МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ С -П

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВ АНИЯ И НАУКИ РОССИЙС КОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
СЕРВИСА И ЭКОНОМИКИ
КАФЕДРА «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ЭКОНОМЕТРИКА»
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ НАПРАВЛЕНИЙ 010400.62
«ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА» И
080100.62 «ЭКОНОМИКА», ВСЕХ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ
Санкт-Петербург
2011
Одобрены на заседании кафедры «Прикладная математика и эконометрика», протокол №2 от 20.09.2011 г.
Одобрены и рекомендованы к изданию Учебно-методическим советом
СПбГУСЭ, протокол № 2 от 16.11.2011 г.
Богданова С.П. Математический анализ. Методические указания по выполнению контрольных работ для студентов направлений 010400.62 «Прикладная математика и информатика» и 080100.62 «Экономика», всех форм
обучения. / С.П. Богданова, М.С. Юрьев – СПб.: Изд-во СПбГУСЭ, 2011. – 59 с.
Сборник содержит теоретическое содержание курса «Математический
анализ», задания для контрольных работ и методические указания для их выполнения по всем разделам математического анализа, предусмотренных учебными планами направлений в соответствии с Федеральным государственным
образовательным стандартов III поколения.
Каждая контрольная работа состоит из задач одной или нескольких тем
данного сборника, выбранных в соответствии с рабочей программой.
Перечень тем сборника, необходимых для выполнения контрольных работ по каждому из направлений, сообщается студентам в начале семестра.
СОСТАВИТЕЛИ: канд. физ.-мат. наук, доц. Богданова С.П.
канд. физ.-мат. наук, доц. Юрьев М.С.
РЕЦЕНЗЕНТ: канд. физ.-мат. наук, проф. Шерстюк А.И.
2
© Санкт-Петербургский государственный университет
сервиса и экономики
2011 г.
3
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................. 5
I. ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ................................... 6
II. ФОРМИРОВАНИЕ ЗАДАНИЙ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ............................... 6
ІIІ. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» ............................................................................ 7
ІV. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ ..................................................................... 12
V. ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ ......................................................... 49
СПИСОК УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ........................................................................ 81
4
ВВЕДЕНИЕ
Сборник заданий содержит материалы для самостоятельных и контрольных работ. В сборник входит комплекс теоретических вопросов и практических заданий, позволяющий сформировать структуру общекультурных и
профессиональных компетенций у студентов-бакалавров в результате изучения
курса математического анализа:
 Способность использовать в научной и познавательной деятельности, а также
в социальной сфере профессиональные навыки работы с информационными и
компьютерными технологиями;
 Способность работы с информацией из различных источников, включая сетевые ресурсы сети интернет, решения профессиональных и социальных задач;
 Способность к интеллектуальному, культурному, нравственному и профессиональному саморазвитию, стремление к повышению своей квалификации и
мастерства;
 Способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат методов оптимизации;
 Способность в составе научно-исследовательского и производственного коллектива решать задачи оптимизации социально-экономических процессов;
 Способность критически переосмысливать накопленный опыт и изменять при
необходимости вид и характер своей профессиональной деятельности;
 Способность собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных научных исследований, необходимых для моделирования и оптимизации
социально-экономических процессов;
 Способность составлять и контролировать план выполняемой работы, планировать необходимые для выполнения работы ресурсы собственной работы.
5
I. ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Методические указания по выполнению контрольных работ предназначены для студентов очного и заочного отделений направлений 010400.62
«Прикладная математика и информатика» и 080100.62 «Экономика».
1. Контрольные работы следует выполнять в ученических тетрадях в клетку. На обложке необходимо указать: название университета; название кафедры
(прикладная математика и эконометрика); название и номер контрольной работы; название (номер) направления; фамилию, имя, отчество и личный шифр
студента.
2. На каждой странице надо оставить поля размером 4см для оценки решения задач и методических указаний проверяющего работу.
3.Условия задач переписывать полностью необязательно, достаточно указать номер задания по данному сборнику.
4. Задания в контрольной работе нужно располагать в порядке возрастания номеров.
II. ФОРМИРОВАНИЕ ЗАДАНИЙ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Каждая контрольная работа может состоять из заданий одной или нескольких тем. Номера тем и заданий для выполнения контрольной работы указывает преподаватель. Прежде чем приступить к выполнению контрольной
работы, студент должен изучить теоретический материал в соответствии с разделом ІІI и рассмотреть решение заданий в соответствии с разделом IV.
6
ІIІ. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ И
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ
Тема 1. Предел функции. Непрерывность функции.
Множества, операции над ними. Действительные числа. Ограниченные
числовые множества. Понятие sup и inf. Числовая последовательность и ее
предел. Монотонные последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Число “e”. Натуральные логарифмы.
Предел функции. Определение непрерывности функции в точке. Свойства
функций непрерывных в точке. Разрывы функции в точке и их классификация.
Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их
свойства. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями. Сравнение бесконечно малых функций. Условие эквивалентности. Замечательные пределы. Теоремы о функциях непрерывных на отрезке.
Тема 2. Дифференцирование функции одной переменной. Исследование функций с помощью производных.
Задачи, приводящие к понятию производной. Производная, её геометрический и физический смысл. Таблица производных элементарных функций. Дифференциал функции 1-го порядка и его геометрический смысл. Инвариантность
формы дифференциала 1-го порядка. Оценка погрешности при замене приращения функции ее дифференциалом. Производная сложной и обратной функций.
Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. Точки экстремума функции. Теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Формула Маклорена. Различные формы представления остаточного члена. Использование формул Тейлора и
Маклорена в приближенных вычислениях и прикладных задачах.
Исследование функции. Условия монотонности функции. Экстремум
функции. Достаточные условия существования локального экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на
отрезке. Асимптоты графика функций. Точки перегиба. Общая схема исследования функции и построение ее графика.
7
8
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО
ПРИЛОЖЕНИЯ
Тема 3. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Приложения определенных интегралов.
Понятие первообразной. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов. Замена переменной и интегрирование по
частям в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей.
Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница, ее
применение для вычисления определенных интегралов. Несобственные интегралы I и II рода.
Геометрические и механические приложения определенного интеграла.
РЯДЫ
Тема 4. Числовые и степенные ряды.
Числовые ряды. Определение суммы ряда. Понятие сходимости (расходимости) рядов. Необходимый признак сходимости. Действия с рядами. Знакоположительные ряды. Признаки сходимости знакоположительных рядов.
Знакопеременные ряды, ряды с комплексными членами. Абсолютная и условная сходимости. Признак Лейбница. Теорема об абсолютно сходящихся рядах.
Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость.
Признак Вейерштрасса о равномерной сходимости ряда. Свойства равномерно
сходящихся рядов: почленное дифференцирование и интегрирование. Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды. Приложение рядов. Тригонометрические
ряды. Ряды Фурье. Разложение периодических функций в тригонометрический
ряд Фурье. Теорема Дирихле. Разложение в ряд Фурье функций с произвольным периодом. Интеграл Фурье.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
9
Тема 5. Функции нескольких переменных.
Понятие функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции, непрерывность. Частные производные. Дифференцируемость
функции нескольких переменных, полный дифференциал, связь с частными
производными. Достаточные условия дифференцируемости. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях. Производные от сложных
функций. Полная производная. Полный дифференциал. Инвариантность формы полного дифференциала. Неявные функции. Теорема существования. Производная неявной функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных.
Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков.
Производная по направлению. Градиент. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия максимума и минимума функции нескольких переменных. Понятие условного экстремума.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Тема 6. Двойные и тройные интегралы.
Определение двойного интеграла и его свойства. Вычисление двойного
интеграла в прямоугольной системе координат. Замена переменных в двойном интеграле. Полярные координаты. Приложения двойного интеграла.
Определение тройного интеграла и его свойства. Вычисление тройного
интеграла в прямоугольной системе координат. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты. Приложения
тройного интеграла.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Тема 7. Криволинейные и поверхностные интегралы.
Задачи, приводящие к криволинейным интегралам. Определение криволинейных интегралов первого рода и их приложения (масса кривой). Определение криволинейных интегралов второго рода их основные свойства и вы10
числения. Приложения криволинейных интегралов второго рода. Формула
Грина. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути
интегрирования.
Определение поверхностных интегралов первого и второго рода, их
свойства и вычисление. Теоремы Остроградского- Гаусса и Стокса. Потенциальные и соленоидальные поля.
11
ІV. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ И
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ
Тема 1. Предел функции. Непрерывность функции.
Задание 1.1
Вычислить предел lim
x 5
2 x 2  11x  5
x 2 7 x  10
Решение:
0
В данном задании имеет место неопределенность   .
0
1
2( x  5)( x  )
2 x 2  11x  5  0 
2  lim 2x  1  9  3.
lim 2
    lim
x 5 x 7 x  10
 0  x5 ( x  5)( x  2) x5 x  2 3
Задание 1.2
Вычислить предел xlim


x2  x  x

Решение:
Имеем неопределенность вида    . Умножим и разделим данное выражение на сопряженное
lim
x 

 lim
x 
12
x2  x  x




x2  x  x :

       lim
x
x2  x  x
x2  x  x

x 

 lim
x 

x2  x  x
x2  x  x
x
 2

1
 x 1    x 


x



 lim
x 

  lim
x 
x
 

1
x   1    1
 

x



x2  x  x2
x2  x  x
 lim
x 


1
1

1    1
x


1
2
Итак, xlim



x2  x  x 
1
.
2
Задание 1.3
Вычислить предел
cos 6 x  cos 4 x
x 0
ln(1  5 x 2 )
lim
Решение :
Выполним тригонометрические преобразования в числителе:
cos 6 x  cos 4 x  2 sin
6x  4x
6x  4x
sin
 2 sin 5 x sin x
2
2
0
Имеем неопределенность вида   . В числителе и знаменателе перейдем к эк0
вивалентным бесконечно малым
Так как sin x~x , sin 5x~5x , ln(1  5 x2 )~5x 2 при x  0 , то
cos 6 x  cos 4 x
2 sin 5 x sin x
2  5 x  x
 lim
 lim
 2 .
2
2
x 0
x 0
x 0
ln(1  5 x )
ln(1  5 x )
5x2
lim
Задание 1.4
x 1 

 x  3

Вычислить предел lim

x 
x2
Решение :
1
x(1  )
x  1 
x  1 , а показатель степени x  2  
Предел основания lim
    lim
,
x  x  3
x 
3

 
x(1  )
x
т.е. имеет место неопределенность 1  . Применим II замечательный предел
x
1

lim 1    e
x 
x

4
 x 1 
lim 

x  x  3


x2
 x 3 4 
 lim 

x 
 x3 
x2
x 3 x 3


4

4




 lim 1 
 
x  
x

3




( x  2)
e
lim
x 
4 x  8
x 3
 e4 .
13
Задание 1.5
Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции и
определить их тип. Построить схематический график функции:
 1  x2 ,  1  x  0


f ( x)  1,
0 x2
 x  2,
x2


Решение:
Условие непрерывности функции f ( x) в точке x0 : lim f ( x)  lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0  0
x  x0  0
На каждом из интервалов:  1, 0 ,  0, 2 ,  2,  функция непрерывна.
Остаётся проверить точки, лежащие на границе указанных интервалов:
1) x=0
lim f ( x)  lim
x 0 0
x 0 0
1  x 2  1;
lim f ( x)  lim 1  1 ;
x 0  0
x 0  0
f (0)  1  0 2  1 .
Условие непрерывности выполняется, т.о. точка х=0 не является точкой разрыва
функции.
2) x=2
lim f ( x)  lim 1  1 ,
x 20
x20
lim f ( x)  lim x  2  0 .
x2 0
14
x2 0
Поскольку пределы слева и справа конечны и не равны друг другу, имеем в
точке x=2 разрыв I рода (скачок – δ=1)
Изобразим график данной функции (рис. 1).
Рис. 1
Задание 1.6
Исследовать функцию f x   5
1
x 3
 1 на непрерывность.
Решение:
Область определения функции (ООФ):  , 3  3,
Данная функция непрерывна во всех точках, кроме x  3 , которая не входит в
ООФ. Исследуем поведение функции в окрестности этой точки
lim f x   lim 5
x30
1
x 3
x30
lim f x   lim 5
x 3 0
x 3 0
1  5
1
x 3
1
0
1 5
 1  5   1  1
1
0
 1  5   1  
1
Так как lim f  x   lim 5 x 3  1  2 , то y=2 – горизонтальная асимптота.
x 
x 
15
Следовательно, x  3 – является точкой разрыва II рода, так как один из пределов бесконечный.
Изобразим график этой функции в окрестности точки x  3 (рис. 2).
Рис. 2
Тема 2. Дифференцирование функций одной переменной. Исследование функций с помощью производных.
Задание 2.1
Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти производную функции:
y
x
3
1  x3
Решение:
16

x
y   
3
3
 1 x

1
1  x 
3 3

 
 



 ( x)  3 1  x 3  x 3 1  x 3
 

2

3

1  x3
1  x3
3
x3
1  x3 
1  x 
1  x 
3 2
3
3
3 2

1  x3  x3
1  x 
3 3
1  x3

.
Задание 2.2
Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти производную функции:
y  (1  ctg 2 3x)e  x
Решение:

y    (1  ctg 2 3 x)e  x   (1  ctg 2 3 x) e  x  (1  ctg 2 3 x)(e  x )  

6ctg 3x  e  x
6ctg 3x
e x

2
x
x 
2

(1

ctg
3
x
)
e

e


1

ctg
3
x


 6ctg 3x  1 .


