24c

Лекция 24. Применение принципа наложения
для анализа переходных процессов
Использование принципа наложения для нахождения реакции линейной
цепи на произвольное воздействие. Определение реакции с использованием
временной или переходной характеристики. Различные формы интеграла
Дюамеля.
Цели изучения:
освоение наиболее общего метода расчёта реакции линейной цепи на
произвольное воздействие
Наиболее общий подход к анализу переходных процессов в линейных
цепях основан на использовании принципа наложения. Внешнее воздействие
на цепь x = x(t) в этом случае представляют в виде линейной комбинации
однотипных элементарных составляющих xk(t)
x(t )   k xk (t ),
k
а реакцию цепи на такое воздействие ищут в виде линейной комбинации
частичных реакций yk(t) на воздействие каждой из элементарных
составляющих внешнего воздействия в отдельности:
y (t )   k yk (t ).
k
В качестве элементарных составляющих xk(t) можно выбирать внешние
воздействия, описываемые различными классами функций, реакция цепи на
которые может быть найдена с помощью рассмотренных ранее методов.
Наиболее широкое распространение получили элементарные воздействия в
виде гармонической функции времени, единичного скачка или единичного
импульса.
Метод анализа переходных процессов в линейных цепях, основанный на
представлении внешнего воздействия в виде конечной или бесконечной суммы
гармонических функций времени, получил название спектрального, более
подробно он будет рассмотрен при изучении курса «Радиотехнические цепи и
сигналы».
24.1. Определение реакции цепи на произвольное внешнее
воздействие по ее переходной характеристике
Рассмотрим произвольную линейную электрическую цепь, не
содержащую независимых источников энергии, переходная характеристика
которой h(t) известна. Пусть внешнее воздействие на цепь задается в виде
1
произвольной функции x =x(t), равной нулю при t < t0 и непрерывной при
всех t, за исключением точки t = t0, где x(t) может иметь конечный разрыв
(рис. 24.1).
x(t)
x(t0)

0
k
t0
t
Рис. 24.1. Представление произвольного внешнего воздействия в виде
суммы неединичных скачков
Функцию x(t) можно приближенно представить в виде в виде линейной
комбинации единичных скачков, смещенных один относительно другого на
:
x(t )  x(t 0 )1(t  t 0 )   x( k )1(1   k ).
(24.1)
k
Здесь x(t0) - высота начального скачка функции x(t);
x( k )  
dx
dt
t  k
-высота скачка, подаваемого в момент времени t = k
(на рис. 9.16 этот скачок заштрихован).
В соответствии с определением переходной характеристики реакция цепи
на воздействие неединичного скачка, приложенного в момент времени t = = k,
равна произведению высоты скачка на переходную характеристику цепи
h(t - k). Следовательно, реакция цепи на воздействие, представляемое суммой
неединичных скачков (24.1), равна сумме произведений высот скачков на
соответствующие переходные характеристики
y (t )  x(t 0 )h1 (t  t 0 )  
k
2
dx
dt
t  k
h(t   k ) .
(24.2)
Точность представления входного воздействия в виде суммы неединичных
скачков, как и точность представления реакции цепи в виде (9.79), возрастает с
уменьшением шага разбиения по времени . При 0 суммирование
заменяется интегрированием:
dx( )
h(t   )d .
d
t0
t
y (t )  x(t 0 )h(t  t 0 )  
(24.3)
Выражение (24.3) - интеграл Дюамеля (интеграл
наложения).
Используя это выражение, можно найти точное значение реакции цепи на
заданное воздействие x = x(t) в любой момент времени t после коммутации.
Интегрирование в (24.3) осуществляется на промежутке t0 <  < t, выражения
для x() и h(t - ) получается из выражений для x(t) и h(t) путем замены t на 
и (t - ) соответственно.
С помощью интеграла Дюамеля можно найти реакцию цепи на заданное
воздействие и тогда, когда внешнее воздействие на цепь описывается кусочнонепрерывной функцией, т. е. функцией, которая имеет конечное число
конечных разрывов. В этом случае необходимо разбить интервал
интегрирования на несколько промежутков в соответствии с интервалами
непрерывности функции x = x(t) и учесть реакцию цепи на конечные скачки
функции x = x(t) в точках разрыва.
Пример 24.1. Найдем реакцию цепи на внешнее воздействие, задаваемое
функцией x = x(t) вида рис. 24.2.
 0
 x (t )
 1
x(t )  
 x 2 (t )
 0
при
t  0;
при
0  t  t1 ;
при
t1  t  t 2 ;
при
t  t2 .
x(t)
х1(0)
x1(t)
x1(0)
3
0
x2(t2)
t1
t2
t
Рис. 24.2. К примеру 24.1
Разбиваем ось времени на четыре промежутка в соответствии с
интервалами непрерывности функции x = x(t).
1) При t < 0 реакция цепи y = y(t) тождественно равна нулю (реакция
цепи не может опережать по времени внешнее воздействие на цепь).
2) На участке 0 < t < t1 функция x = x(t) непрерывна, поэтому реакция
цепи находится непосредственно с помощью выражения (9.80)
dx1 ( )
h(t   )d .
d
0
t
y(t )  x1 (0)h(t )  
3) При t1 < t < t2 интервал интегрирования ]0, t[ содержит одну точку
разрыва функции x(t). Разбивая интервал интегрирования на два промежутка
]0, t1[, ]t1, t[ и учитывая реакцию цепи на воздействие скачка функции x(t) в
точке t = t1, получаем
t1
y (t )  x1 (0)h(t )  
0
dx1 ( )
h(t   )d  [ x 2 (t1 )  x1 (t1 )]h(t  t1 ) 
d
dx 2 ( )
h(t   )d .
d

t1
t

4) При t > t2 интервал интегрирования содержит две точки разрыва
функции x(t). Для определения реакции цепи в этом случае необходимо
разбить интервал интегрирования на три промежутка ]0, t1[, ]t1, t2[, ]t2, t[ и
учесть реакцию цепи на скачки функции в точках t1 и t2. Принимая во
внимание, что при t > t2 dx(t)/dt = 0, получаем
t1
y (t )  x1 (0)h(t )  
0
dx1 ( )
h(t   )d  [ x 2 (t1 )  x1 (t1 )]h(t  t1 ) 
d
dx 2 ( )
h(t   )d  x 2 (t 2 )h(t  t 2 ).
d
t1
t2

