Исакова Дарья Николаевна НИУ

Исакова Дарья Николаевна
НИУ-ВШЭ, аспирант
ЗАО «ВТБ Капитал», аналитик
Москва, Пресненская наб., 12
+7(915)012-45-33
d.n.frolova@gmail.com
Модель прогнозирования валютного рынка
с учетом неоднородных адаптивных ожиданий
1. Введение
1.1. Рациональный репрезентативный агент - кто он?
Начиная с середины 70-х, когда концеция рациональных ожиданий завоевала
всеобщее признание, экономический анализ строился на изучении рационального
репрезентативного агента, который обладает следующими неотъемлимыми
характеристиками. Во-первых, рациональный индивид непрерывно максимизирует свою
полезность, во-вторых, он рационально прогнозирует, учитывая всю имеющуюся
информацию, в том числе и встроенную в модель. Последнее свойство гарантирует
отсутсвие систематических ошибок индивидуальных прогнозов. В-третьих, модель
репрезентативного агента подразумевает, что индивид действует на эффективном рынке, в
нашем случае, что валютный курс отражает всю имеющуюся информацию о
фундаментальных факторах, задающих динамику валютной пары. В случае появления
новой информации, рынок сразу же корректирует текущие котировки, гарантируя
отсутствие арбитража1. Главным эмпирическим свойством эффективного рынка является
то, что изменение валютного курса может быть вызвано только неожидаемым изменением
фундаментальных факторов (появлением непредвиденных новостей). В том случае, если
происходят ожидаемые изменения в фундаментальных факторах, то они не оказывают
никакого влияния на валютный курс. В целом, вышеперечисленные предпосылки и
составляют основу стройной теории рациональных ожиданий на эффективном рынке, в
которой исключены внутренние противоречия.
1.2. От простого к сложному или необходимость практических решений.
Парадигма рациональных ожиданий сыграла ключевую роль в изучении
финансового рынка. Тем не менее, на практике столь красивая теоретическая конструкция
во главе с рациональным репрезентативным агентом оказывается все более не пригодной,
по мере углубления экспериментальных исследований. Особенно это прослеживается в
случае валютного рынка, когда нужно объяснить краткосрочную динамику валютного
курса, несимметричность бумов и падений рынка, или эмпирически наблюдаемые
феномены кластеризации волатильности и ненормальности распределения валютного
рынка. Модели, основанные на рациональных ожиданиях, отягощены предпосылкой об
информационной полноте в процессе принятия решений агентами.
Недостатки доминирующей теории рациональных ожиданий на эфективном рынке
провоцировали появление новых направлений мысли. Так Симон в 1957 г. и позже
Принято считать, что теория эффективного рынка строится на материалах диссертации французского математика
Башелье 1900 г., которую обнаружил Саваж и разослал друзьям. Гипотеза эффективности рынка была сформулирована в
1965 г. Самуэльсоном и Фамой и с тех пор является ключевой в финансовой теории.
1
Канеман и Тверски, вместе с Тайлером и Шлейфером заложили основы для поведенской
экономики и поведенческих финансов. Результаты их исследований добавили аргументов
тем, кто считал теоритически выдержанную теорию рациональных ожиданий
несостоятельной для принятия практических решений.
А позже глобальный кризис 2007-2009 гг., и в частности, резкие колебания
финансового рынка, последовавшие за обвалом рынка ипотечных облигаций США,
переросшие в серьезные проблемы реальной экономики, окончательно подорвали
идеальную концепцию стабильности в макроэкономической теории, созданную на
предпосылках совершенной рациональности и полноты информации, и усилили
аргументы тех, кто считал, что макроэкономика должна принимать во внимание
отклонения от предпосылки о рациональных ожиданиях.
Таким образом, существующий прежде подход, строившийся на изучении
поведения репрезентативного агента, исчерпал себя и требует преобразований или полной
модификации.
2. Описание модели
В свете произошедших изменений в экономической мысли, мы построили простую
теоретическую модель валютного рынка с агентами, обладающими неоднородными
адаптивными ожиданиями. Данную область исследований можно отнести и к
поведенческим финансам (Shleifer (2000), Shiller (2001)) и к изучению эволюционной
динамики (Kirman (1993), Brock and Hommes (1997), и Lux (1998)).
