

 t  t
N (e 1  e 2 ) ,
1
 
2
1

2
 
2
1
01
 t  t
A (e 1  e 2 ) .
01
Полученные закономерности описывают эволюцию дочернего
радионуклида в генетически связанной паре.
Графически эволюция "генетической пары" изображена на рис.13.
ln A
1
2
3
t
Рис. 13. Изменение активности при Т1 >Т2 (примем условно Т1 =10 Т2):
1 – суммарная активность; 2 – активность дочернего радионуклида;
3 – активность материнского радионуклида
Важной особенностью взаиморасположения графиков является
практическое совпадение точки максимума активности (числа атомов)
дочернего радионуклида и точки пересечения графиков A1(t) и A2(t) (также и
временных зависимостей N1 и N2).
60
В этом можно убедиться, решив соответствующие уравнения dA2/dt = 0
и A1=A2, откуда момент времени (tmax), соответствующий этой точке,
определяется следующим образом:
2
1
.

2  1
ln
t max
Тогда N2max и A2max будут равны:


  
N2,max  N01( 1 ) 2 1 .
2
1
1 21
,
A2,max  A01( )
2
2
Следует иметь в виду, что соотношение A2max и A01 зависит от
соотношения λ2 и λ1, но всегда меньше A01 (при условии, что A02 = 0).
Можно провести анализ поведения суммарной активности:
АΣ =А1 +А2 = f(t).
В любом разрешенном случае максимум суммарной активности
достигается раньше, чем максимум активности дочернего радионуклида.
A
 t 2 .
tmax
max
Радиоактивное равновесие. Подвижное равновесие
Радиоактивным равновесием называется состояние системы,
содержащей материнский и связанные с ним дочерние радионуклиды, при
котором отношение активностей материнского и дочернего радионуклидов
не зависит от времени.
A2 
2
2  1
 t
 t
1 e 2 ) 
A01(e
2
2  1
 t
(  )t
1 (1 e 2 1 )
A01e
А1
Попробуем определить, наступит ли такой момент, и при каких условиях.
Пусть λ2 > λ1, и обозначим λ2 - λ1, = Δλ, тогда выражение можно
преобразовать следующим образом:
1
(1 e-t ),
N1 
A2 2
 (1 e-t ) .
A1 
N2

61
По истечении некоторого времени вследствие монотонного убывания
экспоненты можно сделать
упрощение 1 - е–Δλ ≈ 1, приняв заранее
определенный уровень погрешности, который определяется только
требованиями практики.
Здесь может помочь правило 10Т1/2.
Введем ТΔ= ln2/Δλ. Тогда exp{- ln2 · n} = 2-n, где n = t/ ТΔ. Если n = 10,
то 2-10 ~ 10-3. Следовательно, если прошло 10 · ТΔ = 10ln2/(λ2 - λ1), то
«недоравновесие» составит 0,001.
Для абсолютного большинства практически интересных случаев можно
2
1
условно допустить, что этот момент времени совпадает с tmax 
.
2  1
ln
После упомянутого упрощения соотношения приобретают вид
N2
N1

1
 inv(t ) ;

A2

A1
2
 inv(t) ,

т.е. отношение чисел атомов дочернего и материнского радионуклидов,
равно как и значений их абсолютной активности, перестает зависеть от
времени, inv (t), в то время как сами значения N1 , N2,, A1 и A2 продолжают
явным образом зависеть от времени. Такой тип равновесия называется
подвижным равновесием.
Таким образом, для "генетической пары" необходимым и достаточным
условием наступления подвижного равновесия является λ2 > λ1 (или, что то
же самое, T2 < T1). Это равновесие наступает не раньше прохождения
дочерней активности через максимум и заключается в том, что отношение
активностей дочернего и материнского радионуклидов является величиной
постоянной. Следует отметить, что до достижения состояния равновесия
эволюция A2 определяется двумя параметрами (λ1 и λ2), а после установления
равновесия – только одним λ1:
A2(t )  A1
2

2
2  1 2  1
 t
1 .
A01e
Рис. 13 отражает изменение активности для генетически связанной
пары радионуклидов для случая подвижного равновесия.
Примеры подвижного равновесия:
   99Tc 


99Mo 
 99Tc 
 99Ru
66,02час
6,014час
42
43
43
2,1210
 5лет 44 (стаб)
 
