Тема урока Метод оценки при решении уравнений и неравенств

Тема урока
Метод оценки при решении уравнений и неравенств
Методическая разработка урока
(урок обобщения и систематизации знаний)
МБОУ СОШ №4 г.Обнинска
Учитель: Петрухина
Мария Александровна
Аннотация
Без уроков обобщения и систематизаций знаний процесс усвоения учебного
материала нельзя считать завершенным. Основная цель таких уроков
заключается в усвоении учащимися взаимосвязей между понятиями, в
формировании у них целостного представления об изучаемом материале, его
применении в конкретных условиях.
Отмечу ,что нахождение множества значений функции часто вызывает у
учащихся значительные трудности. В то же время уравнения и неравенства,
решаемые с помощью оценки левой и правой частей ,включены в ЕГЭ и здесь
приходится находить множество значений, которые может принимать каждая
часть уравнения или неравенства.
Цели урока:
— повторить свойства элементарных функций (нахождение области определения
и множества значений);
— познакомить учащихся с приемом решения нестандартных заданий путём
оценки левой и правой частей уравнений, неравенств;
—научить решать задачи ЕГЭ (часть С) ,применяя метод оценки;
— развивать умение наблюдать, сравнивать, обобщать, анализировать
математические ситуации.
Оборудование: карточки с заданиями , медиапроектор ,экран ,презентация
Ход урока
1.Вступительное слово учителя
Не всякое уравнение вида f(x)=g(x) в результате преобразований может быть
приведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого подходят
обычные методы решения. В таких случаях имеет смысл использовать такие
свойства функций f(x) и g(x) как монотонность, ограниченность ,четность,
периодичность и др. Так, если одна из функций возрастает, а другая убывает на
определенном промежутке, то уравнение f(x) = g(x) не может иметь более одного
корня, который, в принципе, можно найти подбором.
Если функция f(x) ограничена сверху ( f ( x)  M ), а функция g(x) – снизу
( g ( x)  M ), то уравнение f(x)=g(x) на ОДЗ равносильно системе уравнений
M  f ( x),
M  g ( x).
Справка . Метод оценки левой и правой частей (метод мажорант).
Презентация .Слайд №2
Метод мажорант – метод нахождения ограниченности функции.
Мажорирование – нахождение точек ограничения функции. М – мажоранта.
2.Повторение свойств элементарных функций ,используя их графики
Презентация .Слайды №3-№8
10
10
Y
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-1
Y
9
X
1 2
3 4 5 6 7
8 9 10
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
-6
-6
-7
-7
-8
-8
-9
-9
-10
-10
Y
X
1 2
3 4 5 6 7
8 9 10
Y
X
X
10
Y
9
10
8
9
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-1
Y
X
1 2
3 4 5 6 7
8 9 10
1
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
-6
-6
-7
-7
-8
-8
-9
-9
-10
-10
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Назвать область определения и множество значений данных функций.
3.Устная работа
Презентация .Слайд 9
Укажите множество значений функции:
Ответы: а)
б) (–∞; 5] ; в) [1; 2]; г) [1; +∞); д) [1; +∞); е) (–∞; 7) ∪ (7; +∞);
ж) (–∞; 1) ∪ (1; +∞); з) (–∞; 5]; и) [3; +∞); к) [2; +∞); л) [1; +∞); м) (–∞; –1].
4. Выберите из предложенных уравнений те, которые можно решить методом
оценки.
1) x   x 2  3 x ;
5) log 1/3 x = x2 + x – 13 ;
2) 2x = x + 1 ;
6) 3 cos(( x  1) cos 2 x)  3  log 14/ 2 ( x 2  x  1);
3)
x 2  2 x  1  ln 2 (cos 2x)  0;
4) cos(2  x) = x2 – 2x + 2;
x
=1;
4
6 x  y  1  3x  5 y  1  0.
7) cos x + sin
8)
5.Решим уравнения
№4.
cos(2  x) = x2 – 2x + 2
Решает учитель.
Рассмотрим уравнение f(x) = g(x) , где f(x)= cos(2  x) и g(x) = x2 – 2x + 2.
а)f(x)= cos(2  x) - определена и непрерывна на R, Е( f ) =  1;1 ;
б) g(x) = x2 – 2x + 2- определена и непрерывна на R, E ( g )  g в ;  1; ;
в)наибольшее значение f(x )= 1 и наименьшее значение g(x) = 1, значит исходное
cos(2x)  1,
уравнение равносильно системе уравнений:  2
корнем второго
x

