м.б. смирнов - Автоматизированная информационная система

М.Б. СМИРНОВ
ГИДРАВЛИКА И
ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ МАШИНЫ
М.Б. СМИРНОВ
ГИДРАВЛИКА И
ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ МАШИНЫ
СЕМИПАЛАТИНСК
ВВЕДЕНИЕ
Определение гидравлики.
Краткие сведения из истории развития науки
Современная гидравлика – это наука об основных законах движения жидкостей, а также об их силовом взаимодействии с твердыми телами. Гидравлика
– фундаментальная дисциплина и поэтому уровень изложения курса должен
соответствовать уровню изложения математики, физики, теоретической механики, сопротивлению материалов, на которых базируется гидравлика. Кроме
того, гидравлика является базовой дисциплиной необходимой для изучения
многих технических дисциплин и позволяет едиными методами самостоятельно
решать инженерные задачи в различных отраслях техники.
Своими исследованиями гидравлика содействует развитию материалистического естествознания, стремящегося к познанию объективных законов движения материи. Поэтому гидравлику следует рассматривать как одну из отраслей естествознания.
Широкое использование в народном хозяйстве различных устройств, в которых жидкость является рабочим телом, требует от инженера серьезных знаний в области гидравлики. Современный инженер обязан не только уметь
управлять теми или иными производственными процессами в соответствии с
требованиями технологии, но и должен обеспечивать их оптимальное проведение на высоком техническом уровне, который бы отвечал достижениям науки в
данной области.
Являясь основной дисциплиной, в которой изучают основы механики жидкого тела, гидравлика приобретает большое значение для инженеров многих
специальностей, в том числе и для работников пищевой промышленности, которая имеет свои специфические особенности.
Слово «гидравлика» происходит от сочетания двух греческих слов
«хюдор» – вода и «аулос» – труба, что свидетельствует о том, что и в прошлом
значительное внимание уделялось вопросам, связанным с движением жидкости
по трубам.
Во многих отраслях народного хозяйства, в качестве межоперационного
транспорта, получил широкое распространение трубопроводный транспорт. На
предприятиях пищевой промышленности трубопроводы применяют для транспортировки теста и кондитерских масс, молока и молочных продуктов, мясного
фарша, расплавленного жира, бульона, крови, рыбных фаршей, сахарных рас-
творов и т.д. Часто для обеспечения того или иного технологического процесса
требуется подача, в больших количествах, жидкости, пара или газов. Способ
транспортировки по трубопроводам позволяет механизировать многие технологические процессы и создает предпосылки для их полной автоматизации.
Таким образом, специалисту пищевых производств необходимы глубокие
знания законов гидравлики и теоретических положений, на которых основана
работа различных гидравлических устройств, широко применяемых в пищевой
промышленности.
История гидравлики своими корнями уходит в глубокую древность. Еще за
250 лет до нашей эры в трактате «О плавающих телах» Архимед сделал первые
обобщения законов равновесия и плавания тел. За все прошедшее время к труду
Архимеда мало, что удалось добавить.
В сочинениях римского инженера-строителя Фронтина (40-103 г.г. н.э.)
указывалось на то, что в древнем Риме было сооружено девять водопроводов
общей протяженностью 436 км. В своих сообщениях исследователи того времени указывали о возможной связи между скоростью движения жидкости и
площади живого сечения, о гидравлических сопротивлениях, о неразрывности
движения жидкости. К этому же периоду относится появление простейших
гидравлических двигателей – гидравлических колес.
Дальнейшее развитие гидравлика как наука получила в теоретических и
экспериментальных исследованиях, проводимых гениальным итальянским ученым Леонардо да Винчи (1452 – 1519). Им были показаны принципы работы
гидравлического пресса, изучены вопросы истечения жидкости через отверстия
и движения жидкости в реках и каналах, изобретен центробежный насос.
Преподаватель математики Кастелли (1577 – 1644) в ясной форме изложивший принцип неразрывности, Торичелли (1608 – 1647) – описал процессы
истечения жидкости, Паскаль (1623 – 1662) – установил закон о передаче давления в жидкости, Ньютон (1643 – 1727) – наряду с решением ряда гидравлических вопросов определил силы сопротивления в движущейся среде.
Однако в большинстве своем эти работы носили экспериментальный характер и только с середины XYIII века начали создаваться современные теоретические основы механики жидкости.
Даниил Бернулли (1700 – 1782) в своем знаменитом труде «Гидродинамика» теоретически обосновал известное уравнение установившегося движения
идеальной жидкости, которое названо его именем.
Леонардо Эйлер (1707 – 1783) – составил дифференциальные уравнения
относительного равновесия и движения жидкости, которые в честь его названы
уравнениями Эйлера, а также, используя математический аппарат, привел ряд
оригинальных решений гидравлических задач.
Д Аламбер (1717 – 1783) – опубликовал ряд трактатов, относящихся к равновесию и движению жидкости.
Михаил Ломоносов (1711 – 1765) в своих работах начал развивать прикладное, инженерное направление механики жидкости.
Однако все эти теоретические работы и большой ряд других относились
только к идеальным, так называемым «паскалевским» жидкостям (абсолютно
невязким, несжимаемым). Законы, полученные для идеальных жидкостей, могли быть перенесены на реальные жидкости путем введения поправочных коэффициентов, что для маловязких жидкостей дает результаты близко соответствующие действительности.
В XIX веке появляются работы ряда ученых, благодаря которым гидравлика выделилась в самостоятельную область знания.
Хаген, Пуазейль, Дарси, Вейсбах, Буссинеск – ученые, которые получили
эмпирические и полуэмпирические формулы для определения гидравлических
сопротивлений.
Хаген, Рейнольдс – открыли и обосновали наличие двух режимов движения жидкости.
Коши, Фруд, Рейнольдс – установили принципы гидродинамического подобия.
Мельников П.П. – создал первый на русском языке курс «Основы практической гидравлики».
Петров Н.П. – впервые сформулировал законы трения при наличии смазки
(Трение в машинах и влияние на него смазывающей жидкости).
Жуковский Н.Е – основатель теории гидравлического удара. Им исследованы и другие вопросы механики жидкости.
В начале XX века наметились различные направления, по которым развивалась гидравлика – по виду рассматриваемой текучей среды и в зависимости
от отрасли техники или отрасли знаний, где используется понятийный аппарат
гидромеханики.
Значительному прогрессу гидравлической науки способствовали труды
Лейбензона Л.С., Шухова В.Г., Павловского Н.Н., Френкеля Н.З., Куколевского
И.И., Башты Т.М., Кука Г.А., Воларовича М.П. и других.
Необходимо отметить, что гидравлика вязкой и вязкопластичной жидкости, так называемая реология – наука о текучести и деформациях материалов,
начала развиваться с 20-х годов XX века в трудах ученых Ребиндера П.А., Толстого Д.М., Фукса Г.И., Бингама Э., Рейнера М., Букингама Э., Скрябина А.К. и
других. В настоящее время с проблемами реологии приходится встречаться
буквально в каждой отрасли промышленности. Для расчетов и эксплуатации
различных машин и механизмов требуется знать характеристики материалов,
которые посредством этих машин, обрабатываются и транспортируются.
ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ
Глава первая
Жидкость есть физическое тело, не обладающее способностью сохранять форму и принимающее форму оболочки или сосуда, в который оно заключено.
Под термином жидкость обычно подразумевают все тела, которые в той
или иной мере обладают текучестью. Поэтому различают жидкости капельные,
газообразные и неньютоновские или аномальные.
Особенностью первых является то, что их объем практически не изменяется при изменении давления (несжимаемые жидкости).
Газообразные жидкости (газы), наоборот, обладают большой сжимаемостью и под действием давления могут в значительной степени изменять свой
объем.
Несмотря на эти различия, законы движения капельных и газообразных
жидкостей можно считать одинаковыми особенно при малых скоростях течения газа.
К неньютоновским относятся такие жидкости, вязкость которых не остается постоянной при заданных температуре и давлении, а зависит от ряда факторов, таких как скорость сдвига и конструктивные особенности аппаратуры, в
которой находится жидкость.
Деформационное поведение неньютоновских жидкостей, которые весьма
распространены в химической и перерабатывающей промышленности, изучает
наука реология.
Очень часто при аналитических исследованиях капельных жидкостей
пользуются понятием идеальная жидкость. Идеальной жидкостью называют
воображаемую жидкость, которая характеризуется абсолютной неизменяемостью своего объема при деформациях и полным отсутствием вязкости.
Жидкость будем рассматривать как непрерывную, сплошную среду «континуум». Такое допущение позволяет описывать различные состояния жидкости дифференциальными уравнениями.
ПЛОТНОСТЬ ЖИДКОСТИ
Плотностью называют количество покоящейся массы жидкости заключенной в единице ее объема. Для однородной жидкости плотность определяют
по зависимости
  m V [кг/м3],
(1.1)
где m – масса жидкости в объеме V.
Относительной плотностью (безразмерная величина) называют отношение массы данной жидкости к массе дистиллированной воды, взятой в том же
объеме при 40С
 отн   ж  в .
(1.2)
Плотность жидкости изменяется с изменением температуры, как правило,
она уменьшается с увеличением температуры.

Для воды наибольшее значение плотности
приходится на температуру 40С.
На графике показан характер изменения
плотности воды в зависимости от температуры.
Подобная зависимость характерна для многих
капельных жидкостей.
0
ТС
В производственных условиях плотность
обычно измеряют ареометром, который представляет собой пустотелый стеклянный цилиндр (Рис. 1.1).
Он градуирован и имеет две шкалы – ареометрическая А, показывающая
плотность жидкости, и термометрическая В, показывающая температуру жидкости во время измерения. Для измерения плотности ареометр погружают в сосуд с исследуемой жидкостью. За счет груза в нижней части (обычно
А
ртуть или дробь), ареометр плавает, сохраняя вертикальное положение и погружаясь на различную глубину в зависимости от плотности жидкости.
Чаще всего применяют три типа градуировки ареометров:
1. Приборы, показывающие либо абсолютное, либо
В
относительное значение плотности;
2. Приборы, показывающие плотность в условных
градусах (градусы Боме, Брикса или Балминга). В системные единицы эти градусы могут быть пересчитаны по
специальным формулам.
3. Приборы, по которым определяют концентрацию
растворенного вещества в объемных или весовых проценРис 1.1 Ареометр
тах.
УДЕЛЬНЫЙ ВЕС
Удельным весом называют отношение веса жидкости к объему, или вес
единицы объема
(1.3)
  G V [Н/м3],
где G – вес жидкости в объеме V .
Связь между удельным весом  и плотностью  легко найти, если учесть,
что G  mg , тогда
  G gV    g [кгс2/м4].
(1.4)
Плотности различных жидкостей в зависимости от температуры, давления
и ряда других условий приводятся в справочниках.
Для воды при обычных температурах:  = 1000 кгс/м3;  = 101,9 кгс2/м4.
Для воздуха при обычных температурах:  = 1,2 кгс/м3;  = 0,122 кгс2/м4.
Для ртути:  = 13600 кгс/м3;  = 1386,3 кгс2/м4.
СЖИМАЕМОСТЬ ЖИДКОСТЕЙ
Сжимаемость – свойство жидкостей изменять свой объем под действием
давления.
Сжимаемость характеризуется коэффициентом объемного сжатия, который представляет собой бесконечно малое относительное изменение объема
при бесконечно малом изменении давления
(1.5)
 р  dV V0   1 dp  [м2/Н].
Знак минус в формуле указывает на то, что положительному приращению
давления соответствует отрицательное приращение объема.
Если принять, что приращение давления dр = р – р0, а изменение объема
dV = V – V0, то
(1.6)
V  V0 1   p  dp ,
   0 1   p  dp  .
(1.7)
Величина обратная коэффициенту объемного сжатия р называется объемным модулем упругости жидкости Е ж  1  р . Значения модуля упругости капельных жидкостей уменьшается с увеличением температуры и возрастает с
повышением давления. При изменении давления в небольших диапазонах капельные жидкости можно считать практически несжимаемыми.
СЖИМАЕМОСТЬ ГАЗОВ
В отличие от капельных жидкостей газы способны сильно изменять свой
объем при изменении температуры и давления. Для совершенных газов, к которым применимы законы Бойля и Мариотта, зависимость между давлением и
объемом определяется основным уравнением их состояния – законом Клапейрона-Менделеева
pV  GRT ,
(1.8)
2
где p – давление газа, Н/м ;
V – объем газа, м3;
G – вес газа, Н;
T – температура газа в абсолютных градусах T  273  t ;
R – газовая постоянная (для воздуха R  29,27 м/0С).
ТЕМПЕРАТУРНОЕ РАСШИРЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ
Температурное расширение характеризуется коэффициентом объемного
расширения, который представляет собой бесконечно малое относительное изменение объема при изменении температуры на 10С и постоянном давлении
(1.9)
Т  dV V0   1 dT  [1/0С].
Коэффициент температурного расширения воды увеличивается с возрастанием давления и температуры, для большинства других капельных жидкостей
Т с увеличением давления уменьшается.
При изменении температуры и давления в небольших пределах можно
принять Т = const, и тогда объем жидкости при изменении температуры на величину dТ = Т –Т0 можно вычислить по формуле
V  V0 1   Т  dТ  ,
(1.10)
при этом
   0 1   Т  dТ  .
(1.11)
ВЯЗКОСТЬ
Вязкостью называют способность жидкости оказывать сопротивление относительному движению (сдвигу) ее слоев (Рис. 1.2).
По гипотезе, высказанной впервые Ньютоном, а затем экспериментально
обоснованной
Петровым,
касательные
напряжения и сила трения, возникающие
между слоями изменяется пропорционально
поперечному градиенту скорости
u + du
    du dy  ,
(1.12)
u
dу
где  – коэффициент пропорциональности, коу
Рис 1.2 Эпюр ламинарного
(слоистого) течения вязкой
жидкости в круглой трубе
эффициент динамической вязкости жидкости;
du dy – градиент скорости, характеризующий
изменение скорости, приходящееся на единицу длины
в направлении нормали к стенке.
Таким образом, из уравнения (1.12) следует, что касательные напряжения
возможны только в движущейся жидкости, следовательно, вязкость жидкости
проявляется только при ее течении, а покоящаяся жидкость ведет себя как идеальная.
Полная касательная сила (сила трения) может быть определена по формуле
предложенной Петровым
Р    du dy   F ,
(1.13)
где F – площадь соприкосновения трущихся слоев, м2.
Для установления физического смысла коэффициента динамической вязкости и его размерности необходимо решить уравнение (1.13) относительно 
  Р du dy   F  .
(1.14)
Анализируя эту зависимость можно сделать вывод, что коэффициент динамической вязкости есть сила трения, возникающая между слоями при еди-
ничных значениях площади и градиента скорости. Размерность вязкости 
(Пас). В системе СГС за единицу вязкости принят пуаз – 1П = 1 динс/см2.
Так как 1 дин = 10-5Н = 1,0210-6 кгс, а 1 м2 = 104 см2, то 1П = 0,1 Пас =
0,0102 кгсс/м2.
Величину обратную динамической вязкости называют текучестью.
Помимо динамической вязкости в гидравлике применяют понятие кинематическая вязкость
   .
(1.15)
В системе СИ кинематическая вязкость измеряется в [м2/с], в системе СГС
единицей измерения кинематической вязкости является стокс – 1Ст = 1 см2/с.
Сотая доля стокса называется сантистоксом (сСт).
Вязкость капельных жидкостей уменьшается с увеличением температуры.
Вязкость газообразных жидкостей, наоборот, с увеличением температуры возрастает. Объясняется это различием природы вязкости в жидкостях и газах.
Вязкость жидкостей зависит также от давления, однако, эта зависимость
проявляется лишь при относительно больших изменениях давления. Для большинства капельных жидкостей вязкость возрастает с увеличением давления.
Приборы, служащие для определения вязкости жидкости, называют вискозиметрами (Рис 1.3)
Выбор этих приборов обусловлен тем, что их теория достаточно хорошо
разработана (исключение составляет вискозиметр Гепплера разработка теории
а
б
в
г
д
е
Рис 1.3. Вискозиметры: а – Энглера; б – Оствальда; в – Уббелоде; 1, 3 – полые шарики для измерения объема протекающей через капилляр жидкости и для сбора жидкости соответственно; 2 –
капилляр; г – Гепплера; 1 – прецизионная стеклянная трубка; 2 – шарик; 3 – цилиндр для термостатирующей жидкости; 4 – термометр; 5 – ватерпас; 6 – ось для поворота термостата на 1800; 7 –
подставка; д – Воларовича; 1 – стакан; 2 – ротор; 3 – продукт; 4 – барабан, приводимый во
вращение от падающих грузов; е – типа «Реотест»; 1 – стакан; 2 – ротор; 3 – продукт; 4 – электромеханический привод с торзионом.
которого, затруднена из-за наличия капиллярной, несимметричной щели между
шариком и трубкой). Они позволяют получать данные измерений в определенной системе единиц, а при известных размерах приборов, величины вязкости
вычисляют непосредственно из данных опыта в соответствии с уравнением Пуазейля.
Методика измерения и подготовка эксперимента для исследования вязкости жидкости подобны для большинства приборов.
Общим в методике работы будет:
 компоновка стенда и строгая горизонтальная или вертикальная установка прибора;
 заполнение прибора исследуемой жидкостью и ее термостатирование
при выбранной температуре;
 измерение времени истечения определенного объема жидкости (времени падения шарика);
В вискозиметре Энглера (Рис 1.3 а) вязкость жидкости определяют,
наблюдая за временем истечения 200 см3 исследуемой жидкости и такого же
объема дистиллированной воды из отверстия в дне сосуда. Вязкость жидкости в
условных градусах Энглера расчитывают по формуле
(1.16)
Е 0   ж  дв ,
где  ж – время истечения исследуемой жидкости при заданной температуре;
 дв – время истечения дистиллированной воды при температуре 200.
Капиллярные вискозиметры Оствальда и Уббелоде (Рис 1.3 б, в) представляют собой U – образные трубки, в одно колено которых впаян капилляр. В
вискозиметре Оствальда определенное количество жидкости из левого полого
шарика от метки А до метки В перетекает в правый в результате гидростатического давления. Этот вискозиметр обычно используют как относительный
прибор. Вязкость определяют по зависимости
   в   в  в  ,
(1.17)
где

- плотность, исследуемой жидкости, кг/м3;
 в - плотность воды, кг/м3;
 - время истечения, исследуемой жидкости, с;
 в - время истечения воды, с;
 в - вязкость воды, Пас.
В вискозиметре Уббелоде для истечения жидкости необходимо в одном
колене создать давление или вакуум. Этот вискозиметр можно использовать
как относительный, так и абсолютный прибор. Для вычисления вязкости используют формулу
   в р р в  в   Кр .
(1.18)
Меняя давление истечения воды рв можно построить градуировочные реограммы 1  в  f р в  , по которым вычисляют константы для рабочих измерений.
В вискозиметре Гепплера (Рис 1.3 г) шарик движется в наклонной трубке,
образуя узкую щель со стенкой. Хотя закон Стокса, которым описывается движение шарика, в данном случае соблюдается частично, эти приборы позволяют
довольно точно измерять вязкость
(1.19)
  d 2  ш  g 18h    К ш     ,
где  ш - плотность материала шарика, кг/м3;
 - плотность жидкости при температуре измерения, кг/м3;
К  d2 g 18h - константа прибора, м2/с2.
Перед рабочими измерениями приборы градуируют на эталонной жидкости – дистиллированной воде, сахарном растворе или касторовом масле.
Ротационные вискозиметры (Рис 1.3 д, е) имеют два соосных вертикальных цилиндра – внутреннего и внешнего. Исследуемый продукт заполняет зазор между рабочими органами, один из которых приводится во вращение. Измерение заключается в определении деформации или скорости деформации и
силы сопротивления.
В вискозиметре Воларовича вращение ротора происходит под действием
падающих грузов, а в приборе «Реотест» от электродвигателя с измерением
напряжений упругой нитью (торзионом).
ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ
Поверхностное натяжение обусловлено силами взаимного притяжения
молекул поверхностного слоя жидкости, которые стремятся придать объему
жидкости сферическую форму.
Под действием сил поверхностного натяжения в жидкости появляется дополнительное, увеличивающееся или уменьшающееся давление, которое заметно сказывается только при малых объемах жидкости. Это давление называют молекулярным давлением и для сферических объемов (капель), его величину
определяют по зависимости
р  2 r ,
(1.20)
где  – коэффициент поверхностного натяжения жидкости;
r – радиус сферы.
Увеличение давления происходит в тех случаях, когда поверхность жидкости выпукла, а уменьшение – поверхность жидкости вогнута.
Под действием давления, вызванного поверхностным натяжением, в трубках малого диаметра возникает явление капиллярности.
Высоту подъема смачивающей жидкости (или опускание не смачивающей
жидкости) в стеклянной трубке диаметром d определяют по формуле для полусферического мениска
h  4 d  kd ,
(1.21)
где k (мм2) имеет следующие значения: для воды +29,80, ртути -10,15, спирта +11,50.
С явлениями капиллярности приходится сталкиваться при работе с жидкостными приборами для измерения давления, в некоторых случаях истечения
жидкости через отверстия, вопросах фильтрации.
РАСТВОРИМОСТЬ ГАЗОВ В КАПЕЛЬНЫХ ЖИДКОСТЯХ
Растворимость газов в капельных жидкостях характеризуется коэффициентом растворимости, который равен отношению объема растворенного газа
к объему растворителя
k  Vг Vж .
(1.22)
Коэффициент растворимости зависит от свойств жидкостей и газов, от
температуры и давления. Например, в жидкостях с малой вязкостью растворимость газов выше, чем в жидкостях с большой вязкостью, повышение температуры приводит к снижению растворимости, а при повышении давления газа
растворимость его в жидкостях возрастает.
Относительный объем газа, растворенного в жидкости до ее полного
насыщения можно определить по зависимости
Vг Vж  k p p 0 ,
(1.23)
где Vr – объем растворенного газа, приведенный к нормальным условиям ( p 0 , Т 0 );
Vж – объем жидкости;
k – коэффициент растворимости;
p – давление жидкости.
При понижении давления, наблюдается выделение растворенного в жидкости газа в виде мельчайших пузырьков и образование пены. Причем выделение
газа из жидкости происходит интенсивнее, чем он растворяется в ней.
Наличие пузырьков в жидкости увеличивает ее сжимаемость, уменьшает
плотность, нарушает сплошность движения, что в конечном итоге отрицательно
сказывается на работе гидросистем.
ПАРООБРАЗОВАНИЕ
Парообразование – свойство капельных жидкостей изменять свое агрегатное состояние на газообразное.
Различают два состояния парообразования – испарение и кипение.
Испарение жидкости с поверхности наблюдается при любой температуре,
и его интенсивность зависит от температуры и давления. При испарении в
ограниченное пространство плотность паров над жидкостью увеличивается и, в
определенный момент, устанавливается состояние равновесия, наступает
насыщение пространства над жидкостью паром. Давление, соответствующее
такому равновесию обычно называют давлением насыщенных паров рн.п.
Если резко уменьшить давление над поверхностью жидкости р  рн.п., то
возникает интенсивное испарение не только с поверхности жидкости, но и во
всем ее объеме, то есть жидкость начинает кипеть.
При этом возникает особое состояние жидкости, сопровождаемое местным
образованием пузырьков в жидкости, заполненных парами и растворенными в
жидкости газами, и называемое кавитацией. Явление кавитации приводит к
нарушению сплошности жидкости, паровые пузыри, перемещаясь в массе жидкости и, попадая в зоны с более низкой температурой или повышенным давлением, захлопываются внутри жидкости. Такое захлопывание пузырьков пара
(явление коллапса) сопровождается сильными ударами, которые вызывают
разрушение поверхности твердых стенок, ограничивающих поток.
ГИДРОСТАТИКА
Глава вторая
Силы, действующие в жидкости
Гидростатическое давление
Гидростатикой называют раздел гидравлики, в котором рассматривают
законы равновесия жидкостей и практическое применение этих законов в гидравлических расчетах.
Представляя жидкость как непрерывную среду, исходя из законов механики сплошной среды, можно рассматривать равновесие и течение жидкости без
учета механизма молекулярного взаимодействия.
При выводе различных гидравлических зависимостей необходимо учитывать влияние различных сил, действующих на жидкость. В общем случае эти
силы делятся на силы массовые и силы поверхностные.
Массовыми называются силы, действие которых на рассматриваемый
элемент численно пропорционально массе этого элемента или, для однородной
жидкости, - ее объему.
К массовым силам относятся, например, силы тяжести и силы инерции
(Даламбера, переносная, Кориолиса). Силы инерции равны произведению массы на соответствующие ускорения и направлены в сторону, им противоположную. Массовые силы обычно характеризуют величинами, отнесенными к единице массы (единичными массовыми силами). Таким образом, сила, действующая на жидкость, будет численно равна ускорению. Рассматривая проекции
этой силы на оси координат нетрудно убедиться, проекции единичных массовых сил равны проекциям ускорений на соответствующие оси
  ах ,   ау ,   аz ,
(2.1)
d
dP d
Рис 2.1
где Х, Y, Z – проекции единичных массовых на оси координат
х, у, z соответственно;
ах, ау, аz – проекции ускорений.
Поверхностными называются силы, величина которых пропорциональна, при равномерном их распределении, площади той поверхности, на которую эти силы действуют.
Единичную поверхностную силу, называемую напряжением поверхностной силы, разложим на две составля-
ющие – нормальную и касательную силы (Рис 2.1).
Нормальная поверхностная сила может быть сжимающей силой – силой
давления или растягивающей – силой растяжения. Касательные силы – это силы внутреннего трения.
В гидростатике рассматриваются только нормальные
Р
поверхностные силы давления и массовые силы. КаF
сательные силы не учитываются, так как в состоянии равС
В
новесия (в статике) касательные напряжения в жидкости
равны нулю. Основным понятием гидростатики является
понятие гидростатическое давление, равное отношению
Рис 2.2
силы давления Р к площадке F, на которую эта сила действует (Рис 2.2 )
(2.2)
р ср  Р F ,
где р ср – среднее гидростатическое давление, Па.
Если рассмотреть предел этого отношения, когда площадь стремится к нулю, то получим величину, которая выражает истинное давление в точке
р  limP F  .
(2.3)
F 0
Как уже отмечалось выше, понятие истинное давление в точке – есть
напряжение, возникающее в жидкости под действием сжимающих сил.
Давление в точке обладает двумя свойствами.
Первое свойство. Гидростатическое давление в точке действует нормально к площадке действия и является сжимающим, т.е. оно направлено
внутрь того объема жидкости, давление на который мы рассматриваем.
Второе свойство. Величина гидростатического давления в рассматриваемой точке не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует
Дифференциальные уравнения равновесия жидкости
Дифференциальные уравнения равновесия жидкости опубликованы действительным членом Российской академии наук Леонардом Эйлером в 1775 году.
Пусть в точке «А», взятой в массе покоящейся жидкости, действует гидростатическое давление р. Опишем вокруг точки «А» элементарный параллелепипед со стоz
ронами параллельными координатным осям и
соответственно равными dx, dy и dz так, чтоdz
А
бы точка «А» располагалась на пересечении
P1
диагоналей. Тогда расстояние от точки до
P2
граней по оси x будет dx/2, по оси y – dy/2, а
dx
dy
по оси z – dz/2.
x
O
Так как в покоящейся жидкости давлеy
ние не изменяется со временем, то давление р
Рис 2.3. Схема для вывода дифференциявляется
функцией
только
координат
альных уравнений равновесия жидкости
р  f x, y , z  . При переходе от точки «А» к
точкам, лежащим на левой или правой гранях параллелепипеда изменяется
лишь координата x на бесконечно малую величину dx/2, в связи с чем давление
плавно и непрерывно изменяется и интенсивность этого изменения будет определяться
градиентом
давления
равное
частному
дифференциалу
р x  dx 2 . С учетом этого давление на левой грани параллелепипеда будет равно р  р x   dx 2 , а на правой – р  р x   dx 2  .
Поверхностные силы давления на этих гранях будут соответственно равны
Р1  (р  р x   dx 2 )  dydz и Р 2  (р  р x   dx 2 )  dydz .
Проекция суммарной массовой силы на ось x будет равна
mX    dxdydz  X .
Аналогичным образом, но через градиенты давления р у и р z выразим поверхностные и массовые силы, действующие на параллелепипед в
направлении двух других осей.
На выделенный параллелепипед действуют только указанные массовые
силы и силы давления, поэтому уравнения равновесия этих сил в направлениях
трех координатных осей можно записать в следующем виде
  dxdydz  X  p x   dxdydz  0
  dxdydz  Y  p y   dxdydz  0 ,
(2.4)
  dxdydz  Z  p z   dxdydz  0
или после несложных преобразований, разделив каждое слагаемое на массу параллелепипеда   dxdydz , получим систему трех уравнений, которые называют уравнениями Эйлера
X  1    p x   0;
(2.5)
Y  1    p y   0;
Z  1    p z   0.
Умножив первое из уравнений (2.4) на dx, второе – на dy, третье – на dz и,
сложив их, получим одно из важных уравнений гидростатики
 p
p
p 
Xdx  Ydy  Zdz  1     dx 
dy 
dz   0 .

x

y

z


При p  f x, y , z  трехчлен, заключенный в скобках, представляет собой
полный дифференциал давления, поэтому предыдущее уравнение примет вид
dp    Xdx  Ydy  Zdz  .
(2.6)
Полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики в
дифференциальной форме. Сумма слагаемых в скобках представляет собой силовую функцию, вид которой определяют для каждого конкретного случая, в
зависимости от прилагаемых к системе сил.
Поверхность уровня
Поверхностями уровня называют поверхности, которые проходят через
точки с одинаковым гидростатическим давлением. Такие поверхности называют поверхностями равного давления.
Уравнение поверхности равного давления просто получается из основного
уравнения равновесия жидкости (2.6). Так как для поверхности уровня
р  const в любой точке, dp  0 и, следовательно, правая часть уравнения также равна нулю. В зависимости от вида жидкости ее плотность принимает конкретные значения отличные от нуля, поэтому выражение в скобках должно
быть рано нулю
Xdx  Ydy  Zdz   0 .
(2.7)
Это и есть уравнение поверхности уровня. В заданном объеме можно провести любое количество таких поверхностей, во всех точках каждой из них давление будет иметь одинаковую величину, однако это давление различно на различных поверхностях.
Поверхность уровня (поверхность равного давления) обладает двумя основными свойствами:
1. Поверхности уровня не пересекаются между собой. Действительно, на
поверхности уровня р  const , а если предположить что эти поверхности пересекаются, то в точках линии пересечения этих поверхностей мы получим давление равное одновременно р 1 и р 2 , что физически невозможно.
2. Равнодействующая всех массовых сил, действующих на точку, лежащую
на поверхности уровня направлена по нормали к последней, так как лишь при
этом условии может существовать равенство (2.7).
Поверхность раздела между двумя несмешивающимися жидкостями или
между капельной и газообразной жидкостью также всегда является поверхностью уровня. Обычно, поверхность уровня между жидкостью и окружающего
ее воздуха называют свободной поверхностью. Давление на свободной поверхности равно давлению окружающей среды.
Равновесие жидкости в поле силы тяжести
Определим вид поверхности уровня (свободной поверхности) и давление в
любой точке покоящейся жидкости, находящейся под
z пьезометрическая
плоскость
действием силы тяжести.
h0
В рассматриваемом случае единственная массоp0
вая сила есть сила тяжести, а ускорение – ускорение
свободного падения, поэтому в выбранной системе
ha
координат (Рис. 2.4) проекции единичной массовой
А
z0
силы на оси x, y и z будут равны   0,   0,   g .
za
x
Уравнение поверхности уровня (2.7), после подстановки этих данных, примет вид  g  dz  0 , а так y
как g  0 , то z  const .
Рис 2.4 Равновесие жидкости в поле силы тяжести
Таким образом, поверхностью уровня (поверх-
ностью равного давления) в покоящейся жидкости будет любая горизонтальная
плоскость, в том числе и свободная поверхность, независимо от формы сосуда.
Для определения давления в точке «А» воспользуемся основным дифференциальным уравнением равновесия жидкости (2.6) и после подстановки в него   0,   0,   g получим
dp  gdz .
(2.8)
После интегрирования и деления на g получим
z  p g   const .
(2.9)
Уравнение (2.9) есть основное уравнение гидростатики для случая покоящейся жидкости, и выражает закон распределения давления в ней. Это уравнение справедливо для любых точек одного и того же объема однородной капельной жидкости, находящейся в равновесии. Давление р, в этом уравнении,
может быть и абсолютным и избыточным.
Из уравнения (2.9) следует, что в одном и том же объеме покоящейся однородной жидкости все частицы, расположенные в одной и той же горизонтальной плоскости, имеют одно и то же гидростатическое давление, т.е. горизонтальные плоскости являются поверхностями равного давления.
Для определения постоянной интегрирования воспользуемся граничными
условиями (Рис 2.4 ) – при z a  z 0 , p  p 0 – давление на свободной поверхности.
z 0  p 0 g   const и основное уравнение гидростатики приобретает следующий вид
z  p g   z 0  p 0 g  ,
или
p  p 0  gz 0  z   p 0  gh a .
(2.10)
Уравнение (2.10) – основное уравнение гидростатики, записанное в форме
наиболее удобной для практических расчетов.
Если р о  р ат , то избыточное давление в любой точке можно определить по
следующей формуле
р и  gh а ,
(2.11)
где h а – глубина погружения точки под свободную поверхность жидкости, а знак ми-
0
(рабс)м
01

Рм=0
01
рв
А
В
(рабс)в
р
рат
В этом случае величина избыточного
давления зависит только от высоты столба
жидкости. Следует отметить, что числовое
значение gh а можно рассматривать как вес
столба жидкости высотой h а с площадью
поперечного сечения, равной единице.
В уравнении (2.10) давление р может
быть выражено через абсолютное давление
р абс , манометрическое (избыточное) – р м
или вакууметрическое – р в (Рис. 2.5).
рм
нус соответствует вакууму.
Рис. 2.5. Пределы изменения давлений
0
Манометрическое – разность между абсолютным и атмосферным
давлением р м  р абс  р ат .
Вакууметрическое давление, или вакуум – недостаток давления до
атмосферного (дефицит давления) р в  р ат  р абс или р в  р м .
Величина вакуума выражается в тех же единицах, что и давление, а также
в долях или процентах атмосферы.
При определении силы гидростатического давления, как правило, атмосферное давление не принимают во внимание, так как оно действует на расчетную конструкцию со всех сторон.
В гидравлике существует понятие пьезометрическая плоскость или плоскость атмосферного давления – горизонтальная плоскость (Рис. 2.4). Поверхность жидкости на уровне пьезометрической плоскости подвергается лишь воздействию атмосферного давления, т.е. р м  0 . В случае открытого сосуда пьезометрическая плоскость совпадает со свободной поверхностью. Для герметично закрытого сосуда она может располагаться выше или ниже свободной поверхности. В общем случае расстояние по вертикали до пьезометрической
плоскости определяется по уравнению h 0  р 0 (g ) .
Расстояние h 0 откладывается от той точки жидкости, давление в которой
равно р 0 , вверх, если оно манометрическое, и вниз – в случае вакуума.
Сообщающиеся сосуды
Сообщающиеся сосуды заполнены несмешивающейся жидкостью с различными плотностями  1 и  2 , в результате чего, между ними образуется поверхность раздела (Рис. 2.6).
р 02
Для каждой жидкости в отр 01
дельности справедливо уравнение
h2
(2.10). Воспользуемся им для опреh1
2
деления соотношения уровней
1 1
Поверхность
жидкости в сообщающихся сосу
 2 раздела
дах, если внешние давления на свободной поверхности жидкости в сосудах соответственно равны p 01 и
р 02 .
Рис. 2.6. Сообщающиеся
сосуды
Так как поверхность раздела
является поверхностью равного
давления, то для двух точек 1 и 2 будут справедливы следующие зависимости:
(2.12)
р 1  р 2 , где р 1  р 01   1 gh 1 , а р 2  р 02   2 gh 2 .
Приравнивая правые части этих уравнений, можно установить, как распределяются уровни жидкости в рассматриваемых сосудах при заданных условиях.
Если в закрытые сообщающиеся сосуды налита однородная жидкость
 1   2 , то с учетом зависимости (2.12) можно записать:
р 1  р 01  gh 1 ; р 2  р 02  gh 2 ,
откуда следует равенство
р 01  р 02  gh 2  h 1  .
(2.13)
Таким образом, перепад давления в сообщающихся сосудах пропорционален разности уровней жидкости в этих сосудах.
Рассмотрим случай, когда сообщающиеся сосуды заполнены несмешивающейся жидкостью с различными плотностями  1 и  2 , а на свободной поверхности обеих жидкостей давления одинаковы и равны p 0 .
Тогда зависимость (2.12) можно записать в следующем виде:
р 1  р 0  gh 1 ; р 2  р 0  gh 2 ,
откуда
gh 1  gh 2 , или h 1 h 2   2  1 ,
(2.14)
т. е. в сообщающихся сосудах с одинаковым давлением на свободной поверхности высоты столбов обратно пропорциональны плотностям жидкости.
Наконец, рассмотрим случай, когда в закрытые сообщающиеся сосуды
налита однородная жидкость  1   2 и давления на свободной поверхности
обеих жидкостей одинаковы и равны р 0 , тогда, используя зависимости (2.12) и
(2.14), находим, что h 1  h 2 , т.е. однородная жидкость в сообщающихся сосудах находится на одном уровне.
Гидравлический пресс
Гидравлический пресс служит для преобразования малых усилий в большие. Схема действия сил в гидравлическом прессе приведена на рис. 2.7.
Пусть на малый поршень диаметром d дейР1
Р2
ствует сила Р1. Если вся система заполнена жидкостью, то под действием силы Р1 под поршнем
будет создано гидростатическое давление
d
D
р  4Р1  d 2 . Это давление по закону Паскаля передается в больший цилиндр диаметром D, и сор
р
здает на поршне усилие Р 2  р  D2 4 . Очевидно, что Р 2 Р 1  D 2 d 2 , или, в общем случае,
Рис. 2.7. Схема действия сил
Р 2 Р 2  F2 F1 , т.е. усилия, создаваемые в больв гидравлическом прессе.
шом и малом цилиндрах гидравлического пресса,
пропорциональны площадям торцевых поверхностей поршней.
Относительный покой жидкости
Под относительным покоем будем понимать такое состояние, при котором
в жидкости, движущейся вместе с сосудом, отсутствуют перемещения отдельных ее частиц по отношению друг к другу.
Частный случай относительного покоя – «абсолютный» покой, когда жидкость находится под действием только силы тяжести (Рис. 2.4.).
Достаточно подробно рассмотрим два частных случая относительного покоя – покой при прямолинейном движении с некоторым ускорением  а и покой при вращательном движении вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью  . Случай вращательного движения вокруг горизонтальной оси
принципиально не отличается от предыдущего, и будет рассмотрен при определении осевого усилия в центробежном насосе.
На жидкость, находящуюся в относительном покое, действуют массовые
силы (сила тяжести и силы инерции), а из поверхностных сил только силы давления.
Рассматривая случаи относительного покоя, будем считать, что начало координат, распложено на свободной поверхности, при этом условии постоянные
интегрирования будут равны нулю.
ВИД ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ ЖИДКОСТИ ПРИ ПРЯМОЛИНЕЙНОМ
ДВИЖЕНИИ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ УСКОРЕНИЕМ
Пусть сосуд (Рис. 2.8) заполнен до неz
которого уровня жидкостью и движется
равноускоренно с ускорением а. В этом слуа
ma
чае появится сила инерции I  ma , дей

ствующая в противоположном направлении.
x
mg
Кроме того, на каждую частицу жидкости в
сосуде действует сила тяжести G = mg.
y
Проекции единичных массовых сил будут
Рис. 2.8. Относительный покой
соответственно равны Z = -g и X = -a.
Подставив эти значения в уравнение жидкости при поступательном
(2.7) получим  adx  gdz  0 , или после ин- движении сосуда.
тегрирования и некоторых преобразований
ax  gz  0 .
(2.15)
Это уравнение плоскости, угол наклона которой к горизонту может быть
найден из выражения tg  dz dx  a g .
Значение тангенса угла наклона к горизонту можно найти и из треугольника сил тяжести и сил инерции, построенного для любой точки поверхности.
ВИД ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ ЖИДКОСТИ ПРИ РАВНОМЕРНОМ
ВРАЩЕНИИ ВОКРУГ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ОСИ С ПОСТОЯННОЙ
УГЛОВОЙ СКОРОСТЬЮ
Для аналитического определения поверхности равного давления выберем
оси координат, начало которых находится на свободной поверхности (Рис. 2.9).
В случае, когда взаимное перемещение частиц жидкости отсутствует, силами, действующими в жидкости, на произвольную частицу массой m, будут
силы давления, силы тяжести и силы инерции, направленные вдоль осей x и y.
Проекции единичных массовых сил на оси координат будут равны: X  2 x ;
Y  2 y ; Z  g , и тогда уравнение поверхности уровня (2.7) в рассматриваемом
случае
примет
вид
2
2
 xdx   ydy  gdz  0 , или после
z
интегрирования 2 x 2 2  2 y 2 2  gz .
R
Учитывая, что x 2  y 2  r 2 (уравнение
окружности), где r - радиус окружности,
hв
h
2y
m
2x
g
z

описываемой точкой при вращении, находим
уравнение поверхности уровня жидкости
x
y
Рис. 2.9. Относительный покой жидкости при вращении цилиндрического сосуда вокруг вертикальной оси.
(2.16)
2 r 2 2  gz .
Поверхности уровня (поверхности
равного давления) представляют собой
параболоиды вращения, ось которых
совпадает с осью вращения сосуда.
Для любой точки, расположенной
на поверхности, z  2 r 2 2g  u 2 2g , где
u    r - окружная скорость вращения.
Максимальная высота подъема
(глубина воронки) будет при макси-
мальном радиусе вращения
(2.17)
h в  2 R 2 2g ,
где h в - высота подъема уровня жидкости в сосуде;
R - радиус сосуда.
Угловая скорость, при которой воронка достигнет дна сосуда, может быть
2
вычислена из условия h в  h  max
R 2 2g , или
(2.18)
max  1 R  2gh .
Высота подъема жидкости в сосуде даже при сравнительно небольшой частоте вращения может достигать значительной величины. Так, в цилиндре диаметром D  1м при частоте вращения n  1000 об мин высота подъема у стенок
равна 140м .
Для того чтобы жидкость не выбрасывалась за борта сосуда, его снабжают
в верхней части ограничительными кольцами.
Таким образом, внутренняя поверхность жидкости в сосуде представляет
собой часть параболоида вращения, вырезанную двумя горизонтальными плоскостями с разными по величине внутренними радиусами – вверху сосуда с
большим радиусом rб и внизу у днища сосуда с меньшим радиусом rм .
Объем жидкости в сосуде остается неизменным, поэтому объем всего сосуда должен быть равен сумме объемов жидкости и пустого параболоида вращения
(2.19)
Vц  Vж  Vп .
Объем всего сосуда равен
(2.20)
Vц  R 2 h .
Объем жидкости в сосуде до его вращения можно определить как
(2.21)
Vж  R 2 h 0 .
Объем параболоида вращения находят по зависимости
(2.22)
Vп  2 R 4 4g ,
или с учетом уравнения (2.17) по зависимости
(2.23)
Vп  R 2 h в 2 .
На основании равенства (2.19) и с учетом зависимостей (2.20), (2.21), (2.23)
получаем
(2.24)
R 2 h  R 2 h 0  R 2 h в 2 .
2
Сокращая обе части этого уравнения на R после несложных преобразований получим
h в  2h  h 0  ,
(2.25)
т.е. горизонтальная поверхность жидкости в покоящемся сосуде делит высоту
параболоида во вращающемся сосуде на две равные части.
Отсюда следует, что если горизонтальная поверхность жидкости делит высоту сосуда пополам, то жидкость при данном ее объеме и скорости вращения
опускается и поднимается вверх на одинаковое расстояние от этой поверхности. На основании изложенного и с учетом зависимости (2.16), а также принимая во внимание, что высота сосуда равна h получим
(2.26)
rб  2gh 0  h 2  и rм  2gh 0  h 2  .
Сила давления жидкости на плоскую стенку
Для определения силы давления Р на плоскую наклонную стенку
(Рис.2.10), площадь которой равна F,
разобьем ее произвольным образом на
р0
О
бесконечно малые площадки dF . Элементарная сила давления, на основании
hцт h dP
равенства (2.10), может быть определеlцт
l
на из выражения
х
dF
dP  p 0  gh   dF .
(2.27)
С
Для более удобного представления
F

контура поверхности стенки F, повернем рассматриваемую плоскость воz
круг оси Оz до совпадения ее с плоскоРис. 2.10. Давление жидкости
стью чертежа.
на плоскую стенку
Расстояние центра тяжести «С»
рассматриваемой поверхности от оси Ох обозначим через lцт, а глубину погружения его под уровень через hцт.
Очевидно, что
h  l sin , h цт  l цт sin  , (2.28)
где  - угол наклона стенки к горизонту.
Подставим в выражение (2.27) значение h из зависимости (2.28) и проинтегрируем левую и правую часть этого выражения по всей площади стенки F,
(2.29)
Р  р 0 F  g sin   ldF .
F
Известно, что интеграл
 ldF
представляет собой статический момент
F
площади относительно оси Ох. Он равен произведению площади на расстояние
ее центра тяжести до оси, относительно которой берется статический момент,
т.е.  ldF  l цт F  h цт sin  F .
F
Подставляя значение статического момента в формулу (2.29), получим
(2.30)
Р  р 0  ghцт F .
Следовательно, полная сила жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на величину гидростатического давления в ее центре
тяжести.
Если давление на свободной поверхности равно атмосферному р 0  р ат и
определяется величина избыточного давления, то расчетная формула для определения силы давления жидкости на плоскую стенку примет вид
Р  ghцт F .
h

h

F
h

F
h

F
Рис. 2.11. Гидростатический парадокс
F
(2.31)
Если сосуд закрыт и
давление на поверхности
жидкости в нем р0, то в
формулу (2.31) можно вво-
дить расчетный напор h расч  h цт  р 0 g .
Формулы (2.30 и 2.31) являются обоснованием известного гидростатического парадокса, согласно которому величина силы давления не зависит от
формы резервуара и количества жидкости в нем.
Действительно, сила давления жидкости на дно сосудов, имеющих одинаковую площадь F при одних и тех же значениях р0,  и h будет иметь одну и ту
же величину.
Для более полного представления о действии сил давления на плоские
стенки резервуаров и гидротехнических сооружений необходимо знать не только величину действующих сил, но и точку приложения равнодействующей силы. Точку приложения равнодействующей сил давления на плоскую поверхность называют центром давления.
Положение точки приложения этой силы определяют по формуле
(2.32)
h д  h цт  I 0 h цт F ,
где I0 – момент инерции площади фигуры относительно горизонтальной оси, лежащей в
плоскости фигуры и проходящей через ее центр (центральный момент инерции). Ниже при-
ведены зависимости определения центрального момента инерции для наиболее часто встречающихся видов поверхностей.
I 0  bh 3 12 - для прямоугольной поверхности;
I 0  R 4 4 - для круглой поверхности;
I 0  bh 3 36 - для треугольной поверхности.
Сила давления жидкости на криволинейную стенку
O(y)
B/
x
A/
Рz
A
Рх
F
B
z
x
O
h цт//
y
h цт/
Vтд
Fxoz
Fyoz
F
z
Рис. 2.12. К определению силы давления
жидкости на криволинейную стенку
В общем случае произвольной криволинейной поверхности
распределенную нагрузку от
нормальных в каждой точке поверхности давлений жидкости
можно свести к главному вектору и главному моменту. Главный
вектор определяют по трем составляющим – вертикальной силы и двум взаимно перпендикулярным горизонтальным силам,
главный момент может быть
определен по сумме моментов
этих составляющих (Рис. 2.12).
P  Px2  Py2  Pz2 ,
где
Px  gh цт/  Fyoz ,
(2.33)
Py  gh цт//  Fxoz ,
Pz  gVтд  G .
Для криволинейных поверхностей, симметричных относительно вертикальной плоскости (большинство практических задач), например
криволинейная цилиндрическая стенка АВ (Рис. 2.13), сумма элементарных сил
давления может быть приведена к одной равнодействующей силе, лежащей в
плоскости симметрии, или к паре сил, лежащих в той же плоскости. Величину и
направление равнодействующей силы определяют по двум составляющим – горизонтальной и вертикальной:
P  Pг2  Р в2
Pг  gh с  Fyoz и Pв  gVтд  G .
(2.34)
В уравнениях 2.33 и 2.34 объем Vтд жидкого тела, находящегося над рассматриваемой поверхностью, называют объемом тела давления, который ограничен сверху пьезометрической плоскостью, снизу – рассматриваемой криволинейной поверхностью, на которую действует жидкость, с боков – вертикаль-
ной поверхностью, проведенной по
периметру криволинейной поверхности. Горизонтальную составляющую
цт

hс
определяют как произведение давлеВ
ния в центре тяжести на площадь

проекции криволинейной поверхноРг
С
сти. Вертикальная составляющая
D

полной силы давления на криволи
А
нейную поверхность Р z равна весу
Рв
Р
жидкости в объеме тела давления и
проходит через центр тяжести (цт)
Рис. 2.13. Давление жидкости на критела давления.
волинейную цилиндрическую стенку
Тело давления считается действительным, если оно находится со смачиваемой стороны стенки (внутри жидкости) и фиктивным, если объем тела давления построен с несмачиваемой стороны стенки. В первом случае вертикальная составляющая направлена вниз, во
втором случае – вверх.
Направление полной силы давления Р определяется углом , образуемым
вектором Р с горизонтальной плоскостью
tg  Р в Р г .
(2.35)
Пьезометрическая
плоскость
Эпюры гидростатического давления
Силу давления жидкости на прямоугольные фигуры и прямоугольные
стенки (Рис. 2.14), имеющие постоянную ширину, можно определить аналитическим путем, пользуясь формулами 2.30, 2.31 или графически с помощью
эпюр давления, которые изображают характер изменения давления на стенку,
погруженную в жидкость.
Сила давления жидкости равна
(2.36)
P  gh 2  bh  1 2  gh2 b ,
а точку приложения этой силы определим по зависимости (2.32)
(2.37)
h D  h 2  2bh 3 12hbh  h 2  h 6  2 3h .
При построении эпюры давления
b
руководствуемся основным уравнением
гидростатики (зависимости 2.10, 2.11) и
À
основными свойствами гидростатического давления. Эпюра давления на прямоhc
угольную стенку АВ (Рис. 2.14) предhD
h
ставляет прямоугольный треугольник
C
P
О
АВС с высотой h и основанием gh .
D
 D
Площадь эпюры давления равна:
(2.38)
Fэп  1 2gh 2 .
C
gh
B
Рис. 2.14. К определению силы давления на прямоугольную стенку
Сравнивая зависимости 2.36 и 2.38, видим, что
сила давления жидкости может быть определена
р0
Е р0
A
как произведение площади эпюры на ширину стенки:
(2.39)
P  Fэп  b .
h
Если сосуд закрыт и избыточное давление на
Р
О
D