   95Mo
95 Zr 
 95 Nb 
40
63,98сут
41
35,15сут
62
42
(стаб)
"Вековое" равновесие
Вековое радиоактивное равновесие представляет собой частный случай
подвижного равновесия. Примем более жесткое условие неравенства: λ2>> λ1
(Т2<<Т1), которое является необходимым условием установления векового
равновесия. Более того, Т1 настолько велик, что активность материнского
радионуклида практически не изменяется в течение времени наблюдения.
Дадим численную оценку выражению «практически не изменяется во
времени».
В начальный момент времени t = 0 A1 = A01.
 t
1
At  A01е
В момент времени t = t
За время t – 0 = Δt относительное изменение активности
 t
1
A  A e
  01 01
A01
 t
1 1
1 е
ln2t
T
1
e
tln2
T
1
1  e
Относительное изменение активности – мало (например, δ = 0,01, δ =
0,001 и меньше), тогда
ln(1 )     t ln2 и   t ln2
T1
T1
Предположим, что δ = 0,01, Т = 108 лет, тогда t   T =1,4 ·106 лет. Т.е.
ln2
6
за 1,4 ·10 лет активность препарата уменьшится не более, чем на 1%. Если
Т = 30 лет, активность уменьшится на 1% за 0,4 года.
Активность радионуклида калий-40 (Т1/2 = 1,32·109 лет) по истечении
даже миллиона лет уменьшится всего лишь на 0,05%, а за сто лет и вовсе
незначимо:5·10-6 %.
На основании вышеизложенного можно принять А1  const, что
позволяет еще более упростить следующее выражение:
A2 
2
2  1
 t
 t
1 e 2 ) 
A01(e
Тогда при условии:
 t
2)
2
2  1
 t
(  )t
1 (1 e 2 1 )
A01e
1. λ2>> λ1 => λ2 - λ1  λ2;
2. λ1 → 0
 t
1 A
1
A01e
inv(t )
A2  A1(1 e
Или в периодах полураспада A2 = A1 ( 1 - 2-n ), где n = t/T2 - время,
выраженное в единицах периода полураспада дочернего радионуклида.
63
Очевидно, что уже при n = 6 расхождение между A2 и A1 составляет всего
лишь 1,56%, а при n = 10  менее 0,1%.
Тогда с точностью, которую задает практика (6 – 10 Т2), наступает
момент, когда A2 = A1 = inv (t). В отличии от подвижного равновесия в
данном случае не зависят от времени сами активности, а не их отношение.
Числа ядер материнского и дочернего радионуклидов соотносятся как
периоды полураспада.
N 2 1
N1 T1
A1 = A2
λ1N1 = λ2N2, тогда


N1 2
N 2 T2
Графически установление векового равновесия для "генетической
пары" изображено на рис. 14.
A
1
2
3
t
Рис. 14. Вековое радиоактивное равновесие при Т1 >>Т2 : 1 – суммарная активность;
2 – активность дочернего радионуклида; 3 – активность материнского
радионуклида
Таким образом, для "генетической пары" необходимым и достаточным
условием наступления векового равновесия являются неравенство λ 2>> λ1
(Т2<<Т1) и практически незначимое уменьшение активности материнского
радионуклида в технологическом масштабе времени, A1  const
(материнский радионуклид должен быть настолько долгоживущим, чтобы
оправдалось понятие "векового" равновесия). С погрешностью 1,56 % это
равновесие наступает по истечении уже шести периодов полураспада
дочернего радионуклида и выражается в равенстве активностей и
практической независимости их от времени в технологическом масштабе.
Пример:
 …
238 U 


 234Th 
9
2,4дня
4,510
 лет
 -  90Y 
 -  90 Zr
90Sr 
(стаб)
28,1г
64,2час
64
Случай отсутствия равновесия
Соотношение постоянных распада материнского и дочернего
радионуклидов может быть и таким, что λ1 > λ2 (Т1 < Т2). Это означает, что
материнский радионуклид распадается быстрее, чем дочерний. Эволюция
дочернего радионуклида описывается следующим выражением и так же
имеет экстремальный характер:
A2 
2
2  1
 t
 t
1 e 2 ) ,
A01(e
2
1
tmax 
.
2  1
ln
Наступит момент, когда активность материнского радионуклида станет
значительно меньше активности дочернего радионуклида, и, в конце концов,
он распадется полностью, а дочерний радионуклид после достижения
максимальной активности начнет эволюцию в соответствии со своей
постоянной распада:
A2 
2
 t
 t
1 e 2 )
A01(e
t > tmax ,
2  1


 t
 t
A2  2 A01(e 2 )  2 A01e 2 .
2  1
1  2
Принципиальный график изменения активности материнского и дочернего
радионуклидов в случае отсутствия равновесия приведен на рис. 15.
А∑
А2
А2*
А1
Рис. 15. Случай отсутствия равновесия в генетически связанной паре радионуклидов
Примеры отсутствия равновесия:
 