Основная особенность модели – это уход от концепции рациональных ожиданий в
той ее части, где предполагается, что все лица, принимающие решения, обладают
полнотой информации и идеальным вычислительным аппаратом, и являются абсолютно
идентичными.
Во-первых,
наша
модель
строится
на
предпосылке
об
ограниченной
рациональности (Simon (1957)). В рамках рассматриваемого механизма принятия решений
на валютном рынке рациональность состоит в том, что агенты используют простые
стратегии прогнозирования, не требующие сверхсложных математических вычислений.
Вместе с тем, агенты постоянно оценивают рыночные стратегии и, если альтернативное
правило инвестирования показало себя более прибыльным, то индивид начинает
использовать более выгодное правило на данный момент.
Во-вторых, исследования валютного рынка (Frankel J. and Froot K. (1990), Taylor M.
and Allen H. (1992)) показали, что агенты, принимающее решение на валютном рынке не
гомогенны. Поэтому мы включаем в нашу модель предпосылку о гетерогенных
ожиданиях. В самом простом виде наша модель подразумевает наличие только двух типов
агентов: «фундаменталистов» и «графистов», которые могут менять свои стратегии в
зависимости
от
эффективности
прогнозирования
выбранного
подхода
(под
эффективностью стратегии мы понимаем ее доходность). Фундаменталисты обладают
неизменными ожиданиями по отношению к будущей фундаментальной стоимости
валюты, а графисты – это трейдеры, полагающиеся в своих прогнозах на тренд. Таким
образом, мы конструируем эвристическое поведение агентов, обучающихся на своих
ошибках. В результате модель обнаруживает циклические колебания «оптимизма» и
«пессимизма» даже тогда, когда фундаментальные факторы остаются постоянными.
Подобные волны «оптимизма» и «пессимизма», возникающие внутри самой модели,
можно считать механизмом распознавания фундаментальной стоимости валюты.
2.1. Простая модель
В данной части исследования мы последовательно выстраиваем простую модель
принятия решения на валютном рынке. Сначала описывается метод оптимизации
портфеля, используя классический подход сравнения риска и доходности с целью
максимизации полезности. Далее индивиды прогнозирую, оперируя несложными
правилами, что согласуется с идеями поведенческих финансов и ограниченной
вычислительной способностью индивидов. И затем агенты оценивают эффективность всех
имеющихся правил и выбирают наиболее выгодные в каждый момент времени.
Последний этап соответствует теории эволюционной динамики.
2.1.1. Оптимальный портфель
Пусть в экономике существует i типов агентов, которые отличаются друг от друга
только прогнозами валютного курса. Каждый агент может инвестировать в два актива локальный и иностранный. Полезность i-го типа индивидов может быть записана в
следующем виде (De Grauwe P. and Grimaldi M. (2006)):
1
U (Wt i1 )  Et (Wt i1 )  V i (Wt i1 )
2
(1)
где Wt i1 - это благосостояние агента категории i в период t+1, Et - это оператор ожиданий,
 - коэффициент отношения к риску и V i (Wt i1 ) - это уловная дисперсия благосостояния
агента типа i. Благосостояние агента категории i в нашей модели описывается формулой:
Wt i1  (1  r*)st 1d ti  (1  r )(Wt i  st d ti )
(2)
где r и r* – это локальные и иностранные процентные ставки, st 1 - это валютный курс (в
данном исследовании используются прямые котировки: количество единиц национальной
валюты за единицу иностранной, то есть увеличение s эквивалентно ослаблению
национальной валюты) в момент t+1, d ti - это объем иностранных активов агента типа i в
период t. Далее мы подставляем уравнение (2) в равенство (1) и максимизируем функцию
полезности по d ti и получаем оптимальный объем иностранных активов агента категории
i:
d 
i
t
(1  r*) Eti ( st 1 )  (1  r ) st
(3)
 2 t
i
Рыночный спрос на иностранные активы равняется сумме произведения спроса
индивида, принадлежащего к определенному типу, на общую численность индивидов
соответствующего типа. Вместе с тем, согласно закону рыночного равновесия спрос равен
предложению. Последнее представляется собой сумму сальдо счета текущих операций и
валютные интервенции регулятора; в текущей спецификации модели мы считаем
предложение экзогенным.
Далее приравняем полученный рыночный спрос на иностранные активы к общему
предложению иностранной валюты и выразим текущий валютный курс ( st ):
1 r *
st  