свободной поверхности жидкости в нем равно р0, то
l
эпюра давления на стенку АВ представляет
B
C
трапецию АВСЕ с высотой h и основаниями р0 и
р0+ gh (Рис. 2.15). Эпюра давления в виде трапеp 0  gh
ции будет и в том случае, если сосуд открыт и
определяют давление не на всю стенку, а только на
Рис. 2.15. Эпюра давления
ее заглубленную часть. Для горизонтально распона прямоугольную стенку в
ложенных стенок или горизонтальных фигур эпюра
закрытом сосуде
представляет собой прямоугольник.
Вектор силы давления Р во всех случаях проходит через центр тяжести
эпюры давления (точка О).
Положение центра тяжести трапецеидальной эпюры давления можно
определить графически двумя способами (Рис. 2.16).
В первом случае (Рис. 2.16 а) на продолжении верхнего основания трапеции АЕ откладываем отрезок m, равный нижнему основанию трапеции ВС.
Аналогично, продолжая в противоположную сторону нижнее основание, откладываем на нем отрезок n, равный верхнему основанию трапеции. Концы этих
отрезков (точки F и G) соединяем прямой линией. Затем через середины оснований трапеций (точки k и s) также проводим прямую линию (медиану). Точка
пересечения О указанных прямых есть центр тяжести трапеции. Проведя через
точку О вектор силы давления Р, найдем плечо силы давления l и точку приложения этой силы – точку D.
Во втором случае (Рис. 2.16 b) положение точки D можно определить слеn
m
n/2
A
E
F
A
E
k
Р
l
О
Р
D
n/2
k
D n/2
n
F
s
n/2
s
C
m/2
m
G
B
C
B
n
a
b
Рис. 2.16. К определению положения центра тяжести трапецеидальной эпюры
давления
дующим образом. Вертикальную сторону трапеции АВ разделим на три равные
части. Из точек С и Е трапеции проведем прямые через точки раздела k и s до
их пересечения в точке F. Через точку F проведем горизонтальную прямую, которая пересекает вертикальную сторону трапеции АВ в точке D. Эта точка и
будет точкой приложения силы Р.
рат
Приборы для измерения давления
Приборы, служащие для измерения
избыточного
давления,
называются
манометрами. В зависимости от конструкции
р0
и назначения манометры манометры могут
Н
быть жидкостными и механическими. Самый
простейший
жидкостной
манометр
–
h
пьезометр, который свое название получил от
слияния двух греческих слов (пьезо –
а
давление и метр - измеряю). Наибольшее
применение пьезометр получил для измерения
малых давлений в лабораторных условиях.
Рис. 2.17. Пьезометр
Пьезометр представляет собой стеклянную
трубку (Рис. 2.17), подключенную одним концом к месту измерения давления
(точка а) и открытую с другого конца. В закрытом сосуде над свободной
поверхностью жидкости едйствует избыточное давление р0. В результате этого
в пьезометре, подключенном к сосуду на глубине h, жидкость поднимается на
высоту Н.
Уравнение равновесия для точки а, взятой в начальном сечении трубки будет иметь вид:
p 0  gh  p ат  gH ,
откуда
Н  р 0  р ат g   h.
Следовательно, уровень жидкости в пьезометре Н указывает избыточное
давление в точке подключения пьезометра. Если к сосуду подключить
закрытый с другого конца пьезометр,
предварительно откачав из него
воздух, то уровень жидкости в
пьзометре
покажет
величину
Нвак
рат
абсолютного давления.
Рвак
Для измерения давления в
жидкости
меньшего,
чем
атмосферное служит вакуумметр
(Рис. 2.18).
Рис. 2.18. Вакуумметр
Принцип работы вакуумметра
заключается в следующем. В
открытый резервуар с жидкостью опущена стеклянная трубка, сообщающаяся с
закрытым резервуаром, из которого выкачана часть воздуха р вак р ат . Под
действием атмосферного давления на свободной поверхности открытого сосуда
часть жидкости войдет в трубку и установится на высоте Нвак.
Уравнение равновесия в точке а, будет иметь вид:
р вак  gН вак  р ат ,
откуда
Н вак  р ат  р вак  g  р вак g,
т.е. разность между атмосферным и абсолютным давлением в закрытом
резервуаре определяется высотой столба жидкости в вакуумметре.
При измерении избыточного давления более 20000–30000 Па в
рат
рат
h
рабс
h
а
b
2.19. Ртутно-чашечные приборы для измерения давления:
а – манометр; b – вакуумметр
жидкостных манометрах в качестве рабочей жидкости целесообразно
применять ртуть.
Ртутно-чашечные приборы представляют собой U – образную трубку, в
левом колене которой установлена чашка, заполненная ртутью (Рис. 2.19). Размер чашки должен быть таким, чтобы при вытеснении ртути в правое колено
трубки изменение уровня ртути в чашке было бы незначительным. Нуль шкалы
ртутно-чашечного прибора совпадает с уровнем ртути в чашке при h=0.
Абсолютное гидростатическое давление в точке О (Рис. 2.19 а) на поверхности ртути в чашке манометра р абс  р ат   рт gh, т.е. р изб   рт gh. Следовательно, высота ртутного столба h, указывает избыточное давление в сосуде, к
которому подключен ртутно-чашечный манометр.
Ртутно-чашечным вакуумметром измеряют недостаток давления до атмосферного (Рис.2.19 b). Если резервуар, подключенный к левому колену вакуумметра, находится под вакуумом, то ртуть в правом колене опустится по сравнению с ее уровнем в чашке на высоту h. Эта высота, отсчитываемая от поверхности ртути в чашке, пропорциональна вакууму в резервуаре, к которому подключен вакуумметр р вак   рт gh.
Для измерения разности давлений применяют дифференциальные манометры.
Дифференциальный манометр (Рис. 2.20), плотность рабочей жидкости в
котором, например, ртуть, больше плотности жидкости, заполняющей резервуары 1 и 2 (раб  ж), применяют при
измерении больших перепадов давh2
лений.
h1
На поверхности раздела двух
жидкостей (плоскость А–А – поверхh
а
А
b
А
ность уровня), давления в левой и
правой трубках равны, т.е.
ж
ж
р а  р b , р 1   ж gh  р 2   рт gh.
Следовательно,
р 1  р 2  р   рт   ж gh и пере1
2
пад давления в сосудах можно опреРис. 2.20. Дифференциальный маноделить по разности уровней ртути в
метр (раб  ж)
дифференциальном манометре с учетом различия в плотности рабочей
жидкости и жидкости, заполняющей сосуды.
При малых разностях давлений применяют дифференциальные манометры
(Рис. 2.21), в которых плотность рабочей жидкости, например, масло, меньше
плотности жидкости, заполняющей резервуары 1 и 2 (раб  ж). В этом случае
р   ж   раб   gh. При значениях
рт
раб, близких к ж, чувствительность
раб
манометра к перепаду давлений достаточно велика.
Для измерения очень малых давh
лений или перепадов давлений применяют микроманометры. Для увеличеж
ж
ния точности показаний измерительная
трубка устанавливается наклонно, и
поэтому измерительная шкала растяги1
2
вается пропорционально значению
sin. При необходимости угол наклона
Рис. 2.21. Дифференциальный маможно изменить в желаемых пределах.
нометр (раб  ж)
Манометр заполняется легкими жидкостями, дающими малые мениски (спирт). При помощи таких микроманометров
можно измерять давления и перепады давления порядка 10 Па с точностью до 
1 Па.
Для удобства отсчета давления шкала может быть выполнена в более
крупном масштабе, в этом случае сразу получается готовая величина измеряемого давления.
Для технических измерений давления, превышающего 200 – 300 кПа,
обычно применяют пружинные и мембранные манометры (Рис. 2.22). Давле-
Р
а
b
Р
Рис. 2.22. Манометры: а – пружинный манометр;
b – мембранный манометр
ние, подводимое к пружинному манометру (Рис. 2.22 а), вызывает деформацию
латунной трубки-пружины 3 (трубка Бурдона) переменного сечения, согнутой
по окружности. Трубка-пружина стремиться разогнуться, и движение ее конца
преобразуется в перемещение стрелки 2, показывающей величину измеряемого
давления на циферблате 1. Подобно этому в мембранном манометре деформация мембраны 4 также передается стрелке, показывающей измеряемое давление
(Рис.2.22 b).
ГИДРОДИНАМИКА
Глава третья
Гидродинамика – раздел гидравлики, в котором изучают общие законы
движения реальной жидкости и ее взаимодействия с твердыми телами, а также
применения этих законов к решению практических задач.
В гидродинамике предполагается, что жидкость движется сплошной непрерывной средой (континуум), частицы которой приближенно можно рассматривать как точечные. Так как частицы жидкости обладают большой подвижностью и в общем случае в различных точках пространства и в различные
моменты времени имеют скорости, различные не только по величине, но и по
направлению, изучение движения жидкости представляет значительные трудности. Обычно для описания движения частиц жидкости применяют два метода
– Лагранжа и Эйлера.
При исследовании движения по методу Лагранжа изучают характеристики
отдельных частиц жидкости при их перемещении вдоль траектории.
Метод Эйлера состоит в том, что исследуют характеристики частиц жидкости, проходящих в различное время через произвольную фиксированную
точку пространства с заданными координатами. На практике наиболее широко
применяют метод Эйлера, который позволяет в простой и удобной форме представить уравнения движения жидкости.
В движущейся жидкости действуют поверхностные силы (силы давления и
внутреннего трения) и массовые силы, пропорциональные массе движущейся
жидкости (силы тяжести, силы инерции переносного движения, кориолисова
сила). Давление, возникающее в жидкости при ее движении, называется гидродинамическим давлением.
Определение скорости, гидродинамического давления, их взаимосвязи и
сопротивлений, возникающих при движении жидкости, составляет основную
задачу гидродинамики.
В ряде случаев, при решении практических задач, будем считать, что движущаяся жидкость несжимаема и лишена вязкости (идеальная жидкость). Такое
предположение позволяет упростить решение многих сложных задач, которые
в дальнейшем уточняются с учетом вязкости жидкости.
Виды движения жидкости
В гидродинамике движение жидкости принято характеризовать скоростью
движения частиц и гидродинамическим давлением. Анализируя виды движения
жидкости, устанавливают функциональную зависимость скорости и давления
от пространственных координат положения частицы и времени.
Движение, при котором скорость и давление частиц жидкости, проходящих через фиксированную в пространстве точку, изменяются не только при изменении координат точки, но и при изменении времени, называют неустановившимся движением. Аналитически эту зависимость можно представить в
следующем виде:
(3.1)
u  f 1 x, y , z, ; p  f 2 x, y , z, .
При неустановившемся движении, u   0; p   0, т.е. движение
является инерционным и сила инерции I  0.
Примером неустановившегося движения может служить истечение жидкости через отверстия из сосудов с переменным напором, движение жидкости во
всасывающем и нагнетательном трубопроводах поршневого насоса, не имеющего воздушного колпака.
Установившимся называют такое движение, при котором скорость и давление является функцией только координат, фиксированной в пространстве
точки, и не зависят от времени:
u  f 1 x, y, z ; p  f 2 x, y, z .
(3.2)
Установившееся движение является безинерционным. Поэтому частные
производные во времени этих величин при установившемся движении равны
нулю: u   0; p   0; I  0.
Примеры установившегося движения – истечение жидкости из сосудов под
действием постоянного напора, движение жидкости во всасывающем и нагнетательном трубопроводах лопастного насоса при постоянной частоте вращения
его рабочего колеса, течение жидкости по трубе под воздействием постоянного
давления.
Исследование установившегося движения значительно проще, чем неустановившегося, в связи с этим, в дальнейшем будем рассматривать в основном
установившееся движение жидкости, и лишь некоторые частные случаи неустановившегося движения.
В зависимости от характера распределения скоростей и давлений вдоль
потока установившееся движение жидкости может быть равномерным и неравномерным.
Равномерное движение это такое установившееся движение жидкости, при
котором скорость по длине потока есть величина постоянная, например, течение жидкости в трубопроводе постоянного диаметра при неизменном давлении.
Неравномерным установившимся движением называют такое движение,
при котором скорость по длине потока не остается постоянной и, в сходствен-
ных точках соседних сечений, будет иметь различные значения. Неравномерное
установившееся течение наблюдается при движении жидкости по трубопроводу с расширяющимся или сужающимся сечением.
Кроме того, различают движение напорное и безнапорное.
Напорное движение происходит под действием давления (напора), создаваемого насосом или водонапорной башней. При этом, в любой точке потока,
гидродинамическое давление отличается от атмосферного давления и может
быть как манометрическим, так и вакуумметрическим. Движение происходит в
закрытом русле, когда поток ограничен твердыми поверхностями со всех сторон и не имеет свободной поверхности, например, водопроводные и другие
трубопроводы.
Безнапорное движение (самотечное движение) происходит под действие
сил тяжести. При этом движении поток имеет свободную поверхность, находящуюся под действием атмосферного давления (движение в реках, открытых каналах, дренажных трубах).
Плавно изменяющееся движение близко к прямолинейному и параллельно
струйному движению. При этом движении, кривизна линий тока и угол расхождения между ними достаточно малы и в пределе стремятся к нулю. При несоблюдении этого условия возникает резко изменяющееся движение.
Линия тока и элементарная струйка
Траекторией движения частицы называют путь, описанный частицей в
пространстве.
При установившемся движении траектория частиц жидкости является
неизменной во времени.
При
неустановившемся
u1
движении траектории различных
u2
2
3
частиц, проходящих через данную точку пространства, могут
1
4
иметь разную форму.
u3
Поэтому для выяснения
картины течения, возникающей
в каждый момент времени вводится понятие линии тока.
Линией тока называется
u4
кривая, проведенная в жидкости,
Рис. 3.1. Линия тока
касательные к которой в каждой
точке совпадают с направлением векторов скоростей частиц, находящихся в
данный момент на этой кривой (Рис. 3.1).
При установившемся движении линия тока совпадает с траекторией частиц, на ней расположенных, так как каждая последующая частица повторяет
путь и все изменения скорости предыдущей.
При неустановившемся движении такого совпадения линии тока с траекторией быть не может. В этом случая каждая частица, попадая в фиксирован-
ную точку в следующий момент времени, будет иметь свое значение скорости,
и двигаться каждая по своей траектории.
Основным элементом гидравлической модели потока является элементарная струйка. Для ее определения в потоке жидкости, в произвольно выбранных
сечениях I и II, выделим элементарные поz
верхности df1 и df2 и проведем линии тока,
проходящие через все точки бесконечно маdf1
df2
u2 лого замкнутого контура, причем все его
точки принадлежат различным линиям тока
I
u1
(Рис. 3.2). Эти линии вдоль потока образуют
II
элементарную трубчатую поверхность, котоx рую называют трубкой тока. Жидкость,
y
движущаяся внутри трубки тока, называется
элементарной струйкой. При установившемРис. 3.2. Схема элементарной
ся движении элементарная струйка обладает
струйки
рядом свойств:
1. Форма элементарной струйки с течением времени не изменяется, это
обусловлено неизменностью с течением времени формы линий токов.
2. Боковая поверхность элементарной струйки непроницаема для частиц
жидкости, т.е. перетекание жидкости через боковую поверхность элементарной
струйки невозможно. Это объясняется тем, что при установившемся движении
линии тока совпадают с траекториями частиц, которые, двигаясь по этой линии,
не отрываются от нее, так как векторы скорости частиц направлены по касательным к линии тока. Следовательно, трубка тока, поверхность которой состоит из линий тока, непроницаема для частиц жидкости, находящихся внутри
или вне нее.
3. Скорости движения частиц жидкости во всех точках рассматриваемого
поперечного сечения одинаковы. Это утверждение справедливо для бесконечно
малых площадей поперечного сечения элементарной струйки.
По длине элементарной струйки площади поперечного сечения и скорости
движения частиц в них могут иметь разные значения.
Поток жидкости можно рассматривать как совокупность элементарных
струек (для установившегося движения не изменяющихся во времени).
Уравнение неразрывности
Рассмотрим элементарную струйку несжимаемой жидкости при установившемся движении (Рис. 3.2). Действительная (местная) скорость частицы в
сечении I равна u1, в сечении II – u2.
Если плотность жидкости в первом сечении равна 1, а во втором сечении
2, то весовой расход жидкости в единицу времени, втекающей в элементарную
струйку через сечение I, равен dG 1  1 g  df 1  u 1 . Весовой расход жидкости,
вытекающей из элементарной струйки через второе сечение соответственно равен dG 2   2 g  df 2  u 2 .
Принимая во внимание, то обстоятельство, что боковая поверхность элементарной струйки непроницаема для частиц жидкости, можно записать, что
dG 1  dG 2 , или
 1 g  df 1  u 1   2 g  df 2  u 2 .
(3.3)
При установившемся движении несжимаемой жидкости  1   2   . Тогда
в выражении (3.3) произведение элементарной площади на действительную
скорость представляет собой элементарный секундный расход жидкости dVc ,
т.е. количество жидкости, протекающей в единицу времени через рассматриваемое сечение
(3.4)
df 1  u 1  df 2  u 2
Аналогичные соотношения можно написать для любых сечений элементарной струйки, расположенных вдоль нее
(3.5)
df 1  u 1  df 2  u 2  ...  df k  u k  df  u  dVc  const .
Выражение (3.5) называется уравнением неразрывностидвижения для элементарной струйки несжимаемой жидкости при установившемся движении,
которое является одним из основных уравнений гидродинамики.
Гидравлические элементы потока
В качестве основных элементов, характеризующих поток жидкости, различают: площадь живого сечения, смоченный периметр, гидравлический радиус,
средняя скорость потока, расход жидкости.
В потоке жидкости сравнивать характеристики произвольных сечений
вследствие разнообразия их форм и положения относительно направления потока довольно сложно. Поэтому, анализируя течение жидкости, принято рассматривать такие сечения потока, которые перпендикулярны направлению
движения жидкости.
Поперечное сечение (F, м2), в пределах потока жидкости, перпендикулярное в каждой точке к вектору местной скорости в этой точке называется живым
сечением.
Смоченный периметр – длина линии, по которой живое сечение потока
соприкасается с ограничивающими его стенками (, м).
При напорном движении смоченный периметр совпадает с геометрическим
периметром, так как в каждом живом сечении все точки стенки, ограничивающей поток, соприкасаются с жидкостью.
При безнапорном движении в смоченный периметр, в отличие от геометрического периметра, не входит длина линии соприкасания жидкости с атмосферой.
Гидравлический радиус – характеристика живого сечения, представляющая
собой отношение площади живого сечения к смоченному периметру
(3.6)
R  F .
Очевидно, что гидравлический радиус – величина линейная. При напорном
движении в круглой трубе гидравлический радиус равен
(3.7)
R  d 2 4 d  d 4  r 2 .
Данная характеристика имеет большое значение при определении режимов
движения жидкости в каналах с не круглой площадью живого сечения (треугольные, прямоугольные, трапецеидальные и др.).
В таблице приведены формулы для определения F, , R для некоторых потоков различной формы:
Форма сечения и схема
Площадь живого
сечения F
Смоченный
периметр 
Гидравлический
радиус R
d 2 4  0,785d 2
d
r 2; d 4
1
  sin d 2
8
1
d
2
1  sin  
1 
d
4
 
bh
2b  h 
bh
2b  h 
bh
b  2h
bh
b  2h
b  mh h
b  2h 1  m
mh 2
2h 1  m
Трубы круглого сечения:
а. при напорном движении
r
О
d
б. при безнапорном движении
h

d
 – центральный угол в
радианах
Каналы, лотки:
а. прямоугольный при
напорном движении
h
b
б. прямоугольный при
безнапорном движении
Н
h
b
в. трапецеидальный

h
а
b
2
b  mh h
b  2h 1  m 2
г. треугольный

h
а
2
mh
2 1  m2
Примечание: для трапецеидальной и треугольной формы канала коэффициент заложения откоса m  ctg  a h (а – заложение откоса).
Средняя скорость – фиктивная скорость (w, м/с), с которой должны двигаться все частицы жидкости в данном живом сечении, чтобы расход, проходящий через него, был равен расходу, вычисленному по действительным скоростям всех частиц в этом же сечении. Или, можно сказать, что средняя скорость
это высота цилиндра с площадью основания F, объем которого равен действительному объему жидкости (параболоид вращения), протекающему через рассматриваемое живое сечение в единицу времени.
Расход – количество жидкости, протекающей через живое сечение потока
в единицу времени. При движении жидкости различают, соответственно расходы: объемный, весовой и массовый.
Так как скорости различных струек реального потока в общем случае различны, то объемный расход всего потока будет равен сумме элементарных расходов струек. Интегрируя выражение 3.5 и, заменяя действительную скорость u
на среднюю – w, получим:
(3.7)
Vc   w 1 df 1   w 2 df 2  ...   w k df k   wdf  const ,
F
F
F
F
или
Vc  w 1 F1  w 2 F2  ...  w k Fk  wF  const .
(3.8)
Из последней зависимости 3.8 получим важное соотношение
w 1 w 2  F1 F2 ,
(3.9)
т.е. средние скорости в рассматриваемых живых сечениях обратно пропорциональны площадям этих сечений.
Учитывая взаимосвязь между объемом и весом, а также между объемом и
массой (1.1 и 1.4), получим, что весовой расход равен
G c  gVc  gwF ,
(3.10)
а массовый расход
M c  Vc  wF .
(3.11)
Уравнение Бернулли
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ
ЖИДКОСТИ (УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА)
В общем случае, для характеристики движения идеальной жидкости можно воспользоваться принципом Даламбера, в соответствии с которым силы,
действующие на рассматриваемую систему, уравновешиваются силой инерции.
Аналитический смысл этого принципа заключается в том, что сумма проекций
всех сил, в том числе и силы инерции, по выбранным направлениям координатных осей, равна нулю.
Для составления дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости воспользуемся уравнениями Эйлера для равновесия жидкости (2.4).
Полная сила инерции может быть представлена в следующем виде
(3.12)
I  dxdydz du d ,
а ее составляющие по осям координат, отнесенные к единице массы
I x  du x d; I y  du y d; I z  du z d , т.е. представляют собой проекции ускорений на соответствующие оси.
Определим проекцию ускорения на ось Ох как производную по времени от
du x u x u x dx u x dy u x dz






 , откуда
проекции скорости
d

x d y d z d
du x u x u x
u
u


 ux  x  uy  x  uz .
(3.13)
d

x
y
z
Аналогичные выражения получим при определении проекций ускорения
относительно осей Оу и Оz.
Используя уравнения (2.4), (3.12) и (3.13) можно записать
u
u
u
 u

p
Xdxdydz  dxdydz  dxdydz  x  x u x  x u y  x u z  , или, разx
x
y
z
 

делив все члены этого выражения на dxdydz , получим уравнение движения
идеальной жидкости, составленное относительно оси Ох и, отнесенное к единице массы
u
u

1 p  u x u x
(3.14)
X 
 

u x  x u y  x u z  .
 x  
x
y
z

Аналогичные уравнения движения можно составить относительно других
осей. В результате получим систему уравнений движения идеальной жидкости,
– уравнения Эйлера:
u
u
1  p  u x u x

X 


u x  x u y  x u z ;
 x

x
y
z

u y
u y

1  p u y  u y
(3.15)
Y 


ux 
uy 
u z ;
 y

x
y
z


u
u
1 p u z u z
Z 


ux  z uy  z uz ; 
 z

x
y
z

или
1 p du x 
X 

;
 x
d 

du
1 p
y 
(3.16)
Y 

;
 y
d 
1 p du z 
Z 

.
 z
d 
При установившемся движении в системе уравнений (3.15) слагаемые
u x , u y , u z  будут равны нулю, так как функции u, u x , u y , u z от времени не зависят.
УРАВНЕНИЕ
БЕРНУЛЛИ
ДЛЯ
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ
СТРУЙКИ
ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ УСТАНОВИВШЕМСЯ ДВИЖЕНИИ
При установившемся движении жидкости проекции скорости на оси координат u x , u y , u z , а также величина р являются функциями только координат точек пространства и от времени не зависят. С учетом этого уравнения Эйлера
(3.15), после соответствующих преобразований, для установившегося движения
будут иметь вид
u
u
1  p u x

X 

u x  x u y  x u z ;
 x
x
y
z

u y
u y

1 p u y
(3.17)
Y 

ux 
uy 
u z ;
 y
x
y
z


u
u
1  p u z
Z 

ux  z uy  z uz . 
 z
x
y
z

Для вывода уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной
жидкости умножим правую и левую часть первого уравнения на dx , второго
уравнения на dy и третьего уравнения на dz . Принимая во внимание, что для
установившегося движения проекции перемещения частиц вдоль потока соответственно равны dx  u x d, dy  u y d, dz  u z d , после несложных преобразований получим
u
u
u
1 p

Xdx   dx  ( x dx  x dy  x dz )u x ; 
 x
x
y
z


u

u

u

1 p
y
y
y
(3.18)
Ydy   dy  (
dx 
dy 
dz )u y ;
 y
x
y
z


u
u
u
1 p
Zdz   dz  ( z dx  z dy  z dz )u z . 
 z
x
y
z

В системе уравнений (3.18) сумма слагаемых в скобках представляет собой
полные дифференциалы компонентов скорости – du x , du y , du z .
С учетом этого система уравнений (3.18) примет вид

1 p
Xdx   dx  u x du x ; 
 x


1 p
Ydy   dy  u y du y ;
(3.19)
 y


1 p
Zdz   dz  u z du z . 
 z

2
2
Известно, что u x du x  du x 2, u y du y  du y 2, u z  du 2z 2 , тогда, складывая отдельно левые и правые части уравнения (3.19), получим
 u 2x  u 2y  u 2z 
1  p
p
p 
 или
Xdx  Ydy  Zdz   dx 
dy 
dz   d

  x
y
z 
2


1
 u2 
(3.20)
Xdx  Ydy  Zdz  dp  d   0.

 2
Если частицы движущейся жидкости находятся под действием только си1
 u2 
лы тяжести уравнение (3.20) примет вид  gdz  dp  d   0, так как в

 2
этом случае   const; X  0; Y  0; Z  g.
Разделив полученное уравнение на (–g), получим основное уравнение гидродинамики – уравнение Бернулли в дифференциальной форме, отнесенное к
единице веса
 u2 
dp
dz 
 d   0.
(3.21)
g
 2g 
Проинтегрировав выражение (3.21) от какого-либо начального сечения I до
другого конечного сечения II (Рис. 3.3), получим
(3.22)
z I  p I g  u I2 2g  z II  p II g  u II2 2g  H
Уравнение (3.22) и есть уравнение Бернулли для элементарной струйки
идеальной жидкости при установившемся движении.
Рассмотрим элементарную струйку, в которой выберем два произвольных
сечения I и II (Рис. 3.3).
z
Напорная линия
u II2
2g
2
1
u
2g
Н
Пьезометрическая
линия
p1
g
p II2Н
g
I
uI
u2
zI
О
II
Линия отсчета
zII
x
y
Рис. 3.3. Диаграмма уравнения Бернулли для элементарной
струйки идеальной жидкости при установившемся движении
Координата z есть расстояние по вертикали от некоторой горизонтальной
линии (плоскости) сравнения, которая также выбирается произвольно. Очевидно, что величина z для различных точек одного и того же сечения будет раз-
лична. Однако для элементарной струйки, при бесконечно малых сечениях, это
различие очень мало, и мы будем измерять величину z, которая называется
геометрической высотой, или геометрическим напором, от линии сравнения до
центра тяжести выбранного сечения.
Если к центрам тяжести рассматриваемых сечений подведем пьезометрические трубки, то жидкость в них поднимется на некоторую высоту, характеризующую полное гидромеханическое давление. Эта высота, p g , называется
пьезометрической высотой, или пьезометрическим напором и представляет собой второе слагаемое в уравнении Бернулли.
Теперь к центрам тяжести тех же сечений подведем скоростные трубки
(трубки Пито). Скоростная трубка представляет собой пьезометр, нижний конец которой загнут на 900. Этот открытый конец устанавливаем в выбранной
точке строго против направления вектора скорости u. Уровень жидкости в скоростной трубке установится выше, чем в обычном пьезометре.
Объясним существование избыточного столба
жидкости hд в трубке Пито (Рис. 3.4).
hд
Избыточный столб жидкости должен вызвать, в соответствии с законом Торричелли, истечение жидкости из
скоростной трубки со скоростью c  2gh д . С другой
стороны, частицы жидкости стремятся войти в отверстие
скоростной трубки со скоростью u. Фактически жидкость
u
в трубке Пито находится в равновесии, следовательно

2
2
Рис.3.4. Трубка Пито u  c  2gh д , а u  2gh д . Тогда h д  u 2g .
Таким образом, разность высот в скоростной трубке и пьезометре равна
2
третьему слагаемому в уравнении Бернулли. Это слагаемое, u 2g , называется
скоростной высотой, или скоростным напором.
Из уравнения (3.22) и рисунка (3.3) видно, что при установившемся движении идеальной жидкости для любого живого сечения элементарной струйки
сумма трех напоров: геометрического, пьезометрического и скоростного – есть
величина постоянная, равная гидродинамическому напору.
Все члены уравнения Бернулли (3.22) имеют линейную размерность и в
энергетическом смысле представляют удельную энергию жидкости – энергию,
отнесенную к единице веса жидкости. В приведенном выражении z – удельная
потенциальная энергия положения; p g – удельная потенциальная энергия
2
давления; z  p g – удельная потенциальная энергия жидкости; u 2g –
удельная кинетическая энергия, выраженная через действительную скорость в
рассматриваемом сечении. Сумма всех трех членов z  p g  u 2 2g представляет полный запас удельной механической энергии в рассматриваемом сечении.
Поэтому уравнение Бернулли, с энергетической точки зрения, можно сформулировать так: полная удельная энергия 1 кг. идеальной жидкости не изменяется
по длине элементарной струйки, т.е. уравнение Бернулли представляет собой
частный случай закона сохранения энергии.
УРАВНЕНИЕ
БЕРНУЛЛИ
ДЛЯ
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ
СТРУЙКИ
РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ УСТАНОВИВШЕМСЯ ДВИЖЕНИИ
При движении элементарной струйки реальной жидкости общий запас
удельной механической энергии не может оставаться постоянным, как это рассматривалось при движении идеальной жидкости в результате появления вязкого сопротивления, на преодоление которого расходуется часть запаса энергии
движущейся жидкости.
Не вдаваясь в подробности возникновения различных видов вязких
сопротивлений, зависящих от условия течения жидкости, можно отметить, что
они чрезвычайно разнообразны по характеру и величине и появляются при
движении реальной жидкости.
Поэтому при движении жидкости вдоль струйки от одного сечения к
другому сечению расходуется некоторая часть энергии (напора) hw на
преодоление всех сопротивлений (сопротивления трения, местные
сопротивления). Следовательно, удельная механическая энергия реальной
жидкости по направлению ее движения, всегда уменьшается.
В этом случае уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной
жидкости при установившемся движении примет вид:
z 1  p1 g  u12 2g  z 2  p 2 g  u 22 2g   h w .
(3.23)
На рис. 3.5 приведена диаграмма уравнения Бернулли для элементарной
струйки реальной жидкости.
z
Напорная линия
u12
2g
Н1
u 22
2g
Пьезометрическая
линия
p1
g
p2
g
Н2
I
u1
u2
z1
II
О
Линия отсчета
z2
x
y
Рис. 3.5. Диаграмма уравнения Бернулли для элементарной
струйки реальной жидкости при установившемся движении
Так как общий запас удельной механической энергии вдоль потока непрерывно уменьшается, напорная линия всегда будет нисходящей, а полный гидродинамический напор во втором сечении будет равен Н 2  Н 1  h w .
Из рисунков 3.3 и 3.5 видно, что уровни жидкости в скоростных трубках
показывают величину полного гидродинамического напора в рассматриваемых
сечениях.
Если уравнение (3.23) умножить на g , то получим
(3.24)
gz 1  p 1  u 12 2  gz 2  p 2  u 22 2   h w .
Все слагаемые уравнения (3.24) имеют размерность давления и представляют энергию, отнесенную к единице объема.
Если уравнение (3.23) умножить на g , то получим
(3.25)
gz 1  p 1   u 12 2  gz 2  p 2   u 22 2  gh w .
2
В этом случае, члены уравнения (3.25) имеют размерность м с 2 и представляют энергию, отнесенную к единице массы.
УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ПОТОКА РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Известно, что поток жидкости, имеющий конечные размеры сечения, можно рассматривать как сумму бесконечно большого количества элементарных
струек, движущихся параллельно друг другу. Это утверждение справедливо для
установившегося и равномерного движения или плавно изменяющегося потока.
Когда рассматривается течение жидкости в элементарной струйке, скорость частиц принимается одинаковой для всех точек рассматриваемого элементарного сечения. Совершенно очевидно, что в различных точках живого сечения потока, имеющего конечные размеры, скорости частиц будут неодинаковы. Вследствие этого действительная кинетическая энергия в каком-либо живом сечении потока будет отличаться от кинетической энергии, подсчитанной
по средней скорости для данного сечения.
Отношение действительной кинетической энергии Ед к кинетической
энергии Еср, подсчитанной по средней скорости w для данного сечения площадью F, называют коэффициентом кинетической энергии, или коэффициентом
Кориолиса
u 2 dm
  u 3 dF

Е
2
 д  F
 F 2 ,
(3.26)
2
mw
Е ср
mw
2
где dm  udF .
С учетом этого, уравнение Бернулли для потока реальной жидкости можно
записать в следующем виде
z 1  p1 g   1 w 12 2g  z 2  p 2 g   2 w 22 2g   h w ,
(3.27)
где  h w   h l   h  – сумма потерь напора, которая складывается из суммы потерь
напора на трение (по длине участков трубопровода)  h l и суммы потерь напора на преодоление местных сопротивлений  h  .
Коэффициент Кориолиса  имеет определенную величину, зависящую от
режима движения жидкости, и характеризует степень неравномерности распре-
деления скоростей по живому сечению потока. Установлено, что для турбулентных потоков   1,05  1,1 . На практике чаще всего принимают   1 . В
некоторых случаях коэффициент  может превышать указанный выше предел,
например, при явно ламинарном режиме движения жидкости   2 .
УКЛОНЫ ПОТОКА
В гидравлике различают три вида уклонов потока – гидравлический I ,
пьезометрический I p и геометрический i .
Гидравлическим уклоном потока называется падение напорной линии на
единицу длины.
p 1  1 w 12  
p 2  2 w 22 

 z1 
  z2 



g
2g  
g
2g 
h w 
.
(3.28)
I

l
l
Уравнение (3.28) справедливо для случая, когда между рассматриваемыми
сечениями напорная линия будет прямой линией.
Если напорная линия криволинейна, то действительный гидравлический
h 
уклон различен в каждой точке кривой и равен I  lim w  .
 l  l 0
Гидравлический уклон величина всегда положительная. Для идеальной
жидкости I  0 , так как потери напора в этом случае равны нулю h w  0 .
Пьезометрическим уклоном потока называется падение пьезометрической линии на единицу длины.
p  
p 