   131Xe
131Te 
 131I 
25мин
52
53 8,04сут
54 (стаб)
   210 Po 
210 Bi 


 206 Pb
5дней
138,4дней
83
84
82 (стаб)
65
Еще один случай, когда λ1 = λ2, при анализе дает неопределенность 0/0,
но имеет чисто теоретическое значение, т.к. до сих пор таких радионуклидов
не обнаружено.
Результаты
анализа
поведения материнского и
дочернего
радионуклидов в генетически связанной паре можно свести в следующую
таблицу.
Таблица 12
Закономерности, описывающие поведение материнского и дочернего
радионуклидов в генетически связанной паре
Вид равновесия
Подвижное
Условия установления λ2 > λ1
равновесия
Т2 < T1

Время
установления
ln 2
равновесия
1
tmax 
2  1
A2
Соотношение

 2  const
активностей
после A  
2
1
1
установления
N2

равновесия
 1  const
N1 2 1
Вековое
λ2>> λ1 A1  inv (t)
Т2 << T1
~ (6 – 10)Т2
A1 = A2 = const
Условие отсутствия равновесия λ2 > λ1 Т2 < T1
ЛЕКЦИЯ 7
ЭВОЛЮЦИЯ РАДИОНУКЛИДОВ В РАДИОАКТИВНЫХ
СЕМЕЙСТВАХ
Радиоактивное семейство, включающее несколько радионуклидов.
Формула Бейтмена. Установление равновесий в природных радиоактивных
семействах.
Рассмотрим цепочку с произвольным числом членов

1 Э
Э1 
2

2



k
3...  Э i
Э3 
 ...  Э 
 ...Эn
k
i
Характеристиками этой цепочки будет являться число членов цепочки
– n и постоянные распада радионуклидов, входящие в данную цепочку. Такая
цепочка генетически связанных радионуклидов называется «семейством»,
радионуклид, стоящий во главе цепочки – «материнским», а остальные –
66
«дочерними». Естественно, что цепочка может включать в себя произвольное
число членов, но в результате заканчивается стабильным нуклидом.
Если в начальный момент времени t = 0 в системе был только нуклид
Э1, число ядер которого N01 ≠ 0, эволюцию каждого из членов цепочки можно
описать системой линейных дифференциальных уравнений:
dN1
 1N1
dt
dN 2   N   N
1 1 2 2
dt
dN 3   N   N
2 2
3 3
dt
.......
dNk   N   N
k 1 k 1
k k
dt
Подобные системы являются типичными для кинетических задач, в
частности, подобная система описывает кинетику последовательных
необратимых реакций первого порядка. Решение этой системы, в принципе, дело техники.
Решение этой задачи для семейства, состоящего из n радионуклидов,
было дано Бейтменом в 1910 г. для случая t = 0; N02 = N03 = ... = N0n = 0, т.е.
для случая, когда в начальный момент времени существует только
радиохимически чистый материнский радионуклид N01 ≠ 0 ("родоначальник
семейства"):
q 1
e  it
q
Ν q  Ν 01  j 
j 1
q
 (
i 1
,
 i )
j
j 1
j i
q
e  i t
q
Aq  A01  j 
j 2
Здесь
q 1
  1
q
 (
i 1
j 1
j i
·2…q-1 , q  n -
j
.
 i )
порядковый
номер
j 1
радионуклидa в семействе. Ясно, что если в начальный момент времени
N02 ≠ 0, то отдельно можно рассматривать эволюцию всей цепочки, начиная
с Э2. Тогда общая эволюция любого члена цепочки будет определяться
суммой чисел ядер, возникающих из каждого источника.
Рассмотрим некоторые частные случаи в рядах радиоактивных
превращений.
Если рассмотреть периоды полураспада в радиоактивных цепочках, то
ясно, что в них не наблюдается никакой монотонности. Они будут
67
изменяться произвольным образом. Условия, которые должны выполняться
для корректности последующих выводов:
1.
в рассматриваемой цепочке период полураспада материнского
радионуклида должен быть больше периодов полураспада любого из
дочерних радионуклидов Т1 > Ti;
2.
промежуточные радионуклиды имеют периоды полураспада меньшие,
чем у крайних членов Ti < Tn.
Схематически эту ситуацию можно представить следующим образом.
T1/2
1
2
3
m
…
…
k
n
…
Рассмотрим цепочку из трех членов, и наложим более жесткие условия:
λ1 < λ3 λ2 >> λ3, а следовательно, λ2 >> λ1.
Например, такая ситуация реализуется в природном подсемействе:
-
-
228 Ac
228Th  



