Экзаменационные вопросы по математике 1 курс , 2 семестр

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Южно-российский государственный университет экономики и сервиса»
(ФГБОУ ВПО «ЮРГУЭС»)
Кавминводский институт сервиса (филиал)
(КМВИС ФГБОУ ВПО «ЮРГУЭС»)
Присяжнюк С.И.
МАТЕМАТИКА
учебно-методическое пособие по выполнению контрольной работы № 2
для студентов факультета заочного и дистанционного обучения
Пятигорск
2011г.
УДК 51
ББК 22.1
П 77
Кафедра «Информационные системы технологии и связь»
Составитель:
к.т.н., доцент Присяжнюк С.И.
Рецензент:
к.б.н., доцент Полунина С. А.
Присяжнюк С.И.
Математика: учебно-методическое пособие по выполнению контрольной
работы № 2 для студентов факультета заочного и дистанционного обучения.
Пятигрск: КМВИС, 2011г. - 60с.
Данное
учебно-методическое пособие содержит правила оформления
контрольной работы, методику поиска нужного варианта, контрольные задания,
основные теоретические сведения, примеры решения типовых задач, вопросы для
подготовки к экзамену, необходимую литературу. Методическое пособие
предназначено для студентов заочного факультета (1курс, 2 сем.)
Учебно-методическое пособие составлено в соответствии
с рабочей
программой дисциплины.
Пособие печатается по решению Методического совета КМВИС для
внутривузовского пользования (протокол № 2 от 17.10.2011 г.)
© КМВИС ФГБОУ ВПО «ЮРГУЭС»
© Присяжнюк С.И.
СОДЕРЖАНИЕ
1.Требования к оформлению контрольных работ
2. Формулировка задания
3. Основные теоретические определения и формулы.
Примеры решения типовых задач.
а) Интегральное исчисление
б) Функции нескольких переменных
в) Дифференциальные уравнения
4. Экзаменационные вопросы за 2-й семестр.
5. Список рекомендуемой литературы.
1.Требования к оформлению контрольных работ
1. Контрольные работы следует выполнять в ученических тетрадях (желательно
в клетку). На обложке необходимо указать: название ВУЗа, номер и название
контрольной работы: название специальности; фамилию, имя, отчество и
личный шифр студента (номер зачетной книжки).
2. На каждой странице надо оставить поля размером 4 см для оценки задач и
методических указаний проверяющего работу.
3. Условия задач переписывать необязательно, достаточно указать номер задачи
по данному сборнику.
Формирование исходных данных к задачам
Каждая контрольная работа состоит из задач одного или нескольких разделов
сборника.
Условия задач, входящих в контрольную работу, одинаковы для всех
студентов, однако числовые данные задач зависят от личного шифра студента,
выполняющего работу.
Для того, чтобы получить свои личные числовые данные, необходимо взять
две последние цифры своего шифра ( А — предпоследняя цифра, В —
последняя) и выбрать из таблицы 1 параметр т, а из таблицы 2 параметр п. Эти
два числа т и n и нужно подставить в условия задач контрольной работы.
Таблица 1 (выбор параметра m )
A
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
m
4
3
5
1
3
2
4
2
1
5
Таблица 2 (выбор параметра n )
B
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n
3
2
1
4
5
3
1
5
2
4
Например, если шифр студента 1037 — 037, то А = 3, В = 7, и из таблиц
находим, что m = 1, n = 5. Полученные т = 1 и п = 5 подставляются в условия
всех задач контрольной работы этого студента.
2. Формулировка задания.
Интегральное исчисление. Неопределенный интеграл.
1Найти интегралы:
а)
 ( mx
б) 
n

n
m1
x
dx
x mx  nx 2
n 1
 mn )2 dx ;
;
в)  ( x  m )2 e  nx dx ;
nx  m 2  n 2
г)  3
dx ;
x  2nx 2  ( m 2  n 2 ) x
Несобственные интегралы.
2. Вычислить интегралы или установить их расходимость:

dx
 ( n2  x 2 )arctg( x / n ) ;
а)
n
mn
б) 
n
dx
x 2  ( m  n ) x  mn
.
Применения определенных интегралов.
3.1. Построить
схематический
чертеж
и
найти
площадь
ограниченной линиями:
а) у — х2 + тх — п2, (тп + п2)х - (m + п)у 4- т2п — n3 = 0 ;
б) (х2 + у2)2 = 2{m + п)2ху .
3.2 Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ
фигуры, ограниченной линиями:
у = 0, y 
x2
,
m
mx +ny - т2 - тп = 0 .
фигуры,
Функции нескольких переменных.
Частные производные и дифференциал функции.
4.1 Найти частные производные z'x, z'y и z’’y функций:
а) г = {х- т)2 уп + хт {у + п)3 + тп ;
б) z  e
xm
yn
.
4.2 Найти дифференциал dz функции
z = sin2(тх2 — пу2) .
Приложения частных производных.
5.1 Для функции z = ln (тх2 + пу2) в точке А(-п; т) найти градиент и



производную по направлению a  mi  nj .
5.2 Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z=4х2 + у2 - 4тх - пу + т2 + п2 в области, заданной неравенствами:
х ≥ 0;
пх - ту ≤ 0;
х + у - т - п ≤ 0.
Диффференциальные уравнения.
Уравнения первого порядка.
6.1 Найти общее решение уравнения:
а) y  e mx ny ;
б) ( nx  my ) y   mx  ny ;
в) ( m 2  x 2 ) y  ny  arctg
г) y 
x
;
m
my
 x 2 y n 1 .
x
6.2 Скорость роста банковского вклада пропорциональна с коэффициентом
равным га величине вклада. Найти закон изменения величины вклада со
временем,
если
первоначальная
сумма
вклада составляла п миллионов рублей.
Линейные уравнения высших порядков.
6.3 Решить задачу Коши:
а) y  ( m  n ) y  mn y   0 ,
y( 0 )  0 , y ( 0 )  m , y ( 0 )  n ;
б) y  2ny  n 2 y  ( x  m )e ( m n ) x , y( 0 )  m , y ( 0 )  n ;
в) y  n 2 y  sin( mx , ) y( 0 )  0 , y ( 0 )  m  n .
3. Основные теоретические определения и формулы. Примеры решения
типовых задач.
Неопределенный интеграл
Определение. Неопределенным интегралом от функции y = f(x)
называется выражение вида  f ( x)dx  F ( x)  C , если F ( x)  f ( x) . Функция F(x)
называется первообразной для заданной функции f(x).
При интегрировании наиболее часто используются следующие методы:
1) Если
1
 f ( x)dx  F ( x)  C, то  f (ax)dx  a F (ax)  C;
 f ( x  b)dx  F ( x  b)  C
где a и b – некоторые постоянные.
1) Подведение под знак дифференциала:
 f ( ( x)) ( x)dx   f ( ( x))d ( ( x)),
так как  ( x)dx  d ( x).
3) Формула интегрирования по частям:
 udv  uv   vdu.
Обычно выражение dv выбирается так, чтобы его интегрирование не
вызывало особых затруднений. Зa u, как правило, принимается такая функция,
дифференцирование которой приводит к ее упрощению. К классам функций,
интегрируемым по частям, относятся, в частности функции вида P(x)eax, P(x)sinax,
P(x)cosax, P(x)lnx, P(x)arcsinx, P(x)arctgx, где P(x) – многочлен от x.
4)
Интегрирование
радиальных
дробей
Pn ( x)
сводится
Qn ( x)
к
подынтегральной функции на элементарные дроби:
а) корни Qn(x) простые вещественные:
Pn ( x)
A
B
C
;