 z 1  1    z 2  2 
g  
g 

.
(3.29)
Ip 
l
Пьезометрический уклон может быть величиной положительной, отрицательной и равной нулю. Это вызвано тем, что пьезометрическая линия может
быть и нисходящей, и восходящей и горизонтальной. Последние два случая
имеют место на расширяющихся участках трубопроводов, когда средняя скорость потока уменьшается, а давление увеличивается.
При равномерном движении (движение в трубопроводе постоянного сечения) гидравлический и пьезометрический уклоны равны между собой, так как
средние скорости во всех живых сечениях потока одинаковы.
z  z2
Геометрическим уклоном потока называется отношение 1
, т.е.
l
средний уклон осевой линии потока.
Очевидно, что если бы ось потока между рассматриваемыми сечениями
была прямолинейна, то приведенное отношение представляет собой действительный постоянный геометрический уклон потока
z  z2
.
(3.30)
i 1
l
Геометрический уклон, также как и пьезометрический уклон, может быть
величиной положительной, отрицательной и равной нулю.
УСЛОВИЯ ПРИМЕНЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ
Уравнение Бернулли имеет исключительное значение при решении самых
разнообразных практических задач гидродинамики. Применяя уравнение Бернулли, проводят расчет трубопроводов, гидролиний в системе гидроприводов,
определяют основные закономерности при истечении жидкости из отверстий и
насадок.
Однако, применять уравнение Бернулли для решения практических задач,
следует, принимая во внимание следующие указания.
Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости (3.27) получено применительно к условиям параллельноструйного или плавноизмеяющегося установившегося движения, и оно может быть применено для сечений, в которых
соблюдены все признаки такого движения.
Уравнение Бернулли составляют для двух живых сечений, нормальных к
направлению скорости. Эти сечения должны располагаться на прямолинейных
участках потока.
Одно из расчетных сечений, это сечение, где известны геометрический
напор, давление, скорость (чаще всего это свободная поверхность жидкости в
резервуаре). Второе сечение выбирают там, где требуется определить величину
давления или скорости. Так в случае истечения жидкости в атмосферу это, как
правило, сечение на выходе из трубопровода, или вторая свободная поверхность, в случае перетекания жидкости из резервуара в резервуар.
Нумеровать расчетные сечения следует по направлению движения жидкости от первого сечения ко второму. Если при определении гидродинамического
напора окажется, что потери напора hw получились со знаком «минус», это
означает, что направление движения жидкости выбрано неверно.
Горизонтальную плоскость сравнения желательно проводить через центр
тяжести выходного (второго) сечения, тогда z2 = 0, а z1 – будет величиной положительной. Для упрощения вычислений точки, для которых определяют координаты положения z и давления р, выбирают в центре тяжести выбранных
живых сечений.
Последний член уравнения (3.27) должен учитывать все потери напора
между расчетными сечениями как местные, так и потери на трение (по длине).
Определение потерь напора рассмотрим в следующих главах.
Если в одном из сечений один параметр (z, p, w) является неизвестным, то
из уравнения Бернулли находят соотношения для его определения. Если необходимо найти два неизвестных параметра, то решают систему уравнений, состоящую из уравнения Бернулли и уравнения неразрывности для потока жидкости (3.8).
ТРУБЧАТЫЙ РАСХОДОМЕР ВЕНТУРИ
Одним из примеров применения уравнения Бернулли служит устройство
для определения расхода однородных или неоднородных маловязких жидкостей, которое называют водомером или расходомером Вентури.
Конструктивно водомер Вентури состоит из конфузора (конически сходящийся участок) и диффузора (конически расходящийся участок), соединенных между собой цилиндрическим каh
1
либрованным участком трубы с диа2
метром d, меньшим, чем диаметр трубопровода D (Рис. 3.6).
3
Малая длина водомера (расстояние между сечениями I и II) и плавные
D
D w1
d
w2
переходы между его элементами позволяют пренебречь потерями напора в
II
приборе.
I
Составим уравнение Бернулли для
Рис. 3.6. Водомер Вентури
сечений I и II, полагая, что водомер
z 1  z 2 
 1   2  1 ,
расположен
горизонтально
и
тогда
p1 g  w 12 2g  p 2 g  w 22 2g или
(3.31)
p 1 g  p 2 g  w 22 2g  w 12 2g.
Из уравнения неразрывности для потока жидкости (3.8) можно сделать заключение, что скорость жидкости во втором сечении больше чем скорость в
первом сечении w 2  w 1 , очевидно, что w 22 2g w 12 2g . Тогда из уравнения
(3.31) следует, что p 1 g p 2 g , или р 1  р 2 .
Разность пьезометрических высот, обусловленная разностью давлений в
рассматриваемых сечениях равна (р 1  р 2 ) g  h .
Следовательно,
(3.32)
h  (w 22  w 12 ) 2g  w 12 2g(w 22 w 12 )  1.
В соответствии с законом неразрывности потока, заменяя скорости в зависимости
(3.22)
геометрическими
параметрами
водомера
Вентури
2
2
4
w 2  w 1 (D d) , получим h  w 1 2g(D d)  1, откуда
w 1  2gh ( D d) 4  1 .
(3.33)
Учитывая, что расход жидкости равен Vc  w 1 F1 , уравнение (3.33) можно
записать в виде
Vст  ( D 2 4)  2gh ( D d) 4  1  c h ,
(3.34)
4)  2g ( D d) 4  1 .
Для водомера, имеющего фиксированные значения D и d, с – величина постоянная, которая называется постоянной водомера Вентури.
где с  ( D
2
Следовательно, для определения расхода (уравнение (3.34)), необходимо
измерить перепад давлений в сечениях I и II с помощью пьезометров.
Допустим, что через водомер Вентури протекает постоянное количество
жидкости Vc  const под действием постоянного напора H  const .
Тогда пьезометрическая высота в сечении II (соответствующая избыточVc2
w 22
ному давлению) будет равна h и  Н 
H 2 .
2g
F2 2g
Линия 1, соединяющая уровни жидкости в пьезометрах (Рис. 3.6), показывает, что водомер Вентури находится под воздействием избыточного давления (уровень жидкости в пьезометре второго сечения установился выше осевой
линии, давление на которой равно атмосферному давлению).
Уменьшая диаметр цилиндрической вставки водомера d, при неизменном
расходе и напоре, во втором сечении избыточное давление может быть равно
Vc2
нулю (линия 2), т.е. Н  2 . Это условие справедливо, когда площадь в сеF2 2g
Vc2
чении II будет равна F2 
, при этом в центре тяжести второго сечения
2gH
установится атмосферное давление.
Vc2
Если окажется, что F2 
, то во втором сечении получим отрицатель2gH
ное избыточное давление, соответствующее вакуумметрическому давлению.
Уровень жидкости в вакуумметре, подсоединенному ко второму сечению водомера, установится на отметке ниже осевой линии (линия 3).
В действительности при движении жидкости через водомер Вентури имеются, хотя и относительно небольшие, потери напора, вследствие чего фактический расход будет меньше чем теоретический. Эта разница учитывается
умножением Vст на коэффициент расхода водомера   0,95  0,98 .
Окончательно фактический расход будет равен
Vc  Vст  с h .
(3.35)
Если поток в трубе находится под воздействием относительно большого
избыточного давления, то вместо пьезометров для определения перепада давления, целесообразно применять дифференциальный манометр (Рис. 2.20).
Рассмотрим другие способы и методы определения расхода жидкости.
Наиболее просто и вместе с тем достаточно точно расход жидкости можно
определить, применяя объемный или весовой способы измерения.
При объемном способе измеряют время заполнения определенного объема
V , или объем жидкости за фиксированное время  , тогда Vc  V  .
При весовом способе, взвешиванием на весах определяют вес жидкости G ,
поступившей в мерную емкость за время  . Зная плотность жидкости, определяют расход жидкости Vc  G g .
Применяют этим методы, обычно в лабораторной практике, при небольших значениях расход жидкости.
В практике, для измерения больших расходов, пользуются специальными
приборами, которые предварительно градуируют объемным или весовым способом.
Одним из таких приборов является водомер Вентури, принцип работы которого мы рассмотрели.
Очень часто, вместо вычисления по формуле (3.35) расход жидкости определяют по градуировочным кривым, построив зависимость Vc  f h  . Эта связь,
в соответствии с уравнением (3.35), получается параболической. Если по оси
абцисс откладывать квадрат расхода, то график этой зависимости будет представлять собой прямую зависимость между показанием пьезометров или манометра и расходом жидкости, что позволит повысить точность определения расхода.
Другим широко распространенным прибором для измерения расхода жидкости является водомерная шайба (диафрагма) (Рис. 3.7).
Края отверстия чаще всего имеют острые входные кромки под углом 450,
или выполняют закругленными, имеющими форму втекающей в отверстие
струи жидкости (сопло).
Два пьезометра, установленные до и после
h
диафрагмы, или дифференциальный манометр,
служат для измерения перепада давления, по величине.
Расход жидкости определяют по аналогичной,
как для водомера Вентури, зависимости.
Расход жидкости может быть также вычислен
Рис. 3.7. Водомерная шайба по результатам измерения скорости течения жидкости в живом сечении потока.
ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММЫ ПО УРАВНЕНИЮ БЕРНУЛЛИ
Рассмотрим примеры построения диаграммы с использованием уравнения
Бернулли для случаев истечения жидкости в атмосферу (Рис. 3.8.а) и под уровень (Рис. 3.8.b). Используя рекомендации по применению уравнения Бернулли, для случая истечения жидкости в атмосферу (Рис. 3.8.а) выберем первое сечение на свободной поверхности в резервуаре, а второе – на выходе из трубопровода. Линию сравнения (О-О) проведем через центр тяжести выходного сечения. В рассматриваемом случае горизонтальная линия сравнения совпадает с
осевой линией трубопровода. Уравнение Бернулли для выбранных сечений
можно записать в виде
z I  p I g   I w I2 2g  z II  p II g   II w II2 2g   h w .
(3.36)
Определим величины, входящие в уравнение Бернулли: для первого сечения – z I  H ; p I  p ат ; w I  0 - для установившегося движения напор Н не израт
I
Н
h
w 12
2g
w 22
2g
w 23
2g
О
w
w1
d1
w 23
2g
рат
w3
w2
d3
d2
О
II
а
рат
I
w 22
2g
w 12
2g
h
w
w 23
2g
Н
рат
II
О
О
w1
d1
w3
w2
d2
d3
b
Рис. 3.8. Построение диаграммы по уравнению Бернулли:
а. случай истечения жидкости в атмосферу; b. случай истечения жидкости под уровень.
меняется, поэтому скорость опускания уровня жидкости в резервуаре равна нулю;
для второго сечения – z II  0 ; p II  p ат ; w II  w 3 .
Подставив полученные значения в уравнение (3.36), получим
(3.37)
Н   3 w 23 2g   h w .
Следовательно, при истечении жидкости в атмосферу действующий напор
затрачивается на создание скоростного напора и на преодоление всех сопротивлений.
На рисунке 3.8.а показаны напорная и пьезометрическая линии для трубопровода переменного сечения в случае истечения жидкости в атмосферу.
Аналогично, для случая истечения жидкости под уровень (Рис.3.8.b), выберем первое сечение на свободной поверхности первого резервуара, а второе –
на свободной поверхности второго резервуара. Линию сравнения (О-О), в данном случае, целесообразно совместить с сечением II. Тогда в уравнении Бернулли (3.36) для первого сечения – z I  H ; p I  p ат ; w I  0 , а для второго сечения – z II  0 ; p II  p ат ; w II  0 , или
Н   hw .
(3.38)
Таким образом, при истечении жидкости под уровень действующий напор
затрачивается на преодоление всех сопротивлений.
Напорная и пьезометрическая линии для трубопровода переменного сечения, соединяющего два открытых резервуара, показаны на рисунке 3.8.b.
РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Глава четвертая
В природе существует два режима движения жидкости.
Один из режимов – ламинарный (слоистый) режим движения, при котором
частицы жидкости в потоке движутся упорядоченно в виде несмешивающихся
струек или слоев. Второй режим – турбулентный, при котором частицы жидкости имеют сложные неупорядоченные траектории движения, вследствие чего
происходит интенсивное перемешивание потока.
Естественно, что затрата энергии на перемещение определенного количества жидкости вдоль потока будет различна при различных режимах движения.
Если при ламинарном режиме энергия затрачивается только на продольное перемещение частиц жидкости вдоль потока, то при турбулентном, дополнительная энергия, затрачивается на поперечные перемещения частиц жидкости, связанные с неупорядоченным характером движения.
Поэтому для инженерной практики важно знать, какой режим движения
жидкости наблюдается в том или ином потоке.
О существовании в природе двух режимов движения жидкости было известно уже в XIX веке.
В 1869 году немецкий ученый Хаген отмечал, что закон сопротивления
движению жидкости зависит от режима движения.
В 1880 году русский ученый Менделеев в своем сочинении «О сопротивлении жидкости и о воздухоплавании» указывал на существование в природе
двух режимов движения жидкости с разным законом ее сопротивления.
Эта мысль была развита и доказана русским физиком Петровым, который,
в 1883 году, установил, что при смазке силы трения, определяемые вязким сопротивлением, при ламинарном режиме, пропорциональны первой степени
скорости.
Наиболее полные исследования жидкости в трубах были проведены английским физиком Рейнольдсом (1881-1883 г.), который предложил установку
для экспериментального определения режима движения жидкости.
Вода, из основного сосуда, поступает в горизонтальную стеклянную трубу,
имеющую на конце регулирующий кран. К центру начального сечения трубы,
по тонкой трубке, снабженной краном, подводится жидкая краска, из вспомогательного сосуда.
Если с помощью регулирующего крана установить в трубе скорость меньше некоторого критического значения, то в трубе образуется тончайшая окрашенная струйка, которая не смешивается с потоком воды по всей длине
трубы. Это свидетельствует о наличии ламинарного режима движения
жидкости в трубе.
Постепенно увеличивая скорость движения воды в трубе, можно
увидеть нарушение параллельноструйного движения. Окрашенная
струйка вначале принимает извилиРис. 4.1. Схема установки Рейнольдса
стую форму, затем в некоторых местах появляются разрывы струйки, а при достаточно больших скоростях, превышающих некоторую критическую величину
скорости, жидкая краска, поступающая в трубу, равномерно окрасит весь поток
жидкости. Это будет свидетельствовать о возникновении турбулентного режима движения жидкости.
Вместе с тем оказалось, что величины критических скоростей различны
для жидкостей с различной вязкостью и изменяются при изменении размеров
сечения потока. На основании исследований Рейнольдс установил, что границы
ламинарного и турбулентного режима движения жидкости необходимо определять не постоянной величиной скорости потока, а постоянно й величиной
числа Рейнольдса.
Полученное, по величине средней критической скорости w кр , критическое
число Рейнольдса Re кр  w кр d  является критерием, определяющим режим
течения жидкости в трубах.
Как показывают опыты, для труб круглого сечения Re кр  2300.
При Re Re кр течение является ламинарным, а при Re Re кр – турбулентным. Точнее говоря, развитое турбулентное течение в трубах устанавливается
при Re  4000, а при Re  2300  4000 наблюдается переходная область от ламинарного режима течения жидкости к турбулентному режиму течения.
Таким образом, зная скорость движения жидкости, ее вязкость и диаметр
трубы, можно определить значение числа Re и, сравнив его с Re кр , определить
режим течения жидкости.
На практике ламинарный режим течения жидкости наблюдается в основном при движении весьма вязких жидкостей, а турбулентное течение происходит в водопроводных трубах и при движении маловязких жидкостей.
В лабораторных условиях можно получить ламинарный режим течения
жидкости при значении числа Re , значительно превышающем Re кр . Однако в
этом случае ламинарное течение оказывается настолько неустойчивым, что достаточно незначительных возмущений (вибрация экспериментального стенда,
наличие примесей в жидкости), чтобы оно перешло в турбулентное течение.
Подводя итог вышесказанному, можно отметить, что установка Рейнольдса позволяет визуально наблюдать режим движения жидкости, что имеет большое значение для получения правильных физических представлений о происходящих процессах. Однако, для инженерной практики, необходимо аналитическое решение задачи по определению режимов движения жидкости по некоторым известным параметрам потока. Решение этой задачи основано на применении теории подобия.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ
Рассматривая вопросы, изучаемые в разделе «Гидродинамика» необходимо
помнить о сложности процессов, происходящих в движущейся жидкости, а в
связи с этим и сложности решений многих инженерных задач.
В этих условиях главную роль играет эксперимент, как единственный метод первоначального изучения явления или процесса, в правильном сочетании
его с математическим анализом. При проведении таких экспериментов устанавливают функциональную зависимость исследуемого параметра N от многочисленных факторов n1, n2, n3, …, ni, от которых величина N зависит. Другими
словами, обработка опытных данных эксперимента должна привести к обобщенной математической зависимости, отображающей закон исследуемого явления или процесса, которая позволит аналитически определить числовое значение параметра N
N  f n 1 , n 2 , n 3 ,...n i .
(4.1)
Задача обработки экспериментальных данных значительно усложняется,
если отсутствует теория исследуемого явления и вид формулы заранее не установлен. Очень часто приходиться исходить из предположительных гипотез о
сущности и механизме явления, механически подбирая уравнения кривых более
или менее удовлетворительно совпадающих с экспериментальными кривыми. С
другой стороны, если хотя бы в общих чертах, неизвестно строение искомой
формулы достаточно трудно выбрать условия эксперимента, при котором получаемые частные результаты могли бы быть обобщены.
В этих случаях, законы сочетания аналитических и экспериментальных исследований в значительной степени определяет теория подобия – наука о правильной организации и проведении эксперимента и теория размерностей.
Широкое распространение в экспериментальной практике получил метод
моделирования, при котором исследуется не сам процесс или машина, а их модели, выполненные, как правило, в уменьшенном масштабе. Но моделирование
дает правильные результаты только тогда, когда модель достоверна, когда она
подобна процессу, когда по измеренным в ходе эксперимента ее характеристикам можно получить простым пересчетом соответствующие характеристики
исследуемого процесса, что, в конечном итоге, является целью любого эксперимента. Наличие такого подобия позволит распространить полученные на модели результаты не только на рассматриваемое натурное явление, но и на целый ряд подобных ему процессов. При этом теория подобия дает ответ, какие
условия необходимы и достаточны для существования подобия двух или более
систем, какие физические величины необходимо измерять в процессе исследования, как обрабатывать результаты исследований, чтобы их можно было
распространить на все подобные процессы и явления.
УСЛОВИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕКОГО ПОДОБИЯ.
КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ
Итак, для того чтобы перенести результаты эксперимента, полученные на
модели, на натурный процесс необходимо, чтобы оба процесса были подобны.
Подобными называют явления, протекающие в геометрически подобных
системах, в которых наблюдаются процессы одинаковой физической природы и
одноименные величины имеют постоянное между собой отношение.
Гидродинамические процессы будут подобны, если соблюдается геометрическое, кинематическое и динамическое (материальное) подобие.
Рассмотрим каждое из условий подобия натурного и модельного процессов.
Геометрическое подобие – подобие форм двух тел или объектов. Геометрическое подобие предполагает пропорциональность всех сходственных размеров натурного и модельного процессов, а также равенство углов в сходственных точках. Присвоим величинам натурного процесса индекс «н», а величинам,
относящимся к модельному процессу индекс «м». Тогда, в соответствии с
определением, линейный масштаб подобия можно записать в следующем виде
l  lм lн
(4.2)
где l м и l н – сходственные линейные размеры.
Подобные масштабы геометрического подобия можно получить для площади, которая представляет собой квадрат линейной величины, и объема, соответственно, куб линейной величины, т.е. Fм Fн  l м2 l н2  2   f – масштаб подобия площадей и Vсм Vсн  l м3 l н3  3   v – масштаб подобия объемов.
Сходственными точками в геометрически подобных системах называют
такие точки, которые одинаково расположены к границам этих систем, и отношения координат которых равны линейному масштабу подобия
x м х н  ; y м y н  ; z м z н   l .
Кинематическое подобие – подобие движения. Основное требование,
предъявляемое к кинематическому подобию это то, что траектории движения
сходственных частиц жидкости модельного и натурного процессов за любые
сходственные промежутки времени должны быть подобны. Кинематическое
подобие предполагает пропорциональность скоростей и ускорений в сходственных точках и равенство углов, характеризующих направление этих скоростей и ускорений. В качестве постоянной кинематического подобия выбран
масштаб времени
   м н .
(4.3)
Сходственными обычно называют такие промежутки времени  м и  н , которые относятся к подобным системам и имеют общее начало отсчета.
Так как w  l  , масштаб скорости будет равен
w  l  .
(4.4)
Кинематическое подобие возможно только при соблюдении геометрического подобия.
Динамическое подобие – подобие масс и сил. Динамическое подобие предполагает пропорциональность сил действующих на сходственные объемы модельного и натурного процесса и равенство углов, характеризующих направление этих сил. Этого возможно достичь при соблюдении кинематического подобия в геометрически подобных системах. Таким образом, наличие всех видов
подобия двух систем обеспечивает их полное гидродинамическое подобие.
Рассматривая подобие масс модельного и натурного процесса, получим
(4.5)
m м m н   м Vм  н Vн    3l   m ,
где     м  н – масштаб плотности, а  m – масштаб масс.
По второму закону Ньютона силы инерции определяются произведением
массы на ускорение, т.е. Р  mа , их отношение в подобных системах равно
масштабу сил
Р м Р н  m м а м m н а н    3l  l 2    2w 2l   Р .
(4.6)
Таким образом, силы инерции пропорциональны плотности, скорости во
второй степени и характерному линейному размеру во второй степени.
Заменяя, в зависимости (4.6), масштабы подобия соответствующими отношениями физических величин, после несложных преобразований получим
(4.7)
Р м  м l м2 w м2  Р н  н l н2 w н2  idem .
Это отношение, одинаковое для подобных систем, является общим критерием гидродинамического подобия справедливым для любых сил и называется
критерием Ньютона
(4.8)
Ne  P l 2 w 2  Pl mw 2 .
Для достижения полного гидродинамического подобия необходимо обеспечить пропорциональность всех одновременно действующих на жидкость сил
– трения, давления, тяжести, инерции и др. Однако практически это условие
выполнить невозможно. Поэтому обычно имеют дело с неполным подобием,
обеспечивая пропорциональность лишь тех сил, которые в изучаемом процессе
являются доминирующими.
Если в выражение (4.7) вместо силы Р подставить доминирующую силу,
то получим соответствующий критерий подобия, который при моделировании
данного процесса будет критерием полного гидродинамического подобия.
При движении реальных жидкостей доминирующей является сила трения
между
частицами
жидкости,
обусловленная
ее
вязкостью
2
Р  F(du dy )  l (w l )  wl . Подставив полученное выражение силы Р в
зависимость (4.7), можно записать, что  м w м l м  м l м2 w м2   н w н l н  н l н2 w н2 или
(4.9)
 м  м l м w м   н  н l н w н  idem
Безразмерная величина lw  является критерием гидродинамического
подобия сил внутреннего трения и называется критерием Рейнольдса
Re  lw  .
(4.10)
Число Рейнольдса является величиной, пропорциональной отношению сил
инерции к силам трения.
Очень часто, в качестве характерного линейного размера l , в критерии
Рейнольдса принимается диаметр трубы d . С учетом этого и, заменяя в выражении (4.10) коэффициент динамической вязкости коэффициентом кинематической вязкости   , получим
Re  wd  .
(4.11)
Из выражения (4.9) легко получить соотношения, позволяющие перехоl 
дить от скоростей в модели к скоростям в натуре w н  w м м н . Если принять,
lн и
что  м   н , то w н  w м  .
Если в рассматриваемой системе решающее значение имеют силы инерции
и силы давления, то определяющим критерием гидродинамического подобия
служит критерий Эйлера.
Запишем выражение для определения силы давления Р  рF  pl 2 , тогда
условие (4.7) примет вид
(4.12)
р м  м w м2  р н  н w н2  idem .
Равенство этих отношений, для модельного и натурного процессов, свидетельствует о подобии систем с доминирующей силой давления.
Безразмерный комплекс р  w 2 называется критерием Эйлера – критери-
ем подобия сил давления
Eu  р  w 2 .
(4.13)
Критерию Эйлера придают несколько иной вид, заменяя абсолютное давление р разностью давлений р
Eu  р  w 2 .
(4.14)
Физический смысл критерия Эйлера заключается в пропорциональности
отношения сил давления к силам инерции.
Рассмотрим случай, когда определяющей силой, действующей на систему,
является сила тяжести. Тогда Р  gV  gl 3 и условие (4.7) примет вид
 м g м l м3  м w м2 l м2   н g н l н3  н w н2 l н2 или
(4.15)
g м l м w м2  g н l н w н2  idem .
Безразмерная величина w 2 gl называется критерием Фруда
(4.16)
Fr  w 2 gl .
Равенство чисел Фруда в соответственных точках потоков, удовлетворяющих геометрическому, кинематическому и материальному подобию, обеспечивает подобие сил тяжести. За величину l может быть принята любая характерная линейная величина. Из выражения (4.16) понятно, что число Фруда – это
величина, пропорциональная отношению сил инерции к силам тяжести.
Как мы уже отмечали, при одновременном учете действия различных сил
полное подобие модельного и натурного процессов осуществить практически
невозможно. Рассмотрим пример, когда необходимо учесть одновременное
действие сил тяжести и сил внутреннего трения. При этом потребуется соблюдение равенств Fr м  Fr н и Re м  Re н , что в конечном итоге приведет к выражению  м   н 3l 2 . Это означает, что, применяя одну и ту же жидкость на модели и в натуре (  м   н ), добиться подобия невозможно. Также невозможно
подобрать для лабораторных исследований на модели такую жидкость, вязкость которой была бы в 3 2 раза меньше, чем вязкость жидкости в натуре.
Необходимо отметить, что очень часто не удается осуществить полное подобие из-за того, что на практике невозможно достичь подобия шероховатостей
поверхностей.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ
При различных гидравлических исследованиях приходиться устанавливать
функциональные зависимости между физическими величинами, оказывающими влияние на исследуемые явления, которые могут быть получены из анализа
размерностей. В основе этого метода лежит так называемая Пи-теорема, или
теорема Бэкингема, основанная на том, что функциональная зависимость между n физическими размерными величинами всегда может быть преобразована в
уравнение, содержащее m безразмерных комбинаций тех же физических величин (так называемых чисел  ). Разность n  m  z представляет собой число
первичных (основных) единиц, например, в гидравлике – единицы длины, времени и массы, а в теплотехнике к перечисленным величинам добавляется еще
температура.
Предположим, что функциональная зависимость, исследуемого явления
представлена в следующем виде:
N  f n 1 , n 2 , n 3 ,...n к  ,
(4.17)
где n – все физические и геометрические величины, характерные для данного
исследования.
В общем случае в функциональную зависимость (4.17), включая и исследуемый параметр N , входят к  1 величин. Некоторые из этих величин могут
быть переменными, другие постоянными, какие то величины могут быть размерными, а другие отвлеченными, но при любых условиях функциональная зависимость (4.17) должна быть независимой от выбора системы единиц измерения, так как она выражает физический закон. От выбора системы единиц измерения будет зависеть лишь численное значение величин N или n .
При гидравлических исследованиях оказывается целесообразным из числа
n переменных выбрать следующие три величины с независимыми размерностями, включающими в себя три основных единицы (длины, времени и массы):
1. характерный линейный размер, как правило, для труб круглого сечения
это диаметр трубопровода – [d] = м;
2. средняя скорость потока – [w] = мс-1;
3. плотность жидкости – [] = кгм-3.
Через основные величины можно выразить размерность любой величины,
входящей в функциональные зависимости, исследуемые в большинстве случаев
в гидравлике. При подобном выборе единиц измерения размерности всех
остальных (к  1  3) величин, входящих в зависимость (4.17), могут быть выражены в виде произведения некоторых степеней основных единиц
[N]  [w ] x [d] y [] z ; [n i ]  [w]x [d]y []z .
(4.18)
Численное значение величин N и n i , в выбранной системе единиц, может
быть представлено как произведение некоторого отвлеченного числа  или  i
на произведение степеней единиц основной системы
N    w xd y  z ; ni  i  w x dy z .
(4.19)
Значение отвлеченных чисел  и  i можно вычислить по формулам
(4.20)
  N (w x d y  z ) ;  i  n i (w x d y  z ) .
Так как величины w, d и  приняты за основные, то отвлеченные величины  и  i можно рассматривать как безразмерное (относительное) значение N
и n i . Из этого следует, что относительное значение каждой из величин, входящих в функциональную зависимость (4.17), оказывается уменьшенным в
w x d y  z или w x d y  z раз и зависимость (4.17) может быть представлена в виде
безразмерных комплексов
n1
n2
nk


N
(4.21)

f
,
,...,

.
 wx dy z wx dy z
w xdyz
w x d y  z 

Показатели степеней x i , y i , z i находят из условия безразмерности числа
 i , т.е. путем сравнения размерностей левой и правой частей при первичных
единицах – метр, секунда и килограмм.
Применяя методы теории размерностей к исследованию различных закономерностей, в частности, гидравлических, необходимо отметить два свойства
 -теоремы, которые непосредственно вытекают из анализа размерностей величин, входящих в функциональную зависимость. Первое из них можно сформулировать так, если в числителе и знаменателе содержаться величины с одинаковой размерностью, то число  представляет собой отношение этих величин. Второе свойство – если в числителе и знаменателе имеются одинаковые
величины, то число  равно единице (   1 ).
Равенство безразмерных величин  i в подобных потоках выражает равенство относительных значений соответствующих физических величин, поэтому
эти величины могут представлять собой соответствующие критерии подобия.
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
1
1
1
2
2
2
k
k
k
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ГИДРАВЛИЧЕСКИХ СОПРОТИВЛЕНИЯХ.
ПРИНЦИП НАЛОЖЕНИЯ ПОТЕРЬ НАПОРА
Прежде чем, воспользуемся  -теоремой для исследования конкретной
гидравлической закономерности рассмотрим общие сведения о гидравлических
сопротивлениях.
Определение потерь напора – одна из основных задач практически любого
гидравлического расчета. Однако необходимо отметить, что исследование гидравлических сопротивлений возможно только для установившегося движения
жидкости. Для неустановившегося движения нет способов их определения, поэтому в гидравлике результаты исследований сопротивлений установившегося
движения переносят и на неустановившееся движение.
Рассматривая уравнение Бернулли для потока реальной жидкости (3.27),
мы отмечали, что суммарные потери напора складываются из двух видов потерь – это потери напора на трение (по длине участков трубопровода) и потери
напора на преодоление местных сопротивлений. К потерям напора по длине
трубопровода относятся потери напора на прямолинейных участках трубопровода. К потерям напора в местных сопротивлениях можно отнести потери
напора на таких коротких участках трубопровода, в которых наблюдается изменение скорости по величине или направлению и нарушается конфигурация
потока. Таким образом, вход в трубопровод, расширения и сужения (внезапные
и постепенные) трубопроводов, различные повороты, вентили, клапаны и т.д.,
представляют собой так называемые местные сопротивления. Одной из особенностей, протекания жидкости через местные сопротивления, является возникновение интенсивных вихреобразований, при затухании которых, вследствие
вязкости и деформации жидкости, их энергия необратимым образом преобразуется в тепловую энергию. Эта часть энергии и рассматривается как потери, обусловленные местными гидравлическими сопротивлениями.
В общем случае трубопровод представляет собой совокупность большого
числа разнообразных гидравлических сопротивлений, включающих в себя как
прямолинейные участки с разными диаметрами, так и различные местные сопротивления. При определении суммарных потерь напора, что необходимо при
гидравлических расчетах, исходят из так называемого принципа наложения потерь. Сущность этого принципа заключается в том, что полная потеря напора
определяется как арифметическая сумма потерь, вызванных каждым сопротивлением в отдельности. Следует отметить, что при таком способе возможны некоторые неточности в определении полных потерь, то есть суммарные потери
всей системы в целом меньше арифметической суммы потерь. Это вызвано тем,
что каждое сопротивление, создавая соответствующее возмущение на смежных
к нему участках, изменяет нормальное сопротивление этих участков. Особенно,
это относится к потерям напора в местных сопротивлениях, если они расположены в непосредственной близости одно от другого. Для восстановления нормальной структуры потока необходимо расстояние между сопротивлениями
(участок стабилизации) не менее ( 30  40)  d . На практике это условие очень
часто не выполнимо.
В качестве примера, применим  -теорему для выявления функциональной зависимости при определении потерь давления на участке цилиндрической
трубы длиной l и диаметром d .
На основании многочисленных экспериментальных исследований и практического опыта установлено, что потери давления по длине трубопровода за-
висят от средней скорости движения w , диаметра трубы d , ее длины l , шероховатости стенок трубопровода  , вязкости жидкости  и плотности  .
Таким образом, функциональная зависимость для определения потерь давления может быть представлена в виде
р  f w , d, l ,  ,  ,   .
(4.22)
Число переменных, входящих в функциональную зависимость, n  7 , три
величины представляют собой число первичных (основных) единиц – длины,
массы и времени, следовательно, в соответствии с  -теоремой, должны получить уравнение, содержащее m  4 безразмерных комбинаций тех же физических величин.
Как мы уже отмечали при гидравлических исследованиях, в качестве основных величин с независимыми размерностями, приняты величины w, d и  .
В этом случае, а также с учетом второго свойства  -теоремы, зависимость
(4.22) можно записать в следующем виде

р


l



f

,
,
,
1
,
1
,
1

или

 w x dy z w x dy z wx dy z

(4.23)
w xd yz




  f  1 ,  2 ,  3 ,1,1,1

Определим все показатели степеней из условия безразмерности всех чисел
 , учитывая, что четыре переменные р, l,  ,  в зависимости (4.23) имеют
следующие размерности в единицах системы СИ: [р]  кг  м 1  с 2 ; [l]  м ;
[]  м ; [ ]  кг  м 1  с 1 .
На основании первого свойства  -теоремы видно, что  1  l d – симплекс
геометрического подобия, а  2   d – относительная шероховатость.
Значения  и  3 найдем, записав следующие зависимости:
[кг  м 1  с 2 ]    [м  с 1 ] x  [м] y  [кг  м 3 ] z и
[кг  м 1  c 1 ]   3  [м  с 1 ]x  [м]y  [кг  м 3 ]z .
Показатели степени при кг.:
1  z; 1  z 3 ;
Показатели степени при м.:
 1  x  y  3z; - 1  x 3  y 3  3z 3 ;
Показатели степени при с.:
 2   x; - 1  -x 3 .
Решая совместно полученные уравнения, определим значения показателей
степеней
x  2; y  0; z  1;
x 3  1; y 3  1; z 3  1.
р

1
Таким образом,   2  Eu, а  3 
и выражение (4.23) мы

w 
wd Re
р
l  1 
 f ; ;
можем представить в виде
 или, учитывая пропорциональ2
w
 d d Re 
1
1
1
2
3
2
2
3
3
3
3
3
ность между потерями давления р и симплексом подобия l d , в виде
р 1 l
 1 
 1 
   2  f1  ;
 . Обозначив функцию 2f 1  ;  через  и учиты2
w
2 d
 d Re 
 d Re 
вая, что р  gh l , окончательно получим формулу для определения потерь
напора по длине трубопровода, которая называется формулой Дарси или первой
водопроводной формулой
l w2
hl  
,
(4.24)
d 2g
 1 
где   f 1  ;
 – коэффициент гидравлического трения, коэффициент Дарси.
 d Re 
ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РАВНОМЕРНОГО
ДВИЖЕНИЯ РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Рассмотрим движение реальной жидкости в трубопроводе постоянного
диаметра вдоль всего рассматриваемого участка (рис. 4.2). Очевидно, это движение будет установившимся, равномерным. Для установления основного
уравнения этого движения воспользуемся уравнением Бернулли для сечений I
и II – z 1  p1 g  w 12 2g  z 2  p 2 g  w 22 2g   h l .
При равномерном движении скорость потока в выбранных сечениях одинакова ( w 1  w 2 ) , поэтому можно
w 12
hl
записать равенство
g
2
w2
p
p
z 1  1  z 2  2  h l , откуда
g
g
g
р1
p1  
p 

g
   z 2  2  ,
р2
h l   z 1 
g  
g 

l
р1
g
где h l – потеря напора на преодоление сил трения частиц жидкости
о стенки трубопровода на рассматРтр
р2
риваемом участке длиной l .
z1
G
В рассматриваемом элементе
z2
равномерного потока перемещение
частиц жидкости происходит под
О
О
l  cos 
действием силы тяжести G ,
I
II
направленной по вертикали, сил
Рис. 4.2. Схема к выводу основного уравнения
гидродинамического давления Р 1 и
равномерного движения жидкости в трубе
Р 2 , действующих вдоль оси потока
и силы трения жидкости о стенки трубопровода Р тр , действующей вдоль оси
потока противоположно направлению движения.
Запишем зависимости для определения всех действующих сил и составим
уравнение проекций этих сил вдоль направления движения потока:
сила тяжести G  gFl , ее проекция на направление движения G  cos  ,
где cos   z 1  z 2  l ,  – угол между направлением потока и осью ОО; сила трения
Р тр  l , где  – касательные напряжения,  – смоченный периметр; сила, обусловленная гидродинамическим давлением Р  Р 1  Р 2  р 1  р 2 F . С учетом этого, уравнение проекций внешних сил можно записать в следующем виде
p
p
 l
gF z 1  z 2   p 1  p 2   F  l  0 , или z 1  z 2  1  2 
.
g g gF
После несложных преобразований получим уравнение проекций в виде
p  
p 

 l
 z 1  1    z 2  2   h l 
.
(4.25)

g

g

gF

 

Равенство (4.25) представляет основную закономерность установившегося
равномерного движения реальной жидкости – потери напора на преодоление
сопротивления движению жидкости по длине трубопровода h l пропорциональны касательным напряжениям  на стенке трубы.
Из равенства (4.25), с учетом зависимостей (3.6 и 3.28), можно определить
касательные напряжения сил внешнего трения жидкости о стенки круглого горизонтального трубопровода
r
(4.26)
  gIR  gI ,
2
где r – радиус трубы,
или

 gIR  u 2д .

(4.27)
Величина u д

(4.28)
 gIR

называется динамической скоростью потока.
Из выражения (4.26) нетрудно убедиться, что касательные напряжения
имеют наибольшее значение на стенке
трубопровода. На оси трубопровода при
r  0 касательные напряжения равны нулю   0 .

На рис. 4.3 показан закон распределения касательных напряжений по жиРис. 4.3. Эпюр касательных напряжений
вому сечению круглого трубопровода.
uд 
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Глава пятая
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ ПО ЖИВОМУ СЕЧЕНИЮ
КРУГЛОЙ ТРУБЫ. ФОРМУЛА СТОКСА
В ламинарном потоке вязкие сопротивления подчиняются закону вязкости
Ньютона (1.12), в связи с этим появилась возможность аналитически определить закон распределения скоростей по живому сечению потока, т.е. установить вид функции u  f r  . Знание этой функции позволит определить все
остальные параметры, характеризующие поток – секундная подача V c ; средняя
скорость w ; потери напора h l и др.
Пусть в горизонu
тальной круглой трубе
радиуса r имеет место
dу
ламинарное равномерное
у
движение жидкости.
r
На основании уравнения равномерного двиu max
жения жидкости касательные напряжения в
Рис. 5.1. Схема к выводу закона Стокса
потоке жидкости равны
y
du
d
r
.
  gIR  gI  gI  gI , а по закону вязкости Ньютона   
dy
4
2
2
При этом очевидно, что
y
du
,
(5.1)
gI  
2
dy
откуда
gI
(5.2)
du  
 y  dy .
2
После интегрирования выражения (5.2) получим
gI 2
(5.3)
u
 y  c,
4
постоянную интегрирования с найдем, учитывая следующее условие, что у
стенки трубопровода, при y  r скорость движения частицы равна нулю u  0 ,
gI 2
т.е. с 
r .
4
Подставляя значение с в выражение (5.3) получим
gI 2
(5.4)
r  y 2 .
u
4
Выражение (5.4), характеризует закон распределения скоростей по живому
сечению потока при ламинарном режиме движения жидкости и называется
формулой Стокса.
Из полученного равенства следует, что при равномерном ламинарном
движении жидкости в круглой трубе скорости, по живому сечению потока, распределены по параболическому закону. Пространственная форма эпюры скорости (Рис. 5.1) представляет собой параболоид вращения.
Нетрудно убедиться, что максимальная скорость потока имеет место на
оси трубы ( у  0 )
gI 2 gI 2
(5.5)
u max 
r 
d .
4
16
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСХОДА ЖИДКОСТИ И СРЕДНЕЙ СКОРОСТИ
Рассмотрим поток жидкости через поперечное сечение круглой трубы радиуса r (Рис. 5.1). Выделим в этом потоке элементарный слой жидкости с площадью сечения dF , заключенный между концентрическими окружностями радиуса y и y  dy . Площадь кольцевого слоя жидкости с достаточной точностью можно определить из выражения dF  2ydy .
По закону неразрывности потока элементарный расход dVc жидкости равен dVc  u  dF , или с учетом зависимости (5.4)
gI 2
(5.6)
r  y 2   2ydy  gI r 2 y  y 3   dy
dV c 
4
2
Проинтегрировав выражение (5.6), в пределах от у  0 до у  r , получим
полный расход через поперечное сечение круглой трубы
gI 2 r
gI r 3
gI 4 gI 4
(5.7)
Vc 
 r  ydy 
y dy 
r 
d .

2
2 0
8
128
0
Вычислим среднюю скорость потока на основании известной зависимости
Vc 4Vc 4gId 4 gI 2
w



d .
(5.8)
F d 2 128 d 2 32
Сравнивая выражения (5.8 и 5.5) находим, что средняя скорость при ламинарном течении в два раза меньше максимальной скорости
w  0,5u max .
(5.9)
ПОТЕРИ НАПОРА ПО ДЛИНЕ КРУГЛОГО ТРУБОПРОВОДА ПРИ
ЛАМИНАРНОМ ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ. ФОРМУЛА ПУАЗЕЙЛЯ
Для установления закона сопротивления (потерь напора) по длине круглого трубопровода при ламинарном движении жидкости, из зависимости (5.8)
определим падение напора на единицу длины трубопровода I  h l l
h
32
I l 
w , или
(5.10)
l
gd 2
32l
(5.11)
hl 
w.
gd 2
Полученную зависимость (5.11) называют формулой Пуазейля и применяют для расчета трубопровода с ламинарным движением жидкости.
Из полученного выражения следует, что потери напора по длине трубопровода при ламинарном режиме движения жидкости прямо пропорциональны
средней скорости в первой степени и зависят от линейных размеров трубопровода ( l, d ) и свойств жидкости (  ), но не зависят от шероховатости труб.
Ранее было установлено, что в общем случае потери напора по длине трубопровода можно определить по зависимости (4.24).
l w2
Поэтому приведем зависимость (5.11) к виду формулы Дарси h l  
,
d 2g
для чего числитель и знаменатель этого выражения умножим соответственно на
64lw 2
.
2w и получим, что h l 
2gd 2 w
После несложных преобразований окончательно найдем
64 l w 2 64 l w 2
hl 

.
(5.12)
dw d 2g Re d 2g
Анализируя зависимость (5.12) можно увидеть, что коэффициент гидравлического трения для ламинарного режима движения жидкости равен
64
.
(5.13)

Re
Зная закон распределения скоростей по живому сечению потока (5.4) и зависимость для определения средней скорости (5.8) можно определить коэффициент Кориолиса  (3.26), учитывающий неравномерность распределения скоростей в уравнении Бернулли для равномерного ламинарного движения жидкости
3
F u dF
(5.14)

 2.
w 3F
Следовательно, действительная кинетическая энергия ламинарного потока
с параболическим распределением скоростей в 2 раза превышает кинетическую
энергию того же потока, но при равномерном распределении скоростей.
НАЧАЛЬНЫЙ УЧАСТОК ЛАМИНАРНОГО ПОТОКА
Только что рассмотренная теория ламинарного течения жидкости в круглой трубе хорошо подтверждается экспериментальными исследованиями. Однако в отдельных случаях, например течение на начальном участке трубы, где
происходит формирование параболического профиля скоростей, полученный
закон сопротивления нуждается в некоторых поправках.
Как показывает анализ течения жидкости в прямом трубопроводе круглого
сечения, распределение скоростей по сечению трубы в непосредственной близости от входа получается практически равномерным (Рис. 5.2).
d
w ср
x
lнач
Рис. 5.2. Формирование профиля скоростей на начальном участке
Но затем под действием сил вязкости происходит перераспределение действительных скоростей по живому сечению потока. На некотором расстоянии
от начала трубы lнач устанавливается характерный для ламинарного течения параболический профиль скоростей. Этот участок, на котором формируется (стабилизируется) параболический профиль скоростей, называется начальным
участком течения или участком стабилизации.
Для определения длины начального участка можно воспользоваться приближенной формулой немецкого ученого Шиллера
l нач d  0.029 Re .
(5.15)
Сопротивление на начальном участке трубы получается больше, чем на
участке стабилизированного течения жидкости. Это вызвано тем, что градиент
скорости dw dy у стенки трубы на начальном участке больше, чем на участке
стабилизированного течения, соответственно больше и касательное напряжение, определяемое по формуле Ньютона. Причем, касательное напряжение будет тем больше, чем ближе рассматриваемое сечение к началу трубы, т.е. чем
меньше расстояние х.
Когда длина l трубы больше длины lнач начального участка, полная потеря
напора определяется как сумма потери напора на начальном участке и потери
напора на участке стабилизированного течения
1 
l  w2
hl 
.
(5.16)
 0.165  64  
Re 
d  2g
При достаточно большом значении относительной длины l d трубопровода дополнительным слагаемым в скобках, равным 0,165 можно пренебречь и
определять потери напора при ламинарном режиме течения жидкости по зависимости (5.12).
ТУРБУЛЕНТНЫЙ РЕЖИМ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Глава шестая
ОСОБЕННОСТИ И СТРУКТУРА ТУРБУЛЕНТНОГО РЕЖИМА
ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Основной особенностью турбулентного движения является наличие в сечениях потока поперечных скоростей. Это вызывает увеличение фактического
пробега частиц жидкости по сравнению с перемещением массы потока вдоль
оси трубы и обмен жидкостью между струйками. Эти явления приводят к увеличению потерь напора h l по длине трубопровода и оказывают существенное
влияние на закон распределения скоростей по живому сечению потока, т.е. на
вид функции u  f r  , знание которой позволяет аналитически определить все
основные параметры потока.
Хаотический пульсирующий характер движения отдельных частиц усложняет изучение турбулентности, исследования которой в большинстве случаев
носят полуэмпирический характер и сводятся к изучению осредненных характеристик.
Зафиксируем в турбулентном потоке жидкости произвольную точку с
кординатами x, y, z. Значение
u
скорости u в этой точке, в
некоторый момент времени,
принято называть мгновенной
скоростью.
Несмотря на кажущуюся
u
u
беспорядочность
изменения
мгновенных
скоростей
в
турбулентном потоке, колебания
этих
скоростей происходят


около некоторой постоянной
скорости
называемой
u,
Рис. 6.1. Пульсация скорости в турбулентном потоке осредненной скоростью.
Для определения площади
под кривой мгновенных скоростей найдем интеграл за некоторый промежуток
времени , воспользовавшись теоремой о среднем

 ud  u  .
(6.1)
0
Из выражения (6.1) найдем осредненную скорость
1
u   ud  ,
(6.2)
0
которая равна высоте прямоугольника с основанием , равновеликого по площади криволинейной фигуре, ограниченной сверху графиком мгновенных скоростей, снизу – осью времени, а с боков вертикальными отрезками.
Из приведенного анализа следует, что мгновенную скорость u частиц
жидкости можно рассматривать как сумму осредненной скорости u и некоторой добавки u  , значение которой непрерывно меняется во времени. Эту величину u  называют пульсационной скоростью, а явление изменения скоростей в
данной точке пространства занятого жидкостью называется пульсацией
скоростей. Таким образом, полная скорость в некоторой точке потока равна
(6.3)
u  u  u ,
откуда u   u  u .
Практически турбулентное течение всегда является неустановившимся, так
как значения скоростей и давлений, а также траектории частиц, изменяются по
времени. Однако его можно рассматривать как установившееся течение при
условии, что осредненные по времени значения скоростей, давлений, и полный
расход потока не изменяются со временем.
Процесс непрерывного перемешивания слоев жидкости в турбулентном
потоке вызывает появление дополнительного трения, которое оказывается во
много раз больше, чем трение при ламинарном режиме движения жидкости.
Экспериментальные исследования показывают, что турбулизация потока возрастает с увеличением числа Рейнольдса. Вместе с тем, каким бы ни был закон
распределения скоростей в сечении турбулентного потока, скорость у стенки
всегда равна нулю, увеличиваясь к оси потока. Следовательно, у стенки трубопровода должен существовать слой жидкости с ламинарным режимом течения,
толщина которого зависит от значения числа Рейнольдса.
Этот «пристенный» слой обнаружен и
п
исследован немецким ученым Прандтлем,
который предложил модель турбулентного
потока (Рис. 6.2).
Турбулентное ядро
Согласно этой модели у стенки трубы
образуется тонкий слой жидкости  л с лал
минарным режимом течения жидкости.
Большая часть потока в трубе занята
Рис. 6.2. Модель турбулентного потока турбулентным ядром. От пристенного
слоя, вследствие наличия на стенке трубы
выступов шероховатости, отрываются отдельные вихри, которые вызывают в
центральном турбулентном ядре поперечные токи. Кроме того, на этой модели
можно выделить еще один, так называемый, переходный слой толщиной  п , в
котором происходит переход от пристенного слоя с ламинарным режимом
движения к турбулентному ядру потока.
Полную аналогию с моделью турбулентного
потока Прандтля представляет график Гуржиенко
Ядро
(Рис 6.3).
потока
По исследованиям проф. Г.Г. Гуржиенко при
турбулентном течении жидкости непосредственно
на стенке трубы имеется очень тонкий слой толu пс
щиной  л , в котором наблюдается ламинарный
режим течения жидкости. В его пределах скорость
быстро нарастает от нуля на стенке до некоторой
л п
величины u пс на границе слоя. Между вязким подРис. 6.3. График Гуржиенко слоем толщиной  л и ядром турбулентного потока
имеется переходная зона толщиной  п , в которой проявляются в той или иной
мере, как вязкие сопротивления, так и сопротивления, обусловленные турбулентным обменом масс.
Для определения толщины пристенного слоя воспользуемся закономерностями ламинарного движения.
Принимая во внимание то обстоятельство, что в турбулентном потоке происходит быстрое увеличение скорости от нуля до u пс в достаточно малом по
ширине слое  л , можно считать, что изменение скорости происходит по закону
du dr  u пс  л .
(6.4)
С учетом зависимости (6.4) касательное напряжение  у стенки будет
равно
    du dr    u пс  л .
(6.5)
Разделим обе части полученного равенства (6.5) на  , получим
  u пс
 
.
(6.6)
  л
Учитывая, что u д 
откуда

(4.28), преобразуем равенство (6.6) к виду

u
u 2д    пс ,
(6.7)
л
u пс u д   л

.
uд

(6.8)
wd
и

характеризует режим движения жидкости в пристенном слое. Установлено, что
эта величина, называемая числом Никурадзе N , постоянна для различных жидкостей и равна N  10.47
Правая часть равенства (6.8) сходна с критерием Рейнольдса Re 
N
uд  л
(6.9)
 const

из этого выражения можно определить толщину пристенного слоя

л  N 
.
(6.10)
uд
Приведем выражение (6.10) к виду удобному для вычисления толщины
пристенного слоя, подставив вместо динамической скорости u д его значение
(6.11)
uд    .
В зависимости (6.11) напряжение на стенке трубы, в соответствии с уравr
нением (4.26) равно   gI . С другой стороны, после несложного преобра2
 w2
зования выражения (4.24), видно, что гидравлический уклон равен I  
,
d 2g
1
1
 w2 d 1



gIr


g
 w 2 . С учетом этого динамии, следовательно,
2
2
d 2g 2 8
ческая скорость будет равна

1

.
(6.12)
uд 

w 2  w

8
8
Подставляя значение (6.12) в равенство (6.10) найдем, что

(6.13)
л  N
 2 2.
w 
Умножим числитель и знаменатель в выражении (6.13) на d и, подставив
численное значение N , получим
d 
d
.
(6.14)
 л  10.47  2 2
 30
wd

Re 
Анализируя зависимость (6.14), можно увидеть, что чем больше число Re ,
т.е. чем выше степень турбулентности потока, тем меньше толщина пристенного слоя. При Re    л  0 , т.е. можно считать, что турбулентное ядро заполняет все живое сечение потока, которое движется с одинаковой скоростью,
или с градиентом скорости, как в случае течения идеальной жидкости, равным
du
 0 . Однако, практически при любой степени турбулизации потока, у
нулю
dr
стенки трубопровода сохраняется слой, в котором наблюдается ламинарный
режим течения жидкости.
ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОТОКА
Как было отмечено ранее при турбулентном движении жидкости происходит непрерывный обмен масс жидкости между слоями и, что соответственно,
приводит к увеличению или уменьшению их количеств движения. Это является
одной из основных причин возникновения касательных сил, действующих в
турбулентном потоке.
Анализируя процесс переноса количеств движения при переходе жидкости
из одной струйки в другую Карман предложил уравнение, для определения касательных напряжений, являющееся общим, как для ламинарного, так и для
турбулентного режимов движения жидкости
2
 du 
du
 ,

   l 2 
dy
 dy 
где  л  
(6.15)
du
– касательные напряжения в ламинарном потоке;
dy
2
 du 
 – касательные напряжения в турбулентном потоке.
 т    l 
 dy 
Как видно из выражения (6.15) напряжение  т в развитом турбулентном
потоке пропорционально квадрату градиента скорости. Используя аналогию с
напряжением  л в ламинарном потоке выражение для определения  т можно
записать в виде
du
,
(6.16)
т  
dy
2 du
где     l
– коэффициент турбулентной или виртуальной вязкости.
dy
Исходя из вышеизложенного, можно отметить, что потери напора при турбулентном движении жидкости, являются функцией не только сил внутреннего
трения, обусловленных вязкостью жидкости, но и функцией касательных сил,
обусловленных турбулентным перемешиванием.
Переходя к изложению вопроса о распределении скоростей, отметим, что
структура турбулентного потока в поперечном сечении потока неоднородна.
Скорость частиц, непосредственно соприкасающихся со стенкой трубы, равна
нулю.
Ранее было установлено, что нарастание скорости движения от нуля в пристенном, малой толщины, слое с ламинарным движением жидкости происходит
достаточно быстро. В этом слое наблюдается наибольший градиент скорости.
По мере удаления от пристенного слоя градиент скорости начинает
уменьшаться и в центральной части потока, при высокой степени турбулентности, градиент скорости стремиться к нулю. Малые градиенты скорости обусловлены интенсивным обменом жидкостью между струйками, в результате чего происходит выравнивание распределения скоростей по живому сечению потока, по сравнению с ламинарным движением. Отношение средней скорости к
максимальной, в турбулентном потоке, стремится к единице ( w u max  1 ), что
свидетельствует о равномерном распределении скоростей по живому сечению.
2
Наибольшее применение в инженерной практике имеет логарифмическая
формула распределения скоростей, полученная на основе теории турбулентного
течения Л. Прандтля и Т. Кармана
u y
u
(6.17)
 5,5  5,75 lg д ,
uд

где u – местная скорость на расстоянии y от стенки трубы;
u д – динамическая скорость (4.28);
 – коэффициент кинематической вязкости.
ПОНЯТИЕ О ГИДРАВЛИЧЕСКОЙ ШЕРОХОВАТОСТИ
Шероховатость стенок, ограничивающих поток, является основной причиной, вызывающей его турбулизацию. Причем значительную роль, в механизме
турбулизации, играет толщина пристенного слоя.
В условиях ламинарного течения – при малых скоростях движения частиц,
воздействие неровностей незначительно и возмущающие импульсы гаснут
вблизи стенки, не разрушая струйчатой структуры потока.
При больших скоростях движения жидкости, струйки, отбрасываемые выступами стенки, обладают достаточной энергией, чтобы проникнуть в ядро потока, вызывая, тем самым, перемешивание и разрушая его струйчатую структуру.
В зависимости от состояния внутренней поверхности трубопровода различают три вида шероховатости – неравномерная (рис. 6.4а), равномерная (рис.
6.4в) и волнистая (рис. 6.4с). Высоту неровностей на внутренней поверхности
трубопровода называют абсолютной шероховатостью и обо
значают символом .
Во многих случаях удобно
а
пользоваться понятием эквивалентная шероховатость, при

которой потери напора на преодоление сопротивлений равны
потерям в трубопроводе с натув
ральной шероховатостью для

одинаковых условий течения
э     ,
(6.18)
где  - коэффициент, зависящий от
с
характера расположения выступов и
Рис. 6.4. Виды шероховатости: а – неравномерная; их формы;
в – равномерная; с – волнистая.
 - абсолютная шероховатость, м.
Установлено, что одна и та же величина абсолютной шероховатости совершенно не оказывает влияние на сопротивление трубы большого диаметра и,
в тоже время, может существенно увеличить сопротивление трубы малого диаметра. Поэтому для определения коэффициента гидравлического сопротивле-
ния  в расчетные зависимости вводят понятия относительной величины шероховатости.
Отношение абсолютной шероховатости к диаметру трубопроводу  d
называется относительной шероховатостью, а обратная величина d  - относительной гладкостью.
Как показывают опыты, величина  в самом общем случае зависит от
диаметра трубопровода, скорости движения жидкости, плотности и вязкости
жидкости и величины абсолютной шероховатости
,
(6.19)
  f d; w; ; ;  
а на основании теории подобия и анализа размерностей было установлено,
что коэффициент  (4.24) является функцией числа Рейнольдса Re и относительной шероховатости  d , т.е.


  f  Re;  .
(6.20)
d


Поэтому достоверность расчета потерь напора при турбулентном движении во многом зависит от правильного определения коэффициента гидравлического сопротивления  .
С целью установления расчетных зависимостей для определения коэффициента гидравлического сопротивления  рассмотрим понятие о гидравлической шероховатости труб.
Как уже указывалось ранее, у стенки трубопровода образуется пристенный
слой с ламинарным течением жидкости, толщина которого зависит от числа
Re . В зависимости от толщины пристенного слоя и условий течения жидкости
одна и та же труба с постоянной величиной шероховатости  может быть гидравлически гладкой и гидравличе  л
ски шероховатой (Рис. 6.5).