 1 r 
1
N
ti

i 1
2i
t 1
 N i Eti ( st 1 )

nti

i


,
где
и t 



Z
t
t t
 t
N
N
2i
i
 t 1
 i1

(
1

r
)
n
 nti
 t
i 1
(4)
i 1
где nti - количество агентов категории i, а N – общее количество групп.
2.1.2. Простые стратегии прогнозирования
Мы предполагаем, что существует два типа агентов в нашей модели (то есть i = 2):
«фундаменталисты» («f» от англ. fundamentalist) и «графисты» («c» от англ. chartist).
Фундаменталисты строят свои ожидания относительно будущего валютного курса
на основе отклонения в прошлом периоде курса от его фундаментальной стоимости.
Данная групп агентов полагает, что валютный курс тяготеет к своему фундаментальному
значению и, следовательно, будет двигаться в сторону сужения соответствующего спреда.
Отметим, что по определению фундаментальная стоимость валюты отражает равновесие в
реальной экономике. Однако моделирование фундаментальной стоимости валюты
осталось за границами данного исследования, поэтому мы подразумеваем под
фундаментальным курсом экзогенный параметр, изменяющийся по закону случайного
блуждания без смещения:
st*  st*1   t
где  t - это белый шум.
(5)
Прогнозный курс фундаменталистов выравнивает текущий курс с оцененной
фундаментальной стоимостью и воплощает эффект обращения средних на рынке:
Et f ( st 1 )  st 1   ( st 1  st*1 )
(6)
где 0<  <1, показывает ожидания агентов относительно того как быстро курс вернется к
своему фундаментальному значению. Отметим, что агенты не располагают информацией
о курсах в период t, когда они вычисляют прогноз на следующий период, так как их
прогноз входит в расчет текущего курса ( st ). Последнее обстоятельство отличается от
моделей с рациональными ожиданиями, в которых такая возможность предусмотрена.
Графисты (или специалисты технического анализа) строят свои прогнозы будущей
динамики валютного курса, экстраполируя исторический ряд котировок. Стратегия
графистов может быть представлена следующим образом:
T
Etc (st 1 )    j st  j
(7)
j 1
где  - это интенсивность переноса прошлых значений в будущее. В нашей моделе мы
используем самую простую спецификацию с учетом одной переменной - самого
последнего известного значения курса ( st 1 ):
Etc ( st 1 )  st 1   ( st 1  st 2 )
(7.1)
Правило графистов может быть интерпретировано как стратегия распознавания
настроения рынка и затем подстраивание под него, что соответсвует концепции стадного
поведения (Mentkhoff (1997)).
Оба правила построены на огранченной информации, в то время как в теории
рациональных ожиданий предполагается информационная асимметрия между
участниками рынка: рациональные агенты обладают всей полнотой информации, а
шумовые индивиды используют только часть из всей имеющейся на рынке информации.
Однако на практике сложно представить себе подобную картину. В нашей моделе
индивид, вне зависимости от принадлежности к группе фундаменталистов или графистов,
пользуется не всей информацией, а ограничивает ее в рамках заданных правил.
После того, как мы определили доходности портфелей фундаменталистов и
графистов, зададим оценку риска. В нашей моделе риск представлен как взвешенное
среднее квадратов ошибок прогнозов обоих групп соотвественно:
 2 t    k Etik ( st k 1 )  st k 1 
i

