Розв’язування прикладних задач на різні види руху за допомогою квадратних рівнянь

Криворізька загальноосвітня школа № 128 I-III ступенів
Розв’язування прикладних задач на
різні види руху за допомогою
квадратних рівнянь
(розробка авторського інтегрованого уроку з
алгебри з елементами фізики)
Підготувала
вчитель математики,
спеціаліст вищої категорії,
старший вчитель
Сивогракова
Світлана Анатоліївна
2
Алгебра, 8 класс.
Тема: «Решение прикладных задач на разные виды движения с помощью
квадратных уравнений»
Посредством уравнений, теорем
Он уйму всяких разрешал проблем:
И засуху предсказывал, и ливни.
Поистине его познанья дивны.
Чосер Д.
Цель: сформировать специальную компетентность:

умение решать задачи прикладного характера с помощью квадратных уравнений;

развитие вычислительных навыков, логического мышления;

умение решать квадратные уравнения по формуле корней квадратного уравнения и
дробно-рациональные уравнения;
ключевую компетентность:

формирование положительной мотивации и интереса к предмету; представления о
процессе математического моделирования на примере решения задач прикладного
характера;

развитие коммуникативности, навыков само- и взаимоконтроля; умения
сотрудничать и работать в парах;

использование инновационных технологий.
Тип урока: закрепление изученного материала и практического применения знаний
Оборудование и оформление: раздаточные тесты, кроссворд, картинки и рисунки с
видами транспорта, таблицы для работы с условием задачи, таблички с алгоритмом
решения задач с помощью составления уравнений, карточки с формулами дискриминанта,
корней квадратного уравнения и на движение, мультимедийный проектор, экран
Структура урока
№
1
Этапы урока
Деятельность уч-ся
Организационный момент, сообщение
Время
2
темы и целей урока
2
Проверка домашнего задания №№372, 378
№372, №378 проверяются с
( учебник алгебры Бевза Г. для 7-9 кл.,
применением
2001)
мультимедийного
5
проектора;1 группа- решение
задачи, аналогичной №378
3
Актуализация опорных знаний
2 группа учащихся-
8
3
выполнение интерактивного
задания,
3 группа- решение
кроссворда, 4 и 5 группыустное тестирование с
применением
мультимедийного проектора.
4
Мотивация учебной деятельности,
3
развитие представлений о математическом
моделировании
5
Решение прикладных задач:
Заполнение таблиц с