4
24.2. Определение реакции цепи на произвольное внешнее
воздействие по ее импульсной характеристике
Пусть внешнее воздействие на линейную электрическую цепь, импульсная
характеристика которой g(t - t0) известна, описывается произвольной
функцией x = x(t), равной нулю при t < t0 и непрерывной при всех t, за
исключением точки t = t0, где функция x(t) может иметь конечный разрыв
(рис. 24.2). Функция x(t) может быть приближенно представлена в виде суммы
импульсов xk(t) длительностью , сдвинутых один относительно другого на

x(t )   xk (t ).
(24.3)
k
Рассматривая элементарный импульс xk(t) (на рис. 24.3 заштрихован) как
разность двух неединичных скачков x(k), сдвинутых по времени на ,
выражение (24.3) можно представить в виде
x(t )   x( k )[1(t   k )  1(t   k   )] 
k
(24.4)
1(t   k )  1(t   k  
  Sk
.

k
где Sk = x(k) - площадь элементарного импульса xk (t).
x(t)
х(k)
x(t0)

0
t0
k
t
Рис. 24.3. Представление произвольного внешнего воздействия в виде
5
суммы импульсов
Точность представления внешнего воздействия на цепь с помощью
выражения (24.4) возрастает с уменьшением шага разбиения по времени .
Учитывая, что
1(t   k )  1(t   k   )
  (t   k ),
  0

lim
внешнее воздействие на цепь при достаточно малом шаге разбиения по
времени можно представить в виде линейной комбинации единичных
импульсов
x(t )   Sk (t   k ).
(24.5)
k
В соответствии с определением импульсной характеристики реакция цепи
yk (t) на воздействие одиночного импульса xk = Sk(t - k) равна произведению
площади импульса Sk на импульсную характеристику цепи g(t - k)
yk (t) = Skh(t - k).
Следовательно, реакция цепи на воздействие вида (24.5) равна сумме
произведений площадей импульсов Sk на соответствующие импульсные
характеристики g(t - k)
y(t )   S k g (t   k )   x( k ) g (t   k ) .
k
k
Устремляя  к нулю и переходя от суммирования к интегрированию,
получаем окончательно
t
y (t )   x( )h (t   )d .
(24.6)
t0
Выражение (24.6) представляет собой одну из форм записи интеграла
Дюамеля и его можно получить непосредственно из (24.3), используя правило
интегрирования по частям и учитывая соотношения между переходной и
импульсной характеристиками цепи. Выражение (24.6) можно использовать
для определения реакции цепи и в том случае, когда внешнее воздействие на
цепь описывается кусочно-непрерывной функцией, при этом интервал
интегрирования разбивается на несколько промежутков в соответствии с
интервалами непрерывности функции x(t).
Пример 24.1
6
Зная импульсную характеристику цепи g(t - t0), найдем реакцию цепи на
внешнее воздействие, описанное в примере 23.1.
Разбиваем ось времени на четыре промежутка в соответствии с
интервалами непрерывности функции x = x(t) и, используя выражение (9.84),
определяем реакцию цепи на заданное воздействие на каждом из
промежутков:
 0
t
 x ( ) g (t   )d
0 1
t
t
y (t )   1
x ( ) g (t   )d   x 2 ( ) g (t   )d
 1
0
t1

t
t
2
1
 x1 ( ) g (t   )d   x 2 ( ) g (t   )d
t1
 0
t  0;
при
при
0  t  t1 ;
при
t1  t  t 2 ;
при
t  t2 .
;
Как и следовало ожидать, полученные выражения для реакции
рассматриваемой цепи на заданное воздействие, найденные с помощью
импульсной характеристики цепи, совпадают с соответствующими
выражениями, полученными с использованием переходной характеристики
цепи (пример 22.1).
Функция f(t), определяемая соотношением
t
f (t )   f1 ( ) f 2 (t   )d ,
0
является сверткой функций f1(t) и f2(t). Используя известное из математики
свойство свертки двух функций
t

t
f1 ( ) f 2 (t   )d   f1 (t   ) f 2 ( )d ,
0
0
из выражений (9.80) и (9.84) можно получить еще две формы записи
интеграла Дюамеля
dx(t   )
h( )d ,
d (t   )
t0
t
y (t )  x(t 0 )h(t  t 0 )  
t
y (t )   x(t   ) g ( )d .
t0
7
Все приведенные формы записи интеграла Дюамеля равноценны в смысле
получаемых результатов, поэтому выбор того или иного выражения
определяется только удобством вычислений и не носит принципиального
характера.
Выводы
 В
линейных
цепях
справедлив
принцип
наложения
(суперпозиции): реакцию
цепи на сложное воздействие,
представляющее
собой
линейную
комбинацию
простых
воздействий можно определить как
линейную комбинацию
реакций на эти простые воздействия
 В качестве простых воздействий рассматриваются единичные
функции – функция включения и дельта-функция
 При известной импульсной или переходной характеристиках
реакция цепи рассчитывается с помощью интеграла наложения
(интеграла Дюамеля).
 Существуют четыре взаимозаменяемых формы интеграла
Дюамеля.
8