23 Исслед. опреций и методы оптимизации

Государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Тюменской области
«ТЮМЕНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА»
2.5. Реализация образовательных программ
СМК – РОП - РУП - 2.5.40 - 2013
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ
И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
СОГЛАСОВАНО
Проректор по учебной работе
_______________ Т.А. Кольцова
"____" _______________ 2013 г.
УТВЕРЖДЕНО
Решением Учёного совета
(протокол № 2 от 25.09.2013 г.)
Л. М. СЕЛЮНИНА
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ
И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Рабочая учебная программа
Направление подготовки
Прикладная информатика
Профиль подготовки
Экономика
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная, заочная
Тюмень
2013
1
ББК 32.97-018
И87
Исследование операций и методы оптимизации [Текст]: рабочая учебная программа. Тюмень: ГАОУ ВПО ТО «ТГАМЭУП». 2013. 36 с.
Рабочая учебная программа по дисциплине «Исследование операций и методы
оптимизации» разработана в соответствии с Федеральным государственным
образовательным стандартом высшего профессионального образования и учебным
планом, рекомендациями и ПрООП ВПО по направлению 230700 «Прикладная
Информатика» профиль «Экономика».
Рабочая учебная программа включает цели освоения дисциплины; место
дисциплины в структуре ООП бакалавриата; компетенции обучающегося,
формируемые в результате освоения дисциплины; структуру и содержание
дисциплины; образовательные технологии; учебно-методическое обеспечение
самостоятельной работы студентов; оценочные средства для текущего контроля
успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины;
учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины; материальнотехническое обеспечение дисциплины.
Одобрено на заседании кафедры математики и информатики (протокол № 12
от 24.05.2013 г.), печатается по решению Учебно-методического совета (протокол
№ 1 от 11.09. 2013 г.)
Рецензенты:
С. Д. Захаров, доцент кафедры математики и информатики «ТГАМЭУП»;
А. Г. Хохлов, доцент кафедры МА и ТФ ИМКН ТюмГУ.
Автор-составитель старший преподаватель Л. М. Селюнина
© «ТГАМЭУП», 2013
© Селюнина Л.М., 2013
2
1. Цели освоения дисциплины
Целью освоения дисциплины «Исследование операций и методы оптимизации»
является получение студентами теоретических знаний, а также приобретение
необходимых практических навыков по исследованию операций и методам
оптимизации в экономике.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Исследование операций и методы оптимизации» является одной
из дисциплин профиля вариативной части профессионального цикла. Для
изучения дисциплины необходимы знания, полученные при изучении дисциплин:
математика; дискретная математика, информатика, экономическая теория и др.
Студент должен быть готов к получению теоретических знаний, а также
приобретению необходимых практических навыков по исследованию операций и
методам оптимизации. Полученные студентами знания способствуют усвоению
таких курсов, как эконометрика, теория игр и др.; а также успешному
прохождению уче-бной и производственной практики.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате
освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины «Исследование операций и методы
оптимизации» формируются элементы следующих общекультурных и
профессиональных компетенций:
 способен использовать, обобщать и анализировать информацию, ставить цели и
находить пути их достижения в условиях формирования и развития
информационного общества (ОК-1);
 способен самостоятельно приобретать и использовать в практической
деятельности новые знания и умения, стремится к саморазвитию (ОК-5);
 способен осознавать социальную значимость своей будущей профессии,
обладать высокой мотивацией к выполнению профессиональной деятельности
(ОК-6);
 способен понимать сущность и проблемы развития современного
информационного общества (ОК-7);
 способен работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК-8);
 способен свободно пользоваться русским языком и одним из иностранных
языков на уровне, необходимом для выполнения профессиональных задач (ОК-9);
 способен при решении профессиональных задач анализировать социальноэкономические проблемы и процессы с применением методов системного анализа
и математического моделирования (ПК-2);
 способен использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в
профессиональной деятельности и эксплуатировать современное электронное
оборудование и информационно-коммуникационные технологии в соответствии с
целями образовательной программы бакалавра (ПК-3);
 способен ставить и решать прикладные задачи с использованием современных
информационно-коммуникационных технологий (ПК-4);
 способен осуществлять и обосновывать выбор проектных решений по видам
обеспечения информационных систем (ПК-5);
3
 способен применять к решению прикладных задач базовые алгоритмы обработки
информации, выполнять оценку сложности алгоритмов, программировать и
тестировать программы (ПК-10);
 способен принимать участие в реализации профессиональных коммуникаций в
рамках проектных групп, презентовать результаты проектов и обучать
пользователей ИС (ПК-14);
 способен проводить оценку экономических затрат на проекты по
информатизации и автоматизации решения прикладных задач (ПК-15);
 способен оценивать и выбирать современные операционные среды и
информационно-коммуникационные технологии для информатизации и
автоматизации решения прикладных задач и создания ИС (ПК-16);
 способен применять методы анализа прикладной области на концептуальном,
логическом, математическом и алгоритмическом уровнях (ПК-17);
 способен анализировать и выбирать методы и средства обеспечения
информационной безопасности (ПК-18);
 способен
анализировать
рынок
программно-технических
средств,
информационных продуктов и услуг для решения прикладных задач и создания
информационных систем (ПК-19);
 способен применять системный подход и математические методы в
формализации решения прикладных задач (ПК-21).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
 основные типы математических моделей, используемых при описании сложных
систем и при принятии решений;
 сложившуюся к настоящему времени типизацию и классификацию таких
моделей, систем, задач, методов;
 методы проведения исследований;
 методы анализа исходных данных;
 основные понятия, используемые в теории исследования операций;
 методы анализа построенных формализованных моделей;
 основные алгоритмические и программные средства реализации процедур
решения возникающих математических задач;
Уметь:
 формулировать задачи в соответствующей области деятельности на языке
исследования операций;
 использовать основные понятия и методы исследования операций;
 строить комбинированные модели и подбирать методы, использующие
результаты из различных научных областей;
 разрабатывать методы решения формализованных задач;
 осуществлять поиск их решения на основе стандартных ППП.
Владеть:
 инструментальными средствами для обработки экономических данных в
соответствии с поставленной задачей;
 современными техническими средствами и информационными технологиями;
 методологией системного анализа реальных ситуаций в целях построения адек4
ватных им моделей и методов, сравнительного анализа моделей и методов, выбора
наилучших в рассматриваемой ситуации решений.
4. Структура и содержание дисциплины
«Исследование операций и методы оптимизации»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единиц или 216 ч., в т.ч.:
очная форма обучения
Лекции – 36 час.
Практические занятия – 36 час.
Лабораторные работы – 36 час. Самостоятельная работа – 108 час., в том числе
экзамен- 27 час.
заочная форма обучения
Лекции – 10 час.
Практические занятия – 10 час.
Самостоятельная работа – 196 час, экзамен.
Структура дисциплины – очная форма обучения
18
4
4
6
Тема 5. Двойственные задачи линейного
программирования
5
6
12
2
2
6
Раздел 2. Специальные задачи линейного
программирования
Тема 6. Транспортная задача
5 7-12 70
12
12
30
5
7,8
18
4
4
6
4
Тема 7. Целочисленные задачи линейного
программирования
5
9
12
2
2
6
2
Тема 8. Задачи параметрического
программирования
5
10
14
2
2
6
4
Тема 9. Задачи дробно-линейного
программирования
5
11
12
2
2
6
2
Тема 10. Задачи теории игр и линейное
программирование
5
12
14
2
2
6
4
Всего
Лекции
практ.
зан-я
СРС
Виды учебной работы,
