лекция 6 Ряды динамики

Лекция 6 Ряды динамики в анализе социально-экономических явлений
Ряд динамики – временная последовательность значений статистических
показателей. Он состоит из двух элементов: моментов времени (обычно дат) или периодов
времени (годы, кварталы, месяцы), к которым относятся статистические данные, и самих
статистических данных, называемых уровнями ряда. Эти элементы – время и уровень –
члены ряда динамики.
Следовательно, составными элементами ряда динамики являются:
1) уровень ряда (показатель);
2) период времени (сутки, месяц, квартал, полугодие, год) или момент времени
(дата).
Уровень ряда динамики, как и любой статистический показатель, должен иметь
количественную определенность, сопоставимость единиц наблюдения, место и время.
По временной характеристике ряды динамики подразделяют:
- моментные (на определенные моменты времени, например, на 01.01.2013; на 01.02.2013;
на 01.01.2013 и т.д.);
- интервальные (за определенные интервалы времени).
Если
несопоставимость
ряда
динамики
вызвана
административнотерриториальными преобразованиями, организационными изменениями или изменениями
методологии исчисления, то для изучения развития явления следует построить ряд
сопоставимых уровней в новых границах. Для этого используют коэффициент пересчета
(или соотношения двух уровней):
К= Уровень явления в новых границах/Уровень явления в старых границах.
Умножая на полученное значение коэффициента уровни ряда динамики в старых
границах до года, в котором произошли изменения, можно построить ряд динамики
сопоставимых уровней в новых границах.
Первоначальные ряды динамики могут быть преобразованы в ряд средних величин и ряд
относительных величин (цепной и базисный). Такие ряды динамики называют
производными рядами динамики.
Методика расчета среднего уровня в рядах динамики различна, обусловлена видом ряда
динамики. На примерах рассмотрим виды рядов динамики и формулы для расчета
среднего уровня.
Интервальные ряды динамики
Уровни интервального ряда характеризуют результат изучаемого процесса за период
времени: производство или реализация продукции ( за год, квартал, месяц и др. периоды),
число принятых на работу, число родившихся и.т.п. Уровни интервального ряда можно
суммировать. При этом получаем такой же показатель за более длительные интервалы
времени.
Средний уровень в интервальных рядах динамики (
средней арифметической простой:


) исчисляется по формуле
y — уровни ряда (y1, y2 ,...,yn),
n — число периодов (число уровней ряда).
Рассмотрим методику расчета среднего уровня интервального ряда динамики на примере
данных о продаже сахара в России.
Годы
1994
1995
1996
Продано сахара, тыс. тонн
2905
2585
2647
- это среднегодовой объем реализации сахара населению России за 1994-1996 гг. Всего за
три года было продано 8137 тыс.тонн сахара.
Моментные ряды динамики
Уровни моментных рядов динамики характеризуют состояние изучаемого явления на
определенные моменты времени. Каждый последующий уровень включает в себя
полностью или частично предыдущий показатель. Так, например, число работников на 1
апреля 1999 г. полностью или частично включает число работников на 1 марта.
Если сложить эти показатели, то получим повторный счет тех работников, которые
работали в течение всего месяца. Полученная сумма экономического содержания не
имеет, это расчетный показатель.
В моментных рядах динамики с равными интервалами времени средний уровень
ряда исчисляется по формуле средней хронологической:



y -уровни моментного ряда;
n -число моментов (уровней ряда);
n — 1 — число периодов времени (лет, кварталов, месяцев).
Рассмотрим методику такого расчета по следующим данным о списочной численности
работников предприятия за 1 квартал.
на 1 января
на 1 февраля
Число работников
150
145
на 1 марта
на 1 апреля
162
166
Необходимо вычислить средний уровень ряда динамики, в данном примере — среднюю
списочную численность работников предприятия:
Расчет выполнен по формуле средней хронологической. Средняя списочная численность
работников предприятия за 1 квартал составила 155 человек. В знаменателе — 3 месяца в
квартале, а в числителе (465) — это расчетное число, экономического содержания не
имеет. В подавляющем числе экономических расчетов месяцы, независимо от числа
календарных дней, считаются равными.