 ... 
( x  a)( x  b)...(x  c) x  a x  b
xc
б) среди корней знаменателя есть кратные:
разложению
Pn ( x)
( x  a )( x  b) k

A
B
C
D



...

;
x  a x  b ( x  b) 2
( x  b) k
в) среди корней знаменателя есть комплексные:
Pn ( x)
( x  a)( x 2  px  c)

A
Bx  C
 2
.
x  a x  px  c
y  x 2  px  c – не имеет действительных корней.
5) Интегрирование тригонометрических выражений.
1. Интегрирование выражений R(sin x, cos x) .
С помощью «универсальной» подстановки t  tg
R(sin x, cos x)
x
интегралы от функций
2
приводятся к интегралам от рациональных функций новой
переменной t. Действительно, подставляя в подынтегральное выражение
sin x 
2t
1 t
, cos x 
2
1 t2
2dt
1 t
1 t2
, dx 
2
, получаем:
2t 1  t 2 2dt
R
(sin
x
,
cos
x
)
dx

R
(
,
)
.


1 t2 1 t2 1 t2
Если подынтегральная функция имеет специальный вид, то лучше
применять подстановки, требующие меньше вычислений:
1. Если R(sin x, cos x)  R1(sin x, cos 2 x) cos x , то применяем подстановку
t  sin x . Действительно, подынтегральное выражение приобретает вид
R(sin x, cos x)  R1 (sin x, cos 2 x) cos x  R1 (t ,1  t 2 )dt .
2. Если R(sin x, cos x)  R 2 (sin 2 x, cos x) sin x , то применяем подстановку
t  cos x . Действительно, подынтегральное выражение приобретает вид
R(sin x, cos x)  R1 (sin 2 x, cos x) sin x   R1(1  t 2 , t )dt .
3.
Если
R(sin x, cos x)  R 3 (tgx ) ,
то
применяем
подстановку
Действительно, подынтегральное выражение приобретает вид
R(sin x, cos x)  R 3 (tgx)  R 3 (t )
dt
1 t2
.
t  tgx .
4. Если R(sin x, cos x)  R 4 (sin 2 x, cos 2 x) или R(sin x, cos x)  R 5 (sin 2 x, cos 2 x) , то
применяем подстановку t  tgx , тогда:
sin 2 x 
2t
1 t
, cos 2 x 
2
1 t2
dt
1 t
1 t2
, dx 
2
,
или
sin x 
t2
2
1 t
2
, cos2 x 
1
1 t
2
, dx 
dt
1 t 2
.
2. Интегрирование выражений  sin 2m x cos2n xdx .
Для
решения
данных
тригонометрических
выражений
необходимо
применять формулы понижения степени:
sin 2 x 
1
1  cos2 x , cos2 x  1 1  cos2 x , sin x cos x  1 sin 2 x
2
2
2
до тех пор, пока не придем к табличным интегралам или к интегралам, которые
известным образом сводятся к табличным.
3. Интегрирование выражений  tg m xdx ,  ctg m xdx .
Для
решения
данных
тригонометрических
выражений
необходимо
применять формулы: tg 2 x  sec 2 x  1, ctg 2 x  cos ec 2 x  1 .
4. Интегрирование выражений
 sin mx cosnxdx ,  cosmx cosnxdx ,  sin mx sin nxdx .
Для
решения
данных
тригонометрических
выражений
применять формулы:
1
cos     cos   ,
2
1
cos cos   cos     cos   ,
2
1
sin  cos   sin      sin    .
2
sin  sin  
необходимо
6. Таблица основных интегралов:
1.  dx  x  C ,
1.  du  u  C ,
1 2
x  C,
2
2.  xdx 
2.  udu 
u a 1
3.  u du 
 C,
a 1
x a 1
3.  x dx 
 C,
a 1
a
4.
a
dx
 x  ln x  C ,
5.

dx
x
a

6.  a x dx 
4.
1
(a  1) x
a 1
 C,
ax
 C,
ln a
7.  e x dx  e x  C,
8.

1 2
u  C,
2
dx
 2 x  C,
x
5.
du
 u  ln u  C ,

du
u
a

6.  a u du 
1
(a  1)u
a 1
 C,
au
 C,
ln a
7.  e u du  e u  C,
8.

du
 2 u  C,
u
9.  sin xdx   cos x  C ,
9.  sin udu   cosu  C ,
10.  cos xdx  sin x  C ,
10.  cosudu  sin u  C ,
11  tgxdx   ln cos x  C ,
11.  tgudu   ln cosu  C ,
12.  ctgxdx  ln sin x  C ,
12.  ctgudu  ln sin u  C ,
13.
1
dx
x
 sin x  ln tg 2  C ,
13.
du
u
 sin u  ln tg 2  C ,
14.
dx
x 
 ln tg (  )  C ,
cos x
2 4
du
u 
 cosu  ln tg ( 2  4 )  C ,
15.

16.