«мозговой штурм»
данными условия задачи,

«обучая- учусь»
устная и письменная работа
15
(№380, 379), а также задач из
физики
6
Релакс-пауза
Упражнения на
1
расслабление
7
Закрепление темы
Анализ решения задач,
2
выводы
8
Обсуждение домашних задач, составление
Работа в группах
6
Обсуждение результатов
2
плана решения
9
Подведение итогов
10 Домашнее задание. № 381,383.
1
Подготовить сообщение о жизни и
деятельности Ф.Виета
Методы и средства, обеспечивающие активизацию учебно-познавательной
деятельности, социализацию учащихся, управление учебной деятельностью:
1. Методы «обучая - учусь», «Мозговой штурм». Работа в группах
2. Технология «Создание ситуации успеха»
3. Подбор задач прикладного характера
Ход урока
1.Оргмомент Объявление темы и цели урока. Запись в тетради даты, темы.
2. Проверка домашнего задания. Актуализация опорных знаний. Класс разбит на 5
групп. Проверка домашнего задания осуществляется с помощью готового решения,
записанного на саайде. Лидеры групп проверяют наличие домашнего задания и его
правильность, занося результаты проверки в карточку индивидуального
4
контроля(максимум- 3 балла). Такая карточка позволяет лидеру группы учитывать
ответы, активность члена группы на уроке. Затем каждая группа получает задания,
работает над ними 5-7 минут и отчитывается о его выполнении. Учитель либо сам
выбирает кого-то из группы, либо дает право выбора лидеру группы.
Задание №1 Решить кроссворд:
1. Какая величина находится из отношения
S
(время)
V
2. Решение уравнения (корень)
3. Что находится из формулы V 
S
(скорость)
t
4. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D  0 (два)
5. Выражение b 2  4ac (дискриминант)
6. Один из корней уравнения x 2  6 x  0 (шесть)
7. Как называется уравнение вида ax 4  bx 2  c  0, a  0 (биквадратное)
8. Символическое представление реального процесса с помощью математических
понятий (моделирование)
9. Решение уравнения 7,5x 2  0 (ноль) (см. Приложение 1)
Задание №2 На экране записаны условия задач для устного счета. Группа решает эти
задачи и выбирает правильные ответы. Решение записывается таким образом, чтобы класс
и учитель смогли проверить это задание с помощьюмультимедийного проектора. Можно
дать по 2 задачи двум группам.
1. Между Кривым Рогом и Днепропетровском 140 км. Сколько нужно времени, чтобы
добраться до Днепропетровска, если средняя скорость автомобиля 100 км/ч?
(140:100=1,4ч или 1ч 24мин) а) 1ч 40 мин; б) 1ч 24 мин; в) 70 мин.
2. За сколько минут мотоциклист преодолеет расстояние в 10 км, двигаясь со
скоростью 40 км/ч? (10:40=0,25ч или 15мин.) а) 15 мин; б) 4 ч; в) 25 мин.
3. Автобус со скоростью 60 км/ч из пункта А в пункт В доехал за 3,5ч. Каково
расстояние между городами? (210 км) а) 190 км; б) 210 км; в) 230 км.
4. Плот прошел по реке 5 км со скоростью 2 км/ч. За сколько времени лодка пройдет
то же расстояние по течению, что и плот, имея собственную скорость 3 км/ч? (1
час) а) 1 ч; б) 1,7 ч; в) 2,5 ч.
Задание №3 Группе выдаются таблички с этапами алгоритма решения задач с помощью
уравнений. Необходимо восстановить порядок выполнения шагов при решении задач
составлением уравнения. Это задание выполняется на магнитной доске. Также на
магнитной доске выполняется задание по восстановлению формул , характеризующих
5
процесс прямолинейного равномерного движения тела и тела, подброшенного вверх, из
разрозненных букв и знаков.
Задание № 4 Составить условие задачи по данной таблице и составить уравнение к задаче
(задача, аналогичная домашней №378)
Движение теплохода
Скорость
По течению
х+2 км/ч
Против течения
х-2 км/ч
Время
Расстояние
6ч15мин
156 км
156 км
Примерное условие : теплоход прошёл 156 км по течению реки и вернулся обратно. Найти
собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.
x êì / ÷ - собственная скорость теплохода
156
156

 6,25
x2 x2
3. Мотивация учебной деятельности
Математика за 2500 лет своего существования накопила богатейший инструмент
для исследования окружающего нас мира. Однако, как заметил выдающийся русский
математик и кораблестроитель А.Н.Крылов, человек обращается к математике « не затем,
чтобы любоваться неисчислимыми сокровищами. Ему, прежде всего нужно ознакомиться
со столетиями испытанными инструментами и научиться ими правильно и искусно
управлять»
Главная сила математики состоит в том, что вместе с решением одной конкретной
задачи она создает общие приемы и способы, применимые во многих ситуациях, которые
не всегда можно предвидеть, зато можно описать языком уравнений и других
математических средств. Создается так называемая математическая модель.
Зачем нужны модели? Модель- это упрощенное описание сложных объектов.
Фотографию человека можно назвать его моделью, но по фотографии нельзя узнать
характер человека, его способности, рост, вес и т.д. Различные экономико-математические
модели создаются и изучаются потому, что проводить эксперименты с экономикой очень
сложно, а часто и невозможно.
А.В.Суворов перед штурмом Измаила проводил тренировки своих солдат на
специально подготовленных фортификационных сооружениях. Это была модель будущих
боевых действий. Здесь проводилось обучение солдат штурму крепости. Очень часто на
практике встречаются ситуации, когда объект исследования либо недоступен для
наблюдения, либо для проведения эксперимента.
Например, изучение внутреннего строения Земли, на основе которого можно было
бы прогнозировать месторождения полезных ископаемых, предсказывать место и время
землетрясения.
6
Другой пример: в медицине – исследования, направленные на выявление
патологий внутренних органов человека.
В этих ситуациях для исследования процессов создаются математические модели.
Процесс построения моделей называется моделированием. Математическое
моделирование относится к знаковому моделированию. Сегодня на уроке мы разработаем
математические модели для процесса равномерного механического движения тела со
средней скоростью, а также процесса равнозамедленного движения тела при
подбрасывании его вверх. То есть мы увидим, что физические явления и процессы
описываются с помощью математических понятий. В данном случае с помощью
квадратных и дробно-рациональных уравнений.
4. Решение прикладных задач
Задача. Через сколько секунд мяч окажется на высоте 60 м, если его бросить вверх с
начальной скоростью 40 м/с.
Решение:
По формуле из курса физики, мы знаем:
H = v0t – gt2/2, где H – высота, v0 - начальная скорость, t –время, g =10м/с
60 = 40t – 5t2 (Ответ: t1= 2, t2 = 6)
Задача №380 (таблица на доске)
Из пункта А отправили по течению реки плот. Через 5ч 20мин из пункта А вслед за
плотом вышла моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 20км. Найдите скорость
течения реки, зная, что лодка проходила в час на 12км больше, чем плот.
Движение по течению
Скорость
Время
Расстояние
Плот
х км/ч
t+5ч20мин
20км
х+12 км/ч
t
20км
Моторная лодка
7
x км/ч – скорость течения реки
х+12 км/ч – скорость моторной лодки по течению реки
5ч20мин – разница во времени нахождения на реке плота и лодки
20
20
16