В моментных рядах динамики с неравными интервалами времени средний уровень ряда
исчисляется по формуле средней арифметической взвешенной. В качестве весов средней
принимается продолжительность времени ( t- дни, месяцы ). Выполним расчет по этой
формуле.
Списочная численность работников предприятия за октябрь такова: на 1 октября — 200
человек, 7 октября принято 15 человек, 12 октября уволен 1 человек, 21 октября принято
10 человек и до конца месяца приема и увольнения работников не было. Эту информацию
можно представить в следующем виде:
Число работников Число дней (период
времени)
200
6 (с 1 по 6 включительно)
215
5 (с 7 по 11 включительно)
214
9 (с 12 по 20 включительно)
224
11 (с 21 по 31
включительно)
При определении среднего уровня ряда надо учесть продолжительность периодов между
датами, т. е. применять формулу средней арифметической взвешенной:
В данной формуле числитель (
) имеет экономическое содержание. В приведенном
примере числитель (6665 человеко-дней) — это календарный фонд времени работников
предприятия за октябрь. В знаменателе (31 день) — календарное число дней в месяце.
В тех случаях, когда имеем моментный ряд динамики с неравными интервалами времени,
а конкретные даты изменения показателя неизвестны исследователю, то сначала надо
вычислить среднюю величину ( ) для каждого интервала времени по формуле средней
арифметической простой, а затем вычислить средний уровень для всего ряда динамики,
взвесив исчисленные средние величины продолжительностью соответствующего
интервала времени . Формулы имеют следующий вид:
Рассмотренные выше ряды динамики состоят из абсолютных показателей, получаемых в
результате статистических наблюдений. Построенные первоначально ряды динамики
абсолютных показателей могут быть преобразованы в ряды производные: ряды средних
величин и ряды относительных величин. Ряды относительных величин могут быть цепные
(в % к предыдущему периоду) и базисные (в % к начальному периоду, принятому за базу
сравнения — 100%). Расчет среднего уровня в производных рядах динамики выполняется
по другим формулам.
Ряд средних величин
Сначала преобразуем приведенный выше моментный ряд динамики с равными
интервалами времени в ряд средних величин. Для этого вычислим среднюю списочную
численность работников предприятия за каждый месяц, как среднюю из показателей на
начало и конец месяца( ): за январь (150+145):2=147,5; за февраль (145+162):2 = 153,5;
за март (162+166):2 = 164.
Представим это в табличной форме.
Месяцы Среднесписочная численность
работников
Январь 147,5
Февраль 153,5
Март
164,0
Средний уровень в производных рядах средних величин рассчитывается по формуле
средней арифметичекой простой:
Заметим, что средняя списочная численность работников предприятия за 1 квартал,
вычисленная по формуле средней хронологической на базе данных на 1 число каждого
месяца и по средней арифметической — по данным производного ряда — равны между
собой, т.е. 155 человек. Сравнение расчетов позволяет понять, почему в формуле средней
хронологической начальный и конечный уровни ряда берутся в половинном размере, а все
промежуточные уровни берутся в полном размере.
Ряды средних величин, производные от моментных или интервальных рядов динамики, не
следует смешивать с рядами динамики, в которых уровни выражены средней величиной.
Например, средняя урожайность пшеницы по годам, средняя заработная плата и т.д.
Ряды относительных величин
В экономической практике очень широко используют ряды относительных величин.
Практически любой первоначальный ряд динамики можно преобразовать в ряд
относительных величин. По сути, преобразование означает замену абсолютных
показателей ряда относительными величинами динамики.
Средний уровень ряда в относительных рядах динамики называется среднегодовым
темпом роста. Методы его расчета и анализа рассмотрены ниже.