2
sin 2 3 x
sin 2 3 x
 sin 3 x

Задание 2.3
Найти производную функции y  ( x 3  5)ctgx
Решение:
17
Для нахождения производной заданной функции применим метод логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем обе части равенства
y  ( x3  5)ctgx по основанию e:

ln y  ctgx ln x 3  5

Продифференцируем обе части равенства по переменной x , рассматривая y
как функцию x:
y
1
3x 2
3
,
  2  ln x  5  ctgx  3
y
sin x
x 5


Умножим обе части равенства на y и подставим вместо y его выражение:
y  ( x 3  5) ctgx
В результате находим y  :
 ln  x3  5 
3x 2 
3
ctgx

.

y  ( x  5)

 ctgx  3
sin 2 x
x  5


Задание 2.4
Вычислить производную y x , если дифференцируемая функция y  y (x) задана
неявно равенством x 2 y 3  cos 2 y  sin x
Решение:
Продифференцируем левую и правую части равенства, используя правила
дифференцирования и рассматривая y как функцию от x:
2 xy 3  x 2 3 y 2 y x  sin(2 y )2 y x  cos x
Найдем из полученного равенства y x :
(3x 2 y 2  2 sin 2 y ) yx  cos x  2 xy 3
yx 
18
cos x  2 xy 3
3x 2 y 2  2 sin 2 y .
Задание 2.5
Вычислить производные y x' , y xx функции y  y (x) , заданной параметрическими
 x  sin 2 t
уравнениями 
3
 y  cos t
Решение:
Находим производные функций x и y по переменной t :
xt'  2 sin t  cos t
yt'  3 cos 2 t  sin t
Искомая производная равна
y x' 
yt'  3 cos 2 t  sin t
3

  cos t.
'
2 sin t  cos t
2
xt
Найдем вторую производную y xx :
y xx 

y 
'
x
'
t
x
t
3
sin t
3
2


.
2 sin t  cos t 4 cos t
Задание 2.6
С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции y 
( x  1) 2
.
( x  1)3
1) Область определения функции:
x  1  0,
x  1 , D( y )  (;1)  (1;) ;.
19
2)Функция общего вида и непериодическая.
3) Точки пересечения графика функции с осями координат:
с осью ОY:
x=0, y=1  0,1
c осью ОХ:
y=0, x=1  1,0.
4) Интервалы знакопостоянства функции:
При x  (; 1) , f ( x)  0,
x  (1; ) , f ( x)  0.
5) Асимптоты функции:
а) вертикальная:
х=-1 – точка разрыва второго рода, так как
( x  1) 2  4 
    ,
x 1 0 ( x  1)3
 0 
lim
( x  1) 2  4 
    ;
x 1 0 ( x  1)3
 0 
lim
значит х=-1 – вертикальная асимптота.
б) наклонная асимптота y  kx  b :
k  lim
x 
f ( x)
( x  1) 2
x2  2 x  1
 lim

lim
0
x  x( x  1)3
x  x 4  3x 3  3x 2  x
x
x2  2 x  1
0.
x  x 3  3x 2  3x  1
b  lim( f ( x)  kx)  lim
x 
Следовательно, наклонных асимптот нет, график функции имеет горизонтальную асимптоту y=0 .
6) Определим интервалы возрастания и убывания функции и ее точки экстремума, для чего вычислим первую производную:
20
(( x  1)2 )( x  1)3  ( x  1) 2 (( x  1)3 ) 2( x  1)( x  1)3  ( x  1) 2  3( x  1) 2
y( x) 


(( x  1)3 ) 2
( x  1)6

( x  1)2 ( x  1)(2( x  1)  3( x  1)) ( x  1)(5  x)

( x  1)6
( x  1) 4
Из условия y( x)  0
нарные точки:
Таким образом,
( x  1)(5  x)
 0,
( x  1) 4
, то есть
( x  1)(5  x)  0 находим стацио-
x1  1, x2  5 . К ним добавим точку разрыва функции x  1.
x1  1, x2  5 , x  1 – критические точки.
Определим знак первой производной на каждом из полученных интервалов и
отметим стрелками характер монотонности функции на диаграмме:
y

─
─
+
y
1
5
1
X
х1=1 – точка минимума; ymin=y(1)=0,
x2=5 – точка максимума; ymax=y(5)=
2
27
7) Определим интервалы выпуклости графика функции и точки перегиба, для
чего вычислим вторую производную:
'

 ( x  1)(5  x)   6 x  5  x 2  (6  2 x)( x  1) 4  (6 x  5  x 2 )  4( x  1) 3
 
  
y   

4
4
(( x  1) 4 ) 2
 ( x  1)
  ( x  1) 
( x  1) 3 ((6  2 x)( x  1)  4(6 x  5  x 2 )) 2 x 2  20 x  26 2( x 2  10 x  13)



.
( x  1) 8
( x  1) 5
( x  1) 5
Из условия y  0
, то есть
2( x 2  10 x  13)
 0,
( x  1) 5
x 2  10 x  13  0 ищем точки
«подозрительные» на перегиб.
x1, 2  5  12 , x1, 2  5  2 3,
x1  5  2 3  8,4, x2  5  2 3  1,6.
21
Определим знак второй производной на всей числовой оси и укажем на ней
интервалы выпуклости функции.
y 
y

─

1 y

─
 52 3
52 3


X
Вторая производная меняет знак при переходе через эти точки.
Следовательно, точки перегиба: x1  5  2 3  8,4, x2  5  2 3  1,6
y1 (5  2 3 )  0,02, y 2 (5  2 3 )  0,066
8) Построим график функции (рис. 3):
Рис. 3
22
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО
ПРИЛОЖЕНИЯ
Тема 3. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Приложения определенных интегралов.
Задание 3.1
Вычислить интегралы
dx
 x ln x ln(ln x)
Решение:
Данный интеграл можно вычислить путем внесения ln x под знак дифференциала:
dx
 dx
 x ln x ln  ln x    x

d  ln t 
ln t
d  ln x 
dt

 dt

 d (ln x)   
 t  ln x   
   d (ln t )  
ln x ln  ln x 
t ln t  t


 ln ln t  C  ln ln ln x  C.
Задание 3.2
23
Вычислить интеграл  xarctgxdx
Решение:
Воспользуемся формулой интегрирования по частям UdV  UV  VdU :
Полагая U  arctgx , dV  xdx, отсюда найдем dU  (arctgx)dx 
dx
x2
,
V

1 x2
2
x2
1 x 2 dx x 2
1 x 2  1 1
x2
1
1 dx
 xarctgxdx  2 arctgx  2  1  x 2  2 arctgx  2  1  x 2 dx  2 arctgx  2  dx  2  1  x 2 

x2
1
1
arctgx  x  arctgx  C .
2
2
2
Задание 3.3
Вычислить интеграл 
x3  2 x 2  x  3
 x  2
2
x
2
 2
dx
Решение:
Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби, используя метод
неопределенных коэффициентов:
x3  2 x 2  x  3
 x  2
2
x
2
 2
=
A
B
Cx  D

 2
2
x  2  x  2
x 2
Приведя правую часть равенства к общему знаменателю и умножая обе части
равенства на (х-2)2(х2+2), получаем:
x3  2 x 2  x  3  A( x  2)( x 2  2)  B( x 2  2)  (Cx  D)( x  2) 2
x 3  2 x 2  x  3  A( x  2)( x 2  2)  B( x 2  2)  (Cx  D)( x  2) 2 
 x 3 ( A  C )  x 2 (2 A  B  4C  D)  x(2 A  4C  4 D)  (4 A  2 B  4 D)
Приравнивая коэффициенты при х0, х1, х2, х3 получим систему уравнений:
24
x 3 : A  C  1
 2
 x : 2 A  B  4C  D  2
 1
 x : 2 A  4C  4 D  2
 x 0 : 4 A  2 B  4 D  3

Решая эту систему, имеем: A 
5
5
13
11
, B  ,C  , D  .
18
6
18
18
5
5
13
11
x
Следовательно:
= 18  6 2  18 2 18
2
2
x 2
 x  2  x  2 x  2  x  2
x3  2 x 2  x  3
x  2x  x  3
3
Таким образом
2
  x  2  x
2
2
 2
dx =
5
dx
5
dx
 

18 x  2 6  x  2 2
=
5
5
13 xdx 11
dx
=
ln x  2 
  2
  2
18
6( x  2) 18 x  2 18 x  2
=
5
5
13
11
x
ln x  2 
 ln( x 2  2) 
arctg
C .
18
6( x  2) 36
18 2
2
11 
 13
 x   dx
18
18 
=

2
x 2
Задание 3.4
Вычислить интеграл
dx
 5 sin x  2 cos x  6
Решение:
x
2
Применим универсальную тригонометрическую подстановку t  tg , тогда
sin x 
1 t2
2t
2dt
cos
x

,
, dx 
.
2
2
1 t
1 t
1 t2
25
x


t  tg 2 ,



2tdt
dx  2dt , 

1 t2 
dx
dt
dt
1 t2
 2 2
 2


2
 3 sin x  5 cos x  6  
2t 
2t
1 t
t  6t  11
(t  3) 2  2
sin x 
,
3
5
6

1 t2 
1 t2
1 t2

2 
cos x  1  t 
1  t 2 

.
t  3
arctg 
C
2
 2 
1
=2
Выполним обратную замену переменной, получим:
 x

 tg 2  3 
dx
2
 3sin x  5cos x  6 dx  2 arctg  2   C.




Задание 3.5
Вычислить определенные интегралы:

а)
4

0
cos3 2 x
5
sin 2 x
dx
Решение:
Учитывая, что cos3 2 x  cos 2 2 x cos 2 x ,
сделаем замену t  sin 2x , тогда dt  sin 2 x  dx  2 cos 2 xdx .
Найдем новые пределы интегрирования:
x 0 t 0
26
x

4
 t 1
Используя формулу Ньютона-Лейбница
b
 f ( x)dx  F ( x)
b
a
 F (b)  F (a)
a
получим:










t  sin 2 x
3
2
4

 1 1 (1  t 2 )dt 1 1  15 9 5
cos 2 x
cos 2 x cos 2 x
dx  
dx   dt  2 cos 2 xdx   
  (t  t )dt 
5
5
5
2
40
sin 2 x
sin 2 x
t
0
0
x 0 0



 

t
1


4


4

0
1
15 4
5 14 
25
  t 5 t 5 
44
14
 0 112
.
e 1
б)
 ln( x  1)dx .
0
Решение:
Полагая U  ln( x  1) ; dV  dx . Тогда dU  (ln( x  1)) dx ; dU 
По
формуле
b
интегрирования
по
частям
в
dx
; V  x.
x 1
определенном
интеграле
b
UdV  (UV ) a  VdU получаем:
b
a
a
27
e 1

e 1
e 1
ln( x  1)dx  x ln( x  1) 0 
0
xdx
 e 1
x 1

0
e 1

1 
 1  x  1  dx 
0
e 1
 e  1  ( x  ln( x  1)) 0  e  1  (e  1  1)  1 .
Задание 3.6
Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

а)  6 x 2 x ( x 3  x)dx
4
2
0
Решение:

x
6
4
 2 x2
b
( x3  x)dx  lim  6 x
b
0
1
6x 2 x
 lim
4 b ln 6
4
2
4
 2 x2
b
( x3  x)dx  lim  6 x
b
0
4
 2 x2
0
b
d(
4
2
x4 x2
1
 )  lim  6 x 2 x d ( x 4  2 x 2 ) 
b 4
4 2
0
b

0
4
2
1
lim (6b 2b  1)  
4ln 6 b

Следовательно  6 x 2 x ( x 3  x)dx – расходится.
4
2
0
1

б)
0
dx
x
Решение:
В соответствии с определением несобственного интеграла от неограниченной
функции в окрестности точки x  0 имеем:
1

dx
0
x
1
 lim
 0 
сходится.
28

dx
x
 
 lim 2 x
 0 
1

 lim (2  2  )  2 , таким образом исходный интеграл
 0 
Задание 3.7
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 3x 2  2 y  0 , 2 x  2 y  1  0 .
Решение:
Построим графики данных функций (рис. 4).
Рис. 4
Найдем точки пересечения данных кривых:
3 2

 y1  2 x
1
 3x 2  2 x  1  0  x1  1 , x 2  .

