Метод Гаусса для линейных систем (с примерами)

Файл «МетодГауссаЛинСист»
В.В.Савватеев (30.01.2010)
Решение линейных систем методом Гаусса
Линейное уравнение, связывающее между собой неизвестные u, v, w, z, имеет вид 3u + 7v + 6w +
2z = 15 (то есть каждое неизвестное умножается на какое-нибудь число («коэффициент при неизвестном»), а
результаты складываются и приравниваются к тоже известному числу («правая часть уравнения»)). Коэффициенты и правые части могут быть любыми числами. В связи с этим линейные уравнения могут не иметь
ни одного решения (например, 0u = 5), иметь одно решение (например, 10u = 5) и иметь много решений
(например, уравнение 3u + 7v + 6w + 2z = 15 имеет решения (5, 0, 0, 0), (0, 0, 5/2, 0) и многие другие). Легко
видеть, что это уравнение имеет не просто много решений, а бесконечно много решений. Например, можно
задать произвольным образом значения u, v, w, а значение “z” подобрать таким образом, чтобы сумма
чисел в левой части уравнения оказалась равной 15-и. Можно выбирать произвольно и другие три
неизвестных (например, u, v, z). Если взять u=7, w=0, z=4, то можно вычислить, что v= -2. (В данном случае
получилось так называемое целочисленное решение уравнения, а именно (7, -2, 0, 4). В экономических
задачах в результате решения системы часто должны получаться не просто решения, а обязательно целочисленные – и часто эти целые числа не должны быть отрицательными).
Так как в уравнении 3u + 7v + 6w + 2z = 15 три неизвестных можно выбрать свободно, а четвертое
определяется однозначно, то говорят, что «множество решений этого уравнения имеет три степени свободы». Отметим, что множество решений с одной степенью свободы можно представлять себе в виде точек
кривой линии (которая случайно может оказаться «распрямленной кривой», то есть прямой). Например,
множество решений нелинейного уравнения x2 + y2 = 25 состоит из точек окружности радиуса 5, которая
лежит на плоскости. Нелинейные системы уравнений имеет много свойств, отличающих их от линейных
систем. Например, линейное уравнение (или линейная система уравнений) не может иметь ровно два различных решения – если решений имеется хотя бы два, то обязательно имеется и бесконечное количество
решений. Нелинейное уравнение же может иметь ровно два решения – например, x2 = 9.
Две системы уравнений называются эквивалентными, если каждое решение первой системы является решением второй, а каждое решение второй является также решением первой. Желательно решать системы таким методом, чтобы на каждом шаге решения мы переходили от прежней системы к новой, причем
новая была бы эквивалентной предыдущей системе (но имела более простой вид). К сожалению, для нелинейных систем нет таких удобных методов решения. Как правило, в процессе преобразований системы либо
теряются прежние корни, либо приобретаются посторонние корни. Но если изучать только системы
линейных уравнений (а начинать надо именно с таких систем), то вопрос о наличии решений, а также об их
количестве и о формулах, которые выражают общее решение, можно решить, используя логичный и
удобный метод Гаусса, который ведет нас от исходной системы к новой, эквивалентной ей, и шаг за шагом
(делая простые арифметические преобразования) приводит к полному выяснению вопроса о решениях
данной системы. Единственное, что нужно для успешного доведения до конца метода Гаусса – это твердое
знание нескольких простых правил, которые предложил использовать Гаусс (и которые ни в коем случае
нельзя изменять «по своему усмотрению»), а также внимание и собранность. Метод Гаусса можно
применять на листе бумаги или использовать компьютер (скажем, пакет Excel и даже пакет Word). И в том,
и в другом случае преподавателю надо предъявить промежуточные вычисления, иначе невозможно будет
понять, где совершена ошибка. Отнеситесь к этому вопросу серьезно, так как метод Гаусса используется при
решении очень многих задач геометрии, физики, экономики и т.д. Поэтому его принято проверять
персонально у каждого студента, давая ему все новые и новые попытки решить систему методом Гаусса,
пока этот метод не будет им освоен. ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ. Нелинейные системы нельзя решать методом
Гаусса. Однако знание метода Гаусса для линейных систем иногда помогает разобраться до конца и с
решениями нелинейных систем. А именно, среди нелинейных уравнений часть уравнений может оказаться
линейными («линейная часть нелинейной системы»), а другая часть уравнений может быть сведена к
линейным с помощью замены переменных. Так что на зачете могут быть предложены и такие задачи:
«Решить нелинейную систему путем сведения ее к линейной».
Мы будем рассматривать решение системы из N линейных уравнений с k неизвестными. При этом
допускаются все возможные случаи: и N<k, и N=k, и N>k. Не следует думать, что при N>k система
обязательно не будет иметь решений. Легко привести пример, когда она будет иметь много решений:
2u + v + 3w + z = 1
5u + v + 3w – z = 2
u+v+w+z=0
-3u + 2z = –1
8u + 3v + 7w + z = 3
В самом деле, для этой системы N=5, k=4. Но главную роль играет не общее количество уравнений,
а количество независимых уравнений n. В данном случае первые три уравнения независимы, а 4-е и 5-е
уравнения зависят от них (4-е равно разности 1-го и 2-го, а 5-е равно сумме 1-го, 2-го и 3-го). Поэтому
последние два уравнения не несут никакой новой информации о поведении неизвестных, и их в методе
Гаусса просто отбрасывают. Исходное количество степеней свободы здесь равно четырем, так как имеется 4
неизвестных. (Математики говорят в этом случае, что «решение данной системы является точкой четырехмерного пространства»). Каждое независимое уравнение уменьшает число степеней свободы на единицу.
Остается N – n степеней свободы, то есть в данном случае 5 – 3 = 2 степени свободы. Значит, множество
точек, являющихся решениями этой системы, надо представлять себе в виде плоскости. Правда, плоскость
эта расположена в четырехмерном пространстве, так что «увидеть» ее довольно трудно. Но все ее свойства
такие же, как и у обычной плоскости.