17.

dx
sin 2 x
dx
2
cos x
 ctgx  C ,
15.

 tgx  C ,
16.

dx
1 x
2
 arcsin x  C , 17. 
du
sin 2 u
du
cos2 u
 ctgu  C ,
 tgu  C ,
du
1 u
2
 arcsin u  C ,
18.
18.
dx

 arcsin
a2  x2
dx
19.
20.


x
 C,
a
x2  
dx
19.
ln x  x    C ,
2
dx
1 x
 arctgx  C ,
2
20.


u2  
u
 C,
a

ln u  u 2    C ,
du
 arctgu  C ,
1 u2
21.
dx
a2  x2
22.
 arcsin
a2  u2

21

du

a
2

1
x
arctg  C ,
a
a
dx
1
ax

ln
 C,
2
2a a  x
x

du
a2  u2

1
u
arctg  C ,
a
a

1
a u
ln
 C,
2a a  u
22

du
a u
2
2
23.  shxdx  chx  C ,
23.  shudu  chu  C ,
24.  chxdx  shx  C ,
24.  chudu  shu  C ,
25.
26.


dx
2
 cthx  C ,
25.

 thx  C.
26.

sh x
dx
ch 2 x
du
sh 2 u
du
ch 2 u
 cthu  C ,
 thu  C.
При внешней схожести формул в столбцах таблицы, следует понимать, что
x это переменная интегрирования, а u – некоторая функция.
Пример 1. Найти 
Решение.
Так
dx
(2 x  3) 2
как
.

dx
1


C,
x
x2
то,
используя
1
 f (ax)dx  a F (ax)  C;  f ( x  b)dx  F ( x  b)  C , получим

1 d (2 x)
1 d (2 x  3)
1




 C.


2(2 x  3)
(2 x  3) 2 2 (2 x  3) 2 2 (2 x  3) 2
dx
формулы
Пример 2. Найти  cos xe sin x dx .
Решение.
Так
cos xdx  d (sin x) ,
как
то
по
формуле
 f ( ( x)) ( x)dx   f ( ( x))d ( ( x)) находим
 cos xe
sin x
dx   esin x d (sin x)  esin x  C.
Пример 3. Найти  x cos2 xdx .
Решение. Применим метод интегрирования по частям. Положим u  x ,
1
dv  cos2 xdx ; тогда du  dx , v  sin 2 x . Используя формулу  u dv  uv   v du ,
2
имеем
1
1
1
1
 x cos2 xdx  2 x sin 2 x  2  sin 2 xdx  2 x sin 2 x  4 cos2 x  C. Пример 4. Найти

3 x 2  7 x  10
( x 2  4)( x  2)
dx .
Решение. Подынтегральная рациональная дробь является правильной и
разлагается на элементарные дроби вида
3x 2  7 x  10
( x 2  4)( x  2)

A
( x  a)
l
Ax  B
x2  4
,
Mx  N
( x  px  q ) m

2
:
C
.
x2
Освобождаясь от знаменателей в обеих частях этого равенства и приравнивая
числители, получаем тождество для вычисления неопределенных коэффициентов
А, В и С:
3x 2  7 x  10  Ax ( x  2)  B( x  2)  Cx 2  4C.
Составим систему трех уравнений с тремя неизвестными. Одно уравнение
получим, полагая х = 2 (корень знаменателя подынтегральной функции). Два
других получим, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих
частях тождества, например при х2 и х0:
x  2: 8  4C  4C ,
x 2 :3  A  C ,
x 0 :10  2 B  4C.
Решение этой системы дает: А = 2, В = –3, С = 1. Таким образом,
1 
 2x  3
dx



dx 

( x 2  4)( x  2)
 x2  4 x  2 
2 xdx
dx
dx
3
x
 3 2  
 ln( x 2  4)  arctg  ln x  2  C.
 2
x2
2
2
x 4
x 4

3x 2  7 x  10
Определенный интеграл
Определение. Приращение первообразной F ( x)  С функции f (x) при
переходе аргумента x от значения x  a к значению x  b , равное разности
F (b)  F (a) , называется определенным интегралом (обозначается символом
b
 f ( x)dx ) и записывается следующим образом:
a
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a) .
a
Данное равенство называется формулой Ньютона-Лейбница, её часто пишут
в виде:
b
 f ( x)dx  F ( x)
b
a
.
a
Предполагается при этом, что подынтегральная функция f (x) непрерывна
при всех значениях x , удовлетворяющих условиям a  x  b .
При вычислении определенного интеграла, полезно помнить что:
0, если f ( x)  нечетная функция,

а f ( x)dx  2 a f ( x)dx, если f ( x)  четная функция.
 
 0
а
Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции,
ограниченной прямыми x  a , x  b , y  0 и частью графика функции y  f (x) ,
взятой со знаком «минус», если f ( x)  0 , и со знаком «плюс», если f ( x)  0 .
Площадь всякой плоской фигуры можно рассматривать как сумму или разность
площадей некоторых криволинейных трапеций. Это означает, что с помощью
определенных интегралов можно вычислять площади различных фигур.
Если фигура ограничена сверху графиком функции
y  f 2 ( x) , снизу
графиком функции y  f1 ( x) (причем f 2 ( x)  f1 ( x) на отрезке a, b) и прямыми
x  a, x  b , то площадь полученной фигуры находится по формуле:
S    f 2 ( x)  f1  x dx .
b
a
Если фигура ограничена справа графиком функции x  g 2 ( y ) , слева
графиком функции x  g1 ( y ) (причем g 2 ( y )  g1 ( y ) на отрезке c, d  ) и прямыми
y  c, y  d , то площадь полученной фигуры находится по формуле:
d
S   g 2 ( y )  g1  y dy .
c
Объем тела, образованного вращением кривой y  f (x) , ограниченной
прямыми x  a, x  b при a  x  b , вокруг оси Ox, равен:
b
V     f  x  dx .
2
a
Объем тела, образованного вращением кривой x   ( y) , ограниченной
прямыми y  c, y  d при c  y  d , вокруг оси Oy, равен:
d
V      y 2 dy .
c
Длина дуги кривой определяется по формуле:
b
 
2
L   1  y / dx .
a
Несобственный интеграл
Предположим, что функция f  x  задана на бесконечном промежутке вида
a; )
и интегрируема на любом конечном отрезке a; b, где b  a;  . Таким
образом, мы можем рассмотреть функцию:
b
Фb    f  x dx .
a
Если эта функция имеет предел I  lim Фb , то число I называется
b

значением несобственного интеграла первого рода I   f  x dx , а сам интеграл
a


a
a
 f  x dx называется сходящимся (иными словами, интеграл  f  x dx сходится).
Если же предела lim Фb не существует (например, если Фb    при
b

b   ), то интеграл  f  x dx называется расходящимся (то есть расходится) и
a
не имеет никакого числового значения.
Свойства несобственных интегралов первого рода:


a
b
1. Если существует  f x dx , то b  a существует  f x dx . При этом:

b

a
a
b
 f x dx   f x dx   f x dx .


a
A
2. Если существует  f x dx , то lim
 f  x dx  0 .
A 



a
a
a
3. Если существует  f x dx , то существует  cf  x dx  c  f  x dx .


