ПРОГРАММА - Омский государственный педагогический

2
I. Пояснительная записка
Вступительный экзамен проводится в устной форме, оценки выставляются по пятибальной шкале. В основу настоящей программы положены
следующие дисциплины: математическая логика; алгебра; теория чисел.
Программа разработана экспертным советом Высшей аттестационной комиссии Министерства образования Российской Федерации по математике и
механике при участии Математического института им. В.А. Стеклова РАН
и Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. Основные компетенции, освоение которых осуществляется в ходе вступительного экзамена определяются содержанием.
II. Основное содержание (по разделам, темам)
Тема 1. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиения на классы, фактор-множество.
Тема 2. Группа. Примеры групп. Простейшие свойства групп. Подгруппы. Изоморфизм групп. Циклические группы и их описание.
Смежные классы группы по подгруппе и их свойства. Теорема Лагранжа. Понятия нормального делителя и фактор-группы.
Гомоморфизм групп. Ядро гомоморфизма и его свойства. Основная
теорема о гомоморфизмах.
Тема 3. Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства кольца. Подкольцо. Изоморфизм колец.
Понятие делимости в коммутативном кольце и его свойства. Делители нуля и единицы. Понятие ассоциированных элементов и его свойства.
Простые и составные элементы. Факториальные кольца.
Идеалы колец и операции над ними. Кольца главных идеалов (существование НОДа элементов, обрыв возрастающих цепочек главных идеалов
и факториальность в таких кольцах).
3
Сравнения по идеалу и его свойства. Факторкольцо по идеалу. Гомоморфизмы колец. Ядро гомоморфизма и его свойства. Основная теорема
о гомоморфизмах колец.
Поля частных. Существование поля частных для области целостности.
Евклидовы кольца и их свойства.
Система натуральных чисел. Принцип математической индукции.
Тема 4. Кольцо целых чисел. Характеристическое свойство целых
чисел. Существование и единственность системы целых чисел.
Теорема о делении с остатком для целых чисел. Наибольший общий
делитель и наименьшее общее кратное двух чисел.
Простые числа.
Бесконечность множества простых чисел. Кано-
ническое разложение составного числа и его единственность.
Основные свойства сравнений. Полная и приведенная системы вычетов. Теорема Эйлера и Ферма. Линейные сравнения с одной переменной.
Приложение теоремы сравнений к выводу признаков делимости. Превращение обыкновенной дроби в десятичную и определение длины десятичной дроби.
Тема 5. Поле. Простейшие свойства поля. Поле рациональных чисел.
Характеристическое свойство рациональных чисел. Существование и единственность системы рациональных чисел.
Упорядоченное поле. Система действительных чисел. Характеристическое свойство действительных чисел. Существование (идея док-ва)
и единственность системы действительных чисел.
Поле комплексных чисел. Характеристическое свойство комплексных
чисел. Существование и единственность системы комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел и операций над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Система кватернионов и алгебра Кэли (октав). Линейные алгебры конечной размерности и обобщенная теорема Фробениуса.
4
Понятие алгебраического и трансцендентного числа. Аннулирующий и минимальный многочлены алгебраического числа. Существование и
единственность минимального многочлена. Степень алгебраического числа.
Тема 6. Понятие простого расширения поля. Строение простого и
простого алгебраического расширения. Освобождение от иррациональности
в знаменателе дроби.
Понятие конечного расширения поля. Теорема о конечной возрастающей цепочки конечных расширений. Конечность простого алгебраического расширения.
Понятие составного расширения и его минимальность. Строение составного расширения. Понятие составного алгебраического расширения и
связь этого понятия с понятием конечного расширения. Алгебраичность
всех элементов составного алгебраического расширения.
Теорема о том, что множество всех алгебраических чисел есть поле.
Алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел. Вопрос о конечномерности поля алгебраических чисел над полем.
Тема 7. Понятие выражения в радикалах и его свойства. Область рациональности уравнения. Необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения в радикалах. Понятие пифагорова расширения, его свойства и связь с понятием выражения в квадратных радикалах. Разрешимость
кубических уравнений в квадратных радикалах. Примеры задач, сводящихся к уравнениям, неразрешимым в квадратных радикалах: о квадратуре круга, удвоение куба и трисекции угла.
Числа, допускающие построение циркулем и линейкой. Признаки
разрешимости и неразрешимости задач на построение. Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки.
Операции над матрицами и их свойства. Ранг матрицы, его вычисление. Обратимость квадратной матрицы. Практические способы
нахождения обратной матрицы.
5
Понятие определителя n-го порядка. Свойства определителей. Основные методы вычисления определителей. Условие равенства нулю определителя. Миноры и алгебраические дополнения. Правило разложения
определителя по строке.
Тема 8. Векторное пространство. Примеры и простейшие свойства
векторных пространств. Линейная зависимость и независимость системы
векторов. Базис и ранг конечной системы векторов.