включая СРС
и трудоемкость (в час.)
Раздел 1. Линейное программирование
5 1-6
54
12
12
26
Тема 1. Примеры задач линейного
программирования
5
1
8
2
2
4
Тема 2. Общая и основная задачи линейного
программирования
5
2
8
2
2
6
Тема 3. Свойства основной задачи линейного программирования. Геометрическая интерпретация
5
задачи линейного программирования
3
8
2
2
4
5
Лабор.
работы
4,5
Неделя сем-ра
5
Семестр
Тема 4. Нахождение решения задачи
линейного программирования
Формы текущего
контроля успеваемости
(по нед. сем-ра)
Форма
промежуточной
аттестации (по
сем-рам)
Контрольная
6 работа
Опрос,
- тестирование
Опрос, пр.
- задания, тестние
Опрос,
практические
- задания,
тестирование
Опрос, пр.
4 задания, тестние
Опрос, пр.
2 задания, тестние
Контрольная
16 работа
Раздел
дисциплины
(темы)
Опрос, пр.
задания, тестние
Опрос, пр.
задания, тестние
Опрос, пр.
задания, тестние
Опрос, пр.
задания, тест-
ние
Контр. работа
Опрос, пр.
задания, тестние
Опрос, пр.
задания, тестние
Опрос, пр.
задания, тестние
Раздел 3. Нелинейное программирование
Тема 11. Экономическая и геометрическая
интерпретация задачи нелинейного
программирования
5 13-15 30
6
6
14
6
5
13
10
2
2
5
2
Тема 12. Метод множителей Лагранжа
5
14
8
2
2
4
0
Тема 13. Задачи выпуклого
программирования
5
15
12
2
2
5
4
5 16-18 29
6
6
11
6
5
10
2
2
4
2
Тема 15. Нахождение решения задач методом
5 17,18 19
динамического программирования
4
4
7
4
5 1-18 216 36
36
27
108
36
Раздел 4. Динамическое
программирование
Тема 14. Общая характеристика задач
динамического программирования и их
геометрическая интерпретация
ИТОГО
16
Контрольная
работа
Опрос, пр.
задания, тестние
Опрос, пр.
задания, тестние
Экзамен
заочная форма обучения
6
Лекции
Лаб/практ.
зан-я
СРС
Раздел 1. Линейное программирование
Тема 1. Примеры задач линейного
программирования
Тема 2. Общая и основная задачи линейного
программирования
Тема 3. Свойства основной задачи линейного программирования. Геометрическая интерпретация
задачи линейного программирования
Тема 4. Нахождение решения задачи линейного
программирования
Тема 5. Двойственные задачи линейного программирования
Раздел 2. Специальные задачи линейного
программирования
Тема 6. Транспортная задача
Тема 7. Целочисленные задачи линейного
программирования
Тема 8. Задачи параметрического
программирования
Тема 9. Задачи дробно-линейного
программирования
Тема 10. Задачи теории игр и линейное
Всего
Семестр
Раздел
дисциплины
(темы)
Виды учебной работы,
включая СРС и
трудоемкость (в час.)
5
54
4
3
47
5
8
1
-
7
5
8
-
-
8
5
8
1
1
6
5
18
1
1
16
5
12
1
1
10
5
70
2
3
65
5
18
1
1
16
5
12
1
1
10
5
14
-
-
14
5
12
-
-
12
5
14
-
1
13
Форма
промежуточной
аттестации
(по семестрам)
программирование
Раздел 3. Нелинейное программирование
Тема 11. Экономическая и геометрическая интерпретация задачи нелинейного программирования
Тема 12. Метод множителей Лагранжа
Тема 13. Задачи выпуклого программирования
Раздел 4. Динамическое программирование
Тема 14. Общая характеристика задач динамического
программирования и их геометрическая
интерпретация
Тема 15. Нахождение решения задач методом
динамического программирования
ИТОГО
5
30
2
2
26
5
10
1
1
8
5
5
5
8
12
29
1
2
1
2
6
12
25
5
10
1
1
8
5
13
1
1
17
216 10
10
196
5
Контр. работа,
экзамен
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Раздел 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Тема 1. Примеры задач линейного программирования
Определение задачи линейного программирования. Построение математических
моделей простейших экономических задач линейного программирования. Задача о
рационе. Задача об использовании ресурсов. Задача о загрузке оборудования.
Задача о раскрое материалов.
Тема 2. Общая задача линейного программирования
Общая задача линейного программирования. Понятие плана, оптимального плана.
Каноническая задача линейного программирования. Стандартная задача
линейного программирования. Правила приведения стандартной задачи линейного
программирования к канонической задаче линейного программирования. Схема
приведения канонической задачи линейного программирования к стандартной
задаче линейного программирования.
Тема 3. Свойства основной задачи линейного программирования.
Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.
Выпуклые множества точек. Свойства основной задачи линейного
программирования. Область решений системы ограничений задачи линейного
программирования. Область допустимых решений системы ограничений задачи
линейного программирования.
Тема 4. Нахождение решения задачи линейного программирования
Графический метод решения задач линейного программирования с двумя
переменными. Случаи, возникающие при решении задачи линейного
программирования графическим методом. Алгоритм графического метода.
Графический метод решения канонических задач линейного программирования со
многими переменными.
Геометрическая интерпретация симплексного метода. Нахождение максимума
линейной функции. Нахождение минимума линейной функции. Определение
первоначального допустимого базисного решения. Особые случаи симплексного
метода. Симплексные таблицы.
7
Основные понятия метода искусственного базиса. Алгоритм
искусственного базиса. Особые случаи метода искусственного базиса.
метода
Тема 5. Двойственные задачи линейного программирования
Математическая модель двойственной задачи линейного программирования. Связь
математических моделей прямой и двойственной задач. Правила построения
двойственных задач. Экономическая интерпретация задачи, двойственной задаче
об ис-пользовании ресурсов. Первая теорема двойственности. Вторая теорема
двойствен -ности. Нахождение решения двойственной задачи из симплексной
таблицы прямой задачи. Экономический смысл дополнительных переменных
прямой и двойст-венной задач. Чувствительность решения задачи линейного
программирования к изменению коэффициентов целевой функции и запасов
ресурсов.
РАЗДЕЛ 2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Тема 6. Транспортная задача
Постановка транспортной задачи в матричной форме. Свойства транспортной
задачи. Модели транспортной задачи (открытая и закрытая). Методы построения
опорного плана (метод северо-западного угла, метод минимального элемента,
метод двойного предпочтения, метод Фогеля). Метод потенциалов. Критерий
оптимальности базисного распределения поставок. Алгоритм метода потенциалов.
Транспортная задача с ограниченной пропускной способностью. Постановка
транспортной задачи с ограниченной пропускной способностью. Алгоритм
решения транспортных задач с ограниченной пропускной способностью.
Тема 7. Целочисленные задачи линейного программирования
Постановка задачи целочисленного программирования. Графический метод
решения задач целочисленного программирования. Методы отсечения. Метод
Гомори. Понятие о методе ветвей и границ.
Тема 8. Задачи параметрического программирования
Экономическая и геометрическая интерпретация задачи параметрического
программирования. Задача линейного параметрического программирования с
одним
параметром.
Нахождение
решения
задачи
параметрического
программирования.
Тема 9. Задачи дробно-линейного программирования
Экономическая и геометрическая интерпретация задачи дробно-линейного
программирования.
Алгоритм
решения
задач
дробно-линейного
программирования.
Тема 10. Задачи теории игр и линейное программирование
Экономическая и геометрическая интерпретация задач теории игр. Приведение
матричной игры к задаче линейного программирования. Алгоритм нахождения
решения игры с использованием методов линейного программирования.
8
РАЗДЕЛ 3. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Тема 11. Экономическая и геометрическая интерпретация задачи
нелинейного программирования
Математическая модель задачи нелинейного программирования. Алгоритм
нахождения решения задачи нелинейного программирования графическим
методом.
Тема 12. Метод множителей Лагранжа
Понятие производственной функции. Необходимое условие экстремума.
Достаточное условие экстремума. Теорема Вейерштрасса. Локальный
(глобальный) экстремум. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
Тема 13. Задачи выпуклого программирования
Производная по направлению и градиент. Выпуклые функции. Задача выпуклого
программирования. Приближенное решение задач выпуклого программирования
методом кусочно-линейной аппроксимации. Методы спуска. Приближенное
решение задач выпуклого программирования градиентным методом.