a
a
4. Если существуют  f x dx и  g  x dx , то существует:



a
a
a
  f x dx  g x dx   f x dx   g x dx .
Несобственные интегралы второго рода
1. Пусть на полуинтервале a; b  задана функция f  x  , интегрируемая на
любом отрезке a;b1  , где b1  a; b  , однако не интегрируемая на отрезке a; b  . В
точке b эта функция может быть вовсе не определена и стремиться к
бесконечности при x  b , либо вовсе не иметь никакого предела в этой точке.
Рассмотрим функцию
b1
Фb1    f x dx , которая определена при x  a; b . Эта
a
функция Фb1  может иметь предел при b1  b  (левосторонний предел). Этот
предел называют значением интеграла от f  x  по всему полуинтервалу a; b  и
обозначают в точности как обычный интеграл:
b
 f  x dx .
a
Итак, пусть функция f  x  удовлетворяет указанным выше условиям на
a; b .
Несобственным интегралом второго рода назовём тогда интеграл
b
I   f  x dx ,
a
b
f  x dx .
значение I которого равно левостороннему пределу I  blim
b  0 
1
a
Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется
сходящимся, а если предела не существует, то расходящимся. Расходящемуся
интегралу не приписывается никакого числового значения; в этом случае будем
условно писать  f x dx   .
b
a
9
Пример 1. Вычислить определенный интеграл 
4
x 1
dx.
x 1
Решение. Применим метод замены переменной; положим
x  t , откуда
dx  2tdt. Найдем пределы интегрирования по переменной t: при х = 4 имеем t = 2,
а при х = 9 имеем t = 3. Переходя в исходном интеграле к новой переменной t и
h
применяя формулу Ньютона – Лейбница  f ( x)dx  F ( x) ba  F (b)  F (a) , получаем
a
3
3
x 1
t 1
2
dx


 t  1  2tdt  (t  4t  4 ln t  1 ) 2 
4 x 1
2
 (9  12  4 ln 4)  (4  8  4 ln 3)  2,15.
9
Пример 2. Вычислить несобственный интеграл или установить его
 / 4 dx
dx
расходимость: 1) 
; 2) 
.
2
x
ln
x
sin
x
0
e

Решение. 1) Первый интеграл является несобственным интегралом с
бесконечным
верхним

b
a
a
пределом
интегрирования.
Согласно
определению
 f ( x)dx  blim
 f ( x)dx , имеем


b
dx
dx
 lim (ln ln x ) le  lim ln ln b  0  .
 x ln x  blim

  e x ln x b  
b  
e
Следовательно, данный интеграл расходится.
2) Второй интеграл является несобственным интегралом от неограниченной
функции; f ( x) 
1
sin 2 x
терпит бесконечный разрыв в нижнем пределе при х = 0.
b

a
 b  0 a
Согласно определению  f ( x)dx  lim  f ( x)dx , получаем
 /4

0
 /4
dx
2
sin x
 lim 
 0

dx
2
sin x
 lim ( tgx)  / 4  1  lim ( tgx)  1,
 0
 0
т.е. этот способ несобственный интеграл сходится.
Пример 3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми
y1  sin x  2, y2  1, x  0, x   (рисунок 1).
у
2

0
х
–1
Рисунок 1.


0
0
Решение. S   ( y1  y2 )dx   (sin x  2  1)dx  2  3 .
Пример 4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох
кривой y  4 x  x 2 , y  0, x  2 (0  x  2).
Решение. Объем полученного тела вращения найдем по формуле
b
b
a
a
V    y 2 dx    ( f ( x)) 2 dx
2
2
V    y dx    (4 x  x 2 )dx 
0
2
0
16
.
3
Пример 5. Вычислим длину L дуги линии y  ln cos x  , расположенной
между прямыми x  0 и x 

.
3
Рисунок 2
Решение
Построим линию y  ln cos x  , расположенную между прямыми x  0 и x 
Так как:
y/ 
1
1
1
2

,
  sin x   tgx и 1   y /   1  tg 2 x 
2
cos x cos x
cos x
то длина дуги равна:

3

L
3



1  ln cos x 
0

/ 2

1
x 
dx  
dx  ln tg   
cos x
2 4
0
3
3

0

  
ln tg     ln tg 
4
6 4


3
tg  tg
1
5
6
4  ln 3
 ln tg
 ln

 
12
3
1  tg tg
1
1
6 4
3

3 3
3 3
ln
 ln
6
3 3

2


 ln 2  3 .

Пример 6. Вычислим значение несобственного интеграла 
0
1
dx .
x 1
2
Решение. Согласно определению, нам нужно вычислить значение функции:
1
dx ,
0 x 1
b
Ф(b)  
2
а потом вычислить предел: I  lim Фb .
b
1
b
dx  arctgx 0  arctgb , (напомним, что arctg 0  0 ) и
0 x 1
b
Итак, Ф(b)  
2
I  lim arctgb 
b

.
2
Получили, что интеграл сходится и его значение таково:


0
1

dx  .
x 1
2
2

Пример 7. Найти значение несобственного интеграла 
1
1
dx .
x
Решение. Проведём вычисления в том же порядке, как в предыдущем
примере:
b
b
1
Ф(b)   dx  ln x 1  ln b .
1 x
Далее имеем: I  lim ln b   , то есть
b
ln b   при b   . Значит несобственный
интеграл


1
1
dx расходится и, следовательно, не
x
имеет никакого числового значения
Рисунок 3
Геометрически это означает, что площадь под графиком y 
1
(рисунок 3),
x
лежащая от 1 до   , бесконечно велика (несмотря, заметим, на то, что функция
f x  
1
убывает и стремится к 0 при x   ; однако это стремление к 0
x
недостаточно быстрое для того, чтобы интеграл сходился).
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
Векторный анализ
Определение:
Частной
производной
от
функции
z  f ( x, y )
по
независимой переменной x называется производная:
z
f ( x  x, y )  f ( x, y )
 lim
 f x( x, y ) ,
x x0
x
(1)
вычисленная при постоянном y.
Аналогично определяется частная производная по переменной y:
z
f ( x, y  y)  f ( x, y)
 lim
 f y( x, y) ,
y y 0
y
где x = const.
(2)
Определение: Частными производными второго порядка от функции второго
порядка от функции z  f ( x; y) называют частные производные от ее частных
производных первого порядка.
Обозначение частных производных второго порядка:
  z   2 z
 f xx ( x, y ) ;
 
x  x  x 2
  z   2 z
 f xy ( x, y ) ;
 
y  x  xy
  z   2 z
 
 f yx ( x, y) ;
x  y  yx
  z   2 z
 
 f yy ( x, y)
x  y  y 2
2z
2z
.