К сожалению, хотя число N всегда бывает известно заранее, но число n найти трудно. Во-первых,
встречаются системы уравнений, которые сами себе противоречат (например, такая система из двух уравнений: x+y=5, 2x+2y=5). Подобные системы не имеют решений, но как выявить противоречие? Оно ведь не
для всех систем так очевидно, как для этой. Во-вторых, если противоречия между уравнениями и нет, то как
узнать, какие уравнения надо вычеркнуть, потому что они зависимы от остальных? На оба вопроса дает
ответ так называемый прямой ход метода Гаусса, а именно – «создание нулей под диагональю» (он будет
подробно объяснен ниже). При осуществлении прямого хода часть уравнений примет вид «0 = 0», и все
такие уравнения надо вычеркнуть, так как они зависимы от других уравнений. Другие уравнения могут
принять вид «0 = с», где с – не равное нулю число. Если встретится хотя бы одно такое уравнение, то
система сама себе противоречит, и далее решать ее не имеет смысла. Допустим, что такой случай нам не
встретился. Тогда прямой ход метода Гаусса даст нам новую систему, эквивалентную исходной. В ней
останется только n уравнений (и все они будут независимы). В этом случае обязательно будет выполняться
неравенство n<k или равенство n=k. В первом случае система имеет бесконечное количество решений с k–n
степенями свободы. Во втором – система имеет единственное решение (то есть нет ни одной степени свободы). В обоих случаях после прямого хода метода Гаусса надо выполнить обратный ход. Он заключается в
том, что происходит движение снизу вверх, в процессе которого все несвободные неизвестные выражаются
через свободные. (Несвободные неизвестные принято называть «главными»). Как отделить главные неизвестные от свободных, будет пояснено ниже. Это отделение можно сделать только после завершения
прямого хода метода Гаусса.
Некоторые понятия, необходимые для изложения сути прямого хода метода Гаусса
Прямоугольная таблица, заполненная числами, называется матрицей. Матрицы бывают прямоугольного вида, квадратного, в виде строки и в виде столбца. Запись «матрица типа (6,4)» означает, что в
этой матрице имеются 6 строк и 4 столбца. У такой матрицы имеются четыре диагонали. Диагональ
матрицы – это воображаемая линия, выходящая из угла матрицы под углом 45 градусов к сторонам этого
угла. Элементы матрицы, попадающие на эту диагональ, называются диагональными элементами. (Например, в матрице (2,2) все элементы диагональны). Диагональ, выходящая из левого верхнего угла матрицы,
называется главной диагональю. Она используется чаще всего. Остальные диагонали называются «побочными» и используются редко. Если не указано, про какую именно диагональ идет речь, то имеется в виду
главная диагональ. Элементы главной диагонали отличаются тем, что у них номер строки равен номеру
столбца. Иногда некоторые диагонали матрицы совпадают (в том смысле, что обе они состоят из одинаковых элементов матрицы), и вместо четырех получается две разных диагонали. Такое явление имеет место
для квадратных матриц, матриц-строк и матриц-столбцов. (Для матриц типа (1,1) все четыре диагонали
совпадают; но такие простые матрицы на практике не используются). Ниже выделены подчеркиванием
диагональные элементы матрицы (3,7) (на главной диагонали стоят числа 7, 2, 0):
7 7 6 3 0 3 6
2 2 5 1 9 4 6
1 0 0 7 3 8 5
Элемент «2» относится и к главной, и к побочной диагонали. Матрица, состоящая из одних нулей,
называется «нулевой». Квадратная матрица, у которой на диагонали стоят единицы, а остальные элементы
равны нулю, называется «единичной». Любую линейную систему из N уравнений с k неизвестными можно
кратко изобразить с помощью комбинации двух матриц: матрицы (N,k), составленной из коэффициентов
при неизвестных (матрица коэффициентов), и матрицы (N,1), составленной из правых частей уравнений
(столбец правых частей). Из этих двух матриц составляется расширенная матрица системы типа (N, k+1).
Чтобы не забыть, какими буквами обозначены неизвестные, и в каком порядке они следуют (так как в
процессе прямого хода метода Гаусса порядок следования может меняться), их записывают над верхней
строкой расширенной матрицы. Например, приведенная выше система 5 уравнений с четырьмя неизвестными u, v, w, z записывается в виде такой расширенной матрицы:
Прав.части
1
u
2
v
1
w
3
z
1
5
1
3
-1
2
1
1
1
1
0
-3
0
0
2
-1
8
3
7
1
3
При выполнении прямого хода метода Гаусса рекомендуется подготовить несколько (порядка пяти)
«заготовок» такого вида, причем высоту и ширину каждой ячейки желательно брать с запасом, так как
старые числа придется вычеркивать, а вместо них вписывать новые. ВНИМАНИЕ! Старые числа надо
именно вычеркивать, а не стирать вообще – иначе не удастся проверить правильность прямого хода.
Расширенную матрицу надо постепенно преобразовывать таким образом, чтобы на диагонали матрицы коэффициентов оказались ненулевые числа, а под диагональю – нулевые. При этом надо действовать
так, чтобы после каждого шага новая система уравнений была эквивалентна исходной. (Числа, стоящие
выше диагонали, могут быть как нулевыми, так и ненулевыми). Разрешается делать только такие преобразования расширенной матрицы системы, которые перечислены ниже.
ПРЯМОЙ ХОД метода Гаусса
1.. Любые две строки можно поменять местами. (Это преобразование, очевидно, не меняет решений
исходной системы, так как уравнения можно записывать в любом желаемом порядке).
2.. Любые два столбца матрицы коэффициентов можно поменять местами (так как неважно, в каком
порядке записывать неизвестные). Например, если есть желание поменять местами неизвестные “v” и “z” в
показанной выше матрице, то надо поменять местами 2-й и 4-й столбец, не забыв при этом над новым
вторым столбцом записать букву z, а над новым четвертым столбцом – букву v.
3.. Любое уравнение можно умножить или поделить на любое ненулевое число. (Эта операция является
подготовительной для успешного выполнения четвертого преобразования, которое является главным
«инструментом» прямого хода метода Гаусса и повторяется многократно).
4.. К любому уравнению можно прибавить любое другое, умноженное на любое число. (Пояснение.
Скажем, к 3-му уравнению (то есть к 3-й строке расширенной матрицы) можно прибавить 2-е, умноженное
на (-7). При этом 3-е уравнение изменится, а 2-е останется прежним!).
Остается неясным, какое же уравнение надо изменить, а также с помощью какого другого уравнения его изменять, и на какое число домножить другое уравнение. Основной целью прямого хода является
создание нулей под диагональю, а именно: сначала создаем нули под первым диагональным элементом (сам
он должен при этом не равняться нулю, что достигается применением либо свойства 1.. , либо свойства 2..),
затем – под вторым диагональным элементом (который к этому моменту уже сделан неравным нулю с
помощью 1.. или 2.. ), и так далее до конца.