Анализ рядов динамики
Показателями, характеризующими изменения уровней ряда динамики во времени,
являются: 1) абсолютные приросты (цепные, базисные, средние); 2) темпы роста (цепные,
базисные, средние); 3) темпы прироста (цепные, базисные, средние); 4) абсолютное
значение 1% прироста.
В таблице приведен цифровой пример, а ниже даны формулы расчета и экономическая
интерпретация показателей.
Анализ динамики производства продукта "A" по предприятию за 1994-1998 гг.
Годы Произведено, Абсолютные Коэффициенты Темпы
Темпы
Значение
тыс. т.
приросты, роста
роста, %
прироста, 1% при%
роста,
тыс. т.
тыс. т
Цеп- базис- цеп- базис- цеп- базис- цеп- базисные ные
ные ные
ные ные ные ные
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1994
200
1,00
100 1995
210
10 10
1,050 1,05
105,0 105 5,0 5,0
2,00
1996
218
8
18
1,038 1,09
103,8 109 3,8 9,0
2,10
1997
230
12 30
1,055 1,15
105,5 115 5,5 15,0 2,18
1998
234
4
34
1,017 1,17
101,7 117 1,7 17,0 2,30
Абсолютные приросты (Δy) показывают, на сколько единиц изменился последующий
уровень ряда по сравнению с предыдущим (гр.3. — цепные абсолютные приросты) или по
сравнению с начальным уровнем (гр.4. — базисные абсолютные приросты). Формулы
расчета можно записать следующим образом:
При уменьшении абсолютных значений ряда будет соответственно "уменьшение",
"снижение".
Показатели абсолютного прироста свидетельствуют о том, что, например, в 1998 г.
производство продукта "А" увеличилось по сравнению с 1997 г. на 4 тыс. т, а по
сравнению с 1994 г. — на 34 тыс. т.; по остальным годам см. табл. 11.5 гр. 3 и 4.
Коэффициент роста показывает, во сколько раз изменился уровень ряда по сравнению с
предыдущим (гр.5 — цепные коэффициенты роста или снижения) или по сравнению с
начальным уровнем (гр.6 — базисные коэффициенты роста или снижения). Формулы
расчета можно записать следующим образом:
Темпы роста показывают, сколько процентов составляет последующий уровень ряда по
сравнению с предыдущим (гр.7 — цепные темпы роста) или по сравнению с начальным
уровнем (гр.8 — базисные темпы роста). Формулы расчета можно записать следующим
образом:
Так, например, в 1997 г. объем производства продукта "А" по сравнению с 1996 г.
составил 105,5 % (
Темпы прироста показывают, на сколько процентов увеличился уровень отчетного
периода по сравнению с предыдущим (гр.9- цепные темпы прироста) или по сравнению с
начальным уровнем (гр.10- базисные темпы прироста ). Формулы расчета можно записать
следующим образом:
Тпр = Тр - 100% или Тпр= абсолютный прирост / уровень предшествующего периода * 100%
Так, например, в 1996 г. по сравнению с 1995 г. продукта "А" произведено больше на 3,8
% (103,8 %- 100%) или (8:210)х100%, а по сравнению с 1994 г. — на 9% (109% — 100%).
Если абсолютные уровни в ряду уменьшаются, то темп будет меньше 100% и
соответственно будет темп снижения (темп прироста со знаком минус).
Абсолютное значение 1% прироста (гр. 11) показывает, сколько единиц надо произвести
в данном периоде, чтобы уровень предыдущего периода возрос на 1 %. В нашем примере,
в 1995 г. надо было произвести 2,0 тыс. т., а в 1998 г. — 2,3 тыс. т., т.е. значительно
больше.
Определить величину абсолютного значения 1% прироста можно двумя способами:


уровень предшествующего периода разделить на 100;
цепные абсолютные приросты разделить на соответствующие цепные темпы
прироста.
Абсолютное значение 1% прироста =
В динамике, особенно за длительный период, важен совместный анализ темпов прироста с
содержанием каждого процента прироста или снижения.