xy yx
Аналогичным образом формируются частные производные любого
порядка. В числителе, степенью над  обозначается порядок производной, а в
знаменателе, указывается последовательность ее вычисления. Так называемые
«смешанные» производные отличающиеся друг от друга лишь
последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они
2z
2z

.
непрерывны, например
xy yx
Определение. Полным приращением функции z  f ( x, y ) в точке M (x,y)
называется разность:
z  f ( x  x, y  y)  f ( x, y) .
Определение. Полным дифференциалом функции z  f ( x, y) называется
главная часть полного приращения z , линейная относительно x и y :
z
z
dx  dy .
x
y
Для дифференцируемой функции z  f ( x, y ) справедливы равенства:
z  dz и f ( x  x, y  y)  f ( x, y)  dz .
dz 
Определение. Дифференциалом второго порядка от функции z  f ( x, y )
называется дифференциал от её полного дифференциала, т.е.
2 z 2
2 z
2 z 2
d z  d (dz)  2 dx  2
dxdy  2 dy .
x
xy
y
Для дифференциалов высших порядков имеет место символическая формула:
2
n



d z   dx  dy  z ,
y 
 x
n
которая формально раскрывается по биномиальному закону.
Пример 2. Вычислить приближённо:
а) 1,024,05;
г) 3 1,02 2  0,052 .
б) ln(0,093 + 0,993);
Решение. а) Воспользуемся формулой:
f ( x  x, y  y)  f ( x, y) 
дf ( x, y)
дf ( x, y)
dx 
dy .
дx
дy
(3)
Полагаем, что f ( x, y)  x y , х = 1, y = 4, dx = x = 0,02.
Тогда
дf ( x, y )
дf ( x, y)
 yx y 1 ;
 x y ln x .
дx
дy
Подставляя данные, получим:
1,024,05  14 + 4  13  ln1  0,05 = 1 + 0,008 = 1,08.


б) Полагаем, что f ( x, y )  ln x 3  y 3 , x = 0, dx = 0,09, y = 1, dy = 0,01.
дf ( x, y )
3x 2
дf ( x, y )
3y 2
 3
 3
Тогда:
;
.
дx
x  y3
дy
x  y3
Подставляя данные, получим:
ln (0,093 + 0,993)  ln 1 +0  dx -
3
 0,01 = - 0,03.
1
в) Имеем f ( x, y )  3 x 2  y 2 при x = 1, dx = 0,02, y = 0, dy = 0,05.
Откуда
дf ( x, y )
2x
дf ( x, y )
2y
;
.


2
2
2
2
2 2
3
3
дx
дx
3 x  y 
3 x  y 
3
Тогда:
1,022  0,052  3 12  02 
2
 1   0,02  1,0133
3
2 1
33 12
 0,02 
20
33 12
 0,05 
.
Замечание. Для функции u  f ( x, y, z ) имеет место формула, аналогичная
формуле (3):
дf
дf
дf
dx  dy  dz
дx
дy
дz
f ( x  x, y  y, z  z )  f ( x, y, z ) 
Векторный анализ
Если функция z  f ( x, y) дифференцируема, то производная в данном
направлении lcos  , sin   вычисляется по формуле:
дz дz
дz
(4)
 cos  sin  .
дl дx
дy
В случае u  u( x, y, z ) и lcos  , cos  , cos   по формуле:
дu дu
дu
дu
(5)
 cos  cos   cos .
дl дx
дy
дz
Градиентом функции u  u( x, y, z ) в точке M(x, y, z) называется вектор,
выходящий из точки M и имеющий своими координатами частные производные
функции u:
дu  дu  дu 
(6)
i 
j k.
дx
дy
дz
Градиент функции и производная в направлении вектора I связаны формулой
z
 прl gradz.
l
grad u 
Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке. Производная
z
в направлении градиента имеет наибольшее значение, равное
l
2
 z 
 z   z 
   gradz       .
 l  наиб
 x   y 
В случае функции z  f ( x; y) градиент функции равен:
u  u 
gradu  i 
j.
x
y
2
Пример 1. Найти величину и направление градиента функции
u
в точке M0(2;-1;2).
1
x  y2  z2
2
 xyz
Решение. Найдём частные производные:
дu
x
дu
y
 2

yz
;


 xz;
дx
( x  y 2  z 2 )3 / 2
дy
( x 2  y 2  z 2 )3 / 2
дu
z
 2
 xz
2
дz
( x  y  z 2 )3 / 2
и вычислим их значения в точке M(2;-1;2):
2
2
56
 дu 
2  2  ;
  
3
27
27
 дx  M
2 2  12  2 2 2
 дu 
1
109
  
;
4
27
 дy  M 27
2
56
 дu 
    2  .
27
27
 дz  M
Следовательно,
( grad u ) M  
56 109
56
i
j
k;
27
27
27
2
grad u

M
2
2
 56   109   56 
    
    
 27   27   27 
1
18153
27
cos  

56
27
1
18153
27
56
cos   
18153

 56
109
; cos  
;
18153
18153
.
Пример 2. Найти поверхности уровня скалярного поля U  x 2  y 2  z 2 .
Вычислить производную поля в точке A(2 3;  1;1) по направлению вектора AB ,
где В (0; –4; 3).
Решение. Поверхностями уровня данного поля являются концентрические
сферы с центром в начале координат: x 2  y 2  z 2  C . Градиент вычисляется по
формуле gradU 



U  U  U 
i 
j
k : grad U  2 xi  2 yj  2 zk .
x
y
z
Найдем единичный вектор AB :



 0 AB 2 3i  3 j  2k 2 3  3  2 
l 


i  j  k,
5
5
5
12

9

4
AB
а затем по формуле

U
U lx U ly U lz
 (gradU , l 0 ) 
 
 
  производную
l
x l
y l
z l
скалярного поля U по направлению вектора AB в точке А:
U
l




