Целые корни уравнения с целыми

Исполнитель: Учитель математики
высшей категории СОШ №7
с углубленным изучением
английского языка
Даничкина Т.Е.
ВСТУПЛЕНИЕ
Моя основная задача как учителя математики – формировать
культурного человека с хорошей речью. Если учитель русского языка учит
грамматике и орфографии, то учитель математики учит организации речи:
быть экономным в словах и лаконичным в мыслях.
Культурологическая составляющая моих уроков – это не только речь, но
и характер того, что мы изучаем.
Часто в конце изучения темы задаю вопрос: «Есть ли на наших уроках
математики то, что важно в мировой культуре?»
«Безусловно!» - отвечают дети. «Решение квадратных уравнений!»
«Теорема Виета!» Теорема Виета и способы решения квадратных уравнений
входят в сокровищницу мировой культуры. Приводят стихи:
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета…
Разделы школьного курса математики делю по темам
1. глобальная тема, например, «Решение квадратных уравнений».
2. локальная тема – изучение в мелких деталях.
Первая часть помогает провести рефлексию и обобщающие уроки
исходя из второй.
Строя свои уроки, помню: важно, чтобы математика не превратилась в
«кладбище формул». Термин взят у Ремарка о тригонометрии. В то же время,
формулы – мощный технический аппарат. Нужна золотая середина. Поэтому
стараюсь разнообразить уроки, применяя различные педагогические
технологии, придумывая интересные названия разным этапам урока,
привлекая детей к ходу и подготовке урока, рефлексируя результат.
Разработка моего урока по теме 8 класса, обучение ведется по учебнику
под ред. Г.В. Дорофеева «Математика 8. Алгебра. Функции. Анализ данных»
Москва. Просвещение. 2006 г. Рубрика «Для тех, кому интересно» стр. 132 –
135.
Тема урока: «Целые корни уравнения с целыми коэффициентами».
В общеобразовательных школах исследовательские задания обычно
предлагаются лишь тем учащимся, которые проявляют повышенный интерес
к математике. На основе своего опыта, я считаю, каждый учащийся за время
обучения в школе должен приобрести хотя бы скромный опыт в выполнении
подобных заданий.
Задачи урока:
1.
оживить решение некоторый уравнений, применяя следствие из
теоремы Виета, показать, что многие квадратные уравнения
ученик может решать устно.
2.
показать способы решения уравнений с целыми коэффициентами
путем понижения степени.
Воспитательные цели:
1. умение слушать лекцию, задавать вопросы.
2. умение работать в группе.
3. работа над самооценкой.
В классе 30 чел. Дети сидят по группам, по 6 чел. в группе.
Оборудование к уроку:
1. доска, мел.
2. карты с заданиями на каждый стол
3. листы А4, фломастеры для рефлексии.
Генетический опыт:
Изучены формулы квадратного уравнения, теорема Виета.
Задание к уроку (заранее за неделю) группе учащихся: конкретно,
Хлынина Аня, Хлынова Настя, Калинин Константин, предложено
подготовить лекцию по материалу на стр. 132-133.
Начало урока: (на доске) Проблема решить уравнение
2008х²-2009х+1 = 0
t = 1 мин.
Время истекло, дети не укладываются. Почему?
Настя Хлынова: 1. Примените технику «Пристальный взгляд» и
попробуйте подбором найти один корень уравнения.
Обсуждение в группах – корень 1 найден за 1 мин.
2.Подсказка класса, как найти второй корень? Используй теорему…
(Виета) 2 мин.
Сделали
х²-2009/2008Х+1/2008 = 0
второй корень 1/2008 = Х2
Х1 = 1
Возьмите задание на красном листке 5 мин.
Реши
183х²-184х+1 = 0
187х²-185х-2 = 0
33х²-17х+16 = 0
Сделай вывод
Резвись, сколько хочешь
Придумай свои
1.
2.
3.
Задание 2.
5 мин.
Сумма, коэффициент, уравнение, нуль, единица
Придумай СИНКВЕЙН, используя слова.
Ответы зачитываем 2 мин.
«это нам и не приснится: в уравнении корень единица, то не трудно
уловить, коэффициенты лишь сложить. В результате нулик получить»
«если сумму видишь нуль, корень явно единица, стоит мыслям
потрудиться!»
…
Просматриваю результаты работы групп.
2 часть.
Лекция – сообщение Ани Хлыниной. (5 мин)
«Сейчас вы столкнулись с нахождением квадратного уравнения без
использования общей формулы корней, пользуясь техникой «пристальный
взгляд», найдя один корень подбором, а второй по т. Виета.
Познакомимся еще с одним приемом безформульного решения
квадратного уравнения с помощью которого можно отыскать целый корень,
если, конечно, такой есть.
………………………………………………………………………………….
Вывод: всякий целый корень уравнения с целыми коэффициентами
является делителем его свободного члена»
Вопрос классу: Зачем нужен такой прием, если любое квадратное
уравнение можно решать по формуле?
Предполагаемый ответ: в первой части урока видели, если решать по
формуле, то громоздкие вычисления, в то же время легко обнаружить, что
один из его корней 1, второй найти по т. Виета.
Существенно, что этот прием носит общий характер и является
классикой в решении уравнений, т.к. его можно использовать не только для
решения квадратных уравнений, но и уравнений более высоких степеней.
Калинин Костя (5 мин.)
Пример 1. Найдем корни целого уравнения:
2х³+х²-5х+2 = 0
Выпишем делители свободного члена:
1; -1; 2; -2
Помощь групп: х = 1
Если найден корень уравнения, то его левую часть можно разложить на
множители:
(х-х1)(ах²+вх+с)=0
Новый элемент деление на многочлен
2х³+х²-5х+2 = 0
2х³-2х²
3х²-5х
3х²-3х
-2х+2
-2х+2
0
х-1
2х²+3х-2
Имеем: (х-1)( 2х²+3х-2) = 0
Продолжим проверку корней -1, 2, -2; подходит -2, третий корень
находим 2х²+3х-2 = 0
х²+3/2х-1 = 0
-2х3 = -1
х3 = ½
Ответ: 1; -2; ½
Задания в группах:
5 мин.
№ 534 стр. 134
Найдите корни квадратного уравнения не пользуясь формулой корней
2х²-3х+1 = 0
(1;1/2)
4х²+7х+3 = 0
(-1;-3/4)
3х²-10х-8 = 0
(4; -2/3)
3х²+5х-2 = 0
(-2;1/3)
Подсказка: сначала найдите целый корень уравнения.
2 мин.
Установите соответствие
2х²-3х+1 =
4х²+7х+3 =
3х²-10х-8 =
3х²+5х-2 =
2(х+2)(х-1/3)
3(х-4)(х+2/3)
4(х+1)(х+3/4)
2(х-1)(х-1/2)
Итог работы:
Составь схему, коллаж по теме урока 5 мин.
1, 2 группа по 1 части урока
1. Итог
Вижу уравнение
3х²-2х+1 = 0
Σ к = 0, корень 1
Второй по т. Виета.
Ответ
3, 4, 5 группы по 2 части урока.
2.
Вижу уравнение степени выше 2!!!
х³+5х²-17х-21 = 0
1. выписываю делители
свободного члена
2. ищу корень
3. делю на (х-корень)
4. решаю квадратное уравнение
5. ответ
Домашнее задание 1мин.
Резвись, сколько хочешь № 537, 535.
Для тех, кому подумать! 535(а) 538
№ 8 стр. 136.