3
 y  1  2x
2

2
Находим площадь криволинейной трапеции по формуле:
1
3
1
3
1
1
3
13
1
 1  2x 3 2 
S   ( y2  y1 )dx   
 x dx   (1  2 x  3x 2 )dx  ( x  x 2  x 3 ) 
2
2 
2 1
2
1
1
1 

1 1 1 1
1 32 16
(  
 1  1  1)  

2 3 9 27
2 27 27
29
Следовательно, S 
16
 кв. ед. .
27
Задание 3.8
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями: y  3  x 2 и y  x 2  1 .
30
Решение:
Находим точки пересечения данных парабол, решая
систему уравнений:
 y  3  x 2
 x 2  1  x1  1 , x2  1  M1 (1, 2), M 2 (1, 2)

2
 y  x  1
Объем V тела образованного вращением данной фигуры вокруг оси OX получаем как разность объемов V2  V1 . Вычислим V2 и V1 по формуле:
b
Vx    ( f ( x)) 2 dx
a
Получим
1
1
1
1
V2    (3  x 2 ) 2 dx и V1    ( x 2  1) 2 dx .
Таким образом,
1
1
1
1
V  V2  V    (3  x ) dx    ( x  1) dx     (3  x )  ( x  1)  dx    (8  8 x 2 )dx 
2 2
1
2
2
1
2 2
1
2
2
1
1

x3 
 1
 8  x    16 1    33,5(куб.ед.).
3  1
 3

На рис.5 изображены плоская фигура в плоскости OXY и тело (из него вырезана
четвертая часть), полученное вращением данной фигуры вокруг оси OX.
РЯДЫ
Тема 4. Числовые и степенные ряды.
31
Задание 4.1
Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:
5n  6

а)  3
n 1
7 n  3  2n  1
4
Решение:
Применим второй признак сравнения.

Сравним данный ряд с рядом
n 1
монический ряд     1 , т.к.
3
1

n
an 
5n  6
3
7 n  3  2n  1
4

, bn 
1
n
1
3
, который расходится как обобщенный гар-
5n  6
1

1
3
3
7 n  3  2n  1
4

5n
3
7n
4
~
1
n
1
3
при n  
,
6
n(5  ) 3 n
an
(5n  6) 3 n
5
n
lim
 lim
 lim
 3  0.
3
4
n  b
n 
7
7n  3  2n  1 n n 3 n 3 7  3  2  1
n
4
3
n
n n3 n
Значит, исходный ряд расходится.
3  3n !
n
5
n 1

б)
6
Решение:
Применим признак Даламбера.
an 
3  3n !
3  3n  3!
.
,
a

n

1
6n  5
6n 1  5
3  3n  3 ! 6n  5
an 1
(3n  1)(3n  2)(3n  3)
 lim n 1

 lim

n  a
n  6
n

 5 3  3n  !
6
n
lim
32
Так как q=   1, то исходный ряд расходится.

в)

n 1
 3n 2  10 


2
 18n  1 
n
Решение:
Применим радикальный признак Коши.
3n 2  10 1

n  18n 2  1
6
D  lim n an  lim
n 
D
1
< 1 , т. е. исходный ряд сходится.
6
Задание 4.2
Исследовать на условную и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд:
 1n .
 n 6  11

n 1
Решение:

Ряд
 1n
n
n 1
6
 11
 1  ...
1 1
1
  6
 ...  6
12 75 3  11
n  11
n
 1 
является знакочередующимся рядом.
Для исследования его на сходимость применим признак Лейбница. Так как
1) 1 
1
1

 ... - члены ряда по абсолютной величине убывают
12 75
и 2) lim
n 
1
 0 => оба условия признака Лейбница выполняются, то исходный
n  11
6
ряд сходится.
33

1
.
n 1 n  11
Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда 

Сравним его с рядом
1
n
n 1

1
n
n 1
6
6
6
.
– это обобщенный гармонический ряд, он сходится, так как   6  1, тогда
 1n является абсолютно сходящимся рядом.
 n 6  11

знакочередующийся ряд
n 1
Задание 4.3
Найти область сходимости степенного ряда:

2n x n

n
n 1 5 n
Решение:
Найдем радиус сходимости R степенного ряда
Так как an 
R  lim
n 
2n
2n1
,
, то
a

n 1
5n n
5n1 (n  1)
2n5n1  n  1 5
an
 lim n
 .
an1 n 5 n  2n 1
2
5 5
Это означает, что ряд сходится абсолютно внутри интервала   ,  и расхо 2 2
дится вне этого интервала. Точки x 
5
5
и x   требуют дополнительного ис2
2
следования.
1) При x 
5
ряд принимает вид
2
но, что этот ряд расходится.
34


2n5n
1
. Это гармонический ряд. Извест


n n
n 1 5 2 n
n 1 n
2) При x  
5
ряд принимает вид
2

2n5n (1)n
(1)n
. Это ряд Лейбница, кото


5n 2n n
n
n 1
n 1

рый сходится условно.
Следовательно, область сходимости исходного степенного ряда x    ,  .
 2 2
5 5
Задание 4.4
Разложить функцию f x  в ряд Тейлора в окрестности точки x0  0 :
f ( x)  1  sin 2 x
Решение:
Так как 1  sin 2 x  2  cos 2 x ,
разложим f ( x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0  0 , используя формулу:

x 2n
cos x   (1)
(2n)!
n 0
(*)
n
В ряд Маклорена для cosx (формула (*)) вместо x подставим 2x , затем домножим полученное выражение на (-1) и прибавим 2,
тогда получим:
1  sin 2 x  2  cos 2 x  1 
4 x 2 16 x 4
( 2 x) 2 n

 ...  (1) n1
 ...,
2!
4!
(2n)!
xR.
Задание 4.5
а) С помощью разложения в ряд вычислить приближенно с точностью 0,0001
значения: 1 / e
35
Решение:
Воспользуемся разложением в степенной ряд функции y  e x по формуле Маклорена
ex  1
x x2
xn

 ... 
 ...(  x  ) .
1! 2!
n!
Так как 1 / e  e 1 / 2 , то
e 1 / 2  1 
1
1
1
1
1




 ...
2 4  2! 8  3! 16  4! 32  5!
Получили знакочередующийся числовой ряд. Для того чтобы вычислить значения функции с точностью   0,0001, необходимо, чтобы первый отбрасываемый
член был меньше 0,0001 (из следствия признака Лейбница).
Имеем
a7 
1
1
1


 0,0001.
64  6! 64  720 46080
С заданной степенью точности:
e 1 / 2  1 
1 1 1
1
1
 


,
2 8 48 384 3840
1
 1  0,5  0,125  0,02083  0,00260  0,00026  0,6065 .
e
б) Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычис0
лить определенный интеграл

1
Решение:
36
dx
3
8  x3
, с точностью до 0,001.
Воспользуемся биномиальным рядом
(1  x) m  1 
m
m(m  1) 2
m(m  1)...(m  n  1) n
x
x  ... 
x  ...(1  x  1) , (*)
1!
2!
n!
Преобразуем подынтегральную функцию:
1  x
 1   
8  x 3 2   2 
1
3
3




1 / 3
.
Получили бином вида (1  z ) m , где m  1 / 3,
а z  ( x / 2) 3 .
Подставляя в (*), имеем
3
6
9
 1

1  1  x 
4 1  x
28 1  x 
x3
x6
7x9

 1   


 ...,
  
   ...  1 

3
2  3  2  9 2!  2 
27 3!  2 
8 x

 2  24 288 18176
1
3
0
0


1 
x3
x6
7x9
1
x4
x7
7 x10



1 3 8  x 3  2 11  24  288  18176  ...dx  2  x  4  24  7  288  10 18176  ... 
1
1
1
1
7

 1  

 ...  . Поскольку уже третий член полученного ряда
2  96 2016 181760

0
dx
меньше   0, 001 , т.е
0

1
dx
3
8  x3

1
 0, 001, то с точностью до 0,001 получим
2016
1
1

 0,5  0,0052  0,495.
2 192
Задание 4.6
Разложить в ряд Фурье функцию f x  с периодом T  2 , заданную на промеx  
0

жутке   ,  : f x   
при    x  0,
при
0 x
Решение:
Так как данная функция кусочно-монотонная и ограниченная, то она разлагается в ряд Фурье.
Находим коэффициенты ряда Фурье:
37
1 (  x 2 )
a0   (  x)dx 
 

2
1
0
0

1 2 


 2 2,
u    x,
an   (  x) cos nxdx  
 dv  cos nxdx,
 

1
du  dx


1
v  sin nx 
n

0
0
0
0

1     x
1
1
1
2



sin nx    sin nxdx  2 cos nx  2 1  (1) n 
,

2
 n
   n

n

(
2
n

1
)
  n 




u    x,
bn   (  x) sin nxdx  
 dv  sin nxdx,
 

1
0

du  dx


1
v   cos nx 
n

0
0
0
 1  1
1     x
1





cos
nx

cos
nxdx



sin
nx



   n n2
  
n
  n 




  1.

n

Тогда ряд Фурье для данной функции примет вид
f ( x) 

4

cos(( 2n  1)x)  sin( nx)

.

 n1 (2n  1) 2
n
n 1
2

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Тема 5. Функции нескольких переменных.
Задание 5.1
Найти полный дифференциал dz функции z  x 2 y sin( xy) .
Решение: Вычислим частные производные функции z  x 2 y sin( xy) :
38
z
 2 xy sin( xy)  x 2 y 2 cos( xy),
х
z
 x 2 sin( xy)  x 3 y cos( xy)
y
Полный дифференциал находим по формуле
dz 
z
z
dx  dy
х
y
Тогда dz  (2 xy sin( xy)  x2 y 2 cos( xy))dx  ( x2 sin( xy)  x3 y cos( xy))dy .
Задание 5.2
Дана функция z  e xy . Показать, что она удовлетворяет уравнению
2 z
z 1 z
x 
 0.
xy
x x y
Решение: Найдем частные производные 1-го и 2-го порядков от функции z  e xy :
z
z
 ye xy ,
 xexy
x
y
2z
2z
2 xy

y
e
,
 e xy (1  xy) ,
2
x
xy
2z
 x 2 e xy
2
y
Подставим их в заданное уравнение:
2 z
z 1 z
1
y 
 e xy (1  xy)  xyexy  xexy  0
xy
x x y
x
Следовательно, функция z  e xy удовлетворяет указанному уравнению.
Задание 5.3
39
Даны функция z  ln( x 2  y 2 ) , точка M 1, 2  и вектор a  3i  4 j .
Найти:
1) grad z в точке M ,

2) производную в точке M по направлению вектора a .
Решение:
1) Найдем градиент функции в точке M по формуле

grad z
M
z
x
i 
M
z
y
j
M
Вычислим частные производные функции и их значения в точке M 1;2 .
z
z
2x
z
2y
,
 2
,
 2
2
2
y
х x  y
y x  y
2
5

M
z
x
2
2
 ,
1 4 5

M
22 4
 .
1 4 5
4
5
Тогда grad z M   i   j .
2)Найдем направляющие косинусы вектора a  (3; 4) :
x
cos 
z
y
M
x2  y 2
2
 ,
5
z
x
3
3
  , cos  
5
9  16


M
y
x2  y2

4
.
5
4
(из п.1)
5
Подставив в формулу производной по направлению
z z

a x
 cos  
M
z
y
 cos 
M
найденные значения, получим
z 2  3  4 4  6  16 2
 .
      