õ õ  12 3
5
5
4


õ õ  12 3
15 õ  12   15 õ  4 õ õ  12 
15 õ  180  15 õ  4 õ 2  48 õ  0
4 õ 2  48 õ  180  0
Ä  2304  2880  5184  72 2
õ1  60
õ2  3
Проверка. При значениях -60 и 3 выражение 3õõ  12  0
Но отрицательный корень уравнения не подходит по условию задачи, значит скорость
течения реки 3 км/ч
Ответ. 3 км/ч
Задача №379
Электропоезд задержался в дороге на 4мин и ликвидировал опоздание на перегоне
в 20км, пройдя со скоростью на 10км /ч большей, чем по расписанию. С какой скоростью
ехал поезд на этом перегоне?
Учащиеся читают условие задачи , затем самостоятельно пробуют заполнить
таблички, которые были выданы заранее. Для данной групповой работы применим метод
«мозгового штурма». Та группа, которая справилась быстрее, начинает заполнять таблицу
на доске. Остальные могут проверить правильность заполнения, а лидеры оценить работу
членов своей группы. В результате составляется уравнение. В зависимости от наличия
времени можно предложить дорешать дома эту задачу.
Также, подводя итоги после решения задач, необходимо обратить внимание
учащихся на этапы математического моделирования при решении прикладных задач,
раскрыть сущность этого процесса. А именно:

Перевод условия задачи на язык алгебры (формализация). Этот этап
включает в себя анализ условия задачи, введение переменной величины,
установление взаимосвязей между остальными величинами задачи;

Построение и решение математической модели (то есть составление
уравнения и решение определенного типа уравнения средствами
математики);
8

Анализ полученного решения исходя из данного условия задачи
(интерпретация результатов). На этом этапе мы вновь возвращаемся к
условию задачи и отбираем тот корень уравнения, который будет
удовлетворять условию данной задачи (проблемы).
Движение поезда
По расписанию
Фактически
Скорость
Время
Расстояние
х км/ч
t
20км
х+10 км/ч
t-4 мин
20км
Решение. х км/ч – скорость электропоезда, запланированная по расписанию, на перегоне в
20 км. Задержавшись в пути на 4 минуты, на этом перегоне поезд должен наверстать
упущенное, увеличив скорость на 10 км/ч. Таким образом, фактическая скорость на
перегоне была х+10(км/ч).
20
20
1


õ õ  10 15
300õ  10  300 õ  õ 2  10 õ  0


õ  10 õ  3000  0
2
Ä  100  12000  12100  110 2
 10  110
õ1, 2 
 60;50
2
Проверка. При этих значениях переменной 15õõ  10  0 , но отрицательное значение
корня не подходит по условию задачи. Значит, скорость по расписанию была 50 км/ч.
Фактическая 50+10=60(км/ч)
Ответ. 60 км/ч
5.Подведение итогов урока. Что мы узнали на уроке?
Многие задачи из разных отраслей знаний решаются с помощью квадратных уравнений
или уравнений, сводящихся к ним. Сегодня на уроке мы рассмотрели примеры задач из
физики и экономической сферы(транспорт),а также на практике смогли разобраться с
механизмом осуществления математического моделирования.
9
Понравился ли Вам урок? Узнали ли Вы что-то новое? Выходя из класса, оставьте свой
смайлик в одном из трех секторов круга на магнитной доске.
Названия секторов:
1. Многое узнал(а), понравилось
2. Интересно, но не все понял(а)
3. Было скучно и неинтересно
5. Домашнее задание При наличии времени можно наметить план
решения домашних задач с помощью приведенной для №381 таблицы:
Движение поезда
По расписанию
Фактически
Скорость
Время
Расстояние
10
Приложение 1
М
1
О
Д
Е
2
Л
И
7
Р
3
О
4
В
А
Н
5
И
6
Е
9