Что же будет концом этого процесса? Во-первых, ненулевые диагональные элементы могут дойти
до самого последнего уравнения системы. После этого надо начинать описанный ниже «обратный ход». Вовторых, на очередном шаге мы, быть может, не сумеем сделать диагональный элемент ненулевым ни с
помощью 1.. , ни с помощью 2.. (ведь менять местами можно только оставшиеся внизу уравнения
(предыдущие трогать нельзя, чтобы не испортить уже полученные нули под диагональю), либо только
оставшиеся справа неизвестные (по той же причине)). Но правый нижний угол матрицы коэффициентов,
как назло, может состоять из одних нулей. Что же делать в этом случае? В этом случае последние уравнения
имеют вид либо «0 = 0» , либо «0 = с», где с – ненулевое число. Эти два случая могут чередоваться в любом
порядке. Если хотя бы один раз встречается «0 = с», эта система (а вместе с ней и исходная система) не
имеет решения, на чем метод Гаусса и заканчивается. А если все случаи будут типа «0 = 0», эти уравнения
надо отбросить, как не влияющие на запись решения исходной системы (и перейти к обратному ходу). Втретьих, ненулевые диагональные элементы могут дойти не до самого последнего уравнения, а до самого
последнего неизвестного, то есть упереться в правую границу матрицы коэффициентов. В этом случае
последние уравнения тоже имеют вид либо «0 = 0» , либо «0 = с», где с – ненулевое число. И рассуждения
будут такие же: либо исходная система не имеет решений, либо можно отбросить все оставшиеся уравнения,
так как все они будут иметь вид «0 = 0». После этого надо приступить к обратному ходу метода Гаусса.
ОБРАТНЫЙ ХОД метода Гаусса
Когда прямой ход завершен (а его можно завершить всегда, как пояснено выше), мы уже четко
знаем, какие неизвестные «главные» и какие «свободные». А именно, все неизвестные, для которых удалось
найти ненулевой диагональный элемент, надо считать главными, а все остальные – свободными (мы
перенесем их в правую часть каждого из уравнений, получившихся по окончании прямого хода). После
перенесения свободных неизвестных вправо мы как бы считаем их известными, но произвольными. Система
принимает так называемый «верхний треугольный вид», поскольку под диагональю находятся созданные
нами нули, а уравнения «0 = 0» мы отбросили. Например:
v
y
w
Прав.части
1 -3 -2 16-u+2z
0 -6 17 11+z
0 0 3 1-u-z
В обычной (нематричной) записи уравнения получившейся системы имеют вид:
v -3y -2w = 16 –u +2z,
-6y +17w = 11 +z,
3w = 1 –u +z.
Обратный ход заключается в том, что мы двигаемся по этой «треугольной» системе снизу вверх
и выражаем каждое из главных неизвестных (то есть последнее неизвестное w, предпоследнее y, первое
неизвестное v) через свободные неизвестные (u, z). Получаем: w = (1 –u +z)/3 (это выражение будет использовано в следующих двух строках);
y = (11 +z -17w)/(-6) = (11 +z -17/3 + (17/3) u –(17/3)z)/(-6) = (16 +17u -14z)/(-18) ;
v = 16 –u +2z +3y +2w = 16 –u +2z + (16 +17u -14z)/(-6) + (2 -2u +2z)/3 = 14 – (9/2)u +5z .
На этом обратный ход заканчивается (а вместе с ним заканчивается и метод Гаусса). Мы теперь
знаем ответы на все три вопроса: 1) эта система имеет решения; 2) решений – бесконечное количество (с
двумя степенями свободы); 3) в качестве свободных неизвестных можно выбрать u, z; формулы, выделенные жирным шрифтом, позволяют выразить главные неизвестные через свободные, то есть позволяют
получить любое решение этой системы. Обратите внимание, что все вычисления делались в виде обык-
новенных дробей (а не десятичных, как это обычно делают студенты). Поэтому все решения можно
выразить точно (а не приближенно). Точные решения можно проверить непосредственной подстановкой
в исходную систему и тем самым убедиться, что в применении метода Гаусса не сделано ариф метических ошибок, описок и т.п.
Осталось усвоить последнюю (но самую главную) процедуру в методе Гаусса.
СОЗДАНИЕ НУЛЕЙ ПОД ДИАГОНАЛЬЮ
Начнем с простого примера. Создать нуль под диагональю в системе
13x +6y = 15,
4x -5y = 2.
Решение. Запишем расширенную матрицу системы:
x
y
13
6
15
4
-5
2
x
Ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на (-4/13) (см. свойство 4..) :
y
Прав.части
13
6
15
4 -4
-5-(24/13)
2-(60/13)
Поставленная задача решена: под диагональю получилось число 4 – 4, то есть 0. Но «в наказание» за это второй коэффициент (а также правая часть) стали громоздкими дробями. К сожалению, для
систем с тремя–четырьмя неизвестными метод Гаусса может привести и к гораздо более сложным дро бям. Хотелось бы применять метод Гаусса таким образом, чтобы для систем с целыми коэффици ентами
дроби либо вообще не появлялись, либо (если уж без них не удастся обойтись) появлялись только при
обратном ходе метода Гаусса (который намного проще прямого).
Сделать это можно так: сначала надо первое уравнение умножить на (-4), а второе – на 13:
x
y
-52
-24
- 60
52
-65
26
Затем надо ко второму уравнению прибавить первое, умноженное на единицу (свойство 4.. ), а
потом первое уравнение умножить на (-13/4) (свойство 3.. ), от чего оно вернется в исходное состояние:
x
y
13
6
15
0
-89
-34
С помощью обратного хода получаем ответ: y = 34/89 , x = (15–6y)/13 = 1131/(13*89) = 87/89.
Проверим, что пара дробей (87/89, 34/89) отвечает уравнению 13x+6y=15.
Для этого достаточно убедиться, что 13*87 + 6*34 = 15*89. Это легко проверить на калькуляторе.
Для полной уверенности в правильности решения надо было бы проверить и выполнение другого
уравнения, но мы не будем этого делать.
Таким образом, когда коэффициенты являются целыми, решения целыми быть не обязаны. При
наличии свободных неизвестных можно попытаться их подобрать так, чтобы найти целое решение сис темы. Иногда требуется, чтобы оно было целым неотрицательным. Такие задачи, кроме использования
метода Гаусса, требуют применения еще и других соображений (примеры будут даны ниже). Иногда
одно из уравнений системы имеет хотя и целые коэффициенты, но они намного превышают коэффициенты прочих уравнений. Тогда удобно это уравнение временно отбросить, в оставшихся уравнениях выразить главные неизвестные через свободные методом Гаусса, а потом полученные формулы подста вить
во временно отброшенное уравнение.
ПРИМЕР 1.
