5 класс - Омские олимпиады
advertisement
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ИМЕНИ Г.П. КУКИНА 05.02.11 5 класс Довыводные задачи 05.02.11 5 класс Довыводные задачи г. Омск г. Омск Математическая олимпиада ИМИТ ОмГУ носит имя профессора Г.П. Кукина, создателя системы городских математических олимпиад. Математическая олимпиада ИМИТ ОмГУ носит имя профессора Г.П. Кукина, создателя системы городских математических олимпиад. 1. Расставьте в вершинах и серединах сторон треугольника числа 1, 2, …, 6 так, чтобы сумма любых трёх чисел, стоящих на одной стороне была одна и та же. 1. Расставьте в вершинах и серединах сторон треугольника числа 1, 2, …, 6 так, чтобы сумма любых трёх чисел, стоящих на одной стороне была одна и та же. 2. На листе клетчатой бумаги нарисован прямоугольник 5 на 7. Разрежьте его на 2. На листе клетчатой бумаги нарисован прямоугольник 5 на 7. Разрежьте его на несколько квадратиков так, чтобы один из квадратиков был меньше всех остальных. 3. У бедного Зязяки не было денег, и он взял взаймы у богатого Бябяки и купил в 3. У бедного Зязяки не было денег, и он взял взаймы у богатого Бябяки и купил в магазине 1 зяку и 3 бяки. После этого он продал на рынке 1 зяку по цене 4-х бяк, а 3 бяки по цене 2-х зяк. После возврата долга денег ему как раз хватило на покупку 4-х бяк в магазине. Во сколько раз в магазине зяка дороже бяки? 4. На дощечке написано два числа: с левой стороны написано число 17, а с правой – число 5. За один ход можно прибавить к числу, написанному с левой стороны, целое число, а число, написанное с правой стороны, умножить на то же самое число. Как уравнять числа на разных сторонах дощечки, сделав не более пяти ходов? 5. В Солнечном городе 6 улиц: на трех из них живут только коротышки-девочки, а трех других коротышки-мальчики. Улицы в городе либо параллельны, либо пересекаются под прямым углом. На каждом перекрестке, где пересекаются улицы девочек, построен салон красоты. На каждом перекрестке улиц мальчиков построен стадион, а на остальных перекрестках — школы. Сколько школ может быть в Солнечном городе, если в нем есть и стадионы, и салоны красоты? 6. Имеются три числа. Известно, что произведение первого числа на второе кончается на ноль, а произведение первого числа на третье и произведение второго числа на третье кончаются не на ноль. Может ли сумма всех трёх чисел кончаться на 3? МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ИМЕНИ Г.П. КУКИНА несколько квадратиков так, чтобы один из квадратиков был меньше всех остальных. магазине 1 зяку и 3 бяки. После этого он продал на рынке 1 зяку по цене 4-х бяк, а 3 бяки по цене 2-х зяк. После возврата долга денег ему как раз хватило на покупку 4-х бяк в магазине. Во сколько раз в магазине зяка дороже бяки? 4. На дощечке написано два числа: с левой стороны написано число 17, а с правой – число 5. За один ход можно прибавить к числу, написанному с левой стороны, целое число, а число, написанное с правой стороны, умножить на то же самое число. Как уравнять числа на разных сторонах дощечки, сделав не более пяти ходов? 5. В Солнечном городе 6 улиц: на трех из них живут только коротышки-девочки, а трех других коротышки-мальчики. Улицы в городе либо параллельны, либо пересекаются под прямым углом. На каждом перекрестке, где пересекаются улицы девочек, построен салон красоты. На каждом перекрестке улиц мальчиков построен стадион, а на остальных перекрестках — школы. Сколько школ может быть в Солнечном городе, если в нем есть и стадионы, и салоны красоты? 