U
2 3
2
 3
 0 , то
 gradU , l 0   2 x 
 2 y      2 z    2,8. Так как

l
5
5
5


A

A
данное скалярное поле убывает в направлении вектора AB .
Экстремум функции двух независимых переменных
Если дифференцируемая функция z  f ( x, y ) достигает экстремума в точке
M 0 ( x0 ; y0 ) , то частные производные первого порядка равны нулю в этой точке,
т.е.:
дf ( x0 ; y0 )
 0 , – необходимые условия экстремума.
дx
дf ( x0 ; y0 )
0
дx
Пусть M 0 ( x0 ; y0 ) - стационарная точка функции z  f ( x, y ) .
Обозначим:
А
д 2 f ( x0 ; y 0 )
дx 2
, В
д 2 f ( x0 ; y 0 )
д 2 f ( x0 ; y 0 )
, C
дxдy
дy 2
и составим дискриминант   АС  В 2 , тогда:
 если   0, A  0 (если С < 0), то функция имеет в точке M0 максимум,
 если   0, A  0 (если С > 0), то функция имеет в точке M0 минимум,
 если   0 , то в точке M0 экстремума нет (достаточное условие),
 если   0 , то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).
Примеры решения задач
1. Найти экстремум функции z  xy 2 1  x  y  .
Решение. 1) Находим частные производные первого порядка:
дz
дz
 y 2  2 xy 2  y 3 ;
 2 xy  2 x 2 y  3xy 2 .
дx
дy
2) Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим
стационарные точки:
 y 2 1  2 x  y   0
1  2 x  y  0
или 

2  2 x  3 y  0
 xy2  2 x  3 y   0
M0(0;0).
Отсюда x  , y  ; стационарные точки: M0 (0;0) и M 1  1 ; 1  .
1
4
1
2
4 2
3) Найдём вторые производные в точках M0 и M1 :
2
2
д2 z
2 д z
2 д z

2
y

4
xy

3
y
 2 x  2 x 2  6 xy .
;
;


2y
2
2
дxдy
дy
дx
 д2 z 
а)  2   0 ;
 дx  M 0
 д2 z 


 дxдy   0 ;

M0
 д2 z 


 дy 2   0 ;  = 0 – сомнительный случай.

M0
В окрестности точки 0(0;0) выражение y2(1-x-y), входящее в уравнение
поверхности z в качестве сомножителя, положительно, следовательно, знак z
зависит от знака x. Таким образом, имеем: если x < 0, z < 0; если x > 0, z > 0, а это
значит, что в точке M0 (0; 0)  О (0; 0) экстремума нет.
 д2 z 
1
1 1
1
1
  2   4    3  2   ;
б); 
2
4 2
4
2
 дxдy  M 1
 д2 z 
3

 .
 дy 2 
8


Тогда:
2
3 1 1
 1  3   1 
  AC  B 2               0 .
16 16 8
 2  8   4 
1
Поскольку A    0 , то в точке M 1  1 ; 1  – функция имеет максимум:
2
 14 2 
1
1 1 1 1  1 1 1 1
.
z max  z  ;    2 1    
 
 4 2  4 2  4 2  16 4 64
2.
Найти
наименьшее
и
наибольшее
значения
функции
z  x 2  xy  y 2  3x в замкнутой области, ограниченной прямыми
1
x = 1, y  , 2x + 3y – 12 = 0.
2
Решение. 1) Найдём стационарные точки, расположенные в данной области:
дz
дz
 2x  y  3 ,
 x  2 y .
дx
дy
В силу необходимых условий имеем:
2 x  y  3  0
 x  2; y  1 .

 x  2 y  0
Точка M1(2;1) принадлежит области, поэтому вычислим значение функции в
стационарной точке:
z (2;1)  2 2  2  1  12  3  2  3 .
2) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на линиях, образующих
границу области:
а) x = 1, тогда
z ( x; y )  z (1; y )  y 2  y  2;
z   2 y  1  0 , если y 
y A  y  yB .
1
– стационарная точка совпадает с точкой A1; 1  .
2
 2
Вычислим:
1
 1 1 1
z ( A)  z 1;     2  2 .
4
 2 4 2
В интервале (yA; yB) производная z y  0 , следовательно, функция возрастает
на нём и достигает наибольшего значения на конце В.
52
 10  100 10
.
z ( B)  z 1;  
 2
9
3
9
 3
Y
x=1
4
y
 10 
B 1;

 3 
2x+3y-1
1
2
O
1
 1
A1; 
 2
 1 1
C5 ; 
 4 2
X
6
1
2
б) y  , тогда
7
1
7
 1
z ( x, y )  z  x;   x 2  x  , 1  x  5, z x  2 x   0 ,
2
4
2
 2
если x 
7
– стационарная точка M 2  7 ; 1  .
4
4 2
Вычислим значение функции в точке M2:
45
 7 1  49 49 1
z (M 2 )  z ;  

 
8
4
8
 4 2  16
3
2
в) 2 x  3 y  12  0 или x  6  y , тогда
2
3  
3 
3 


z ( x, y )  z ( y )   6  y    6  y  y  y 2  3 6  y  
2  
2 
2 


19 2 39

y 
y  18
4
2
1
10
 y .
2
3
z y 
если y 
19
39
y
 0,
2
2
39
– стационарная точка имеет координаты
19
y
39
3 39 111
, x  6  
,
19
2 19 38
т.е. M 3  111 ; 39  .
 38 19 
2
39 39
 111 39  19  39 
z ( M 3 )  z
;        18  18 .
4 19
 38 19  4  19 
Вычислим также:
2
21 1 1
21 151
 1 1   21 
z (C )  z  5 ;         3  
.
4 2 4
4
16
 4 2  4 
3) Из всех найденных значений выберем наибольшее и наименьшее:
z наиб.  z ( M 3 )  18, z наим.  z ( M 2 ) 
45
.
8
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z  xy в круге
x2  y2  1 .
Решение. В тех случаях, когда область ограничена только одной замкнутой
линией, решение задачи сводится к отысканию условного экстремума функции
z  f ( x, y ) при заданном уравнении связи  ( x, y )  0 .
Отыскание условного экстремума можно свести к исследованию на
обычный экстремум так называемой функции Лагранжа u  f ( x, y )   ( x, y ) , где 
– неопределённый постоянный множитель.
В нашем случае

.
u  xy   x 2  y 2  1
Необходимые условия экстремума:
 дu
y x


 дx  y  2x  0

x2  y 2  0
x y
 y  2x


 2
 дu

 2
2
2
  x  2y  0   x  2y   x  y  1   x  y  1 
 дy
 x 2  y 2  1  y  2x

x

x2  y 2  1  0

  

