Document 400002

Лекция 4
4.1. Уравнение Бернулли для жидкости
Рассмотрим поток жидкости, проходящий по трубопроводу переменного сечения
(рис. 10). В первом сечении гидродинамический напор пусть равен H1. По ходу движения
потока часть напора H1 необратимо потеряется из-за проявления сил внутреннего трения
жидкости и во втором сечении напор уменьшится до H2
H.
ббб
hv1
ббб
1
 H = H1 H 2
2
hv2
hр1
ббб
hр2
v
2
H1
pизб
v
1
pизб
H2
2
z2
1
z1
0
0
Рис. 10. Схема к уравнению Бернулли: 1 - напорная линия; 2 - пьезометрическая линия
ббб
Уравнение Бeрнýлли для жидкости в самом простейшем виде записывается так:
H1 = H2 + H ,
то есть это уравнение для двух сечений потока в направлении его течения, выраженное
через гидродинамические напоры и отражающее закон сохранения энергии (часть энергии
переходит в потери) при движении жидкости.
Уравнение Бeрнýлли в традиционной записи получим, если в последнем равенстве
раскроем значения гидродинамических напоров H1 и H2 (м) :
z1 
pиз б1

v

Z1 
2
1
2g
 z2 
2
1
pиз б2

v

2
2
2g
 H
.
2
2
P1
u
P
u

 Z2  2 
.
g 2 g
g 2 g
Энергетический смысл уравнения Бeрнулли заключается в том, что оно отражает
закон сохранения энергии: сумма потенциальной z+hp, кинетической v2/2g энергии и
H остаётся неизменной во всех точках потока.
4.2. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли
Положение любой частицы жидкости относительно некоторой произвольной линии
нулевого уровня 0-0 определяется вертикальной координатой Z. Для реальных
гидравлических систем это может быть уровень, ниже которого жидкость из данной
гидросистемы вытечь не может. Например, уровень пола цеха для станка или уровень
подвала дома для домашнего водопровода.
1

Как и в гидростатике, величину Z называют нивелирной высотой.
p
 Второе слагаемое - g носит название пьезометрическая высота. Эта величина
соответствует высоте, на которую поднимется жидкость в пьезометре, если его
установить в рассматриваемом сечении, под действием давления P.
Z

Сумма первых двух членов уравнения
p
g  гидростатический напор.
u2
Третье слагаемое в уравнения Бернулли 2 g называется скоростной высотой или
скоростным напором. Данную величину можно представить как высоту, на которую
поднимется жидкость, начавшая двигаться вертикально со скорость u при отсутствии
сопротивления движению.
 Сумму всех трёх членов (высот) называют гидродинамическим или полным напором
и, как уже было сказано, обозначают буквой Н.
Все слагаемые уравнения Бернулли имеют размерность длины и их можно
изобразить графически.

Гидродинамическая
линия
u12
2g
u32
2g
u22
2g
Пьезометрическая
линия
P1
g
P3
g
P2
g
Пьезометры
ω1
ω2
u1
u2
u3
ω
2
1
1
Z1
Z2
Z3
33
4.3. Энергетическая интерпретация уравнения Бернулли
Выше было получено уравнение Бернулли с использованием энергетических
характеристик жидкости. Суммарной энергетической характеристикой жидкости является
её гидродинамический напор.
С физической точки зрения это отношение величины механической энергии к
величине веса жидкости, которая этой энергией обладает. Таким образом,
2
гидродинамический напор нужно понимать как энергию единицы веса жидкости. И для
идеальной жидкости эта величина постоянна по длине. Таким образом, физический смысл
уравнения Бернулли это закон сохранения энергии для движущейся жидкости.
P
u2
H z

g 2 g .
Физический смысл слагаемых, входящих в уравнение следующий:
 Z - потенциальная энергия единицы веса жидкости (удельная энергия) –
энергия, обусловленная положением (высотой) единицы веса жидкости
относительно плоскости сравнения (нулевого уровня), принимаемой за начало
отсчета;

P
g
- потенциальная энергия единицы веса жидкости - энергия, обусловленная
степенью сжатия единицы веса жидкости, находящейся под давлением
z



