Непрерывные функции

Тема 3
Непрерывные функции. Точки разрыва функции.
Теоретические вопросы
1. Определение непрерывной функции в точке.
2. Односторонние пределы. Точки разрыва функции и их
классификация.
3. Операции над непрерывными функциями: непрерывность суммы
конечного числа функций; непрерывность произведения
конечного числа функций; непрерывность частного двух
функций.
4. Непрерывность основных элементарных функций: непрерывность
линейной функции; непрерывность тригонометрических функций;
непрерывность показательной функции; непрерывность
логарифмической функции; непрерывность обратных
тригонометрических функций.
5. Теорема о сохранении знака непрерывной функции.
6. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Контрольные вопросы
1. Какие из следующих утверждений верны:
1) сумма двух функций, имеющих в точке х = а разрыв
первого рода, имеет в точке х = а разрыв первого рода;
2) произведение функции, имеющей в точке х = а разрыв
второго рода, и функции, непрерывной в точке х = а,
имеет в точке х = а разрыв второго рода;
3) сумма функции, имеющей в точке х = а разрыв второго
рода, и функции, непрерывной в точке х = а, может
иметь в точке х = а разрыв первого рода;
4) сумма функции, имеющей в точке х = а разрыв второго рода,
и функции, непрерывной в точке х = а , имеет в точке х = а
разрыв второго рода;
5) произведение двух функций, имеющих в точке х = а разрыв
второго рода, может иметь в точке х = а устранимый
разрыв;
6) сумма функции, имеющей в точке х = а разрыв первого
рода, и функции, имеющей в точке х = а разрыв второго
рода, может иметь в точке х = а разрыв первого рода;
7) сумма двух функций, имеющих в точке х = а разрыв
второго рода, может иметь в точке х = а разрыв
первого рода;
8) произведение функции, имеющей в точке х = а разрыв
первого рода, и функции, непрерывной в точке х = а,
имеет в точке х = а разрыв первого рода;
9) сумма функции, имеющей в точке х = а разрыв первого
рода, и функции, имеющей в точке х = а разрыв второго
рода, может иметь в точке х = а разрыв второго рода;
10) произведение функции, имеющей в точке х = а разрыв
первого рода, и функции, имеющей в точке х = а разрыв
второго рода, имеет в точке х = а разрыв второго рода;
11) сумма функции, имеющей в точке х = а устранимый
разрыв, и функции, непрерывной в точке х = а, может
быть функцией, непрерывной в точке х = а;
12) сумма функции, имеющей в точке х = а разрыв первого
рода, и функции, непрерывной в точке х = а , имеет в
точке х = а разрыв первого рода;
13) произведение двух функций, имеющих в точке х = а
разрыв первого рода, может иметь в точке х = а
разрыв второго рода;
14) сумма двух функций, имеющих в точке х = а разрыв второго
рода, имеет в точке х = а разрыв второго рода;
15) сумма функции, имеющей в точке х = а разрыв первого
рода, и функции, непрерывной в точке х = а , может быть
функцией, непрерывной в точке х = а;
16) произведение двух функций, имеющих в точке х = а разрыв
второго рода, имеет в точке х = а разрыв второго рода;
17) сумма двух функций, имеющих в точке х = а разрыв
первого рода, может быть непрерывной в точке х = а ;
18) сумма двух функций, имеющих в точке х = а разрыв
первого рода, может иметь в точке х = а разрыв второго
рода.
2. Какие из следующих утверждений верны:
1) множество значений функции, непрерывной на интервале,
является интервалом;
2) множество значений функции, непрерывной на интервале, может
быть отрезком;
3) если функция принимает на отрезке все промежуточные
значения, то она непрерывна на этом отрезке;
4) множество значений функции, непрерывной на отрезке, может
быть интервалом;
5) множество значений функции, непрерывной на всей числовой
прямой, может быть полуинтервалом;
6) множество значений функции, определённой на отрезке является
отрезком;
7) если функция имеет на отрезке наибольшее и наименьшее
значения, то она непрерывна на этом отрезке;
8) множество значений функции, непрерывной на всей числовой
прямой, может быть отрезком;
9) множество значений функции, определённой на отрезке может
быть интервалом;
10)если функция непрерывна на интервале, то она ограничена на
этом интервале;
11)любая функция, определённая на отрезке, ограничена на этом
отрезке;
12)любая функция, определённая на отрезке, имеет наибольшее
значение.
3. Привести пример двух разрывных в точке xо функций f(x)
и g(x), таких, что их сумма будет непрерывной в точке xо.
4. Привести пример двух разрывных в точке xо функций f(x)
и g(x), таких, что их произведение будет функцией,
непрерывной в точке xо.
5. Функции p(x) и k(x) разрывны в точке хо, f(x) = p(x)  k(x).
Можно ли утверждать, что функция f(x) разрывна в точке хо?
6. Функция p(x) непрерывна в точке хо , а функция k(x)
разрывна в точке хо, f(x) = p(x)  k(x). Можно ли утверждать,
что функция f(x) разрывна в точке хо?
7. Функции p(x) и k(x) разрывны в точке хо, f(x) = p(x) + k(x).
Можно ли утверждать, что функция f(x) разрывна в точке хо?
8. Функция p(x) непрерывна в точке хо , а функция k(x) разрывна в
точке хо, f(x) = p(x) + k(x). Можно ли утверждать, что функция
f(x) разрывна в точке хо?
9. Привести пример функции, непрерывной и неограниченной
на данном интервале.
9. Привести пример функции, заданной на отрезке и
неограниченной на этом отрезке?
10.Верно ли, что если функция f(x) непрерывна при x > 0 и
ограничена, то
существует
правостронний
предел
этой
функции в точке 0?
11.Является ли непрерывность функции в точке достаточным
условием её ограниченности в некоторой окрестности этой
точки?
12.Является ли непрерывность функции в точке необходимым
условием её ограниченности в некоторой окрестности этой
точки?
13.Всегда ли функция, непрерывная на отрезке, достигает на
этом отрезке наибольшего и наименьшего значений?
14. Может ли функция, непрерывная на интервале, достигать на
нём наибольшего и наименьшего значений?
15. Привести пример функции, имеющей устранимый разрыв в точке
а) х = 0;
б) х = 2; в) х = 2.
Задачи
для
практических
занятий
1. Найти
точки разрыва функции:
 2