2
x

2

1
;

уравнения является значение х=1, подставим данное число в первое уравнение:
cos(2π∙1) = 1, cos(2π) = 1 – верно, значит х = 1 является решением системы, а
следовательно и исходного уравнения.
Ответ: 1.
№3 и№6 решают ученики на доске под руководством учителя.
№3
Решение
x 2  2 x  1  ln 2 (cos 2x)  0,
x 2  2 x  1   ln 2 (cos 2x),
Получаем уравнение вида
f ( x)   g 2 ( x) .
Очевидно, что
f ( x)  0 и  g 2 ( x)  0 при всех допустимых
значениях переменной х, т.е. наибольшее значение левой части равно нулю и
равно наименьшему значению правой части, значит, уравнение равносильно
системе уравнений:
ln 2 (cos 2x)  0,
х = 1 является решением второго уравнения . Проверкой
 2
 x  2 x  1  0;
убеждаемся, что х =1 –корень и второго уравнения.
Ответ: 1
№6
3 cos(( x  1) cos 2 x)  3  log 14/ 2 ( x 2  x  1); уравнение ЕГЭ.
Решение
Пусть(х-1)cos2x=t .
3 cos t  3  log 14/ 2 ( g );
рассмотрим функции
у  3 cos t и f = 3 + log14/2 (g).
E(y) = [0;3], E(f)  [3; +  ) , т.к. E(log14/2 ( g ) )  [0; +  ) (в данном случае можно не
находить правую границу множества значений функции f(g) ). Наибольшее
значение левой части равно трем и равно наименьшему значению правой части,
следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

3 cos(( x  1) cos 2 x)  3, 
 cos(( x  1) cos 2 x  1,


4
2
2

3  log 1 / 2 ( x  x  1)  3;
log 1 / 2 ( x  x  1)  0.
Решим второе уравнение: log1/2(x2 –x + 1) = 0, x2 – x + 1 = 1, x2 – x = 0, x( x – 1) = 0,
 x  0,
 x  1.

Подставим найденные значения в первое уравнение:
Х = 0, cos((0  1) cos(2  0))  cos(1)  1  x  0  не является корнем исходного
уравнения;
Х = 1, cos(0  cos 2)  cos 0  1  1 - верно, значит, х = 1 – корень исходного
уравнения.
Ответ: 1
6.Решим неравенство
Решить неравенство
Решение.
a)Оценим квадратичную функцию f = x2 – 4x + 5. Графиком функции является
парабола, ветви которой направлены вверх, значит, функция ограничена снизу.
Найдем координаты вершины параболы: x0 = 2, t0 = 1.
Тогда f≥ 1 при любом х
б)
в силу монотонности показательной функции.
в) Оценим функцию g = 4x – 2 – x2. Эта квадратичная функция ограничена сверху,
координаты вершины параболы: x0 = 2, q0 = 2. Следовательно, q ≤ 2. Исходное
неравенство равносильно системе уравнений.
Эти равенства верны при x = 2.
Ответ: 2
7.Вывод
Презентация .Слайд 10
Итак, уравнения следует решать методом оценки, если:

В уравнении присутствуют функции разной природы (тригонометрические и
показательные, показательные и логарифмические и т.п.);
 Эти функции ограничены;
 На ОДЗ наибольшее значение одной из них равно наименьшему значению
другой.
Примерная схема решения уравнений методом оценки:
 Свести уравнение к виду f(x) = g(x);
 Найти множества значений данных функций на ОДЗ уравнения;
 Если наибольшее значение одной из них равно А и равно наименьшему
 f ( x)  A,
значению другой, то составить систему уравнений 
 g ( x)  A;
 Решить наиболее простое из них и подставить полученные корни во второе
уравнение, те значения переменной х , которые являются корнями двух
уравнений одновременно и будут решениями исходного уравнения.
8.Задания для самостоятельного решения
Презентация .Слайд 11
9.Подведение итогов