P;
P
g - полная потенциальная энергия единицы веса жидкости;
u2
2g
- кинетическая энергия единицы веса жидкости - энергия, обусловленная
движением единицы веса жидкости со скоростью u;
H - полная энергия единицы веса жидкости (полная удельная энергия).
4.4. Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости
В реальных потоках жидкости присутствуют силы вязкого трения. В результате
слои жидкости трутся друг об друга в процессе движения. На это трение затрачивается
часть энергии потока. По этой причине в процессе движения неизбежны потери энергии.
Эта энергия, как и при любом трении, преобразуется в тепловую энергию. Из-за этих
потерь энергия потока жидкости по длине потока, и в его направлении постоянно
уменьшается. Т.е. напор потока Hпотока в направлении движения потока становится
меньше. Если рассмотреть два соседних сечения 1-1 и 2-2, то потери гидродинамического
напора Δh составят:
h  H11  H 22 ,
где H1-1- напор в первом сечении потока жидкости,
H2-2 - напор во втором сечении потока,
∆h - потерянный напор - энергия, потерянная каждой единицей веса
движущейся жидкости на преодоление сопротивлений на пути потока от
сечения 1-1 до сечения 2-2.
С учётом потерь энергии уравнение Бернулли для потока реальной жидкости
будет выглядеть
2
2
P
V
P
V
Z1  1  1 1  Z 2  2   2 2  h.
g
2g
g
2g
Индексами 1 и 2 обозначены характеристики потока в сечениях 1-1 и 2-2.
Если учесть, что характеристики потока V и α зависят от геометрии потока, которая
для напорных потоков определяется геометрией трубопровода, понятно, что потери
энергии (напора) в разных трубопроводах будут изменяться неодинаково. Показателем
3
изменения напора потока является гидравлический уклон I, который характеризует
потери напора на единице длины потока. Физический смысл гидравлического уклона –
интенсивность рассеяния энергии по длине потока. Другими словами, величина I
показывает, как быстро трубопровод поглощает энергию потока, протекающего в нём
I
h
L1 2 .
Изменение энергии по длине потока удобно проследить на графиках. Из уравнения
Бернулли для потока реальной жидкости (закона сохранения энергии) видно, что
гидродинамическая линия для потока реальной жидкости (с одним источником энергии)
всегда ниспадающая. То же справедливо и для пьезометрической линии, но только в
V2

 сonst ,
2
g
случае равномерного движения, когда скоростной напор
а уменьшение
напора происходит только за счёт изменения потенциальной энергии потока, главным
образом за счёт уменьшения давления P.
4.5. Разность напоров и потери напора
Различие в применении терминов «разность напоров» и «потери напора» с одним и
H поясним на примерах.
Движение жидкости происходит только при наличии разности напоров H = H1 H2), от точки с бóльшим напором H1 к точке с меньшим H2. Например, если два бака,
заполненных водой до разных высотных отметок, соединить трубопроводом, то по нему
начнётся перетекание в бак с меньшей отметкой уровня воды под влиянием разности
H, равной в этом случае разности отметок уровней воды в баках. При
выравнивании уровней напоры в обоих баках становятся одинаковыми H1 = H2 , разность
напоров H=0 и перетекание прекращается.
Потери напора
H отражают потерю полной энергии потока при движении
жидкости. Если в предыдущем примере на трубе установить задвижку и закрыть её, то
движение воды прекратится и потерь напора не будет ( H = = 0), однако разность
уровней воды будет создавать некоторую разность напоров H. После открывания
задвижки вода вновь начнёт перетекать по трубе и общие потери напора в трубопроводе
при движении из одного бака в друго
H = H1 H2 , то есть мы опять пришли к уравнению Бернулли.
Таким образом, «разность напоров» является причиной движения воды, а «потеря
напора» — следствием. При установившемся движении жидкости они равны. Измеряются
они в одних и тех же единицах СИ: метрах по высоте.
Обычно в гидравлических задачах при известных v или q определяемая величина
H назывется потерей напора и, наоборот, при определении v или q
H —
разностью напоров.
6
7
4
1
3
5
бб
2
Рис. 11. Водоструйный насос: 1 - нагнетательный трубопровод;
2 - сопло; 3 - всасывающий трубопровод; 4 - горловина; 5 - отводящий трубопровод; 6 - напорная линия; 7 - пьезометрическая
линия
4
4.6. Связь давления и скорости в потоке
Связь давления и скорости в потоке жидкости — обратная: если в каком-то месте
потока скорость увеличивается, то давление здесь малó, и, наоборот, там, где скорости
невелики, давление повышенное. Эту закономерность объясним на основе уравнения
Бернýлли.
Рассмотрим работу водоструйного насоса (см. рис. 11). На подходе по нагнетательному трубопроводу 1 поток рабочей жидкости имеет относительно небольшую
скорость v1 и высокое избыточное давление pизб1. Проходя через соплó 2, поток сужается,
скорость его резко возрастает до v2. Для дальнейших рассуждений запишем уравнение
Бернýлли так:
pиз б1

v

2
1
2g

pиз б2

v

2
2
2g .
Здесь нет z1 и z2, так как труба горизонтальная, а величиной потерь напора H 0
пренебрегаем. Так как в правой части уравнения кинетическая составляющая энергии
потока резко возросла из-за увеличения v2, то потенциальная составляющая, связанная с
избыточным давлением после соплá pизб2, наоборот, уменьшится. Величину pизб2 можно
выразить из этого уравнения и найти численное значение. Если pизб2 получается отрицательным, то, значит, возник вакуум (полное давление в струе стало меньше
атмосферного). В последнем случае пьезометрическая линия опустится ниже отметки
самой струи (см. рис 11).
Таким образом в струе рабочей жидкости после соплá образуется область
пониженного давления или даже вакуум, что вызывает подсос транспортируемой жидкости по всасывающему трубопроводу 3 (см. рис. 11). Далее обе жидкости смешиваются в
горловине 4 и транспортируются по отводящему трубопроводу 5.
Водоструйные насосы не имеют трущихся частей, в этом их преимущество перед
механическими. По их принципу работают также эжекторы, гидроэлеваторы, насосы для
создания вакуума.
5