a 5  5  5 5
25
5
40
Задание 5.4
Найти наибольшее и наименьшее значения функции z  3x 2  3 y 2  2 x  2 y  2
в области, ограниченной прямыми: x  0 ; y  0 ; x  y  1  0 .
Решение:
Построим область с заданными ограничениями (рис. 6).
Рис. 6
Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения, могут находиться как внутри области, так и на ее границе.
Рассмотрим внутреннюю область. Найдем частные производные
z
 6 x  2;
x
z
 6y  2
y
В точке экстремума они должны обращаться в нуль. Найдем стационарные точки, решая систему:
1

x

6
x

2

0


3


6 y  2  0  y  1

3
1 1
Получаем точку М1( , ), значение функции в которой
3 3
41
1 1 4
z(M1 )  z( ; ) 
3 3 3
Следовательно, имеется только одна точка, в которой может достигаться
наименьшее или наибольшее значение функции во внутренней области.
Теперь исследуем функцию на границах области:
1) На отрезке ОВ: x  0; y  0;1 ; z  y   3 y 2  2 y  2
находим производную:
z 'y  6 y  2
и решаем уравнение:
z 'y  0  6 y  2  0  y 
1
3
1
3
Получаем одну стационарную точку на отрезке ОВ М2(0; ), находим значение
функции в точке М2 и на концах отрезка ОВ
z(O)  z(0;0)  2; z( B)  z(0;1)  3; z(M 2 )  z (0; 1 )  5
3
3
2) Аналогично исследуем отрезок ОА: y  0; x  0;1 ; z( x)  3x2  2x  2;

zx'  6 x  2; z x'  0;  6 x  2  0  x 

1
получаем стационарную точку М3 , нахо3
дим значения функции z на концах отрезка ОА и в точке М3
1
5
z ( A)  z (1; 0)  3; z ( M )  z ( ; 0) 
3
3
3
3) Исследуем отрезок АВ: x  y  1  0  y  1  x; где x  0;1
z ( x)  3x 2  3(1  x)2  2 x  2(1  x)  2 
42
 3x 2  3  6 x  3x 2  2 x  2  2 x  2  6 x 2  6 x  3
1
1
z x'  12 x  6; z x'  0; 12 x  6  0  x  тогда y 
2
2
1 1
2 2
Получаем стационарную точку М4( , )
1 1
3
z(M 4 )  z( ; ) 
2 2
2
Сравнивая все полученные значения функции z в стационарных точках и на границе области, заключаем, что
4 5
3 3
5
3
3
2
4 5
3 3
5
3
3
2
zнаиб.  max  ; ;2;3; ;3;   3.
4
3
zнаим.  min  ; ;2;3; ;3;   .
4
zнаиб.=z(A)=z(B)=3; zнаим.=z(M1)= .
3
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Тема 6. Двойные и тройные интегралы.
Задание 6.1
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
2 x
1

0
dx
 f x, y dy
x2
Решение:
Построим область интегрирования по данному интегралу (рис. 7).
43
Рис. 7
Область интегрирования G ограничена линиями x  0 , x  1, y  x 2 , y  2  x .
Прямая y  1 разбивает ее на две области:
G1: 1  y  2 , 0  x  2  y и G2: 0  y  1 , 0  x  y
Имеем
1

0
dx
2 x
1
x2
0
y
2
2 y
1
0
 f x, y dy =  dy  f x, y  dx   dy  f x, y dx .
0
Задание 6.2
Сделать
чертеж
и
найти
1 y  z 2  0 , y  x , y  x , z  0 .
Решение:
44
объем тела,
ограниченного
поверхностями
Рис. 8
Данное
тело
сверху
ограничено
параболическим
цилиндром
1  y  z 2  0  z  1  y (рис. 8). По формуле V   zdxdy находим:
D
1
y
1
0
0
0
V   zdxdy  2 dy  1  ydx  2
D
t  1  y , 


2
y

1

t
,


1
y

1  y x 0 dy 2 y 1  ydy   dy  2tdt ,  
0
 y  0, t  1 


 y  1, t  0 
0
 t3 t5 
8
 2 (1  t )t (2t )dt  4  (t  t )dt  4     (куб. ед.) .
 3 5  1 15
1
1
0
0
2
2
4
Задание 6.3
Вычислить площадь плоской области D, ограниченной
заданными линиями.
y  x 2  3x, 3x  y  4  0
Решение:
Данная плоская фигура ограничена снизу параболой
y  x 2  3x , сверху прямой
3 x  y  4  0 (рис. 9).
45
Следовательно,
4 3 x
2

x3 
32
S   dxdy   dx  dy    4  3x  x  3x  dx   4 x     кв.ед.
3  2 3

D
2
2
x2 3 x
2
2
2
.
Р
и
с
.
9
Задание 6.4
Вычислить I   2 x  y  dx dy dz ,
где
V
ограничено
поверхностями:
V
y  x,
y  0,
x  1,
z  1,
z  1 x2  y 2
Решение:
По заданным поверхностям строим область D интегрирования (рис. 10).
В области V справедливы неравенства:
0  x  1,
Тогда
1
x
1 x 2  y 2
1
x
0
0
1
0
0
1
x
0
0
I   dx  dy
1
1 x 2  y 2
  2 x  y  dz  dx   2 x  y  z 1
x
dy 
  dx   2 x  y   x  y  dy   dx  (2 x 3  y 3  2 xy 2  x 2 y )dy 
2
0
46
0
2
0 y  x,
1  z  1 x2  y 2 .
x
1
2
1 
41
41

.
   2 x3 y  x 2 y 2  xy 3  y 4  dx   x 4 dx 
2
3
4
12
60


0
0
0
1
1
Рис. 10
Задание 6.5
С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями:
y  0,
z  0,
x  y  2, 2 z  x 2  y 2 .
Решение:
Уравнение 2 z  x 2  y 2 определяет параболоид
вращения, остальные поверхности: y  0, z  0, x  y  2 – плоскости.
Искомое геометрическое тело изображено на рис.11
Объем данного тела равен:
Рис. 11
2
V   dxdydz   dx
v
0
2 x
x2  y 2
2
 dy 
0
o
2
dz  dx
0
2 x

z
x2  y 2
2
0
0
2
1
dy   dx
20
2 x

0
2
2 x
1
y3
( x  y )dy   ( x 2 y  ) dx 
20
3 0
2
2
2
1
1
1
1
12
x4 1
4
4
  ( x 2 (2  x)  (2  x)3 )dx   (2 x 2  x3  (2  x)3 )dx   x 3    2  x   dx 
20
3
20
3
23
4 12
3
0
2
2
V
4
( куб.ед.).
3
47
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Тема 7. Криволинейные и поверхностные интегралы.
Задание 7.1
Вычислить криволинейный интеграл I   xydx  ( x 2  y )dy , если линия LAB – дуга
LAB
параболы y  x , расположенная между точками A(0;0) и B (2;4) :
2
Решение:
Применим формулу

LAB
b
P( x; y)dx  Q( x; y)dy    P( x, f ( x)   Q  x, f ( x)  f ( x))dx .
a
В данном случае f ( x)  x 2 , f ( x)  2 x , x  0; 2 ,
получим
I    xx 2  ( x 2  x 2 )2 x  dx   5 x3 dx 
5 4
x
4
2
0
 20 .
Задание 7.2
Вычислить поверхностный интеграл второго рода I   xdydz  dxdz  xz 2 dxdy ,
S
где S –внешняя сторона части круга x 2  y 2  z 2  1 , расположенная в первом октанте.
Решение:
Имеем
 Pdydz  Qdzdx  Rdxdy .
S
48
Обозначим через Dx , D y и Dz -проекции поверхности S на координатные плоскости OYZ , OXZ и OXY соответственно, а данный интеграл I рассмотрим как сумму
трех интегралов:
I1   xdydz , I 2   dxdz , I 3   xz 2 dxdy
S
S
S
Для первого из которых P  x, Q  R  0 , для второго Q  1, P  R  0 и для третьего P  Q  0, R  xz 2 .
Применив к каждому из них формулу для вычисления поверхностного интеграла второго рода, получим
I1   1  y 2  z 2 dydz , I 2   dxdz , I 3   x(1  x 2  y 2 )dxdy .
DY
Dx
DZ
Области Dx , D y и Dz являются четвертями кругов единичного радиуса, расположенными в соответствующих координатных плоскостях, поэтому интеграл
I 2  S DY 

4
(площадь четверти круга). Перейдем к полярным координатам для
вычисления интегралов I1 и I 3 , положив y   cos  , z   sin  , dydz  dd для I1 ,
x   cos  , y   sin  , dxdy  dd для I 3 . В обоих случаях 0   

2
, 0    1.
Тогда

2
1
I1   1    d  d     d  
2
Dx
0
0
3 1
1
 3
1    d (1   2 )    (1   2 ) 2
2
4 2

2
1
I 3   d    cos  (1   )  d   sin 
2
0

2
0
0
Следовательно, I  I1  I 2  I 3 

2

6
0

6
.
1
 3 5 
2


  .
5  0 15
 3


4

2 5 2

 .
15 12 15
V. ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ И
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ
Тема 1. Предел функции. Непрерывность функции.
49
Задание 1.1
Вычислите предел функции:
1. lim
х3  1
х2  4 х  3
2. lim
3. lim
2 х 2  5 х  10
х3  1
4.
x 1
x 2
x1
x3  64
5. lim 2
x 1 7 x  27 x  4
lim
x1/ 2
8. lim
4 x4  5x2  1
x 1
x2 1
10. lim
x 2  x  30
x 5 x 3  125
12. lim
x 2
x2  4
x 2 3 x 2  x  10
4 x3  2 x 2  5 x
x 0
3x 2  7 x
9. lim
x3  8
x 1 2 x 2  9 x  10
11. lim
13. lim
x 1
8 х3  1
х 2  1/ 4
x 2  2 x  24
6. lim 3
x 6 2 x  15 x  18
2 x3  2 x  4
x 2  11x  18
7. lim
х3  3x 2  1
x3  х 2  х  1
x3  x  2
x3  x 2  x  1
14. lim
x 2
x3  x 2  x  1
x3  x  2
3x 2  2 x  1
x 2
x3  8
2 x 2  3x  1
x 1
x4 1
15. lim
16. lim
x3  3x  2
17. lim 2
x 1 x  4 x  3
8 x3  1
18. lim 2
x 1/2 6 x  5 x  1
Задание 1.2
Вычислите предел функции:
1.
50
lim ( 1  2 x  x 2  4  x 2  4 x  1
x
2.
lim
x 0
x
2 x4
3.
2x  2
lim
x 1 3
3
5. lim
4.
26  x  3
x 1
7.
lim (3 x 2 ( x  3)  3 x( x  2 ))
9.
lim
6.
8.
x 
3
x 9
x  18  3
x9
x 1
x 2  16  4
x3 2
1 2  x
lim ( x 2  x  1  x( x  1))
x 
4
x 7 3
3
12. lim
x
x 0
13. lim ( x 2  4  x  3 )
x9 2
x  20  3
8 x 3 8 x
3
x2  5 x
14. lim x( x 2  3  x)
x
x
15. lim( 3 ( x  3)2  3 ( x  3)2 )
3
16. lim
x 
x 5
x 0
10. lim
11. lim ( x  3 1  x 3 )
17. lim
lim
lim
x 1
x 1
x2 1 1
x2
x  11  x  1
3
x3 2
18. lim
x 3 3
x6 2
x  14  4
3x 2  6 x  9
2 x 2  2 x  15  3
Задание 1.3
Вычислите предел функции:
5 x1  5
tg 2 4 x
x 0 sin 2 3 x
2.
lim
sin 2 3x  sin 2 x
4. lim
x0
tgx  arctgx
5.
lim
sin 2 x  2 sin x
x 0 ln( 1  4tq3 x)
8.
cos 2 x  cos 4 x
x 0
arctg 3 x 2
11. lim
1.
7.
lim
x 0
ln( 1  x 1  xe2 x )
lim
10. lim
x
3
lim
x
3
x 0
3.
lim
1  2 cos x
  3x
6.
lim
1  2 cos x
sin   3x 
9.
lim
x 1  cos 4 x
sin 2 3 x
12. lim
x 0
tg 2 x  sin 2 x
2x 2  x
arcsin 7 x
x 0 sin x  sin 7 x
x 0
x 0
ln cos 2 x
sin 3 x  sin x
1  cos 3 x
x 2  sin 3 x
51
e sin 2 x  e sin x
x 0 arcsin x 2
14. lim
1  cos 8 x
x 0 3arctg 2 x
3cos x  1
17. lim
 ln sin x
x
(2 x  1) 2
1 sinx  e sin 3x
x e
13. lim
2
cos 4 x  cos 3 4 x
x 0
tg 3 x 2
15. lim
2
16. lim
18. lim
x 0
cos x  cos 5 x
x ln( 1  x sin x)
2
Задание 1.4
Вычислите предел функции:
5 

