логические задачи

логические задачи
В одном дворе живут четыре друга. Вадим и шофер старше Сергея; Николай и слесарь
занимаются боксом; электрик – младший из друзей; по вечерам Антон и токарь играют в
домино против Сергея и электрика. Определите профессию каждого из друзей.( из книги
Смыкаловой Е.В. «Дополнительные главы по математике для учащихся 5 класса».
Ответ. Вадим – токарь, Сергей – слесарь, Николай – электрик, Антон – шофер.
Решение.
Сергей не шофер (т.к. он младше шофера), не электрик и не токарь (т.к. он играет с ними в
домино), следовательно, Сергей – слесарь. Антон не может быть токарем и электриком
(он играет с ними в домино), и не может быть слесарем (т.к. слесарь – Сергей), т.е. Антон
– шофер. Вадим не самый младший из друзей (он старше Сергей), значит он не может
быть электриком, следовательно, Вадим – токарь. Получаем, что Николай – электрик.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Карлсон, Малыш и Фрекен Бок собирались пить чай с плюшками. Однако, когда они
зашли на кухню, оказалось, что все плюшки кто-то съел. «Это не я» - сразу сказал Малыш.
«Карлсон, это ты съел все плюшки!» - вскричала Фрекен Бок и, взяв хлопушку, принялась
гоняться за Карлсоном. Покружив по кухне, Карлсон вылетел в окно и заявил: «Плюшки
съела Фрекен Бок». Уставшая Фрекен Бок села в кресло и тихо произнесла: «Плюшки
съела я». Определите, кто на самом деле съел плюшки, если известно, что один из героев
всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий может как солгать, так и сказать
правду.( Дронов В.Л., Устинов А.В., Тропин Н)
Ответ. Плюшки съел Карлсон или плюшки съели Малыш и Фрекен Бок.
Решение.
У нас есть два высказывания Фрекен Бок. Возможны четыре случая:
1) оба высказывания правдивы,
2) оба высказывания ложны,
3) первое высказывание правдиво, а второе – ложно,
4) второе высказывание правдиво, а первое – ложно.
Первые два случая невозможны.
В третьем случае Малыш всегда говорит правду, а Карлсон всегда лжет. В четвертом
случае правду всегда говорит Карлсон, а Малыш лжет.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Если бы вчера был тот день недели, который будет завтра, то от сегодня до воскресенья
оставалось бы столько дней, сколько дней в действительности прошло от воскресенья до
сегодняшнего дня. Какой сегодня день? (?)
Ответ. Суббота.
Решение.
Пусть сегодня понедельник. Если бы вчера был вторник, то от предполагаемого сегодня
(от среды) до воскресенья оставалось бы 4 дня, а в действительности от воскресенья до
сегодня (до понедельника) прошел 1 день. Противоречие. Аналогично рассмотрев
остальные дни недели, получим единственный ответ.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------У трех членов жюри спросили: «Сколько команд будет участвовать в математической
регате?». Один сказал: «Меньше семнадцати». Другой: «Меньше шестнадцати», а третий:
«Меньше восемнадцати». Сколько команд участвовало в регате, если правы были в
точности двое членов жюри? (МР)
Ответ: 16.
Второе утверждение не может быть верно, так как в этом случае верны и два других
утверждения, что противоречит условию. Следовательно, верными являются первое и
третье утверждение, а второе – неверно. То есть, данное число меньше 17 и не меньше 16.
Единственное число, удовлетворяющее данным условиям – 16.
логические задачи
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------В некотором доме живут только супружеские пары с маленькими детьми, причем
бездетных семей нет, у каждого мальчика есть сестра и мальчиков больше, чем девочек.
Может ли оказаться, что в этом доме взрослых больше, чем детей? (МО)
Ответ. Не может.
Решение. Их условия вытекает, что в каждой семье есть дочь. Поэтому дочерей в доме не
меньше, чем матерей. Но мальчиков в доме больше, чем девочек, следовательно, сыновей
больше, чем отцов. Значит, детей в доме больше, чем взрослых.
Замечание. Напрашивается такое рассуждение: «так как у каждого мальчика есть сестра, а
бездетных семей нет, то в каждой семье не меньше двух детей. Поэтому детей в доме не
меньше, чем взрослых». Но это решение неверно. Если в семье есть сын, то в ней
действительно не меньше двух детей. Но в семье может быть и единственная дочь.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------После игры в футбол (два тайма по 45 минут) ребята делились впечатлениями.
Петя: «Я забил на один гол больше, чем все остальные, вместе взятые».
Миша: «Во втором тайме было забито вдвое больше голов, чем в первом».