6. Имеются три числа. Известно, что произведение первого числа на второе кончается на ноль, а произведение первого числа на третье и произведение второго числа на третье кончаются не на ноль. Может ли сумма всех трёх чисел кончаться на 3? МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ИМЕНИ Г.П. КУКИНА 05.02.11 5 класс Выводные задачи 05.02.11 5 класс Выводные задачи г. Омск г. Омск Математическая олимпиада ИМИТ ОмГУ носит имя профессора Г.П. Кукина, создателя системы городских математических олимпиад. Математическая олимпиада ИМИТ ОмГУ носит имя профессора Г.П. Кукина, создателя системы городских математических олимпиад. 7. Все гномы делятся на лжецов и рыцарей. На каждой клетке доски 4 на 4 стоит по гному. Известно, что среди них есть и лжецы, и рыцари. Каждый заявил: среди моих соседей лжецов и рыцарей поровну. Сколько всего лжецов? (Два гнома считаются соседями, если они стоят в клетках, имеющих общую сторону) 8. По траве вереницей вплотную друг за другом ползут сороконожки. Длина каждой сороконожки — 10 сантиметров. В 12-00 сороконожки подползли к дорожке длиной 1 метр. Как только сороконожка поставит все 40 ножек на дорожку, она начинает ползти со скоростью 15 см/сек, а пока хотя бы одна её ножка на траве, она ползёт в 3 раза медленнее. Ровно в 12-01 последняя сороконожка сползла с дорожки и поставила свою последнюю ножку на травку. Сколько было сороконожек? 9. Можно ли расставить в клетках квадрата 33 натуральные числа от 1 до 9 так, чтобы сумма чисел в любых двух соседних по стороне клетках была меньше 11? А меньше 12? 10. Карандаш раскрасил деревянный кубик в соответствии с разверткой (см. рис. слева). Самоделкин распилил его на 8 кубиков и составил кубики обратно в виде куба раскрашенными гранями наружу. Гурвинек смотрит на кубик и видит, конечно, не все грани, а только три, повернутые к нему (см. рис. справа). Он утверждает, что знает, какой кубик лежит в дальнем от него углу. Какой? МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИМЕНИ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ Г.П. КУКИНА 7. Все гномы делятся на лжецов и рыцарей. На каждой клетке доски 4 на 4 стоит по гному. Известно, что среди них есть и лжецы, и рыцари. Каждый заявил: среди моих соседей лжецов и рыцарей поровну. Сколько всего лжецов? (Два гнома считаются соседями, если они стоят в клетках, имеющих общую сторону) 8. По траве вереницей вплотную друг за другом ползут сороконожки. Длина каждой сороконожки — 10 сантиметров. В 12-00 сороконожки подползли к дорожке длиной 1 метр. Как только сороконожка поставит все 40 ножек на дорожку, она начинает ползти со скоростью 15 см/сек, а пока хотя бы одна её ножка на траве, она ползёт в 3 раза медленнее. Ровно в 12-01 последняя сороконожка сползла с дорожки и поставила свою последнюю ножку на травку. Сколько было сороконожек? 9. Можно ли расставить в клетках квадрата 33 натуральные числа от 1 до 9 так, чтобы сумма чисел в любых двух соседних по стороне клетках была меньше 11? А меньше 12? 10. Карандаш раскрасил деревянный кубик в соответствии с разверткой (см. рис. слева). Самоделкин распилил его на 8 кубиков и составил кубики обратно в виде куба раскрашенными гранями наружу. Гурвинек смотрит на кубик и видит, конечно, не все грани, а только три, повернутые к нему (см. рис. справа). Он утверждает, что знает, какой кубик лежит в дальнем от него углу. Какой? РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 1. Начиная с какой-нибудь вершины расставим последовательно 5-34-2-6-1. Тогда на каждой стороне сумма чисел равна 12. 