РАЗДЕЛ 4. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Тема 14. Общая характеристика задач динамического программирования
и их геометрическая интерпретация
Общая постановка задачи динамического программирования. Особенности модели
динамического программирования. Принцип оптимальности Беллмана.
Тема 15. Нахождение решения задач методом
динамического программирования
Общая схема применения метода динамического программирования. Задача о
распределения средств между предприятиями. Задача об оптимальном распределении
ресурсов между отраслями на n лет. Задача о замене оборудования.
5. Образовательные технологии
Учебный процесс происходит с использованием разнообразных методов организации и осуществления учебно-познавательной деятельности (словесные, наглядные
и практические методы передачи информации, проблемные лекции и др.); стимулирования и мотивации учебно-познавательной деятельности (дискуссии и др.);
контроля и самоконтроля (индивидуального и фронтального, устного и письменного
опроса, экзамена). Широко (более 20% аудиторных занятий) используются активные
и интерактивные формы проведения занятий: лекции в форме презентации с
использованием мультимедийного оборудования, ситуационный анализ, ролевые
игры, эвристические технологии, тестирование.
Использование активных и интерактивных форм обучения
№
1
тема
Тема 2. Общая и основная задачи
линейного программирования
форма
лекция-визуализация
9
лекц
2
часы
прак
лаб
2
Тема 4. Нахождение решения задачи взаимопроверка
самостоятельных
линейного программирования
работ
2
2
3
Тема 6. Транспортная задача
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
10
36
28%
10
36
28%
5
разбор конкретных
ситуаций
Тема 8. Задачи параметрического лекция-визуализация,
взаимопроверка
программирования
самостоятельных
работ
Тема 10. Задачи теории игр и деловая игра
6
в
4
линейное программирование
Тема
13.
Задачи
выпуклого поиск ошибок
решениях
программирования
Итого часов аудиторных
Всего аудиторных часов по дисциплине
Процент использования активных и интерактивных
форм
Всего от общего количества аудиторных часов
6
36
17%
24%
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Самостоятельная работа студентов реализуется в разных видах. Она включает
подготовку студентов к семинарским (практическим) занятиям. Для этого студент
изучает лекции преподавателя, основную, дополнительную литературу, Интернетресурсы, рекомендованные в разделе 8 «Учебно-методическое и информационное
обеспечение дисциплины». Самостоятельная работа предусматривает также решение
во внеучебное время практических заданий, приведённых в разделе 7 «Оценочные
средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины». К самостоятельной работе студента относится подготовка к
экзамену. Экзаменационные вопросы приведены также в разделе 7.
7. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
РАЗДЕЛ 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Тема 1. Примеры задач линейного программирования
Контрольные вопросы
1. В чем проявляется связь курса «Исследование операций и методы оптимизации» с
другими науками?
2. Основные понятия исследования операций.
3. Что такое оптимальное программирование?
4. Опишите общий вид задачи оптимизации, охарактеризуйте ее элементы.
5. Что такое оптимальное решение с точки зрения оптимизационной задачи, и как та
-кое оптимальное решение может соотноситься с желаемым?
6. Опишите классификацию методов оптимального программирования.
7. Что каждый из них собой представляет, для решения каких задач может быть
применим на практике?
10
8. Кто является автором метода линейного программирования?
9. Общий вид задачи линейного программирования.
10. Опишите общий вид задачи ЛП, охарактеризуйте ее основные элементы.
11. Какие разновидности задач линейного программирования вы можете назвать, чем
они отличаются друг от друга, как соотносятся друг с другом?
12. Что понимается под задачей линейного программирования?
13. Где применяются задачи линейного программирования?
14. Каковы задачи математических методов исследования экономики?
15. В чем различие задач линейного и нелинейного программирования?
16. Что понимается под математической моделью экономической задачи?
17. Сформулируйте задачу о рационе.
18. Сформулируйте задачу об использовании ресурсов.
19. Приведите примеры задач линейного программирования.
Практические задания
Задание 1. Для изготовления двух видов продукции P1 и P2 используют четыре вида
ресурсов S1, S2, S3, S4. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на
изготовление единицы продукции, приведены в таблице 1.
Таблица 1
Вид ресурса
Запас ресурса
S1
S2
S3
S4
18
16
5
21
Число единиц ресурсов, затрачиваемых на
изготовление единицы продукции
P1
P2
1
3
2
1
0
1
3
0
Прибыль, получаемая от единицы продукции P1 и P2, соответственно равна 2 и 3
ден.ед. необходимо составить такой план производства продукции, при котором
прибыль от ее реализации будет максимальной.
Задание 2. В суточный рацион включают два продукта питания П1 и П2, причем
продукта П1 должно войти в дневной рацион не более 200 ед. Стоимость 1
ед.продукта П1 составляет 2 ден.ед., продукта П2 – 4 ден.ед. Содержание
питательных веществ в 1 ед. продукта, минимальные нормы потребления указаны в
таблице 2.
Таблица 2
Питательные
вещества
Минимальная норма
потребления
А
В
120
160
Содержание питательных веществ
в 1 ед.продукта
П1
П2
0,2
0,2
0,4
0,2
Определить оптимальный рацион питания, стоимость которого будет наименьшей.
Составить математическую модель задачи.
Задание 3. Фирма выпускает изделия двух типов: А и В. При этом используется
сырье четырех видов. Расход сырья каждого вида на изготовление единицы
продукции и запасы сырья заданы в таблице 3.
Таблица 3
Изделия
А
Сырье
1
2
2
1
Доход
3
0
11
4
3
200
В
Запасы
3
21
0
5
2
6
2
10
100
Составить план производства, обеспечивающий фирме наибольший доход.
Задание 4. Механический завод при изготовлении двух типов деталей использует
токарное, фрезерное и сварочное оборудование. При этом обработку каждой детали
можно вести двумя различными технологическими способами. Необходимые
исходные данные приведены в таблице 4.
Таблица 4
Оборудование
Детали
1
1
2
3
0
11
Фрезерное
Токарное
Сварочное
Прибыль, усл. ед.
2
Технологические способы
2
1
2
3
1
1
1
1
6
9
2
0
2
4
6
Полезный
фонд
времени,
станко-ч
20
37
30
Составить оптимальный план загрузки оборудования, обеспечивающий заводу
максимальную прибыль.
Задание 5. Необходимо распилить 20 бревен длиной по 5 м каждое на бруски по 2 м
и 3 м; при этом должно получиться равное количество брусков каждого размера.
Составить такой план распила, при котором будет получено максимальное число
комплектов и все бревна будут распилены (в один комплект входит по одному бруску
каждого размера).
Задание 6. Цеху, располагающему тремя видами металлорежущего оборудования,
планируется изготовить в течение определенного периода времени два изделия,
причем первое изделие комплектуется на двух деталях А1 и А2, которые должны
изгото-вляться в соответствии 2:1.
Второе изделие также комплектуется на двух деталях А3 и А4, которые
изготовляются соответственно в соотношении 4:1.
Эффективные фонды времени работы оборудования и нормы штучно-калькуляционного времени, требуемые на изготовление каждой детали на соответствующем оборудовании, приведены в таблице 5.
Таблица 5
Детали
Группы
оборудования
А1
I
II
III
1,2
2,4
0
А2
А3
Нормы трудоемкости
1,8
2,4
0
1,2
1,2
1,2
А4
Эффективный
фонд времени
0
2,4
1,2
768
600
480
Определить производственную программу выпуска деталей А1, А2, А3, А4 при
обеспечении заданной комплектности, а также максимально возможную загрузку
наличных производственных мощностей.
Литература основная: [1-4, 7, 8]; дополнительная: [1-7].
Тема 2. Общая и основная задачи линейного программирования
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте определение общей задачи линейного программирования.
2. Какие существуют виды математических моделей?
12
3. Сформулируйте определение канонической задачи линейного программирования.
4. Сформулируйте определение допустимого решения (плана), оптимального плана?
5. Как привести задачу линейного программирования к каноническому виду?
6. Как преобразовать задачу линейного программирования из канонической формы в
стандартную?
Практические задания
Задание 7. Преобразовать задачу линейного программирования, представленную в
стандартной форме к каноническому виду:
Z   x1  x2  3x3
при ограничениях:
2 x1