Олег: «Из всех мячей, забитых в первом тайме, я забил половину».
Верно ли, что каждый из них сказал правду? (МР)
Ответ. Нет.
Решение.
Предположим, что все высказывания – истинны, тогда, из того, что сказал Олег следует,
что в первом тайме забито четное количество голов, тогда, из высказывания Миши
следует, что количество голов, забитых во втором тайме также четно, значит, и общее
количество забитых мячей – четно. Вместе с тем, из слов Пети можно определить, что
количество забитых мячей – нечетно. Таким образом получено противоречие, и кто-то из
мальчиков сказал неправду.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Четыре мальчика Андрей, Витя, Саша и Дима выбирают по одному мячу черного, синего,
красного и белого цвета. Требуется узнать, какого цвета оказались у них мячи, если в
каждом из следующих утверждений по крайней мере одна часть верна.
a. Андрей взял черный мяч, Витя – синий.
b. Дима взял красный мяч, Витя – черный.
c. Витя взял белый мяч, Дима – синий.(ПермьТЮМ)
Ответ. Андрей взял черный мяч, Витя – белый, Саша – синий, Дима – красный.
Решение.
Витя мог взять красный мяч, синий, черный или белый. Рассмотрим каждый случай.
Пусть Витя взял красный мяч. Тогда во всех трех утверждениях неверна та часть, где
говорится о Вите, следовательно, верна другая часть, но тогда из второго и третьего
утверждений получаем, что Дима одновременно взял красный и синий мяч.
Противоречие.
Пусть Витя взял синий мяч. Тогда из второго утверждения следует, что Дима взял
красный мяч, а из третьего, что Дима взял синий мяч. Противоречие.
Пусть Витя взял черный мяч. Тогда из первого утверждения следует, что Андрей тоже
взял черный мяч. Противоречие.
Пусть Витя взял белый мяч. Тогда из первого утверждения следует, что Андрей взял
черный мяч, из второго – что Дима взял красный мяч, и Саше остается синий мяч.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
логические задачи
В городе Глупове живут только полицейские, воры и обыватели. Полицейские всегда врут
обывателям, воры – полицейским, а обыватели – ворам. Во всех остальных случаях
жители Глупова говорят правду. Однажды несколько глуповцев водили хоровод и каждый
сказал своему правому соседу: «Я - полицейский». Сколько обывателей было в этом
хороводе?
(МО)
Ответ. В хороводе не было обывателей.
Решение.
Предположим, что в хороводе есть хотя бы один обыватель. Посмотрим, кто из жителей
Глупова мог стоять слева от него в этом хороводе. Пусть слева от обывателя стоял
полицейский. Но тогда полицейский должен был соврать и не мог сказать, что он –
полицейский.
Пусть слева от обывателя стоял вор. Но вор говорит правду обывателям, и, значит, не мог
сказать, что он – полицейский.
Пусть слева от обывателя стоял другой обыватель. Друг другу обыватели говорят правду,
т.е. обыватель, стоящий слева, не мог сказать, что он полицейский.
Получили, что в хороводе не могло быть ни одного обывателя.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Дядя Федор, кот Матроскин, Шарик и почтальон Печкин сидят на лавочке. Если Шарик,
сидящий справа от всех, сядет между дядей Федором и котом, то кот будет крайним слева.
В каком порядке они сидят? (?)
Ответ. (слева направо) Матроскин, дядя Федор, Печкин, Шарик.
Решение.
По условию, самый правый – Шарик. Пересадим его между котом и дядей Федором, тогда
кот будет слева от всех. Справа от него будет Шарик, затем – дядя Федор. Печкину
остается место справа от всех. Пересадим Шарика обратно и получим ответ.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------К Васе пришли его одноклассники. Мама Васи спросила у него, сколько пришло гостей.
Вася ответил: «Больше шести», а стоявшая рядом сестренка сказала: «Больше пяти».
Сколько было гостей, если известно, что один ответ верный, а другой нет?(МО)
Ответ. 6 гостей.
Решение.
Допустим, что гостей действительно больше шести. Тогда правы и Вася, и его сестра, а
это противоречит условию задачи. Значит, гостей не больше шести, и Вася неправ. Но
тогда должна быть права сестра, иначе снова нарушится условие задачи. Значит, гостей
больше пяти. Но если их больше пяти и не больше шести, то их ровно шесть.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Три ученика – Коля, Дима и Женя – участвовали в городской математической олимпиаде
и получили одну первую, одну вторую и одну третью премии. Но им не сообщили, кто
какую премию получил. Позже Яна сказала, что Дима получил не первую, Коля – не
вторую, Женя получил вторую премию. Потом оказалось, что из этих трех высказываний
верным было только одно, а два ложны. Какую премию получил каждый ученик?(?)