если х  0;
 x,
а) f ( x)  
б) f ( x)   x 1,
2

если х  0.
 0,
1  x ,

в)
| x |
f ( x)   x ,
 0,

если
если
в каждой
если
х  0.
f ( x)  e
1
x 1
Исследовать функцию
в точке xо = 1.
3.
Исследовать функцию
4.
В каких точках имеют разрывы функции f ( x) 
f ( x) 
x
x2  4
на
точке разрыва
2.
1
х  0;
х  0;
х  0.
Определить скачок функции
и построить график.
g ( x) 
если
непрерывность
на непрерывность.
1
и
x2
? Выяснить разницу в поведении функций вблизи
2
( x  2)
точек разрыва.
5.
x 2 1
не определена
f ( x) 
3
x 1
Функция
в точке
x = 1.
Каким должно
доопределённая
6.
быть f (1) , чтобы функция,
таким образом стала непрерывной?
cos x
sin x
y
Функции
и
не определены в
y
x
x
точке x = 0. Указать характер графиков этих функций
в окрестности точки x = 0.
7.
Сколько точек разрыва ( и
1
функция
?
f ( x) 
ln | x |
8.
При каких
какого рода)
имеет
значениях параметров а и b функция

если
x   ;
  2 sin x,
2


f ( x)  a sin x  b, если   x   ;
2
2


 cos x,
если
x .

2
является непрерывной.
Задачи
для самостоятельной работы
1. Найти точки разрыва функции. Определить скачок функции в
каждой точке разрыва и построить график:
 sin x, если

x ,
x  1,

 x  5, если
2



если 1  x  6, б) f ( x)   x,
если
 x ,
а) f ( x)   x,
2
 1

, если
x  6;
x  .

cos x, если
x7

2. Установить характер разрыва функции f (x) в точке xо:
2
2
а) f ( x)  х 16 , xо =  4;
б) f ( x)  х  7 , xо = 4;
х4
х4
1
х
в) f ( x)  е , xо = 0;
г) f ( x)  tgx , xо =  ;
х2
2
д) f ( x)  sin x , xо =
 х2  4
2;
е) f ( x) 
sin( x  5)
, xо = -5;
x5
ж) f ( x)  arctg 1 , xо = 4;
x4
3. Исследовать функции на непрерывность:
2
3
2
2
а) f ( x)  3sin x  cos x 1 ; б) f ( x)  x sin x  x cos 2 x .
5 cos x
sin x( 1 )
cos x
4. а) Дана функция f ( x)  1 . Найти точки разрыва сложной
x 3
1
функции z 
.
2
f ( x)  f ( x )  2
б) Дана функция f ( x)  ln 1 . Найти точки разрыва функции
x
1  f 2 ( x)
.
z
2
1  f ( x)
в) Дана функция f ( x)  х . Найти точки разрыва сложной
х2
функции z = f(f(x)).
f ( x)  ln 1 . Найти точки разрыва сложной
x
функции z = f(f(x)).
г) Дана функция
5. Доопределить следующие функции в точке разрыва так, чтобы они
стали непрерывными:
2
tg 2 x
а) f ( x) 
;
б) f ( x)  4 x  5x ; в) f ( x)  4  x  2 ;
x
x
3x
2x
1

cos
г) f ( x) 
;
д) f ( x)  х  1 ;
e) f ( x)  1  x 1 ;
3 1  x 1
x3  1
x2
1
x
ж) f ( x)  sin x  sin 1 ; з) f ( x)  1  x  .
x
Проверочная работа № 3 – 0
(с решением)
1. Пользуясь определением, доказать непрерывность функции
f(x) = 4x2 5x + 2 в каждой точке xо R.
2. Найти точки разрыва функции