1. lim  6 

x 0
cos x 

x

4. lim  2  
x a
a

ctg 2 x 2
x
tg 

 2a 
1
1
x  cos x

10. lim  ctg  2
x 
4

tg
16. lim  sin x 
x

2
x
6


5. lim  5 
x0
 2  x  ln(2 x )
7. lim 

x 1
 x 
 6 x 
13. lim 

x 3
 3 
1
2
x
2. lim(1  sin ) ln(1tg 3 x )
x 0
2
2
4 

cos x 
1
6. lim (2  cos x)
1
9. lim (cos)
x
x 0
5
tg 5 x sin 2 x

4
1
1
 3x  1  3 x 1
12. lim 

x 1
 x 1 
 sin x  x a
11. lim 

x a sin a


14. lim(2  3
x2
x 0
 3x  2  5 x 1
8. lim 

x 1
 x 
arctg 2 x
6 x2
1
sin2 3 x
)
2
sin x
1
 x  x
15. lim  tg  2

2
x 
2
6 tgxtg 3 x

17. lim cos x
x 0

1
x
Задание 1.5
52
 x2  7 

3. lim  2
x  x  9 



18. lim 2e
x1
x 1

1
x
x 1
Исследуйте функцию f (x) на непрерывность. Установите тип точек разрыва и
изобразите схематически график функции в окрестности точек разрыва:

 x 2  2, x  0



0 x
1. f ( x)  1,
2



x
sin x,
2
cos x,
x0

2. f ( x)  1  x, 0  x  1
 x2 ,
x 1

 1  x2 , x  0

3. f ( x )  1,
0 x2
 x  2,
x2

3x ,
x 1

1 x  3
4. f ( x )  3,
 4  x,
x3

x0
sin x,

5 f ( x )   x,
0 x2
0,
x2

 1
x  2
x2,

6. f ( x)  0,
2 x 0
sin x, 0  x  


.
x  1
2( x  1),

7. f ( x)  ( x  1)3 ,  1  x  0
 x,
x0

x  1
  x,
1

1  x  0
8. f ( x)   ,
x
2 x 2  x, x  0

e x ,
x0

9. f ( x)   x  1, 0  x  2
 1

,
x2
x2
 1
x0
x4,


10. f ( x)  ( x  2) 2 , 0  x  1
 2  x,
x 1



 x,

11. f ( x )  ( x  2) 2 ,
  x  6,

1
x,

13. f ( x)  3 x  1,
4  x 2 ,


x 1
1 x  3
x3
x0
0 x2
x2

 x 2 ,


12. f ( x)  tgx,


2,
x0
0 x
x

4

4
e x ,
x0

1
14. f ( x)   ,
0 x5
x
x5
3x  4,
53

e  x ,

15. f ( x)  1  x 2 ,
1
 ,
x
x0
tgx,

16. f ( x)   x,
0  x 1
 2,
x 1

x0
0  x 1
x 1
x0
cos x,

17. f ( x)   x 2  1,
 x,

 1  x
x0
  ,
 3 

18. f ( x)   x  1, 0  x  3
lg x  3 , x  3

 

0  x 1
x 1
Задание 1.6
Исследуйте функцию f (x) на непрерывность. Установите тип точек разрыва и
изобразите график функции в окрестности разрыва:
1.
f ( x) 
1
.
4  21 / x
x
1
x
2.
f ( x) 
1
.
2
x 9
3.
.
5.
f ( x) 
e4 x  1
.
x
6.
8.
f ( x) 
1
.
6  51 / x
4.
f ( x)  e
7.
f ( x) 
x
.
2
x  16
10. f ( x) 
1
 x  3 x  2
.
11. f ( x)  e

1
x2
.
1
13. f ( x) 
1
.
2  91/ x
14. f ( x) 
16. f ( x) 
1
.
7  31/ x
17. f ( x)  2 x 3  1.
2  x
1
2
.
9.
f ( x)  e
f ( x)  7
f ( x)  8
1
x2
x
1
x
4
x 2
.
.
 1.
12. f ( x) 
e6 x  1
.
x
15. f ( x) 
2x
x 1
2
1
18. f ( x)  e x 3 .
Тема 2. Дифференцирование функции одной переменной. Исследование функций с помощью производных.
Задание 2.1
Найти производные y x  функций:
54

1 x 

2. y  1 
1  x 

x x
1. y 
x x
3
3. y  x3
1 x
1 x
4. y 
5. y  x 3
1 x2
1 x2
6. y  x 2  1  3 x 3  1
7. y  5 x 2  x  1 / x .
9. y  x  5
13. y  3
1  x5
1  x5
1  x3
1  x3
1 x
x2 1
3x  2
1 x
x 1
12. y  1 
x3  x
2x
 2 6x  5
10. y  5 x  x3 x
14. y  5 3x 2  1  3 3x 3  4
15. y  4 x 2  3x  5 (6 x  1) 2
17. y 
x 3  3x  1
3
8. y  3
x2  x
11. y 
3
16. y 
 4 1 x
1
x  1 x2
x3
3x  5
18. y  x  3
Задание 2.2
Найти производную:
sin 2 x
 ctg 2 2 x
1  sin 2 x
1.
y  ln cos x 1  x 2  arctg (2 x  3)
2.
y  ln
3.
y  a ln( x  a  x )  x 2  ax
4.
y  ln(sin x  1  sin 2 x )
5.
y  ln
6.
y  ln tg
7.
y  arctge2 x  ln
8.
y  ln
1  x2  3
 arcsin 2 3x
7x
e2 x  1
e2 x  1
x5
 sin 2 x
3 x
x
 tg ( x3  5)
2
1 x
55
2x
 ln(5x3  3x)
2
3 x
9.
y  arctg
11.
y  arctgx  ln
13.
y  ln e 2 x  e 4 x  1
15.
y  ln
17.
y  ln(cos x  4  cos x3 )
y  4 x  x 2  5 arcsin
2 x
2 x
12.
y  e x 1  e4 x  arccos e x

14.
y  xarctg
1  tgx
 x  sin(3 x 3  6 x)
1  tgx
16.
y  ln ln
18.
y  arccos 2 sin 3 x  x 2  1

x a
 ln( x 2  a 2 )
a 2
1  cos x
 arctg ( x 2  4)
1  cos x

Задание 2.3
Найти производную:
1.
y  (3x  1) cos(x2)
2.
y  (arcctg 7 x) e
3.
y  (ln x) ( 6 x2)
4.
y  (8 x 3  3) cos 4 x
5.
y  (tg 4 x) ln(45 x
6.
y  (arctgx) 6 x / 5
7.
y  (sin 5 x) e
8.
y  (ln x) (32 x
9.
y  3x ctgx
10.
y  arccos 3x ln(23 x
11.
y  4x e
12.
y  x ctgx
13.
y  (arcsin x) 4e
14.
y  cos 3x ln(25 x
15.
y  (6 x 3  7) tg 2 x
16.
y  (4 x 2  5) cos 3 x
17.
y  (tg8x) 5e
18.
y  (tg 2 x) (3 x
56
x
3
10.
2
x
2
arctgx
x
x
)
2
x
)
3
2
2
 4)
)
2
)

Задание 2.4
Найти y  для функции y(x), заданной неявно:
1.
x  ex  y  ey
2.
x 2  xy  y 2  12
3.
tgx  tgy  x  y
4.
e y  xy  e
5.
2 y ln y  x
6.
(cos x) sin y  (sin y) cos x
7.
2 x  2 y  2 x y
8.
xy  yx
10. x  y  e x  y
x 3  y 3  3xy  0
9.
11. x  y  arcsin x  arcsin y
13.
3
15.
12. y 3  x 2  e xy  0
x
y
x2  3 y2  3 a2
14. xy  arctg
x y a
16. x 3  ln y  x 2 e y  0
18. e y  e  x  xy  0
17. x 4  4 x 2 y 2  7 y 4  0
Задание 2.5
Найти
dy
d2y
и 2 , если функция y(x) задана параметрически:
dx
dx
1.
 x  ln t

 y  sin 2t
4.
 x  2 ln ctgt

 y  ctgt  tgt
7.
 x  arctg (t  1)2

2
 y  t  2t  2
 x  ln( 1  t 4 )
10. 
2
 y  arccos t
2.
 x  3e t

t 3
 y  (2  e )
5.
 x  sin 2 (1  4t )

2
 y  cos (1  4t )
8.
 y  arcctgt

 x 3

1 t2
 x  7  t2
11. 
2
 y  ctg3t
3.
 x  ln( 1  t 2 )

 y  arcsin 1  t 2
6.
 x  2t  t 2

1

y  3
(t  1) 2

9.
 x  t  1

 y  ln( 1  e t )
 x  arcsin( t 2  1)
12. 
 y  arccos 2t
57
 x  tgt 2
13. 
2
y  t  5
 x  (t  1)2
14. 
2
 y  sin( t  1)
 x  t  ln cos t
15. 
 y  t  ln sin t
 x  t  ln cos t
16. 
 y  t  ln sin t
x  t t 2  1

17. 
1 1 t2
 y  ln
t

 x  tgt  ctgt
18. 
 y  2 ln ctgt
Задание 2.6
Проведите полное исследование заданной функции и постройте ее график:
1. y 
x2  2 x  2
x 1
2. y  ( x  1)3 3 x 2
4. y 
x2  x 1
x2  2 x
5. y 
7. y 
ln x
x
8. y  3 x  7 arctgx
( x  1) 2
x2  1
x 2 ( x  1)
( x  1)2
10. y  3 x 2 e x
11. y 
13. y  arctg (1  x 2 )
14. y  ( x  1)e1 x
16. y 
3 x
ln
x 3
17. y  arcsin
2x
1  x2
3. y 
x3
x2  3
6. y 
x2  6
x2  1
9. y  3 x3  2 x 2
12. y  x 2  2ln x
1
2 x
15. y  x e
18. y 
( x  1)3
( x  1) 2
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО
ПРИЛОЖЕНИЯ
Тема 3. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Приложения определенных интегралов.
Задание 3.1
Найти неопределенные интегралы:
58
1.

4.


7.
3

13.
ln 4 (3x  1)
 3x  1 dx
cos 6 x
 sin 4 6 x dx
6.
arccos6 3 x
 1  9 x 2 dx
8.
e arctgx
 1  x 2 dx
9.

dx
11.
dx
 ( x  3) ln 4 ( x  3)
12.
tg 6 2 x
 cos2 2 x dx
dx
14.
2.
e
arcsin x
5.
cos 4 2 x
1 x e
2
3
ln 4 ( x  5)
dx
x 5
2x  5
7x2  3
3
arcsin x
1  x2
ctg 4 3x
 sin 2 3x dx
16.
xdx
dx
dx

10.
3.
sin 2 x
17.


3x 4
2
ctg 3 x
dx
sin 2 3 x
5
arccos3 2 x
1  4x2
3x  2
2x 2 1
3
dx
arctg 2 x
dx
1 x2
15.

18.
tg 5 4 x
 cos2 4 x dx
3
dx
Задание 3.2
Найти неопределенные интегралы:
1.

4.
ln(cos x)
dx
sin 2 x
2.
 ln( x 
 xtg x dx
5.
 (x
7.
x
8.

10.

13.
x
2
2
cos 2 xdx
1  x arccos x dx
2
(sin 2 x  3)dx
2
2x
16.  ( x  4)e dx
3
1  x 2 )dx
 3) sin xdx
arccos x
dx
1 x
2
11.  x arcctgxdx
14.

ln x
dx
x
2
17.  x ln( x  1)dx
3.
 xarcctg xdx
6.

9.
 (x
12.