 л
Если толщина пристенного
слоя достаточно велика и выступы
шероховатости полностью погружены в этот слой    л , поток слабо
Рис. 6.5 Гидравлическая шероховатость труб
турбулизован. Ламинарный пристенный слой образует гладкую оболочку, в которой протекает ядро потока. В
этом случае труба считается гидравлически гладкой.
С увеличением числа Рейнольдса толщина ламинарного пристенного слоя
уменьшается (6.14), выступы шероховатости обнажаются   л , т.е. начинают
омываться турбулентным ядром потока, труба становится гидравлически шероховатой.
Таким образом, потери напора по длине потока при турбулентном режиме
движения жидкости не будут зависеть от материала и состояния внутренней
поверхности трубопровода до тех пор, пока существует пристенный слой толщиной больше чем величина абсолютной шероховатости.
Только что рассмотренное понятие о гидравлической шероховатости труб
позволяет сделать заключение о наличии пяти зон течения жидкости в трубо-
проводе и еще более уточнить вид функциональной зависимости для определения коэффициента гидравлического сопротивления  .
I зона – ламинарный режим движения жидкости. Коэффициент гидравлического сопротивления  в этой зоне зависит только от числа Рейнольдса и равен   64 Re (5.13).
II зона – переходная зона от ламинарного движения жидкости к турбулентному движению с гидравлически гладкими трубами. В этой зоне величина
выступов шероховатости также не оказывает влияния на параметры потока и
функциональная зависимость для определения коэффициента гидравлического
сопротивления  имеет вид   f 1 Re 0.251  .
III зона – турбулентный режим, зона гидравлически гладких труб. В этой
зоне, как и в первых двух зонах, коэффициент гидравлического сопротивления
 является функцией только числа Рейнольдса, так как пристенный слой полностью покрывает выступы шероховатости   f 1 Re 0.25  .
IY зона – турбулентный режим, переходная зона от гидравлически гладких труб к гидравлически шероховатым трубам. В этой зоне при    л выступы шероховатости начинают оказывать влияние на параметры потока и коэффициент гидравлического сопротивления  зависит как от числа Рейнольдса,
так и от относительной шероховатости   f 1 Re  0.25 ;  d.
Y зона – турбулентный режим, зона гидравлически шероховатых труб.
При достаточно малой толщине пристенного слоя число Рейнольдса не оказывает влияния на течение жидкости, и коэффициент гидравлического сопротивления  является функцией только относительной шероховатости   f  d  .
Прежде чем перейти к конкретным зависимостям для расчета коэффициента гидравлического сопротивления  , рассмотрим график Никурадзе, на котором также могут быть выделены пять зон течения жидкости.
ГРАФИК НИКУРАДЗЕ. ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ РАСЧЕТА
КОЭФФИЦИЕНТА ГИДРАВЛИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 
Впервые исследования по установлению закономерности изменения  в
зависимости от числа Рейнольдса и относительной шероховатости были выполнены Никурадзе И.И. в круглых трубах и Зегжда А.П. в прямоугольных
лотках. Рассмотрим опыты Никурадзе И.И., который исследовал сопротивления
ряда труб с искусственно созданной шероховатостью на их внутренней поверхности. Шероховатость была создана путем наклеивания песчинок определенного размера, в результате чего была получена равномерно распределенная зернистая шероховатость.
На основе обработки экспериментальных данных о сопротивлении различных трубопроводов, с относительной гладкостью в диапазоне d 2  15  507 ,
при различных режимах движения жидкости Никурадзе И.И. графически представил соответствующие зависимости (Рис. 6.6) в координатах lg Re ÷ lg 100  .
Каждая кривая на графике представляет собой геометрическое место
опытных точек, относящихся к трубам одной и той же шероховатости.
lg 100 
1,0
0,9
  64 Re
Y
0,8
0,7
0.3164

Re0.25 IY
d
2
15
30,6
0,6
0,4
60
II
0,5
I
III
126
252
0,3
507
0,2
2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 5,2 5,4 5,6 5,8 lg Re
Рис. 6.6 График Никурадзе
По признаку зависимости коэффициента  от значений числа Re и относительной шероховатости  d на графике Никурадзе можно выделить пять зон
течения жидкости, в каждой из которых будут свои закономерности в определении  .
Первая зона (I) – зона ламинарного движения, первая прямая линия на
графике Никурадзе (Рис. 6.6). Границы этой зоны находятся в пределах
0 Re 2000. Здесь коэффициент гидравлического сопротивления  является
функцией числа Рейнольдса и может быть определен по зависимости (5.13)
  64 Re .
Вторая зона (II) – переходная зона от ламинарного движения к турбулентному, находящаяся в диапазоне чисел Рейнольдса 2000 Re4000. Потери
напора практически не зависят от шероховатости труб.
Для этой зоны течения величину коэффициента  можно определить по
зависимости предложенной Н.З. Френкелем
2,7

.
(6.21)
Re 0.53
По причине неустойчивости движения жидкости во второй зоне в практических расчетах эта зона обычно не учитывается.
Третья зона (III) – турбулентный режим, зона гидравлически гладких труб.
Экспериментальные точки, характеризующие  при течении жидкости в этих
условиях, располагаются вдоль второй прямой линии на графике Никурадзе.
Коэффициент  в пределах этой зоны может быть определен по следующим зависимостям:
1. при 4000  Re 10 5 – формула Блазиуса
0,3164
.
(6.22)

Re 0.25
Очень часто зону гидравлически гладких труб называют зоной Блазиуса.
2. при 4000  Re 3  10 6 – формула Конакова
1

(6.23)
1,8 lg Re 1.522
Последние две зависимости при расчетах дают очень близкие значения  .
d
При малых значениях относительной гладкости
 15 и 30,6 кривые за2
висимости  от числа Re сразу пересекают прямую III, соответствующую значениям  по формуле Блазиуса, так как высота выступов шероховатости  в
этих случаях оказывается больше чем толщина ламинарной пленки  л . Поэтому в качестве верхней границы зоны гидравлически гладких труб целесообразd
но принимать значение Re 10  20 .

Формулы (6.19) и (6.20) могут быть использованы и для расчета технически гладких труб, к которым относят стеклянные, цельнотянутые трубы из
цветных металлов, а также высококачественные бесшовные стальные трубы.
Четвертая зона (IY) – доквадратичного сопротивления, турбулентный режим, переходная зона от гидравлически гладких труб к гидравлически шероховатым трубам. В этой зоне турбулентного движения потери напора определяются числом Рейнольдса и шероховатостью. Чем больше шероховатость труб,
d
т.е. чем меньше
, тем больше  и, следовательно, больше потери напора.
2
Поэтому при одном и том же значении Re для труб различной шероховатости
величина  не будет одинаковой (семейство кривых на графике Никурадзе, относящихся к трубам с различной относительной гладкостью).
Ориентировочные границы зоны могут быть определены из неравенства
10  20 d  Re500  560 d .


Для этой зоны течения можно использовать ряд зависимостей для определения  – формула Кольбрука, которая пригодна для расчета как гидравлически гладких труб, так и труб с естественной шероховатостью, формула Френкеля для турбулентного движения в промышленных шероховатых и гладких трубах и др. Однако для практических расчетов по определению сопротивления
реальных шероховатых трубопроводов можно рекомендовать универсальную
зависимость, предложенную А.Д. Альтшулем
0.25
  э 68 
  0,11

(6.24)
 .
 d Re 
Для гладких труб величина  э d пренебрежимо мала и формула (6.24)
приобретает вид, приведенной выше формулы (6.22) Блазиуса.
Пятая зона (Y) – квадратичного сопротивления (автомодельности), турбулентный режим, гидравлически шероховатые трубы. Потери напора в этой зоне
пропорциональны квадрату скорости, коэффициент гидравлического сопротивления не зависит от числа Рейнольдса, а является функцией только относительной шероховатости. Поэтому графики, определяющие величину  для зоны
квадратичного сопротивления, представляют собой прямые, параллельные оси
d
абсцисс. Нижней границей зоны является неравенство Re 500  560 .

Для зоны квадратичного сопротивления применяются различные зависимости для определения  , но довольно широкое распространение имеет формула Б.Л. Шифринсона
0.25
 э 
  0,11  .
(6.25)
d
 
При высокой степени турбулентности ( Re   ) эта формула может быть
получена из формулы Альтшуля (6.24).
ПОТЕРИ НАПОРА НА ТРЕНИЕ В ТРУБАХ ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ
РЕЖИМЕ. ФОРМУЛА ШЕЗИ
Наиболее общей формулой для определения h l в трубах круглого сечения,
как при ламинарном, так и при турбулентном режимах движения является форl w2
мула Дарси или первая водопроводная формула (4.24) h l  
.
d 2g
Заменяя в формуле Дарси диаметр через гидравлический радиус d  4R ,
получим
l w2
hl  
.
(6.26)
4 R 2g
Из формулы (6.26) можно найти выражение для определения средней скорости
8g h l
w
R
.
(6.27)

l
h
8g
Если обозначить c 
и I  l то формула (6.27) примет вид

l
w c RI.
(6.28)
Полученную зависимость называют формулой Шези, а величину с – коэффициентом Шези, который зависит от шероховатости стенок трубы и геометрических размеров.
Формулу (6.28) используют для определения средней скорости течения в
зоне квадратичного сопротивления при равномерном движении жидкости.
Для определения коэффициента Шези предложено ряд эмпирических зависимостей, одна из них, достаточно распространенная – формула Павловского
1
(6.29)
c  Ry ,
n
где R – гидравлический радиус;
n – коэффициент шероховатости, зависящий от состояния стенок трубы;
y – показатель степени, зависящий от R и n .
Величину y можно определить по зависимости


y  2,5 n - 0,13 - 0,75 R n - 0,1
(6.30)
Для практических расчетов можно пользоваться упрощенными зависимостями для определения y :
при 0,1 R1,0 y  1,5 n , а при 1,0 R 3,0 y  1,3 n .
Величина n для труб имеет следующие значения
Новые трубы
Чистые трубы
Грязные трубы
Очень грязные старые трубы
0,011
0,012
0,013
0,014
МЕСТНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
Глава седьмая
Рассматривая уравнение Бернулли для потока реальной жидкости, мы отметили, что общие потери напора при движении жидкости складываются из потерь напора по длине и потерь напора на преодоление местных сопротивлений.
Местные сопротивления это такие короткие участки трубопроводов, в которых происходят изменения скорости по величине или направлению.
Потери напора в местных сопротивлениях называют местными потерями
напора и обычно выражают в долях скоростного напора, соответствующего
средней скорости жидкости в трубопроводе до или после местного сопротивления.
Аналитически потери напора на преодоление местных сопротивлений
определяют по формуле Вейсбаха
w2
h  
,
(7.1)
2g
где  – коэффициент местного сопротивления.
Из-за сложности структуры потока, протекающего через местное сопротивление, величину коэффициента местного сопротивления  для многих видов местных сопротивлений определяют на основе экспериментальных исследований. Теоретически вычислить значение  удалось лишь для простейших
видов местных сопротивлений. Наиболее полно теоретически исследованы характеристики сопротивлений при внезапном расширении струи.
Как показывают опыты, коэффициент местного сопротивления  зависит
от вида местного сопротивления, от шероховатости его стенок, числа Рейнольдса, а для запорных устройств (краны, вентили, задвижки, клапаны, дроссели и
др.) – от степени их открытия. Зависимость  от числа Рейнольдса проявляется
только при ламинарном режиме движения.
В первой зоне, потери напора от местных сопротивлений, также как и потери напора по длине трубопровода при ламинарном движении пропорциональны первой степени скорости, и коэффициент  можно определить по зависимости
A

,
(7.2)
Re
Вторая зона (переходная) характеризуется тем, что ламинарный режим
движения жидкости в трубопроводе нарушается при протекании потока через
местное сопротивление. Коэффициент  в этой зоне подчиняется сложной зависимости вследствие одновременного действия сил вязкости и сил инерции.
Если, для рассматриваемого местного сопротивления, известен коэффициент
местного сопротивления в квадратичной зоне  кв , то в переходной зоне коэффициент  можно определить по зависимости
В
(7.3)

Re х
или по приближенной зависимости предложенной Альтшулем
A
(7.4)

  кв .
Re
В третьей зоне, происходит нарушение ламинарного движения жидкости в
самом трубопроводе и без местного сопротивления. Потери напора, в этой зоне,
оказываются пропорциональными скорости в степени 1,47, а коэффициент
местного сопротивления вычисляют по формуле
С
.
(7.5)

Re 0 , 53
В формулах (7.2), (7.3) и (7.5) А , В , С – коэффициенты, характеризующие
вид рассматриваемого местного сопротивления.
В четвертой и пятой зонах течения жидкости, с турбулентным режимом
движения, число Рейнольдса не оказывает влияние на значение  . По аналогии
с пятой зоной для определения коэффициента  эти зоны называют квадратичной (автомодельной).
Формула Дарси (4.24) для определения потерь напора на трение по длине
трубопроводов аналогична формуле Вейсбаха (7.1) для расчета местных потерь
l
напора, следовательно, коэффициент  эквивалентен  .
d
Пользуясь этим, можно найти такую эквивалентную длину l э прямого трубопровода, на которой потери на трение были бы равны потере в местном сопротивлении

(7.6)
lэ  d .

Формула (7.6) позволяет достаточно просто оценить долю напора в местном сопротивлении по сравнению с потерями по длине в общем балансе потерь.
Используя понятие эквивалентной длины, можно расчет потерь напора в
трубопроводе производить по суммарной длине действительных и эквивалентных участков трубопровода.
Следовательно, для трубопровода длиной l постоянного поперечного сечения и с постоянным значением коэффициента Дарси  общие потери напора
можно определить, пользуясь следующим выражением
 hw  hl   h  
L w2
,
d 2g
(7.7)
где расчетная длина трубопровода
L  l   lэ .
(7.8)
В выражении (7.8)  l э это сумма эквивалентных длин, соответствующих
всем местным сопротивлениям, расположенным на рассматриваемом трубопроводе. Причем в длину трубопровода l включена протяженность и самих
местных сопротивлений.
ОСНОВНЫЕ ВИДЫ МЕСТНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ
Рассмотрим простейшие местные сопротивления – вход в трубу,
расширения и сужения, которые могут быть внезапными или постепенными,
повороты и др. (Рис. 7.1). Более сложные случаи местных сопротивлений
представляют собой соединения или комбинации перечисленных простейших
сопротивлений.
Данные о значении коэффициентов различных местных сопротивлений
приводятся в соответствующей справочной литературе.
II
I
w1
w
w0
е
w2
w1
I
w

ж
II
w2
w1
д
г
D
II
w
I
II
w2
w1
в
б
a
w
w2
I
II
I
wd wD
d
D
a
з
и
Рис. 7.1. Схемы местных сопротивлений: а – вход в трубу; б – внезапное расширение трубы; в – постепенное расширение (диффузор); г – внезапное сужение трубы; д – постепенное сужение (конфузор); е – выход из трубы; ж – резкий поворот (колено); з – диафрагма;
и - задвижка
Вход в трубу. Если труба присоединена перпендикулярно к стенке и
кромка входного отверстия острая (Рис. 7.1а), то  вх  0,5 . Изменение условий
входа жидкости в трубу приводит к изменению значения коэффициента
местного сопротивления. Так, например, при наличии скругленной кромки на
входе  вх  0,20  0,25 . Более точно значение  вх можно определить по
отношению r0 d , где r0 – радиус дуги круга, очерчивающей скругленный вход.
Если труба присоединена под углом  к горизонту (косой вход), то
(7.9)
 вх  0,5  0,3 cos  0.2 cos 2  .
Внезапное расширение трубы. Одно из немногих местных сопротивлений
(Рис. 7.1б), для которого можно найти коэффициент местного сопротивления
теоретическим путем.
Происходящая при внезапном расширении потеря напора может быть
найдена из уравнения Бернулли для потока реальной жидкости, записанного
для сечений I и II . Применяя теорему о количестве движения и, произведя
необходимые преобразования, получим формулу потерь напора при внезапном
расширении, выраженную только через средние скорости
w 1  w 2 2
.
(7.10)
h вр 
2g
Так как разность w 1  w 2 является уменьшением скорости при переходе
жидкости из трубы малого сечения в трубу большого сечения, из выражения
(7.10) следует, что местная потеря напора при внезапном расширении равна
скоростному напору потерянной скорости.
Зависимость (7.10), после несложных преобразований, с учетом уравнения
неразрывности (3.8), можно записать в виде
2
2

 F2
 w 22
F1  w 12
w 12
w 22
h вр   1  
  1вр
  2вр
или h вр    1
,
F
2
g
2
g
F
2
g
2
g

 1

2 
причем
2
2

 F2

F1 
 1вр   1   ;  2 вр  
 1 .
(7.11)
F
F

 1

2 
Постепенное расширение. При постепенном увеличении сечения (Рис.
7.1в) потери напора зависят от угла конусности (расхождения) диффузора. Коэффициент местного сопротивления может быть определен по формуле
2
 F2

(7.12)
 диф  к
 1 .
F
 1

Коэффициент к , учитывающий уменьшение потерь напора в диффузуре
по сравнению с потерями напора при внезапном расширении, с тем же
соотношением сечений соединяемых труб, определяют по таблице в
зависимости от угла конусности:
Угол конусности, (град)
к
5
0,13
10
0,16
15
0,27
20
0,43
30
0,81
При углах больше 500 целесообразнее устанавливать не диффузор, а
внезапное расширение, при этом можно принимать к  1 .
Внезапное сужение трубы. Это сопротивление вызывает меньшую потерю
напора, чем внезапное расширение с таким же соотношением площадей.
Для практических расчетов коэффициент местного сопротивления
определяют по полуэмпирической зависимости И.Е. Идельчика
 вс 
F  1 
1 
1
  1  2     1   ,
2 
F1  2 
n
(7.13)
где n  F1 F2 – степень сужения.
Из формулы (7.13) следует, что если F2 F1  0 – случай выхода трубы из
резервуара достаточно больших размеров, коэффициент сопротивления при
внезапном сужении трубы равен коэффициенту сопротивления на вход в трубу
 вс   вх  0,5 .
Постепенное сужение. Течение жидкости в конической сходящейся трубе
(конфузоре) (Рис. 7.1д) сопровождается увеличением скорости и падением давления, что исключает причины вихреобразования, происходящие в диффузоре.
Таким образом, в конфузоре возникают в основном потери напора на терние и
сопротивление конфузора всегда меньше, чем сопротивление такого же диффузора.
Зависимость для определения коэффициента местного сопротивления
постепенного сужения при угле конусности  имеет вид
2

1 

 пс 
 1  2  .
(7.14)
8 sin 2 
n 
Выход из трубы. Это сопротивление (Рис. 7.1е) аналогично сопротивлению при внезапном расширении трубы и для определения коэффициента
2

F1 
местного сопротивления можно испльзовать формулу (7.11)  1вр   1   .
F2 

Однако при выходе из трубы в резервуар больших размеров можно принять w 0  0 , вследствие того, что F2 во много раз больше F1 . Тогда из формул
(7.10) и (7.11) можно считать, что  вых  1 .
Резкий поворот (колено). Для трубопроводов круглого сечения (Рис. 7.1ж)
значения коэффициента местного сопротивления  к в зависимости от угла поворота  представлены в таблице
 , град
к
30
0,20
40
0,30
50
0,40
60
0,55
70
0,70
80
0,90
90
1,10
При углах поворота до   150 потерями в колене можно пренебречь. При
значениях угла  15 0 в первом приближении коэффициент местного сопротивления можно определить по зависимости  к  sin 2  .
Закругление на повороте значительно снижает потери. В этом случае сопротивление зависит от соотношения диаметра трубы и радиуса закругления.
Диафрагма. Коэффициент местного сопротивления диафрагмы  д зависит
от способа ее установки – в трубе постоянного сечения или в трубе переменного сечения.
Значения  д для диафрагмы в трубе постоянного сечения (Рис. 7.1з) зависят от степени сужения трубы Fd FD и для чисел Рейнольдса Re10 5 приведены в таблице
Fd FD
д
0,05
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1050
245
51,5
18,2
8,25
4,0
2,0
0,97
042
013
0
Потери напора на преодоление сопротивления диафрагмы определяют по
средней скорости жидкости в трубе h д   д  w D 2g .
Задвижка. Запорная арматура – задвижки, вентили, дроссели, клапаны и
др. представляет собой более сложные виды местных сопротивлений. В этом
случае проточная часть, образуемая запорными приспособлениями, имеет различные геометрические формы. Величины коэффициентов местных сопротивлений для различных видов запорной арматуры определяют по справочным
данным, полученным опытным путем.
На практике следует стремиться к тому, чтобы трубопроводная арматура
была всегда полностью открыта, за исключением случаев, предусмотренных
требованиями технологии производства или, когда при помощи этой арматуры
отключают отдельные участки трубопровода.
Сопротивление полностью открытой арматуры относительно не велико.
Однако, значительное прикрытие запорной арматуры приводит к большому
возрастанию коэффициента местных сопротивлений.
Для простой задвижки (Рис.7.1и), перекрывающей трубу круглого поперечного сечения, коэффициент местного сопротивления  з зависит от степени
закрытия задвижки, которая характеризуется отношением a D . Значения  з в
зависимости от a D приведены в таблице
a D
з
0

0,12
97,8
0,20
35,0
0,30
10,0
0,40
4,60
0,50
2,06
0,60
0,98
0,70
0,44
0,80
0,17
0,90
0,06
1,0
0
ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДОВ
Глава восьмая
ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАЧИ. КЛАССИФИКАЦИЯ
ТРУБОПРОВОДОВ
На практике встречается три основных типа задач, связанных с расчетом
трубопроводов. На рисунке 8.1, по диагонали, расположены определяемые
величины.
Тип I. Заданы: трасса трубопровода (т.е. длины
всех его участков и геометрические высоты всех его тоI
III
II
чек), расходы во всех точках, где жидкость расходуется,
H
H
H
давления в этих точках и диаметры участков труб. Известны также коэффициент кинематической вязкости
Vc
Vc
Vc
жидкости и шероховатость стенок трубопровода.
Требуется определить напор Н, который должен
d
d
d
быть создан напорным устройством в начале трубопровода.
Рис. 8.1. Определяемые
Тип II. Заданы: трасса трубопровода, диаметры
величины при расчете
труб, давления в точках расходования жидкости и
трубопроводов
начальный напор. Как и в первом типе задачи известны
коэффициент кинематической вязкости жидкости и шероховатость стенок трубопровода.
Требуется определить расход жидкости Vc.
Тип III. Заданы: трасса трубопровода, начальный напор, расход жидкости,
коэффициент кинематической вязкости жидкости и шероховатость стенок трубопровода.
Требуется определить диаметр трубопровода d .
В качестве основных расчетных зависимостей при решении этих задач используют:
1. Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости (3.27) и уравнение
неразрывности (3.8);
2. Формулы для определения потерь напора:
а) потери на терние при ламинарном режиме движения жидкости – формула Пуазейля (5.11);
б) потери на трение при любом режиме движения – формула Дарси (4.24)
с определением коэффициента гидравлического сопротивления  по формулам
(5.13), (6.21), (6.22), (6.23), (6.24) и (6.25);
в) потери напора на преодоление местных сопротивлений – формула Вейсбаха (7.1).
Если в формуле Дарси среднюю скорость w заменим через расход жидкости V c , то получим зависимость для определения потерь напора по длине трубопровода в зоне квадратичного сопротивления, которую называют второй водопроводной формулой
2
l 4Vc d 2 
16 Vc2
hl  

l 5  alVc2 .
(8.1)
2
d
2g
2g d
2 5
где a  8 g d – удельное сопротивление трубопровода.
В зависимости от величины местных потерь напора все трубопроводы
можно разделить на гидравлически длинные и гидравлически короткие.
Трубопроводы, у которых основными потерями напора являются потери
по длине, а местными потерями напора и скоростным напором можно пренебречь, называют гидравлически длинными трубопроводами. В отдельных случаях местные потери напора, составляющие 510% потерь напора по длине,
могут быть учтены соответствующим коэффициентом h   0.05  0.10  h l .
Трубопроводы, у которых местные потери напора и скоростной напор соизмеримы с потерями напора по длине h   0.10h l , называют гидравлически короткими трубопроводами.
Кроме того, различают трубопроводы простые и сложные.
Простым называют такой трубопровод без ответвлений, который имеет по
всей длине одинаковое сечение, или состоит из ряда последовательно соединенных труб различного сечения.
Сложными (Рис. 8.2) называют трубопроводы, имеющие магистраль с ответвлениями в разных точках. В свою очередь сложные трубопроводы делятся
на тупиковые (Рис. 8.2 а) и кольцевые (Рис. 8.2 б). Расчет таких трубопроводов
значительно сложнее, чем простых. Однако, некоторые задачи, относящиеся к
сложным трубопроводам, можно решать, рассматривая отдельные их элементы
как простые.
Vc
к
Vc
А
1
Vc 1
4
Vcл
Vcn
С
В
Д
Vcm
m
а
Vcs
А
s
Vc 5 С
3
VcА
Vc 3
VcС
6
2
Vc 4
n
5
Vc 2
7
Vc 7
Vc 6
В
VcВ
б
Рис. 8.2. Схемы сложного трубопровода: а) тупиковый; б) кольцевой
Отходящие от магистрали участки трубопровода называют ветвями, а места ответвлений – узлами. Кольцевой трубопровод, в отличие от тупикового,
обеспечивает надежную, бесперебойную подачу жидкости за счет возможного
изменения направлений ее движения.
В зависимости от условий отбора жидкости различают трубопроводы с
транзитным и путевым расходом. В первых – жидкость расходуется только в
конечных точках ответвлений трубопровода, во вторых – происходит непрерывная раздача ее на отдельных участках.
И, наконец, по принципу работы все трубопроводы делят на напорные и
безнапорные. Движение жидкости в напорных трубопроводах происходит благодаря разности напоров (давлений) в начальном и конечном сечениях. Эта
разность может быть создана при помощи насоса, уровня жидкости или под
действием давления газа в резервуаре, из которого происходит истечение жидкости. В напорных трубопроводах жидкость заполняет все живое сечение потока. Безнапорные трубопроводы, как правило, самотечные трубопроводы, которые работают не полным сечением с образованием свободной поверхности.
РАСЧЕТ ПРОСТЫХ ТРУБОПРОВОДОВ
Как мы уже рассмотрели ранее, жидкость по трубопроводу может передаваться из резервуара в атмосферу (Рис. 3.8а) или в другой резервуар (Рис. З.8б)
так называемое истечение под уровень.
В первом случае – имеющийся напор Н расходуется на преодоление всех
сопротивлений между рассматриваемыми сечениями и на создание скоростного
напора в выходном живом сечении (3.37).
Во втором случае – разность уровней Н полностью расходуется на преодоление всех сопротивлений между рассматриваемыми сечениями (3.38).
Эти представления об условиях истечения жидкости из трубопровода в некоторой степени могут оказать влияние на вид расчетных зависимостей. Введенное же нами понятие эквивалентной длины (7.6, 7.8) позволит, в общем случае, расчет всех простых трубопроводов свести к расчету простого длинного
трубопровода постоянного диаметра.
Рассмотрим случай пеpI
ретекания жидкости из реI
зервуара А в резервуар В по
трубопроводу с расчетной
Нр
длиной L и диаметром d .
А
p II
II
Избыточные давления
zI
на свободной поверхности
L, d
в резервуарах соответz II ственно равны p и p .
В
I
II
Движение жидкости в труЛиния сравнения
бопроводе – установившееся. Следовательно, уровни
Рис. 8.3. К расчету простого трубопровода
жидкости в резервуарах по-
стоянны и скорости изменения уровней равны нулю.
Уравнение Бернулли, записанное для сечений I и II , имеет вид
p
p
L w2
w2
z I  I  z II  II  
 
g
g
d 2g
2g
или
 p I p II 
w2  L
z I  z II       H p        ,
(8.2)
2g  d

 g g 
где w – средняя скорость движения жидкости в трубопроводе.
Для случая истечения жидкости в атмосферу, с учетом выражения (3.37),
уравнение Бернулли можно записать в следующем виде
2
p
p
z I  z II    I  II   H p  w  1   L     . (8.3)
2g 
d

 g g 
Уравнения (8.2) и (8.3) отражают энергетический баланс процесса течения
жидкости по трубопроводу.
Правая часть представляет собой расход энергии на 1 кг. протекающей
жидкости для преодоления вязких сопротивлений.
Левая часть – есть тот запас энергии 1 кг. жидкости, который может быть
использован. Выражения в левой части уравнений (8.2) и (8.3) обычно обозначают через Н р и называют располагаемым напором.
Каждое из слагаемых левой части может быть величиной как положительной, так и отрицательной, например, z II  z I , а также равным нулю, например
p I  p II  p ат . Но в любом случае сумма слагаемых левой части должна быть
положительной, так как положительна правая часть.
Если левая часть получается отрицательной, это свидетельствует о том,
что жидкость течет не из резервуара А в резервуар В, а наоборот – из резервуара В в резервуар А.
Располагаемый напор может быть создан различными средствами, что не
отразится на последующих выводах. Поэтому в дальнейшем будем принимать
наиболее простую схему создания располагаемого напора – за счет разности
w2  L

уровней жидкости в резервуарах H p  z I  z II 
    .
2g  d

Как мы уже отмечали, гидравлический расчет трубопровода сводится к
решению трех типов задач.
Первая задача. Требуется определить напор Н р , необходимый для пропуска заданного расхода жидкости V c по заданному трубопроводу диаметром
d и длиной L .
Задача решается путем непосредственного решения уравнения (8.2) или
(8.3) с предварительным вычислением средней скорости w  4Vc d 2 . Тогда
8Vc2  L

(8.4)
Hp  2 4     .
g d  d

Определение значения коэффициента  в данном случае не вызывает затруднений, так как число Рейнольдса может быть рассчитано по заданным в
условии задачи величинам.
Вторая задача. Требуется определить пропускную способность (расход)
трубопровода V c при условии, что известны напор Н р , длина трубы L и ее
диаметр d .
Из уравнения (8.2), с учетом уравнения неразрывности (3.8) получим
2gH p
d 2
.
(8.5)
Vc 
4
L d   
Так как коэффициент  является функцией числа Рейнольдса, которое
связано с неизвестным в этой задаче расходом
H
H  f Vc 
V c , то решение можно найти методом последовательных приближений. В этом случае будем считать в первом приближении, что течение жидкоHр
сти в трубопроводе происходит в квадратичной
зоне сопротивлений, в которой коэффициент 
не зависит от числа Рейнольдса. Такое предпоVc
V c ложение требует дальнейшего уточнения зоны
сопротивления.
Рис. 8.4. К определению
Эта задача может быть решена и графоаналирасхода жидкости графотическим методом, при котором необходимо поаналитическим методом.
строить гидравлическую характеристику трубопровода (Рис. 8.4), т.е. зависимость Н  f Vc  , задавая 5  6 значений расхода.
По известному напору Нр графически определяют величину расхода жидкости.
Крутизна характеристики зависит от диаметра и длины трубопровода и от
местных сопротивлений включенных в трубопровод. Чем больше потери напора в трубопроводе, тем круче характеристика трубопровода. При ламинарном
режиме течения жидкости эта характеристика представляет собой прямую линию.
Третья задача. Требуется определить диаметр трубопровода d при заданном расходе V c , длине трубопровода L и напоре Н р . Здесь также как и в
предыдущей задаче, невозможно однозначно
Н
вычислить число Рейнольдса и установить
Н  f d
формулу для определения коэффициента  .
Задачу рекомендуется решать графоаналитическим методом.
Задаваясь рядом значений диаметра d 1 ,
Нр
d 2 , d 3 , … d n и, вычисляя по уравнению (8.2)
соответственно ряд значений напора Н 1 , Н 2 ,
dр
d Н , … Н строим график Н  f d (Рис. 8.5).
3
n
Рис. 8.5. К расчету диаНеобходимо помнить, что при малых
метра трубопровода
значениях диаметра Н   и, наоборот, при
больших значениях диаметра Н  0 .
Откладывая на оси ординат значения заданного располагаемого напора,
определяем по графику расчетный диаметр d p . В конечном итоге принимаем
значение стандартного ближайшего диаметра.
Для гидравлически длинных трубопроводов потери напора по длине значительно превосходят потери напора на преодоление местных сопротивлений
(  L d   ) и скоростной напор на выходе (  L d1 ) и этими величинами
можно пренебречь. С учетом этого, уравнения (8.2) и (8.3) можно записать в
следующем виде
L w2
Нр  
 hl .
(8.6)
d 2g
Из уравнения (8.6) следует, что в гидравлически длинных трубопроводах
весь напор практически затрачивается на преодоление потерь напора по длине.
Решение приведенных типов задач значительно упрощается для квадратичной зоны сопротивлений, так как коэффициент гидравлического сопротивления в этой зоне не зависит от числа Рейнольдса и является функцией только
относительной шероховатости трубопровода.
Напишем уравнение расхода с учетом формулы Шези (6.28)
Vc  F  c RI .
(8.7)
В уравнении (8.7) площадь живого сечения F , гидравлический радиус R и
коэффициент Шези c – величины, которые зависят от геометрических параметров трубопровода (диаметр и абсолютная шероховатость). Тогда, вводя обозначение k  F  c R , и, принимая во внимание, что гидравлический уклон
I  H p L получим
Vc  k
Hp
.
(8.8)
L
Коэффициент k , имеющий размерность расхода, называется расходной
характеристикой трубопровода и представляет собой расход жидкости, проходящей через заданное живое сечение, при гидравлическом уклоне равном единице.
Аналогичную зависимость можно получить после небольших преобразований выражения (8.1) с учетом (8.6) и, обозначив k 2  1 a .
Суммарные потери напора в общем случае удобно определять по зависимости
(8.9)
 h w  H p  AVcm ,
8L
где A  aL 
– сопротивление трубопровода;
g 2 d 5
m – показатель степени, зависящий от режима движения жидкости.
При ламинарном режиме движения жидкости m  1 и
128L
A
.
(8.10)
gd 4
При турбулентном режиме движения жидкости и квадратичном законе сопротивления m  2 и
 L
 8
A      2 4 .
(8.11)
d
g

d


Выражение (8.8) является расчетной зависимостью для решения второй задачи (Рис. 8.1).
Определив из выражения (8.8) располагаемый напор Н р , получим расчетную зависимость для решения первой задачи (Рис. 8.1)
1
(8.12)
H p  2 LVc2 .
k
Зависимость для решения третьей задачи также может быть получена из
выражения (8.8)
L
.
(8.13)
k  Vc
Hp
Расчетный диаметр d p находим из таблиц по полученным значениям k , k 2
или 1 k 2 . Однако, как правило, численный результат расчета по формуле
(8.13) не совпадает с величинами k для стандартных труб. В связи с этим можно предложить три практических способа решения этой задачи:
а) можно выбрать меньший диаметр, соответствующий значению k 1  k .
Тогда трубопровод не обеспечит необходимый расход V c при заданном Н р .
Чтобы довести V c до нужной величины необходимо увеличить располагаемый
напор, а это не всегда технически возможно;
б) можно выбрать больший диаметр, соответствующий значению k 2  k .
При этом получим заданный расход, когда имеющийся напор полностью не
использован, что экономически нецелесообразно;
в) можно выполнить трубопровод, состоящий из двух участков, один из
которых имеет диаметр, соответствующий значению k 1 , а другой – k 2 , обеспечив при этом необходимый расход при заданном напоре. Тогда
L
L  L1 
 ,
H p  Vc2  21 
(8.14)
2
k
k
 1

2
где L 1 – длина первого участка с диаметром d 1 ,
L  L 1 – длина второго участка с диаметром d 2 .
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ТРУБОПРОВОДОВ
Несколько последовательно соединенных участков труб различной длины
и диаметра и содержащих разные местные сопротивления представляют собой
простой трубопровод переменного сечения.
Последовательное соединение двух
участков труб 1 и 2, имеющих, соответd2 ,L2
d1 , L1
ственно, диаметры d 1 и d 2 и расчетные
а
длины L 1 и L 2 , показано на рис. 8.6а.
Н
Совершенно очевидно, что расход
1+2
жидкости в последовательно соединенh
2
ных участках трубопровода один и тот
же, а полная потеря напора равна сумме
 h2
потерь напора на преодоление всех со1
противлений в каждом из рассматрива h1
емых участков.
Таким образом,
V
Vc  Vc1  Vc 2  ...
(8.15)
c
б
 h   h 1   h 2  ... (8.16)
Рис. 8.6. Последовательное соединение
трубопроводов: а) схема; б) характеристика
Если построить характеристики 1 и
2 каждого из последовательно соединенных участков труб (Рис. 8.6б), то суммарную характеристику трубопровода (1+2), в соответствии с зависимостями
(8.15 и 8.16), можно получить путем сложения ординат (потерь напора) при
одинаковых абсциссах (расходах).
Методика расчета такого трубопровода аналогична рассмотренной методике для простого длинного трубопровода.
С учетом зависимости (8.12) и, предполагая, что последовательно соединено n участков труб, запишем уравнение 8.16 в виде
n L
Vc2
Vc2
Vc2
2
i
.
(8.17)
h

H

L

L

...

L

V

p
1
2
n
c 
2
2
2
2
1 k
k1
k2
kn
i
Из уравнения (8.17) видно, что решение первого и второго типов задач будет таким же, как для трубопровода постоянного диаметра.
Третий тип задач, если возникает необходимость определения диаметров
всех участков труб, становится неопределенным, так как в этом случае уравнение (8.17) содержит n неизвестных. Совершенно очевидно, что эта задача может быть решена, если задать диаметры труб всех участков, кроме одного.
Закон распределения давления вдоль трубопровода может быть установлен
графически путем построения пьезометрической линии (Рис. 3.8).
1
2
ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ТРУБОПРОВОДОВ
Параллельное соединение трех (в самом общем случае n ) простых трубопроводов (1, 2, 3) между точками А и В показано на рис. 8.7а.
Каждый из этих трубопроводов, в свою очередь, может состоять из отдельных участков, соединенных последовательно и содержащих разные местные сопротивления.
h
НА
Vc
А
1
Vc 1
2
Vc 2
3
Vc 3
а
Н
w
1
2
(1  2  3)
3
НВ
В
Vc 1 Vc 2 Vc 3
б
Vc
Vc
Рис.8.7. Параллельное соединение трубопроводов: а) схема; б) характеристика
Обозначим полные напоры в узловых точках А и В соответственно через
Н А и Н В . Расход в основной магистрали (до точки А и после точки В) равен
V c , а в параллельных ветвях – Vc1 , Vc 2 и Vc 3 .
Совершенно очевидно, что для представленной схемы расход жидкости до
разветвления трубопровода равен сумме расходов во всех параллельных трубопроводах
Vc  Vc1  Vc 2  Vc 3  ... .
(8.18)
Потери напора, при заданном постоянном расходе через систему V c , в
каждом трубопроводе ответвления будут одинаковы и равны располагаемому
напору, т.е. разности напоров Н А и Н В в узловых точках разветвления.
(8.19)
H p  H A  H B   h w   h 1   h 2   h 3  ...
Согласно уравнению (8.8) для любой из параллельных ветвей имеем
Hp
Vci  k i
(8.20)
Li
и уравнение (8.18) приобретает вид
n
k
Vc  H p  i .
(8.21)
1
Li
Решая уравнение (8.21) относительно располагаемого напора получим
1
.
(8.22)
H p  Vc2
2
n
 k

 i Li 
 1

Из этого уравнения при заданных V c , диаметрах и длинах ветвей можно
найти величину потерь напора, а затем по (8.20) определить расходы в каждой
из ветвей.
Третий тип задач – определение диаметров при заданном расходе, располагаемом напоре и длинах ветвей, является неопределенным, так как, при любом сочетании диаметров параллельных ветвей, уравнения (8.21) и (8.22) будут
удовлетворять заданным условиям.
На основании уравнений (8.18) и (819) следует, что суммарную характеристику трубопровода (1+2+3) можно получить путем сложения абсцисс (расходов) при одинаковых ординатах (потерях напора) (Рис. 8.7б).
СИФОННЫЙ ТРУБОПРОВОД
Сифонным называют такой трубопровод, часть которого расположена выше уровня жидкости в питающем резервуаре (Рис. 8.8).
Основной особенностью сиII
фонного трубопровода является
наличие в нем вакуума.
Таким
образом,
сифон
h
начнет работать только после
предварительного создания в нем
I
вакуума откачкой воздуха из
трубопровода или после предва1
2
w
рительного заполнения его жидкостью.
Нр
2g
Для того чтобы убедиться в
2
III этом составим уравнение Бернулли для сечений I и II , совместив плоскость сравнения с
первым сечением. Питающий резервуар
открытый,
поэтому
р I  р атм , а скорость течения
Рис. 8.8. Сифонный трубопровод: 1. напорная
линия; 2. пьезометрическая линия
жидкости в трубопроводе есть
величина постоянная w  const ,
так как диаметр по всей длине не изменяется. Тогда
р ат
p II w 2
w2
l w2
h

 

,
g
g 2g
2g
d 2g
откуда
p ат  p II
l  w2

 h вак  h   1       
.
(8.23)
g
d  2g

Следовательно, вакуум, создаваемый в самой высшей точке сифонного
трубопровода, затрачивается на подъем жидкости на высоту вылета h и на преодоление всех сопротивлений на восходящей части трубопровода.
Очевидно, что чем больше высота вылета сифона h , тем глубже вакуум.
Для идеального случая, для воды при обычных температурах, теоретически
возможная наибольшая высота h  10,3 м. В действительности, при понижении
давления в сечении II до давления насыщенных паров при данной температуре,
начинается кавитация и движение жидкости нарушается. Практически, например, для воды максимальная высота вылета сифона не превышает h  6  7 м.
Движение жидкости в сифонном трубопроводе осуществляется под действием располагаемого напора Н р . Составляя уравнение Бернулли для сечений
I и III , получим уже известное уравнение (8.2), из которого следует, что разность уровней в верхнем и нижнем резервуарах затрачивается на преодоление
всех сопротивлений в системе сифонного трубопровода.
НАПОРНАЯ ВЕРТИКАЛЬНАЯ ТРУБА
Рассмотрим случай истечения в атмосферу через напорную вертикальную
трубу (Рис. 8.9).
Н
I О
h
h вак
max
h вх
Н
h w/
h вак
L
1
2
z
450
w 2 2g
II
hw
О
Рис. 8.9. Напорная вертикальная труба: 1. напорная линия;
2. пьезометрическая линия
Плоскость сравнения проведем через выходное сечение трубы II .
Напорную и пьезометрическую линии для такого трубопровода будем
строить, откладывая все величины в горизонтальном направлении от некоторой
вертикальной плоскости отсчета ОО . Все обозначения приведены на рис. 8.9.
Зависимости для скорости истечения и расхода жидкости имеют вид
1
w
2gH ,
1    сист
d 2
1
Vc 
4 1    сист
2gH
где   сист – суммарный коэффициент сопротивления, учитывающий сопротивления,
как по длине трубопровода, так и на преодоление местных сопротивлений.
Данный трубопровод, так же как и сифон, характеризуется наличием вакуума. Величина вакуума в произвольном сечении, на расстоянии z от плоскости
сравнения

w2 
/
(8.24)
 ,
h вак  z   H  h w 
2
g


/
где h w – полная потеря напора от сечения I до рассматриваемого сечения.
Максимальная величина вакуума имеет место на входе жидкости в трубопровод z  L 
w2
h вак  L 
 H.
(8.25)
2g
max
Из зависимости (8.25) следует, что максимальный вакуум увеличивается с
увеличением длины трубы. При больших значениях h вак во входном сечении
трубопровода возможен разрыв струи, который заполняется насыщенными парами воды. Предельную максимальную длину трубы, которая характеризуется
отсутствием разрыва струи, можно определить по величине допустимого вакуума, соответствующего этому условию
w2
.
(8.26)
L пр  Н  h вак 
2g
max
доп
ЗАДАЧА О ТРЕХ РЕЗЕРВУАРАХ
Данная задача довольно часто встречается в инженерной практике и с гидравлической точки зрения представляет большой интерес. Заключается она в
определении направлений и расходов жидкости в системе, состоящей из трех
резервуаров А, В и С (Рис. 8.10). Резервуары расположены на разных высотах и
соединены участками трубопроводов 1, 2 и 3, сходящимися в общей узловой
точке М. Та или иная схема работы рассматриваемых трубопроводов будет зависеть от соотношения гидродинамических напоров в резервуарах.
Длины участков трубопроводов и их диаметры известны и, соответственно, равны – l 1 ,l 2 , l 3 и d 1 , d 2 , d 3 .
Если плоскость сравнения провести через точку М, то гидродинамические
напоры в каждом резервуаре будут равны высотам свободных поверхностей в
них над узловой точкой – Н А , Н В , Н С . Будем считать, что Н А  Н В  Н С .
В точке М гидродинамический напор Н М будет зависеть от соотношения
потерь напора в трубопроводах, связывающих точку М с резервуарами.
Как показывает анализ работы резервуаров, напор Н М не может быть
больше Н А и меньше Н С , но в разных условиях возможно, что Н М  Н В ,
Н М Н В и Н М  Н В .
Очевидно, что в первом из этих вариантов резервуар В питается из резервуара А и вода по третьему участку трубопровода движется вверх, кроме того
вода из резервуара А поступает и в резервуар С.
Во втором варианте резервуар С питается из резервуаров А и В и вода на
третьем участке трубопровода движется вниз.
В третьем варианте течения воды на третьем участке трубопровода нет, резервуар В выключен и жидкость из резервуара А течет в резервуар С.
Направление движения жидкости в трубопроводах для каждого варианта
показано на рис. 8.10, I, 8.10, II и 8.10, III. Чтобы установить, какой из трех возможных вариантов имеет место в данном конкретном случае, предположим, что
НА=НМ (третий вариант).
По зависимости (8.8) определим расходы Vc1 и Vc 3 и сопоставим их
Vc1  k 1
НА  НМ
,
l1
(8.27)
НМ  Нс
.
(8.28)
l3
Если Vc1  Vc 3 , то первоначальное предположение верно, резервуар В выключен и, следовательно расчет закончен.
Если же окажется, что Vc1  Vc 3 или Vc1  Vc 3 , то предварительный выбор не
верен и, решив систему четырех уравнений, написанных для соответствующего
варианта (первого или второго), определим расходы на всех участках и напор в
точке М.
Первые два уравнения – это зависимости (8.27) и (8.28).
Третьим уравнением будет зависимость для определения расхода на втором участке трубопровода при различных соотношениях напоров Н М и Н В
Vc 3  k 3
При Н М  Н В
Vc 2  k 2
НМ  НВ
.
l2
(8.29)
При Н М  Н В
Vc 2  k 2
НВ  НМ
.
l2
(8.30)
Vc 2  0
При Н М  Н В
(8.31)
Четвертым уравнением служит уравнение расходов (количеств жидкости
подводимого к точке М и отводимого от нее), составленное, соответственно,
для указанных выше соотношений напоров Н М и Н В
Vc1  Vc 2  Vc 3 ,
(8.32)
Vc1  Vc 2  Vc 3 ,
(8.33)
Vc1  Vc 3 .
(8.34)
Таким образом, система уравнений, например, для первого варианта, будет
включать в себя зависимости 8.27, 8.28, 8.29 и 8.32.
Приведенную систему уравнений достаточно просто можно решить для
квадратичного режима.
Эту задачу можно решить и графоаналитическим методом, который основан на построении характеристик каждого участка трубопровода. В данном
случае этот метод оказывается наиболее простым и наглядным и, при этом, мы
получаем достаточно точные результаты.
I вариант. (Рис. 8.10, I). Построим кривые зависимости напора в узловой
точке М до расхода для участков 2 и 3. Так как эти участки соединены параллельно, их суммарную характеристику (кривая 2+3) найдем сложением абсцисс
этих кривых при постоянных ординатах.
Затем строим характеристику участка 1. При построении этой характеристики необходимо помнить, что резервуар А – питающий, и напор, создаваемый им в системе, с увеличением расхода уменьшается. Поэтому потери напора, вычисленные для первого участка трубопровода, вычитаем из значения
начального напора в резервуаре А.
Н
1
А
3
б

2
а
с


2+3
НА
С
1
Vc 2
НВ
В
3
2

Vс 3
Vc
Vc 2
НС
М
I
Н
1
А
б
с
1+2
а
2
НА
1
В
3
НВ
С
2
Vc 2

Vс 3
3
М
Vc
Vс 1
НС
II
Н
1
А
а
3
НА
1
В
2
НВ

М
С
Vc1  Vс 3
3
НС
Рис. 8.10. К задаче о трех резервуарах
III
Vc
Точка пересечения построенных таким образом кривых 2+3 и 1 (точка а)
определяет суммарный расход жидкости ( Vc1 ), поступающий из резервуара А в
резервуары В и С. По точкам б и с, находящимся на пересечении характеристик
участков 2 и 3 с горизонтальной линией, проведенной через точку а, определим, соответственно, расходы на этих участках.
II вариант (Рис. 8.10, II). В этом случае, как мы указывали ранее, резервуары А и В – питающие и, следовательно, участки трубопроводов 1 и 2 работают
параллельно. Характеристики участков 1 и 2 построим, вычитая потери напора
из значений начальных напоров (НА и НВ). Суммарную характеристику этих
участков 1+2, как и в первом варианте, получим путем сложения абсцисс этих
кривых при постоянных ординатах.
Опуская перпендикуляр из точки а, находящейся на пересечении кривых
1+2 и 3, определим расход жидкости, поступающей в резервуар С из резервуаров А и В. Расходы на участках 1 и 2 определим, опуская перпендикуляры из
точек б и с, находящихся на пересечении горизонтальной прямой, проведенной
через точку с, с характеристиками участков 1 и 2.
III вариант (Рис. 8.10, III). Как видно на схеме, точка а, полученная путем
пересечения характеристик участков 1 и 3, располагается на уровне свободной
поверхности жидкости, в резервуаре В. Это значит, что расход на участке 2 равен нулю и вся жидкость из резервуара А подается только в резервуар С.
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
Глава девятая
Движение жидкости, при котором основные параметры потока (скорость,
давление) является функцией не только координат точки, но и времени называется неустановившимся движением жидкости, т.е.
w  f x, y , z ,   и p   x, y , z ,   .
(9.1)
Не вдаваясь в подробности вывода, запишем уравнение Бернулли для неустановившегося движения струйки идеальной несжимаемой жидкости между
сечениями I и II в виде
p I u I2
p II u II2 1 l u
(9.2)
zI 

 z II 

 
dl .
g 2g
g 2g g 0 
Уравнение (9.2) отличается от уравнения Бернулли для элементарной
струйки идеальной жидкости (3.22) лишь четвертым слагаемым в правой части,
которое называется инерционным напором
1 l u
(9.3)
h ин  
dl ,
g 0 
т.е. инерционный напор – есть разность полных напоров (энергий) в рассматриваемых сечениях I и II в данный фиксированный момент времени, обусловленная ускорением или торможением потока жидкости. При этом в зависимости от знака инерционного напора, полный напор по длине элементарной
струйки в направлении движения может или убывать, если инерционный напор
положителен, или возрастать, если инерционный напор отрицателен.
Для неустановившегося потока вязкой жидкости для определенного момента времени с учетом неравномерности распределения скоростей и суммарных потерь напора уравнение (9.2) будет иметь вид
pI
w I2
p II
w II2
1 l w
zI 
 I
 z II 
  II
  hw  
dl . (9.4)
g
2g
g
2g
g 0 
Для трубы постоянного диаметра ускорение а  w   const , следовательно, инерционный напор
1 w l
a
(9.5)
h ин 
dl  l .