На заводе наглядных пособий изготавливаются модели различных геометрических фигур: окта эдра, тетраэдра, куба, квадрата и других. В качестве вершин используются свинцовые дробинки, в ка -
честве ребер – жесткие спицы, в качестве граней – соответствующие правильные многоугольники из
жести. Школа закупила на складе завода некоторое количество октаэдров по 337 руб., тетраэдров по 205
руб., кубов по 330 руб. и квадратов по 141 руб. Общая стоимость закупленных моделей составила 9353
рубля. Общее количество граней на закупленных фигурах равно 164, общее количество ребер 308, общее
количество вершин 210. Рассчитать по этим данным, сколько было закуплено октаэдров (x), тетраэдров
(y), кубов (z) и квадратов (w).
Решение.
Сначала составим по этим данным линейную систему 4-х уравнений с четырьмя неизвестными,
затем решим ее методом Гаусса, а затем попытаемся выяснить вопрос, имеет ли эта задача целые неотри цательные решения (только такие решения нам подойдут).
Напомним, что у октаэдра имеется 6 вершин, 12 ребер и 8 граней. У тетраэдра имеется 4 вершины, 6 ребер и 4 грани. У куба их 8, 12 и 6. Наконец, у квадрата есть 4 вершины, 4 ребра и 1 грань.
Первое уравнение имеет вид 337x + 205y + 330z + 141w = 9353, так как при умножении количества моделей данного вида на их стоимость получается общая сумма денег, потраченных на модель
данного вида. Второе уравнение получается путем подсчета общего количества граней: 8x + 4y + 6z + w
= 164. Далее получаем уравнение общего количества ребер: 12x + 6y + 12z + 4w = 308. Подсчет вершин
дает уравнение 6x + 4y + 8z + 4w = 210. Итого получилось 4 линейных уравнения с четырьмя неизвестными. Однако первое уравнение имеет более крупные коэффициенты, и его лучше сразу поставить
на последнее место. Более того, его лучше пока вообще не учитывать, а сначала применить метод Гаусса
к трем уравнениям:
8x + 4y + 6z + w = 164
12x + 6y + 12z + 4w = 308
6x + 4y + 8z + 4w = 210
x
Запишем расширенную матрицу этой системы:
y z
w Прав.части
8
4
6
1
164
12
6
12
4
308
6
4
8
4
210
Поделим на 2 второе и третье уравнение, чтобы их упростить:
z w Прав.части
x
y
8
4
6
1
164
6
3
6
2
154
3
2
4
2
105
Поменяем местами неизвестные x и w (от этого уменьшатся коэффициенты в первом столбце):
w
y
z
x Прав.части
1
4
6
8
164
2
3
6
6
154
2
2
4
3
105
Из 2-й и 3-й строки вычтем удвоенную 1-ю (двукратное применение свойства 4.. ):
w
y
z
x
Прав.части
1
4
6
8
164
0
-5
-6
-10
-174
0
-6
-8
-13
-223
Поменяем знаки у 2-го и 3-го уравнения (свойство 3.. ):
w
y
z
x Прав.части
1
4
6
8
164
0
5
6
10
174
0
6
8
13
223
Видим, что второй диагональный элемент не равен нулю, то есть можно продолжать прямой ход
метода Гаусса. Теперь надо создавать нули под диагональю не с помощью 1-го, а с помощью 2-го уравнения. Умножим 2-е уравнение на 6, а 3-е – на 5, чтобы сравнялись вторые коэффициенты:
w y z
x Прав.части
1
4
6
8
164
0
30
36
60
1044
0
30
40
65
1115
Из 3-го уравнения вычтем 2-е (свойство 4.. ). При этом под диагональю создастся еще один нуль,
а нули, созданные ранее, сохранятся. Затем приводим второе уравнение в предыдущее состояние путем
деления его на 5. Получаем:
w y z
x Прав.части
1
4
6
8
164
0
5
6
10
174
0
0
4
5
71
На этом заканчивается прямой ход. При его выполнении все числа остались целыми. Свободным
неизвестным оказалось «x» , но при другом способе осуществления прямого хода свободное неизвестное
могло бы оказаться другим. Однако количество свободных неизвестных не зависит от способа выполнения прямого хода. Переходим от матричной записи системы к треугольному виду (и затем осуществляем обратный ход метода Гаусса):
w +4y +6z = 164 -8x;
5y + 6z = 174 -10x;
4z = 71 -5x.
Отсюда z = (71–5x)/4, y = (174–10x–6z)/5 = (135–5x)/10 = (27–x)/2,
w = 164–8x–4y–6z = 164–8x –4(27–x)/2–6(71–5x)/4 = (7+3x)/2.
Формулы, выделенные жирным шрифтом, подставляем в уравнение, выражающее полную стоимость
покупок:
337x + 205y + 330z + 141w = 9353;
337x + 205*(27-x)/2 + 330*(71-5x)/4 + 141*(7+3x)/2 = 9353;
337x – (205/2)x – (330*5/4)x + (141*3/2) = 9353 – 205*27/2 – 330*71/4 – 141*7/2;
33,5x = 234,5; x=7.
Таким образом, если эта задача имеет решения, то в каждом из них обязательно будет x=7.
Линейная система, которая получилась при решении этой задачи, обязательно имеет единственное решение (его мы получим, подставляя x=7 в указанные выше уравнения, выделенные жирным шрифтом).
Однако не всякое решение нам подойдет по физическому смыслу этой задачи: переменные x, y, z, w
обязательно должны быть целыми неотрицательными числами. «К счастью», все они являются именно
такими:
x=7, y=(27–7)/2 = 10, z=(71–5*7)/4 = 9, w=(7+3*7)/2 = 14.
В данном случае, конечно, счастье тут ни при чем – задача решалась для специально подобранных данных. Если изменить одну из правых частей (например, вместо количества вершин 210 взять
140), то поставленная задача не имеет решения. Метод Гаусса приводит в этом случае к формуле
z=(–390–5x)/10,
из которой следует, что при неотрицательном “x” будет отрицательным “z”, что недопустимо.
ПРИМЕР 2. Рассмотрим теперь задачу о восстановлении магического квадрата (определение
см.ниже), в которой количество неизвестных велико, но зато матрица системы является «разреженной»
(то есть содержит очень много нулей). В этом случае приходится часто менять местами столбцы, что
весьма утомительно. Тогда рекомендуется применять метод Гаусса «с воображаемой перестановкой
столбцов», особенно полезный при вычислениях не на компьютере, а на бумаге.
Сначала дадим определение, что такое магический квадрат.