2
x ln 2 xdx
2
 x) cos xdx
ln(ln x)
dx
x
15.  ( x 2  2)e  x dx
18.  x 2 (cos 2 x  3)dx
59
Задание 3.3
Найти неопределенные интегралы
5 х 3  12 x 2  6 x  9
dx
1. 
2
2 x 2  5 x  1
2.

x  x2  2
dx
2
x 2  2 x  2
4.
 x 2  х  15
 x  22 x 2  3 dx
5x 3  x 2  х  7
dx
2
x 2  2 х  6 x  1
6.
2 х 3  7 x 2  2 х  10
 x  22 x 2  3х  4 dx
8.
x 3  15 x 2  x  5
 x  12 x 2  4 x  6 dx
10.
4x 2  4x  1
 x  32 x 2  1 dx

3.
5.





x 3  3x 2  x  3
dx
2
3x 2  1 x  2
7.

9.
4 x 3  20 x 2  30 x  11
 2 x  32 x 2  1 dx



4 x 3  3x 2  2 х  1
dx
11. 
2
5 x 2  1 3x  1

13.

x3  x 2  4х  2
dx
2
5 x 2  1 3x  1


2 x 3  4 x 2  21х  1
dx
15. 
2
2 x 2  3 x  1

17.
60
x 2  х  10
dx
2
x 2  х  1 x  3

8 x 3  20 x 2  10 х  2
 2 x 2  1 2 x  32 dx











2 х 3  11x 2  18 x  7
dx
12. 
x  22 x 2  4

14.

 4 х 3  3x 2  4 x  1
 2 x  32 x 2  х  1 dx


5 x 3  15 х 2  x  1
dx
16. 
x  22 2 x 2  1

18.

3х 3  12 x 2  15 x  21
 x  12 x 2  х  5 dx


Задание 3.4
Вычислить неопределенные интегралы
1.
3
2
 sin x cos xdx
cos 2 x
dx
4. 
sin 6 x
2.
2
 cos
x
dx
2
3.
cos3 x  cos5 x
 sin 2 x  sin 4 x dx
5.
 sin
xdx
6.
 cos
8.
 1  sin x dx
9.
 sin
12.
 sin x(2  cos x  2sin x)
4
sin x
7.
 ctg
10.
cos5 x
 sin x dx
11.  tg 7 xdx
13.
cos 2 xdx
 sin 2 x  sin x cos x
14.
cos 2 x
 sin 4 x dx
17.
 sin
6
xdx
sin 3 x
dx
16. 
cos x 3 cos x
xdx
2
3xdx
dx
15.  sin 2 x cos 2 xdx
dx
3
6
18.
x
dx
 2sin x  cos x
Задание 3.5
Вычислить определенные интегралы:
12 3

1. а)
е
2
3. а) 
0
2
12 x5 dx
б)
x 1
6
 /2
x 3 dx
б)
x4  4
0
2
б)
 /9
2
б)

0
б)

0
xdx
1  x2
2
dx
xdx
cos 2 3 x
 arcsin 1  x  dx
1/2
e1/ x
1 x 2 dx
1/2
4. а)
cos x
dx
6. а) 
x
 2 /9
3
б)
x 2 dx
8. а) 
1  x6
1
1
б)

0
arcsin( x / 2)
dx
2 x
0

2

б) ln(3х  2)dx
1
 /4
б)
 xtg
2
xdx
0
0
3
10. а)
1
 arctg xdx
1
3
1
e
sin ln x
dx
9. а) 
x
1
 ( x  2)e
 x /3
3
dx
5  4x  x
  x  3 sin xdx
0
x3
5. а)  8 dx
x 1
0
5
2
2. а)
3/2
1
7. а) 

arctg (2 x  3)dx
x 3 1  x 2 dx
б)
 x ln(1  x)dx
1
61
e
11. а) 
x 1  ln 2 x
1
2
13. а)
1
dx
dx
xdx

б)
4  x2
1
б)
12. а)  x 3 4  5 x 4 dx
0
0
e2
 /2

14. а)
x ln xdx
1
ln 2 x
dx
15. а) 
x
1
1
8
2

б)
1
dx
17. а)  2
4x  9
1
б)
 /8
3
xdx
б)
x
sin хdx
18. а)
0
2
sin 4 xdx
0
б)
 sin x cos

x
2
3
2
ln x dx
1
 /2
2
x
2
0
2
x
  x  2  cos 2 dx
0
dx
х(6  8 x)
16. а) 
arccos 2xdx

0
 cos x sin

б)
/6
1
e

1
 arctg xdx
xdx
б)
/6
ln( x  1)
 ( x  1)
dx
2
1
Задание 3.6
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

3/ 2
dx
2
1 9x  9x  2
1. а) 

3. а)

2
(4  x 2 ) arctg
 (1  16 x
2
x
2
)arctg 2 4 x
б)
4dx
1 x(1  ln 2 x)

9. а)

0
0
11. а)


62
( x  2)dx
( x 2  4 x  1) 4
(x  4)

(x 2  1) 3 ln 2
ln( 4  5 x)
dx
4  5x
4/5 3
б)

0

б)

 /2
2
б)

1
sin xdx
7
cos 2 x
dx
5
4x  x 2  4

3
dx
б) 
2
1 / 4 20 x  9 x  1
1/ 6
dx
x(ln x  1) 2
e2
2. а) 
б)
б)
7 dx
6. а)  2
  ( x  4 x ) ln 5
arctg 3x

1  9x 2
0


12. а)

0
1/ 3
б)
(x  8)
3

0
x 2 dx
3

0
16x 4  1
0

64  x 6
0
б)
б)
e tgx
dx
cos 2 x
e3 
x2
1
x dx
ln( 3x  1)
dx
3x  1
1/ 3
1
4
3 sin 3 xdx
x 2 dx
 /2
dx
1  6x
cos x
2
б)
x 3 dx
10. а) 

0
1

3
 /2
dx
4. а) 
2
  x ln x
8. а)
dx

0
0
1
xdx
2
3x  x 2  2
xdx
1

7. а)

2
 dx
1/ 3
dx
1
dx

5. а)
б)


13. а)

0
4
( 25  x )
2 5
ln 2dx
б) 
2
1 / 2 (1  x) ln (1  x)
 /6

xdx
15. а)  2
1 x  4x  5
xdx
2
0 4 x  4 x  5

б)
0

17. а)

1
xdx
1/ 3
б)

0
(1  sin 3 x)

4
x  4x  1
2
1

б)
2/3

cos 3 x
6
14. а)
xdx
5
dx
dx
9x 2  9x  2
arctg 2 x
dx
16. а) 
2
0  (1  4 x )
1
xdx
18. а) 
4
2 16x  1
1 x4
0

1

б)
0
2  3x
2 xdx

б)
dx
5
x 4 dx
3
1  x5
Задание 3.7
Найти площадь, ограниченную кривыми:
1.
y  x2 , y  3  x
2.
y 2  x 3 , x  0, y  4
3.
y  x , y  x3
4.
y 2  9 x, y  3 x
5.
y  sin x, y  cos x, x  0
6.
y 2  4 x, x 2  4 y
7.
y 2  x  1, y 2  9  x
8.
y 2  x3 , x  2
9.
y  x 2 , y  2  x2
10.
y
11.
y  2 x , 2 x  x 2 , x  0, x  2
12.
y   x 2  2 x, y   x
13.
y  x 3 , y  1, x  0
14.
y  tgx, x  0, x 
15.
xy  6, x  y  7  0
16.
y  x 2  1, y  9  x
17.
y  4  x2 , y  0
18.
y 2  4 x3 , y  2 x 2
8
, x2  4 y
x 4
2

4
2
Задание 3.8
Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями:
63
1. y  x  x 2 , y  0
2. y 2  ( x  4) 3 , x  0
3. y   x 2  8 , y  x 2
4. 2 y  x 2 , 2 x  2 y  3  0
5. y  2  x 2 , y  x 2
6. xy  4 , 2 x  y  6  0
8. y  2 x  x 2 , y  0
9. y 2  4 x / 3 , y  3
x2 y2

1
16 1
7.
10.
y  e x , x  0, y  0 , x  1
11.
y 2  4x , x 2  4 y
13.
y2  x , x2  y
14.
y  sin x, y 
16.
y  х 2 y  х  5, y  0
17.
y  х2 , y  x
2

x
12.
y 2  ( x  1) 3 , x  2
15.
y
18.
y2 
x2
x3
, y
4
8
3
x, x 2  y 2  1
2
РЯДЫ
Тема 4. Числовые и степенные ряды.
Задание 4.1
Исследовать на сходимость числовой ряд.

1. а ) sin
n 1
2
3n
 5n  1 
в ) 

n 1  5n 


2n  1
n 1
n  2n
б )

2. а) sin
n 1
n2
2n  1
2
n 1 n  4
(n  1) n
n!
n 1


б )
4. а )
n 1

1
n
n 1 (ln( n  2))
в )
n 1
64

n 3  3n
n 1
n

4n

6. a)
n 1

n
5n
n 1 4n !
3n
1
n2  n
1

в )  arctg n 
5 
n 1 
n  7n
б )
5n 2  3
1 

в )  arcsin n 
2 
n 1 
б ) (3n  1) sin
3n  1

1

1
 n 2  5n  8 
в ) 

2
n 1  3n  2 

n 1
1 

в )  arctg

2n  1 
n 1 



б )

3. a )
5. a)

2n
n

n  2 !
n 1
nn
б )

1
n 1 ln( n  2)
7. а )
(n / (n  1))
в )
2n
n 1

  
в )  tg n 
5 
n 1 
3n  1
2
n 1 n  1

3n(n  1)
5n
n 1

2n  1
2
n 1 3n  5

12. а )
 n 1 
в ) 

n 1  4 n 
б )
3n



nn
n 1 n  3!
1
2n
n 1 n  3
14. а )
n!
n
n 1 5 ( n  3)!
б )
 3n  1 
в ) 

n 1  3n 

((n  1) / n) n
(n  1) n / 2
n!
n 1

б )
4n
2

1
(n 2  3)
б )
15. а)
n
n 1 (2n  1)  3
n 1 ( n  1)!

б )
n2

n2
n 1
n3 n
16. а )


б ) n 3tg
n 1
1 

в )  arcsin 
5n 
n 1 
n



n2
3 n (n  2) !
б
)

3
n5
n 1 n  2
n 1
n
3
n 1 n  1
18. а )
17. а)
 n 1 
в ) 

n 1  2n 
n

9
б )   n 7
n 1  10 
10. a)

n2
n 1 n ( n  4)

(2n)!
1
n
n 1 (ln( n  3))

1

в )  arcsin n 
3 
n 1 
n 1
1
2n
n 1 (ln( n  1))
2n

n

13. а )
n 1
2n  13
в )
1
n 1 ln( n  3)
 

в )  sin 3 
n 
n 1 

б )

3n

1
в )
n2
n 1 n !

в )
n 1
б )
11. а )


8. a) 3

n3
n 1 n( n  1)
a )

n 1

3n
n2

9.

б ) (2n  1)tg
n2
2
5n
2n
7n  1
n
n 1 5 ( n  1)!

б )
 3n 2  n  1 
в )  2

n 1  7 n  3n  4 

n
Задание 4.2
Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:

1.
 1n1
 (2n  1)
n 1

3
2.

n 1
 1n1
n  2n
3.

 1n1  2 n
n 1
n4

65

4.
 (1) n1
n 1
 1n1

7.
2n  1
3n
 (ln( n  1))
n 1
 (1) n1
n 1

 (1)
13.
n 1
n 1

 (1) n1
16.
n 1
 n(ln n)
n2
n
(n  1)!
6.
2
 (1) n1
n 1
n
n 1
9.

11.
 1n

 1n


10.
 (1) n
n 1
8.
n
n2 1
n3

5.
2n  1
n(n  1)
14.
2n  1
n ( n  2)
17.
3n
(1)

2n  2
n 1
n

 (1)
n 1
n
n 1
n2
1

 1n1
n2
n ln n

 1n

 (5n  1)
12.
n 1


n3
n2 1
3
 (1)
15.
n 1
n 1
n
n3
n2 1
n 1

5n
n 1 3n 
n 1

18.
Задание 4.3
Найти область сходимости степенного ряда

1.
n 1

4.
2n x n
2
1
2.
nx n1

n 1
 3n
n 1 2
nxn
n!
5.
 (ln x)

n 1
2n x n

n 1 2n  1
10.
 (n(n  1)) x
n
6.
x 2 n1

n 1 2n  1



xn
8. 
n 1 n ( n  1)
n

11.
n 1

n 1
3n x n
3
n
9.
n! x n

n
n 1 n
14.
(n  1) 2 x n

2n
n 1
17.
5n x n
6
n 1
n3

10 n x n
n
n 1
x n 1

n 1
n
n 1 5


x 3n

n
2
n 1 8 ( n  1)

12.