4 x1
3x
 1
 x2
 x3
1
 2 x2
 x3
 x3
 2 .
5
Задание 8. Преобразовать задачу линейного программирования, представленную в
канонической форме к стандартному виду:
Z  6 x1  7 x2  4 x3  max
при ограничениях:
 x1

2 x1
3 x
 1
 3x2
 2 x2
 x2
 4 x3  x 4  x5
 x3  2 x 4  x5
 12 x3  3x 4  2 x5
 12
 14
6
x j  0( j  1,5)
Литература основная: [1-4, 7, 8]; дополнительная: [1-7].
Тема 3. Свойства основной задачи линейного программирования.
Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования
Контрольные вопросы
1. Дайте определение выпуклого множества точек.
2. Дайте определения внутренней, граничной, угловой точек.
3. Дайте определения замкнутой, ограниченной, неограниченной области.
4. Дайте определения n-мерного многогранника, n-мерной многогранной области.
5. Что такое пересечение выпуклых областей?
6. Сформулируйте свойства задачи линейного программирования.
7. Какие переменные называются основными (базисными)?
8. Какие переменные называются неосновными (свободными)?
9. Какое решение задачи линейного программирования называется допустимым?
10. Какое решение задачи линейного программирования называется базисным?
11. Что такое опорный план задачи?
12. Дайте определение области решения системы (ОР)?
13. Дайте определение области допустимых решений (ОДР).
14. От чего зависит количество измерений пространства, в котором можно
реализовать графическую иллюстрацию решения задачи?
15. Какие задачи можно решать с помощью графического метода?
16. Что является решением каждого неравенства системы?
17. Что такое линия уровня?
18. Как построить вектор нормали? Какую роль играет вектор нормали?
13
19. В каком случае задача имеет альтернативный оптимум?
20. Назовите возможные случаи решения задачи линейного программирования
графическим методом.
21. В каком случае задача линейного программирования не имеет решения?
22. Сформулируйте алгоритм графического метода.
Практические задания
Задание 9. Решить графическим методом задачу линейного программирования с
двумя переменными
Z ( x)  x1  3x 2  extr
 x1  4 x 2  4

 x1  x 2  6
x  2
 2
x1  0, x 2  0
Задание 10. Фирма выпускает два вида мороженого: сливочное и шоколадное. Для
изготовления мороженого используются два исходных продукта: молоко и
наполнители, расходы которых на 1 кг мороженого и суточные запасы даны в
таблице 6.
Таблица 6
Расход исходных продуктов на
1 кг мороженого
Исходный продукт
Запас, кг
Сливочное
Шоколадное
Молоко
0,8
0,5
400
Наполнители
0,4
0,8
365
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на сливочное мороженое
превышает спрос на шоколадное не более чем на 100 кг. Кроме того, установлено,
что спрос на шоколадное мороженое не превышает 350 кг в сутки. Розничная цена 1
кг сливочного мороженого 16 р., шоколадного – 14 р.
Какое количество мороженого каждого вида должна производить фирма, чтобы
доход от реализации продукции был максимальным?
Необходимо:
1. Составить математическую модель задачи.
2. Решить задачу графическим методом.
3. Провести экономический анализ задачи.
Задание 11. Решить задачи с использованием графического метода.
11.1.
Z  2 x  x  min
1
2
2 x  x  8
2
 1

x

3
x
6
 1
2

3x  x  3

2
 1
x  0, x  0
1
2
11.2.
14
Z  2 x  3x  max
1
2
x  4x  8
2
 1

x

4
 1

2x  5

 2
x  0, x  0
1
2
11.3.
Z  4x
 min
2
3 x  5 x  18
2
 1

2 x1  x2  0

5 x  3x  15

1
2

x  0, x  0
1
2
11.4.
  7 x1  2 x  max
2
5 x1  2 x2  3


 x1  x2  1

 3 x1  x2  3

2x  x  4

2
 1
x1  0, x 2  0
Литература основная: [1-4, 7, 8]; дополнительная: [1-7].
Тема 4. Нахождение решения задачи линейного программирования
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте идею симплексного метода.
2. Какие задачи можно решить с помощью симплексного метода?
3. В чем заключается геометрический смысл симплексного метода?
4. Как связаны симплекс-метод и геометрическая интерпретация решения задачи ЛП?
5. Что такое базисные (основные) и независимые (неосновные) переменные задачи?
6. Зачем необходимо деление переменных задачи на эти две группы?
7. Что такое дополнительные переменные, для чего они нужны?
8. Каковы характеристики начального опорного решения задачи?
9. Опишите свойства задачи ЛП (предпосылки применения симплекс-метода)
10. Охарактеризуйте последовательность действий при решении задачи ЛП
симплекс-методом
11. Как построить первоначальный допустимый план задачи?
12. В чем заключается правило перехода к лучшему решению?
13. Сформулируйте критерий оптимальности найденного решения для задачи
нахождения минимума линейной функции.
14. Сформулируйте критерий оптимальности найденного решения для задачи
нахождения максимума линейной функции.
15. Сформулируйте алгоритм составления симплексных таблиц.
16. В чем заключается правило «прямоугольника»?
17. Какой элемент называется ключевым? Как его найти?
18. Какое решение называется вырожденным?
15
19. В каком случае задача линейного программирования не имеет решения?
20. Сформулируйте критерий альтернативного оптимума.
21. В чем заключается метод искусственного базиса?
22. Когда его требуется применять?
23. Чем отличается симплексный метод от метода искусственного базиса?
24. В чем заключается отличие дополнительных переменных от искусственных?
Практические задания
Задание 12. Решить задачу линейного программирования
Z ( x)  3x1  2 x 2  x3  max
3x1  x 2  2 x3  3

2 x1  2 x 2  x3  1
x j  0, j  1,3
Задание 13. Решить следующие задачи:
Z  x1  3x2  5x3  x4  max
13.1.
при ограничениях:
 x1  4 x2  4 x3  x4  5

 x1  7 x2  8 x3  2 x4  9
x j  0, j  1, 4
Z  x  x  3x  min
1 2
3
13.2.
при ограничениях:
2 x  x  3 x  5
2
3
 1

x

2
x

8
 1
3

x  2x  x  1

2
3
 1
xi  0, i  1,3
13.3.
Z  x  2 x  3x  min
1
2
3
при ограничениях:
 x  2 x  3x  x  10
2
3 4
 1

2 x1  x3  3

 x1  x2  2 x3  6
x  0, x  0
1
2
Задание 14. Торговая фирма для продажи товаров трех видов использует ресурсы:
время и площадь торговых залов. Затраты ресурсов на продажу одной партии товаров
каждого вида даны в таблице 7.
Таблица 7
Ресурсы
Время, чел.-ч
Площадь, м2
1
0,5
0,1
Вид товара
2
0,7
0,3
Объем ресурсов
3
0,6
0,2
370
90
Прибыль, получаемая от реализации одной партии товаров 1-го вида – 5 усл. ед., 2-го
вида – 8 усл. ед., 3-го вида – 6 усл. ед.
16
Определить оптимальную структуру товарооборота, обеспечивающую фирме
максимальную прибыль.
Литература основная: [1-4, 7, 8]; дополнительная: [1-7].
Тема 5. Двойственные задачи линейного программирования
Контрольные вопросы
1. Какая задача называется двойственной?
2. Сформулируйте правила построения двойственных задач.
3. В чем заключаются особенности построения несимметричных двойственных
задач?
4. Сформулируйте свойства двойственных задач.
5. Какова взаимосвязь параметров и переменных взаимно двойственных задач?
6. Какие виды двойственных задач существуют? В чем их отличие?
7. Как соотносятся основные и дополнительные переменные взаимно двойственных
задач.
8. Что такое невязки?
9. Опишите метод одновременного решения взаимно двойственных задач.
10. Сформулируйте экономическую интерпретацию задачи, двойственной задаче об
использовании ресурсов.
11. В чем заключается первая теорема двойственности? Ее экономический смысл.
12. В чем заключается вторая теорема двойственности?
Практические задания
Задание 15. Фирма выпускает три вида изделий, располагая при этом сырьем
четырех типов: А, Б, В, Г соответственно в количествах 18, 16, 8 и 6 т. Нормы затрат
каждого типа сырья на единицу изделия первого вида составляют соответственно 1,
2, 1, 0, второго вида – 2, 1, 1, 1 и третьего вида – 1, 1, 0, 1. Прибыль от реализации
единицы изделия первого вида равна 3 усл. ед., второго – 4 усл. ед., третьего – 2 усл.
ед.
Требуется:
1. Составить план производства трех видов, максимизирующих прибыль;
2. Определить дефицитность сырья;
3. Установить размеры максимальной прибыли при изменении сырья А на 6 т, Б – на
3 т, В – на 2 т, Г – на 2 т. Оценить раздельное влияние этих изменений и суммарное
их влияние на прибыль;
4. Оценить целесообразность введения в план производства фирмы нового вида
изделий (четвертого), нормы затрат на единицу которого соответственно равны 1, 2,
2, 0, а прибыль составляет 15 усл. ед.
Задание 16. Составить математические модели двойственных задач и по решению
исходной задачи найти оптимальное решение двойственной.
16.1.
Z  2 x1  4 x3  2 x5  min
при ограничениях:
 x1  3x2  x3  2 x5  7

 x2  4 x3  x4  12
x j  0, j  1,5
16.2.
17
Z  3x1  4x2  max
при ограничениях:
16.3.
при ограничениях:
 x1  2 x2  4

 x1  x2  3
2 x  x  8
 1 2
x1  0, x2  0
Z  3x1  5x2  4 x3  max
3x1  4 x2  2 x3  9

2 x1  5 x2  x3  8
x  2x  4x  7
2
3
 1
x j  0, j  1, 3
16.4.
при ограничениях:
Z  x1  5x2  x3  max
3x1  2 x2  3x3  3