6,7 г
6,13 ч
1,9 г
228 Ra
T (228Ra) > T (228Th) >> T (228Ac) или λ1 < λ3 << λ2.
Присвоив индексы Ra-228 - 1; Ac-228 - 2; Th-228 - 3, получим по
формуле Бейтмена:
A3  A0123(
 t
1
2 (3 1)
N 
3
e
3t
3t
2t
1t
2t
e
e
e
e
e
 2 
)  A013(


)
2
3
 t
 t
(e 1  e 3 ),
3  1

1
 
3
1
 t
3
e


)
(2  1)(3  1) (1  2 )(3  2 ) (1  3)(2  3)
1t
e
 A0123(
 A01
 t
2
e
(1 3 )2
 t
 t
1  e 3 ).
N (e
01
68
3 1
2
1 3
Следовательно, при условии λ1 < λ3 << λ2 второе слагаемое в любой
момент времени будет значительно меньше первого и третьего, а,
приближаясь к состоянию равновесия, стремится к 0. В результате получили
формулу для генетически связанной пары, т.е. можно рассчитывать
эволюцию Э3 «через голову» промежуточного члена Э2.
Этот вывод можно распространить на произвольную величину
цепочки, если выполняется условие
λ m < λn << λk . Если в ряду
радиоактивных превращений два относительно долгоживущих радионуклида
(№ m и № n; Tm>Tn; λ m < λn) отделены друг от друга несколькими актами
распада, и промежуточные радионуклиды (№ k; m<k<n) имеют гораздо
большую
вероятность
распада, чем эти два (Tk << Tn< Tm), то
радиоактивное равновесие в данном подсемействе (от № m до № n) будет
определяться константами только этих двух радионуклидов (т.е. λm, λn).
Остается определиться, какое равновесие наступает в данной цепочке,
и через какой промежуток времени. Очевидно, что это зависит от тех же
условий, которые мы вывели для генетически связанной пары. Равновесие
наступает, если Т1 > Tk (λ 1 < λk), причем Т1 > Tk > Ti . После установления
равновесия
Ak