Магический квадрат – это квадратная матрица порядка N, заполненная натуральными числами
от 1 до N2, которые расположены таким образом, что сумма чисел по каждому столбцу одинакова , по
каждой строке одинакова и по каждой из диагоналей (а их имеется две) одинакова. В классическом
случае сумма по строке равна сумме по диагонали (и, конечно, сумма по строке такая же, как сумма по
столбцу – ведь она обязана равняться числу S/N, где S – сумма натуральных чисел от 1 до N2. Число S/N
называется «магическим значением» данного квадрата. Легко вычислить, что оно равно N(N2+1)/2. При
N=1 магический квадрат тривиален. При N=2 он не существует, так как суммы по строкам должны
равняться пяти, а расставляемые числа равны 1, 2, 3, 4. По строкам (или по столбцам) должны
располагаться числа 1+4 и 2+3, но тогда по столбцам (или по строкам) должны располагаться либо пары
1+2, 4+3, – либо пары 1+3, 2+4. Ни в одном случае из этих двух не получается магическое значение 5.
Для каждого из чисел N = 3, 4, 5, … магические квадраты существуют, причем в большом
количестве вариантов. Например, для N=3 и N=4 они могут быть такими:
4 9 2
(магич. значение = 15)
1 15 14 4
(магич. значение = 34)
3 5 7
12 6 7 9
8 1 6
8 10 11 5
13 3 2 16
Интересно отметить, что оба этих квадрата получены математиками не путем подбора «наудачу»
чисел от 1 до 9 (или, соответственно, от 1 до 16), а по строгому правилу, опираясь на запись этих чисел в
исходном естественном порядке (то есть по строкам сверху вниз). Например, для конфигурации
1 2 3
4 5 6
7 8 9
мысленно проводим прямые под углом 45 градусов и (-45) градусов, отделяющие числа друг от друга и
образующие в итоге новый квадрат 3х3:
8
6
4
2
0
0
5
10
При этом четыре числа (а именно: 1, 9, 7, 3) оказываются за пределами нового квадрата, а остальные
пять расположены на нужном месте (то есть на месте, обеспечивающим магичность квадрата). Поворачивая
новый квадрат 3х3 обратно на 45 градусов, получаем почти сформированный магический квадрат 3х3:
4
2
5
8
6
Зная, что магическое значение равно 15, легко догадаться, как именно надо расставить недостающие
числа 1, 9, 7, 3 в пустых клетках квадрата.
Теперь поясним, по какому правилу составлен указанный выше магический квадрат 4х4. Исходное
его заполнение таково:
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
Числа, выделенные жирным шрифтом, образуют «кольцо», которое надо два раза повернуть (один
раз – на 180 градусов относительно вертикальной оси, затем – на 180 градусов относительно горизонтальной
оси). Остальные же числа надо оставить на том месте, где они и находились сначала. Заметьте, что сумма
чисел по диагоналям с самого начала равнялась магическому числу 34. Эти числа так и останутся на
прежних местах (квадрат с «замороженными» диагоналями).
Зачем нужны магические квадраты? На этот вопрос можно дать много ответов. Мы дадим только
один: они нам нужны, чтобы студенты глубже поняли некоторые особенности метода Гаусса для решения
линейных систем уравнений.
Например, решим такую задачу. В магическом квадрате типа 4х4 известны числа, стоящие на
диагоналях (те самые, что указаны выше). Неизвестные нам числа обозначим (x,y,z,u,v,w,s,t) , причем они
следуют в порядке движения сверху вниз по строкам:
1 x y 4
z 6 7 u
v 10 11 w
13 s t 16
С помощью метода Гаусса доказать, что x=15, y=14, z=12, u=9, v=8, w=5, s=3, t=2.
Решение.
Так как по каждой строке и по каждому столбцу сумма равна 34, то мы получаем восемь линейных
уравнений для восьми неизвестных. Это, конечно, не означает, что данная система имеет единственное
решение. Кроме того, нам нужны не просто решения, а целые положительные решения. И не любые целые
положительные, а только взятые (по одному разу каждое неизвестное) из множества (15, 14, 12, 9, 8, 5, 3, 2).
Итак, у нас получится линейная система, у которой неочевидно наличие решений (не получится ли
уравнение типа «0=с», где с не равно нулю), а если наличие доказано, то не очевидно, сколько степеней
свободы имеет множество решений, и можно ли, выбирая нужным образом свободные неизвестные, получить именно магический квадрат 4х4.
Метод Гаусса позволяет резко упростить задачу и ответить почти на все вопросы. Затем добавочные
соображения либо подтвердят, что указанное выше решение единственно, либо… мы изобретем новый
магический квадрат 4х4 !
Запишем сначала уравнения по строкам и столбцам в обычном виде:
x+y = 34–5,
z+u = 34–13,
v+w = 34–21,
s+t = 34–29,
z+v = 34–14,
x+s = 34–16,
y+t = 34–18,
u+w = 34–20
Теперь выпишем расширенную матрицу системы:
x
1
y z
1 0
1
1
1
u v w s
0 0 0 0
1
1 1
1
1
1
1
1
1
t Правые части:
0 29
21
13
1 5
20
18
1 16
14
Пояснение. Матрица является «разреженной», то есть в ней имеется много нулей. Поэтому в первом
уравнении нули «для порядка» выписаны, а далее вместо нулей пишется пустая клетка. Так будет легче
наблюдать за прямым ходом метода Гаусса.
Сначала подчеркиваем число в левом верхнем углу в знак того, что данный диагональный элемент
ненулевой. Затем с его помощью создаем нули под этим элементом. Для этого достаточно только к 6-му
уравнению прибавить 1-е, умноженное на (–1). Проще говоря, вычитаем из 6-го уравнения 1-е:
x
1
y z u v w s t Правые части:
1
0 0 0 0 0 0 29
1 1
21
1 1
13
1 1 5
1
20
-11
1 16
1
1
14
Чтобы двигаться дальше, надо, чтобы 2-й диагональный элемент стал неравен нулю. Тут возможны
три подхода: 1)поменять местами 1-е и 6-е уравнения, либо 2)поменять местами 2-й и 3-й столбец, либо
3)поменять местами 2-й и 4-й столбец. Это значит, что три разных студента, решающие эту задачу методом
Гаусса, получат разные значения коэффициентов преобразованной матрицы и даже, может быть, разные
наборы свободных неизвестных; но множества решений, полученных каждым из студентов, будут
совпадать.