2 x1  3x2  4
x j  0, j  1, 3
Задание 17. Пусть имеется каноническая задача линейного программирования
Необходимо последовательно выполнить следующие задания.
1. Задачу решить графическим методом.
2. Применяя симплекс-метод, решить задачу или установить, что задача не имеет
решения. Начальный план рекомендуется искать методом искусственного
базиса.
3. Построить двойственную задачу. Если вектор
найден, вычислить
оптимальный план
двойственной задачи, используя первую теорему
двойственности
. Вычислить значение функции
.
4. Провести анализ полученного решения, применяя условия дополняющей
нежесткости.
Z  x1  x2  3x3  x4  2 x5  min
3x1  2 x2  4 x3  6 x4  8 x5  64

 6 x1  4 x2  x3  9 x4  61
8 x  5 x  9 x  7 x  2 x  62
2
3
4
5
 1
x j  0, j  1,5
Литература основная: [1-4, 7, 8]; дополнительная: [1-7].
РАЗДЕЛ 2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Тема 6. Транспортная задача
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте общую постановку транспортной задачи и ее цель.
2. Какие транспортные задачи называются закрытыми?
3. Какие транспортные задачи называются открытыми?
18
4. Каковы правила приведения открытой модели ТЗ к закрытой?
5. Можно ли транспортную задачу решить симплексным методом?
6. Назовите известные методы построения опорного плана транспортной задачи.
7. Какой из методов построения опорного плана транспортной задачи является
близким к оптимальному?
8. Как определить количество занятых клеток в распределительной таблице
транспортной задачи?
9. Назовите метод построения оптимального плана транспортной задачи.
10. Сформулируйте теорему о потенциалах. Каков её экономический смысл?
11. Алгоритм метода потенциалов.
12. Как вычисляют оценки при проверке на оптимальность в распределительной
таблице?
13. Сформулируйте критерий оптимальности базисного распределения поставок.
14. При каких условиях ТЗ имеет бесконечное множество оптимальных планов
перевозок?
15. Что называется циклом?
16. Что называется ценой цикла?
17. Каковы правила построения цикла в распределительной таблице?
18. В каком случае транспортная задача имеет вырожденное решение?
19. Как исключить вырожденность в транспортных задачах?
20. Какие экономические задачи можно отнести к транспортным моделям?
21. Постановка транспортной задачи с ограниченной пропускной способностью.
22. Постройте математическую модель транспортной задачи с ограниченными
пропускными способностями.
23. Какова
цель транспортной задачи с ограниченными пропускными
способностями?
24. Какие условия должны соблюдаться, чтобы задача имела план?
25. Когда задача считается решенной?
26. Сформулируйте критерий оптимальности задачи.
27. В каком случае задача является неразрешимой?
28. Какой метод рекомендуется применять на начальном этапе исследования задачи?
29. Какой метод применяется для решения расширенной задачи?
Практические задания
Задание 18. Ниже приведены числовые данные транспортных задач. Стоимость
перевозки единицы продукции записаны в клетках таблицы. Запасы указаны
справа от таблиц, а потребности - снизу. Требуется построить начальный план
методами: «северо-западного угла», «минимального элемента», методом
Фогеля. Из каждого плана найти оптимальный план методом потенциалов
38
22
34
45
38
40
19
26
41
59
26
15
20
19
95
50
30
29
25
43
19
31
18
38
33
69
78
95
47
84
Задание 19. Составить оптимальный план перевозки грузов от трех поставщиков с
грузами 240, 40, 110 т к четырем потребителям с запросами 90, 190, 40 и 130 т.
Стоимости перевозок единицы груза от каждого поставщика к каждому
потребителю заданы матрицей
 7 13 9 8 


14 8 7 10 
 3 15 20 6 


Задание 20. На предприятии имеются три группы станков, каждая из которых
может выполнять пять операций по обработке деталей (операции могут
выполняться в любом порядке). Максимальное время работы каждой группы
станков соответственно равно 100, 250, 180 ч. Каждая операция должна
выполняться соответственно 100, 120, 70, 130 ч.
Определить, сколько времени и на какую операцию нужно использовать каждую
группу станков, чтобы обработать максимальное количество деталей.
Производительность каждой группы станков на каждую операцию задана
матрицей
 3 5 11 10 5 


 5 10 15 3 2 
 4 8 6 12 10 


Задание 21. На двух складах имеется запас картофеля в количестве
соответственно 150 и 90 т. Этот картофель необходимо доставить в три магазина,
потребности которых составляют соответственно 60, 70 и 110 т. Стоимость
перевозки 1 т. картофеля от первого склада до первого магазина равна 6 руб., до
второго магазина – 10 руб. и до третьего магазина – 4 руб. Стоимость перевозки 1
т. картофеля со второго склада до первого магазина составляет 12 руб., до второго
магазина – 2 руб., до третьего магазина – 8 руб. Необходимо составить план
перевозок, при котором суммарная стоимость перевозок минимальна; подсчитать
эту стоимость. Является ли полученный оптимальный план единственным?
Задание 22. Найти оптимальное решение или доказать неразрешимость задачи,
данные которой представлены в табл. 8-10.
Таблица 8
22.1
26
16
40
9
29
4
20
10
13
5
17
16
5
36
3
10
7
12
17
40
5
15
18
9
12
5
3
10
8
3
9
28
18
43
3
3
6
31
11
12
15
20
12
5
23
29
21
25
12
34
22.2
Таблица 9
30
6
29
36
29
10
10
12
3
16
4
44
19
38
26
16
35
21
10
24
29
1
11
16
22
6
18
24
38
6
33
5
18
5
2
1
48
8
4
16
74
31
20
60
32
27
31
51
40
22.3
Таблица 10
3
2
1
7
2
2
3
3
3
4
4
1
3
4
2
9
3
1
5
2
7
2
6
2
4
3
2
1
3
6
7
3
9
2
2
4
8
4
6
7
Литература основная: [1-4, 7, 8]; дополнительная: [1-7].
Тема 7. Целочисленные задачи линейного программирования
Контрольные вопросы
1. Постановка задачи целочисленного программирования.
2. Какие задачи относят к задачам целочисленного программирования?
3. Назовите известные методы решения задач целочисленного программирования.
4. В чем заключается метод Гомори?
5. Что называют целой частью числа?
6. Что называют дробной частью числа?
7. В каком случае задача линейного программирования не имеет целочисленного
решения?
8. Какая задача называется частично целочисленной?
9. В чем заключается графический метод решения задач целочисленного
программирования?
10. Как составляется дополнительное ограничение целочисленности?
11. Сформулируйте алгоритм метода ветвей и границ.
Практические задания
Задание 23. Решить задачу целочисленного программирования с помощью метода
Гомори.
Z  4 x  5 x  x  max
1
2
3
2 x  3x  10
2
 1

 x1  3x2  11

2x  x  x  3

2
3
 1
xi  0, xi  целые, i  1,3
21
Задание 24. Для улучшения финансового положения фирма приняла решение об
увеличении выпуска конкурентоспособной продукции, для чего принято решение
об установке в одном из цехов дополнительного оборудования, занимающего 19/3
м2 площади. На приобретение дополнительного оборудования фирма выделила 10
усл. ед., при этом она может купить оборудование двух видов. Приобретение
одного комплекта оборудования 1-го вида стоит 1 усл. ед., 2-го вида – 3 усл. ед.
Приобретение одного комплекта оборудования 1-го вида позволяет увеличить
выпуск продукции в смену на 2 штуки, а одного комплекта оборудования 2-го
вида – на 4 штуки. Зная, что для установки одного комплекта оборудования 1-го
вида требуется 2 м2 площади, а для оборудования 2-го вида – 1 м2 площади,
определить такой набор дополнительного оборудования, который дает
возможность максимально увеличить выпуск продукции.
Задание 25. Найти целочисленное решение следующих задач линейного
программирования с помощью графического метода:
25.1.
Z  16 x1  9 x2  max
при ограничениях:
5 x1  2 x2  20

 x1  x2  6
x1, 2  0  целые
25.2.
Z  2 x1  9 x2  min
при ограничениях:
2 x1  x2  9

3x1  4 x2  3
x1, 2  0  целые
25.3.
при ограничениях:
Z  x1  x2  max
 x1  x2  4

 x1  3x2  9
 3 x  x  0
1
2

x1, 2  0  целые
Задание 26. Найти целочисленное решение следующих задач линейного
программирования с помощью метода Гомори:
26.1.
Z  x1  2 x2  x3  3x4  max
при ограничениях:
 x1  12 x2  4 x3  x4  34