2. 3. В результате такой купли-продажи и после возврата долга у Зязяки осталось денег на сумму магазинной цены 1 зяки и 1 бяки. Поскольку 4 бяки стоят столько же, то цена 1 зяки равна цене 3 бяк. 4. Первыми тремя ходами прибавляем по 1 к левому числу и умножаем на 1 первое. В результате имеем пару чисел (20,5). Четвертым ходом к числу 20 прибавляем 5, а число 5 умножаем на 5. 5. Ответ: 4 или 5. Решение: 1) Т.к. есть две пересекающиеся улицы мальчиков (м1, м2) и две пересекающиеся улицы девочек (д1, д2), то уже имеется как минимум две школы. 2) Третья улица мальчиков м3 обязательно пересекается ровно с одной из улиц девочек д1 или д2, а третья улица девочек д3 ровно с одной из улиц мальчиков м1 или м2. Значит, имеется еще две школы, отличные от предыдущих, т.к. через один и тот же перекресток не может проходить более двух различных улиц. При этом если улицы м3 и д3 перпендикулярны, то они "образуют" еще одну школу, а если параллельны то нет. 6. Ответ: нет, не может. Решение. Ясно, что одно из двух первых чисел кончается либо на пять, либо на ноль. Но на ноль оно кончаться не может, так как тогда на ноль кончалось бы ещё одно из двух оставшихся произведений. Значит, одно из двух этих чисел (допустим, первое) кончается на. Тогда второе число чётное, а третье нечётное. Но тогда сумма всех трёх чисел есть число чётное и на 3 оканчиваться не может. 7. Ответ: 12. Решение: 1) Ясно, что все клетки с 3 соседями л л л л заняты лжецами. Оба соседа каждого гнома, л л стоящего в угловой клетке - лжецы, значит сами они л р л тоже лжецы. л л л л 2) Известно, что хотя бы один рыцарь на доске есть, значит стоит он в какой-то клетке оставшегося квадратика 2х2. Но, тогда оба из его оставшихся соседей также рыцари и, следовательно, оставшаяся клетка этого квадратика также занята рыцарем. 8. Ответ: 26 Решение: 1) Для начала заметим, что каждая сороконожка, дойдя до дорожки, заползает на нее 2 сек, и 2 сек ей требуется чтобы полностью сползти с дорожки на траву. Кроме того, по самой дорожке она бежит 90 см и пробегает их за 6 сек. 2) Будем следить за последней сороконожкой. Поскольку ей потребовалось 10 сек от начала дорожки и до самого конца путешествия, то по траве она бежала 50 сек и пробежала 250 см. Значит, в 12.00 перед ней стояли 25 сороконожек, а всего их было 26. 9. Ответ: 1) нет, 2) да. Решение: 1) Рассмотрим клетку, в которой стоит число 9. У нее по крайней мере 2 соседа, и наибольший из них это как минимум 2. Значит получаем сумму чисел 9+2=11. 2) Пример расстановки чисел: начиная с первой строки слева направо – 9,1,6,2,7,4,8,3,5. 10. Ответ: в дальнем от Гурвинека углу лежит маленький кубик, покрашенный красками 3-4-6. Решение. Какие кубики содержат грань с цветом 1? Кубики с цветами 1-2-5; 1-2-6; 1-5-4; 1-6-4. Очевидно, что правый верхний кубик это 1-5-4. Левый верхний кубик это 1-2-6. Дальний верхний кубик это 1-6-4 (больше никаких вариантов с цветом 1 не осталось). Левый и правый нижние кубики не могут содержать грань 4, потому что цвета 2 и 4 Карандаш разместил на противоположных гранях. Поэтому ближний нижний кубик и самый дальний нижний кубик это 3-4-5 и 3-4-6. Осталось разобраться, где какой. Понятно, что если кубики 3-4 смотрят на нас, то нижняя грань этого кубика будет 5 в соответсвии с разверткой куба. Поэтому нижний ближний кубик это 3-4-5, ну а нижний дальний это 3-4-6.