Заметим, что рассмотренная методика анализа рядов динамики применима как для рядов
динамики, уровни которых выражены абсолютными величинами (т, тыс. руб., число
работников и т.д.), так и для рядов динамики, уровни которых выражены относительными
показателями (% брака, % зольности угля и др.) или средними величинами (средняя
урожайность в ц/га, средняя заработная плата и т.п.).
Наряду с рассмотренными аналитическими показателями, исчисляемыми за каждый год в
сравнении с предшествующим или начальным уровнем, при анализе рядов динамики
необходимо исчислить средние за период аналитические показатели: средний уровень
ряда, средний годовой абсолютный прирост (уменьшение) и средний годовой темп роста и
темп прироста.
Методы расчета среднего уровня ряда динамики были рассмотрены выше. В
рассматриваемом нами интервальном ряду динамики средний уровень ряда исчисляется
по формуле средней арифметической простой:
Среднегодовой объем производства продукта за 1994- 1998 гг. составил 218,4 тыс. т.
Среднегодовой абсолютный прирост исчисляется также по формуле средней
арифметической простой:
Ежегодные абсолютные приросты изменялись по годам от 4 до 12 тыс.т (см.гр.3), а
среднегодовой прирост производства за период 1995 — 1998 гг. составил 8,5 тыс. т.
Методы расчета среднего темпа роста и среднего темпа прироста требуют более
подробного рассмотрения. Рассмотрим их на примере приведенных в таблице годовых
показателей уровня ряда.
Средний годовой темп роста и средний годовой темп прироста
Прежде всего отметим, что приведенные в таблице темпы роста ( гр.7 и 8) являются
рядами динамики относительных величин — производными от интервального ряда
динамики (гр.2). Ежегодные темпы роста (гр.7) изменяются по годам ( 105%; 103,8%;
105,5%; 101,7%). Как вычислить среднюю величину из ежегодных темпов роста ? Эта
величина называется среднегодовым темпом роста.
Среднегодовой темп роста исчисляется в следующей последовательности:
1. сначала по формуле средней геометрической исчисляют среднегодовой
коэффициент роста (снижения) —
2. на базе среднегодового коэффициента определяют среднегодовой темп роста (
путем умножения коэффиицента на 100%:
Среднегодовой темп прироста (
)
определяется путем вычитания из темпа роста 100%.
Среднегодовой коэффициент роста ( снижения ) по формулам средней геометрической
может быть исчислен двумя способами:
1) на базе абсолютных показателей ряда динамики по формуле:


n — число уровней;
n — 1 — число лет в период;
2) на базе ежегодных коэффициентов роста по формуле

m — число коэффициентов.
Результаты расчета по формулам равны, так как в обеих формулах показатель степени —
число лет в периоде, в течение которого происходило изменение. А подкоренное
выражение — это коэффициент роста показателя за весь период времени (см. табл. 11.5,
гр.6, по строке за 1998 г.).
Среднегодовой темп роста равен
Среднегодовой темп прироста определяется путем вычитания из среднегодового темпа
роста 100%. В нашем примере среднегодовой темп прироста равен
Следовательно, за период 1995 — 1998 гг. объем производства продукта "А" в среднем за
год возрастал на 4,0%. Ежегодные темпы прироста колебались от 1,7% в 1998 г. до 5,5% в
1997 г. (за каждый год темпы прироста см. в табл. 11.5, гр. 9).
Среднегодовой темп роста (прироста) позволяет сравнивать динамику развития
взаимосвязанных явлений за длительный период времени (например, среднегодовые
темпы роста численности работающих по отраслям экономики, объема производства
продукции и др.), сравнивать динамику какого-либо явления по разным странам,
исследовать динамику какого-либо явления по периодам исторического развития страны.