3x1  4 x2  2 x3  x4  22
x j  0 j  1, 4  целые
26.2.
Z  4 x  5 x  x  max
1
2
3
22
при ограничениях:
3x  2 x  10
2
 1

 x1  4 x2  11

3x  3x  13

2
 1
xi  0, xi  целые, i  1,3
Задание 27. Три типа самолетов следует распределить между четырьмя авиалиниями.
В таблице приведены данные месячного объема перевозок каждым самолетом на
каждой линии и соответствующих эксплуатационных расходов.
Таблица 11
Тип самолета
1
2
3
Число
самолетов
50
20
30
Месячный объем
перевозок одним самолетом
по авиалиниям
1
2
3
4
15 10
20
50
30 25
10
17
25 50
30
45
Эксплуатационные расходы на
один самолет по авиалиниям
1
15
70
40
2
20
28
70
3
25
15
40
4
40
45
65
Распределить самолеты по авиалиниям так, чтобы при минимальных суммарных
эксплуатационных расходах перевезти по каждой из четырех авиалиний не менее
300, 200, 1000 и 500 ед. груза соответственно.
Литература основная: [1-4, 7, 8]; дополнительная: [1-7].
Тема 8. Задачи параметрического программирования
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте определение задачи параметрического программирования.
2. Запишите математическую модель задачи параметрического программирования.
3. Алгоритм решения задачи параметрического программирования графическим
методом.
4. Сформулируйте этапы нахождения решения задачи параметрического программирования, целевая функция которой содержит параметр.
5. Сформулируйте этапы нахождения решения задачи параметрического
программирования, правые части ограничений которой содержат параметр.
6. Сформулируйте этапы нахождения решения задачи параметрического
программирования, целевая функция и правые части ограничений которой содержат
параметр.
Практические задания
Задание 28. Считая, что    t   , найдите решение задач параметрического
программирования
Z  (1  t ) x1  (4  t ) x 2  (2  t ) x3  (2  t ) x 4  (3  2t ) x5  max
 x1  x 2  x3  x 4  2

 2 x1  x 2  x3  x5  1
x j  0, j  1,5
Задание 29.
23
Z  2 x1  5 x 2  max
 x1  2 x 2  x3  4  2t

 2 x1  x 2  x 4  6  t
3 x  x  x  8  3t
2
5
 1
x j  0, j  1,5
Литература основная: [1-4, 7, 8]; дополнительная: [1-7].
Тема 9. Задачи дробно-линейного программирования
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте определение задачи дробно-линейного программирования.
2. Запишите математическую модель задачи дробно-линейного программирования.
3. Алгоритм решения задачи дробно-линейного программирования графическим
методом.
4. Сформулируйте этапы сведения задачи дробно-линейного программирования к
задаче линейного программирования.
Практические задания
Задание 30. Использование дробно-линейного программирования для
определения себестоимости изделий.
Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три типа технологического оборудования. Каждое из изделий должно пройти обработку на
каждом из типов оборудования. Время обработки каждого из изделий, затраты,
связанные с производством одного изделия, даны в таблице 12. Оборудование I и
III типов предприятие может использовать не более 26 и 39 час., соответственно,
обо-рудование II типа целесообразно использовать не менее 4 часов.
Определить, сколько изделий каждого вида следует изготовить предприятию,
чтобы средняя себестоимость одного изделия была минимальной.
Таблица 12
Тип оборудования
Затраты времени на обработку одного изделия, ч
А
В
I
2
8
II
1
1
III
12
3
Затраты на производство одного изделия, т. р.
2
3
Задание 31. Найти оптимальное решение исходной задачи дробно-линейного
программирования
Z
2 x1  x2
 max
x1  2 x2  1
при ограничениях:
 x1  2 x 2  x3  2

2 x1  x 2  x 4  6
x j  0, j  1,4
Литература основная: [1-4, 7, 8]; дополнительная: [1-7].
Тема 10. Задачи теории игр и линейное программирование
Контрольные вопросы
24
1. Назовите конфликтные ситуации, которые возникают в экономике.
2. Что называется стратегией игрока?
3. Назовите различие между конечной и бесконечной игрой?
4. Дайте определение оптимальной стратегии.
5. Сформулируйте условие устойчивости.
6. Запишите платежную матрицу.
7. Сформулируйте определение нижней и верхней цены игры.
8. Что такое чистая цена игры?
9. Сформулируйте теорему Неймана.
10.Для решения каких игр применяют графический метод?
11.Запишите математическую модель матричной игры, приведенной к задаче
линейного программирования.
12.Сформулируйте алгоритм приведения матричной игры к задаче линейного
программирования.
13.Приведите примеры экономических задач, сводящихся к игровым моделям.
Практические задания
Задание 32. Найти решение игры, определяемой матрицей
 1 2 0


A  1 0 1
 2 1 0


Задание 33. Построить игру, определяемую следующей парой двойственных
задач: прямая задача:
Z  2 x1  3x 2  max
2 x1  x 2  10

 x1  3 x 2  12
x j  0, j  1,2
двойственная задача:
Z 1  10 y1  12 y 2  min
2 y1  y 2  2

 y1  3 y 2  3
y i  0, i  1,2
Задание 34. Найти решение игры, определяемой матрицей
 3 4 5

A  
 7 6 4
Литература основная: [1-4, 7, 8]; дополнительная: [1-7].
РАЗДЕЛ 3. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Тема 11. Экономическая и геометрическая интерпретация задачи
нелинейного программирования
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте общую задачу нелинейного программирования.
2. Где применяется нелинейное программирование?
25
3. Существует ли единый метод решения задач нелинейного программирования?
4. Можно
ли
решить
графическим
методом
задачу
нелинейного
программирования с двумя переменными?
5. Алгоритм графического метода для решения задач нелинейного
программирования.
Практические задания
Задание 35. Найти глобальные экстремумы функции
Z  2 x1  x2
при ограничениях:
x12  x22  16
x1, 2  0
Задание 36. Используя графический метод, найти глобальные экстремумы функций
36.1.
Z  x1  2x2
при ограничениях:
x12  x22  25
x1, 2  0
36.2.
Z  ( x1  2) 2  ( x2  3) 2
при ограничениях:
 x1  2 x 2  12

 x1  x 2  9
x1, 2  0
36.3.
Z  ( x1  6) 2  ( x2  3) 2
при ограничениях:
2 x1  3x 2  14

3x1  2 x 2  15
x1, 2  0
36.4.
Z  ( x1  2) 2  ( x2  1) 2
при ограничениях:
x12  x22  16,
x1, 2  0
36.5.
Z  x12  x22
при ограничениях:
 x1 x 2  4
x  x  5
 1
2

 x1  7
 x 2  6
x1, 2  0
26
Литература основная: [1-4, 7, 8]; дополнительная: [1-7].
Тема 12. Метод множителей Лагранжа
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте необходимое условие экстремума.
2. Сформулируйте достаточное условие экстремума.
3. Дайте определение локального (глобального) экстремума.
4. Дайте определение условного экстремума.
5. Сформулируйте теорему Вейерштрасса.
6. В чем заключается метод Лагранжа?
Практические задания
Задание 37. Найти точку условного экстремума функции
Z  x1 x2  x2 x3
при ограничениях:
 x1  x2  2

 x 2  2 x3  4
Задание 38. Найти точку условного экстремума следующих функций
38.1.
Z  2 x1 x3  x2 x3
при ограничениях:
 x 2  2 x3  3

 x1  x 2  2
38.2.
Z  x1 x2  x2 x3
при ограничениях:
 x1  x2  2

 x 2  x3  2
38.3.
Z  2 x1  x2  x3
при ограничениях:
x12  x 22  x32  1
Задание 39. Мукомольный комбинат реализует муку двумя способами: в розницу
через магазин и оптом через торговых агентов. При продаже x1 кг муки через
магазин расходы на реализацию составляют x12 ден.ед., а при продаже x 2 кг муки
посредством торговых агентов - x 22 ден.ед. Определить, сколько килограммов
муки следует продавать каждым способом, чтобы затраты на реализацию были
минимальными, если в сутки выделяется для продажи 5 000 кг муки.
Задание 40. На двух предприятиях холдинга необходимо изготовить 200 изделий
некоторой продукции. Затраты, связанные с производством х1 изделий на первом
2
предприятии, равны 4x1 руб., а затраты, обусловленные изготовлением x2 изделий
на втором предприятии, составляют 20 x2  6 x2 руб. Необходимо:
1. Составить экономико-математическую модель задачи для определения минимума общих затрат на производство необходимой продукции.
2
27
2. Составить функцию Лагранжа.
3. Вычислить частные производные функции Лагранжа.
4. Найти точки возможного экстремума функции.
5. Найти точки минимума функции Лагранжа и минимум целевой функции.
28
Задание 41.
1
2
Z  45 x 3 y 3  max
3x  8 y  48