16.
x 3n

n
n 1 8
n 1

13.
3.


7.


n
n

15.

n 1
3n x n
(2n  1) 2 5n

18.
1
 x tg n
n
n 1
Задание 4.4
Разложить данную функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x0  0 :
66
1. y  xe x  1
3. y 
2. y  arcsin x
1
5 x
4. y 
1
2x  1
5. y  ln( 1  4 x)
6. y  e 3 x
7. y  1  sin 2 2 x
8. y  1  sin 2 2 x
9. y  x 2e x
10. y  x ln 1  x 2
11. y 
x
4 x
12. y 
x
2  x2
13. y  x  2 cos 2 x
14. y  ln( 2  x)
15. y  1  2  sin 2 x
16. y  x  cos 3x
17. y 
18. y  x  2  sin 2 x
1
5 x
ъЗадание 4.5
Вычислить приближенно с помощью рядов с заданной точностью   0,001 :
1.
3.
5.
а) arcctg
1
2
1
а) arcsin
3
1
а) arctg
2
0 , 25
б)
 ln( 1  x )
0,5
2.
а) e
3
б)
0
0,5
arctgx 2
dx
б) 
x2
0
1
4.

б) e
а) ln 5
 ln( 1  x
)dx
6.
б)
а) sin 1
0
7.
а) e
б)

а) e
2
sin xdx
0,5
1  x 3 dx,
8.
а)
3
б)
e
x  arctgx
dx
б) 
x2
0
 ln( 1  x
3
)dx
0
0, 2
0,5
9.
x
0
0
5
dx
1
2
0,5
2
 x2 / 2
0
0,5
б)
sin x 2
0 x dx
10. а) cos10
0
б)

x cos xdx
0
67
11.
13.
а) arctg

10
а) lg e
0, 2
б)

xe  x dx
12. а) ln 10
0
б)
15.
17.
1
а)
e
0,5
3

1  x 3 dx
0
0,5
3

1  x 2 dx
14. а) arccos
0
1
а)
3
e
б)
1
3
 x2 
 dx
arctg
0
 2
0,5
б)
0,5
1  cos x
dx
x
0
0 ,8
arctgx
dx
б) 
x
0
16. а) ln 7
б)
0,5

0,5
dx
б) 
1  x5
0
18. а)
5
e
б)
x
2
cos 3xdx
0
Задание 4.6
Разложить функцию f x  с периодом T  2 в ряд Фурье в указанном интервале:
при    x  0,
при
0  x ,
 x
 2x
1. f  x   
2
 ( x   ) при
3. f  x    3

2
при
2  x
0  x  ,
при    x  0,
0
5 f  x  
   x  0,
2
при
0  x ,
 x   / 2 при    x  0,
0
при
0  x ,

2. f  x   
   x  0,
0  x  ,
1  2 x
1

при
при
  2 x
 
при    x  0,
при
0  x ,
4. f  x   
6. f  x   
.
6
   x    при
7. f  x    

6
при
68
   x  0,
0  x ,
1

 x  2
8. f  x   
1


2
при
   x  0,
при
0  x ,
x
при
при
9. f  x   

 x  
x

11. f  x   
   x  0,
0  x ,
при    x  0,
при
0  x ,
2 x 2  1
17. f  x   

1
при
   x  0,
при
0  x ,
0
4 x  3
   x  0,
при
0  x ,
при
при
   x  0,
0  x  ,
14. f  x   
 x  2
x

16. f  x   
при    x  0,
при

12. f  x   
при
0
при

(  x) / 2 при
4
   x    при    x  0,
13. f  x    

4
при
0  x ,
 x

15. f  x    x 2

 
x

10. f  x    
1
0  x  ,
 
 2
18. f  x   
x  

2
   x  0,
0  x  ,
при    x  0,
при
0  x ,
при
   x  0,
при
0  x ,
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Тема 5. Функции нескольких переменных.
Задание 5.1
Найти полные дифференциалы функций:
69

1. z  ln x  xy  y 2

2. z  3x 2  y 2  x
3. z  arcsin( x  y )
4. z  ln( y 2  x 2  3)
5. z  2 x 3 y  4 xy5
6. z e
7. z  e y  x
8. z  arcsin( xy)  3xy 2
9. z  arctg (2 x  y )
10.
z  5 xy 4  2 x 2 y 7
x y 4
11.
z  5xy2  3x 3 y 4
12.
z  x 2 y sin x  3 y
13.
z  ln( 3x 2  2 y 2 )
14.
z  arcctg ( x  y )
15.
z  arctgx  y
16.
z  2  x 3  y 3  5x
17.
z  7 x 3 y  xy
18.
z  arccos( x  y )
70
Задание 5.2
Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u
1.
 2u  2u  2u


 0, u 
x 2 y 2 z 2
3. x 2
1
x2  y2  z2
2
 2u
 2u
2  u

2
xy

y
 0, u  xe y / x
xy
x 2
y 2
2. y
 2u
 u
 (1  y ln x)
, u  xy
xy
x
2
u
 2u  2u
 2  0, u  ln( x 2  y 2  2 x  1)
5.
2
x
y
7.
 2u  2u

 0, u  ln( x 2  ( y  1) 2 )
x 2 y 2
9. 9
11. a 2
 2u  2u
 2 , u  e  cos(x  ay )
2
x
y
 2u
u
 (1  y ln x)
, u  xy
13. y
xy
x
15. x 2
17.
6.
2
 2u
2  u

y
 0, u  e xy
x 2
y 2
u  2 u u  2 u

 0, u  ln( x  e y )
2
x xy y x
2
x2  y2  z2
u u x  y
x2  y2


, u
x y x  y
x y
8. x 2
 2u  2u
 2  0, u  e  ( x 3 y ) sin( x  3 y)
2
x
y
2
 u   u   u 
4.          1,
 x   y   z 
10. x
2
 2u
y
2  u

y
 0, u  y
2
2
x
y
x
u
u
x
y
 0, u  arcsin
x
y
x y
12.
 2u  2u
y
 2  0, u  arctg
2
x
x
y
14.
1 u 1 u
u
y

 2, u 2
x x y y y
(x  y 2 )5
16. x
x
u
u
y
 2u u  ( x 2  y 2 )tg
y
x
y
18.
 2u
x y
 0, u  arctg
1  xy
xy
Задание 5.3
Для функции z  f ( x, y ) в точке M найти градиент и производную по направле
нию a :
1. z  3x 2 y 2  5xy2 ,
 

M (1,1) , a  2i  j



2. z  x 2 y, M (1,1) , a  i  2 j
71



4. z  3x 2  5 y 2 , M (1,1) , a  i  2 j

x
 
3. z  arccos , M (1,2) , a  i  2 j
 y

  
z  x sin( x  y ), M ( , ) , a  2i
4 4



8. z  x 3  2 xy 2 , M (3,3) , a  2i  3 j
x
y



5. z  2 , M (2,1) , a  3i  3 j
7. z  e x
9.
2
 y2
6.

 
, M (1,0) , a  i  2 j


z  ln( 5x 2  4 y 2 ), M (1,1) , a  4i  3 j



10. z  5x  10 x 2 y  y 5 , M (1,2) , a  4i  3 j
 
 x2 

11. z  arcsin  , M (1,2) , a  2i  j
 y 
 

13. z  3x 4  2 x 2 y 3 , M (1,2) , a  3i  j


 x2 

12. z  arcsin  , M (1,2) , a  5i  12 j
 y 



14. z  x 3  y 3  2 xy, M (2,1) , a  4i  3 j



15. z  x 3  2 x 2 y  xy 2  1, M (1,2) , a  3i  4 j
 

16. z  x 2 y, M (1,1) , a  2i  j
 



17. z  arctg xy 2 , M (2,1) , a  5i  4 j



18. z  3x 4  2 x 2 y 3 , M (1,2) , a  4i  3 j
Задание 5.4
Найти наибольшее и наименьшее значение функции z в области D заданной
уравнениями.
1. z  3x  y  xy, D : y  x, y  4, x  0
2. z  xy  x  2 y, D : x  3, y  x, y  0
3. z  x 2  2 xy  4 x  8 y, D : x  0, x  1, y  0
4. z  5 x 2  3xy  y 2 , D : x  0, x  1, y  0, y  1
5. z  x 2  2 xy  y 2  4 x, D : x  y  1  0, x  3, y  0
6.
z  2 x 3  xy 2  y 2 , D : x  0, x  1, y  0, y  6
7. z  x 2  y 2  2 x  2 y  8, D : x  0, y  0, x  y  1  0
8. z  x 2  2 y 2  4 xy  6 x  1, D : x  0, y  0, x  y  3  0
9. z  4( x  y)  x 2  y 2 , D : x  2 y  4, x  2 y  4, x  0
10. z  x 2  xy  2, D : y  4 x 2  4, y  0,
72
11. z 
1 2
x  xy, D : y  8, y  2x 2
2
12. z  5x 2  3xy  y 2  4, D : x  1, x  1, y  1, y  1
13. z  3x  6 y  x 2  xy  y 2 , D : x  0, x  1, y  0, y  1
14. z  x 3  y 3  3xy, D : x  0, x  2, y  1, y  2,
15. z  x 2  2 xy  10, D : y  0, y  x 2  4
16. z  4  2 x 2  y 2 , D : y  1  x 2 , y  0
17. z  xy  3x  2 y, D : x  0, x  4, y  0, y  4
18. z  x 2 y(4  x  y), D : x  0, y  0, y  6  x
73
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Тема 6. Двойные и тройные интегралы.
Задание 6.1
Изменить порядок интегрирования:
1.
2
4 x 2
0
42 x 2
 dx 
4
4.
7.
10.
f ( x, y )dy
25 y 2
 dy 
f ( x, y )dx
0
3 y /2
1
x 2 1
 dx 
f ( x, y ) dy
0
1
4
y4
2
y2 / 2
 dy 
1
1 y
0
 1 y 2
13.  dy

4
7 y
0
y / 4 1
16.  dy
2.

f ( x, y )dx
5.
8.
3
25 x 2
0
9 x
 dx 
0
1 y
1
1 y
2
x 2 / 2 2
 dx 
f ( x, y ) dx
 dx 
6.
0
1 y
1
2 x
0
x3
 dy 
 dy 
4
f ( x, y ) dy
9.
 dy
3 y / 2 4

1
4 y 2
2
12 x
0
3x2
2
y 2 2
0
y
2
1
x2
0
 x2


14.
f ( x, y ) dx
2 y 1
 / 2 y

dy
0
f ( x, y ) dx
y
4
17.  dx
0
25 x 2

f ( x, y ) dy
0
12.  dx 
15.  dx
18.  dx
f ( x, y ) dx
y / 2 1
0
11.  dy
f ( x, y ) dx
f ( x, y ) dy
2x
 /4
f ( x, y ) dx
3.
22 y
0
0
f ( x, y ) dx
f ( x, y ) dy
2
1
f ( x, y ) dy


f ( x, y ) dx
f ( x, y ) dy
Задание 6.2
Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями.
1. x2  1  y, x  y  z  3, y  0, z  0
2. y 2  1  x, x  y  z  1, x  0, z  0
3. y  2 x, x  y  z  2, x  0, z  0
4. y  1  z 2 , y  x, y   x, y  0, z  0
5. y 2  x, x  3, z  x, z  0
6. y  x2 , z  0, y  z  2
7. z  x2  y 2 , x  y  1, x  0, y  0, z  0
8. x  y 2 , x  1, x  y  z  4, z  0
74
9. z  2 x2  y 2 , x  y  4, x  0, y  0, z  0
10. z  y 2 , x  y  1, x  0, z  0
11. z 2  4  x, x 2  y 2  4 x, z  0
12. y  x 2 , y  4, z  2 x  5 y  10, z  0
13. z  10  x2  2 y 2 , y  x, x  1, y  0, z  0
14. x2  y 2  4 y, z 2  4  y, z  0
15. y  x 2 , x  y 2 , z  3x  2 y  6, z  0
16. z  x 2  2 y 2 , y  x, x  0, y  1, z  0
17. x2  y 2  1, z  2  x 2  y 2 , z  0
18. y  x , y  x, x  y  z  2, z  0
Задание 6.3
Вычислить площадь плоской области D, ограниченной заданными линиями.
1. D : xy  1, x 2  y, y  2, x  0
2. D : y  x 2  4 x, y  x  4
3. D : x  4  y 2 , y  3x , x  0
4. D : y 2  4 x, x 2  4 y
5. D : y  x 2 , y   x
6. D : y 2  4 x, x  y  3, y  0
7. D : y 2  4 x, x  y  3, y  0
8. D : y  x 2  1, x  y  3
9. D : y  8 / ( x 2  4), x 2  4 y
10. D : y  2 x 2  2, y  6
11. D : y  cos x, y  x  1, y  0
12. D : y 2  4 x, x  8 / ( y 2  4)
13. D : x  4  y 2 , x  y  2  0
14. D : y  4  x2 , y  x 2  2 x
15. D : y  6 x 2 , x  y  2, x  0
16. D : x  y 2 , x  2  y 2
17. D : x  y 2 , y 2  4  x
18. D : x 2  3 y, y 2  3x
Задание 6.4
75
Вычислить тройной интеграл по области V, ограниченной заданными поверхностями.
1.