 k .
A1 k  1
Время установления равновесия будет определяться членом с № k.
Если установилось равновесие с членом семейства, имеющим максимальный
период полураспада после материнского, то это равновесие тем более
установится для всех других членов семейства, имеющих меньший период
полураспада.
Можно ужесточить условие. Если ряд (семейство, подсемейство)
радиоактивных превращений возглавляется долгоживущим радионуклидом,
таким, что A1  inv(t) в технологическом масштабе времени и λ << λ k , где
k- порядковый номер любого члена этого ряда, то в таком ряду может
наступить вековое равновесие материнского радионуклида с любым членом
ряда и, как следствие, A1 = A2 =... = Ak =... Время установления векового
равновесия в семействе – (6 – 10) Tk.
Если установилось вековое радиоактивное равновесие между головным
радионуклидом (родоначальником семейства) и другим членом ряда (№ z),
период полураспада которого (Tz) уступает только родоначальнику
семейства (Tz < T1), но больше периода полураспада любого другого члена
семейства (Tz > Tk), то можно сказать, что всё семейство и подавно
находится в состоянии векового равновесия.
Полученные закономерности характеризуют, в частности, эволюцию
радионуклидов в природных радиоактивных семействах.
69
Природные радиоактивные семейства
В лекции 2 данного пособия уже были рассмотрены природные
радиоактивные семейства. Напомним, что всего их три и названия свои они
получили от родоначальников рядов:
1.
Семейство урана – 238 или просто урана. Его еще часто называют
семейством U-Ra, т.к. наиболее важным изотопом этого семейства
является 226Ra (смотри лекция 2 рис. 4)
2.
Семейство урана-235 (235U) или семейство актиноурана (актиноуран –
другое историческое название изотопа 235U). Это семейство приведено
на рис. 16.
3.
Семейство тория (232Th), приведенное на рис. 17.
Проанализируем более подробно закономерности установления
равновесия на примере семейства 238U. Если рассматривать ряд в целом, то
очевидно, что в семействе может установиться вековое равновесие, при
условии, что не учитывается различное физико-химическое поведение
дочерних радионуклидов в геохимических процессах. Период полураспада
материнского радионуклида (T1/2 = 4,5 ·109 лет) много больше, чем самого
долгоживущего из дочерних, а им является 234U (T1/2 = 2,69 ·105 лет). Период
полураспада 238U столь велик, что имеются все основания считать, что его
активность не зависит от времени. Следовательно, через 10 T1/2 234U
установится вековое равновесие. Это приведет к равенству активностей 238U
и 234U, а тем более и всех остальных членов семейства, периоды полураспада
которых значительно меньше. Таким образом, зная активность материнского
радионуклида, мы знаем и активность любого из дочерних радионуклидов, в
предположении, что равновесие не нарушается в геохимических процессах.
Второй чрезвычайно важный вывод заключается в том, что общая
активность, например, урансодержащих пород будет определяться не только
самим ураном, но и его дочерними радионуклидами и в пределе будет
превышать активность материнского радионуклида во столько раз, сколько
дочерних радионуклидов входит в данное семейство. Что касается
содержания дочерних радионуклидов, то
оно будет определяться
отношением периодов полураспада. Так содержание 234U составляет 6·10-3 %
от массы 238U, 226Ra составляет 3,6 ·10-5 %, а 234Th – лишь 1,5 ·10-9 % при
равенстве активностей. Таким образом, можно анализировать не только все
семейство, но и отдельные его части с точки зрения качественного состава и
количественных характеристик.
Например, из урановой руды выделен чистый уран (как химический
элемент). Известно, что 238U и234U являются α-излучателями. Почему для
проб урана зарегистрировано β-излучение? Это становится ясно, если
проанализировать начало ряда 238U. Сразу же после выделения, в пробе будут
присутствовать только радионуклиды 238U и 234U, которые при
осуществлении обычных химических операций не разделяются. Но при
распаде 238U образуется 234Th, который является β-излучателем, а при его
70
распаде образуется 234Pa, который также является β-излучателем. В части
ряда от 238U до 234U равновесие восстановится через 10T1/2 234Th, т.е. через 240
суток и активности 234Th и 234Pa станут равны активности материнского 238U.
Аналогичным образом можно проанализировать и проблемы,
связанные с 226Ra, его дочерним 222Rn и продуктами распада. Например, в
качестве одного из способов обезвреживания воды, содержащей радон,
предлагают ее выдержку или кипячение. В этом случае радон – газ улетает.
Но это решает проблему, если в воде присутствует только один 222Rn без
своего материнского радионуклида - 226Ra. Если же в воде присутствует
226
Ra, то радон будет в ней постоянно накапливаться и решение проблемы
очистки воды возможно только в том случае, если она будет очищена от
222
материнского 226Ra. Кроме того радиологическая опасность
Rn
определяется не только тем, что он сам является α-излучателем, но главным
образом тем, что в результате его распада образуется целая цепочка
продуктов распада.
Таким образом, анализ систем, в состав которых входят не просто
отдельные радионуклиды, но и генетически связанные пары и ряды, должен
учитывать возможность образования и накопления дочерних радионуклидов
и достижения состояния равновесия. Такой анализ широко проводится не
только для систем, включающих природные радионуклиды, но и при оценке
накопления и распада продуктов деления при работе ядерных реакторов и
выдержке ТВЭЛов. Генетически связанные пары, в которых возможно
установление равновесия, используются для создания изотопных генераторов
для производства короткоживущих радионуклидов, нашедших широкое
применение, в том числе и в медицине.
71
Рис. 16. Семейство 235U
72
Рис. 17. Семейство 232Th
73