 x, y  0
1. Составить функцию Лагранжа.
2. Найти точки возможного экстремума функции.
3. Найти максимальное значение целевой функции.
Литература основная: [1-4, 7, 8]; дополнительная: [1-7].
Тема 13. Задачи выпуклого программирования
Контрольные вопросы
1. Дайте определение производной по направлению.
2. Что называется градиентом функции?
3. Какая функция называется выпуклой?
4. Какая функция называется строго выпуклой?
5. Дайте определение выпуклому множеству точек.
6. Сформулируйте критерий Сильвестра?
7. Назовите свойства выпуклых фунций.
8. Сформулируйте задачу выпуклого программирования.
9. Чем объясняется выделение задач выпуклого программирования в целый класс?
10. В чем заключаются методы спуска?
11. В чем заключается метод кусочно-линейной аппроксимации?
12. Дайте определение сепарабельной функции.
13. Сформулируйте критерий оптимальности при решении задачи методом
проекции градиента.
14. Алгоритм метода проекции градиента.
15. Сформулируйте условие разрешимости задачи выпуклого программирования.
16. Сформулируйте теорему Куна-Таккера.
17. Какая точка называется седловой?
Практические задания
Задание 42. Дана задача выпуклого программирования, имеющая следующую
математическую модель:
Z  ( x1  5) 2  ( x2  10) 2
при ограничениях:
 x1  x 2  11

4 x1  x 2  4
x1, 2  0
Требуется:
1. Найти решение графическим методом.
2. Написать функцию Лагранжа данной задачи и найти ее седловую точку,
используя решение задачи, полученное графически.
2
3
Задание 43. Для функции Z  80 x 5 y 5 найти:
1. Значение функции в точке М(32;243).
29
2. Частные производные I и II порядков в точке N(32;43).
Задание 44. Найти градиент следующих функций:
2x
44.1.
44.2.
44.3.
44.4.
44.5.
Z
Z
Z
Z
Z
x2  y 2
в точке М(1;1)
e
2
 x  2 y 2  5 в точке М(2;-1)
 x 2  y 2  z 2 в точке М(1;-1;2)
 4  x 2  y 2  z 2 в точке М(3;2;1)
 xyz в точке М(3;-1;2)
44.6. Z  x 2  y 2  z 2 в точке М(-1;2;0)
44.7. Z 
xy
в точке М(0;3)
x  y2 1
2
Задание 45. Вычислить производную функции Z  x 2  y 2 x в точке М(1;2) по
направлению вектора ММ1, где точка М1(3;0).
Задание 46. Найти экстремумы функций:
46.1. Z  x 2  xy  y 2  4 x  5 y
46.2. Z  x 2  xy  y 2  2 x  3 y
46.3. Z   x 2  xy  y 2  2 x  6 y
46.4. Z  xy(1  x  y )
46.5. Z  y x  y 2  x  6 y
46.6. Z  x 3  6 xy  8 y 3  1
46.7. Z  2 x 3  xy2  5 y 2  y 3
Задание 47. Дана задача выпуклого программирования, имеющая следующую
математическую модель:
Z  10 x1  x12  2 x1 x2  2 x22  max
при ограничениях:
 x1  2 x 2  10

 x1  x 2  6
x1, 2  0
Найти решение задачи методом проекции градиента.
Задание 48. Дана задача выпуклого программирования, имеющая следующую
математическую модель:
Z  2( x1  1) 2  ( x2  2) 2  min
при ограничениях:
x12  x2  4
x1, 2  0
Найти решение задачи методом кусочно-линейной аппроксимации.
Задание 49. Дана задача выпуклого программирования, имеющая следующую
математическую модель:
Z  ( x1  3) 2  2( x2  2) 2  min
при ограничениях:
 x1  4 x 2  16

3x1  x 2  15
x1, 2  0
30
Найти решение задачи методом кусочно-линейной аппроксимации.
Задание 50. Дана задача выпуклого программирования, имеющая следующую
математическую модель:
2
9

2
Z   x1    x 2  2  min
4

 x 2  x12  0

 x1  x 2  6
x1  0, x 2  0
Записать условия Куна-Таккера и убедиться, что они выполняются в точке
3 9
x    ,  . Дать геометрическую интерпретацию, показать, что x — глобальный
 2 4
оптимальный план.
Задание 51. Решить задачу, имеющую следующую математическую модель,
графическим методом:
Z  x12  x1 x 2  2 x 22  4 x1  5 x 2  min
 x1  2 x 2  6  0