Мы выберем второй подход:
x z y u v w s t Правые части:
1 0 1
0 0 0 0 0 29
1 0
1
21
0 0
1 1
13
0 0
1 1 5
1 0
1
20
0 0 –1
1
-11
0 1
1 16
0 0
1
1
14
Подчеркиваем второй диагональный элемент (так как он теперь ненулевой), и с его помощью
обнуляем все лежащие под ним коэффициенты. А именно, из 5-го уравнения вычитаем 2-е:
x z y u
v w s t Правые части:
1 0 1
0
0 0 0 0 29
1 0
1
21
0 0
1 1
13
0 0
1 1 5
0 0
–1 1
–1
0 0 –1
1
-11
0 1
1 16
0 0
1
1
14
Теперь желательно поменять местами 3-й и 5-й столбец, чтобы третий диагональный элемент стал
не равен нулю. Но можно сделать это не фактически, а «мысленно», просто подчеркнув коэффициент при
неизвестном “v” в 3-м уравнении. Затем обычным методом мы будем создавать нули под подчеркнутым
элементом с помощью свойства 4.. Конкретно для этого достаточно из пятого уравнения вычесть третье,
так как матрица разреженная. Так же можно поступать и далее, подчеркивая все новые и новые ненулевые
элементы, но пока не переставляя столбцы. Запутаться при этом невозможно, так как если подчеркнутый
элемент стоит, скажем, на 14-м месте в 6-м уравнении, то «по закону» ему положено находиться на 6-м
месте в 6-м уравнении. Прямой ход метода Гаусса, таким образом, продолжается до конца, но с «мысленной» перестановкой столбцов. Затем можно сразу сделать все недоделанные перестановки столбцов,
чтобы по диагонали шли сплошь неравные нулю элементы.
Итак, из 5-го уравнения вычитаем 3-е. При этом, однако, надо вычитать полностью все третье
уравнение из всего пятого уравнения, то есть просматривать коэффициенты не только справа от подчеркнутого элемента, но и слева от него (ранее все левые элементы автоматически равнялись нулю, так при
создании очередного нуля под диагональю прежние нули сохранялись). Чтобы не отвлекать своего внимания, все нули в матрице заменим пустыми клетками (это – так называемые «подразумеваемые нули»).
0
–1
1
x
z
1
1
1
y
u
v
w
s
t Правые части:
1
1
29
1
21
1
1
13
1
–1
1
–1
–1
1
1
-11
1
1
1
5
-14
16
14
В качестве 4-го подчеркнутого элемента возьмем коэффициент при “s” в 4-м уравнении и создадим
нули под ним. Но три нуля уже и так созданы. Чтобы получить четвертый, от 6-го уравнения отнимем 4-е:
x
z
1
y
u
v
w
t Правые части:
s
1
29
1
1
21
1
1
13
1
–1
1
5
–1
-14
–1
–1
-16
1
1
16
1
1
14
Пятый диагональный элемент получим, подчеркивая коэффициент при “u” в пятом уравнении, после чего становится ясно, что прибавляя к 8-му уравнению 5-е, мы получаем уравнение типа «0=0», которое
надо отбросить. Шестой диагональный элемент получим, подчеркнув коэффициент при “y” в шестом
уравнении. Прибавляя к 7-му уравнению 6-е, получаем «0=0». Значит, 7-е уравнение тоже надо отбросить.
Итак, в этой системе только 6 независимых уравнений:
x
z
1
y
u
v
w
t Правые части:
s
1
29
1
1
21
1
1
13
1
–1
1
5
–1
-14
–1
–1
-16
Остались неподчеркнутыми элементы только в столбцах “w” и “t”. Эти неизвестные следует
считать свободными. Это значит, что система имеет бесконечное количество решений с двумя степенями
свободы. Однако далеко не каждое решение позволяет получить магический квадрат!
Таким образом, для этой линейной системы (см. начало статьи) N=8, k=8, n = 6. Расставляя столбцы
так, чтобы все 6 подчеркнутых элементов шли по диагонали, и отбрасывая последние два уравнения, а также
умножая «для красоты» 5-е и 6-е уравнение на (–1), получаем:
x
z
v
s
u
1
y
w
t Правые части:
1
1
29
1
21
1
1
1
13
1
1
1
1
5
14
1
16
Начинаем обратный ход метода Гаусса. Запишем уравнения в обычном виде:
x+y =29,
z+u = 21,
v+w = 13,
s+t = 5,
u+w = 14,
y+t = 16.
Двигаясь снизу вверх, выражаем все неизвестные через “w” и “t”:
y = 16–t,
u = 14–w,
s = 5–t,
v = 13–w,
z = 21-u = 21-(14-w) = 7+w,
x = 29-y = 29-(16-t) = 13+t.
На этом стандартная часть решения (метод Гаусса) заканчивается, и надо применить другие соображения. Ясно, что нам надо выбрать целые положительные значения свободных неизвестных w, t таким образом, чтобы главные неизвестные x, z, v, s, u, y тоже были бы целыми положительными (это условие
необходимо, но не достаточно; но мы пока остановимся именно на нем). Из уравнения s = 5-t следует, что t
может быть равно лишь 1, 2, 3, 4. Напомним, что в исходной формулировке задачи требовалось доказать,
что x=15, y=14, z=12, u=9, v=8, w=5, s=3, t=2. Поэтому из этих четырех возможных значений t мы вправе
выбрать t=2 (на то оно и свободное неизвестное!). Аналогично мы можем выбрать w=5 (как требуется в
условии). Но в этом месте и заканчивается наша «свобода выбора», а остальные неизвестные придется выбирать не «как требуется в задаче», а как диктуют вполне определенные формулы общего решения, полу-
ченные методом Гаусса. Подойдут ли нам полученные значения остальных неизвестных, пока неизвестно.
Вычисления по формулам дают: y=14, u=9, s=3, v=8 (все это пока соответствует требуемым значениям).
Далее, z=7+5=12 и, наконец, x=13+2=15. Все требуемые значения подтверждены, и задача решена. Но такое
решение нельзя признать безупречным, так как оно неполное. А может, при других значениях t,w получится
еще одно решение, то есть еще один магический квадрат? Попытаемся найти его. Так как s=5-t, то можно
брать только t=1, t=2, t=3, t=4 (далее s перестает быть положительным). Но значения 1 и 4 использованы на
диагоналях квадрата, а значение 2 мы уже брали. Осталось исследовать значение 3. При таком выборе t
получаем, что y=16-t =13. Такое значение тоже уже использовано на диагонали квадрата. Следовательно,
t=2. В качестве w мы взяли число 5. А могли ли мы взять другое число? Потенциально нам доступны только
числа 2,3,5,8,9,12,14,15. Учитывая, что из них уже использованы t=2, y=16-t =14, s=5-t = 3, x=13+t = 15, а
значение 5 использовать не следует, так как мы хотим получить в качестве w что-то новое, у нас остаются
только такие возможности для w: 8, 9, 12. Последнее число не подходит, так как получится z=7+w=19. Не
подходит и 9 (z=7+w=16; это число уже использовано на диагонали). Наконец, при w=8 получается z=15,
что уже использовано при нахождении значения “x”.
Теперь видно, что не только можно было взять свободные неизвестные t=2,w=5, но и нужно было
это сделать. Иначе квадрат не будет магическим. Ну, наконец-то! Только осталось в душе ощущение, что
нами решена несоразмерно громоздкая задача.