Ответ. Женя – первый, Коля – второй, Дима – третий.
Решение.
Предположим, что верным было третье высказывание, т.е. Женя получил вторую премию,
но тогда Коля не мог получить вторую премию, получаем, что второе высказывание тоже
верное, чего не может быть, т.к. по условию верным было только одно высказывание.
логические задачи
Предположим, что верным было второе высказывание, а первое и третье – неверные. Из
первого высказывания получаем, что Дима был первым. Т.к. Коля не второй (из второго
высказывания), то он – третий. Получается, что вторая премия у Жени и третье
высказывание – верное. Противоречие.
Следовательно, верным было первое высказывание, а второе и третье – ложными. Тогда
из второго высказывания получаем, что Коля получил вторую премию, а т.к. Дима не
первый, то он третий. Осталась первая премия и ее получил Женя.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Надежда Константиновна и Владимир Ильич вспоминали, в каком месяце 1917 года
произошла революция. Надежда Константиновна говорит, что революция произошла не
раньше ноября, а Владимир Ильич говорит, что революция произошла позднее сентября.
В каком месяце на самом деле произошла революция 1917 года, если известно, что один
из говоривших всегда говорит правду, а другой всегда лжет?
Ответ. В октябре.
Решение 1.
Если революция произошла раньше октября, т.е. с января по сентябрь, то получается, что
и Владимир Ильич и Надежда Константиновна лгут, что невозможно. Если революция
произошла позднее октября, т.е. в ноябре или декабре, то получается, что и Владимир
Ильич и Надежда Константиновна говорят правду, что невозможно. Легко проверить, что
месяц октябрь удовлетворяет условию – Надежда Константиновна лжет, а Владимир
Ильич говорит правду.
Решение 2.
Предположим, что Владимир Ильич лжет, а Надежда Константиновна говорит правду.
Тогда революция произошла не раньше ноября (т.е. в ноябре или декабре) и не позднее
сентября (т.е. с января по сентябрь), что невозможно. Пусть наоборот, Владимир Ильич
говорит правду, а Надежда Константиновна лжет. Тогда революция произошла раньше
ноября (т.е. с января по октябрь) и позднее сентября (т.е. с октября по декабрь). Видно,
что подходит только один месяц – ноябрь.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------В тетради написано 100 утверждений:
«В этой тетради ровно одно ложное утверждение.
В этой тетради ровно два ложных утверждения.
В этой тетради ровно три ложных утверждений.
…………………………………………………….
В этой тетради ровно сто ложных утверждений.»
Сколько из этих утверждений могут быть верны?
(?)
Ответ. Одно. (99-тое)
Решение.
Предположим, что в тетради нет верных утверждений. Тогда имеем 100 ложных
утверждений и, значит, 100-ое утверждение верное. Пришли к противоречию.
Предположим, что в тетради истинных утверждений больше одного. Тогда имеем
минимум два истинных утверждения, противоречащих друг другу и, значит, одно из них
ложное. Пришли к противоречию.
Получили, что если есть верное утверждение, то оно ровно одно. Нетрудно показать, что
истинным будет 99-тое утверждение.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
логические задачи
Пять мальчиков, что-то не поделив, подрались между собой. После того, как их
успокоили, милиционер дядя Степа спросил у каждого, кто затеял драку. На свой вопрос
он получил следующие ответы:
Петя: «Это точно не я, не Дима, не Витя».
Саша: «Это точно не я, не Петя, не Коля».
Коля: «Это точно не я, не Саша, не Дима».
Дима: «Это точно не я, не Петя, не Коля».
Витя: «Это точно не я, не Петя, не Коля».
В итоге оказалось, что только двое из них сказали правду. Сколько из мальчиков были
зачинщиками драки, и как их зовут?
(?)
Ответ. Драку затеял один мальчик. Это был Дима.
Решение.
Возьмем любой из двух правдивых ответов. В нем сказано, что какие-то трое мальчиков
драки не затевали, и, значит, драку затеяли не более двух мальчиков. Если драку затеяли
двое, то в правдивых ответах они оба не должны упоминаться. Но таких двух ответов нет.
Кто-то из мальчиков затеял драку, иначе все сказали правду. Следовательно, инициатором
драки был ровно один мальчик. Для того, чтобы ровно три ответа были неправильными,
этот мальчик должен быть упомянут ровно в трех ответах. Такой мальчик только один:
Дима.