09-07-04

Тема 7. Наглядная стереометрия
09-07-04. Правильные четырехугольная и треугольная
пирамиды
Теория
4.1. В некоторой плоскости возьмем квадрат ABCD (рисунок 1). Через его центр H
проведем прямую m перпендикулярно плоскости ABCD .
Выберем на прямой m точку S и соединим ее с вершинами квадрата отрезками
прямых. Пятигранник SABCD на рисунке 2 с гранями ABCD , SAB , SBC , SCD , SAD
называется правильной четырехугольной пирамидой.
Грань ABCD называется основанием пирамиды остальные грани называются
боковыми гранями. Точка S называется вершиной пирамиды, а отрезок SH — ее высота.
Из перпендикулярности прямой SH к плоскости ABCD следует, что
AHS  BHS  CHS  DHS  90 . Поэтому треугольники AHS , BHS , CHS , DHS
прямоугольные и равны, так как у них AH  BH  CH  DH , а сторона SH общая. Из
равенства
треугольников
получаем
равенство
боковых
ребер
пирамиды:
AS  BS  CS  DS .
В результате получаем, что боковые грани правильной четырехугольной пирамиды
являются равнобедренными треугольниками.
4.2. Рассмотрим сечения правильной четырехугольной пирамиды плоскостями,
проходящими через ее высоту.
Любая плоскость, проходящая через высоту SH (рисунок 3), перпендикулярна
основанию и пересекает пирамиду по равнобедренному треугольнику.
Действительно, так как точка H является центром симметрии квадрата ABCD , то
MH  HK , а из условия SH  ABCD следует, что SH  MK . Поэтому в треугольнике
MSK отрезок SH является и медианой, и высотой, откуда и получаем, что треугольник
MSK равнобедренный.
Из плоскостей указанного вида особо выделаются два особых случая.
Первый случай. Пусть точка M совпадает с серединой какого-нибудь ребра
основанная, например, AM  MD , как на рисунке 4. Тогда ребра AD и BC
перпендикулярны плоскости MSK и делятся этой плоскостью пополам. Плоскость MSK
является плоскостью симметрии пирамиды SABCD .
Второй случай. Пусть точка M совпадает с одной из вершин основания пирамиды
SABCD , например, с вершиной A , как на рисунке 5. Тогда сечением пирамиды является
треугольник ASC , а диагональ BD основания пирамиды перпендикулярна плоскости
ASC также является плоскостью симметрии правильной четырехугольной пирамиды
SABCD .
4.3. При пересечении правильной четырехугольной пирамиды плоскостью,
проходящей через ребро основания, получается трапеция (рисунок 6).
Трапеция AEFD равнобедренная, что легко установить, если добавить на чертеже
вспомогательную плоскость SMK , для которой AM  MD , BK  KC (рисунок 7). Тогда
EF BC , EL  LF и EF SMK .
Поэтому EF  ML , а так как и AD  ML , то приходим к рисунку 8, откуда все и
следует.
4.4. Для записи формул поверхности и объема правильной четырехугольной
пирамиды, изображенной на рисунке 9, введем обозначения:  AB  a ,  SH  h ,  SK  p ,
где CK  KD , S ABCD  S . Тогда боковая поверхность пирамиды вычисляется по формуле:
Sбок  2  ap
полная поверхность пирамиды вычисляется по формуле:
Sполн  2  ap  a 2  2  ap  S 
объем пирамиды вычисляется по формуле:
1
1
V   Sh   a 2  h
3
3
4.5. В некоторой плоскости возьмем правильный треугольник ABC (рисунок 10).
Через его центр H проведем прямую m , перпендикулярно плоскости ABC . Выберем на
прямой m точку S . Соединим точку S с вершинами треугольника ABC отрезками
прямых. Четырехгранник SABC (тетраэдр) с основанием ABC и боковыми гранями SAB ,
SAC , SBC называется правильной треугольной пирамидой. Точка S - – вершина
пирамиды, отрезок SH - – ее высота.
Из перпендикулярности прямой SH
к плоскости
ABC следует, что
AHS  BHS  CHS  90 . Так как AH  BH  CH , то прямоугольные треугольники
AHS , BHS , CHS равны по двум катетам. Отсюда следует, что AS  BS  CS , а поэтому
боковые грани правильной треугольной пирамиды являются равнобедренными
треугольниками.
Правильная треугольная пирамида, у которой все ребра равны, называется
правильным тетраэдром. У правильного тетраэдра все грани — равные правильные
треугольники.
4.6. Любая плоскость, проходящая через высоту правильной треугольной пирамиды,
перпендикулярна основанию. Из таких плоскостей выделяются плоскости ASH , BSH ,
CSH . Так, плоскость ASH перпендикулярна ребру BC , проходит через середину ребра
BC и пересекает грань SBC по высоте SK боковой грани (рисунок 11). Поэтому
плоскость ASK является плоскостью симметрии правильной треугольной пирамиды
SABC .
4.7. Противоположные ребра правильной треугольной пирамиды взаимно
перпендикулярны. Например, AS  BC . Это не совсем очевидный результат.
Для его доказательства снова рассмотрим рисунок 11. Мы имеем, что BK  KC .
Поэтому AK  BC как медиана основания равностороннего треугольника ABC , и
SK  BC как медиана боковой грани равнобедренного треугольника SBC . Отсюда
следует, что ASK  BC , а значит AS  BC , что и требовалось установить.
Аналогично можно получить, что BS  AC и CS  AB .
4.8. Покажем, что середины ребер AS , BS , AC , BC расположены в одной
плоскости.
Действительно, рассмотрим рисунок 12. Так как ML || SC и NK || SC , то ML || NK , а
значит прямые ML и NK лежат в одной плоскости.
Аналогично можем получить, что MN || LK . Далее, так как в предыдущем пункте
установлено, что AB  SC , то ML  MN , откуда LMN  90 . В результате приходим к
тому, что при пересечении правильной треугольной пирамиды плоскостью MNKL ,
получается прямоугольник.
4.9. Для записи формул поверхности и объема правильной треугольной пирамиды
обозначим  AB  a ,  SH  h ,  SK  p (рисунок 13), где BK  KC , S ABC  S . Тогда
боковая поверхность пирамиды вычисляется по формуле:
3
Sбок   ap  (1 5)ар
2
полная поверхность пирамиды вычисляется по формуле:
3
3
a2  3
 ap  S   ap 

