Решение неравенств второй степени

Решение неравенств второй степени
Неравенством второй степени называется неравенство вида ax2 + bx + c > 0 (или ax2 + bx + c
< 0, ax2 + bx + c 0 , ax2 + bx + c 0).
В зависимости от знака дискриминанта квадратного трехчлена D=b2— 4ac нужно
рассмотреть два случая:
1. Если D<0, а старший коэффициент а положителен, то при всех значениях х выполняется
неравенство ах2 + bх + с > 0.
2. Если D > 0, то для решения неравенства ах2 + bх + с > 0 нужно разложить квадратный
трехчлен на множители ах2 + bх + с по формуле ах +bх + с = а(х-х1)(х-х2), затем разделить
обе части неравенства а(х-х1)(х-х2) > 0 на число а, сохранив знак неравенства, если а>0, и
изменив знак неравенства на противоположный, если а<0, и перейти к неравенству (х-х1)(хх2) > 0.
Дальше используют тот факт, что произведение двух чисел положительно, если
сомножители имеют одинаковые знаки (если (х-х1)(х-х2) < 0, то сомножители имеют
противоположные знаки).
Пример 1. Решить неравенство x2 - 5x + 6 > 0.
Р е ш е н и е.
- 5x + 6 = 0 ↔ x1 = 2, x1 = 3 → x2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).
Отсюда x2 - 5x + 6 > 0 ↔ (x - 2)(x - 3) > 0 ↔
x2
↔
↔
↔
↔ x (- ;2) (3; ).
Ответ: x (- ;2) (3; ).
Замечание. Рассмотренное выше неравенство второй степени обычно решают либо
графически, либо методом интервалов, которые рассмотрены ниже. Однако приведенные выше
способы также имеют право на существование, т. к. они достаточно просты и наглядны.
Графическое решение неравенств второй степени:
Графиком квадратичной функции y = ах2 +bх + с является парабола с ветвями,
направленными вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0 (иногда говорят, что парабола направлена
выпуклостью вниз, если а > 0 и выпуклостью вверх, если а < 0).
При этом возможны три случая:
Парабола пересекает ось 0х (т. е. уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня):
1. Парабола имеет вершину на оси 0х (т. е. уравнение ах2 + х + с = 0 имеет один корень, так
называемый двукратный корень):
2. Парабола не пересекает ось 0х (т. е. уравнение ах2 +bх +
с = 0 не имеет действительных корней):
Пример 2. Решить неравенство x2 > 0.
Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию у = x2. Графиком этой функции является парабола, ветви
которой направлены вверх (парабола направлена выпуклостью вниз). Парабола пересекает ось Ох
в точке с абсциссой х = 0, так как х2 = 0 ↔ х = 0. Изобразив схематически параболу у = x2, найдем,
что у > 0 при x (- ;0) (0; ). На чертеже искомое множество заштриховано.
Ответ: x (- ;0) (0; ). .
Пример 3. Решить неравенство -2x2 + 3x + 2 > 0.
Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию у = -2x2 + 3x + 2. Ее
графиком является парабола, ветви которой направлены вниз
(парабола направлена выпуклостью вверх), т. к. а = —2 < 0.
-2x2 + 3x + 2 = 0 ↔ x1 = -(1/2), x2 = 2.
Изобразив схематически параболу у = -2х2 + 3х + 2, находим,
что у < 0 в каждом из бесконечных промежутков: (- ;1/2),
(2;+ ). Искомое множество заштриховано на чертеже.
Ответ: x (- ;1/2) (2;+ ).