нестандартные методы решенияуравнений и неравенств

ОБ ЭЛЕКТИВНОМ КУРСЕ «НЕСТАНДАРТНЫЕ
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯУРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ»
А.Е. Балтабаева
ФГБОУ ВПО «Шадринский государственный
педагогический институт», г. Шадринск
Руководитель: к.п.н., доцент Коркина П. С.
Нестандартные методы решения задач являются одним из
эффективных
средств подготовки учащихся к жизни в современном
обществе, а владение широким арсеналом таких методов – важная задача
математического образования.
Однако, опыт работы учителей математики свидетельствует о том, что
основная часть учебного времени отводится решению стандартных задач, к
которым применяются известные алгоритмы, формулы, а потому школьники
теряются в ситуации, выход из которой требует нестандартного подхода, так
как не всякое уравнение или неравенство в результате преобразований или с
помощью удачной замены переменной может быть сведено к уравнению
(неравенству) того или иного стандартного вида, для которого существует
определенный алгоритм решения. В таких случаях иногда оказывается
полезным использовать нестандартные методы решения. Приведем пример
решения уравнения нестандартным методом – тригонометрической
подстановки и стандартным методом.
Пример: Решить уравнение 2 x  1  4 x 2  2 8 x 2  1
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Корень уравнения существует при таких x , что  1  2x  1 .
Обозначим 2 x  cos  ,   [0;  ] .
Тогда уравнение примет вид:
cos   1  cos 2   2 (2 cos 2   1)
cos   sin   2 cos 2




2 sin      2 sin   2 
4

2




 

sin      2 sin     cos   
4

4
 4

Рассмотрим два случая:


1. sin      0, то есть   0; 
4


4



 

sin      2 sin     cos   
4
4
4



 




 1
sin      0 или cos    
4

4
 2
Первое уравнение дает  


, второе не имеет решений на промежутке 0;  .
4
 4
1

4  2.
x
2
4


2. sin      0, то есть    ;  
4

4 
cos



 

 sin      2 sin     cos   
4

4
 4


Можно разделить обе части уравнения на sin    
4

11
1


cos      , откуда  
12
2
4

11

1
3 1 1
6 2
  
cos
  cos   cos    


 
12
12
4
2 2
2 2
4 6
.
2
6 2
;
Ответ:
4
8
x
6 2
8
Решение стандартным методом:


2x  1  4x 2  2 8x 2  1 
 2 x 


 2 x 


 2 x 


 2 x 

 2 x  1  4 x 2  0


2
2
 1  4 x 2  2 x  2 8 x 2  1
1  4 x  2 8x  1



 2 x  1  4 x 2  0
1  4x 2  0


2
2
 1  4 x 2  2 x  2 8 x 2  1
1  4x   2 8x  1

1  4x 2  0








 2 x  1  4 x 2  0


  1  4 x 2  8 2 x 2  2 x  2

.

 2 x  1  4 x 2  0


 1  4 x 2  8 2 x 2  2 x  2

Возведем в квадрат уравнение первой системы совокупности, получим
1  4 x 2  8 2 x 2  2 x  2  128x 4  32 2 x 3  24 x 2  4 2  1  0 .
Пусть 2 2 x  t , тогда 8 x 2  t 2 , 16 2 x 3  t 3 , 64 x 4  t 4 .
Уравнение перепишется в виде 2t 4  2t 3  3t 2  2t  1  0 .
Проверкой устанавливаем, что t  1 – корни уравнения, тогда делением
многочлена 2t 4  2t 3  3t 2  2t  1 на двучлен t 2  1 получаем разложение правой
части уравнения на множители
 1 3 
  0.
2t 4  2t 3  3t 2  2t  1  t 2  1 2t 2  2t  1  0  t 2  1  t 

2



2
 x1, 2  
4
От переменной t перейдем к переменной x , получим 
.

2 6
 x 3, 4 
8





2

Условию 2x  1  4x 2  0 удовлетворяют два значения

2
 x1 
4


2 6
 x2 
8

Подставив эти значения в исходное уравнение, получаем, что x 
.
2
– корень.
4
Решая аналогично уравнение второй системы исходной совокупности,
2 6
тоже корень.
8
2
6 2
;
Ответ:
.
4
8
находим, что x  
В данном случае решение тригонометрической подстановкой
рациональнее. При решении уравнения стандартным методом пришлось
решать совокупность из двух уравнений, то есть дважды возводить в квадрат.
После этого неравносильного преобразования получили два уравнения
четвертой степени с иррациональными коэффициентами, избавиться от
которых помогла замена. Еще одна трудность – проверка найденных
решений подстановкой в исходное уравнение.
Заметим, что нестандартные методы решения уравнений и неравенств в
действующих учебниках алгебры и начал анализа представлены весьма
небольшим количеством. В основном в школьных учебниках из
нестандартных методов применяются свойства функций: монотонность,
ограниченность, область определения, четность, нечетность.
Для того чтобы исправить положение дел нами разработан элективный
курс для учащихся 11 класса «Нестандартные методы решения уравнений и
неравенств».
Все сказанное выше говорит об актуальности выбранной темы курса и
важности рассматриваемых вопросов как для развития общей
математической культуры выпускников, так и для их профессионального
самоопределения.
Структура курса охватывает следующие вопросы: понятие
нестандартного метода решения задачи; изучается суть, условия и
возможности применения следующих нестандартных методов: выделение
полного квадрата, дискриминантный метод, метод сравнения и
классификации, умножение обеих частей уравнения или неравенства на
некоторую функцию, метод мажорант, метод областей, метод замены
множителей (для неравенств), геометрические приемы, использование
классических неравенств, метод тригонометрической подстановки.
Литература
1. Горнштейн
П.
И.
Тригонометрия
помогает
алгебре/
П. И. Горнштейн. – М.: Бюро Квантум, 1995. – С. 100-103. – Приложение к ж.
«Квант», №3/95.
2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 11
класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений
3
(профильный уровень)/ А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 4-е изд., стер. – М.:
Мнемозина, 2010.-287 с.
3. Перминова А. О. Обучение учащихся решению иррациональных
уравнений, неравенств и их систем. Профессиональный дебют, 2009: Сб. ст.
по результатам научной исследовательской работы студентов/ Шадр. гос.
пед. ин-т. - Шадринск: ШГПИ, 2009 с. 79-86.
4