g  0
g
Инерционный напор оказывает влияние на изменение энергии потока по
его длине и поэтому может служить или источником дополнительной энергии
при w  0 , или оказывать сопротивление движению при w  0 .
Особенно сильно это влияние проявляется при больших значениях w  ,
что, например, имеет место при гидравлическом ударе в трубах.
ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ УДАР
Гидравлическим ударом называют явление резкого изменения давления в
напорном трубопроводе при внезапном изменении скорости движения жидкости.
Этот процесс является достаточно быстротечным, вызывающим деформацию жидкости и стенок
с
n
р0
трубопровода, вследствие
чередования резкого повыw
w0
р0
шения и понижения давлеа р  р
0
уд
ния.
n
Чаще всего гидравлир 0  р уд
w0
ческий удар возникает при
р0
б
с
быстром закрытии запорn р0
ных устройств установленр 0  р уд
w
w0
ных на трубопроводе, но
р0
в
могут быть и другие причир0
n
ны его возникновения,
w
например,
мгновенная
р0
остановка насоса.
г
с
р0
n
Впервые
теоретичеw0
w
ские и экспериментальные
р0
исследования явления гидд
р 0  р уд
w0
n
равлического удара были
выполнены Н.Е. Жуковр0
ским, который в своей рар 0  р уд
е
р0
n
с
боте «О гидравлическом
w0
ударе», обосновал волновой
w
р0
характер распространения
ударного давления. По ж р 0  р уд
формуле,
предложенной
Рис. 9.1. Схема развития гидравлического удара
Н.Е. Жуковским, можно
определить скорость распространения ударной волны в реальной жидкости с
учетом сжатия жидкости и расширения стенок трубопровода. Таким образом,
появилась возможность заранее определить повышение давления, возникающее
в трубопроводе при внезапной остановке жидкости и предусмотреть меры
предотвращения гидравлического удара. Пренебрегать сжимаемостью жидкости, как это обычно допускается во многих практических задачах гидравлики, в
данном случае нельзя, так как малая сжимаемость жидкости и является причиной повышения давления в трубопроводе.
Рассмотрим схему развития гидравлического удара в заполненном жидкостью трубопроводе в случае мгновенного закрытия задвижки (Рис. 9.1).
Поток жидкости вытекает из резервуара с постоянным давлением р 0 и
движется по трубопроводу со скоростью w .
При мгновенном закрытии задвижки, установленной на конце трубопровода, жидкость резко останавливается, а давление повышается (Рис. 9.1, а). Кинетическая энергия частиц жидкости, натолкнувшихся на задвижку, переходит в
работу деформации стенок трубы и жидкости. При этом стенки трубы растягиваются, а жидкость сжимается. На остановленные частицы жидкости набегают
другие, соседние с ними и тоже теряют скорость, в результате чего сечение n
перемещается от крана к резервуару со скоростью c , которая называется скоростью распространения ударной волны. Давление, в части трубопровода, с остановившейся жидкостью повышается на величину р уд .
Когда сечение n достигнет резервуара, скорость жидкости во всей длине
трубопровода будет равна нулю, а давление – р 0  р уд (Рис. 9.1, б).
Но такое состояние не является равновесным. Под действием перепада
давления р уд начнется движение жидкости из трубы в резервуар. При этом
сечение n перемещается в обратном направлении с той же скоростью, оставляя
за собой давление р 0 (Рис. 9.1, в). Работа деформации полностью переходит в
кинетическую энергию. Жидкость в трубе приобретает первоначальную скорость w , но направленную в противоположную сторону.
С этой скоростью столб жидкости (Рис. 9.1, г) стремится оторваться от задвижки, в результате чего возникает отрицательная ударная волна. Сечение n
вновь движется к резервуару со скоростью c , оставляя за собой сжавшиеся
стенки трубопровода и расширившуюся жидкость (Рис. 9.1, д).
Когда сечение n вновь достигнет резервуара, скорость жидкости во всей
длине трубопровода будет равна нулю, а давление – р 0  р уд (Рис. 9.1, е). Это
состояние, как и для случая, изображенного на рис. 9.1, б, также не является
равновесным. Под действием разности давлений в резервуаре и трубопроводе
начинается движение жидкости из резервуара со скоростью w . Как только сечение n достигнет задвижки, возникнет ситуация как и в первом случае (Рис.
9.1, а). Весь цикл гидравлического удара повторится. При отсутствии потерь
последует бесконечное число таких же циклов колебания давления и скорости.
В действительности наличие необратимых внутренних потерь энергии
приведет к быстрому затуханию колебаний давления.
Определим величину повышения давления в трубопроводе в результате
гидравлического удара, предполагая отсутствие затухания колебания и считая
стенки трубопровода неупругими.
При скорости распространения ударного давления в жидкости с за промежуток времени  волна повышенного давления пройдет путь х  с от запорного устройства и захватит объем жидкости V  c  F .
На массу жидкости с  F в течение времени  действует сила, возникающая от гидравлического удара р уд  F .
При остановке объема жидкости, двигавшегося со скоростью w , импульс
действующих сил равен соответствующему изменению количества движения,
т.е. справедливо следующее условие с  Fw  р уд  F .
Таким образом, ударное повышение давления в трубопроводе при внезапной остановке жидкости будет равно
(9.6)
р уд  сw .
Величину скорости распространения ударной волны с определим из условия, что кинетическая энергия движущейся жидкости К , в момент ее внезапной
остановки, переходит в работу по деформации жидкости А ж и стенок трубопровода А с , а именно
К  Аж  Ас .
(9.7)
Допустим, что течение жидкости происходит в трубопроводе диаметром
d , длиной l и, имеющего толщину стенки  . Модуль упругости материала, из
которого изготовлен трубопровод равен Е с , а модуль упругости жидкости, соответственно Е ж .
Тогда кинетическая энергия движущегося столба жидкости будет равна
mw 2 d 2 4lw 2  2
К

 d lw 2 .
(9.8)
2
2
8
Работа по деформации (сжатию) столба жидкости от объема Vн до объема
Vк при изменении давления от 0 до р уд
Vк
А ж   рdV .
(9.9)
Vн
Из уравнения сжимаемости  V  1 Е ж  dV Vdp , получим
Vdp d 2 l
dV 

dp .
(9.10)
Eж
4E ж
Подставляя значение dV из (9.10) в зависимость (9.9) и, изменяя пределы
интегрирования, получим
р
d 2 l
Аж  
pdp ,
0 4E ж
или после интегрирования
 d2l
Аж 
р 2уд .
(9.11)
8 Eж
Работа по деформации (растяжению) стенок трубопровода (Рис. 9.2) в пределах применимости закона Гука, отнесенная к единице объема материала
стенки

,
(9.12)
ас 
2
где  – напряжение растяжения в стенке;
г
  r r – относительная деформация (растяжения) стенки.
Но по закону Гука    Е с и тогда
 
2
ас  

.
(9.13)
2 Е с 2Е с
Полный объем материала стенки трубопровода раr
вен dl , с учетом этого полная работа деформации
r
стенки
2
р уд
А с  а с dl 
dl .
(9.14)
2E c
Напряжение в тонкой стенке при равномерно расРис.9.2. Схема дефор- пределенном давлении в трубопроводе р уд равно
мации трубопровода

р уд d
.
(9.15)
2
С учетом зависимости (9.15) выражение (9.14) примет вид
р 2уд d 2
 d3l
(9.16)
Ас 

dl


р 2уд .
2
8 E c
8 E c
Подставляя зависимости (9.8, 9.11 и 9.16) в выражение (9.7), после не
р 2уд 
d  Eж 
2
 1 
.
сложных преобразований получим w 
Еж 
  Е с 
Из этого выражения, предварительно умножив числитель и знаменатель на
 , определим ударное повышение давления (формула Жуковского) в трубопроводе с учетом упругости стенок и сжимаемости жидкости
Еж
1
.
(9.17)
р уд  w


1  (d  E ж   Е с )
Если в зависимости (9.17) принять, что Е с   (не упругая стенка), тогда
Еж
.
(9.18)

Сравнивая зависимости (9.6) и (9.18), получим
Еж
.
(9.19)
с

Следовательно, скорость распространения волны гидравлического удара
равна скорости звука в среде, имеющей плотность  и модуль упругости жидкости Е ж . Для воды эта скорость равна 1435 м с .
Если гидравлический удар начинается с повышения давления, то его называют положительным.
Рассмотренный выше пример возникновения гидравлического удара, вызванного внезапным закрытием задвижки, является положительным ударом.
Если гидравлический удар начинается с понижения давления, то его называют отрицательным.
р уд  w
Примером отрицательного гидравлического удара является удар, вызванный внезапным открытием задвижки или внезапной остановкой насоса.
Как видно из зависимостей (9.6) и (9.18), ударное повышение давление
р уд зависит от скорости движения жидкости в трубопроводе, плотности жидкости  , модулей упругости жидкости Е ж и материала трубопровода Е с , но не
зависит от начального давления в потоке р 0 .
Очевидно, что гидравлический удар наиболее опасен для трубопроводов,
рассчитанных на не высокое давление.
СПОСОБЫ ПРЕДОТВРАЩЕНИЯ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО УДАРА
Гидравлический удар может вызвать разрыв трубопроводов, разрушение
деталей гидравлических машин и приборов, нарушение работы отдельных
устройств гидросистем (реле времени, реле давления, распределителей, гидрозамков и др.).
Одним из важнейших средств предотвращения гидравлического удара
служит замедление процесса перекрытия трубопроводов запорными устройствами.
Выше был рассмотрен случай возникновения гидравлического удара, вызванного мгновенным закрытием задвижки, когда время закрытия равно нулю
з  0 .
В действительности закрытие задвижки происходит не мгновенно, а в течение конечного, хотя и малого времени. При этом ударное повышение давления будет зависеть от закона закрытия задвижки и в некоторых случаях будет
меньше, чем вычисленное по формуле Жуковского.
Если в трубопроводе длиной l волна повышенного давления движется со
скоростью c , то расстояние от задвижки до резервуара и обратно она пройдет
за время  0  2l c , которое называется фазой гидравлического удара.
В зависимости от времени закрытия задвижки  з , по сравнению с фазой
гидравлического удара  0 , различают прямой и непрямой гидравлический удар.
Для прямого гидравлического удара характерно условие  з   0 . В этом случае наибольшее повышение давления в результате гидравлического удара
определяют по формулам (9.6) или (9.18).
При соотношении  з   0 возникает непрямой гидравлический удар. При
этом ударная отраженная волна возвращается от резервуара к еще не полностью закрытой задвижке, и удар будет значительно ослаблен.
Ударное повышение давления в трубопроводе для этого случая можно
определить по приближенной зависимости

р уд  сw 0 .
(9.20)
p
Продолжительность закрытия задвижки, исходя из условия предотвращения гидравлического удара, может быть определена по формуле Жуковского
2wl
.
(9.21)
p уд
Таким образом, применяя постепенно закрывающиеся гидравлические задвижки различных конструкций, можно устранить причины, вызывающие гидравлический удар в трубопроводах.
Разрушения трубопровода, вследствие гидравлического удара, можно избежать, если рассчитать толщину его стенки по величине давления, учитывающей р уд (9.15), т.е.
р 0  р уд   d

,
(9.22)
2 
где  – допускаемое напряжение растяжения.
Для ослабления вредного влияния гидравлического удара на прочность
трубопровода, применяют различного типа предохранительные клапаны и
воздушные колпаки, устанавливаемые вблизи запорных устройств, являющихся
источником гидравлических ударов. Схема установки
воздушного колпака на трубопроводе показана на рис.
9.3. В воздушном колпаке энергия, возникающая от
ударного повышения давления, расходуется на сжатие
воздуха в колпаке. По принципу действия
предохранительные клапаны и воздушные колпаки
амортизируют удары, возникающие в жидкости,
отводя некоторый объем жидкости из трубопровода в Рис. 9.3. Схема установки
момент удара. Кроме того, использование этих воздушного колпака
устройств позволяет локализовать распространение ударной волны в пределах
расстояния от запорного устройства до места установки воздушного колпака
или предохранительного клапана.
Примером практического использования гидравлического удара в
полезных целях служит гидравлический таран.
з 
ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ И НАСАДКИ
Глава десятая
Законы истечения жидкости из отверстий и насадков различной формы
имеют большое практическое значение, так как довольно часто они применяются при решении многих технических задач.
Так, например, в пищевой промышленности, рассматриваются вопросы истечения жидкости, причем в широком диапазоне вязкости, при заполнении различной тары, определения времени полного опорожнения резервуаров или измерения расхода протекающей жидкости.
Для расчета технологических процессов, связанных с истечением жидкости из отверстий и насадков, нельзя пользоваться зависимостями, выведенными
ранее для идеальной жидкости. В практических расчетах наибольший интерес
представляет задача о связи между давлением (напором) в каком либо резервуаре и расходом или скоростью струи, вытекающей из отверстия или насадка.
Истечение из отверстий и насадков может происходить в различных условиях. Вытекающая струя может непосредственно на выходе из отверстия и
насадка находиться под атмосферным давлением – истечение в атмосферу, или
попадает в другой сосуд с жидкостью – истечение под уровень.
И в том, и в другом случае истечение может происходить при постоянном
и переменном напоре. При достаточно большой площади поперечного сечения
сосуда скорость опускания уровня жидкости в сосуде можно считать равной
нулю.
При истечении жидкости из отверстия вводят понятия «тонкая» и «толстая» стенка.
Стенка считается тонкой, если струя вытекающей жидкости соприкасается
лишь с кромкой отверстия, обращенной внутрь сосуда, а толщина стенки не
оказывает влияния на характер истечения. Экспериментально установлено, что
стенку можно считать тонкой, если ее толщина не превышает двух диаметров
отверстия, т.е.  2d (для круглых отверстий).
Толстой называют стенку, толщина которой более трех характерных размеров отверстия в ней.
Кроме того, в зависимости от распределения давления по сечению струи,
различают малые и большие отверстия.
Малым считают такое отверстие, диаметр (или вертикальный размер – для
отверстий, форма которых отличается от круглой) которого составляет менее
0,1 напора. Такое ограничение относительно вертикального размера позволяет
считать скорости отдельных струек в живом сечении вытекающей струи одинаковыми.
Большим отверстием соответственно считают такое, для которого диаметр
или наибольший размер отверстия по вертикали d 0,1H .
ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ МАЛОЕ ОТВЕРСТИЕ В
ТОНКОЙ СТЕНКЕ
Рассмотрим случай истечения жидкости из большого резервуара через малое круглое отверстие в тонкой стенке (Рис. 10.1, а). При достаточно большой
площади поперечного сечения резервуара скорость опускания уровня в резервуаре можно принять равной нулю. Будем считать избыточное давление в сосуде постоянным (движение
 2d
установившееся) и равным
d0
р0
р 0 . Отверстие с площадью
с
0
0
живого сечения равной F0
dс
находится на достаточно
большой глубине Н от своd0
Н
бодной поверхности. Будем
с
0,5d 0
считать, что в резервуаре
поддерживается постоянный
с
уровень Н . Истечение прос
исходит в воздушное или габ
а
зовое пространство с давлением р 1 .
Рис. 10.1. Истечение жидкости через малое круглое
отверстие в тонкой стенке: а) общий вид; б) схема
Частицы
жидкости
круглого отверстия
приближаются к отверстию
из всего прилежащего объема, двигаясь ускоренно по криволинейным траекториям. На некотором расстоянии от стенки, равном примерно 0,5 диаметра отверстия, кривизна линий токов уменьшается, отдельные струйки располагаются
почти параллельно, при этом наблюдается заметное уменьшение живого сечения вытекающей струи. Причиной, вызывающей сжатие струи, является инерционность частиц жидкости, приближающихся к отверстию по радиальным
направлениям, особенно вдоль стенок резервуара. Эти частицы, стремясь по
инерции сохранить направление своего движения, огибают кромку отверстия и
образуют поверхность струи на участке сжатия.
Степень сжатия струи характеризуется коэффициентом сжатия  , представляющим собой отношение площади сжатого живого сечения струи Fc к
площади отверстия F0
2
F d 
  c   c  .
F0  d 0 
(10.1)
Для установления закономерностей истечения через малые отверстия в
тонкой стенке составим уравнение Бернулли для сечений 0  0 и с  с относительно горизонтальной плоскости, проходящей через центр тяжести отверстия
p 0  1 w 12
p c  с w с2
(10.2)
z1 

 z2 

 hw .
g
2g
g
2g
В соответствии с оговоренными условиями и принятыми обозначениями
определим каждое слагаемое в уравнении Бернулли:
1. z 1  H , z 2  0 ;
2. p c  p 1 . Если резервуар будет открыт, а истечение происходит в атмосферу, то р 0  р с  р ат .
3. w 1  0 , так как уровень жидкости в резервуаре Н и давление на свободной поверхности жидкости р 0 в процессе истечения остаются постоянными.
w c2
4. h w  h    тс
, т.е. при истечении жидкости через малое отверстие
2g
возникают потери напора на преодоление местных сопротивлений в тонкой
стенке. Для большинства случаев истечения через малое отверстие в тонкой
стенке  тс  0,06 .
Тогда, для рассматриваемого случая уравнение Бернулли примет вид
p 0 p 1  с w с2
w c2
p 0  p1
w c2
или H 
 c   тс  ,
Н


  тс
 H0 
g g
2g
2g
g
2g
а скорость истечения жидкости в сжатом сечении струи
1
wc 
 2gH 0   2gH 0 ,
(10.3)
 c   тс
где  
1
– коэффициент скорости;
 c   тс
Н 0 – действующий напор.
Для идеальной жидкости   0 ,   0 , следовательно,   1 и скорость истечения идеальной жидкости (формула Торичелли)
(10.4)
w и  2gH 0 .
Сравнивая формулы (10.3) и (10.4) можно сделать заключение, что коэффициент скорости  есть отношение действительной скорости истечения к
скорости идеальной жидкости
wc
w

 c .
(10.5)
2gH 0 w и
Действительная скорость истечения w c всегда меньше идеальной вследствие наличия сопротивлений при истечении, следовательно, коэффициент скорости всегда меньше единицы.
На основании опытных данных с большой степенью точности можно считать, что  с  1 . Тогда   1 1  0,06  0,97 .
Расход жидкости через малое отверстие в тонкой стенке определим как
произведение скорости на площадь живого сечения струи
(10.6)
Vc  w c Fc  F0  2gH 0  F0 2gH 0 ,
где    – коэффициент расхода.
На истечение жидкости через отверстие и, в частности, на степень сжатия
струи оказывает влияние расположение отверстия в дне резервуара или боковой
тонкой стенке. При этом изменяется и значение коэффициента расхода жидкости.
В зависимости от расположения отверстия различают следующие виды
сжатия (Рис. 10.2):
1. Полное сжатие – это такой случай истечения, при котором наблюдается
сжатие струи по всему периметру отверстия (отверстия 1 и 2).
2. Неполное сжатие характерно отсутствием сжатия струи с одной или нескольких сторон (отверстия 3 и 4).
Полное сжатие, в свою очередь, подразделяют на совершенное и несовершенное сжатие.
Совершенным сжатием называют такое сжатие, при котором боковые
стенки и дно сосуда не оказывают влияния на степень сжатия струи. Это имеет место, если стенки удалены от отверm3а
стия на расстояние, больше утроенной длины соответа
1
ствующей стороны отверстия.
2
n3а
Например, для квадратного отверстия со стороной
равной «а» полное совершенное сжатие наблюдается при
4
3
выполнении условия m 3a и n 3a (отверстие 1).
Рис. 10.2. Случаи
Если расстояние от стенки до ближайшей кромки отвозможного расположения отверстий верстия становится меньше утроенной длины соответна боковой стенке ствующей стороны отверстия ( m 3a и n 3a ), то имеет мерезервуара
сто полное несовершенное сжатие (отверстие 2).
При несовершенном сжатии коэффициент расхода для квадратичной зоны
движения жидкости вычисляют по формулам, предложенным Павловским Н.Н.:
для круглых отверстий
 нес   1  к 1  ;
(10.7)
для прямоугольных отверстий
 нес   1  к 2  ,
(10.8)
где  – коэффициент расхода при полном сжатии;
к 1 и к 2 – поправочные коэффициенты, зависящие от отношения площади отверстия
Fo к площади поперечного сечения потока перед отверстием Fст ( Fo Fст ).
Значения коэффициентов к 1 и к 2 в формулах (10.7) и (10.8) приведены в
таблице.
Fo Fст
к1
к2
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,70
0,007 0,014 0,023 0,034 0,045 0,059 0,075 0,092 0,112 0,134 0,161 0,189 0,260
0,009 0,019 0,030 0,042 0,056 0,071 0,088 0,107 0,128 0,152 0,178 0,208 0,278
При неполном сжатии для определения коэффициента расхода можно воспользоваться следующей формулой

n
(10.9)
 неп   1  к  ,
p

где  – коэффициент расхода при совершенном сжатии;
n – часть периметра отверстия, на котором отсутствует сжатие;
р – полный периметр отверстия;
к – коэффициент, равный 0,13 для круглых отверстий и 0,15 для прямоугольных
отверстий.
Следует отметить, что все коэффициенты, характеризующие истечение зависят от числа Рейнольдса ( Re ). На рисунке 10.3 приведены кривые (график
А.Д. Альтшуля) зависимо, , 
сти коэффициентов  ,  и
1,0
 от числа Re для случая
  f 2 Re 
истечения жидкости через
0,9
малое отверстие в тонкой
0,8
стенке.
  f 1 Re 
Из графика видно, что
0,7
с увеличением Re , коэф0,6
  f 3 Re 
фициент  возрастает, а
0,5
коэффициент  уменьшается. Значения коэффици0,4
ентов  и  при этом
0,3
асимптотически
прибли10
102
104
105
103
106 жаются к их значениям, соd
Re 
2gH 0 ответствующим истечению

идеальной жидкости, т.е.
Рис. 10.3. Зависимость  ,  и  от Re для малого при
Re  
значения
круглого отверстия в тонкой стенке
  1 и   0,6 .
Изменение коэффициента расхода (    ) имеет более сложный характер.
С увеличением числа Рейнольдса коэффициент  сначала увеличивается, что
обусловлено крутым возрастанием  , а затем, достигнув максимального значения ( Re  400 ), уменьшается в связи со значительным падением  и при больших значениях Re практически стабилизируется на величине равной
  0,6  0,62 .
Для маловязких жидкостей, истечение которых обычно происходит при
достаточно больших числах Re , коэффициенты истечения изменяются в небольших пределах. Поэтому, в практических расчетах можно принимать следующие осредненные значения –   0,64 ,   0,97 ,   0,62,   0,06 .
ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ЗАТОПЛЕННОЕ ОТВЕРСТИЕ
В пищевой промышленности достаточно часто применяют аппараты, в которых жидкость из одного резервуара перетекает в другой, уже заполненный
жидкостью. Такое перетекание жидкости возp1
можно под действием соответствующей разI
ности уровней в резервуарах или разности
p2
давлений на свободных поверхностях. ВозII
можно также перетекание жидкости из одного
H1
H2
резервуара в другой при одновременном влияс
нии указанных факторов.
В этом случае истечение жидкости через
с
отверстие в пространство, также заполненное
жидкостью, называют истечением под уровень Рис. 10.4. Истечение жидкости
или истечением через затопленное отверстие через затопленное отверстие
(Рис. 10.4).
Составим уравнение Бернулли для сечений I и II, полагая движение установившимся, т.е. скорости изменения уровней жидкости в обоих резервуарах
равны нулю. Плоскость сравнения проходит через центр отверстия. Тогда
р
p
Н1  1  H 2  2  hw
(10.10)
g
g
В рассматриваемом случае суммарные потери напора складываются из потерь напора в тонкой стенке  тс и потерь напора при внезапном расширении
струи после прохождения отверстия  вр .
Следовательно, h w   тс   вр   w c2 2g .
Подставляя это выражение в уравнение Бернулли (10.10), и решая его относительно w c , получим
wc 
где   1
1
 тс   вр

p 
p
2g H 1  H 2    1  2     2gH 0 , (10.11)
 g g  

 тс   вр – коэффициент скорости;
p 
р
Н 0  Н 1  Н 2    1  2  – действующий напор.
 g g 
Для определения расхода служит та же зависимость, что и при истечении в
атмосферу через малое отверстие в тонкой стенке (10.6).
Если учесть, что за сечением с-с получается резкое расширение струи до
весьма больших размеров, можно считать  вр  0 .
Значения коэффициентов  и  обычно принимают равными соответствующим коэффициентам при истечении через незатопленное отверстие.
ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ БОЛЬШОЕ ОТВЕРСТИЕ
В ТОНКОЙ СТЕНКЕ
Если отверстие имеет размеры, соизмеримые с величиной действующего
напора Н0, то в этом случае нельзя пренебрегать изменением напора по высоте
отверстия. В соответствии с зависимостями для определения скорости и расхода видно, что эти параметры будут переменными, так как напор в верхней части
большого отверстия значительно меньше, чем в нижнем. Вид формулы для
определения суммарного расхода через большое отверстие будет зависеть от
его формы (круг, квадрат, прямоугольник и
т.д.).
H1
В качестве примера рассмотрим случай исH
B
течения через большое отверстие прямоугольH2
ной формы (Рис. 10.4). Разделим площадь отdH верстия на бесконечно узкие полоски высотой
dH и шириной В, одна из которых находится на
глубине Н под свободной поверхностью жидкости.
Рис. 10.5. Истечение жидкости
Выделенную элементарную площадку
через большое отверстие
можно рассматривать как малое отверстие в
тонкой стенке. Полагая, что коэффициент расхода  во всех элементарных слоях по высоте отверстия имеет постоянное значение, можно определить элементарный расход вытекающей жидкости через
элементарную площадку
(10.12)
dVc  BdH 2gH .
Для определения полного расхода проинтегрируем выражение (10.12) в
пределах от Н1 до Н2, и получим
H
1
3
3
2
Vc  B 2g  H 2 dH  B 2g H 2 2  H 1 2 .
(10.13)
3
H
В этой формуле коэффициент расхода  достаточно сильно изменяется в
зависимости от формы и размеров отверстия, совершенства и полноты сжатия и
др.
Аналогично (интегрированием) можно найти расход через круглое отверстие больших размеров, а также через отверстия другой формы сечения.
Расход через большие затопленные отверстия различной формы можно
определить так же, как и для незатопленных отверстий, причем напор Н в этом
случае будет равен разности уровней жидкости перед отверстием и за ним.
2


1
ТРАЕКТОРИЯ СТРУИ
Рассмотрим истечение жидкости через малое отверстие в тонкой вертикальной стенке (Рис. 10.5). Струя, вытекающая из отверстия, за время  проходит, не распыляясь, расстояния хо и уо.
Начало координатных осей х и у расположим в центре сжатого сечения
струи, в котором находится и некоторая материальная частица жидкости с массой m, имеющая скорость w c   2gH 0 .
Применим к этой частице уравнения движения,
известные из курса теоретической механики
H
с
х  w c  ; y  g 2 2 .
(10.14)
wc
Исключим из представленных уравнений (10.14)
время, и подставим выражение скорости в сжатом
yо
2y
x 2 2y
x2

сечении. Тогда 2 
или 2
.
wc
g
 2gH 0
g
xо
с
После несложных преобразований получим
уравнение траектории материальной частицы, котоРис.10.6.Траектория струи
рая и представляет собой уравнение оси струи
x2
y
.
(10.15)
4 2 H 0
Нетрудно убедиться, что выражение (10.15) – есть уравнение параболы.
Подставляя в (10.15) заданную или измеренную величину уо, определим
соответственно дальность полета струи хо.
(10.16)
x 0  2 H 0 y 0 .
Полученное выражение (10.16) используют для вычисления коэффициента
скорости  . Действительно, в лабораторных условиях, измерив величины хо и
уо и, пользуясь формулой (10.16), получим
x0

.
(10.17)
2 H0y0
Для случая, когда отверстие выполнено в наклонной стенке резервуара,
уравнение оси струи можно получить по аналогии с рассмотренным выше выводом. Только в выражении (10.15) скорость материальной частицы принимаем
равной проекции скорости wc на ось х.
ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ НАСАДКИ
Анализ истечения жидкостей через отверстия с острой входной кромкой
свидетельствует об их малой пропускной способности. Как мы уже отмечали,
коэффициент расхода при истечении через малое отверстие в тонкой стенке при
достаточно больших числах Re равен   0,62 . Расход протекающей жидкости
можно значительно увеличить, если изменить форму входа в отверстие, выполнив ее, например, закругленной.
Еще большего увеличения расхода можно достичь, если к отверстию в
тонкой стенке присоединить (насадить) короткую трубку того же диаметра, что
и отверстие. Такие трубки, имеющие обычно длину не менее трех диаметров
отверстия, называют насадками.
В зависимости от формы трубки, присоединяемой к отверстию, различают
следующие типы насадок, которые получили наибольшее распространение на
практике:
1. Цилиндрический внешний насадок;
2. Цилиндрический внутренний насадок;
3. Конический сходящийся насадок;
4. Конический расходящийся насадок;
5. Коноидальный насадок.
Насадок называют внешним, если он присоединен к отверстию снаружи, и
внутренним, если хотя бы часть насадка входит внутрь сосуда.
Для проведения анализа работы указанных типов насадок, сравнения коэффициентов истечения, будем считать, что входные диаметры отверстия и
всех типов насадок одинаковы.
Основные закономерности истечения жидкости через насадки рассмотрим
на примере цилиндрического внешнего насадка.
Цилиндрический внешний насадок (Рис. 10.7) представляет собой цилиндрическую трубку длиной l  3  5  d , имеющую острую входную кромку.
При протекании жидкости через более короткие насадки, или при истечении
под воздействием достаточно больших действующих напоров, струя, может
пролетать насадок, не касаясь его боковых
p0
I
I
стенок. В этом случае истечение происхоII
дит как из отверстия, но с ухудшенными
l
показателями. Такое явление называют
H
с
срывом истечения (срывом струи) через
dc
d2 насадок.
Жидкость, устремляясь в насадок из
резервуара, уже на входе в насадок образуII
ет сжатую струю, которая затем расширяется, заполняя все его сечение. В промес
жутке между сжатым сечением и стенками
Рис.10.7. Истечение жидкости через
насадка образуется вихревая зона. Так как
внешний цилиндрический насадок
струя выходит из насадка полным сечением, то коэффициент сжатия струи  2  1 и, следовательно,    , т.е. для насадка коэффициент расхода и коэффициент скорости имеют одинаковую величину.
При истечении жидкости через насадок, помимо сопротивления тонкой
стенки, которое возникает при истечении через отверстие, появляются дополнительные сопротивления.
Расширение струи в насадке носит характер внезапного расширения и потери напора на преодоление этого сопротивления можно определить по зависимостям (7.10, 7.11)
2
2
2
 w 22  1
w 22  F2
 w2
h вр   вр
   1
   1
,
(10.18)
2g  Fc
 2g
 2g  
где   0,64 – коэффициент сжатия струи;
2
1

 вр    1 – коэффициент сопротивления, обусловленный расширением струи внут

ри насадка;
w 2 – скорость жидкости на выходе из насадка.
Кроме того, некоторое влияние на общие потери напора в насадке оказыl
вают гидравлические сопротивления по его длине  , которые возрастают с
d
увеличением длины насадка.
Таким образом, за счет увеличения гидравлических сопротивлений скорость истечения жидкости через насадок значительно меньше, чем скорость истечения через малое отверстие в тонкой стенке.
Несмотря на меньшую скорость истечения через насадок, расход жидкости через него больше, чем через малое отверстие. Это вызвано тем, что в
насадке коэффициент сжатия струи больше, по сравнению с малым отверстием
в тонкой стенке.
С другой стороны, на увеличение расхода жидкости в насадке оказывает
влияние вихревая зона (сечение с  с ), в которой, как будет показано, создается
вакуум, что равносильно повышению действующего напора на высоту h вак . Это
явление называют подсосом насадка.
Однако необходимо отметить, что расход жидкости через насадок будет
больше или меньше расхода через отверстие в зависимости от того, какое из
двух влияний доминирует – подсос или дополнительные сопротивления. Если
окажется, что величина вакуума в вихревой зоне будет соизмерима с величиной
потерь напора, вызванных дополнительными сопротивлениями, то это приведет
к уменьшению расхода жидкости через насадок.
Расчетные формулы для определения скорости и расхода при истечении
через насадок получим, составляя уравнение Бернулли для сечений I  I и
II  II (Рис. 10.7)
p
p
 w2
H  0  II  II II   h w ,
g  g
2g
или
p 0  p II
w c2
 II w II2
w II2
l w II2
H
 H0 
  тс
  вр

.
(10.19)
g
2g
2g
2g
d 2 2g
На основании закона неразрывности потока имеем w c Fc  w II FII .
F
w
Откуда w c  w II II  II . Подставляя значение w c в зависимость (10.19) и
Fc

с учетом выражения (10.18) получим
2


1
l  w II2


тс

.
(10.20)
H 0     2    1   


d
2
g


2


Из зависимости (10.20) найдем значение скорости при истечении жидкости
через насадок
1
w II 
 2gH 0   н 2gH 0 ,
(10.21)
2
 тс  1
l

  2    1  

d2


где  н 
1

l
1

  тс2    1   

d2


2
– коэффициент скорости насадка;
Н 0 – действующий напор.
Для определения расхода получим формулу Vc  w II FII  н FII 2gH0 .
Как мы уже отмечали, что для насадка коэффициент расхода и коэффициент скорости имеют одинаковую величину, то окончательно можно написать
(10.22)
Vc   н FII 2gH0 .
Таким образом, формулы скорости и расхода для насадка (10.21 и 10.22)
имеют тот же вид, что и для малого отверстия в тонкой стенке (10.3 и 10.6), но
значения коэффициентов будут другими.
Так для цилиндрического внешнего насадка, при оптимальных условиях,
коэффициент расхода равен  н  0,82 .
Сравнивая коэффициенты расхода и скорости для насадка и отверстия в
тонкой стенке, видим, что в насадке расход увеличивается на 32%
(  н   0,82 0,62  1,32 ), а скорость уменьшается примерно на 15%
(  н   0,82 0,97  0,845 ). Это объясняется тем, что площадь сечения струи
вытекающей из насадка больше площади струи вытекающей из отверстия в
тонкой стенке практически на 56% (  2   1 0,64  1,563 ).
Вакуум в насадке. Скорость в сжатом сечении насадка (сечение с  с )
больше чем на выходе из него w c  w 2 . Это означает, на основании уравнения
3.31, что давление внутри насадка должно быть меньше давления на выходе из
него р с р II . А так как давление на выходе из насадка атмосферное, то внутри
насадка должен быть вакуум. График изменения давления внутри насадка показан на рис. 10.7.
Для определения величины вакуума в сжатом сечении составим уравнение
Бернулли для сечений с  с и II  II , совмещая линию сравнения с осевой линией насадка. Пренебрегая потерями по длине насадка и, принимая  с   II  1 ,
получим
р с w c2 p ат w 22
w 22



  вр
.
(10.23)
g 2g g 2g
2g
С учетом уравнения неразрывности потока и зависимостей 10.18 и 10.21,
выражение 10.23 можно преобразовать к виду
2
р ат  р с p вак
w 22  1
1  
1 
2
(10.24)

 h вак 
.
 2  1    1   2н Н 0 
g
g
2g  



 


Подставляя в выражение 10.24 значения коэффициента скорости насадка
 н  0,82 и коэффициента сжатия струи при входе в насадок   0,64 , получим
h вак  0,76Н 0 .
(10.25)
Для воды возможное максимальное значение вакуума равно h вак  10,33м .
Значение предельного напора, при котором в насадке будет достигнут максимальный вакуум, найдем из выражения (10.25)
10,33
(10.26)
Н пр 
 13,6м .
0,76
Увеличение напора сверх Н пр приводит к срыву вакуума, при этом струя
отрывается от внутренних стенок насадка и насадок будет работать как отверстие в тонкой стенке.
При напорах, близких к предельным значениям, истечение через насадок
неустойчиво, поэтому вакуум в вихревой зоне практически не должен превышать h вак  8м , а действующий напор – Н 0  10,5м .
Цилиндрический внутренний насадок (Рис. 10.8, а). Протекание жидкости через такой насадок в основном не отличается от протекания через внешний
цилиндрический насадок. Однако во внутреннем насадке наблюдается большее
сжатие струи на входе в насадок, что приводит к увеличению потерь напора на
с
с
dc d
d2
dc
d
d2
dc
d
с
а

d2
d
с
б
в
г
Рис.10.8. Виды насадок: а) цилиндрический внутренний; б) конический сходящийся;
в) конический расходящийся; г) коноидальный
внезапное расширение струи и, следовательно, к уменьшению коэффициентов
скорости и расхода. Коэффициент сжатия струи на выходе из насадка, как и для
внешнего цилиндрического равен единице, а  н   н  0,71 . Во внутреннем цилиндрическом насадке, особенно при малой длине l и большом действующем
напоре Н 0 , значительно легче происходит срыв вакуума и насадок работает как
простое отверстие с коэффициентом расхода в квадратичной зоне
  0,5  0,54 .
Конический сходящийся насадок (Рис. 10.8, б). В этом насадке сжатие
струи на входе относительно меньше, чем в цилиндрическом насадке, так как
диаметр струи d с в сжатом сечении с  с практически равен диаметру на выходе из насадка d 2 . Соответственно суммарные потери напора также меньше, чем
в цилиндрическом насадке, главным образом за счет уменьшения потери на
вход и на внезапное расширение струи. Однако при этом появляется новое сопротивление – постепенное сжатие струи по направлению к выходному сечению, которое зависит от угла конусности насадка  . Это влечет за собой, с одной стороны, увеличение коэффициента скорости, а с другой стороны, уменьшение коэффициента расхода.
Установлено, что с увеличением угла  расход жидкости сначала увеличивается и достигает максимума (  н  0,945 ) при   130 24 , а затем начинает
убывать.
Средние значения коэффициентов истечения конического сходящегося
насадка приведены в таблице
Углы, град.
0
5
10
16
25
35
45
130 24
Коэффициент
расхода  н
Коэффициент
скорости  н
Коэффициент
сжатия 
0,829
0,920
0,937
0,945
0,938
0,908
0,883
0,857
0,829
0,920
0,949
0,965
0,969
0,974
0,977
0,983
1,00
1,00
0,987
0,982
0,968
0,932
0,904
0,857
Конические сходящиеся насадки (конфузоры) применяют в тех случаях,
когда при заданном напоре требуется получить плотносомкнутую струю, имеющую большую дальность полета струи и большую скорость истечения на выходе (сопла гидравлических турбин, пожарные брандспойты, гидромониторы и
др.).
Конический расходящийся насадок (Рис. 10.8, в). Форма этого насадка
способствует отрыву струи от стенок, расширение струи происходит более резко, чем в цилиндрическом насадке. Поэтому его гидравлическое сопротивление
больше, а коэффициент скорости  н меньше. В силу конструктивных особенностей в этом насадке возникает наиболее глубокий вакуум в сжатом сечении и
поэтому допустимый, по условиям кавитации, действующий напор меньше по
сравнению с цилиндрическим насадком. Для уменьшения суммарных потерь
напора конические расходящиеся насадки делают обычно короткими.
Коэффициенты истечения в этом насадке зависят от угла конусности  .
Оптимальными являются условия, при которых насадок работает полным сечением, это наблюдается при   8 0 , внешнее сжатие на выходе из насадка отсутствует, т.е.   1 . При   8 0 насадок перестает работать полным сечением – происходит срыв вакуума. Струя вытекает, не касаясь стенок насадка, и истечение
происходит как из отверстия в тонкой стенке.
Коэффициент сопротивления конического расходящегося насадка составляет   3,0  4,0 . Тогда  н   н  0,5  0,45 .
Сравнивая эти значения с аналогичными для внешнего цилиндрического
насадка можно заметить, что с энергетической точки зрения расходящийся
насадок невыгоден. Однако следует помнить, что приведенные значения  н и
 н , относятся к выходному сечению, диаметр которого больше чем диаметр от-
верстия на входе в насадок. Если отнести коэффициент расхода к входному сечению насадка, то получим значительно более высокие его значения по сравнению с другими типами насадков. Увеличение расхода жидкости через такой
насадок обусловлено более глубоким вакуумом при входе, что ведет к интенсивному подсасыванию жидкости в выходящую струю.
Расширение струи при выходе из насадка влечет за собой значительное
уменьшение скорости, а, следовательно, и уменьшение мощности уносимой потоком. Наиболее целесообразно применять такие насадки в тех случаях, когда
необходимо увеличить расход при малых скоростях истечения – струйные аппараты, отсасывающие трубы гидравлических турбин, распылительные форсунки. Кроме того, в этих насадках происходит преобразование кинетической
энергии в потенциальную энергию давления. Поэтому конический расходящийся насадок (диффузор) устанавливают на выходе из камеры центробежного
насоса для уменьшения скорости истечения и повышения напора.
Коноидальный насадок (Рис. 10.8, г). Коноидальный насадок (сопло)
имеет форму струи, вытекающей из отверстия в тонкой стенке вследствие чего
в начальном сечении сжатие струи отсутствует,   1 . В результате этого, его
гидравлическое сопротивление невелико   0,04  0,09 , а коэффициенты скорости и расхода больше, чем во всех ранее рассмотренных случаях
 н   н  0,97  0,99 .
Благодаря высокой скорости на выходе из коноидального насадка жидкость, вытекающая из него, обладает наибольшей удельной энергией. Несмотря
на высокие гидродинамические качества на практике коноидальные насадки
применяют сравнительно редко из-за большой трудоемкости их изготовления.
Для повышения пропускной способности возможно использование диффузорного (коноидально-расходящегося) насадка, который представляет собой
комбинацию сопла и диффузора. Такой насадок дает расход практически в два
раза больший, чем коноидальный, за счет увеличения выходного сечения. Однако применение диффузорного насадка возможно лишь при небольших напорах ( Н  2  4м ). При более высоких напорах в суженом сечении насадка возникает кавитация, что приводит к увеличению сопротивления и уменьшению
его пропускной способности.
В таблице приведены средние значения коэффициентов истечения воды из
насадков различных типов


Тип отверстия или насадка

Круглое малое отверстие в тонкой стенке
0,97
0,64
0,62
Внешний цилиндрический насадок
1,0
0,82
0,82
Внутренний цилиндрический насадок
1,0
0,71
0,71
0
0,982
0,965
0,945
Конический сходящийся насадок (   13 24 )
0
1,0
0,45
0,45
Конический расходящийся насадок (   8 )
Коноидальный насадок
1,0
0,98
0,98
Анализируя данные таблицы можно подобрать насадок, удовлетворяющий
требованиям, которые зависят от целей, поставленных перед этим устройством.
Так, например, если хотят получить струю с большой дальностью полета, обла-
дающую высокой удельной энергией применяют конический сходящийся или
коноидальный насадок. Для увеличения пропускной способности – конический
расходящийся насадок и т.д.
Истечение жидкости через отверстия в толстой стенке рассматривают
как истечение через насадок соответствующей формы.
ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ПРИ ПЕРЕМЕННОМ НАПОРЕ
Истечение при переменном напоре происходит тогда, когда уровень в резервуаре, из которого вытекает жидкость, изменяется в течение времени. В связи с этим изменяется действующий напор, поэтому скорость истечения и расход жидкости в различные моменты времени будут также различны.
Если нет дополнительного притока жидкости в резервуар, из которого
происходит истечение, или жидкость добавляется в меньшем количестве, чем
вытекает уровень ее в резервуаре понижается и расход уменьшается.
Если в резервуар поступает жидкости больше, чем вытекает, то уровень в
нем повышается, и расход непрерывно возрастает.
Аналогичные явления имеют место при изменении давления, действующего на свободной поверхности жидкости в резервуаре.
Таким образом, истечение при переменном напоре, строго говоря, является
неустановившимся движением жидкости. Однако если напор, а, следовательно,
и скорость истечения изменяются медленно, то движение в каждый данный
момент времени можно рассматривать как установившееся, и для решения задачи применить уравнение Бернулли и закономерности истечения при постоянном напоре. Такой подход позволяет решать практические задачи с достаточной точностью.
Истечение жидкости при переменном напоре, так же как и при постоянном, может происходить из незатопленных или заdz
топленных отверстий, через различные насадки и
короткие трубопроводы.
Н1
z
Истечение может происходить из призматичеН2
ских резервуаров, в которых площадь поперечного
Vc
сечения не изменяется по высоте. Возможны также
случаи истечения жидкости из резервуаров, в котоРис.10.9. Истечение при пе- рых площадь поперечного сечения изменяется с изременном напоре из резерменением уровня жидкости (цилиндрический сосуд
вуара с постоянным поперечным сечением по высоте с горизонтальной осью, резервуары в виде усеченных пирамид и конусов и др.).
Основной практической задачей истечения жидкости при переменном
напоре является обычно определение времени опорожнения (частичного или
полного) или наполнения различных емкостей.
Призматические резервуары.
Рассмотрим сначала простой случай (Рис. 10.9), когда в процессе истечения жидкость в резервуар, имеющий постоянное поперечное сечение по высоте
Fб  const , не добавляется. Истечение происходит через отверстие с площадью
F0 , в среду с атмосферным давлением. Резервуар открыт и давление на свободной поверхности также атмосферное. Скорость опускания уровня жидкости в
резервуаре при большом его объеме можно принять равной нулю.
Обозначим через z переменную высоту уровня жидкости в резервуаре. Тогда, для принятых условий переменный действующий напор Н 0  z , а расход
жидкости через отверстие
(10.27)
Vc  F0 2gz .
За время d из резервуара через отверстие вытечет объем жидкости dV .
Для бесконечно малого промежутка времени d можно принять средний расход жидкости постоянным. Тогда
(10.28)
dV  Vcd  F0 2gz  d .
Объем вытекающей из резервуара жидкости можно определить и по другой зависимости
dV  Fб dz ,
(10.29)
полагая, что за время d уровень жидкости в резервуаре понизится на величину
dz .
Левые части зависимостей (10.28) и (10.29) одинаковы, поэтому можно записать равенство
F0 2g  z 1 2d  Fб dz ,
откуда
Fб
d  
z 1 2 dz .
(10.30)
F0 2g
Время истечения жидкости через отверстие при изменении уровня в резервуаре от Н 1 до Н 2 определим, интегрируя выражение (10.30)
Fб H 1 2
2Fб
(10.31)
H11 2  H12 2 .

z dz 

F0 2g H
F0 2g
Время полного опорожнения резервуара, когда Н 2  0 , можно определить
по следующей зависимости, если принять Н 1 за начальный уровень жидкости в
резервуаре
2Fб

H1 .
(10.32)
F0 2g
Зависимость (10.32) может быть представлена в виде
2Fб Н 1
2V
,
(10.33)


F0 2gН1 V c
где V – начальный объем жидкости в резервуаре;
Vc – максимальный расход жидкости через отверстие, соответствующий начальному
1
2
max
max
уровню Н 1 в резервуаре.
Таким образом, время полного опорожнения резервуара, с постоянным сечением по высоте, при постепенном снижении уровня жидкости в два раза
больше времени, которое потребовалось бы в случае истечения того же количества жидкости из отверстия под постоянным максимальным напором Н 1 .
ИСТЕЧЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЕ ПРИ ПЕРЕМЕННОМ НАПОРЕ
ИЗ РЕЗЕРВУАРА С ПРЕМЕННЫМ СЕЧЕНИЕМ ПО ВЫСОТЕ
Примером истечения жидкости из резервуара с переменным сечением по
высоте может служить истечение жидкости через отверстие, расположенное в
нижней части горизонтального цилиндрического резервуара (Рис. 10.10).
В пищевой промышленности резервуары такой формы встречаются довольно часто – это некоторые молочные автоцистерны, резервуары для дображивания
пива, винные бочки и другие аппараты.
x
Истечение жидкости может происхоr
дить или под действием столба жидкости в z-r
d
резервуаре, или под воздействием избыточz
ного давления, воздуха или какого-нибудь
газа, создаваемого на свободной поверхности жидкости.
Для определения времени изменения
уровня жидкости, или времени полного опо- Рис.10.10. Истечение при переменрожнения резервуара, рассмотрим простой ном напоре из резервуара с переменслучай, когда давления на свободной по- ным поперечным сечением по высоте
верхности жидкости и на выходе из резервуара равны. В этом случае истечение
происходит под действием только столба жидкости в резервуаре.
По аналогии с уравнениями (10.28) и (10.29), для заданных в этом случае
условий, можно записать, что F0 2g  z 1 2d  Fб dz , откуда находим
Fб
d  
z 1 2 dz .
(10.34)
F0 2g
Для непризматических резервуаров, его площадь, в любой момент времени
истечения, зависит от уровня жидкости в резервуаре, т.е. Fб  f z  .
Таким образом, чтобы проинтегрировать выражение (10.34), необходимо
предварительно установить аналитическую зависимость площади резервуара от
уровня жидкости в нем.
Нетрудно убедиться, что для рассматриваемого случая, при любом уровне
z площадь будет равна Fб  l  x , где l длина резервуара. Очевидно также, что
2
2
 x
2
2
2
   z  r   r , откуда x  2 r  z  r   2 z2r  z   2 zd  z  .
 2
Следовательно,
Fб  l  x  2l z d  z  .
(10.35)
С учетом значения площади по выражению (10.35) зависимость (10.34)
можно записать в следующем виде
2l
d  
z 1 2  z 1 2 d  z  dz  
12
2l
d  z 
12
dz . (10.36)
F0 2g
F0 2g
Имея в виду, что dz  dd  z  , проинтегрируем выражение (10.36) в пределах от z 1 до z 2
2l z
d  z 1 2dd  z   4l d  z 2 3 2  d  z 1 3 2 . (10.37)