Следствие системы линейных уравнений. Равносильные системы линейных уравнений. Критерии совместности системы линейных уравнений.
Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных и по правилу Крамера.
Базис и размерность конечномерного векторного пространства. Подпространства. Линейные многообразия. Изоморфизмы векторных пространств.
Евклидовы пространства. Скалярное произведение в векторном пространстве. Понятие евклидова пространства. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации. Норма вектора и угол между векторами. Ортонормированный базис евклидова пространства. Изоморфизмы евклидовых пространств.
Тема 9. Линейные операторы. Задание линейного оператора с помощью отображения базиса. Матрица линейного оператора. Операции над линейными операторами. Изоморфизм линейных алгебр матриц и операторов.
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора и их
свойства. Необходимые и достаточные условия существования собственных
векторов. Характеристическое уравнение линейного оператора и его независимость от базиса. Возможность приведения матриц линейного оператора
к диагональному виду.
Полиномы над полем. Наибольший общий делитель двух многочленов и алгоритм Евклида. Разложение полинома в произведение неприводимых множителей и его единственность.
6
Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Сопряженность мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами.
Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.
Тема 10. Многочлены над полем рациональных чисел. Нахождение
рациональных корней.
Примитивные многочлены и лемма Гаусса о них. Связь между приводимостью многочленов над областью целостности и над его полем частных.
Приводимость и неприводимость многочленов над полем рациональных чисел. Критерий Эйзенштейна.
Симметрические многочлены и их свойства. Основная теорема о
симметрических многочленах, ее следствие и приложение к освобождению
от иррациональности в знаменателе дроби.
III. Вопросы и экзаменационные задания
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиения на
классы, фактор-множество.
Группа. Примеры групп. Простейшие свойства групп. Подгруппы.
Изоморфизм групп. Циклические группы и их описание.
Смежные классы группы по подгруппе и их свойства. Теорема Лагранжа. Понятия нормального делителя и фактор-группы.
Гомоморфизм групп. Ядро гомоморфизма и его свойства. Основная
теорема о гомоморфизмах.
Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства кольца. Подкольцо.
Изоморфизм колец.
Понятие делимости в коммутативном кольце и его свойства. Делители нуля и единицы. Понятие ассоциированных элементов и его свойства.
Простые и составные элементы. Факториальные кольца.
Идеалы колец и операции над ними. Кольца главных идеалов (существование НОДа элементов, обрыв возрастающих цепочек главных идеалов
и факториальность в таких кольцах).
7
Сравнения по идеалу и его свойства. Факторкольцо по идеалу. Гомоморфизмы колец. Ядро гомоморфизма и его свойства. Основная теорема
о гомоморфизмах колец.
Поля частных. Существование поля частных для области целостности.
Евклидовы кольца и их свойства.
Система натуральных чисел. Принцип математической индукции.
Кольцо целых чисел.
Характеристическое свойство целых чисел.
Существование и единственность системы целых чисел.
Теорема о делении с остатком для целых чисел. Наибольший общий
делитель и наименьшее общее кратное двух чисел.
Простые числа.
Бесконечность множества простых чисел. Кано-
ническое разложение составного числа и его единственность.
Основные свойства сравнений. Полная и приведенная системы вычетов. Теорема Эйлера и Ферма. Линейные сравнения с одной переменной.
Приложение теоремы сравнений к выводу признаков делимости. Превращение обыкновенной дроби в десятичную и определение длины десятичной дроби.
Поле. Простейшие свойства поля. Поле рациональных чисел. Характеристическое свойство рациональных чисел. Существование и единственность системы рациональных чисел.
Упорядоченное поле. Система действительных чисел. Характеристическое свойство действительных чисел. Существование (идея док-ва)
и единственность системы действительных чисел.
Поле комплексных чисел. Характеристическое свойство комплексных
чисел. Существование и единственность системы комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел и операций над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Система кватернионов и алгебра Кэли (октав). Линейные алгебры конечной размерности и обобщенная теорема Фробениуса.
8
Понятие алгебраического и трансцендентного числа. Аннулирующий и минимальный многочлены алгебраического числа. Существование и
единственность минимального многочлена. Степень алгебраического числа.
Понятие простого расширения поля. Строение простого и простого
алгебраического расширения. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.
Понятие конечного расширения поля. Теорема о конечной возрастающей цепочки конечных расширений. Конечность простого алгебраического расширения.
Понятие составного расширения и его минимальность. Строение составного расширения. Понятие составного алгебраического расширения и
связь этого понятия с понятием конечного расширения. Алгебраичность
всех элементов составного алгебраического расширения.
Теорема о том, что множество всех алгебраических чисел есть поле.
Алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел. Вопрос о конечномерности поля алгебраических чисел над полем.