2
k 1
где  k - веса, убывающие в геометрической прогрессии.
(8)
2.1.3. Выбор наиболее выгодной стратегии
Заключительным шагом спецификации модели валютного курса является оценка
имеющихся правил прогнозирования и выбор наиболее прибыльного. Агент в момент t-1
использует одно из двух правил, в момент t сравнивает эффективность обеих
существующих стратегий и принимает решение о смене или сохранении неизменным
правила прогнозирования. Концептуально такой механизм описывает метод обучения
путем проб и ошибок: агенты пользуется конкретным методом прогнозирования до тех
пор, пока не обнаружит, что альтернативный метод более эффективные. Обучение на
своих ошибках представляется нам наиболее близким реальности, когда лицу,
принимающему решение, доступна лишь часть информации, а не целостная картина мира.
Для оценки доли графистов и фундаменталистов мы применяем подход,
разработанный Бруком и Хоммсом (Brock and Hommes (1997)), основанный на
относительной прибыльности правил прогнозирования, скорректированной на риск2:
i
ti 
2i
e ( t 1  t 1 )
2c
(9)
2f
e ( t 1  t 1 )  e ( t 1  t 1 )
c
f
где i = c или f, а сумма tc и t f равна единице. Таким образом, если эффективность
фундаменталистов в период t-1, скорректированная на риск, относительно прибыльности
стратегии графистов за соответствующий период, скорректированной на риск, возрастает,
то количество фундаменталистов в период t возрастает. Параметр  отражает
интенсивность пересмотра стратегий, инертность агентов. Чем он выше, тем чаще
пересматривают свои прогнозные стратегии агенты; если он равен нулю, то участники
рынка вообще не меняют своих правил принятия решений относительно будущей
динамики валютного курса, и количество фундаменталистов и графистов одинаковое. По
результатам Канемана (Kahneman D., Knetsch J. L. and Thaler R. H. (1991)), индивиду
трудно переключиться на новую стратегию, если он какое-то время пользовался другой.
Поэтому мы полагаем, что 0 <  < ∞.
В то же время мы полагаем, в случае правильного прогноза направления движения
курса агент получает доход в виде курсовой разницы во времени, с учетом дифференциала
локальных и иностранных процентных ставок, с вложенного доллара:
 1, y  0

 ti1  st 1 (1  r*)  st 2 (1  r ) sgn (1  r*) Eti2 ( st 1 )  (1  r ) st 2  , где sgn  y    0, y  0
 1, y  0