F0 2g z
3F0 2g
По зависимости (10.37) можно определить время частичного опорожнения
резервуара со снижением уровня в нем от z 1 до z 2 . Для определения времени
полного опорожнения резервуара залитого до верха в выражение (10.37) подставим следующие значения – z 1  d и z 2  0 . Тогда
4
l

d d.
(10.38)
3 F0 2g
Умножив числитель и знаменатель правой части выражения (10.38) на

d , после несложных преобразований получим
4

d 2
d
16l
4ld d 4
16V
V
4



 1,7
,
(10.39)
Vc
3F0 2g  d 3F0 2gd 3Vc
4
2
d
l – полный объем горизонтального цилиндрического резервуара,
где V 
4
Vc  F0 2gd – максимальный (начальный) расход жидкости через отверстие, ко2


1
max
max
max
гда действующий напор равен z 1  d .
Из зависимости (10.39) следует, что время полного опорожнения цилиндрического горизонтального резервуара при постепенном понижении уровня в
1,7 раза больше времени, которое потребовалось бы для истечения такого же
количества жидкости при поддержании в резервуаре максимального уровня
z1  d .
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СТРУИ С ТВЕРДЫМ ТЕЛОМ
Глава одиннадцатая
Рассматривая вопросы гидростатики и гидродинамики, мы оценивали
твердое тело, соприкасающееся с жидкостью или как поверхность, ограничивающую некоторый объем жидкости в состоянии покоя, или как поверхность
оказывающую сопротивление движению потока.
Однако, в ряде случаев, характерных для работы гидравлических машин,
некоторых технологических аппаратов, наблюдается силовое взаимодействие
потока жидкости с твердыми телами и стенками, ограничивающими его.
В результате такого воздействия возникают сила давления движущегося
потока жидкости (струи) на стенку и равная ей по величине, но имеющая
противоположное направление сила реакции стенки R .
В общем случае силу давления
1
струи
на
твердую
поверхность

R
Vc , w 1 произвольного очертания (Рис. 11.1) с
0
учетом ряда ограничений (струя
1
плоская и достаточно большой ширины,
жидкость идеальная, отсутствие потерь
2
Vc , w 0
энергии при изменении направления
движения жидкости, течении ее по
Vc , w 2
2
стенке и сходе с нее), можно
определить с помощью уравнения
изменения
количества
жидкости,
Рис.11.1. Давление струи на твердую
заключенной между сечениями 0  0 ,
поверхность произвольного очертания
1  1 и 2  2 , в проекции на ось течения
m 1 w 1 cos  1  m 2 w 2 cos  2  m 0 w 0  R cos   ,
(11.1)
где m 0 , m 1 , m 2 – масса жидкости, протекающей через соответствующие сечения за
время  ;
w 0 , w 1 , w 2 – средние скорости струи в соответствующих сечениях.
Уравнение (11.1) можно записать в следующем виде
(11.2)
Vc w 1 cos  1  Vc w 2 cos  2  Vc w 0   R cos ,
1"
0
2
1
2
0
где Vc 0 , Vc1 , Vc 2 – расходы жидкости в соответствующих сечениях.
Уравнение изменения количества движения, если рассматривать
воздействие струи, набегающей на твердую поверхность, симметричную
относительно оси течения.
В этом случае Vc  Vc 
1
2
примет вид
1
Vc ,  1   2   , cos  1 и уравнение (11.2)
2
0
(11.3)
R  Vc w 0 1  cos   .
Из соотношения (11.3) следует, что сила давления струи меняется с
изменением угла  , причем эта сила равна реакции преграды, но
противоположно направлена ( Р  R ).
При увеличении угла  от 0 до 900 сила давления струи возрастает и
достигает своего наибольшего значения при   900 (Рис. 11.2, а ).
В этом случае
w 02
2
,
(11.4)
Р  Vc w 0  F0 w 0  2gF0
2g
где F0 – площадь струи в сечении 0  0 .
0
0
Vc1 , w 1
1
0

Vc 0 , w 0
Vc1 , w 1
1
1
Р
0
2
2
Vc 2 , w 2
а
2
1
1

0
0
Р
Vc 0 , w 0
2
2
Vc 2 , w 2
б
Рис. 11.2. Взаимодействие струи с твердым телом: а) давление
струи на вертикальную стенку; б) давление струи на криволинейную поверхность, симметричную относительно оси движения
Если учесть, что в случае вытекания струи из отверстия скорость истечения для идеальной жидкости равна w 0  2gH , получим следующее выражение для определения силы
P  2gHF0 .
(11.5)
В выражении (11.5) произведение gHF 0 представляет собой статическую
силу давления струи, соответствующую напору истечения Н . Следовательно,
сила давления струи (динамическая), воздействующей на твердую преграду,
оказывается теоретически в два раза больше статической силы давления (стенка
располагается вплотную к отверстию).
Изменяя форму преграды, на которую натекает струя, можно увеличить ее
динамическое воздействие на преграду.
Из выражения (11.3) видно, что при  90 0 сила давления с увеличением 
возрастает, причем наибольшее ее значение имеет место при cos   1 , что соответствует углу   1800 .
Выполняя твердую преграду в виде криволинейной поверхности, имеющей
форму полусферы, геометрическая форма которой как раз и обусловливает поворот струи на угол   1800 (Рис. 11.2, б) достигают увеличения динамического воздействия.
Выражение для определения силы давления струи в этом случае будет
иметь вид
w 02
2
.
(11.6)
Р  2F0 w 0  4gF0
2g
Сравнивая выражения (11.4) и (11.6) можно отметить, что сила давления
струи на неподвижную преграду полусферической формы в два раза больше
аналогичной силы воздействия такой же струи на плоскую неподвижную
преграду.
Наиболее полно кинетическая энергия струи используется при воздействии
ее на подвижные пластины (лопасти), попеременно попадающие под действие
набегающей струи. Такая схема может представлять собой радиальные лопасти
рабочего колеса гидравлической машины.
Если предположить, что плоская пластина движется в направлении оси
струи со скоростью u , то сила воздействия на нее струи будет равна
(11.7)
P  F0 w 0 w 0  u  Vc w 0  u,
а мощность, развиваемая при этом
N  Pu  F0 w 0 w 0 u  u 2   Vc w 0 u  u 2 
(11.8)
где w 0  u   W – относительная скорость.
Из уравнения (11.8) следует, что мощность будет равна нулю при u  w 0 и
u  0 . Максимальное значение мощности соответствует определенной скорости
u , которую можно найти, определив производную dN du и приравняв ее нулю
dw 0 u  u 2 
dN
 F0 w 0
 F0 w 0 w 0  2u  0 ,
du
du
откуда w 0  2u и u  0,5w 0 .
Следовательно, максимальная мощность N max получается при движении
пластины со скоростью равной половине скорости набегающего потока и может быть определена по формуле
w 03
N max  F0
.
(11.9)
4
Кинетическая энергия перед пластиной, определяемая расходом струи в
единицу времени будет равна
w 02
w 03
Е  Vc
 F0
.
(11.10)
2
2
0
0
0
Из сравнения двух последних зависимостей (11.9) и (11.10) видно, что для
рассматриваемого случая максимальная мощность составляет половину кинетической энергии, затрачиваемой на перемещение пластины в единицу времени
N max  0,5E .
Таким образом, в гидравлических машинах с плоскими лопастями максимально используется только половина начальной энергии струи и коэффициент
полезного действия в этом случае меньше 0,5 .
В гидравлических машинах обычно устанавливают криволинейные (ковшевые) лопасти подобные по профилю, изображенному на рис. 11.2, б.
Если так же, как и в случае с плоской пластиной, предположить, что криволинейная лопасть движется со скоростью u вдоль оси струи, то с учетом выражения (10.45) сила воздействия на такую поверхность будет иметь вид
(11.11)
P  2F0 w 0 w 0  u  2Vc w 0  u ,
а мощность, создаваемую системой таких лопастей, можно определить по следующей зависимости
N  Pu  2F0 w 0 w 0 u  u 2   2Vc w 0 u  u 2  .
(11.12)
Совершенно очевидно, что и в этом случае, оптимальным значением u
остается равенство u  w 0 2 и тогда максимальная мощность будет равна
w 03
w 03
N max  2F0
 F0
.
(11.13)
4
2
Сравнивая выражения (11.9) и (10.13), можно отметить, что мощность,
развиваемая струей при воздействии на криволинейные (ковшевые) лопасти в
два раза больше мощности, такого же воздействия набегающей струи на движущуюся плоскую пластину.
w 03
Кинетическая энергия, создаваемая струей в единицу времени, Е  F0
2
и, следовательно,
N max  E кин .
(11.14)
Таким образом, криволинейные (ковшевые) лопасти теоретически полностью обеспечивают полное использование кинетической энергии набегающей
струи. В действительности, вследствие различных потерь, коэффициент полезного действия для таких лопаток будет меньше 1 и составляет 0,85 – 0,95.
0
0
ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ МАШИНЫ
Глава двенадцатая
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ, НАЗНАЧЕНИЕ, КЛАССИФИКАЦИЯ
Гидравлическими машинами называют устройства, которые предназначены
для транспортирования жидкости (насосы), использования механической энергии движущейся жидкости (гидравлические турбины) и для передачи энергии
при помощи жидкости от одних машин или устройств к другим (гидравлические приводы).
К наиболее распространенным видам гидравлических машин относятся
насосы – машины, предназначенные для повышения удельной энергии и перемещения жидкости, независимо от того какими средствами эта задача выполняется. Насосы нашли применение в различных отраслях народного хозяйства и
имеют весьма разнообразное назначение – водоснабжение населения и предприятий, перекачивание агрессивных жидкостей и смесей жидкости с твердыми
веществами, гидромеханизация земляных работ, транспортировка нефти по
трубопроводам и др.
В пищевой промышленности насосы применяют как для транспортирования жидких продуктов (молоко, бульон, кровь убойных животных, расплавленный жир), так и для перемещения пластично-вязких материалов (мясной фарш,
тестовые заготовки, пралиновые массы).
К насосам могут быть отнесены и некоторые специальные устройства,
служащие для подъема и перемещения жидкостей.
Конструктивное исполнение насосов зависит от их назначения. Так детали
насосов, которые соприкасаются с агрессивными жидкостями, изготавливают
из керамики, пластмассы. Детали насосов для транспортирования смеси жидкости с твердыми веществами, изготавливают из износоустойчивых материалов.
Насосы, применяемые в пищевой промышленности, выполняют из нержавеющих сталей и т.д.
По принципу действия насосы могут быть классифицированы следующим
образом:
1. Лопастные (центробежные) насосы, энергия сообщается потоку главным
образом за счет центробежных сил, возникающих при вращении лопастного
колеса. К типу лопастных машин относят и осевые пропеллерные насосы.
Основные достоинства центробежных насосов – простота и компактность
конструкции, высокая надежность, возможность непосредственного соединения
вала насоса с валом электродвигателя, способность перекачивать сильно загрязненные жидкости, высокая производительность.
2. Поршневые (объемные) насосы, работают на принципе механического
вытеснения жидкости поршнем или плунжером при их возвратнопоступательном движении. В этих насосах происходит непосредственная передача давления жидкости. В связи с этим, поршневые насосы способны создавать очень высокие напоры. Применяют поршневые насосы для перекачивания
чистых, без механических примесей, жидкостей, а также жидкостей с сильно
изменяющейся вязкостью.
Основными недостатками поршневого насоса с кривошипно-шатунным
приводом, которые обусловлены их принципом действия, являются инерционность работы и неравномерность подачи жидкости.
3. Роторные (объемные) насосы. В этих насосах жидкость вытесняется из
перемещаемых рабочих камер в результате вращательного или вращательнопоступательного движения вытеснителей (шестерен, винтов, пластин, поршней).
Роторные насосы имеют малые габаритные размеры, высокий КПД, возможность регулирования и реверса подачи, более равномерную, чем поршневые насосы, подачу. Благодаря этим достоинствам, а также высокой быстроходности и большой надежности, роторные насосы применяют главным образом в гидроприводах и других гидросистемах, в которых к насосам предъявляют высокие требования.
4. Струйные насосы, в которых для повышения удельной энергии перекачиваемой жидкости используется кинетическая энергия потока вспомогательной (рабочей) жидкости, пара или газа.
В зависимости от вида рабочей или
перекачиваемой жидкости различают
следующие типы струйных насосов:
эжекторы, инжекторы и гидроэлеваторы.
рат
В эжекторах оба потока – рабочий
(эжектирующий)
и
перекачиваемый
(эжектируемый), являются потоками одРис.12.1. Схема водоструйного насоса
ной и той же жидкости. Если это вода, то
насос называют водоструйным.
В инжекторах рабочим потоком служит поток пара или газа, а перекачиваемым – поток той или иной жидкости.
В гидроэлеваторах рабочим обычно служит поток воды, а перекачивается
гидросмесь (пульпа).
Схема водоструйного насоса показана на рис 12.1.
5. Гидравлические тараны, в которых для повышения удельной энергии
жидкости используется явление повышения давления, возникающего в резуль-
тате гидравлического удара. Схема гидротаранной установки приведена на
рис.12.2.
Сжатый воздух, газ
Н2
Н1
Рис. 12.2. Схема гидротаранной установки
Рис. 12.3. Схема насоса
«маммут»
6. Эрлифты – устройства, в которых подъем жидкости, осуществляется за
счет уменьшения ее объемного веса, получаемого путем смешения жидкости с
воздухом или газом (эмульгирование). Простейшая схема эрлифта – «маммут»
насос приведена на рис. 12.3.
Кроме того, насосы, применяемые в различных отраслях промышленности,
подразделяют в зависимости от свойств перекачиваемой жидкости и особенностей технологических процессов. Такое подразделение находит отображение в
конструктивном исполнении насосов.
Так, например, насосы, применяемые в пищевой промышленности для перекачивания пластично-вязких продуктов, должны представлять собой отдельную компактную машину с загрузкой продукта в бункер-накопитель, откуда он
поступает непосредственно на рабочие органы. Место входа продукта должно
иметь достаточный размер, чтобы исключить «сводообразование». Протяженность пути продукта от зоны всасывания до зоны нагнетания должна быть минимальной при небольшой скорости перемещения и неизменном, но значительном объеме, чтобы исключить мятие и разрушение структуры. Возврат продукта (обратный перепуск) в зону всасывания через зазоры под действием давления в зоне нагнетания должен быть минимальным.
Несмотря на большое разнообразие по принципу действия и по назначению к наиболее распространенным насосам относятся лопастные и объемные.
В связи с этим, более подробно рассмотрим первые три группы машин из приведенной выше классификации.
СХЕМА НАСОСНОЙ УСТАНОВКИ.
ОСНОВНЫЕ РАБОЧИЕ ПАРАМЕТРЫ НАСОСОВ
Насосной установкой называют насосный агрегат (насос, соединенный с
электродвигателем) с трубопроводом и комплектующим оборудованием, смонтированным по определенной схеме, обеспечивающей работу насоса.
Основные элементы, из которых состоит насосная установка, приведены
на рис. 12.4.
Работа насосной установки заключается в следующем.
рат
Насос Н, приводимый в
IY
движение электродвигателем
(на схеме не показан), засасы4
вает жидкость из питающего
резервуара 3 по всасывающему трубопроводу 1 за счет
Н2
разряжения, создаваемого на
2
входе в насос. В насосе давление жидкости повышается,
и она по нагнетательному
М
Нг трубопроводу 2 подается в
III
напорный резервуар 4.
На всасывающем трубоh
Н
проводе установлены приемV
ное устройство 5, состоящее
II
из фильтра (сетки) и обратного клапана, и вакуумметр V.
На нагнетательном трубопроН1
1
воде устанавливают манометр
рат
3
М и запорно-регулировочное
I
устройство (на схеме не пока5
зано).
Кроме приведенных на
Рис. 12.4. Схема насосной установки: 1. всасывающий схеме приборов и устройств,
трубопровод; 2. нагнетательный трубопровод; 3. пита- насосная установка снабжена
ющий резервуар; 4. напорный резервуар; 5. обратный электроизмерительными приклапан с приемной сеткой; Н – насос; V – вакуумметр; борами (для измерения мощМ – манометр
ности, потребляемой насосом), расходомером (для определения количества, перекачиваемой насосом
жидкости), приборами автоматики (реле уровня, реле давления и др.).
Для того чтобы установить степень экономичности и рациональные методы эксплуатации насосной установки, наметить пути ее технического совершенствования, необходимо знать основные рабочие параметры насоса, характеризующие его работу:
1. объемная секундная подача (подача насоса)
Vc , м 3 с ;
2. напор насоса
Н , м;
3. мощность насоса
N , кВт ;
4. коэффициент полезного действия насоса
.
Подачей насоса Vc называют объемное количество жидкости, подаваемое
насосом в единицу времени. В отдельных случаях применяют также понятия
массовая подача М с  Vc ( кг с ) и весовая подача G c  gVc ( кг с ).
Подача насоса зависит от геометрических размеров насоса и скорости
движения его рабочих органов.
Напор насоса Н представляет собой разность полных удельных энергий
жидкости в сечении потока после насоса – Н1  h  pн (g)  w н2 (2g) и перед
ним – Н1  pвс (g)  w вс2 (2g) и выражается в метрах столба перекачиваемой
жидкости. Тогда, в соответствии с определением, можно записать следующее
выражение для вычисления напора насоса
р н  р вс w н2  w вс2
Нh

,
(12.1)
g
2g
где р вс и р н – давление соответственно во всасывающем (сеч. II-II) и нагнетательном
(сеч. III-III) трубопроводах, Па,
w вс и w н – средняя скорость течения жидкости соответственно во всасывающем и
нагнетательном трубопроводах, м с ,
h – расстояние между точками подключения вакуумметра и манометра, м.
В выражении (12.1), в зависимости от принципа и условий работы насоса и
особенностей его конструкции, каждая из составляющих напора насоса может
повышаться в разной степени или не повышаться совсем. Так, если вход потока
в насос и выход из него расположены на одной высоте, то h  0 . Если, например, диаметры всасывающего и нагнетательного трубопроводов равны, то, соw н2  w вс2
 0 . Однако напор
ответственно, равны и скоростные напоры, т.е.
2g
насоса всегда возрастает – в этом и заключается энергетическая сущность
всякого насоса.
Напор насоса можно выразить и в единицах давления. Пользуясь известным соотношением можно записать, что
р  gH .
(12.2)
Для работающего насоса напор можно рассчитать по показаниям приборов (вакуумметра и манометра) насосной установки.
Показание вакуумметра, установленного на всасывающем трубопроводе
(сеч. II-II), равно разности между атмосферным и абсолютным давлением
р вак  р ат  р вс или р вс  р ат  р вак .
Манометр, установленный на нагнетательном трубопроводе (сеч. III-III),
показывает избыточное (манометрическое) давление р м  р н  р ат или
р н  р м  р ат .
Значения р вс и р н подставим в выражение 13.1 и после несложных преобразований получим
w н2  w вс2
.
(12.3)
2g
Величина вакуума h вак в сечении II-II теоретически не может быть больше
10 м (для воды), а практически не превышает 7  8 м. Наоборот, величина h м в
сечении III-III практически ничем неограниченна, следовательно, неограничен
и напор насоса.
При выборе нового насоса напор определяют расчетом по элементам
насосной установки (Рис. 12.4).
Принимая за плоскость сравнения сечение I  I и, считая, что скорости
изменения уровней жидкости в резервуарах равны нулю, т.е. w 1  0 и w 2  0
напишем уравнение Бернулли:
для всасывающего трубопровода (сеч. I  I и II  II )
p вс w вс2
р1
 H1 

 hw ;
(12.4)
g
g 2g
для нагнетательного трубопровода (сеч. III  III и IY  IY )
p
w2
p
H1  h  н  н  Н1  h  H 2  4   h w
(12.5)
g 2g
g
где  h w и  h w – сумма потерь напора соответственно во всасывающем и нагнеH  h  h вак  h м 
вс
н
вс
н
тательном трубопроводах.
р вс p 1
w вс2

 H1 
  hw и
Из зависимостей 12.4 и 12.5 находим, что
g g
2g
р
рн p4
w н2
p

 H2 
  h w . Подставив значения вс и н в уравнение 13.1,
g g
2g
g
g
окончательно получим
р  р1
(12.6)
Н 4
 Hг   hw ,
g
где H г – геометрическая высота подъема жидкости;
Н ст  Н г  р 4  р 1  g – статический напор установки;
 h w – суммарные потери напора во всасывающем и нагнетательном трубопроводах.
Если питающий и напорный резервуары будут открыты р 1  р 4  р ат , то
Н  Нг   hw .
(12.7)
На основании зависимости (12.7) можно сделать вывод, что напор Н , создаваемый насосом, затрачивается на подъем жидкости на высоту Н г и на преодоление всех сопротивлений как во всасывающей, так и в нагнетательной линиях. Правая часть уравнения (12.7) представляет собой потребный напор
установки, т.е. напор, который необходим для перемещения, по трубопроводам
установки, единицы веса жидкости из питающего резервуара в напорный.
Очевидно, что место установки насоса в линии не влияет на создаваемый
им напор Н , изменяются только длины и схемы всасывающей и нагнетательной линий.
вс
н
Мощностью насоса N (мощностью, потребляемой насосом) называется
энергия, подводимая к нему от двигателя за единицу времени.
За единицу времени через насос протекает жидкость весом gVc (весовая
подача). При этом энергия, приобретенная за единицу времени жидкостью,
прошедшей через насос, или полезная мощность насоса, будет равна
N п  gVc H .
(12.8)
Мощность насоса N больше полезной мощности N п на величину потерь в
насосе, которые оцениваются коэффициентом полезного действия насоса  .
Таким образом, коэффициент полезного действия (КПД) равен отношению
полезной мощности насоса к потребляемой
N
(12.9)
 п ,
N
а мощность, потребляемая насосом, по величине которой осуществляют подбор
двигателя
gVc H
.
(12.10)
N

В международной системе единиц (СИ) мощности, вычисленные по уравнениям (12.8 и 12.10) выражаются в ваттах, а в технической системе единиц
(МКГСС) – в кг  м с .
Коэффициент полезного действия, вычисленный по уравнению 12.9, дает
представление о полных потерях мощности в насосе. Для характеристики же
потерь мощности, обусловленными различными явлениями, происходящими в
насосе, в теории гидравлических машин различают объемный, гидравлический и
механический коэффициенты полезного действия.
Объемные потери.
Подача, которую насос может создать теоретически Vc , больше подачи
Vc , подаваемой насосом в нагнетательный трубопровод на величину утечек
жидкости Vc , т.е. Vc  Vc  Vc .
Пропорционально увеличению подачи возрастает и мощность, расходуемая насосом (12.8). Это возрастание оценивается объемным коэффициентом
полезного действия насоса  0
V
Vc
1
(12.11)
0  c 

1 .
Vc
Vс
Vc  Vc
1
Vc
Объемный КПД изменяется в достаточно широких пределах
0  0,85  0,98 . Его значение зависит от величины зазоров между деталями,
отделяющими зону нагнетания насоса от зоны всасывания, а также от неплотностей в сальниках и других уплотнительных устройствах, через которые жидкость протекает, не достигнув нагнетательного трубопровода. В значительной
степени на величину объемного КПД оказывают влияние и свойства перекачиваемой жидкости.
т
т
т
Гидравлические потери.
При работе любого насоса возникают потери напора на преодоление сопротивлений в самом насосе Н . Следовательно, теоретически насос может
создать напор равный Н т  Н  Н , что, естественно, приводит к увеличению
расхода мощности.
Известно, что потери напора на преодоление гидравлических сопротивлений, зависят от длины проточной части насоса, плавности траекторий движения, шероховатости омываемых жидкостью поверхностей. На величину потерь
оказывают влияние различные местные сопротивления, создаваемые конструктивными элементами насоса, а также вязкость и скорость движения жидкости.
Дополнительные затраты мощности на преодоление этих сопротивлений
учитываются гидравлическим коэффициентом полезного действия г
Н
1
(12.12)
г 

1 .
Н
Н  Н
1
Н
Следует отметить, что в соответствии с перечисленными причинами возникновения потерь внутри насоса, гидравлический КПД оценивает степень совершенства конструкции и качество изготовления насоса. Для конструктивно
совершенных насосов при перекачивании воды г  0,8  0,96 .
Механические потери.
Часть мощности N м , подаваемой на вал насоса, расходуется на преодоление механических сопротивлений. К механическим потерям мощности относятся потери на трение в подшипниках, в уплотнениях вала или штока гидроцилиндра и на трение поршневых колец или манжет о стенки цилиндра и т.д.
Кроме того, значительную долю механических потерь, например, в лопастных
насосах, составляют потери на трение наружной поверхности рабочих колес о
жидкость.
Величину, выражающую относительную долю механических потерь в
насосе, называют механическим коэффициентом полезного действия  м и
определяют по зависимости
N  Nм
N
(12.13)
м 
 1  м 1 .
N
N
Механический КПД при достаточно хорошем техническом обслуживании
насосов достигает значений  м  0,85  0,98 .
С учетом зависимостей 12.9, 12.11, 12.12 и 12.13 можно определить КПД
насоса  как произведение объемного, гидравлического и механического коэффициентов полезного действия
   0  г  м .
(12.14)
Высота всасывания.
При проектировании насосной установки необходимо знать максимальную
высоту, на которой может быть установлен насос при заданных условиях. Эта
высота, называемая геометрической высотой всасывания h вс , ограничена
условиями работы насоса на стороне всасывания и зависит от вакуумметриче-
ской высоты всасывания h вак , которая характеризует степень разряжения возникающего у входа в насос.
Вакуумметрическая высота всасывания завиV
сит от величины атмосферного давления, темпераI
I
туры и плотности перекачиваемой жидкости, величины потерь напора во всасывающей линии насоса,
его быстроходности и конструктивных особенноhвс
стей.
рат
В технических характеристиках насосов обыч0
0
но приводят допустимое значение вакуумметрической высоты всасывания при температуре перекачиваемой воды равной 200 С и нормальном атмосферном давлении, равном 10 м вод. ст.
Рис.12.5. Всасывающая
труба насоса
Допустимая вакуумметрическая высота всадоп
сывания h вак – вакуумметрическая высота всасывания, при которой обеспечивается работа насоса без изменения основных технических показателей.
Известно, что атмосферное давление зависит от высоты местности над
уровнем моря, – чем больше высота, тем меньше давление. Поэтому при установке насоса необходимо учитывать этот фактор. Вакуумметрическую высоту
всасывания, в этом случае, определяют по следующему выражению
доп
(12.15)
hвак  hвак
 10  hат ,
где h ат  атмосферное давление в данной местности, м вод. ст.
При перекачивании другой жидкости с плотностью  ж атмосферное давление, выраженное в метрах столба этой жидкости, определяют по зависимости
h ат  h ат 1000  ж  .
Для установления зависимости между геометрической и вакуумметрической высотой всасывания составим уравнение Бернулли для двух сечений 0  0
и I  I (Рис. 12.5), при этом за плоскость сравнения примем сечение 0  0
р ат
р вс w вс2
 h вс 

  hw .
(12.16)
g
g 2g
Откуда найдем
р ат  р вс w вс2
w вс2
h вс 

  h w  h вак 
  hw ,
(12.17)
g
2g
2g
р  р вс
где ат
 h вак – вакуумметрическая высота всасывания, м,
g
р вс
 абсолютное давление во всасывающем патрубке в сечении I  I , м.
g
Из зависимости (12.17) видно, что вакуумметрическая высота всасывания
больше геометрической высоты всасывания на величину суммы скоростного и
потерянного (на преодоление сопротивлений) напоров во всасывающем трубопроводе.
ст . ж
вс
вс
вс
Кроме того, высота всасывания зависит от температуры. Чем выше температура, перекачиваемой жидкости, тем выше упругость ее паров, а, следовательно, меньше допустимая высота всасывания. Для обеспечения нормальной
работы насоса необходимо, чтобы давление на входе в насос р вс было больше
давления парообразования р п перекачиваемой жидкости при заданной температуре, т.е. р вс g h п  р п g .
р
где h п  п – высота парообразования, м.
g
Если это условие не соблюдается, происходит интенсивное выделение пузырьков воздуха и газа, растворенных в жидкости (вскипание жидкости), что
приводит к нарушению сплошности потока. Это явление называют кавитацией.
Геометрическую высоту всасывания, с учетом температуры жидкости,
определим по зависимости 13.16, переписав ее в следующем виде

р вс р ат 
w вс2

  h вс 
  h w  ,
g g 
2g

или

р ат 
w вс2
(12.18)
hп 
  h вс 
  h w  .
g 
2g

Из этого уравнения найдем допустимую геометрическую высоту всасывания
 w вс2

доп р ат
(12.19)
h вс 
 
  h w  h п  .
g  2g

Высота парообразования зависит от температуры жидкости и достаточно
быстро возрастает с ее увеличением.
Практически может случиться, что при перекачивании горячих жидкостей,
высота установки насоса получится отрицательной. В этом случае, для предотвращения кавитации в насосе его следует устанавливать ниже уровня жидкости
в питающем резервуаре.
вс
вс
вс
ЦЕНТРОБЕЖНЫЕ НАСОСЫ
Глава тринадцатая
УСТРОЙСТВО. ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
ЦЕНТРОБЕЖНЫХ НАСОСОВ
Центробежные насосы получили большое распространение во многих отраслях промышленности для перекачивания различных жидкостей.
Для того чтобы понять сущность
9
работы центробежного насоса, рас1
смотрим схему одноступенчатого насо8
1
8
са с горизонтальным валом и осевым
2
4
входом (Рис. 13.1).
7
На вал 3, который приводится во
5
3
6
2
вращение от электродвигателя, насажено рабочее колесо 2. Рабочее колесо
6
представляет собой отливку из двух
10
дисков, между которыми смонтировано
10
от 4 до 12 изогнутых лопаток 7, образующих расширяющиеся каналы. ИноРис. 13.1. Схема центробежного насоса:
гда рабочие колеса выполняют откры1. спиральный корпус; 2. рабочее колесо;
3. вал; 4. подшипники; 5. сальники; 6. вса- тыми без переднего диска. Вал вращасывающий трубопровод; 7. лопатки рабоче- ется в подшипниках 4, а в месте прохого колеса; 8. нагнетательный патрубок да вала через корпус для уплотнения
(диффузор); 9. кран для выпуска воздуха; устроены сальники 5. Вал электродви10. обратный клапан с фильтрующей сеткой гателя с валом рабочего колеса может
быть связан или непосредственно через муфту, или через какое-либо передаточное устройство.
По всасывающему трубопроводу 6 на входе, в который установлен обратный клапан с фильтрующей сеткой 10, жидкость в осевом направлении подводится в центральную часть насоса. Обратный клапан предназначен для того,
чтобы при остановке насоса жидкость, находящаяся в нем не вытекала по всасывающему трубопроводу в питающий резервуар.
Поступившая в насос жидкость протекает по каналам между лопатками
рабочего колеса и попадает в спиральную камеру 1, составляющую часть корпуса насоса и далее в нагнетательный патрубок (диффузор), который соединен
с нагнетательным трубопроводом. Спиральная камера служит для приема и
направления жидкости, а также для преобразования кинетической энергии
жидкости (скорости), приобретенной от вращающегося рабочего колеса, в потенциальную энергию (давление или напор). Преобразование кинетической
энергии в потенциальную энергию продолжается и при движении жидкости через нагнетательный патрубок (диффузор).
Пуск центробежного насоса производится при условии заполнения его
жидкостью. В верхней части корпуса предусмотрен кран 9, предназначенный
для выпуска воздуха при заливке насоса.
Для измерения разряжения на всасывающем трубопроводе устанавливают
вакуумметр, а на нагнетательном трубопроводе – манометр, для измерения
напора развиваемого насосом. Регулирование подачи и напора насоса осуществляется задвижкой монтируемой на нагнетательном трубопроводе.
Для регулирования режимов работы установок различного назначения, они
могут быть оборудованы разнообразными приборами автоматики.
Принцип работы центробежного насоса состоит в следующем.
Под действием лопаток рабочего колеса жидкость начинает вращаться, при
этом, на каждую частицу массой m , находящуюся на расстоянии R от оси
вращения действует центробежная сила
(13.1)
C  m2 R ,
1
где  – угловая скорость вращения рабочего колеса, c .
Под действием этой силы жидкость, с большой скоростью, перемещается
от центра к периферии по расширяющимся каналам, которые образованы парой
смежных лопаток. В результате этого, давление в центральной части рабочего
колеса снижается и под действием внешнего, чаще всего атмосферного давления, жидкость по всасывающему трубопроводу вновь подводится к центральной части рабочего колеса.
Таким образом, при постоянном вращении рабочего колеса обеспечивается
непрерывное движение жидкости в насосе и подача ее в нагнетательный трубопровод.
Центробежные насосы по своему принципу действия и конструктивному
исполнению наиболее полно удовлетворяют возможности автоматизации их
работы.
Центробежные насосы классифицируются по следующим признакам (кроме общих конструктивных, присущих любым насосам).
1. По числу ступеней – одноступенчатые
насосы, имеющие на валу одно рабочее колесо и
многоступенчатые – с несколькими рабочими
колесами последовательно расположенными на
одном валу (Рис. 13.2). В многоступенчатых
насосах жидкость через всасывающий трубопровод подается на первое рабочее колесо. Затем из
области нагнетания одного рабочего колеса, по
переливному каналу, поступает в область всасы- Рис. 13.2. Схема многоступенвания следующего и так далее. Таким образом, чатого центробежного насоса
перекачиваемая жидкость последовательно переходит из одного колеса в другое и выходит в нагнетательный патрубок с напором, пропорциональным числу
ступеней или колес. Количество колес в многоступенчатых насосах может доходить до 10  16. Практически, исходя из условия прочности материала, из которого изготовлен вал, больше 12 колес устанавливают редко.
2. По числу потоков различают насосы с двумя или несколькими рабочими
колесами, расположенными параллельно. У таких насосов, которые называют
многопоточными, общий напор равен напору одного колеса, а полная подача –
сумме подач всех рабочих колес.
3. По способу подвода жидкости к рабочему колесу – с односторонним и
двухсторонним подводом. При одностороннем подводе жидкости возникает
большое осевое усилие, направленное в сторону всасывания, за счет разности
между конечным давлением, которое создает насос, и начальным давлением на
всасывании. Осевое усилие повышает нагрузку на рабочее колесо, увеличивает
трение в подшипниках, приводит к истиранию уплотнительных устройств, при
этом увеличивается расход мощности, потребляемой насосом, снижается его
коэффициент полезного действия.
Для устранения осевого усилия и тех нежелательных явлений, которые
возникают при этом, применяют различные способы.
а) Установка упорных подшипников скольжения. Этот способ применяют
обычно при небольших осевых усилиях.
б) Сверление разгрузочных отверстий (Рис. 13.3). Отверстия, чаще всего
четыре, высверливают в
3 Рис. 13.3. Схема рабочего колеса с
заднем диске рабочего ко2 разгрузочным отверстием: 1. разгрулеса в его центральной ча1 зочное отверстие; 2. кольцевой высти. С помощью разгрузочступ; 3. Уплотнительные кольца
ных отверстий 1 выравнивается давление с обеих сторон рабочего колеса. Чтобы исключить перетекание
жидкости, через эти отверстия, из области высокого давления на нагнетании в
область низкого давления на всасывании, на наружной стороне заднего диска
делают кольцевой выступ 2, а в корпусе насоса устанавливают охватывающие
его с небольшим зазором уплотнительные кольца 3.
в) Применение гидравлических приспособлений с разгрузочным диском. Как
правило, такие приспособления устанавливают в высоконапорных многоступенчатых насосах, так как сверление разгрузочных отверстий в этом случае
оказывается недостаточным. При соответствующих размерах разгрузочного
диска, которые могут быть рассчитаны, осевое усилие полностью уравновешивается.
г) Применение насосов двухстороннего всасывания. В насосах с двухсторонним всасыванием осевое усилие вообще не возникает.
В многоступенчатых насосах применяют иногда такую схему установки
рабочих колес, при которой всасывающие стороны половины ступеней расположены симметрично, но противоположно по направлению всасывающим сторонам другой половины ступеней.
4. По способу отвода жидкости из рабочего колеса. По этому признаку
различают насосы спиральные со спиральным отводом (Рис. 13.1) и турбинные
с направляющим аппаратом (Рис. 13.4).
2
В спиральных насосах жидкость отво4
дится непосредственно с рабочего колеса в
спиральную камеру насоса.
1
В турбинных насосах жидкость, прежде
3
чем попасть в спиральную камеру, проходит
через специальное устройство – направляющий аппарат 2. Между его неподвижными
лопастями образуются отводящие каналы, Рис. 13.4. Центробежный насос: 1. рапо которым жидкость плавно, без ударов бочее колесо; 2. направляющий аппарат; 3. спиральная камера; 4. нагнетавыводится в корпус насоса. И в спиральной тельный патрубок (диффузор)
камере 3 и в направляющем аппарате 2 происходит уменьшение скорости жидкости, и часть кинетической энергии дополнительно преобразуется в давление.
5. По расположению вала насоса – с горизонтальным валом и с вертикальным валом.
6. По способу соединения вала рабочего колеса с валом электродвигателя
различают насосы приводные и непосредственного соединения. В насосах с
приводным устройством соединение вала рабочего колеса с валом электродвигателя, осуществляется при помощи какой-либо механической передачи (редуктор, ременная передача и др.). В насосах непосредственного соединения вал
рабочего колеса с валом электродвигателя соединяется напрямую через упругую муфту.
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В РАБОЧЕМ КОЛЕСЕ
ЦЕНТРОБЕЖНОГО НАСОСА
Каждая пара соседних лопаток рабочего колеса образует искривленный
канал переменного сечения, обычно увеличивающийся по направлению от центра колеса к его периферии. Поток, двигаясь по этим каналам, либо получает от
движущихся лопаток, либо отдает им часть своей энергии, сообщая движение
колесу. Первый случай – работа центробежного насоса, жидкость при этом
движется через лопастное колесо от центра к периферии. Второй случай – работа гидравлической турбины, жидкость через лопастное колесо протекает от
периферии к центру.
При работе центробежного насоса, частицы жидкости, находящиеся в канале между лопатками, вращаются вместе с колесом и одновременно, под действием центробежной силы, движутся вдоль каналов к периферии колеса.
С учетом этого, различают следующие виды движения частиц жидкости в
рабочем колесе центробежного насоса (Рис. 13.5, а):
1. Скорость переносного движения (окружная скорость) U . Эта скорость
направлена по касательной к окружности в сторону вращения рабочего колеса
и зависит от радиуса и частоты вращения
U  R
Rn
,
30
(13.2)
где  – угловая скорость вращения рабочего колеса;
n – частота вращения рабочего колеса;
R – радиус (расстояние от оси вращения до произвольной точки на лопатке рабочего колеса);
2. Скорость относительного движения W , т.е. скорость движения частиц
жидкости относительно лопаток рабочего колеса, направленную по касательной к лопаткам;
3. Скорость абсолютного движения (абсолютная скорость) С , которая равна геометрической сумме окружной и относительной скоростей
 

С  U  W.
(13.3)
Из уравнения (13.3) следует, что скорости U , W и C образуют треугольник скоростей, а абсолютная
скорость представляет собой
диагональ
параллелограмма
(параллелограмм
скоростей),
W2
построенного
на
векторах
окружной и относительной
С
скоростей.
Параллелограммы скоростей для входного и выходного

сечений приведены на рисунке
13.5,а.
Угол между абсолютной С
и окружной U скоростями
R
жидкости обозначим через  , а
угол между относительной ско
ростью W и отрицательным
Rcos
направлением окружной скороа
б
сти U жидкости – через  .
Углы  и  называют угРис.13.5. Работа лопастного колеса: а) распределами лопаток их величина ление скоростей жидкости в рабочем колесе ценопределяет очертание лопаток. тробежного насоса; б) к выводу уравнения Эйлера
Значения углов должны быть
такими, чтобы поток при входе на лопатки, а также при сходе с них имел
наименьшие гидравлические сопротивления.
В дальнейшем индексом «1» будем обозначать скорости и углы на входе в
рабочее колесо, а индексом «2» – те же величины на выходе из него.
Для упрощения дальнейших рассуждений будем считать, что движение
жидкости по каналу является установившимся и струйным, и траектории движения каждой частицы повторяют очертания лопаток. Такое движение было бы
возможно при бесконечно большом числе лопаток ( z   ). В действительности, при конечных размерах лопаток, давление на передней стороне лопатки по
отношению к направлению ее движения больше, чем на ее задней стороне. Соответственно относительная скорость частиц, движущихся вдоль передней стороны лопатки, меньше относительной скорости частиц, движущихся вдоль ее
задней стороны. Траектории частиц, непосредственно примыкающих к лопатке,
совпадают по форме с лопаткой. Траектории остальных частиц, находящихся в
межлопаточном пространстве отличаются от нее. Поэтому в формулы, полученные в предположении бесконечно большого числа лопаток, надо будет вводить поправки, зависящие от количества лопаток рабочего колеса насоса.
ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ЦЕНТРОБЕЖНОГО НАСОСА
Основное уравнение центробежных насосов, полученное Л. Эйлером, связывает геометрические и кинематические характеристики рабочего колеса с
напором, развиваемым насосом (одним рабочим колесом).
Уравнение Эйлера позволяет решать две задачи:
1. По заданной подаче насоса и развиваемому им напору определять число
рабочих колес и их размеры;
2. По данной конструкции рабочего колеса и частоты вращения вала насоса определять развиваемый им напор и подачу насоса.
При выводе основного уравнения будем считать, как было принято выше,
что рабочее колесо имеет бесконечно большое число лопаток и работа происходит без гидравлических потерь. Это позволяет считать, что весь поток в колесе состоит из одинаковых элементарных струек.
Для определения теоретического напора лопастного колеса насоса Н т при
z   используем теорему моментов количества движения. Для установившегося потока эту теорему можно сформулировать так – изменение момента количества движения массы жидкости, протекающей в единицу времени при переходе от одного сечения к другому, равно моменту внешних сил, приложенных
к движущейся массе между этими сечениями.
В центробежном насосе внешние силы приложены к потоку под действием
лопаток рабочего колеса. Через каналы рабочего колеса за единицу времени
протекает объем жидкости численно равный секундной подаче Vc . Секундная
т
масса жидкости, перекачиваемого объема, равна m  Vc , а количество движения этой массы – Vc  С .
Вектор количества движения совпадает с вектором абсолютной скорости
С . Плечо этого вектора для произвольной окружности с радиусом R равно
R cos (Рис. 13.5,б), тогда момент количества движения потока можно определить как произведение количества движения на плечо, т.е. Vc  С  R cos .
Пользуясь этим выражением, определим момент количества движения потока у входа в рабочее колесо
(13.4)
М 1  Vc  С1  R 1 cos 1
и, соответственно, момент количества движения потока у выхода из колеса
(13.5)
М 2  Vc  С2  R 2 cos 2 .
т
т
т
т
т
В соответствии с определением, приведенным выше, и с учетом выражений (13.4 и 13.5), изменение момента количества движения жидкости, протекающей через колесо за единицу времени, равно
(13.6)
М  М 2  М1  Vc С2 R 2 cos 2  C1 R 1 cos 1  .
Если колесо развивает полный теоретический напор Н т , то на это затрачивается мощность
N т  gVc Н т .
(13.7)
С другой стороны, мощность, затраченная на передачу энергии жидкости,
от рабочего колеса, вращающегося с постоянной угловой скоростью   const
равна
N т  М .
(13.8)
Приравнивая правые части выражений (13.7 и 13.8), с учетом зависимости
(13.6) получим
gVc Н т  Vc C 2 R 2 cos  2  C1 R 1 cos  1  .
(13.9)
По зависимости (13.9), имея в виду, что R  U , найдем теоретический
напор, развиваемый колесом с бесконечным числом лопаток Н т
C U cos 2  C1 U1 cos 1
.
(13.10)
Н т  2 2
g
Уравнение (13.10), которое называют уравнением Эйлера, и есть основное
уравнение лопастных гидромашин – насосов и турбин.
Из этого уравнения следует, что теоретический напор, развиваемый рабочим колесом центробежного насоса, не зависит от рода перекачиваемой жидкости и будет наибольшим, если  1  900 . При этом значении угла создаются
наиболее благоприятные условия входа жидкости на лопатки рабочего колеса.
Проанализируем треугольник скоростей, построенный для частиц жидкости на выходе из рабочего колеса с лопаткой отогнутой назад (Рис. 13.6).
Из этого рисунка видно, что абсолютную скорость С 2 можно разложить на
две составляющие:
тангенциальную – C 2   C 2 cos  2 , котоC2 W2
рую называют скоростью закручивания (крутки) потока;
C2r
радиальную – C 2 r  C 2 sin  2 , которую
2
2
называют скоростью эвакуации потока.
C2
U2
Тангенциальная составляющая абсолютной скорости может быть также найдена из
Рис.13.6. Треугольник скоростей
выражения
C 2   U 2  C 2 r ctg 2 .
(13.11)
Таким образом, подставив значение  1  900 в формулу (13.10), с учетом
выражения для определения тангенциальной составляющей скорости, получим
C U cos 2 U 2C 2 
.
(13.12)
Н т  2 2

g
g
т
Из формулы (13.12) следует, что теоретический напор будет тем больше,
чем меньше угол  2 – угол между окружной и абсолютной скоростями на выходе из рабочего колеса. Практически принимают  2  5  160 .
Кроме того, из формулы (13.12), с учетом выражения для определения
окружной скорости U (13.2), видно, что теоретический напор является функцией выходного диаметра рабочего колеса D 2 и частоты вращения H т  f D 2 ; n .
Поэтому увеличение диаметра рабочего колеса и частоты его вращения может
привести к созданию любого высокого напора.
Фактически теоретический напор, создаваемый рабочим колесом центробежного насоса, ограничен прочностными характеристиками материала, из которого изготовлено колесо. С увеличением окружной скорости, при большом
диаметре D 2 , увеличиваются и центробежные усилия, действующие на лопатки. Поэтому увеличение скорости ограничивается прочностью лопаток и их
крепления к дискам и ступице колеса. Кроме того, увеличение частоты вращения рабочего колеса приводит к увеличению гидравлических сопротивлений
внутри насоса и, как следствие, уменьшение гидравлического коэффициента
полезного действия г .
Теоретическую подачу рабочего колеса насоса можно определить по формуле
(13.13)
Vc  FC2r  D2b 2C2 sin  2 ,
т
где F – площадь живого сечения потока на выходе из рабочего колеса, м ;
b 2 – ширина рабочего колеса, м ;
2
С 2 r – радиальная составляющая абсолютной скорости, м с .
Для центробежных насосов площадь живого сечения рабочего колеса
определяют как боковую поверхность цилиндра с диаметром, равным внешнему диаметру колеса D 2 , и выстой, равной ширине колеса b 2 .
ВЛИЯНИЕ ПРОФИЛЯ ЛОПАТКИ НА ВЕЛИЧИНУ НАПОРА.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ НАСОСОВ
Напор, создаваемый центробежным насосом, зависит от формы лопаток
рабочего колеса, очертания которых определяются значениями углов лопаток
 2 и  2 . В зависимости от численного значения рабочих углов  различают
три формы лопаток: отогнутые назад (  2  900 ) (Рис. 13.7,1); радиальные
(  2  900 ) (Рис. 13.7,2); загнутые назад (  2  900 ) (Рис. 13.7,3). Каждая форма лопаток имеет соответствующий треугольник скоростей на выходе.
Выражение для определения теоретического напора (13.12) с учетом зависимости (13.11) можно записать в виде
UC
U
(13.14)
Н т  2 2   2 U 2  C2r ctg 2  .
g
g
Используя это равенство (13.14), сравним теоретический напор, создаваемый рабочим колесом с лопатками разной формы:
для лопаток отогнутых назад
 2  90 , ctg  2  0 , H т 
0
U 22
;
g
(13.15)
для радиальных лопаток
 2  90 , ctg 2  0 , H т
0
U 22

;
g
(13.16)
для лопаток загнутых вперед
U 22
.
 2  90 , ctg  2  0 , H т 
g
0
(13.17)
Из анализа завиC2
симостей
(13.15),
(13.16) и (13.17) видно,
что наибольший теореW2
тический напор создаW2
2 U2
ет рабочее колесо с
лопатками загнутыми
2
вперед, наименьший –
2
C2
с лопатками отогнутыми назад. Рабочее
2
колесо с радиальными
лопатками создает некоторый средний теоU2
ретический напор. На
3