2,
если

f ( x)   4  x 2 , если




x  2,
если
x  2,
 2  x  2,
x  2.
Определить скачок функции в каждой точке разрыва и
построить график.
3. Исследовать функцию f(x) = arctg 2
на непрерывность
x 1
в точке xо = 1.
x 1
4. Найти точки разрыва функции f ( x) 
и
2
2
x ( x  3x  4)
определить их характер.
Решение проверочной работы № 3 – 0
1. Пусть х  приращение аргумента в точке xо R.
Найдем соответствующее приращение функции:
f  f ( x  x)  f ( x )  4( x  x) 2  5( x  x)  2  (4 x 2  5x  2) 
 4 x 2  8x  x  4(x) 2  5x  5x  2  4 x 2  5x  2 
 8x  x  4(x) 2  5x
Применяя теоремы о пределе суммы и пределе произведения функций,
получим:
lim f  lim (8x  x  4(x) 2  5x) 
x  0
x  0
 8x  lim x  4  lim (x) 2  5  lim (x)  0 .
x  0
x  0
x  0
Значит, по определению функция непрерывна в каждой точке
xо R.
2. Рассмотрим односторонние пределы функции в точках, в
которых меняется аналитическое задание функции числитель и
знаменатель обращаются в ноль):
x = 2 и x = 2.
При x  20 предел рассматривается слева от точки x = 2,
имеем:
lim
f ( x) 
lim 2  2
x  2  0
x  2  0
При x  2+0 предел рассматривается справа от точки x = 2,
имеем:
lim
f ( x) 
lim
4  x2  0 .
x  2  0
x  2  0
Так как односторонние пределы конечны, но не равны
lim
f ( x)  2 ,
lim
f ( x)  0 ,
x  2  0
x  2  0
то x = 2 является точкой разрыва I рода.
Скачок функции в этой точке разрыва равен 2.
Рассмотрим односторонние пределы при x 2 0 и x 2 +0:
lim f ( x)  lim
4  x2  0 ,
x  20
x  20
lim f ( x)  lim ( x  2)  0 .
x 20
x  20
Односторонние пределы конечны и равны, значит
существует предел функции в точке x = 2, но функция в этой
точке не определена. x = 2  точка устранимого разрыва.
f (x) = arctg 2 не определена в точке xо = 1,
x 1
нарушено условие существования f (1), значит, функция не
является непрерывной в этой точке.
Найдём односторонние пределы функции в этой точке:
lim arctg 2    , lim arctg 2   .
x 1
2 x 1 0
x 1 2
x  1 0
Они конечны, но не равны. Значит, нарушено и второе
условие существования предела функции в этой точке.
Итак, точка xо = 1  точка разрыва первого рода.
4. Представим данную функцию в виде:
x 1
x 1
f ( x) 

.
2
2
2
x ( x  3x  4) x ( x 1)( x  4)
3. Функция
Рассмотрим односторонние пределы функции в особых точках ( в
которых числитель и знаменатель обращаются в ноль):
x = 1,
x = 0, x = 4.
При x  10 предел рассматривается слева от точки x = 1, значит x
< 1 и |x 1| =  (x 1). Имеем:
x 1
1 x
lim
 lim

2
2
2
x
(
x

3
x

4
)
x 1 0
x  1  0 x ( x 1)( x  4)
1   1 .
lim
5
x  1  0 x 2 ( x  4)
При x  1+0 предел рассматривается справа от точки x = 1, значит
x > 1 и |x 1| = (x 1). Имеем:
x 1
x 1
lim
 lim

2
2
2
x  1  0 x ( x  3x  4) x  1  0 x ( x 1)( x  4)

1
1
lim
 .
x  1  0 x 2 ( x  4) 5
Так как односторонние пределы конечны, но не равны
x 1
x 1
1
1
lim
  , lim
 ,
5 x  1  0 x 2 ( x 2  3x  4) 5
x  1  0 x 2 ( x 2  3x  4)
то x = 1 является точкой разрыва I рода.

Рассмотрим односторонние пределы при x  0 и x  +0:
x 1
1 x
lim
 lim

2
2
2
x
(
x

3
x

4
)
x  0
x  0 x ( x 1)( x  4)
1
 lim
  .
2
x  0 x  (4)
Предел при x  +0 можно и не рассматривать,
поскольку x
= 0 уже является точкой разрыва II рода.
Наконец, при x  40 предел рассматривается
слева от
точки x = 4 и (x + 4) < 0. Имеем:
x 1
1 x
lim

lim

2
2
2
x
(
x

3
x

4
)
x  4  0
x  4  0 x ( x 1)( x  4)
1

lim
,
16

(
x

4
)
x  4  0
значит x = 4 является точкой разрыва II рода и второй
односторонний предел можно не рассматривать.
Ответ. x = 1 - точка разрыва I рода, x = 0 и x = 4 - точки
II рода.
разрыва