2
2
4
объем пирамиды вычисляется по формуле:
1
1
V   Sh   a 2  h  3
3
12
Контрольные вопросы
Sполн 
1. Какой многогранник называется правильной четырехугольной пирамидой?
2. Какой многогранник называется правильной треугольной пирамидой?
3. Что такое правильный тетраэдр?
4.* Какие плоскости симметрии имеет правильная четырехугольная пирамида?
5.* Какие плоскости симметрии имеет правильная треугольная пирамида?
6. Запишите формулы боковой и полной поверхности правильной четырехугольной
пирамиды.
7. Запишите формулу объема правильной четырехугольной пирамиды?
8. Запишите формулы боковой и полной поверхности правильной треугольной
пирамиды.
9. Запишите формулу объема правильной треугольной пирамиды.
Задачи и упражнения
1. В правильной четырехугольной пирамиде все ребра имеют длину a . Вычислите
боковую поверхность и объем пирамиды.
2. В правильной четырехугольной пирамиде все ребра имеют длину a . Вычислите
площади сечений пирамиды плоскостями симметрии.
3.** Правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой имеют длину a ,
пересечена плоскостью, проходящей через ребро основания перпендикулярно
противоположной боковой грани. Найдите площадь сечения.
4.* Правильная четырехугольная пирамида, имеющая высоту 20 см и ребро в
основании 10 см, пересечена плоскостью, проходящей через диагональ основания и
середину одного из боковых ребер. Вычислите площадь сечения.
5. Найдите высоту и объем правильного тетраэдра с ребром a .
6.* Сколько плоскостей симметрии имеет правильная треугольная пирамида, которая
не является правильным тетраэдром.
7.** Покажите, что отрезок прямой, соединяющий середины двух противоположных
ребер правильного тетраэдра, является их общим перпендикуляром.
8.* Как пересечь плоскостью правильный тетраэдр, чтобы в сечении получился
квадрат?
9.* Вычислите площадь того сечения правильного тетраэдра с ребром a, которое
является квадратом.
Ответы и указания
Задача 3  . Правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой имеют длину a ,
пересечена плоскостью, проходящей через ребро основания перпендикулярно
противоположной боковой грани. Найдите площадь сечения.
Указание. Для построения прямой, которая перпендикулярна плоскости SBC , рассмотрим
вспомогательную плоскость SMN , которая проходит через середины ребер AD и BC
(рис. 5). Так как SN  BC , MN  BC , то SMN  BC . Если проведем MP  SN , то
прямая MP также перпендикулярна прямой BC , а поэтому MP  SBC . Плоскость ADP
перпендикулярна грани SBC и пересекает пирамиду по трапеции AKLD , у которой
основания AD , KL и высота MP . Чтобы вычислить площадь сечения, сначала найдем
a 3
SM  SN 

2
а затем рассмотрим треугольник MSN (рис. 6). По теореме Пифагора SH  a 2 2 . Из
NP
MN
подобия треугольников MPN и SNH получаем MP
SH  NH  SN , откуда
MP  a
2
3
, NP  a 3 3  32 SN , SP  13 SN .
Затем из подобия треугольников SBC и SKL находим, что KL  13 a . В результате
Sсеч 
1
2
 a  a3   a
2
3

2 a2 6
9
.