2
(9.1)
Заметим, что прибыльность мы считаем как доход/убыток на вложенный доллар, а не общее благосостояние группы.
3. Решение модели и основные выводы
Мы находили детерминистические и стохастические решения модели, задавая
значения параметров таким образом, чтобы показатели нашей теоретической модели
наиболее походили на эмпирические данные.
Сначала опишем результат, полученный детерминистским способом. В данном
случае фундаментальный курс мы приравняли к нулю. Были обнаружены два
принципиально различных вида решений. Первый вид соответствует небольшим
значениям экзогенных факторов, и полученный курс совпадает с фундаментальным
курсом (в наших экспериментах – с нулем), в то же время доли графистов и
фундаменталистов равны. Второй вид решений строится на больших значениях
экзогенных факторов и показывает значительные отклонения от фундаментального курса.
Чем более существенный экзогенный шок происходит, тем сильнее отклонится валютный
курс от фундаментальной стоимости. В результате второго типа решений на рынке
остается большинство графистов и тем самым снижается сила эффекта обращения
средних по знаку, который задавался прогнозами фундаменталистов. Таким образом,
возможно два типа равновесия: первый - сосуществование графистов и фундаменталистов
и второй - доминирование графистов. Первый тип достаточно стабилен, то есть
небольшое отклонение в экзогенном параметре не приведет к смене типа равновесия.
Вместе с тем, второй вид характеризуется чрезмерной неустойчивостью (точнее некоторая
часть вида), то есть незначительное изменение экзогенных параметров влечет за собой
смену равновесия на первый тип. Таким образом, мизерное отклонение в экзогенных
параметрах ведет к большим ошибкам прогнозов валютного курса, поэтому даже в нашей
наипростейшей модели гетерогенных адаптивных ожиданий агенты сталкиваются со
значительными информационными задачами.
Стохастический метод подтвердил существование пиков и падения на валютном
рынке. В данном случае фундаментальный курс мы задавали как случайный процесс. По
мере роста повышательного тренда прогнозирование на основе экстраполяции
исторических данных становится все более прибыльным и графисты заполоняют рынок,
способствуя еще более масштабному росту. Если бы на рынке вместе с графистами были
фундаменталисты в период повышательной конъюнктуры, то их стратегии бы сгладили
пик, так как чем больше разница между фундаментальным и наблюдаемым курсом, тем
более прибыльными обещают быть стратегии фундаменталистов. Однако правила
фундаменталистов на повышательном тренде оказываются убыточными и они
переключаются на стратегию графистов. Затем, когда почти весь рынок состоит из
графистов, их эффективность снижается и увеличивается относительная прибыльность
фундаменталистов. Постепенно правила фундаменталистов снова набирают популярность
и должен неминуемо произойти резкий спад. Отметим, что подъемы происходят
достаточно постепенно, а спады резко. Подобная асимметрия совпадает с выводами
эмпирических результатов. Возможно, это связано с тем, что когда рынок растет,
графисты и фундаменталисты действуют в разных направлениях, тем самым удлиняя
повышательный тренд. Затем в период спада эффект обращения средних по знаку,
сформированный прогнозными стратегиями фундаменталистов, усиливается
экстраполяцией графистов.
Рис. 1: Историческая динамика евро/доллар
Рис. 2: Детерминистский валютный курс в
зависимости от экзогенных условий
1.60
1.55
1.50
1.45
1.40
1.35
1.30
1.25
1.20
1.15
2005
2006
2007
2008
2009
EUR/ USD
Источник: Bloomberg
Источник: Расчеты авторов
В итоге, мы построили модель прогнозирования валютного рынка с учетом
неоднородных адаптивных ожиданий, в которой агенты классифицированы на две группы
по
типу
стратегии
построения
прогноза
будущей
стоимости
валюты:
на
«фундаменталистов» и «графистов». Результат деятельности первого типа выражается в
процессе обращения средних по знаку, а вторых – в феномене стадного поведения.
Основной вывод нашей модели согласуется с эмпирическими свойствами различных
валютных пар, в частности, с тем, что пик задается с одной стороны плавным восходящим
трендом и резким спадом – с другой.
Список использованной литературы
1. Brock W. and Hommes C., 1998, Heterogeneous beliefs and routes to chaos in a simple
asset pricing model, Journal of Economic Dynamics and Control, 22, pp. 1235-1274.
2. BrockW. and Hommes C., 1997, A Rational Route to Randomness, Econometrica, 65, pp.
1059-1095.
3. De Grauwe P. and Grimaldi M., 2006, The Exchange Rate in a Behavioral Finance
Framework, Princeton University Press.
4. De Grauwe P., Dewachter H., and Embrechts, 1993, M., Exchange Rate Theories. Chaotic
Models of the Foreign Exchange Markets, Blackwell.
5. Frankel J. and Froot K., 1990, The Rationality of the Foreign Exchange Rate: Chartist,
Fundamentalist and Trading in the Foreign Exchange Market, American Economic Review,
80, pp. 181-185.
6. Kahneman D., Knetsch J. L. and Thaler R. H., 1991, Anomalies: The Endowment Effect,
Loss Aversion, and Status Quo Bias, Journal of Economic Perspectives, 5(1), pp. 193-206.
7. Kirman A. and Teyssiere G., 2002, Microeconomic models for long memory in the volatility
of financial time series, Studies in Nonlinear Dynamics and Econometrics 5: pp. 137-156,
281-302.
8. Lux T., 1998, The socio-economic dynamics of speculative markets: interacting agents,
chaos, and fat tails of return distributions, Journal of Economic Behaviour and Organisation,
vol.33.
9. Lux T., Marchesi M., 2000, Volatility clustering in financial markets: a microsimulation of
interacting agents, International Journal of Theoretical and Applied Finance.
10. Mentkhoff L., 1997, Examining the Use of Technical Currency Analysis, International
Journal of Finance and Economics, 2, pp. 307-18.
11. Schleiffer A., 2000, Introduction to Behavioural Finance, Clarendon Press.
12. Shiller R., 2000, Irrational Exuberance, Princeton University Press.
13. Simon H., 1957, A Behavioral Model of Rational Choice, in Models of Man, Social and
Rational: Mathematical Essays on Rational Human Behavior in a Social Setting. New York:
Wiley.
14. Taylor M. and Allen H., 1992, The Use of Technical Analysis in the Foreign Exchange
Market, Journal of International Money and Finance, 11, pp. 304-14.