1
практике наибольшее
•
распространение получили рабочие колеса с
лопатками отогнутыми
назад. При движении
жидкости через такое
2
рабочее колесо возникают меньшие гидравлические сопротивления и, не смотря на то,
2
U2
что
они
создают
2
меньший
теоретичеW2
ский напор по сравнеC2
нию с лопатками загнутыми вперед, но Рис.13.7. Форма лопаток рабочего колеса насоса в выходном
обладают более высо- сечении: 1) отогнутая назад; 2) радиальная; 3) загнутая вперед
ким КПД.
Таким образом, при увеличении угла  2 уменьшается скорость С 2  , что
приводит к уменьшению напора, создаваемого рабочим колесом (13.12). Пода-
ча же насоса (13.13), наоборот, будет возрастать, так как увеличивается скорость С 2 r .
Следует отметить, что увеличение угла  2 приводит к большому отклонению вектора абсолютной скорости С 2 от радиального направления вперед по
ходу вращения, а, следовательно, уменьшения  2 и возрастания напора. Однако при этом уменьшается радиальная составляющая абсолютной скорости С 2 r и
увеличивается тангенциальная составляющая – С 2  , т.е. подача уменьшается.
Поток, выходящий из рабочего колеса, сильно закручивается, коэффициент реакции уменьшается, резко уменьшается и гидравлический коэффициент полезного действия, работа становится неустойчивой. Эти явления становятся заметными уже при  2  900 . Наиболее оптимальными принято считать следующие
значения углов –  2  8  120 , а  2  15  350 .
Угол  1 , как уже отмечали, принимается равным 900 из условий безударного входа жидкости на лопатки рабочего колеса. Из тех же соображений угол
 1 определяют из условия tg 1  C1 U 1 .
Число лопаток z должно быть большим, но так как лопатки имеют конечную толщину, увеличение их числа приводит к сокращению полезного сечения
каналов, т.е. уменьшает подачу насоса и его коэффициент полезного действия.
Число лопаток рабочего колеса может быть найдено по зависимости
z  6,5
D 2  D1
  2
.
sin 1
D 2  D1
2
(13.18)
Число лопаток, определенное по этой формуле, необходимо корректировать в сторону увеличения. Это делается для того, чтобы выходная кромка каждой последующей (по направлению вращения колеса) лопатки перекрывала
входную кромку предыдущей. Практически z  6  12 . В практике пищевых
производств чаще всего встречаются центробежные насосы с рабочими колесами, имеющими 6  8 лопаток.
Теоретические характеристики центробежных насосов, которые устанавливают зависимость теоретического напора Н т от подачи Vc , представлены на
рисунке (13.8). Эти характериНт
стики соответствуют идеальной
2>900
III
жидкости и рабочему колесу с
II
бесконечным числом лопаток.
2=900
При постоянной частоте
вращения рабочего колеса насоса
U 22
окружная скорость на выходе
I
2<900
U 2  const . Рассмотрим, как в g
этом случае будет изменяться
напор Н т при изменении подачи
Vст
Vc . Для этого из зависимости
Рис.13.8. Теоретические характеристики
(13.13) выразим радиальную соцентробежных насосов
ставляющую абсолютной скорот
сти С 2 r через подачу Vc , т.е. C2r  Vc D2b 2 .
Подставляя значение С 2 r в зависимость (13.14) получим выражение между
теоретическим напором и подачей в виде
Vc
 U 22 U 2 Vc ctg 2
U2 
 U2 
.
(13.19)
Н т 
сtg 2  

g 
D 2 b 2
D 2 b 2 g
 g
Полученное выражение (13.19) есть уравнение прямой, отсекающей на оси
U ctg 2
ординат отрезок A  U 22 g и имеющей угловой коэффициент B  2
, завиD 2 b 2 g
сящий от угла  2 , т.е.
(13.20)
H т  A  BVc .
Для лопаток отогнутых назад (13.15) теоретическая характеристика может
быть построена по уравнению (13.19), из которого следует, что теоретический
напор уменьшается по линейному закону (линия I) (Рис. 13.18).
Эта линия отсекает на осях отрезки:
при Vc  0 – Н т  U 22 g ;
при H т  0 – Vc  U 2 D 2 b 2 ctg 2 .
Для радиальных лопаток (13.16), напор не зависит от подачи (линия II)
(Рис. 13.18). Прямая, в этом случае параллельна оси Vc и отстоит от нее на вет
т
т
т
т
т
т
т
личину Н т  U g .
Для лопаток загнутых вперед (13.16), теоретический напор линейно растет
с увеличением подачи (линия III) (Рис. 13.18).
Действительный напор, создаваемый рабочим колесом центробежного
насоса, может быть выражен зависимостью
U C cos 2
(13.21)
Н  Н т г k  2 2
г k ,
g
где k – коэффициент, учитывающий уменьшение напора вследствие конечного числа
2
2
лопаток.
Для насосов с односторонним входом коэффициент k может быть определен по формуле
1



1
,
(13.22)
k  1  2 
2 
z


1

R
R


1
2
где  – коэффициент, учитывающий влияние направляющего аппарата;
z – число лопаток.
Для насосов с направляющим аппаратом   0,8  1,0 , для насосов без
направляющего аппарата –   1,0  1,3 . При z   k  1 .
Выражение (13.13), для определения подачи насоса, является приближенным, так как в нем не учтена толщина лопаток  и их число z .
С учетом этих факторов и объемного коэффициента полезного действия
выражение (13.13) примет вид
Vc   2 D 2 b 2 C 2 sin  2  0  F2 C 2 sin  2  0 ,
(13.23)
где  2  1  z D 2 sin  2  – коэффициент стеснения потока лопатками на выходе из рабочего колеса;
F2  D 2 b 2  2 – площадь выходного сечения рабочего колеса
Подставляя в зависимость (13.23) и в выражение для определения  2 значения всех величин, соответствующих точке 1, получим соответственно уравнения для определения подачи и коэффициента стеснения потока на входе.
В зависимости от размеров насоса –  1  0,75  0,88 , а  2  0,87  0,95 .
ЭКСПЛУАТАЦИОННЫЕ РАСЧЕТЫ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ НАСОСОВ
Глава четырнадцатая
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ НАСОСОВ
Аналитическое исследование законов движения жидкости в изогнутых каналах лопастного колеса, имеющих переменное сечение, сопряжено с большими трудностями. Поэтому при расчетах насосных установок для действующих
насосов пользуются экспериментальными данными, устанавливающими величины основных параметров Vc , H , N ,  для различных условий работы.
Для вновь проектируемых насосов аналогичные данные уточняются также
испытанием пробного образца машины.
Огромное разнообразие реальных условий работы насосов имеет следствием такое же большое разнообразие типов, конструкций и размеров изготовляемых насосов.
Совершенно очевидно, что практически невозможно проводить испытания, требующие больших затрат времени, сил и средств для каждого типоразмера насоса. Поэтому насосы проектируют и изготовляют сериями, причем
формы размеры и соответствующие параметры всех машин данной серии подобраны так, что к ним применимы законы гидродинамического подобия.
Тогда результаты испытания одной модели из числа машин данной серии
могут быть определенным образом пересчитаны для всех машин той же серии.
Все машины серии являются в указанном смысле подобными.
Для того чтобы два или несколько лопастных насосов были подобными
друг другу, необходимо, чтобы они отвечали некоторым определенным условиям:
1. Должно существовать геометрическое подобие проточной части рабочих
органов насосов. Это значит, что отношение сходственных линейных размеров
модельного и натурного насосов должны быть одинаковыми:
D1 м D 2 м b 1 м b 1 м
l
(14.1)



 ...  м   ,
D1 н D 2 н b 2 н b 2 н
lн
где  – линейный масштаб подобия.
В выражении (14.1) и во всех зависимостях, приведенных далее индекс
«м» соответствует всем величинам, относящимся к модели, индекс «н» – к величинам, относящимся к натуре.
Кроме того, соответствующие углы модельного и натурного насосов,
должны быть равны, т.е.  1м   1н ;  2 м   2 н ;  1м   1н ;  2м   2н .
2. Должно существовать кинематическое подобие потоков, которое предполагает пропорциональность скоростей жидкости в сходственных точках и
одинаковое их направление, т.е. подобие траекторий потоков.
Пропорциональность скоростей, или пропорциональность подач определяется безразмерным отношением
Vc
(14.2)
 idem .
nD 3
3. Должно существовать подобие динамических свойств потоков жидкости
подаваемых насосами или подобие режимов движения, что определяется одинаковостью критерия
D 2 n
(14.3)
Re 
 idem ,

где Dn  w .
Следовательно, для сходственных точек
С 2 н W2 н
рабочих колес двух подобных насосов, для
которых действительны перечисленные услоС 2м
вия, треугольники скоростей будут подобны
W2 м
(Рис. 14.1). Это обстоятельство положено в
2
основу вывода основных законов подобия
2
центробежных насосов.
U 2м
U 2н
Из
подобия
этих
треугольников,
образованных
векторами
скоростей, Рис. 14.1. Треугольники скоростей
относящимися
к
выходным
кромкам подобных насосов
модельного и натурного насосов следует, что
С 2м W2н U 2м
.
(14.4)


С 2н W2н U 2н
Совершенно очевидно, что
С 2м С 2rм С 2 м U 2м
,
(14.5)



С 2н С 2rн C 2 н U 2н
где С 2 rм и С 2 rн – радиальная составляющая абсолютной скорости, соответственно,
модельного и натурного насосов;
С 2 м и С 2 н – тангенциальная составляющая абсолютной скорости, соответственно, модельного и натурного насосов (на рис. 14.1 эти скорости не показаны, см. рис. 14.6).
С другой стороны, с учетом зависимости (14.2) можно записать
U 2м D 2м n м 60 D 2м n м
n
(14.6)


 м .
U 2н D 2н n н 60 D 2н n н
nн
Пользуясь отношениями (14.4, 14.5 и 14.6), выведем первый закон подобия, который устанавливает зависимость подачи подобных насосов от их геометрических размеров и частоты вращения рабочих колес.
Подача насоса определяют по формуле (13.23). Тогда действительную подачу модельного насоса можно записать в виде
Vcм   2 м D 2 м b 2 м C 2м sin  2 м  0 м .
(14.7)
Аналогично, действительная подача натурного насоса
Vcн   2н D 2 н b 2 н C 2н sin  2н  0 н .
(14.8)
Напишем отношение подач модельного и натурного насосов
Vcм  2м D 2м b 2м C 2м sin  2м 0м
.
(14.9)

Vcн  2н D 2н b 2н C 2н sin  2н 0н
Примем, что коэффициенты стеснения выходных сечений модельного и
натурного насосов одинаковы, т.е.  2м   2н .
Тогда, с учетом зависимостей (14.1 и 14.6) и, принимая во внимание, что
 2 м   2 н , после несложных преобразований получим
Vcм
n 
(14.10)
 3 м 0м .
Vcн
n н 0н
Это и есть первый закон подобия, на основании которого можно сделать
заключение, что подача подобных насосов пропорциональна третьей степени
их линейных размеров, первой степени частоты вращения рабочих колес и объемных коэффициентов полезного действия.
Второй закон подобия устанавливает зависимость напора подобных насосов от их геометрических размеров и частоты вращения рабочих колес.
Чтобы получить аналитическое выражение второго закона подобия, запишем зависимость для определения действительного напора (с учетом 13.12 и
13.21), создаваемого рабочим колесом центробежного насоса в виде
1
(14.11)
Н  Н т г k  U 2 C 2  г k .
g
Пользуясь принятыми обозначениями величин, относящихся к модельному
и натурному насосам, найдем отношение, создаваемых ими напоров
Н м k м U 2м C 2 м
гм
g
.
(14.12)

Нн k н
g
U 2н C 2 н гн
Примем, что поправочные коэффициенты на конечное число лопастей модельного и натурного насосов, равны k м  k н . Тогда, с учетом зависимости
(14.6) получим
2
Нм
2  n м   гм
.
(14.13)
   
Нн
n

 н  гн
Это и есть второй закон подобия, который показывает, что напоры подобных насосов пропорциональны второй степени их линейных размеров и частоты вращения, рабочих колес, а также первой степени их гидравлических
коэффициентов полезного действия.
Третий закон подобия устанавливает зависимость мощности потребляемой подобными насосами от их геометрических размеров и частоты вращения
рабочих колес.
Используя зависимость (14.10), найдем отношение расхода мощности модельного и натурного насосов
N м  м gVcм H м н
.
(14.14)

N н  н gVcн H н м
На основании первого и второго законов подобия (14.10 и 14.13) и формулы (12.14)    0  г  м , после несложных преобразований выражение (14.14)
можно записать в следующем виде
3
N м  м 5  n м  мн
,
(14.15)
  
N н  н  n н  мм
где  мн и  мм – механический коэффициент полезного действия, соответственно
натурного и модельного насосов.
Это и есть третий закон подобия, указывающий, что затраты мощности
подобных насосов пропорциональны пятой степени их линейных размеров, кубу
частоты вращения их, рабочих колес, первой степени плотности перекачиваемой жидкости и обратно пропорциональны их механическим коэффициентам
полезного действия.
В зависимостях (14.10, 14.13 и 14.15), выражающих законы подобия центробежных насосов, практически в первом приближении можно считать, что
коэффициенты полезного действия модельного и натурного насосов равны
между собой, т.е.  ом   он , гм  гн и мм  мн . Тогда уравнения законов подобия примут вид
Vcм
n
,
(14.16)
 3 м
Vcн
nн
2
n 
Нм
 2  м  ,
Нн
 nн 
3
(14.17)
n 
Nм
 5  м  .
(14.18)
Nн
n
 н
Преобразуя формулу (14.15) в формулу (14.18), полагаем, что насосы перекачивают одинаковую жидкость  м   н .
Выведенные для подобных насосов формулы могут служить и для другой
цели – расчета изменений подачи, напора и потребляемой мощности одного и
того же насоса при изменении частоты вращения его рабочего колеса, если
эти три величины известны для какой-нибудь одной частоты вращения. Это
еще более облегчает испытание модельного насоса, которое достаточно провести при одной частоте вращения, а для другого значения частоты, достаточно
определить только величины коэффициентов полезного действия.
Пусть при испытаниях насоса, проведенных при числе оборотов n 1 , получены значения основных рабочих параметров Vc1 , H 1 , N 1 ,  01 , г 1 , м1 , для одного
и того же насоса все линейные размеры равны и, следовательно,   1 .
Тогда для любого другого значения числа оборотов n основные рабочие
параметры будут равны
2
3
n 
n 
n
(14.19)
Vcn  Vc1 n ; H n  H 1  n  ; N n  N 1  n  .
n
n
n1
 1
 1
Зависимость (14.19) обычно называют формулами пропорциональности
или законами пропорциональности центробежных насосов.
Практически они важны для выяснения условий эксплуатации насосов.
Так первый закон пропорциональности указывает, что подача насосов
пропорциональна первой степени частоты вращения рабочего колеса
Vc  k 1n .
(14.20)
Второй закон пропорциональности указывает, что напор, развиваемый
насосом, пропорционален второй степени частоты вращения рабочего колеса
(14.21)
H  k 2n 2 .
Третий закон пропорциональности указывает, что расход мощности,
затрачиваемый насосом пропорционален третьей степени частоты вращения
рабочего колеса
(14.22)
N  k 3n 3 .
Законы пропорциональности являются приближенными, так как фактически с изменением частоты вращения рабочего колеса меняется его коэффициент полезного действия. Причем степень неточности расчетов тем больше, чем
больше разница в частоте вращения сравниваемых режимов.
ТИПИЗАЦИЯ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ НАСОСОВ ПО КОЭФФИЦИЕНТУ
БЫСТРОХОДНОСТИ
Механизация производственных процессов и совершенствование технологии производства расширяют сферу применения лопастных насосов и предъявляют все новые требования к их конструкции, гидравлическим сопротивлениям
и степени экономичности насосных установок. В этих условиях создание новых
насосов, их правильный выбор для установки в производственных условиях и
рациональная эксплуатация возможны лишь в том случае, если будет существовать какой-то общий, объективный критерий (эталон) сравнения центробежных насосов. Таким эталонным критерием может служить коэффициент
быстроходности, который является основным критерием подобия всей серии
подобных насосов, работающих в подобных режимах. Определив, по заданным
параметрам ( Vc , H и n ) проектируемого насоса, коэффициент быстроходности
и, сравнивая его с аналогичными значениями имеющихся конструкций, получим возможность выбора насоса, удовлетворяющего данным условиям.
Коэффициент быстроходности представляет собой число оборотов n s
такого насоса данной подобной серии, который, работая на воде, развивает
напор H s , равный условной единице, и полезно использующий для этого при
s  1 условную единичную мощность N s  1.
Выбранный таким образом условный насос будем называть эталонным
насосом данной серии.
Коэффициент быстроходности (удельная частота вращения) n s может
быть, выражен в зависимости от действительной частоты вращения n , от подачи насоса Vc и развиваемого им напора H .
Для установления этой зависимости воспользуемся вторым и третьим законами подобия центробежных насосов (14.10 и 14.13), причем при формулировании необходимых отношений индекс « s » будем присваивать параметрам
модельного насоса, а параметры рассматриваемого насоса той же серии подобных насосов будем обозначать без индексов.
2
H
2 n 
На основании второго закона подобия можно записать
    , откуHs
 ns 
да при значении H s  1 получим
2
n
H     .
(14.23)
n
 s
3
Из третьего закона подобия имеем N N s   n n s  , подставляя в это выражение значение N s  1 , находим
2
3
n
N     .
(14.24)
n
 s
Исключим из уравнений (14.23) и (14.24) линейные размеры. Для этого
возведем уравнение (14.23) в пятую степень, а уравнение (14.24) – во вторую.
Получим
10
10


n
10
5  ns 
5
10
H     , откуда   H   ;
n
 ns 
5
6
n
n 
N     , откуда 10  N 2  s  .
n
 ns 
Левые части двух последних равенств равны между собой, значит, равны и
10
6
правые их части, т.е. H 5 n s n   N 2 n s n  .
2
6
10
Разделив правую и левую части этого уравнения на n s n  , получим вы6
ражение H 5 n s n   N 2 , на основании которого определим коэффициент быстроходности
N
(14.25)
ns  n 5 4 .
H
Выразим в уравнении (14.25) величину N в условных единицах мощности,
т.е. при напоре H  1м насос подает жидкость (   1000 кг м 3 ) в количестве
Vc  0,075 м3 с , развивая при этом мощность N  0,736 кВт , следовательно
4
N
gVc H
736
ство (14.25). Тогда
 3,65 Vc H . Подставим полученное значение
N в равен-
Vc H
V
(14.26)
 3,65n 3 4c .
54
H
H
При определении коэффициента быстроходности n s многоступенчатого
насоса в формулу (14.26) подставляют значение напора одной ступени. Для
насосов с двусторонним всасыванием в эту формулу подставляют значение
Vc 2 .
Анализируя зависимость (14.26) можно отметить, что коэффициент быстроходности n s насоса тем больше, чем больше его подача и меньше создаваемый им напор при заданной частоте вращения. С увеличением частоты вращения рабочего колеса при неизменном напоре и подаче насоса размеры насоса
должны уменьшаться. В этом нетрудно убедиться, анализируя зависимости
U
H  2 U 2  c r  ctg 2  и U 2  D 2 n 60 .
g
Диаметр отверстия входа в рабочее колесо D1  D 0 определяется, главным
образом, подачей насоса и незначительно уменьшается с увеличением частоты
вращения. Следовательно, с увеличением коэффициента быстроходности отношение D 2 D 0 должно уменьшаться, при этом колесо становится шире, изменяется направление потока, приближающееся к осевому направлению, гидравлические потери снижаются, а подача насоса увеличивается.
В зависимости от коэффициента быстроходности лопастные насосы можно
n s  3,65n
Тип
насоса
ns
Эскиз
сечения
рабочего
колеса
тихоходные
50<ns<80
D2
D0
D2 D0
Центробежные
нормальные
Быстроходные
80<ns<150
150<ns<300
D2
D0
2,5-3,0
2,0
Осевые
(пропеллерные)
Полуосевые
(диагональные)
300<ns<600
600<ns<1200
D2 D
0
D0
1,8-1,4
D2 D0
1,2-1,1
D2
1,0
Рис. 14.2. Влияние быстроходности на форму лопастного колеса
классифицировать следующим образом (Рис.14.2).
Тихоходные центробежные насосы ( 50n s  80 ).
Малый коэффициент быстроходности свидетельствует о малой подаче и
относительно большом напоре насоса. Чтобы получить большой напор, необходимо иметь большой диаметр D 2 рабочего колеса, поэтому тихоходные насосы имеют отношение D 2 D 0 диаметров, доходящее до трех. Рабочее колесо
насоса как бы вытянуто в радиальном направлении, и большой выходной диаметр влечет за собой значительные дисковые потери на трение. Это в свою очередь снижает коэффициент полезного действия насоса. Практически при коэф-
фициенте быстроходности n s  40 центробежные насосы применять не следует.
В этих случаях лучше использовать объемные (поршневые) насосы, подача которых не зависит от создаваемого напора. Поток жидкости, на выходе из рабочего колеса, имеет радиальное направление.
Центробежные насосы нормальной быстроходности ( 80n s 150 ).
Увеличение коэффициента быстроходности свидетельствует об относительном увеличении подачи и уменьшении напора. Выходной диаметр рабочего
колеса уменьшается. Отношение D 2 D 0  2,0 . Поток жидкости, на выходе из
рабочего колеса, также имеет радиальное направление.
Быстроходные центробежные насосы ( 150  n s  300 ).
У этих насосов более резко проявляются тенденции, связанные с ростом
коэффициента быстроходности. Рабочие колеса становятся все шире, а выходной диаметр их еще больше уменьшается – D 2 D 0  1,8  1,4 . У быстроходных
центробежных насосов сохраняется радиальное направление выброса жидкости
из рабочего колеса.
Полуосевые или диагональные насосы ( 300 n s  600 , D 2 D 0  1,2  1,1 ).
Увеличение коэффициента быстроходности приводит к дальнейшему росту ширины рабочих колес и уменьшению выходного диаметра. Уменьшить отношение D 2 D 0 до значения близкого к единице, можно только в том случае,
если выходную кромку лопатки наклонить к оси. При этом направление выброса жидкости из рабочего колеса становится диагональным. Кроме того, наклон
выходной кромки обеспечивает наиболее плавную форму лопатки, что уменьшает гидравлические потери в рабочем колесе.
Осевые или пропеллерные насосы ( 600 n s 1200 , D 2 D 0  1,0  0,8 ).
Большой коэффициент быстроходности свидетельствует о большой подаче
насоса при малом напоре. Наклон выходной кромки лопаток возрастает, и она
становится почти перпендикулярной к оси насоса. Такие параметры имеют
насосы, перемещающие жидкость вдоль оси. Рабочие колеса осевых насосов
составлены из лопаток, изогнутых по винтовой поверхности и не соединенных
общим ободом. Коэффициент полезного действия осевых насосов довольно велик. Это, собственно, уже не центробежные насосы и теория их работы имеет
некоторые особенности.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ ВЫСОТЫ УСТАНОВКИ НАСОСА
Как мы уже отмечали, что на нагнетании центробежный насос может создать практически не ограниченный теоретический напор (13.12).
Однако геометрическая высота всасывания – высота установки насоса над
уровнем жидкости питающего резервуара, ограничена условиями работы насоса на стороне всасывания и зависит от ряда факторов.
При рассмотрении основных параметров насосных установок была установлена зависимость между геометрической и вакуумметрической высотой
всасывания (12.18). И как было отмечено, что для обеспечения нормальной ра-
боты насоса давление на входе в насос р вс должно быть больше давления парообразования р п перекачиваемой жидкости при заданной температуре. Если это
условие не соблюдается, наступает явление кавитации.
Естественно, что такой процесс наиболее вероятен в тех местах проточной
части насоса, где давление наименьшее – при входе жидкости в рабочее колесо.
В этом месте процесс еще более усугубляется дополнительным падением давления gH вследствие гидравлических сопротивлений в самом насосе.
С учетом этого зависимость (12.18), для центробежного насоса можно переписать в виде

р вс р ат 
w вс2

  h вс 
  h w  Н  ,
g g 
2g

или


р
w2
(14.27)
h п  ат   h вс  вс   h w  Н  .
g 
2g

2
Обычно скоростной напор w вс 2g и дополнительное падение напора Н
выражают в долях общего напора Н , создаваемого насосом
w вс2
  Н  Н .
(14.28)
2g
Величину  называют коэффициентом кавитации и определяют в зависимости от коэффициента быстроходности n s по формуле С.С. Руднева
вс
вс
10  n Vc
 
H  C
43

 ,


(14.29)
где С – кавитационный коэффициент быстроходности:
при n s  50  80 , C  600  800 ;
n s  80  150 , C  800  1000;
для насосов с повышенными кавитационными свойствами – С  1300  7000 .
Условие предотвращения кавитации на основании формулы (14.27) и с
р
учетом зависимости (14.29) можно записать в виде h п  ат  h вс   h w  Н  ,
g
откуда, соответственно, найдем высоту установки насоса и предельную высоту,
превышение которой вызывает возникновение кавитации
р
(14.30)
h вс  ат  h п   h w  Н  ,
g
вс
вс
р ат
(14.31)
 h п   h w  Н .
g
Высоту, определенную по формуле (14.31), часто называют критической
высотой всасывания.
При работе насоса важно предотвратить кавитацию, так как последствиями
ее являются следующие основные явления:
h кр

вс
вс
1. Конденсация пузырьков пара, который увлекается потоком в область
повышенного давления.
2. Эрозия материала стенок канала. В зоне пониженного давления, при работе насоса в условиях кавитации, возникают пузырьки пара и каверны, заполненные воздухом и другими газами. Эти пузырьки и каверны переносятся по
движению потока в область нагнетания с давлением, значительно превышающим давление насыщенного пара.
Следствием этого является мгновенная конденсация паров, сопровождающаяся столь же быстрым смыканием поверхностей пузырьков и каверн. При
этом частицы жидкости с огромной скоростью устремляются к центру пузырьков и пустот, происходит их столкновение, сопровождающееся мгновенным
местным повышением давления, достигающим сотен мегапаскаль. Это явление,
которое приводит к механическим повреждениям лопаток рабочего колеса и их
разрушению, называют кавитационной эрозией. При этом происходит и химическое разрушение металла в зоне кавитации в результате воздействия кислородом, содержащимся в жидкости в растворенном виде (коррозия). Процесс
разрушения стенок канала является наиболее опасным следствием кавитации.
3. Появлению кавитации в насосах сопутствуют звуковые явления (шум,
треск, удары) и вибрация установки как следствие колебаний жидкости, которые вызваны замыканием полостей, заполненных паром.
4. Развитая кавитация сопровождается уменьшением подачи, напора, мощности и КПД лопастного насоса.
Из этого следует, что работа насоса в условиях кавитации недопустима.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ
НАСОСОВ
Теоретические характеристики насосов, построенные на основании уравнения Эйлера (Рис. 13.8) для идеальной жидкости и рабочего колеса с бесконечным числом лопаток, в практике эксплуатации насосов не применяются.
Они позволяют ознакомиться только с сущностью полученных теоретических
зависимостей, а для оценки эффективности работы насосной установки применяют действительные характеристики, построенные по данным испытания
насоса. Аналитические же способы построения характеристик очень сложны и
не дают достаточно надежных результатов, так как трудно учесть воздействие
всех факторов, влияющих на работу насоса и которые не поддаются точному
теоретическому определению.
В практике изготовляемые заводами насосы проходят испытания на специальных стендах. Испытание насоса проводят при постоянной частоте вращения
( n  const).
Регулируя степень открытия задвижки на напорном трубопроводе, получим различные
подачи насоса, которые можем измерить одним из известных способов – расходомером Вентури, измерительными диафрагмами, объемным или весовым способами.
При этих значениях подач полный напор определяем как сумму показаний манометра
и вакуумметра и расстояния по вертикали между приборами H  h  h вак  h м .
Расходуемая мощность N (кВт) может быть определена по показаниям электротехниче-


ских приборов (амперметра или вольтметра), N  I  U 3 cos  1000  эл ,
где I – сила тока, а;
U – напряжение, в;
 эл – коэффициент полезного действия электродвигателя.
Расходуемую мощность также можно определить и при поl
мощи специального устройства изображенного на рисунке, которое называют мотор-весы.
Если ротор мотора вращается против часовой стрелки, то
статор будет стремиться повернуться в обратную сторону. Этот
Р
крутящий момент уравновешивается моментом силы Р с плечом
Мотор-весы
l , т.е. M  P  l  N  , где   n 30 .
Полезную мощность насоса определяют по зависимости (12.8), а коэффициент полезного действия – по зависимости (12.9).
При испытании фиксируют все основные параметры, характеризующие работу насоса, и опре2

деляют зависимости напора, потребляемой мощ1
а

ности и КПД насоса от его подачи, замеренной при
Нх
определенном положении задвижки, т.е. при опреНа
деленной степени ее открытия.
Эти зависимости представленные графиками
Vc
H  f Vc  , N  f Vc  и   f Vc  , называют рабоN
чими характеристиками центробежного насоса
(Рис. 14.3), причем зависимость H  f Vc  называют главной рабочей характеристикой.
Наиболее оптимальными параметрами работы
N0
насоса являются параметры, полученные при макVc
симальном значении коэффициента полезного

действия.
Следует отметить, что при закрытой задвижке
( Vc  0 ) насос создает напор H х (напор холостого
хода), потребляемая, при этом, мощность насоса
N 0 , составляет около 30% нормальной мощности,
Vc которая затрачивается на механические потери в
подшипниках, сальниках и на нагревание жидкоРис. 14.3. Рабочие характери- сти в насосе. Не рекомендуется допускать простики центробежного насоса
должительную работу насоса при закрытой задвижке, так как это может привести к температурным деформациям насоса, перегреву подшипников и нарушению работы насоса.
Действительные характеристики насосов используют при подборе центробежного насоса для работы при заданных параметрах. Выбирая насос необходимо стремиться к тому, чтобы в производственных условиях насос работал в
оптимальных условиях с учетом возможных отклонений подачи и напора.
Н
Точку «а», на главной рабочей характеристике H  f Vc  , соответствующую выбранным или отвечающую действительным условиям работы насоса,
называют рабочей точкой. По рабочей точке определяют действительную подачу Vc и напор H , создаваемые насосом. Рабочую точку центробежного насоса необходимо выбирать на нисходящей ветви кривой H  f Vc  . Это область
устойчивой работы насоса. Восходящий участок характеристики (1 – 2, рис.
14.3), характеризуется неустойчивой работой насоса с резкими колебаниями и
даже полным срывом подачи.
Для обеспечения легкого пуска насоса, необходимо чтобы напор холостого
хода H х был больше напора Н а , соответствующего максимальному КПД, т.е.
Нх На .
Главные рабочие характеристики Н  f Vс  , в
зависимости от конструктивных особенностей
Н
насоса, имеют различный вид:
1
1. Горбообразная – кривая, характерная для ло3
паток имеющих угол  2  900 , у которой макси2
мальный напор H max имеет место при Vc  0 (высоконапорные насосы);
2. Крутопадающая – кривая, характерная для
Vс
лопаток, имеющих угол  2  900 . Насосы с такой
Рис. 14.4. Виды характерихарактеристикой предпочтительно использовать в
стик центробежного насоса
условиях, когда возможны значительные колебания напора без заметного изменения подачи.
3. Пологая характеристика – кривая характерная для лопаток, имеющих
угол  2  900 . Насосы с такой характеристикой применяются при его работе со
значительными изменениями подачи, при практически неизменном напоре.
Одна главная рабочая характеристика описывает работу насоса при постоянном выбранном или заданном значении чаН, м
40 n  2900
стоты вращения n  const. Для широко распространенных в практике центробежных
n  2900
насосов строят универсальные характеристи- N, кВт
30 n  2500
ки (Рис. 14.5).
N
10
Универсальная характеристика представляет собой график, на котором приведены
20 n  2000
N
кривые напора Н и мощности N в функции от
n  2500
5
подачи Vc при различных частотах вращения
n  1500
10
n  2000
рабочего колеса n , а также изолинии КПД.
N
N
Восходящая штриховая линия соответствует
n  1500
максимальному значению КПД (   max ). С
0 0
10
20
Vc  10 3 , м 3 с
помощью универсального графика можно для
Рис. 14.5. Универсальная харакданной марки насоса установить значения Vc ,
теристика центробежного насоса
H , N и  при различной частоте вращения
рабочего колеса n .
Таким образом, подобные графики позволяют судить о работе насоса при
любой подаче для любой практически возможной частоты вращения рабочего
колеса.
Например, определим какой напор H создает насос при известной подаче
Vc и частоте вращения рабочего колеса n . Для этого через точку, соответствующую заданной подаче Vc , проведем линию перпендикулярную оси абсцисс до
пересечения с главной рабочей характеристикой насоса, построенной для заданной частоты вращения n . Из полученной таким образом точки пересечения
проведем линию параллельную оси абсцисс. Эта линия отсекает на оси ординат
искомое значение напора H .
РАБОТА НАСОСА НА СЕТЬ
Используя рабочие характеристики для выбора насоса, необходимо четко
представлять взаимосвязь параметров насоса, т.е. подачи Vc и напора H и обслуживаемой им сети. Насос может обеспечить только такие сочетания Vc и
H , которые лежат на его главной рабочей характеристике H  f Vc  .
Никакой напор в насосе не может быть создан независимо от сети, а устанавливается автоматически равным величине необходимой для покрытия всех
расходов энергии в сети.
Как известно напор, требуемый сетью (12.9), состоит из двух частей – статической составляющей сети, не зависящей от подачи насоса (высота, на которую насос поднимает жидкость) и динамической составляющей сети, пропорциональной квадратам скоростей или квадратам подач на участках сети (учитывает все виды потерь напора в рассматриваемой сети). С учетом зависимости
(8.9)  h w  AVc2 , выражение для определения потребного напора сети можно
записать так
Н потр  Н г  АVc2 ,
Характеристика
Н
насоса
(14.32)
к a 1
где A – сопротивление трубопроводов насосной

установки.
a
h
Напор сети, определяемый по зависимости
a 2
Характеристика
(14.32), будет меняться с изменением подачи и
сети
в координатах Vc  H , представляет собой
На
квадратную параболу, которая называется
характеристикой сети.
Нг
Таким образом, характеристика сети представляет суммарную характеристику всасывающего и нагнетательного трубопроводов, смеVcа
Vc щенную вдоль оси напоров на величину Н .
г
По виду характеристики сети можно суРис. 14.6. Определение режима
дить о ее сопротивлении – пологая характериработы насоса на сеть
стика свидетельствует о незначительных потерях напора (энергии) в сети и,
наоборот, большое количество различных сопротивлений в сети приводит к
большим потерям напора и кривизна квадратной параболы увеличивается (крутая характеристика).
Для определения режима работы насоса необходимо рассчитать по зависимости (14.32) и построить в одном масштабе характеристику насосной установки (сети) на одном и том же графике с характеристикой насоса (Рис. 14.6).
Равенство напора насоса и потребного напора установки получается для
режима, определяемого пересечения характеристик.
Точку пересечения двух характеристик (точка «а») называют рабочей точкой насоса, работающего на данную сеть. По этой точке определяют все характеристики насоса ( Vc , H , N и  ). Заданный расход сети должен быть равен
подаче насоса, а эта подача, в свою очередь, определяет как потребный напор
сети, так и напор насоса, которые тоже должны быть равны.
Допустим, что насос выбран при заданной частоте оборотов и построена
его главная рабочая характеристика. При постоянном режиме сети рабочая точка « а » займет положение на пересечении характеристик для заданного расхода
сети Vса . Если эта точка займет положение а 1 – выше характеристики насоса,
то он не может дать требуемого напора, и для работы при заданных условиях не
пригоден. Если же точка а 2 оказывается ниже характеристики насоса, то насос
при заданном расходе должен давать напор больше требуемого, но дать его не
может, так как при расходе Vса сеть такого напора не требует. В этом случае
необходимо искусственно повысить сопротивление сети, чтобы увеличить потери напора в ней. Тогда рабочая точка перейдет в положение « а » и насос создаст режим, продиктованный новым режимом сети.
При соотношении подач Vc  Vcа насос вообще не может создать напор,
требуемый сетью. При соотношении Vc  Vcа , например точка «к», работа насоса
возможна, если в сеть ввести дополнительное переменное сопротивление h ,
тогда при новом режиме сети ее расход составит Vск (на рис. 14.6 это обозначение не показано, Vск можно получить, опустив перпендикуляр из точки «к» на
ось абсцисс).
Таким образом, сопоставляя характеристику насоса с характеристикой сети, можно оценить пригодность данного насоса для заданных условий.
Рассмотрим частные случаи насосных установок.
1. Уровни жидкости в питающем и напорном резервуарах совпадают. При
этом геометрический напор установки Н г  0 и характеристика насосной установки представляет собой кривую Н потр  АVc2 (Рис. 14.7). Весь напор затрачивается на преодоление гидравлических сопротивлений в системе. Нанесем на
характеристику установки характеристику насоса. Пресечение кривой напоров
H  f Vc  насоса с характеристикой установки H потр  f Vc  дает рабочую точку
«а», определяющую режим работы насоса.
Н
a
Н
На
Vc 0
a
Н потр  АVc2
Vcа
Нг
На
Vcа
Рис. 14.7. Определение режима
работы насоса на сеть при Н г  0
Vc
Vc
В
С
Рис. 14.8. Определение режима
работы насоса на сеть при Н г  0
2. Уровень жидкости в напорном резервуаре находится ниже уровня жидкости в питающем резервуаре (Рис. 14.8). Геометрический напор при этом отрицателен Н г  0 , поэтому его следует откладывать вниз от оси абсцисс графика. Уровень жидкости в питающем резервуаре совместим с осью абсцисс. Построив от прямой ВС вверх кривую потерь  h w  АVc2 , получим характеристику установки. На пересечении кривой напоров характеристики насоса с характеристикой насосной установки находим точку «а», которая определяет режим работы насоса.
Точка пересечения характеристики установки с осью абсцисс дает расход
Vc 0 в трубопроводе при отсутствии насоса. Включение насоса увеличило расход в системе на величину Vca  Vc 0 .
РЕГУЛИРОВАНИЕ РЕЖИМА РАБОТЫ НАСОСА.
СОВМЕСТНАЯ РАБОТА НАСОСОВ
Данной характеристике насоса и насосной установки соответствует только
одна рабочая точка. Однако требуемая подача может изменяться. Для того чтобы изменить режим работы насоса, необходимо изменить характеристику насоса либо насосной установки. Это изменение характеристик для обеспечения
требуемой подачи называют регулированием. Регулирование центробежных
насосов может осуществляться или при помощи регулирующей задвижки –
дроссельное регулирование (изменяется характеристика насосной установки),
или изменением частоты вращения (изменяется характеристика насоса).
Регулирование задвижкой (дросселирование).
Предположим, что насос должен иметь подачу не Vcа , соответствующую
точке «а», а Vcb  V ca (Рис. 14.9). Этой подаче соответствует точка «b» характеристики насоса. Чтобы характеристика насосной установки пересеклась с кривой напоров H  f Vc  в точке «b», необходимо увеличить потери напора в сети. Это осуществляется прикрытием регулирующей задвижки, установленной
Н
Н
60%
d
40%
c
a
b 20%
a 0%
b
c
n1
n2
n3
Vc
Vc
Рис.14.10. Регулирование работы
насоса изменением частоты вращения регулирования подачи насоса
на нагнетательном трубопроводе. Для удобства
Рис.14.9. Регулирование работы насоса
дросселированием
таким способом строят дроссельные кривые, каждая из которых представляет
характеристику сети с добавлением сопротивления задвижки при различной
степени ее прикрытия. Точки пересечения характеристики насоса с дроссельными кривыми соответствует режиму работы насоса на сеть с разной степенью
прикрытия задвижки.
Дополнительные потери напора снижают КПД установки, поэтому этот
способ неэкономичен. Однако благодаря простоте регулирование дросселированием получило наибольшее распространение.
Регулирование изменением частоты вращения.
Изменение частоты вращения вала ведет к изменению его характеристики
и, следовательно, рабочего режима (Рис. 14.10). Этот способ не вносит никаких
дополнительных потерь энергии, но для его осуществления необходимы двигатели с переменной частотой вращения или передаточные устройства с плавным
изменением передаточного отношения (вариаторы).
Регулирование работы насоса изменением его частоты вращения более
экономично, чем регулирование дросселированием.
Изменить подачу можно также перепуском части жидкости, подаваемой
насосом, из напорного трубопровода во всасывающий так называемое регулирование перепуском. Жидкость отводится из напорного трубопровода по обводному трубопроводу, на котором установлена задвижка. При изменении степени
открытия этой задвижки изменяется расход перепускаемой жидкости и, следовательно, расход во внешней сети.
Совместная работа насосов заключается в том, что на одну сеть работают
два или более насосов, соединенных последовательно или параллельно.
Совместную работу насосов можно рассматривать и как способ регулирования режима работы, так как при этом изменяются основные рабочие параметры насоса: последовательное соединение обычно применяют для увеличения
напора, а параллельное соединение – для увеличения подачи.
Последовательной работой насосов называют такую их работу, когда жидкость из напорного патрубка первого насоса подается во всасывающий патрубок второго. Затем жидкость поступает в третий, четвертый насос и т.д. и,
наконец, подается в сеть из нагнетательного патрубка последнего насоса.
Последовательно работающие насосы

могут иметь одинаковые, а также разные характеристики. На практике, для
последовательной работы, предпочтеa
Н
ние отдают насосам с одинаковыми
характеристиками.
На основе принципа последова
тельной работы работают многоступенчатые насосы. Необходимым услоI+II
вием последовательной работы насоaII
НII
сов является близость их характериaI
НI
стик по подаче.
Рассмотрим режим последоваII
тельной работы двух насосов I и II ,
I
имеющих разные характеристики (Рис.
14.11). Так последовательное соединеII
Нг
ние насосов применяется для увеличения напора в тех случаях, когда один
I
насос не может создать требуемого
Vc напора, то общий напор равен сумме
VcI VcII Vc
напоров обоих насосов, взятых при
Рис.14.11. Работа насоса на трубопровод. одной и той же подаче. Следовательно,
Последовательное соединение насосов
суммарная характеристика насосов
I  II получается сложением ординат
кривых напоров I и II обоих насосов. Пересечение суммарной характеристики
насосов с характеристикой насосной установки даст рабочую точку «а», которая определяет подачу Vc и суммарный напор H обоих насосов. Так как рабочая точка «а» находится на спадающей ветви суммарной характеристики, то
суммарный напор будет меньше суммы напоров двух отдельно работающих
насосов, т.е. Н  H I  H II .
Если бы характеристика сети была положе (пунктирная линия), то увеличение напора при совместной работе было бы не столь значительным. Поэтому
последовательное соединение насосов наиболее эффективно в сетях с крутыми характеристиками.
При последовательной работе двух насосов может в некоторой степени
увеличиться и общая подача насосов на данный трубопровод.
Последовательная работа центробежных насосов предполагает значительное повышение давления в том насосе, который представляет собой вторую
ступень. При этом давление в насосе II может превысить величину, допустимую по условиям прочности. В таком случае целесообразно устанавливать
насос II не сразу после насоса I , а на расстоянии, достаточном для снижения
давления до безопасного значения. Место установки насоса второй ступени
Н
может быть определено путем построения пьезометрической линии напорного
трубопровода.
При параллельном соединении насосов каждый из насосов имеет свою
всасывающую линию. На выходе из насосов все потоки сливаются и поступают
в общую нагнетательную линию, при этом напор остается таким же, как при
работе одного насоса, а подача увеличивается. Следовательно, работа параллельно соединенных насосов применяется для повышения подачи.
Рассмотрим работу двух параллельно соединенных насосов с разными характеристиками I и II (Рис. 14.12). Насос с характеристикой II может начать
работу в трубопровод только тогда, когда первый насос с увеличением подачи
снизит свой напор до максимального напора, создаваемого вторым насосом.
H
В


HII H
HI
a


aI I
aII II
VcI
VcII

I+II
Нг
I
II
Vc
Vc
Рис.14.12. Работа насоса на трубопровод. Параллельное соединение насосов
Начало совместной работы характеризуется точкой В. С этой точки можно
строить суммарную характеристику.
Построение суммарной характеристики ( I  II ) в случае параллельного соединения насосов выполняют путем сложением абсцисс характеристик I и II .
Суммарная характеристика насосов пересекается с характеристикой трубопровода в точке «а», абсцисса которой дает значение общей подачи Vc , подаваемой двумя насосами, а ордината – напор H . Нетрудно убедиться, что суммарная подача оказывается меньше суммы подач отдельных насосов Vc  VcI  VcII .
При крутой характеристике сети (пунктирная линия) подача совместно
работающих насосов практически не увеличивается. Как видно, эта подача
меньше подачи VcI или VcII одного работающего насоса на сеть с пологой
характеристикой (сплошная линия) и значительно меньше подачи Vc двух
совместно работающих насосов. Следовательно, параллельная работа насосов
дает относительно большой рост подачи при работе на сеть с пологой
характеристикой, имеющей малое сопротивление.
Возможна совместная работа насосов различных по принципу действия,
например, центробежного и поршневого. Принимая во внимание то
обстоятельство, что поршневой насос создает практически неограниченный
напор, а центробежный насос может обеспечить достаточно большую подачу
эти насосы, при совместной работе на сеть, обычно соединяют параллельно.
ОСЕВЫЕ (ПРОПЕЛЛЕРНЫЕ) НАСОСЫ
Как известно, коэффициент быстроходности n s (14.26) характеризует, в
некоторой степени, геометрические формы лопастного
насоса.
4
Исходя из этого, можно полагать, что основные па- 3
раметры работы лопастного насоса – подача Vc , напор H
и частота вращения рабочего колеса n – определяют кон- 2
структивные особенности насоса.
С увеличением подачи насоса и частоты вращения
рабочего колеса, при уменьшении напора коэффициент 1
быстроходности насоса растет. Вместе с этим изменяется
соотношение размеров рабочего колеса – уменьшается
отношение выходного диаметра D 2 к входному D 0 , достигая значения D 2 D 0  1 . Лопасти рабочего колеса при- Рис.14.13.
Осевой
нимают перпендикулярное направление по отношению к (пропеллерный) насос
валу насоса (рис. 14.13). Рабочее колесо 1 приобретает вид пропеллера, и поток
жидкости под его воздействием перемещается в осевом направлении, приобретая также вращательное движение. При выходе из рабочего колеса жидкость
попадает в направляющий аппарат 2, где вращательное движение прекращается.
Далее жидкость отводится в напорный трубопровод. Вал насоса 4 свободно проходит через втулку направляющего аппарата 3.
Осевые насосы являются наиболее быстроходными из вращательных лопастных машин ( n s  600  1200 ). Они применяются при больших подачах и
малых напорах ( Vc до 30м3 с , Н до 15м ). Высота их всасывания незначительна h вс  2  3м
Чаще всего осевые насосы работают погруженными в жидкость, не требуя
предварительной заливки перед пуском.
Эти насосы, работающие с подпором, в значительной степени ограждены
от кавитации. КПД осевых насосов довольно высок и для крупных насосов достигает значений   0,9  0,92 . В осевом насосе можно расширить диапазон
рабочих подач и напоров, в котором насос работает экономично, применив поворотные лопасти. С изменением угла установки лопасти характеристика насоса сильно изменяется при незначительном снижении КПД.
ПОРШНЕВЫЕ НАСОСЫ
Глава пятнадцатая
Поршневые насосы относятся к числу объемных насосов, работающих по
принципу механического вытеснения жидкости из рабочей камеры твердым телом (вытеснителем). Под вытеснителем понимается рабочий орган насоса,
непосредственно совершающий работу вытеснения (или всасывания). Вытеснителями могут быть поршни, плунжеры, шестерни, винты, пластины и т.д.
Чтобы разобраться с сущностью работы поршневого насоса, рассмотрим
схему насоса одностороннего действия, имеющего один поршень (Рис. 15.1).
В цилиндре 1 совершает возвратно-поступательное движение поршень 2,
соединенный штоком 3 с кривошипно-шатунным механизмом. К цилиндру
присоединена клапанная коробка, в которой находятся всасывающий клапан 4
и напорный клапан 5. Пространство между клапанами и поршнем образует
рабочую камеру насоса. При ходе поршня вправо (цикл всасывания) полезный
объем рабочей камеры увеличивается, вследствие чего давление в ней
устанавливается меньшее, чем давление перед клапаном 4. Под действием
возникшей разности давлений клапан поднимается и камера заполняется
жидкостью из питающего резервуара по всасывающему трубопроводу 6,
пройдя приемную сетку с обратным клапаном 11 и воздушный колпак 12.
Процесс всасывания продолжается до тех пор пока кривошип 8 не
повернется на 1800 (поршень займет правое крайнее положение).
При обратном движении поршня (цикл вытеснения), при его механическом
воздействии на жидкость, давление в рабочей камере насоса начинает
повышаться. Под воздействием этого давления всасывающий клапан 4
закрывается, а нагнетательный клапан 5 открывается и жидкость из рабочей
камеры вытесняется в воздушный колпак 13 и далее в нагнетательный
трубопровод 7.
Процесс нагнетания завершается при повороте кривошипа на 3600 , поршень при этом займет левое крайнее положение, после чего цикл повторяется.
13
7
5
2
1
3
10
9
8
4
S=2r
S
12
6
рат
11
Рис. 15. 1. Схема однопоршневого
насоса одностороннего действия:
1 – цилиндр; 2 – поршень; 3 – шток;
4, 5 – всасывающий и нагнетательный клапаны; 6, 7 – всасывающий и
нагнетательный трубопроводы; 8 –
кривошип; 9 – шатун; 10 – крейцкопф; 11 – приемная сетка с обратным клапаном; 12, 13 – воздушные
колпаки