Чтобы читатели поняли, в чем тут суть дела (и немного отдохнули), я расскажу историю, которая
однажды произошла с американским изобретателем Эдисоном. Он, проживая летом на загородном участке,
пригласил к себе двух своих хороших знакомых, над которыми он никоим образом не собирался подшутить.
Но, подойдя к его дому, знакомые никак не могли открыть садовую калитку, которая открывалась очень
туго, и, наконец, пыхтя, с трудом открыли ее вдвоем. Они пожаловались на это Эдисону, на что он
благодушно сказал: «Это неудивительно! Ведь, открывая калитку, вы накачали в бочку, стоящую на крыше
сарая, 10 литров воды». Вот и мы, применяя метод Гаусса к этой задаче, сделали гораздо больше, чем
собирались. Поскольку этот метод выявляет все без исключения решения системы, то мы, фактически,
доказали следующую теорему:
Имеется только один магический квадрат 4х4 с «замороженными диагоналями».
Напомним, что магический квадрат 4х4, рассмотренный нами выше, получался из чисел, которые
вначале были расположены в естественном порядке, а потом числа, не стоящие на диагоналях, переставлялись для достижения «магичности» квадрата. Один такой способ был известен давно – его кратко
называют «двойной поворот колеса». Наше небольшое исследование показало, что никаких других способов
быть не может. Этот факт не очевиден, так как общее количество различных магических квадратов 4х4
исчисляется сотнями!
ПРИМЕР 3. Симметризация магического квадрата 3х3.
В квадрате 3х3, приведенном выше, имеется центральная клетка. В числах, заполняющих его:
(1 2 3 4 5 6 7 8 9) – имеется центральное число 5. Центральное число стоит в центральной клетке. Изучить
все магические квадраты 3х3 с таким свойством. Числа, заполняющие квадрат, выбрать в виде такой
прогрессии: -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. Для таких чисел магическое число будет равно нулю.
Решение. Числа, заполняющие квадрат (кроме центрального, равного нулю) обозначим m, n, p, q, r,
s, t, u:
m n p
q 0 r
s t u
Приравнивая нулю суммы по строкам, столбцам и диагоналям, получаем линейную систему:
m n p q r s t u пр.ч.
1 1 1 0 0 0 0 0 0
1 1
0
1 1 1 0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1 0
1
1 0
1
1
0
Подчеркиваем ненулевой элемент в левом верхнем углу и вычитаем 1-е уравнение из 4-го и 7-го:
m n
p q r s t u пр.ч.
1 1 1 0 0 0 0 0 0
1 1
0
1 1 1 0
0 -1 -1 1
1
0
1
1
0
1
1
1 0
0 -1 -1
1 0
1
1
0
Мысленно переставляя 2-й и 4-й столбец, делаем ненулевым 2-й диагональный элемент. Создаем
под ним нуль в 4-м уравнении:
m n p q r
s t u пр.ч.
1 1 1 0 0 0 0 0 0
1 1
0
1 1 1 0
0 -1 -1 0 -1 1
0
1
1
0
1
1
1 0
0 -1 -1
1 0
1
1
0
Аналогичным образом подчеркиваем будущий 3-й диагональный элемент (столбец s) и вычитаем
3-е уравнение из 4-го и 8-го:
m n p q r
s t u пр.ч.
1 1 1 0 0 0 0 0 0
1 1
0
1 1 1 0
0 -1 -1 0 -1 0 -1 -1 0
1
1
0
1
1
1 0
0 -1 -1
1 0
1
0 -1 -1 0
Меняем знак 4-го уравнения. Переставляем местами 4-е и 5-е уравнения:
m n p q r
s t u пр.ч.
1 1 1 0 0 0 0 0 0
1 1
0
1 1 1 0
1
1
0
0 1 1 0 1 0 1 1 0
1
1
1 0
0 -1 -1
1 0
1
0 -1 -1 0
Подчеркиваем 4-й элемент в столбце n. Вычитаем 4-е уравнение из 5-го и прибавляем его к 7-му:
m n p q r
s t u пр.ч.
1 1 1 0 0 0 0 0 0
1 1
0
1 1 1 0
1
1
0
0 0 1 0 1 0 0 1 0
1
1
1 0
0
-1
1 1 0
1
0 -1 -1 0
Подчеркиваем 5-й элемент 3-го столбца. Создаем под ним нули:
m n p q r
s t u пр.ч.
1 1 1 0 0 0 0 0 0
1 1
0
1 1 1 0
1
1
0
0 0 1 0 1 0 0 1 0
0
0
0 0
0
0
1
1 2 0
0
-1 0 -1 -2 0
Отбрасываем 6-е уравнение (оно типа 0=0) и последнее уравнение (если к нему прибавить 7-е
уравнение, оно тоже примет вид 0=0). Для ясности убираем все нули таблицы, кроме как в столбце правых
частей:
m n p q r s t u пр.ч.
1 1 1
0
1 1
0
1 1 1 0
1
1
0
1
1
1 0
1
1 2 0
Подчеркиваем 6-й элемент столбца r и располагаем столбцы в естественном для метода Гаусса
порядке (то есть в порядке (m q s n p r)):
m q s n p r t u пр.ч.
1
1 1
0
1
1
0
1
1 1 0
1
1
0
1 1
1 0
1 1 2 0
Прямой ход метода Гаусса закончен. Свободными неизвестными являются t,u. Обратным ходом
выражаем главные неизвестные через свободные:
r = -t -2u,
p = -r-u = t+2u-u = t+u,
n = -t,
s = -t-u,
q = t+2u,
m = -n-p = t-t-u = -u.
Легко видеть, что, согласно этим формулам, центрально-симметричные неизвестные должны быть
противоположными числами. Можно понять, что «угловое» свободное неизвестное u (которое должно выбираться из прогрессии (-4, -3, … , 4)), не может быть по модулю равно 4, так как не удастся обеспечить
равенство нулю суммы элементов последнего столбца и одновременно последней строки, ибо (-4) можно
«погасить» только суммой чисел 1+3, и тогда для «гашения» его в другом направлении остается только одно
положительное число 2 и одно положительное число 4. В то же время ясно, что поворот любого магического
квадрата на 90, 180 и 270 градусов по-прежнему оставляет его магическим. Таким образом, поставленная
задача имеет четыре решения:
-1 4 -3
-3 2 1
1 -4 3
3 -2 -1
-2 0 2
4 0 -4
2 0 -2
-4 0 4
3 -4 1
-1 -2 3
-3 4 -1
1 2 -3
Первое и третье решения, а также второе и четвертое противоположны друг другу. Среднее число в
3-й строке равно значению t, последнее – значению u. Видно, что они разной четности.