Приведение рядов динамики к одинаковому основанию
В экономической практике часто возникает необходимость сравнения между собой
нескольких рядов динамики (например, показатели динамики производства
электроэнергии, производства зерна, продажи легковых автомобилей и др.). Для этого
нужно преобразовать абсолютные показатели сравниваемых рядов динамики в
производные ряды относительных базисных величин, приняв показатели какого-либо
одного года за единицу или за 100%.Такое преобразование нескольких рядов динамики
называется приведением их к одинаковому основанию. Теоретически за базу сравнения
может быть принят абсолютный уровень любого года, но в экономических исследованиях
для базы сравнения надо выбирать период, имеющий определенное экономическое или
историческое значение в развитии явлений. В настоящее время за базу сравнения
целесообразно принять, например, уровень 1990 г.
Методы выравнивания рядов динамики
Для исследования закономерности (тенденции) развития изучаемого явления необходимы
данные за длительный период времени. Тенденцию развития конкретного явления
определяет основной фактор. Но наряду с действием основного фактора в экономике на
развитие явления оказывают прямое или косвенное влияние множество других факторов,
случайных, разовых или периодически повторяющихся (годы, благоприятные для
сельского хозяйства, засушливые и т.п.). Практически все ряды динамики экономических
показателей на графике имеют форму кривой, ломаной линии с подъемами и снижениями.
Во многих случаях по фактическим данным ряда динамики и по графику трудно
определить даже общую тенденцию развития. Но статистика должна не только
определить общую тенденцию развития явления (рост или снижение), но и дать
количественные (цифровые) характеристики развития.
Тенденции развития явлений изучают методами выравнивания рядов динамики:



Метод укрупнения интервалов
Метод скользящей средней
Метод аналитического выравнивания
В табл. 11.7 (гр. 2) приведены фактические данные о производстве зерна в России за 19811992 гг. (во всех категориях хозяйств, в весе после доработки) и расчеты по
выравниванию этого ряда тремя методами.
Метод укрупнения интервалов времени (гр. 3).
Учитывая, что ряд динамики небольшой, интервалы взяты трехлетние и для каждого
интервала исчислены средние. Среднегодовой объем производства зерна по трехлетним
периодам исчислен по формуле средней арифметической простой и отнесен к среднему
году соответствующего периода. Так, например, за первые три года (1981 — 1983 гг.)
средняя записана против 1982 г.: (73,8+ 98,0+104,3) : 3= 92,0 (млн. т). За следующий
трехлетний период (1984 — 1986 гг.) средняя (85,1 +98,6+ 107,5) : 3= 97,1 млн. т записана
против 1985 г.
За остальные периоды результаты расчета в гр. 3.
Приведенные в гр. 3 показатели среднегодового объема производства зерна в России
свидетельствуют о закономерном увеличении производства зерна в России за период 1981
— 1992 гг.
Метод скользящей средней
Метод скользящей средней (см. гр. 4 и 5) также основан на исчислении средних величин
за укрупненные периоды времени. Цель та же — абстрагироваться от влияния случайных
факторов, взаимопогасить их влияние в отдельные годы. Но метод расчета другой.
В приведенном примере исчислены пятизвенные (по пятилетним периодам) скользящие
средние и отнесены к серединному году в соответствующем пятилетнем периоде. Так, за
первые пять лет (1981-1985 гг.) по формуле средней арифметической простой исчислен
среднегодовой объем производства зерна и записан в табл. 11.7 против 1983 г.(73,8+ 98,0+
104,3+ 85,1+ 98,6): 5= 92,0 млн. т; за второй пятилетний период (1982 — 1986 гг.)
результат записан против 1984 г. (98,0 + 104,3 +85,1 + 98,6 + 107,5):5 =493,5:5 = 98,7 млн.
т.
За последующие пятилетние периоды расчет производится аналогичным способом путем
исключения начального года и прибавления следующего за пятилетним периодом года и
деления полученной суммы на пять. При этом методе концы ряда остаются пустыми.