Расстояние между крайними положениями поршня S  2r называют ходом
поршня.
В рассматриваемой схеме поршневого насоса в штоковой полости (справа
от цилиндра) всегда наблюдается атмосферное давление, и такой насос называют насосом простого действия.
Таким образом, в насосе простого действия за один полный оборот кривошипа поршень совершает два хода – прямой и обратный, при этом жидкость,
при двойном ходе поршня, в нагнетательный трубопровод подается только
один раз. Периодичность работы – существенный недостаток одноцилиндрового насоса простого действия.
Поршневые насосы классифицируют в зависимости от их конструктивных
особенностей и технологического назначения.
1. По числу циклов нагнетания и всасывания за один двойной ход различают насосы одностороннего действия и двустороннего действия.
2. По количеству поршней или плунжеров насосы бывают однопоршневые,
двухпоршневые, трехпоршневые и многопоршневые. В многопоршневых насосах от общего кривошипного вала одновременно работает несколько цилиндров одностороннего или двустороннего действия. Однако циклы каждого
смещены во времени, что уменьшает неравномерность подачи. Многопоршневые насосы с числом поршней более четырех на практике не применяется
вследствие сложности конструкции.
3. По конструкции вытеснителя – рабочего органа вытесняющего жидкость из цилиндра, поршневые насосы бывают с дисковым поршнем, плунжерные (скальчатые), с дифференциальным поршнем, а также мембранные.
В насосе с дисковым поршнем поршень перемещается в гладко обработанном цилиндре. Уплотнением поршня служат пружинящие металлические
кольца, а также резиновые или кожаные манжеты, с помощью которых обеспечивается герметичность, соприкасающихся поверхностей поршня и цилиндра.
В плунжерном насосе гладкий плунжер перемещается в рабочей камере
свободно без касания внутренних стенок цилиндра, а уплотнение размещено
неподвижно в корпусе камеры. При этом тщательность уплотнения достигают
сжимаемой сальниковым стаканом сальной набивки, уменьшающей трение и
износ соприкасающихся поверхностей.
Необходимо отметить, что обработка внутренних поверхностей с высокой
степенью точности более трудоемка (насосы с дисковым поршнем), чем внешних поверхностей (плунжерные насосы). Кроме того, значительно проще произвести ремонт и замену неподвижного наружного уплотнения у плунжерных
насосов, чем подвижного внутреннего у насосов с дисковым поршнем.
В связи с этим, плунжерные насосы всегда предпочтительнее, чем поршневые, если особые конструктивные и эксплуатационные требования не исключают их применения. Как правило, насосы с дисковыми поршнями применяют при перекачке маловязких незагрязненных жидкостей. Для перекачки
вязких, а также загрязненных жидкостей и суспензий применяют исключительно плунжерные насосы.
Мембранные насосы применяют для перекачивания агрессивных жидко-
стей. В мембранном насосе цилиндр отделен от клапанной коробки упругой
перегородкой – мембраной. Мембраны изготавливают из специальной резины,
кожи или стали. Цилиндр насоса между поршнем и мембраной заполняется неагрессивной жидкостью, чаще всего минеральным маслом.
4. По типу привода – насосы прямого действия и от кривошипного механизма. В насосах прямого действия привод осуществляется непосредственно от
паровой машины. В таких насосах поршень насоса и поршень паровой машины
соединены одним штоком. Насосы прямого действия позволяют обеспечить
плавное регулирование подачи.
5. По расположению цилиндров – насосы с горизонтальным и вертикальным расположением цилиндра в пространстве.
6. По типу клапанов – с тарельчатыми клапанами и с шаровыми клапанами.
7. По назначению – насосы водяные, грязевые, кислотные, для горячих
жидкостей и т.п.
ПОДАЧА ПОРШНЕВЫХ НАСОСОВ
Подачей насоса называют объемное количество жидкости, подаваемое
насосом в нагнетательный трубопровод в единицу времени. Это определение
относится ко всем насосам независимо от их типов и конструкций.
Для поршневого насоса, с учетом того, что за один оборот кривошипа
нагнетание совершается только один раз, подача будет неравномерна. Нетрудно убедиться (Рис. 15.1), что теоретическая подача насоса за один оборот равна
объему рабочей камеры и зависит от того, проходит сквозь камеру шток или
нет. Если кривошип совершает n оборотов в минуту, то теоретическую подачу
горизонтального поршневого насоса простого действия с дисковым поршнем
можно определить по зависимости
FSn
,
(15.1)
Vcт 
60
3
где Vcт – теоретическая подача, м с ;
F – площадь сечения поршня (или цилиндра), м 2 ;
S – ход поршня, м ;
n – частота вращения кривошипного вала, мин 1 .
Подачу плунжерного насоса одинарного действия определяют также по
формуле (15.1) полагая, что F – площадь поперечного сечения плунжера, а S –
его ход.
Подачу однопоршневого насоса двустороннего действия с дисковым
поршнем (Рис. 15.2) можно определить исходя из следующих соображений.
При движении поршня влево он вытесняет жидкость из левой (поршневой)
полости цилиндра, при этом всасывающий клапан 1 закрывается, а нагнетательный клапан 3 открывается и пропускает жидкость в нагнетательный трубопровод. Количество жидкости, которое насос подает в нагнетательный трубопровод из поршневой полости цилиндра, определяется произведением FS . В
это же самое время происходит процесс всасывания в правой (штоковой) полости цилиндра – всасывающий клапан 2 открывается, а нагнетательный кла-
3
4
1
2
Рис. 15. 2. Схема однопоршневого
насоса двустороннего действия
Рис. 15. 3. Схема дифференциального насоса
пан 4 закрывается.
При ходе поршня вправо из штоковой полости цилиндра вытесняется количество жидкости (с учетом объема, занимаемого штоком) F  f S , где f –
площадь поперечного сечения штока.
Следовательно, за полный оборот кривошипного вала, т.е. за один двойной
ход поршня насос теоретически подает количество жидкости, равное
FS  F  f S  2F  f S .
Так как частота вращения кривошипного вала равна n оборотов в минуту,
то теоретическая подача однопоршневого насоса двустороннего действия равна
( 2F  f )Sn
.
(15.2)
Vcт 
60
Однопоршневой насос двустороннего действия подает жидкость в нагнетательный трубопровод более равномерно, чем насос простого действия. Но
наличие двух пар клапанов усложняет конструкцию этого насоса.
Для получения равномерности подачи жидкости, соответствующей насосу
двустороннего действия, можно применить дифференциальный насос, имеющий только два клапана и соединенные вспомогательным трубопроводом
поршневую и штоковую полости (Рис.15.3).
В этом случае при движении поршня вправо поршневая полость цилиндра
заполняется жидкостью с объемом равным FS , а из штоковой полости в нагнетательный трубопровод вытесняется объем жидкости F  f S .
При последующем движении поршня влево открывается нагнетательный
клапан, и жидкость в объеме FS из поршневой полости через вспомогательную
трубу поступает в нагнетательный трубопровод. При этом часть жидкости в
объеме F  f S из вспомогательной трубы поступает в штоковую полость. Таким образом, в нагнетательный трубопровод при ходе поршня влево поступит
количество жидкости равное FS  F  f S , а за полный оборот кривошипного
вала – F  f S  FS  F  f S  FS . Оно равно соответствующей подаче насоса
простого действия, однако подача осуществляется более равномерно – двумя
порциями. Если бы обе подаваемые порции были одинаковыми, то подача
насоса была бы наиболее равномерной.
Этого можно достичь, выполняя условие, при котором обеспечивается равенство объемов жидкости, подаваемой насосе при ходе поршня вправо и влево, т.е. F  f S  FS  F  f S или FS  2fS . Откуда F  2f . Следовательно,
если площадь сечения штока будет вдвое меньше площади поршня, то количество подаваемой жидкости за каждый ход поршня окажется равным.
Равномерность подачи повышается еще в большей степени у насоса тройного действия (15.4).
Трехпоршневой насос одностороннего действия представляет собой строенный насос простого действия, причем, кривошипы каждого из трех цилиндров заклинивают под углом 1200 друг к другу. Такое расположение кривошипов обеспечивает непрерывную подачу жидкости в нагнетательный трубопровод, так как в любой момент времени в одном из цилиндров происходит
всасывание жидкости, а в другом нагнетание.
Очевидно, что подача трехпоршневого насоса одностороннего действия в
три раза больше подачи
Положение кривошипов
насоса простого действия
независимо от того, плунжерный насос или с дисковым поршнем
3FSn
Vcт 
60
.
(15.
3)
Подача насоса четверного действия равна удвоенной величине подачи од-
Рис. 15.4. Схема трехпоршневого насоса
нопоршневого насоса двустороннего действия
2( 2F  f )Sn
.
(15.4)
Vcт 
60
Конструктивно насос четверного действия представляет собой сдвоенный
днопоршневой насос двустороннего действия. Оба цилиндра сдвоенного насоса
имеют общие всасывающий и нагнетательный трубопроводы и единый привод.
Кривошипы привода заклинены под углом 1800 друг к другу.
Действительная подача насоса меньше теоретической подачи вследствие
наличия объемных потерь, которые учитываются объемным коэффициентом
полезного действия о
Vc  Vcт  о .
(15.5)
Основные причины, по которым происходят объемные потери:
1. Утечки жидкости через зазоры поршня, клапанов и через сальники.
Потери по этой причине можно уменьшить, используя рациональную конструкцию уплотнений поршня и сальников и обеспечивая плотную притирку
клапанов.
2. Выделение из жидкости воздуха и газа. Воздух или газ, занимая часть
объема камеры, уменьшает количество жидкости, поступающей в цилиндр при
всасывании.
Рабочую камеру насоса желательно профилировать таким образом, чтобы
исключить полости удобные для образования воздушных мешков. В верхней
части камеры необходимо предусмотреть краники для удаления накопившегося
в ней воздуха. Кроме того, чтобы исключить подсос воздуха через неплотности, существенное значение имеет конструкция уплотнений поршней и сальниковых устройств в местах прохода штоков сквозь крышки цилиндров.
3. Запаздывание открытия и закрытия клапанов. Открытие или закрытие
клапанов при всасывании или нагнетании происходит не мгновенно, а по истечении некоторого времени, которое зависит от разности давлений по обе стороны клапана, веса клапана и силы, действующей на него пружины.
Так в начале процесса нагнетания, когда нагнетательный клапан еще не
успел открыться, а всасывающий – закрыться, часть жидкости из рабочей камеры выталкивается обратно во всасывающий трубопровод.
Аналогично, в начале всасывания нагнетательный клапан закрывается не
сразу, а всасывающий пока еще не может открыться и часть жидкости из
нагнетательного трубопровода возвращается в рабочую камеру. Такая работа
клапанов, естественно, приводит к уменьшению количества подаваемой насосом жидкости.
ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ ПОРШНЯ НАСОСА
С КРИВОШИПНЫМ ПРИВОДОМ
В кривошипных поршневых насосах возвратно-поступательное движение
поршня осуществляется кривошипно-шатунным механизмом (Рис. 15.5). Кривошип с радиусом r вращается вокруг оси с угловой скоростью  . При этом
движение поршня является неравномерным. Из теории механизмов известно,
что при шатуне бесконечно большой длины l   путь x , пройденный поршнем за время  , равен проекции дуги, описанной за то же время радиусом кривошипа, на горизонтальную ось. Практически шатун можно считать бесконечно большой длины при выполнении условия l r  5 .
Таким образом, скорость, с которой поршень пройдет путь x за время  ,
будет равна w  dx d . Проекция дуги, описанная радиусом кривошипа при
l

r

x
x
S=2r
S
w, a
a=f()
r2
w=f()
r
0
/2


Рис.15.5. К расчету кинематических параметров движения поршня. Графики
изменения скорости и ускорения
его повороте на угол  , равна пути x , пройденному поршнем от его левого
крайнего положения за время  .
Так как x  r  r cos , то w  dx d  r sin d d  . Учитывая, что
d d   – угловая скорость кривошипа, находим
(15.6)
w    r  sin  .
Из выражения (15.6) видно, что скорость движения поршня изменяется по
синусоидальному закону и зависит от угла  поворота кривошипа, который
непрерывно меняется. Так при угле  равном 0 , 180 и 3600 (в крайних положениях поршня) скорость w  0 . При угле  равном 90 и 2700 (в середине хода поршня) – будет максимальная скорость w  w max .
Ускорение поршня можно определить как производную скорости по времени
dw
d
(15.7)
   r  cos
 2 r  cos .
d
d
Таким образом, изменение ускорения поршня при его движении в цилиндре графически может быть представлено в виде косинусоиды (Рис. 15.5).
Из рис.15.5 и формулы (15.7) видно, что максимальные значения ускорения поршня будут в его крайних положениях. Ускорение поршня равно нулю в

его среднем положении при угле   , когда поршень обладает максимальной
2
скоростью.
Следовательно, перекачка жидкости поршневым насосом происходит в
условиях неустановившегося движения. Это вызывает инерционное изменение
давления в цилиндре насоса и, соответственно, дополнительные инерционные
потери напора во всасывающем и нагнетательном трубопроводе. В последующем, чтобы определить инерционные потери напора, необходимо установить
значения скорости и ускорения в функции пути, пройденного поршнем. Для
этого воспользуемся равенством, x  r  r cos откуда найдем, что
rx
x
x
2x x 2

2
.

cos 
 1  , а sin   1  cos   1   1   
r
r r2
r
r

Подставив значения sin  и cos в зависимости (15.6) и (15.7), получим
2
2x x 2
w  r
 ,
r r2
dw
x

 2  r   1   .
d
r

(15.8)
(15.9)
ГРАФИК ПОДАЧИ ПОРШНЕВОГО НАСОСА
Элементарная подача однопоршневого насоса одностороннего действия за
время d может быть выражена зависимостью
dVc  Fds ,
(15.10)
где ds  wd – путь, пройденный поршнем за время d .
d
Так как w  r  sin  
, то ds  r  sin   d . Следовательно,
d
dVc  Fr sin   d ,
(15.11)
т.е. подача однопоршневого насоса, так же как и скорость поршня, изменяется по синусоидальному закону и, таким образом, отличается большой неравномерностью.
Степень неравномерности подачи поршневых насосов оценивают коэффициентом неравномерности подачи  , равным отношению максимальной подачи Vc max к средней подаче Vcср
V
  c max .
(15.12)
Vccp
Для определения коэффициента неравномерности, который показывает во
сколько раз максимальная подача насоса больше средней подачи, обычно используют графический метод.
Построим полуокружность с радиусом  (Рис. 15.6) так, чтобы он, в опре-
деленном масштабе, был численно равен произведению площади F на радиус
кривошипа r (   Fr ). Разделим построенную полуокружность на несколько
равных частей, обозначенных точками от 0 до 6 . Справа, на продолжении
диаметра окружности, отложим в каком-либо масштабе углы  от   0 до
  2 . Отрезок, изображающий углы от   0 (точка 0 ) до    (точка 6 ),
разделим как и полуокружность на шесть равных частей.
Точки 1 , 2 , 3  , 4 и 5  , полученные путем пересечения горизонтальных
и вертикальных линий, проведенных через соответственные точки 1 , 2 , 3 , 4 и
5 полуокружности и отрезка с обозначенными углами  , соединим плавной
2
1

3
d
4
2´
5

6
0
0
1



1´
Frsin
3´ 4´dV
cmax
2  3 4
/2
d
Fr
dVc
5´ 
5
6
 
dVcср
m
3/2
2

Рис. 15.6. Диаграмма подач поршневого насоса одинарного действия
линией, которая представляет собой синусоиду.
Определим площадь фигуры, заключенной между осью абсцисс и кривой
синусоиды. Как видно из графика (Рис. 15.6), высота бесконечно малого прямоугольника с основанием d равна  sin   Fr sin  , а площадь этого элементарного прямоугольника будет равна соответственно Fr sin   d , т.е. представляет собой элементарную подачу поршневого насоса (зависимость 15.11).
Интегрируя эту зависимость в пределах   0 до    , получим значение
полной теоретической подачи за один оборот радиуса кривошипа, которая будет равна площади под кривой синусоиды

 Fr sin   d Fr cos

0
 Fr1  1  2Fr  Fs .
0
Нетрудно установить, что величина ординат построенной диаграммы,
называемой диаграммой подач, пропорциональна мгновенным секундным подачам насоса при данной мгновенной скорости поршня. Максимальная подача
жидкости однопоршневого насоса одностороннего действия имеет место при
значении угла    2 и равна максимальной ординате Vc max  Fr .
Для определения средней подачи Vcср построим прямоугольник с основанием равным 2 и высотой m равновеликий площади синусоиды. Так как
площадь синусоиды равна подаче насоса одинарного действия за полный оборот кривошипного вала, то высота прямоугольника m будет определять среднюю подачу. С учетом зависимости (15.12)   Vc max Vccp  Fr m . Величину m
определим из условия 2m  Fs  2Fr , откуда m  Fr  .
Таким образом, коэффициент неравномерности подачи  , однопоршнево-
го насоса одностороннего действия, будет равен
V
Fr
  c max 
   3,14 .
(15.13)
Vccp
Fr
Графики подачи двухпоршневого и трехпоршневого насосов одностороннего действия показаны (на рис. 15.7,а и 15.7,б). Строят эти графики, аналогично графику подачи однопошневого насоса одностороннего действия.
Для однопоршневого насоса двустороннего действия на графике подач
также изображают две синусоиды, так как подача жидкости происходит при
ходе поршня вперед и назад, построенные с учетом влияния площади штока.
При этом максимальная ордината, соответствующая максимальной мгновенной
2
3
4
2´
6

0
0

1
5´
2
5
3 4
/2


4´
1´
5
1
3´


6

 

m





3/2


2
Fr
а
2
3
4

5
1
6

0



0

1



2  3 4
/2
5

m
6








3/2



2
Fr
б
Рис. 15.7. Диаграмма подач: а) двухпоршневого насоса одностороннего
действия; б) трехпоршневого насоса одностороннего действия
подаче, штоковой полости цилиндра будет равна F  f   r .
Анализируя график подачи двухпоршневого насоса одностороннего действия (Рис. 15.7,а), нетрудно убедиться, что максимальная подача равна максимальной ординате Vc max  Fr .
Для определения средней подачи Vcср двухпоршневого насоса одностороннего действия построим прямоугольник, равновеликий площади двух синусоид. В этом случае 2m  2Fs  4Fr , а высота прямоугольника m  2Fr  .
С учетом выражения для определения m и зависимости (15.12) коэффициент неравномерности подачи  двухпоршневого насоса одностороннего действия, будет равен
V
Fr

  c max 
    1,57 .
(15.14)
Vccp
2Fr
2
Аналогично можно показать, что коэффициент неравномерности подачи
 , трехпоршневого насоса одностороннего действия (15.7,б) равен
V
  c max  1,047 .
(15.15)
Vccp
Из приведенных графиков и зависимостей (15.13), (15.14) и (15.15) видно,
что самую большую неравномерность подачи имеют однопоршневые насосы
одностороннего действия, наименьшую – трехпоршневые насосы.
Для снижения коэффициента неравномерности подачи  применяют насосы с несколькими поршнями (цилиндрами) и со смещением фаз их рабочих
циклов на угол   360 z ( z – число поршней).
Значения коэффициентов неравномерности подачи  , насосов одностороннего действия, имеющих различное число поршней z , приведены ниже
z

1
3,14
2
1,57
3
1,047
4
1,11
5
6
7
8
9
10
1,016 1,047 1,008 1,026 1,005 1,016
Из представленных данных видно, что для повышения равномерности подачи целесообразно применять насосы с нечетным числом поршней.
ВОЗДУШНЫЕ КОЛПАКИ
Другим способом выравнивания подачи является применение гидропневматических аккумуляторов (воздушных колпаков). Воздушные колпаки 12 и 13
(Рис. 15.1) устанавливают на всасывающей и нагнетательной линии в непосредственной близости от рабочей камеры, так, чтобы путь от нее до колпаков
был минимален. Воздушные колпаки представляют собой закрытый сосуд достаточно большой емкости, цилиндрической или иной формы, в верхней части
которого находится воздух, сглаживающий, благодаря сжимаемости, пульсации подачи.
Сущность действия колпака, установленного на выходе из рабочей камеры
насоса, заключается в том, что он принимает весь объем жидкости, подаваемой
насосом в процессе нагнетания. Следует заметить, что при максимальной подаче жидкости насосом объем воздуха в воздушном колпаке уменьшится до Vmin ,
а при минимальной подаче жидкости – увеличится до Vmax . Следовательно,
воздушный колпак принимает объем жидкости V  Vmax  Vmin при возрастающей подаче и отдает этот объем в нагнетательный трубопровод при убывающей подаче насоса. В соответствии с этим давление в колпаке изменяется от
p min до p max и вновь понижается до p min .
Так как объем воздуха в колпаке может быть достаточно большим (в среднем воздух занимает 2 3 части объема воздушного колпака), то при уменьшении его на величину V , равную объему аккумулируемой в колпаке жидкости,
указанное изменение объема не сопровождается заметным изменением давления. Таким образом, при достаточно большом объеме воздуха в колпаке давление в нем во время работы насоса сохраняется практически постоянным, поэтому жидкость поступает в нагнетательный трубопровод под постоянным
напором.
Аналогичные рассуждения можно провести и применительно к колпаку,
установленному на всасывающей линии насоса, с той лишь разницей, что в
этом случае давление в колпаке изменяется по ходу поршня в противоположном порядке.
Следовательно, неустановившееся движение жидкости происходит на коротких участках трубопроводов, соединяющих рабочую камеру насоса с воздушными колпаками. Основные же части трубопровода, от питающего резервуара до колпака на всасывающей линии и от колпака на нагнетательной линии
до приемного резервуара, работают в условиях установившегося движения
жидкости.
Степень неравномерности давления в колпаке определяют по зависимости
p  p min
 p  max
,
(15.16)
p cp
p  p min
где p cp  max
– среднее давление в колпаке,
2
p max  p min – предельное колебание давления в колпаке.
По опытным данным,  р  0,02  0,05 , причем меньшие значения  p принимают для колпаков, соединенных с длинными, как правило, нагнетательными трубопроводами, а для всасывающих колпаков можно допустить более высокую степень неравномерности давлений. Так, при коротком всасывающем
трубопроводе и высоте всасывания до 5 м можно принять при работе насоса на
воде  р  0,05 . Однако с увеличением длины трубопровода и повышением высоты всасывания, величину  p необходимо выбирать соответственно меньшей.
Очевидно, чем больше разность ( p max  p min ), а, следовательно, и величина  p ,
тем сильнее колебания скорости жидкости. Практически можно считать, что
при степени неравномерности  р  0,025 изменение скорости жидкости в трубопроводе настолько незначительно, что движение можно считать установившимся.
Расчет колпаков сводится, в основном, к определению его размеров, при
которых степень неравномерности не превосходит заданной величины.
Если принять процесс расширения и сжатия воздуха в колпаке изотермическим, то можем написать
p max Vmin  p min Vmax  p cp Vcp
и далее, составляя производную пропорцию, получим
p max  p min Vmax  Vmin

p cp
Vcp
V  Vmin
где Vcp  max
– среднее значение объема воздуха в колпаке;
2
Vmax  Vmin – предельное колебание объема воздуха или жидкости в колпаке.
Принимая во внимание, что V  Vmax  Vmin и, учитывая зависимость
(15.16), получим
V
V
или Vcp 
.
(15.17)
Vcp
p
Задаваясь, как было сказано выше, относительным объемом воздуха в возV
2
душном колпаке равным cp  , получим
Vк 3
3
(15.18)
Vк  Vcp .
2
Как видно из зависимости (15.17), для определения объема воздушных
колпаков необходимо знать объем жидкости, воспринимаемый колпаками за
один оборот кривошипного вала. Величина предельного колебания жидкости в
колпаке зависит от типа насоса и может быть определена по диаграмме подач.
Не вдаваясь в подробности вывода, можно получить следующие значения
объема жидкости V , аккумулируемой воздушным колпаком, для насосов различной кратности действия:
для однопоршневого насоса одностороннего действия
V  0,55Fs ;
для однопоршневого насоса двустороннего действия
V  0,21Fs ;
для трехпоршневого насоса одностороннего действия
V  0,009Fs ;
для насоса четверного действия
V  0,042Fs .
Используя зависимость (15.17) и, принимая во внимание, что при
 р  0,025 поршневой насос работает достаточно равномерно, определим средний объем воздуха, который должен быть в воздушном колпаке для нормальной работы насоса:
для однопоршневого насоса одностороннего действия
V 0,55Fs
Vcp 

 22Fs ;
(15.19)
p
0,025
для однопоршневого насоса двустороннего действия
V 0,21Fs
Vcp 

 9Fs ;
(15.20)
p
0,025
для трехпоршневого насоса одностороннего действия
V 0,009Fs
Vcp 

 0,5Fs ;
(15.21)
p
0,025
для насоса четверного действия
V 0,042Fs
Vcp 

 2Fs ;
(15.22)
p
0,025
При известной величине среднего объема воздуха в воздушном колпаке по
зависимости (15.18) можно определить полный объем колпака и, соответственно, его размеры.
p 
Так, например, если воздушный колпак выполнен в форме вертикального
цилиндрического сосуда, то его диаметр приближенно может быть определен
по формуле
D  0,973 V к ,
а высота
H  1,363 V к .
Устройство воздушных колпаков (рис. 15.8.) должно быть таким, чтобы
они могли преобразовывать неустановившееся инерционное движение жидкости в установившееся без инерционное. С учетом этого, можно сформулировать следующие основные требования, предъявляемые к воздушным колпакам
и их установке:
1. Воздушные колпаки должны иметь достаточный объем в соответствии с
зависимостью (15.18);
2. Воздушные колпаки должны быть установлены как можно ближе к
насосу;
3. Через воздушный колпак должна проходить вся перекачиваемая жидкость, причем ее направление в колпаке должно изменяться, а скорость уменьшаться;
4. Воздушные колпаки должны быть оборудованы манометрами или вакуумметрами, а колпаки на нагнетательной линии – предохранительными клапанами и воздушными кранами;
5. Желательно предусмотреть установку на воздушных колпаках указателей уровня любого типа.
Из приведенного рисунка (Рис. 15.8) видно, что предъявляемым требованиям соответствуют колпаки, изображенные на схемах а, б и в, причем схема в
может быть рекомендована для установки колпака на всасывающей линии
насоса. Схема подключения воздушного колпака (Рис. 15.8,г) не может быть
рекомендована ни для всасывающей ни для нагнетательной линий, так как
направление потоков жидкости через колпак не соответствует требованиям
пункта 3.
Следует заметить, что количество воздуха в воздушных колпаках, с течением времени изменяется. В колпаке, установленном на всасывающей линии,
а
б
в
г
Рис.15.8. Схемы устройства воздушных колпаков
количество воздуха увеличивается, так как при пониженном давлении возможно чрезмерное выделение паров и газов. В колпаке, установленном на нагнета-
тельной линии наоборот, количество воздуха с течением времени, уменьшается, вследствие растворения газа в жидкости. Поэтому необходимо периодически удалять паро-воздушную смесь из всасывающего колпака, и добавлять воздух в нагнетательный колпак, или обеспечить разделение воздушной и жидкостной сред поршнем или мембраной.
ДАВЛЕНИЕ В ЦИЛИНДРЕ НАСОСА
Так как перекачивание жидкости поршневым насосом происходит в условиях неустановившегося движения, то давление в цилиндре насоса, как в период всасывания, так и в период нагнетания, является функцией времени
р ц  f  . Практически очень важно знать закон изменения давления в цилиндре при разных положениях поршня.
Процесс всасывания.
Чтобы установить зависимость, по которой изменяется давление в цилиндре насоса в процессе всасывания, напишем уравнение Бернулли для неустановившегося движения для всасывающей линии насоса с горизонтальным расположением цилиндра
р ц w ц2
р ат
 h вс 

  h w  h ин ,
(15.23)
g
g 2g
где р ц – переменное давление в камере насоса;
w ц – переменная скорость поршня площадью F ;
w вс2
 h w  h1кл    2g – суммарные потери напора,
h 1кл – потери напора всасывающего клапана;
w вс – переменная скорость жидкости во всасывающем трубопроводе с площадью
живого сечения Fвс ;
h ин  h инц  h инвс – суммарные инерционные потери;
h инц – инерционный напор столба жидкости в цилиндре длиной х ;
h инвс – инерционный напор столба жидкости во всасывающем трубопроводе длиной l вс (без воздушного колпака – от устья трубы до насоса, с колпаком – от него до насоса).
Следует иметь в виду, что всасывание жидкости будет происходить в том
случае, если внешнее давление на ее свободной поверхности р ат будет больше
давления р ц в камере насоса. Если всасывание происходит из открытого резервуара, то в камере насоса должен быть вакуум.
Если цилиндр насоса расположен вертикально, то к высоте h вс необходимо добавить еще высоту х , соответствующую пути, пройденному поршнем от
нижнего крайнего положения.
Выразим скорости w ц и w вс через переменное перемещение х , отсчитываемое от левого крайнего положения вправо (Рис. 15.5) с учетом зависимости
(15.8) и, принимая во внимание, что по закону неразрывности потока
w вс  w ц  F Fвс 



(15.24)
.
2
F
F 2x x 
w вс  w ц
 r

Fвс
Fвс r r 2 
Аналогично, с учетом зависимости (15.9), определим ускорения жидкости
в цилиндре а ц и во всасывающем трубопроводе а вс
w ц  r sin   r
2x x 2

r r2
x 

а ц   2 r cos   2 r 1   
r 

(15.25)
.
F
F 
x 
2
а вс  а ц
 r
1  
Fвс
Fвс 
r  
Инерционные напоры соответственно равны
x
x
x 

h инц  a ц   2 r 1   
g
g
r 

(15.26)
.
l вс F 2 
x 
h инвс 
 r 1  
g Fвс
r  

После несложных преобразований можно получить следующую зависимость для определения h инвс
 2 n 2 rl вс D 2 
x
h инвс 
1

(15.27)

.
900gdвс2 
r
Подставляя выражения w ц , w вс , h инц и h инвс из зависимостей (15.24) и
(15.26) в уравнение (15.23), получим
2
2


р ц p ат 
F 2x x 2  1
2x x 2  1


 h вс  h 1кл  r
 2
   r r  r 2  2g 
g g 
F
r
r
2
g




вс



l F 2 
2r 
x
x  p

 1   x  вс  r 1     ат  h вс  h 1кл 
g 
r
gFвс
r   g

 2 x x 2   2 r 
l F 2 
2r 2 
F
x
x 
 1 

 
 2 
 1   x  вс  r 1    . (15.28)

2g 
Fвс
g 
r
gFвс
r 

 r r 
Как видно из уравнения (15.28), начальный напор р ат g затрачивается на
преодоление сопротивлений, выражаемых слагаемыми в фигурных скобках.
Первое слагаемое h вс – постоянная величина, которая представляет собой
геометрическую высоту подъема жидкости от свободной поверхности жидкости в резервуаре до входа в камеру насоса.
Второе слагаемое h 1кл представляет собой напор, затрачиваемый на преодоление инерции всасывающего клапана при открывании и на поддержание
его в открытом состоянии. При левом крайнем положении поршня ( х  0 )
наблюдаются наибольшие потери напора вследствие преодоления инерции
клапана, закрывающего отверстие гнезда. В последующем эти потери напора
уменьшаются и остаются практически постоянными до завершения процесса
всасывания.
Третье слагаемое учитывает гидравлические сопротивления во всасывающем трубопроводе и клапане, пропорциональные w вс2 и изменяется по параболическому закону.
Четвертое слагаемое представляет собой напор, необходимый для преодоления инерции жидкости, находящейся в камере насоса.
Пятое слагаемое выражает напор, необходимый для преодоления инерции
жидкости во всасывающем трубопроводе.
Анализируя зависимость (15.28) можно отметить, что наиболее опасен в
отношении возникновения явления кавитации момент начала всасывания
( х  0 ), когда р ц g будет иметь минимальное значение. Если отношение
р
р ц g окажется меньше нуля ц  0 , то это свидетельствует об отрыве жидкоg
сти от поршня.
Для обеспечения нормальной работы насоса, при которой жидкость безотрывно движется за поршнем, необходимо соблюдение условия р ц min  p нп , где
р нп – давление насыщенных паров перекачиваемой жидкости при данной температуре.
Тогда
 p
р ат 
l F
  h вс  h 1кл  вс  2 r   нп .
(15.29)
g 
gFвс
 g
откуда
р
l F
р
(15.30)
h вс  ат  вс 2 r  нп  h 1кл .
g gFвс
g
Несоблюдение этого условия приведет к возникновению кавитации.
Поршневые насосы практически уже при 700 С не всасывают жидкость и
должны работать под заливом.
При х  0 третье и четвертое слагаемое зависимости (15.28) равны нулю,
поэтому для предупреждения кавитации необходимо уменьшить высоту всасывания, вес и сопротивление всасывающего клапана, частоту вращения кривошипного вала, длину горизонтальных участков всасывающего трубопровода и
увеличить его диаметр.
Процесс нагнетания.
Теперь рассмотрим, как изменяется давление в цилиндре насоса при
нагнетании. Для этого напишем уравнение Бернулли, с учетом сил инерции,
для сечений на выходе из насоса и свободной поверхности приемного резервуара
р ц w ц2
р н w н2
w н2

 hн 

 
 h 2 кл  h ин ,
(15.31)
g 2g
g 2g
2g
где р н – давление жидкости при выходе из нагнетательного трубопровода;
h 2 кл – потери напора нагнетательного клапана;
w н – переменная скорость жидкости в нагнетательном трубопроводе с площадью
живого сечения Fн ;
h ин  h инц  h инн – суммарные инерционные потери;
h инц – инерционный напор столба жидкости в цилиндре длиной х ;
h инн – инерционный напор столба жидкости в нагнетательном трубопроводе длиной l н (без воздушного колпака – от цилиндра до приемного резервуара, с колпаком – от
цилиндра до колпака).
Напор в камере насоса будет равен
рц рн
w ц2
w н2

 [h н  (1    )
 h 2 кл  h инц  h инн ] 
.
(15.32)
g g
2g
2g
По аналогии с уравнениями (15.24) и (15.26), для процесса нагнетания
можно написать
2x x 2
F 2x x 2
w ц  r
 ; w н  r
 ;
r r2
Fн r r 2
l F
x
x
x


h инц   2 r 1  ; h инн  н  2 r 1  .
g
r
gFн
r


Подставляя эти величины в уравнение (15.32), получим
рц рн 

 2 r 2  2x x 2   F 2



 h н  h 2кл 

1



1


g g 
2g  r r 2   Fн2

(15.33)
2
l нF 2 
 r
x
x 

 r  1   .
 1  x 
g 
r
gFн
r 

Как видно из уравнения (15.33), напор в рабочей камере в процессе нагнетания равен сумме напора жидкости на выходе из нагнетательного трубопровода р н g и сопротивлений, выражаемых слагаемыми в фигурных скобках.
Первое слагаемое в фигурных скобках h н выражает геометрическую высоту подъема жидкости от камеры насоса до входа в напорный резервуар.
Второе слагаемое h 2 кл – напор, необходимый для поднятия клапана и на
поддержание его в открытом состоянии.
Третье слагаемое выражает собой суммарные потери на преодоление гидравлических сопротивлений в нагнетательном трубопроводе и клапане, находящемся поднятом виде.
Четвертое и пятое слагаемые выражают на преодоление сил инерции соответственно в камере насоса и в нагнетательном трубопроводе.
Как видно из анализа зависимости (15.33) максимальный напор в цилиндре р ц g имеет место в начале нагнетания и представляет интерес лишь с
точки зрения прочности насоса и нагнетательного трубопровода. Минимальное
давление в рабочей камере насоса получается в конце хода нагнетания при
х  2r , когда ускорение поршня отрицательно (Рис. 15.5). Отсчет пути, пройденного поршнем в процессе нагнетания, производится от его правого крайнего
положения
 рц 
р
l F
   н  h н  h 2кл  н  2 r .
(15.34)
gFн
 g  min g
Очевидно, что при больших величинах последнего члена правой части
уравнения (15.34) в камере насоса может образоваться вакуум р ц gр ат g ,
возникнуть кавитация р ц gр нп g и даже произойти отрыв жидкости от поверхности поршня р ц g 0 , что приводит к возникновению ударов в насосе,
нарушению плавности работы клапанов и другим нежелательным явлениям.
Для того чтобы предотвратить отрыв жидкости от поршня необходимо
выполнить условие
рц
р
l F
 0 или н  h н  h 2кл  н 2 r .
(15.35)
g
g
gFн
Из уравнения (15.35) следует, что решение задачи сводится к увеличению
напора р ц g или геометрической высоты нагнетания h н , либо уменьшению
l F
инерции жидкости н  2 r .
gFн
Уменьшить величину инерционных потерь напора можно путем уменьшения длины нагнетательной линии трубопровода l н , чаще всего этого достигают
за счет уменьшения ее горизонтальных участков. Резко сократить длину l н
позволяет установка воздушного колпака на нагнетательной стороне насоса в
непосредственной близости от него. Это наиболее эффективная мера уменьшения инерционных потерь напора.
Кроме того, уменьшить величину инерционных потерь напора можно
уменьшением частоты вращения n , радиуса кривошипа r и площади поршня
F , но эти меры приводят к снижению подачи насоса.
Для обеспечения бескавитационной работы насоса в процессе нагнетания,
необходимо выполнение условия рц g рнп g . Тогда расчетное уравнение
для процесса нагнетания будет иметь вид
р
рн
l F
 h н  h 2 кл  н  2 r ц .
(15.36)
g
gFн
g
Для насосов с вертикальным расположением цилиндра, как и при расчете
всасывания, во все приведенные выше формулы вместо значения h н  const
необходимо подставлять h н  x .
Чем меньше неравномерность подачи насоса, тем слабее сказываются на
давлении в его рабочей камере инерционные напоры. С этой точки зрения
наилучшими являются трехпоршневые насосы одностороннего действия и
насосы четверного действия.
ПРЕДЕЛЬНАЯ ЧАСТОТА ВРАЩЕНИЯ КРИВОШИПНОГО ВАЛА
Определяя давление в цилиндре насоса, было установлено, что наиболее
опасным положением, при котором может произойти отрыв жидкости от
поршня в период всасывания, является его начальное положение. В процессе
нагнетания отрыв жидкости может произойти в конце хода поршня при х  2r .
Формулы (15.29) и (15.36) были получены в предположении, что шатун
кривошипно-шатунного механизма имеет бесконечно большую длину. В действительности, отношение 5  l r   . С учетом этого, в расчетах члены уравнений (15.29) и (15.36), выражающие инерцию жидкости во всасывающем и
нагнетательном трубопроводах увеличивают на 20%. Тогда окончательные выражения, исходя из условия предотвращения отрыва жидкости от поршня, будут иметь вид:
для всасывания


р
l F
h t  ат   h вс  h 1кл  1,2 вс  2 r  ;
(15.37)
g 
gFвс

для нагнетания
р
l F
(15.38)
h t  н  h н  h 2кл  1,2 н  2 r .
g
gFн
Инерция жидкости во всасывающем и нагнетательном трубопроводах существенно зависит от угловой скорости кривошипного вала   n 30 , а, следовательно, и частота вращения кривошипного вала будет оказывать существенное влияние на условия работы поршневого насоса. Причем с увеличением n повышается опасность отрыва жидкости от поршня.
Воспользовавшись выражениями (15.37) и (15.38) можно определить предельные частоты вращения кривошипного вала, при которых будут обеспечены
условия предотвращающие отрыв жидкости от поршня
в процессе всасывания
n вс 

150g  р ат

 h t  h вс  h 1кл  ;
l вс s  g

(15.39)
в процессе нагнетания

150g  p н

 h t  h н  h 2кл  .
(15.40)
l н s  g

Число оборотов вала не должно превышать меньшего из двух расчетных.
Обычно n max  100  120 об/мин., реже 180  200 об/мин.
Предельные частоты вращения кривошипного вала понижаются при повышении температуры перекачиваемой жидкости (для воды особенно резко
при t  50 0 C ), а при заданном n с повышением температуры уменьшается допускаемая высота всасывания, которая при 60  700 С становится равной нулю
и даже отрицательной.
nн 
ИНДИКАТОРНАЯ ДИАГРАММА РАБОТЫ ПОРШНЕВОГО НАСОСА
Индикаторная диаграмма (Рис. 15.9) представляет собой график изменения давления (напора) в цилиндре насоса по ходу поршня, построенный в координатах h ц  S и определяет характер работы поршневого насоса.
На приведенном графике (Рис.15.9), ось абсцисс – линия нулевого давления, АА – линия атмосферного давления. Линии 1 и 2 характеризуют соответственно процессы всасывания и нагнетания, а линии 3 и 4 отражают процессы
открытия нагнетательного и всасывающего клапанов. Наклон этих линий зависит от величины части хода поршня s , в течение которой открывается клапан.
Величина s тем больше, чем тяжелее клапан и чем быстроходнее насос.
При мгновенном открытии клапанов линии 3 и 4 можно изобразить в виде
вертикальных отрезков. Без суhц
щественной ошибки линии 1 и 2
можно заменить горизонталь2
ными прямыми, тогда диаграмма приобретет вид пунктирного
3
прямоугольника, который представляет собой идеальную диа- НнНпн 4
грамму работы поршневого
А
А
насоса.
Как видно из диаграммы
1
Нвс
hат
(Рис.15.9) полный напор насоса
s
s
S
Н пн равен
s
Н пн  Н н  Н вс
Рис. 15.9. Индикаторная диаграмма
,
где Н н – постоянный средний
напор нагнетания;
Н вс – постоянный средний напор всасывания.
Полезная мощность насоса, определяемая по формуле (12.8), для поршневого насоса будет равна
1
1
1
N п  gVc H пн  gsFnHпн  gsFn( H н  Н вс )  gFnFид , (15.41)
60
60
60
где Fид  sН н  Н вс   sНпн – площадь индикаторной диаграммы.
В зависимости (15.41) произведение gFH н представляет собой среднюю
силу, действующую на поршень в течение процесса нагнетания, а произведение gFsН н – работу, затраченную на перемещение поршня за это время.
Аналогично, произведение gFsН вс представляет собой работу, затраченную на перемещение поршня в течение процесса всасывания.
Тогда, величина gsF(Hн  Нвс )  gFFид равна полной работе насоса за
один цикл и эта работа пропорциональна площади индикаторной диаграммы
(Рис. 15.9).
По виду индикаторной диаграммы можно определить характер работы
поршневого или плунжерного насоса. Нормальная индикаторная диаграмма
поршневого насоса, снабженного воздушными колпаками на всасывающей и
нагнетательной линиях, представлена на рис. 15.9.
а
А
А
А
1
А
s
2
А
А
а
б
А
А
4
3
А
А
А
7
А
6
5
А
А
Рис. 15.10. Виды индикаторных диаграмм,
отображающие некоторые характерные нарушения работы насоса
При эксплуатации насоса возникают некоторые нарушения в его работе,
вызванные разными причинами. Все это отображается на индикаторной диаграмме и позволяет по характеру ее искажения определить причину неисправности насоса.
Некоторые характерные искажения индикаторных диаграмм, возникающие при работе насоса приведены на рис. 15.10.
Индикаторная диаграмма 1, представленная на рис. 15.10 указывает на то,
что насос вместе с жидкостью всасывает воздух. Давление в рабочей камере
насоса, необходимое для открытия нагнетательного клапана, создается только
после достаточного сжатия воздуха. Линия а, характеризующая работу нагнетательного клапана имеет вид пологой кривой. Как видно из рисунка путь s,
пройденный поршнем, при наличии воздуха в рабочей камере насоса, значительно больше, при нормальной работе насоса (Рис. 15.9). При этом уменьшается подача насоса.
При неправильном профилировании рабочей камеры насоса внутри ее образуется «воздушный мешок», в результате чего уменьшается рабочий объем
насоса. На индикаторной диаграмме это отображается в виде пологих линий а
и б, характеризующих работу всасывающего и нагнетательного клапанов
(Рис.15.9. 2).
Искажения индикаторных диаграмм 3 и 4 свидетельствуют о поздней посадке соответственно всасывающего и нагнетательного клапанов. Искажения
линий, характеризующих работу всасывающего и нагнетательного клапанов, на
диаграммах 5 и 6, указывают на неплотную посадку клапанов на гнездо.
Индикаторная диаграмма 7 соответствует работе насоса без воздушных
колпаков. Аналогичный вид имеет индикаторная диаграмма с недостаточными
размерами воздушных колпаков, определяемыми по зависимости (15.18), а
также при большом удалении воздушных колпаков от насоса.
ЭКСПЛУАТАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ПОРШНЕВЫХ НАСОСОВ.
РЕГУЛИРОВАНИЕ ПОДАЧИ
Одной из основных особенностей и достоинством поршневых насосов является независимость развиваемого ими напора от подачи. Таким образом,
поршневой насос, при любой подаче может развить любой напор, требуемый
сетью в переделах ограниченных прочностными характеристиками материала,
из которого изготовлен цилиндр насоса и его основные элементы.
Кроме того, поршневые насосы имеют более высокие коэффициенты полезного действия, чем центробежные насосы. Так объемный КПД ( о ) поршневого насоса изменяется в пределах 0,89  0,98 , гидравлический КПД ( г ), учитывающий потери давления в самом насосе и в клапанах находится в пределах
0,80  0,90 , а значения механического КПД (  м ) – соответственно в пределах
0,94  0,96 .
Полный КПД поршневого насоса    о  г  м зависит от размеров насоса и
его конструкции, рода перекачиваемой жидкости и от развиваемого им давле-
ния. При давлении до 10 МПа   0,90  0,95 ; при давлении 30  40 МПа
  0,80  0,90 ; при давлении свыше 40 МПа   0,70  0,80 . Понижение КПД с
увеличением давления зависит не только от конструкции насоса, но и от модуля упругости перекачиваемой жидкости.
Несмотря на высокие значения КПД поршневые насосы малопроизводительны и относятся к категории тихоходных насосов с коэффициентом быстроходности n s  10  12 об/мин. Поэтому поршневые насосы целесообразно применять когда необходимо создать высокие напоры при небольшой подаче.
Вследствие того, что поршневые насосы развивают практически неограниченные напоры, последовательное соединение насосов при их совместной
работе не рекомендуется.
Если один насос не обеспечивает нужной подачи, то в параллельную работу включают несколько поршневых насосов, или поршневые насосы совместно с центробежными. Кроме того, поршневые насосы могут быть включены в параллельную работу с другими объемными (ротационными) насосами.
Пуск поршневых насосов осуществляется после заполнения их жидкостью. Заполнение насоса производится через нагнетательный трубопровод или
специальными вакуум-насосами.
На нагнетательном трубопроводе поршневых насосов запорные устройства не устанавливаются, так как пуск насоса должен производиться при открытом нагнетательном трубопроводе с постепенным увеличением числа оборотов двигателя.
При проектировании поршневых насосов особое внимание уделяют расчету всасывающей линии, это требование относится и к нагнетательной линии,
хотя и в меньшей степени.
Независимость развиваемого напора от подачи в значительной степени
упрощает процесс регулирования подачи в поршневом насосе, который заключается в непосредственном изменении количества перекачиваемой насосом
жидкости. Анализируя зависимость подачи поршневого насоса простого действия (16.1), можно определить основные способы регулирования подачи:
1. Изменение числа оборотов кривошипного вала. Этот способ, как и при
регулировании подачи центробежных насосов, требует или применения двигателей способных плавно изменять число оборотов, или вариаторов. Как правило, этот способ регулирования применяется в крупных насосных установках.
2. В небольших насосах регулирование подачи может быть осуществлено
изменением радиуса кривошипа, что приводит к изменению хода поршня s .
Это достигается перестановкой шарнирного пальца в плече кривошипа относительно его центра вращения.
Кроме того, возможно регулирование подачи поршневого насоса перепуском части нагнетаемой жидкости в питающий резервуар. При этом способе
регулирования необходимо смонтировать отводной трубопровод с установкой
на нем перепускного клапана, позволяющего регулировать количество пропускаемой им жидкости.