V
2.

e y2  z2
y2  z2
dxdydz , V : y 2  z 2  1, x 2  y 2  z 2 , x  0
x 2  y 2  z 2 dxdydz , V : x 2  y 2  z 2  a 2 , x 2  y 2  z 2  a 2
V
3.
 xdxdydz , V : z  1 -
x2  y2 , z  0
V
4.
 ydxdydz , V : z = 1 - (x
 y 2 ), z  0
2
V
5.
 ydxdydz , V : y
2
 x2  z 2 , y  2
V
6.
 dxdydz , V : z 
4 - x 2  y 2 , x 2  y 2  3z
V
7.
 ( x
2
 1)dxdydz , V : x 2  y 2  1, z  x 2  y 2 , z  0
2
 y 2  z )dxdydz , V : x 2  y 2  9, z  0, z  3
V
8.
 ( x
V
9.
 (4  x  y)dxdydz , V : x
2
 y 2  4, z  0, z  1
V
10.
 ( x
 z 2 )dxdydz , V : y = 2, x 2  z 2  2 y
2
V
11.
 z
x 2  y 2 dxdydz , V : y = 0, z = 0, z = 2, x 2  y 2  2 x
V
12.
 ( x
2
 1)dxdydz , V : z 2  x 2  y 2 , z  0, z  1
V
13.
 ydxdydz , V : y  4( x
 z 2 ), y  4
2
V
14.
 5dxdydz , V : z  2 - ( x
2
 y 2 ), z  x 2  y 2
V
15.
 zdxdydz , V : z =
x2  y2 , z  2
V
16.
 dxdydz , V : z 
a 2  x2  y2 , z  x2  y2
V
17.
 zdxdydz , V : z  5( x
2
 y 2 ), x 2  y 2  2, z  0
V
18.
 ( y  3)dxdydz , V : 4y =
x 2  z 2 , x 2  z 2  16, y  0
V
Задание 6.5
С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж.
76
1. y  0, z  0, x  4, y  2 x, z  x 2
2. x 2  y 2  1, z  2  x  y, z  0
3. x 2  y 2  4, z  4  x  y, z  0
4. z  4  y 2 , x 2  y 2  4, z  0
5. z  0, y  9  x 2 , z  2 y
6. z  0, x 2  y 2  9, z  5  x  y
7. z  0, z  4  x, x  2 y , y  2 x
8. x  0, z  0, x  y  4, z  4 y
9. z 2  4  x, x 2  y 2  4 x
10. z  0, x 2  y 2  4, z  x 2  y 2
11. z  y 2 , x  0, z  0, x  y  2
12. x  0, z  0, y  x, z  1  x 2  y 2
13. y  0, z  0, x  3, y  2 x, z  y 2
14. z  0, y  z  2, x 2  y 2  4
15. z  0, y 2  2  x, z  3x
16. z  0, y  2, y  x, z  x 2
17. x  0, z  0, y  2 x, y  3, z 
y
18. z  0, x 2  y 2  9, z  y 2
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Тема 7. Криволинейные и поверхностные интегралы.
Задание 7.1
Вычислить криволинейный интеграл вдоль заданной дуги L.
1.
 (x
2
 y 2 )dx  ( x  y 2 )dy , L AB – отрезок прямой, заключенный между точками
L AB
A(1;2) и B(3;5)
2.  ( x  y)dl , L – первый лепесток лемнискаты Бернулли  2  a 2 cos 2
L
3.
x
2
L
4.
dl
, L – первый виток винтовой линии x  4cos t , y  4sin t , z  3t
 y2  z2
 sin ydx  sin xdy,
L AB : отрезок прямой, заключенный между точками A(0,  ) и
LAB
B( ,0)
5.
 xdy  ydx,
L OAB
– контур треугольника с вершинами O(0;0), A(3;0), B(0;2)
LOAB
77
 xdy  ydx,
6.
LAB : x  a(t  sin t ), y  a(1  cos t ) от точки A(2a,0) до точки B (0;0)
LOAB
7.  xdy  ydx, L AB : x  a cos 3 t , y  a sin 3 t (0  t  2 )
L
 (x
8.
2
 2 xy)dx  ( y 2  2 xy)dy, L AB : y  x 2 от точки A(1;1) до точки B (1;1)
2
 y 2 )dx  ( x 2  y 2 )dy, LAB : y  ( x) от точки A(1;1) до точки B (2;2)
L AB
 (x
9.
L AB
 xydx  ( y  x)dy, L
10.
OB
: y  x 2 от точки O (0;0) до точки B (1;1)
LOB
 ( xy  x
11.
2
)dl , LAB – отрезок прямой, заключенный между точками A(1;1) и
L AB
B (3;3)
12.  ( x 2  y 2 )dl , L – окружность x  2 cos t , y  2 sin t
L

13.
ydx 
LAB
x
dy, LAB  дуга кривой y  e  x от точки A(0;1) до точки B(1;2)
y
14.  (arcsin y  x 2 )dl , L – дуга окружности x  cos t , y  sin t (o  t   / 4)
L

15.
L
x 2 dl
x 2  16 y 2
 2 xydy  x
16.
2
, L – эллипс x  4 cos t , y  sin t
dy , LOA : y  x 3 от точки O (0;0) до точки A(1;1)
LOA
dl

17.
x2  y2  4
LOA
 2 xdy  ydx,
18.
, LOA  отрезок прямой, соединяющий точки O (0;0) и A(1;2)
L AB : x  y 2 от точки A(1;1) до точки B (4;2)
LOA
Задание 7.2
Вычислить поверхностный интеграл второго ряда:
1.
 xzdxdy  xydydz  yzdxdz,
где S- верхняя часть плоскости x+y+z=1, отсеченной
S
координатными плоскостями.
2.
 ( x
2
 y 2 )zdxdy, где S- внешняя сторона нижней половины сферы
S
x  y 2  z 2  9.
2
78
 xydydz  yzdxdz  xzdxdy, где S- внешняя сторона сферы
3.
x 2  y 2  z 2  1, лежа-
S
щая в первом октанте.
4.
 yzdydz  xzdxdz  xydxdy, где S – верхняя сторона плоскости x + y + z = 4,. отсеS
ченной координатными плоскостями.
5.
 zdxdy  ydxdz  xdydz, где S- верхняя сторона поверхности куба, ограниченноS
го плоскостями x  0, y  0, z  0, x  1, y  1, z  1.
6.
 ( z  1)dxdy,
где S-внешняя сторона поверхности сферы x 2  y 2  z 2  16.
S
7.
 xdydz  ydxdz  zdxdy, где S-внешняя сторона сферы
x 2  y 2  z 2  1.
S
8.
 ( y
2
 z 2 )dydz, где S- часть поверхности параболоида x  9  y 2  z 2 (нормаль-
S
ный вектор n который образует острый угол с ортом i ), отсеченная плоскостью
x=0.
9.
 yzdxdy  xzdydz  xydxdz,
где S- наружная поверхность цилиндра x 2  y 2  1, от-
S
сеченная плоскостями z = 0, z = 5 .
10.
 y
2
zdxdy  xzdydz  x 2 ydxdz, где S- часть поверхности параболоида z  x 2  y 2
S
(нормальный вектор n которой образует тупой угол с ортом k ), вырезаемая
цилиндром x 2  y 2  1.
11.
 x
2
dydz  y 2 dxdz  z 2 dxdy, где S-внешняя сторона сферы x 2  y 2  z 2  16, лежа-
S
щая в первом октанте.
12.
 x
2
dydz  z 2 dxdy, где S- часть поверхности конуса z 2  x 2  y 2 (нормальный
S
вектор n которой образует тупой угол с ортом k ), лежащая между плоскостями
z = 0, z = 1.
13.
 (2 y
2
 z )dxdy, где S- часть поверхности параболоида z  x 2  y 2 (нормаль-
S
ный вектор n которой образует тупой угол с ортом k ), отсекаемая плоскостью
z = 2.
79
14.

S
dxdy
x  y 1
2
2
, где S- часть поверхности гиперболоида x 2  y 2  z 2  1 (нор-
мальный вектор n которой образует тупой угол с ортом k ), отсекаемая плоскостями z = 2, z  3.
15.
 z
2
dxdy, где S – верхняя сторона поверхности эллипсоида x 2  y 2  2 z 2  2.
2
dydz  zdxdy, где S- часть поверхности параболоида z  x 2  y 2 (нормаль-
S
16.
 x
S
ный вектор n которой образует тупой угол с ортом k ), отсекаемая плоскостью
z = 4.
17.
 x
2
dydz  y 2 dxdz  zdxdy, где S- часть поверхности конуса z 2  x 2  y 2 (нор-
S
мальный вектор n которой образует острый угол с ортом k ), отсекаемая плоскостями z = 0 и z  3.
18.
 x
2
dydz  z 2 dxdz  zdxdy, где S- часть поверхности параболоида z  3  x 2  y 2
S
(нормальный вектор n которой образует острый угол с ортом k ), отсекаемая
плоскостью z = 0.
80
СПИСОК УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Фихтенгольц А.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления:
учебник Т. 1-3. / А.М Фихтенгольц. – М.: Физматмет, 2006 г.
2. Колмогоров А.В. Элементы теории функций и функционального анализа:
учебник / А.В. Колмогоров. – М.: Физматмет, 2004.
3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: учебное пособие /
В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2008.
4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу:
учебник/ Б.П. Демидович – М.: МГУ, 1997.
5. Бугров Я.С, Никольский С.М.; Высшая математика: Учеб. для вузов: В 3 т. /
Под ред. В.А. Садовничего. — 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004
6. Данко П.Е. , Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Том 1,2.—М.: Высшая школа, 2000.
7. Черненко В.С. Высшая математика в примерах и задачах: учебное пособие Т.
1-3 / В.С. Черненко. – М.: Политехника, 2003.
8. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. – СПб.:Питер, 2005.
– 464 с.
9. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика
для экономистов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 456 с.
10.Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по
высшей математике.1 курс. – М.:Айрис-пресс.2009. – 592 с.
11.Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по
высшей математике.2 курс. – М.:Айрис-пресс.2009. – 592 с.
12.Практикум по высшей математике для экономистов: учебное пособие, /под.
ред. Н.Ш. Кремера. – М.:ЮНИТИ-ДАНА,2004. – 423 с.
13.Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. : В 3-х частях / Под ред. А.П. Рябушко. – Минск.:Вышэйш.шк., 1991.
14.Привалов И.И. Ряды Фурье. – М.:Либроком, 2011, 168 с.
15.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.— М.: Наука,
1985.-384с.
16.Пискунов Н.С.. Дифференциальное и интегральное исчисления Том 1,2.—
М.: Наука, 1988.
17.Романовский. П.Н. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные
функции. Преобразование Лапласа. — М.: Наука, 1986.
81
БОГДАНОВА СВЕТЛАНА ПЕТРОВНА
ЮРЬЕВ МИХАИЛ СЕМЕНОВИЧ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ДЛЯ СТУДЕНТОВ НАПРАВЛЕНИЙ 010400.62
«ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА» И
080100.62 «ЭКОНОМИКА», ВСЕХ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ
Подп. к печати 17.11.2011
Формат 6084 1/16
Усл. печ. л.0,85 п.л.
Уч.-изд. л. 3,75 п.л.
Тираж 200 экз.
Изд. № 001
Заказ №2358
РИО СПбГУСЭ, лицензия ЛР № 040849
Член Издательско-полиграфической Ассоциации университетов России
Государственный регистрационный номер 2047806003595 от 06.02.2004 г.
СПб государственный университет сервиса и экономики
191015, г. Санкт-Петербург, ул. Кавалергардская, 7
82