2y




2 x 2  1

  y2  x2 

x
  

2y
1
1
1
1

 x1  2 , y1  2 , 1   2 , z1  2

1
1
1
1

 x2   2 , y 2   2 ,  2   2 , z 2  2

x  1 , y   1 ,   1 , z   1
3
3
3
 3
2
2
2
2

 x4   1 , y 4  1 , 4  1 , z 4   1
2
2
2
2

Таким образом,
1
1
z наим.   , z наиб.  .
2
2
3.2. Дифференциальные уравнения
1. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка
называется дифференцированная функция
y   ( x, C ) , которая при любом
значении произвольной постоянной С является решением данного уравнения.
y   ( x, C ) при определенном
Решения, получающиеся из общего решения
значении произвольной постоянной С, называется частными. Задача нахождения
частного решения, удовлетворяющего начальным условиям y  y 0 при x  x0
(другая запись y
x  x0
 y0 ), называется задачей Коши.
График всякого решения y   (x) данного дифференциального уравнения,
построенный на плоскости хОу, называется интегральной кривой этого уравнения.
2. Уравнение вида y   A( x) y  B( x) называется линейным. Если B( x)  0 , то
уравнение называется однородным; если
B( x)  0 – неоднородным. Общее
решение однородного уравнения получается путем разделения переменных;
общее решение неоднородного уравнения получается из общего решения
соответствующего однородного уравнения с помощью вариации произвольной
постоянной интегрирования С.
Данное неоднородное уравнение можно интегрировать также с помощью
замены y  uv , где u, v – две неизвестные функции.
3. Дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относительно
производной, имеет вид y ( n)  f ( x, y, y ,..., y ( n 1) ) .
Задача
нахождения
удовлетворяющего
y ( n 1)
x  x0
начальным
решения
условиям
y   (x)
y
x  x0
данного
 y0 ;
уравнения,
y x  x0  y0 ;
…;
 y0( n 1) , называется задачей Коши.
Для нахождения частного решения иногда используют так называемые
краевые условия. Эти условия (их число не должно превышать порядка
уравнения) задаются не в одной точке, а на концах некоторого промежутка.
Краевые условия ставятся лишь для уравнений порядка выше первого.
4. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если в
уравнении y ( n)  f ( x, y, y ,..., y ( n 1) ) функция f ( x, y, y ,..., y ( n 1) ) :
а)
непрерывна по всем своим аргументам x, y, y ,..., y ( n 1) в некоторой области D их
изменения; б) имеет ограниченные в области D частные производные
f f
f
,
,..., ( n 1)
y y 
dy
по
y, y ,..., y ( n 1) ,
аргументам
то
найдется
интервал
x0  h  x  x0  h(n  0) , на котором существует единственное решение y   (x)
данного уравнения, удовлетворяющее условиям
y ( n 1) ( x0 )  y0( n 1) , где
значения
y ( x0 )  y 0 ;
y  y 0 ; y   y0 ;
x  x0 ;
y ( x0 )  y0 ; …;
…;
y ( n 1)  y0( n 1)
содержится в области D.
Проинтегрировать (в конечном виде) уравнение n-го порядка можно только
в некоторых частных случаях.
5. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами имеет вид a0 y n  a1 y   a2 y  f ( x) , где а0, а1, а2 – числа, причём
a0  0 . Если f(x) = 0, то уравнение называется однородным, а если
f ( x)  0 –
неоднородным.
6.
Квадратное
характеристическим
a0 y   a1 y   a2 y  0 .
a0 k 2  a1k  a2  0
называется
дифференциального
уравнения
уравнение
уравнением
Пусть
D  a12  4a0 a2
–
дискриминант
квадратного
уравнения. Возможны следующие случаи:
1) D  0 –
общим решением уравнения a0 y   a1 y   a2 y  0 является
функция y  C1e k1 x  C2e k 2 x (k1 и k2 – корни характеристического уравнения);
2) D  0 – общим решением служит функция y  (C1  C2 x)e kx (k – корень
характеристического уравнения);
3) D  0 – общим решением служит функция y  ex (C1 cos x  C2 sin x)
(k1 =  + i, k2 =  – i – корни характеристического уравнения).
7. Решение линейного неоднократного дифференциального уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами основывается на следующей
теореме.
Теорема. Если y* – некоторое частное решение неоднократного уравнения
a0 y   a1 y   a2 y  f ( x) и Y – общее решение соответствующего однородного
уравнения a0 y   a1 y   a2 y  0 , то общее решение неоднородного уравнения
имеет вид y  Y  y * .
Укажем правило нахождения частного решения неоднородного уравнения
методом неопределённых коэффициентов.
1) Пусть f ( x)  b0 x 2  b1 x  b2 ; тогда:
а) y *  Ax 2  Bx  C , если нуль не является корнем характеристического
уравнения;
y *  Ax 3  Bx 2  Cx ,
б)
если
нуль
является
простым
корнем
двукратным
корнем
характеристического уравнения;
y *  Ax 4  Bx 3  Cx 2 ,
в)
если
нуль
является
характеристического уравнения.
2) Пусть f ( x)  bex ; тогда:
а) y *  Aex , если число  не является корнем характеристического
уравнения;
б)
y *  Axe x , если число  является корнем характеристического
уравнения;
в)
y *  Ax 2 ex ,
если
число

является
двукратным
корнем
характеристического уравнения.
3) Пусть f ( x)  ex ( M cos x  N sin x) ; тогда:
а) y *  ex ( A cos x  B sin x) , если число   i не является корнем
характеристического уравнения;
б)
y *  x  ex ( A cos x  B sin x) , если число   i
является корнем
характеристического уравнения.
Пример 1. Найти общее решение уравнения xy  e x  xy   0 и частное
решение, удовлетворяющее начальному условию у(1) = 2.
Решение. Перепишем данное уравнение так: xy   xy  e x – и рассмотрим
однородное уравнение xy   xy  0  x( y   y )  0 . Так как x  0 (значение х = 0 не
является
y  y  0 
 ln
решением
неоднородного
уравнения),
то
dy
dy
 y 
 dx  ln y   x  ln C 
dx
y
y
  x  yC  e  x
C
общее решение однородного уравнения.
Применяем далее метод вариации произвольной С. Общее решение
неоднородного
уравнения
будем
искать
в
виде
y  C ( x )e  x ;
y   C ( x)e  x  C ( x)e  x . Поставив значения y и y  в неоднородное уравнение,
получим
xC ( x)e  x  xC ( x)e  x  xC ( x)e  x  e  x  xe  x C ( x)  e  x .
Так как e  x  0 , то xC ( x)  1  x
dC( x)
dx
 1  dC( x)   C ( x)  ln x  C.
dx
x
Подставив это значение С(х) в общее решение неоднородного уравнения, получим
y  (ln x  C )e  x – общее решение неоднородного уравнения.
Для нахождения частного решения подставим значения х = 1, у = 2 в общее
решение:
y(1)  2  2  (0  C )  1  C  2 . Значит,
y  (ln x  2)e  x
– частное
решение неоднородного уравнения.
Пример 2. Найти общее решение уравнения 2 xy   y  и частное решение,
удовлетворяющее начальным условиям y(1)  1; y(1)  0; y(1)  1.
Решение. Пусть y   z . Имеем 2 xz   z  0  2 x
dz
dz 1 dx
z 