ПРИМЕР 4. Метод Гаусса для системы с параметром.
Решить систему с параметром «а»:
ax + y +z = 1,
x + ay +z = a,
x + y +az = a2.
Запишем в матричном виде:
x y z Пр.ч.
a 1 1 1
1 a 1 a
1 1 a a2
Поменяем местами 1-е и 3-е уравнения, чтобы не возникало вопроса о том, равен или не равен нулю
первый диагональный элемент:
x y z Пр.ч.
1 1 a a2
1 a 1 a
a 1 1 1
От второго уравнения отнимем 1-е. От 3-го отнимем 1-е, умноженное на «а»:
y z Пр.ч.
1
a
a2
a-1 1-а a-а2
1-а 1-а2 1-а3
Если а=1, то 2-е и 3-е уравнения надо отбросить как уравнения вида 0=0. После этого остается одно
уравнение x+y+z=1 с двумя степенями свободы.
Если «а» не равно 1, то 2-е и 3-е уравнение можно сократить на (а-1):
x y z Пр.ч.
1 1 a
a2
0 1 -1
-a
0 -1 -1-а -1-а-а2
К 3-му уравнению прибавим 2-е:
x y z Пр.ч.
1 1 a
a2
0 1 -1
-a
0 0 -2-а -1-2а-а2
Если а=-2, то последнее уравнение имеет вид 0=-1, то есть система не имеет решений.
Если «а» не равно ни 1, ни -2, обратный ход позволяет найти единственное решение этой системы:
x = (-1-a)/(2+a),
y = 1/(2+a),
z = (1+a)2/(2+a).
Заслуживает также особого внимания значение a=0, ничем не примечательное с точки зрения
метода Гаусса (если не считать, что именно из-за этого мы «на всякий случай» поменяли местами 3-е и 1-е
уравнения): при этом «а» x = -1/2, y = 1/2, z =1/2. С точки зрения аналитической геометрии предыдущие три
формулы определяют кривую в пространстве, заданную параметрически. При подходе к значению параметра а = -2 точка кривой удаляется в бесконечность. Поведение решений этой системы в окрестности
значения а=1 требует изучения поведения точек в 4-мерном пространстве (x, y, z, a) и к исходной задаче не
относится. Мы его делать не будем.
x
1
0
0
ПРИМЕР 5. Задача-шутка. Задать две плоскости с помощью линейных уравнений таким образом,
чтобы они пересекались ровно в одной точке (а не по прямой, как это обычно бывает).
Решение.
Первая плоскость задается системой x+y+2z=4, x-y-u=-1.
Вторая плоскость задается системой 3x+4y+5z=12, 5x+5u=10.
Первая система линейная, решения ее имеют две степени свободы – значит, это действительно
плоскость. То же верно и для второй системы. А то, что они пересекаются только в одной точке, мы
докажем методом Гаусса, потребовав, чтобы все четыре уравнения выполнялись одновременно (см. ниже).
Так в чем же шутка? Шутка в том, что обе эти плоскости расположены не в обычном пространстве, а в
четырехмерном. Поэтому «увидеть» их было бы затруднительно. Но ведь в задаче этого и не требуется!
Итак, запишем матрицу системы четырех линейных уравнений:
x y z u Пр.части
1 1 2 0 4
1 -1 0 -1 -1
3 4 5 0 12
5 0 0 5 10
Вычитаем 1-е уравнение из 2-го:
x y z
u Пр.части
1 1 2 0 4
0 -2 -2 -1 -5
3 4 5 0 12
5 0 0 5 10
Утроим 1-е уравнение и вычтем из 3-го, потом приведем 1-е уравнение в исходное состояние:
x y z u Пр.части
1 1 2 0
4
0 -2 -2 -1 -5
0 1 -1 0
0
5 0 0 5 10
Сократим на пять 4-е уравнение и вычтем из него 1-е:
z u Пр.части
2 0
4
-2 -1 -5
-1 0
0
-2 1 -2
Удвоим 3-е и 4-е уравнения, в 4-м поменяем знак (чтобы удобнее было создавать нули под диагональю во втором столбце):
x y z u Пр.части
1 1 2 0
4
0 -2 -2 -1 -5
0 2 -2 0
0
0 2 4 -2 4
Прибавим 2-е уравнение к 3-му и 4-му:
x y z
u Пр.части
1 1 2 0 4
0 -2 -2 -1 -5
0 0 -4 -1 -5
0 0 2 -3 -1
Удваиваем 4-е уравнение и прибавляем к нему 3-е:
x y z u Пр.части
1 1 2 0 4
0 -2 -2 -1 -5
0 0 -4 -1 -5
0 0 0 -7 -7
Сокращаем последнее уравнение на (-7) и переходим к обратному ходу метода Гаусса. В данном
случае свободные неизвестные отсутствуют, и получаем: u=1, z=1, y=1, x=1. Итак, данные две плоскости
пересекаются в единственной точке (1, 1, 1, 1).
x
1
0
0
0
y
1
-2
1
-1
ПРИМЕР 6. От нелинейной системы – к линейной.
При каком значении положительного параметра «а» следующая нелинейная система имеет ровно
два решения:
x2/25 + y2/16 = 1,
x2 + y2 = a2.
Обозначая x2 за u, y2 за v, решаем линейную систему
u/25+v/16=1,
u+v=a2.
Вычитая из второго уравнения первое, умноженное на 25, получаем систему треугольного вида,
имеющую единственное решение v=16(25–a2)/9, u=25(a2–16)/9. Так как u,v обозначают квадраты некоторых
чисел, то эти переменные не могут быть отрицательными. Отсюда следует ограничение на параметр «а»:
16 ≤ a2 ≤ 25. Если оба эти неравенства строгие, то мы получим четыре разных решения. Если одно из
неравенств превращается в равенство, то вместо четырех решений будет только два (так как корень из нуля
имеет не два значения, а только одно). Итак, решениями задачи являются а=4 и а=5. (Рекомендуется
нарисовать на плоскости две кривые второго порядка, которые образуют данную нелинейную систему, и
понять, почему этот ответ является геометрически очевидным).
Для самостоятельного решения
Проверьте свои силы, решив методом Гаусса систему следующего вида (в этой системе «a» означает
количество букв в Вашей фамилии, «b» – количество букв в Вашем имени. Если Вы чувствуете себя
уверенно, можно решать эту систему сразу для всех a, b – то есть как систему с двумя параметрами):
x +ay + (b+1)z = a+b,
x + y +az = a-b,
ax – y + bz = a,
(a+2)x + ay + (a+2b+1)z = 3a.
Желаю успеха!