Понятие выражения в радикалах и его свойства. Область рациональности уравнения. Необходимое и достаточное условие разрешимости
уравнения в радикалах. Понятие пифагорова расширения, его свойства и
связь с понятием выражения в квадратных радикалах. Разрешимость кубических уравнений в квадратных радикалах. Примеры задач, сводящихся к
уравнениям, неразрешимым в квадратных радикалах: о квадратуре круга,
удвоение куба и трисекции угла.
Числа, допускающие построение циркулем и линейкой. Признаки
разрешимости и неразрешимости задач на построение. Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки.
Операции над матрицами и их свойства. Ранг матрицы, его вычисление. Обратимость квадратной матрицы. Практические способы
нахождения обратной матрицы.
9
Понятие определителя n-го порядка. Свойства определителей. Основные методы вычисления определителей. Условие равенства нулю определителя. Миноры и алгебраические дополнения. Правило разложения
определителя по строке.
Векторное пространство. Примеры и простейшие свойства векторных
пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов.
Следствие системы линейных уравнений. Равносильные системы линейных уравнений. Критерии совместности системы линейных уравнений.
Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных и по правилу Крамера.
Базис и размерность конечномерного векторного пространства. Подпространства. Линейные многообразия. Изоморфизмы векторных пространств.
Евклидовы пространства. Скалярное произведение в векторном пространстве. Понятие евклидова пространства. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации. Норма вектора и угол между векторами. Ортонормированный базис евклидова пространства. Изоморфизмы евклидовых пространств.
Линейные операторы. Задание линейного оператора с помощью отображения базиса. Матрица линейного оператора. Операции над линейными
операторами. Изоморфизм линейных алгебр матриц и операторов. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора и их свойства. Необходимые и достаточные условия существования собственных
векторов. Характеристическое уравнение линейного оператора и его независимость от базиса. Возможность приведения матриц линейного оператора
к диагональному виду.
Полиномы над полем. Наибольший общий делитель двух многочленов и алгоритм Евклида. Разложение полинома в произведение неприводимых множителей и его единственность.
10
Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Сопряженность мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами.
Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.
Многочлены над полем рациональных чисел. Нахождение рациональных корней.
Примитивные многочлены и лемма Гаусса о них. Связь между приводимостью многочленов над областью целостности и над его полем частных.
Приводимость и неприводимость многочленов над полем рациональных чисел. Критерий Эйзенштейна.
Симметрические многочлены и их свойства. Основная теорема о
симметрических многочленах, ее следствие и приложение к освобождению
от иррациональности в знаменателе дроби.
IV. Список литературы для подготовки
а) источники
1. Ф.Л.Варпаховский, А.С.Солодовников. Алгебра (элементы теории множеств,
линейные уравнения) М.: Просвещение, 1981.
2. Ф.Л.Варпаховский, А.С.Солодовников. Алгебра (группы, кольца, поля и т.д.)
М.; Просвещение, 1978.
3. Н.Я.Виленкин. Алгебра и теория чисел. Ч.З. М.; Просвещение. 1974.
4. Э.Б.Винберг. Алгебра многочленов. М.: Просвещение, 1980.
5. Л.А.Калужнин. Введение в общую алгебру. М.: Наука, 1973.
6. М.И.Каргаполов, Ю.И.Мерзляков. Основы теории групп. М.: Наука, 1972.
7. А.И.Кострикин. Введение в алгебру. М.: Физматгиз, 2000.
8. Л.Я.Куликов. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979.
9. А.Г.Курош. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1962.
10. Е.С.Ляпин, А.Е.Евсеев. Алгебра и теория чисел. Ч.2 М.; Просвещение, 1978.
11. Л.М.Мартынов. Элементы алгебры и теории чисел. Омск: СибАДИ, 2004.
12. Ш.Х.Михелович. Теория чисел. М.: Высшая школа, 1967.
13. В.И.Нечаев. Числовые системы. М.; Просвещение, 1975.
14. Л.Я.Окунев. Высшая алгебра. М.: Просвещение, 1966.
15. М.И.Редьков. Кольца и идеалы. Омск, ОГПИ, 1973.
16. М.И.Редьков Элементы теории полей. Омск, ОГПИ, 1975.
11
17. М.И. Редьков. Числовые системы (Методические рекомендации к изучению
курса "Числовые системы"). Ч. 1. Омск: ОГПИ, 1984.
18. М.И.Редьков. Системы действительных и комплексных чисел (Методические
рекомендации к изучению курса "Числовые системы").Ч. 2, Омск: ОГПИ, 1984.
б) основная литература
А.Г.Курош. Курс высшей алгебры. СПб.: Лань, 2013.
в) дополнительная литература
М.И.Каргаполов, Ю.И.Мерзляков. Основы теории групп. СПб.: Лань, 2009.
Ю.Н.Смолин. Числовые системы. СПб.; Лань, 2009.
Л.Я.Окунев. Высшая алгебра. СПб.; Лань, 2009.
г) программное обеспечение и Интернет-ресурсы
http://google.ru