 x1  2  0
x1  0, x 2  0
Записать условия Куна-Таккера и найти оптимальный план; из точки 1, 5 
 2
построить направление спуска.
Литература основная: [1-4, 7, 8]; дополнительная: [1-7].
РАЗДЕЛ 4. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Тема 14. Общая характеристика задач динамического программирования
и их геометрическая интерпретация
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте определение задачи динамического программирования.
2. Где применяют модели динамического программирования?
3. Особенности задач динамического программирования.
4. Приведите примеры экономических задач, которые решаются методами
динамического программирования.
5. В чем отличие задач линейного программирования от задач динамического
программирования?
6. Что такое условное оптимальное управление?
7. Сформулируйте определение условной оптимизации.
Литература основная: [1-4, 7, 8]; дополнительная: [1-7].
Тема 15. Нахождение решения задач методом
динамического программирования
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте требования, предъявляемые к задачам, решаемым методом
динамического программирования.
31
2. Сформулируйте
общую
схему применения
метода
динамического
программирования.
3. Сформулируйте принцип оптимальности Беллмана.
4. Сформулируйте задачу управления запасами.
5. Сформулируйте задачу об оптимальном распределении ресурсов между
отраслями на n лет.
6. Сформулируйте задачу о замене оборудования.
7. Назовите достоинства и недостатки метода динамического программирования.
Практические задания
Задание 52. Производственное объединение выделяет четырем входящим в него
предприятиям кредит в сумме 100 млн ден.ед. для расширения производства и
увеличения выпуска продукции. По каждому предприятию известен возможный
прирост f ( X )( j  1,4) выпуска продукции (в денежном выражении) в зависимости от
выделенной ему суммы X i .
Для упрощения вычислений выделяемые суммы кратны 20 млн ден. ед. При этом
предполагаем, что прирост выпуска продукции на j-м предприятии не зависит от
суммы средств, вложенных в другие предприятия, а общий прирост выпуска в
производственном объединении равен сумме приростов, полученных на каждом
предприятии объединения.
Исходные данные указаны в таблице 1.
Таблица 1
j
i
Выделяемые средства X i
млн ден. ед.
20
40
60
80
100
Предприятие
№1
№2
№3
Прирост выпуска продукции на предприятиях
f1  X i 
f2 X i 
f3 X i 
10
28
36
54
74
10
26
34
54
74
11
36
45
60
77
№4
f j  X i  , млн ден. ед.
f4 X i 
16
37
46
63
80
Требуется так распределить кредит между предприятиями, чтобы общий прирост
выпуска продукции на производственном объединении был максимальным.
Задание 53. В определенный момент времени на предприятии установлено новое
оборудование. Зависимость производительности этого оборудования от времени
его использования предприятием, а также зависимость затрат на содержание и
ремонт оборудования при различном времени его использования приведены в табл.
1.
Таблица 1
Время r, использования оборудования
0
1
2
3
4
5
6
Годовой выпуск продукции R (r) в стоимостном выражении, тыс. р.
26
23
28
52
Ежегодные затраты z (r), связанные с содержанием и
ремонтом оборудования, у.е.
12
10
11
38
32
Зная, что затраты связаны с приобретением и установкой нового оборудования идентичного с установленным, составляют 24 у.е., а заменяемое оборудование списыва
-ется, составить такой план замены оборудования в течение 4-6 лет, при котором
общая прибыль за данный период времени максимальна.
Литература основная: [1-4, 7, 8]; дополнительная: [1-7].
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Постановка оптимизационной задачи.
2. Постановка классической задачи потребления.
3. Задача линейного программирования. Определение, постановка задачи. Понятие
плана, оптимального плана.
4. Экономико – математическая модель задачи об использовании ресурсов.
5. Экономико – математическая модель задачи о рационе.
6. Общая ЗЛП. Стандартная ЗЛП. Каноническая ЗЛП.
7. Матричная и векторная формы записи общей ЗЛП.
8. Свойства ЗЛП. Выпуклые множества точек.
9. Правила перехода от стандартной задачи линейного программирования к канонической задаче линейного программирования.
10. Геометрическая интерпретация ЗЛП.
11. Идея симплексного метода. Построение первоначального опорного плана.
12. Теорема о возможности улучшения плана для задачи на минимум. Критерий
оптимальности.
13. Теорема о возможности улучшения плана для задачи на максимум. Критерий
оптимальности.
14. Алгоритм симплексного метода. Алгебра метода (все формулы).
15. Алгоритм метода искусственного базиса.
16. Понятие о двойственных задачах. Экономическая интерпретация задачи,
двойственной задаче об использовании ресурсов.
17. Правила построения двойственных задач.
18. Симметричные двойственные задачи. Первая теорема двойственности.
19. Несимметричные двойственные задачи. Вторая теорема двойственности.
Условия дополняющей нежесткости.
20. Постановка транспортной задачи в матричной форме.
21. Свойства транспортной задачи.
22. Построение первоначального опорного плана ТЗ.
23. Алгоритм метода северо-западного угла.
24. Алгоритм метода минимального элемента.
25. Алгоритм метода двойного предпочтения.
26. Алгоритм метода Фогеля.
27. Метод потенциалов. Критерий оптимальности для метода потенциалов.
Алгоритм метода потенциалов.
28. Транспортная задача с ограниченной пропускной способностью. Критерий
оптимальности плана. Алгоритм.
29. Задача целочисленного программирования.
30. Метод Гомори.
33
31. Метод ветвей и границ.
32. Экономические примеры задач целочисленного программирования.
33. Общая задача нелинейного программирования.
34. Классическое правило множителей Лагранжа.
35. Производная по направлению и градиент. Выпуклые функции.
36. Задача выпуклого программирования.
37. Приближенное решение задач выпуклого программирования методом кусочнолинейной аппроксимации.
38. Методы спуска. Приближенное решение задач выпуклого программирования
градиентным методом.
39. Задача динамического программирования.
40. Принцип оптимальности и уравнения Р. Беллмана.
41. Динамическое программирование для задачи управления запасами.
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Литература
основная:
1. Вентцель Е.С.. Исследование операций: задачи, принципы, методология. - М.:
2004.
2. Баранова Е. С. и др.Практическое пособие по высшей математике. Типовые
расчеты: Учебное пособие.-СПб.:Питер, 2009.- 320 с.
3. Введение в математическое моделирование [текст]:Учеб. пособие/ В.Н.
Ашихмин [и др.].-М.:Логос,2005.-440 с.-(Новая университетская библиотека)
4. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/Под ред. Кремера
Н.Ш.-М.:ЮНИТИ, 2004.- 471 с.
5. Грес П. В. Математика для гуманитариев [текст]:Учеб. пособие/П.В. Грес.М.:Логос,2007.-160 с.-(Учебник XXI века)
6. Грешилов А.А.Прикладные задачи математического програмирования
[текст]:Учеб. пособие/А.А. Грешилов.-2-е изд., доп.- М.:Логос,2006.-288 с.
7. Замков О. О. и др. Математические методы в экономике: Учебник/ Под
ед.А.В.Сидоровича.-4-е изд./стереотип.-М.:ДИС, 2004.-368 с.-(Учебники МГУ
им. М.В. Ломоносова)
8. Захаров С.Д.Математические методы исследования и моделирования в
экономике [текст]: Учеб.-метод. комплекс для студ. спец. "ПИвЭ" оч. и заоч.
форм обуч./С.Д.Захаров.-Тюмень:
9. ТГИМЭУП,2007.-28 с.
10. Захаров С.Д.Методы исследования и моделирования национальной
экономики [текст]:Учеб.-меод. комплекс для студ. спец. "НЭ" оч. и заоч. форм
обуч./С.Д. Захаров.-Тюмень:ТГИМЭУП,
11. 2007.-32 с.
12. Кастрица О. А.Высшая математика для экономистов [текст]: Учебник/О.А.
Кастрица.-2-е изд.-Минск:Новое знание,2006.-491 с.-(Экономическое
образование)
34
13. Козлов В. Н. Системный анализ, оптимизация и принятие решений:
Учебное пособие.-М.:Проспект,2010.-176 с
14. Красс М. С. , Чупрунов Б.П.Математика для экономистов: Учебное
пособие.- СПб.: Питер, 2009.- 464 с.
15. Красс М.С., Чупрынов Б.П.Математические методы и модели для
магистрантов экономики [текст]:Учеб. пособие/М.С. Красс, Б. П. Чупрынов.2-е изд.-СПб.:Питер,2010.-496 с.-(Учебное
16. пособие)
17. Макаров С. И. Математика для экономистов [текст]:Учеб. пособие/С.И.
Макаров.-М.:КНОРУС,2007.-264 с.
18. Макаров С. И. и др.Математика для экономистов. Задачник: учебнопрактическое пособие.-М.:КНОРУС,2011.-358 с.
19. Старков С. Н. Справочник по математическим формулам и графикам
функций для студентов: Учебное пособие.- СПб.:Питер, 2009.-235 с.
дополнительная:
1. Карманов В.Г. Математическое программирование: Учеб. Пособ. М.:
Физматлит, 2001.
2. Косоруков О.А., Мищенко А.В.. Исследование операций: Учебник для ВУЗов. М.: Экзамен, 2003.
3. Исследование операций. Учебник для вузов под общ. ред. д.э.н. Н.П.
Тихомирова. - М.: Экзамен, 2003.
4. Краcc М.С, Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в
экономическом образовании: Учеб. – 4-е изд., испр. – М.: Дело, 2003.
5. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н.. Исследование
операций в экономике. - М.: ЮНИТИ, 2002.
6. Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. Математические методы и модели в
экономике. – Минск: ТетраСистем, 2002.
7. Х.А. Таха. Введение в исследование операций. 6-е изд.: пер. с англ. - М.: ИД
«Вильямс», 2001.
8. Конюховский П.В.. Математические методы исследования операций в
экономике. - М.: Питер, 2000.
9. Аронович А.Б., Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П.. Сборник задач по
исследованию операций. – М.: Издательство МГУ, 1997.
10. Морозов В.В., Сухарев А.Г., Федоров В.В. Исследование операций в задачах
и упражнениях. - М.: Высшая школа, 1986.
11. Горелик В.А., Ушаков И.А. Исследование операций. - М.: Машиностроение,
1986.
12. Федосеев В.В. Экономико-математические модели и методы в маркетинге. М.: Финстатинформ, 1996.
13. Сакович В.А. Исследование операций. – Минск: Вышейш.шк., 1985.
14. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и
алгоритмы/Пер. с англ. Под ред. Д. Б. Юдина. - М.: Мир, 1982.
15. Калихман И.Л. Сборник задач по математическому программированию. М.: Высш.шк., 1975.
35
16. Вагнер Г.. Основы исследований операций. Т.1-3. - М.: Мир, 1972.
17. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование (теория, методы и
при- ложения). - М.:Наука, 1969.
18. Гасс С. Линейное программирование (методы и приложения). - М.:
Физматгиз, 1961.
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Аудиторные занятия и СРС по дисциплине «Исследование операций и методы
оптимизации» проходят в аудиториях, в том числе, оборудованных
мультимедийными
средствами
обучения,
в
компьютерных
классах,
обеспечивающих доступ к сетям типа Интернет.
36
СОДЕРЖАНИЕ
1. Цели освоения дисциплины ............................................................................................................... 3
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата ....................................................................... 3
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины ...................... 3
4. Структура и содержание дисциплины «Исследование операций и методы оптимизации» ....... 5
5. Образовательные технологии ............................................................................................................ 9
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов ................................... 10
7. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации
по итогам освоения дисциплины......................................................................................................... 10
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины ........................................ 34
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины................................................................... 36
37
Любовь Максимовна Селюнина
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Рабочая учебная программа
для студентов направления «Прикладная Информатика»
профиль «Экономика»
очной формы обучения
Ответственный за выпуск зав. каф. С.Д. Захаров
(сохранена редакция автора-составителя)
Формат 60х84/16. Гарнитура Times.
Тираж 5. Объем 2,09 у.-п.л.
Отпечатано в лаборатории множительной техники «ТГАМЭУП»
38