dx
z 2 x
1
x3 / 2
 C2 ;
 ln z  ln x  ln C1  z  C1 x . но z  y   y   C1 x  y   C1
3/ 2
2
2
2 x5 / 2
y   C1 x x  C2  y  C1
 C2 x  C3 . Следовательно,
3
3 5/ 2
y
4
C1 x 2  x  C2 x  C3 – общее решение дифференциального уравнения.
15
Чтобы найти частное решение, подставим в выражения для у, y  и y 
значение х = 1.
4
y (1)  1  C1  C2  C3  1;
5
2
y (1)  0  C1  C2  0;
3
y (1)  1  C1  1.
Из системы уравнений C2  C3  
19
2
2
3
; C2  
находим C 2   ; C3   .
15
3
3
5
Значит, искомое частное решение имеет вид
y
4 2
2
3
x  x  x .
15
3
5
Пример 3. Найти общее решение уравнения y   4 y   13 y  5 sin 2 x и
частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y0 
2
1
; y0 
при х =
29
29
0.
Решение.
Рассмотрим
однородное
уравнение
y   4 y   13 y  0 .
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид k 2  4k  13  0 ,
откуда k1  2  3i , k 2  2  3i . Следовательно, Y  e 2 x (C1 cos 3x  C2 sin 3x)
общее решение однородного уравнения.
Частное
решение
неоднородного
уравнения
будем
искать
y*  A cos2 x  B sin 2 x . Имеем
y*  2 A  sin 2 x  2 B cos 2 x, y*  4 A cos 2 x  4 B sin 2 x.
Подставим эти выражения в неоднородное уравнение
 4 A cos 2 x  4 B sin 2 x  8 A sin 2 x  8B cos 2 x  13 A cos 2 x 
 13B sin 2 x  5 sin 2 x;
(9 A  8B) cos2 x  (8 A  9B) sin 2 x  5 sin 2 x
в
виде
и получим систему для вычисления коэффициентов А и В:
8

A


,
9
A

8
B

0

29


9

8
A

9
B

5

B .
29

Итак, частное решение неоднородного уравнения имеет вид
y*  
8
9
cos 2 x  sin 2 x,
29
29
а общее решение неоднородного уравнения – вид
y  e  2 x (C1 cos3x  C2 sin 3x) 
8
9
cos2 x  sin 2 x.
29
29
Найдём частное решение, удовлетворяющее заданным начальным
условиям:
y0 
2
8
2
10
 C1 
  C1  ;
29
29 29
29
y  2 x 2 x (C1 cos 3x  C2 sin 3x)  e 2 x (3C1 sin 3x 
16
18
sin 2 x  cos 2 x;
29
29
1
18 1
1
y0   2C1  3C2    C2  .
29
29 29
29
 3C2 cos 3x) 
Искомое частное решение таково:
y  e2x (
10
1
8
9
cos3x  sin 3x)  cos2 x  sin 2 x.
29
29
29
29
Экзаменационные вопросы по математике 1 курс , 2 семестр
1. Основные положения для функции нескольких независимых переменных.
Производные первого порядка для такой функции.
2. Полное приращение и полный дифференциал для функции нескольких
независимых переменных
3. Производная в данном направлении.
4. Градиент функции нескольких независимых переменных.
5. Экстремум функции двух независимых переменных.
6. Условный экстремум функции двух независимых переменных. Наибольшее
и наименьшее значение функции в замкнутой области.
7. Неопределенный интеграл . Общие положения, Свойства неопределенных
интегралов .Таблица стандартных неопределенных интегралов.
8. Метод непосредственного интегрирования.
9. Замена переменных в неопределенном интеграле,
10.Интегрирование по частям .
dx
.
 px  q
Ax  B
dx
12.Интегрирование рациональной дроби вида  2
x  px  q
11.Интегрирование рациональной дроби вида
13.Интегрирование рациональных
простейшие дроби.
дробей
x
с
2
помощью
разложения
на
dx
14.Интегралы вида

15.Интегралы вида

16.Интегралы вида
 x   
ax 2  bx  c
Ax  B
ax 2  bx  c
dx
dx .
ax 2  bx  c
.
17.Определенный интеграл , формула Ньютона-Лейбница,
свойства
определенного интеграла.
18.Несобственные интегралы , основные положения.
19.Вычисление площади плоской фигуры .
20.Вычисление длины дуги плоской кривой.
21.Вычисление объема тела вращения .
22.Обыкновенные дифференциальные уравнения . Общее и частное решение.
23
равнения с разделяющимися переменными
23. Однородные дифференциальные уравнения .
24. Дифференциальные уравнения , приводящиеся к однородным. Случай
a1 b1
a2 b2
0
25.Дифференциальные уравнения , приводящиеся к однородным. Случай
a1 b1
a2 b2
0
26.Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
27.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.
28.Уравнения Бернулли.
29.Основные положения для дифференциальных уравнений высших порядков.
30.Линейные дифференциальные уравнения
высших порядков. Общее
решение однородных уравнений.
31.Линейные, однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Случай
действительных, простых корней.
32.Линейные, однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Случай
действительных, кратных корней.
33.Линейные, однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Случай
комплексно сопряженных, простых корней.
34.Линейные, однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Случай
комплексно сопряженных, кратных корней.
35.Линейные, неоднородные уравнения. Метод подбора частного решения.
ЛИТЕРАТУРА
1) Натансон И.П. Краткий курс высшей математики . М
2) Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов
3) Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.М. Курс высшей математики для
экономических ВУЗов М ч.1 , ч.2.
4) Щипачев В, С. Высшая математика М.
5) Математика для экономистов . под ред. Кремера
6) Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике .
7) Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.
8) Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Г.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1996.
Кафедра «Информационные системы технологии и связь»
Присяжнюк С.И.
МАТЕМАТИКА
учебно-методическое пособие по выполнению контрольной работы № 2
для студентов факультета заочного и дистанционного обучения
подписано в печать 17.10.2011г.
Печать ротапритная. Усл.п.л.1,8,уч.-изд.л.2
Тираж 40 экз
Издательство КМВИС ФГБОУ ВПО «ЮРГУЭС»
357500, Пятигорск, Ставропольский край,
бульвар Гагарина, 1 корпус 1