Какой продолжительности должны быть периоды времени? Три, пять, десять лет? Вопрос
решает исследователь. В принципе, чем больше период, тем больше происходит
сглаживание. Но надо учитывать длину ряда динамики; не забывать, что метод
скользящей средней оставляет срезанные концы выравненного ряда; учитывать этапы
развития, например, в нашей стране долгие годы социально-экономическое развитие
планировалось и соответственно анализировалось по пятилеткам.
Таблица 11.7 Выравнивание данных о производстве зерна в России за 1981 — 1992 гг.
Годы Произведено,
млн. т
1
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
Итого
2
73.8
98,0
104,3
85,1
98,6
107,5
98,6
93,7
104,8
116,7
89,1
106,9
1177,1
Средняя за Скользящая сумма за Расчетные показатели
3 года,
5 лет, млн. т
млн. т
Сумма
Средняя
3
4
5
6
7
8
1
1
73,8
92,0
2
4
196,0
459,8
92,0
3
9
312,9
493,5
98,7
4
16 340,4
97,1
494,1
98,8
5
25 493,0
483,5
96,7
6
36 645,0
503,2
100,6
7
49 690,2
99,1
521,3
104,3
8
64 749,6
502,9
100,6
9
81 943,2
511,2
102,2
10 100 1167,0
104,2
11 121 980,1
12 144 1282,8
78 650 7874,0
9
89,5
91,1
92,6
94,2
95,8
97,3
98,9
100,4
102,0
103,5
105,1
106,7
1177,1
Метод аналитического выравнивания
Метод аналитического выравнивания (гр.6 — 9) основан на вычислении значений
выравненного ряда по соответствующим математическим формулам. В табл. 11.7
приведены вычисления по уравнению прямой линии:
Для определения параметров надо решить систему уравнений:
Необходимые величины для решения системы уравнений вычислены и приведены в
таблице (см. гр.6 — 8), подставим их в уравнение:
В результате вычислений получаем: α= 87,96; b = 1,555.
Подставим значение параметров и получим уравнение прямой:
Для каждого года подставляем значение t и получаем уровни выравненного ряда (см.
гр.9):
Рис. 11.2. Производство зерна в России за 1981-1982 гг.
В выравненном ряду происходит равномерное возрастание уровней ряда в среднем за год
на 1,555 млн.т (значение параметра "b"). Метод основан на абстрагировании влияния всех
остальных факторов, кроме основного.
Явления могут развиваться в динамике равномерно (рост или снижение). В этих случаях
чаще всего подходит уравнение прямой линии. Если же развитие неравномерно,
например, сначала очень медленный рост, а с определенного момента резкое возрастание,
или, наоборот, сначала резкое снижение, а затем замедление темпов спада, то
выравнивание надо выполнить по другим формулам (уравнение параболы, гиперболы и
др.). При необходимости надо обратиться к учебникам по статистике или специальным
монографиям, где более подробно изложены вопросы выбора формулы для адекватного
отражения фактически сложившейся тенденции исследуемого ряда динамики.
Для наглядности показатели уровней фактического ряда динамики и выравненных рядов
нанесем на график (рис. 11.2). Фактические данные представляет ломанная линия черного
цвета, свидетельствующая о подъемах и снижениях объема производства зерна.
Остальные линии на графике показывают, что применение метода скользящей средней
(линия со срезанными концами) позволяет существенно выровнять уровни динамического
ряда и соответственно на графике ломаную кривую линию сделать более плавной,
сглаженной. Однако выравненные линии все же остаются кривыми линиями. Построенная
на базе теоретических значений ряда, полученных по математическим формулам, линия
строго соответствует прямой линии.
Каждый из трех рассмотренных методов имеет свои достоинства, но в большинстве
случаев метод аналитического выравнивания предпочтителен. Однако его применение
связано с большими вычислительными работами: решение системы уравнений; проверка
обоснованности выбранной функции (формы связи); вычисление уровней выравненного
ряда; построение графика, Для успешного выполнения таких работ целесообразно
использовать компьютер и соответствующие программы.