Решение задач на прямую на плоскости

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
КАФЕДРА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПРЯМУЮ НА ПЛОСКОСТИ.
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Математика»
РПК «Политехник»
Волгоград
2008
УДК 510 (07)
Р 47
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПРЯМУЮ НА ПЛОСКОСТИ. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДМетодические указания к практическим занятиям по дисциплине
«Математика» / Сост. И. Н. Рыльцев; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2008. – 30 с.
КА:
Рассматриваются основные формулы, применяемые при решении задач на прямую на плоскости и на кривые второго порядка. Приводятся
примеры решенных задач основных типов и задач для самостоятельного
решения, а также вопросы для повторения изучаемого материала.
Предназначены для студентов специальности 230103.51 «Автоматизированные системы обработки информации и управления (по отраслям)».
Ил. 16.
Библиогр.: 2 назв.
Рецензент Л. П. Ирушкина
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
©
2
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2008
ВВЕДЕНИЕ
Прямая на плоскости и кривые второго порядка являются частью
аналитической геометрии. Возникновение аналитической геометрии относится к 17 в., когда в геометрии было введено понятие координат. В
середине 19 в. аналитическая геометрия начала оформляться в самостоятельную науку. Современная аналитическая геометрия возникла как теория алгебраических кривых. Аналитическая геометрия используется в
различных науках и в технике. Свойства эллипса используются в конструкциях некоторых станков, где имеются зубчатые шестерни эллиптической формы. Траектории движения планет нашей солнечной системы –
это различные эллипсы.
3
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1
Тема: Решение задач на прямую на плоскости.
Продолжительность занятия:
специальность 230103.51 «Автоматизированные системы обработки информации и управления (по отраслям)» -2 часа;
Цель занятия: Научить студентов решать задачи на прямую на
плоскости.
Порядок проведения:
1. Повторить теоретический материал;
2. Разобрать предложенные примеры;
3. Выполнить самостоятельно индивидуальные задания;
4. Ответить на контрольные вопросы.
Студент должен знать:
- основные типы задач на прямую на плоскости;
- основные уравнения прямых и соотношения между прямыми на плоскости.
Студент должен уметь:
- решать основные типы задач на прямую на плоскости.
Всякое уравнение первой степени относительно x и y, т. е. уравнение
вида ax  by  c  0 (где a, b и c постоянные коэффициенты) определяет
на плоскости xOy некоторую прямую. Это уравнение называется общим
уравнением прямой.
Частные случаи.
1. c  0 ; a  0 ; b  0 .
Прямая, определяемая уравнением ax  by  0 , проходит через
начало координат.
2. a  0 ; b  0 ; c  0 .
Прямая, определяемая уравнением by  c  0 (или y  p , где
c
), параллельна оси Ox.
b
3. b  0 ; a  0 ; c  0 .
Прямая, определяемая уравнением
p
ax  c  0 (или
x  q , где
c
), параллельна оси Oy.
a
4. b  c  0 ; a  0 .
Прямая, определяемая уравнением ax  0 (или x  0 , поскольку
a  0 ), совпадает с осью Oy.
5. a  c  0 ; b  0 .
q
4
Прямая, определяемая уравнением by  0 (или y  0 , поскольку
b  0 ), совпадает с осью Ox.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Если в общем уравнении прямой ax  by  c  0, b  0 , то решая его
относительно y , получим y  
a
c
a
x  , меняя обозначение k   ;
b
b
b
c
получаем уравнение y  kx  b .
b
Это уравнение называют уравнением с угловым коэффициентом, поскольку в нем k  tg , где - угол, образованный прямой с положительным
направлением оси Ox. Свободный член уравнения b равен ординате точки
пересечения прямой с осью Oy.
b
Угол между прямыми
Угол, отсчитываемый против часовой стрелки от прямой y  k1 x  b1
к прямой y  k2 x  b2 , определяется по формуле:
k k
tg  2 1 .
1  k1k 2
Пересечение прямых
Условие параллельности:
прямые y  k1 x  b1 и y  k2 x  b2 параллельны тогда и только тогда,
если k1  k2 .
Условие перпендикулярности:
прямые y  k1 x  b1 и y  k2 x  b2 перпендикулярны если k   1 .
1
k1
Уравнение прямой,
проходящей через точку с заданным коэффициентом
Прямая, имеющая угловой коэффициент k и проходящая через точку
M x1; y1  , имеет уравнение:
y  y1  k x  x1 
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Прямая, проходящая через точки M1 x1; y1  и M 2 x2 ; y2 , имеет
уравнение:
y  y1

x  x1
y 2  y1 x2  x1
5
Если x1  x2 , то уравнение прямой, проходящей через точки M1 и M2,
имеет вид x  x1 .
Если y1  y2 , то прямая, проходящая через точки M1 и M2, будет
иметь уравнение y  y1 .
Если
A1
A2

B1
,
то
координаты
точки
пересечения
прямых
B2
A1 x  B1 y  C1  0 и A2 x  B2 y  C2  0 находятся при помощи совместного
решения уравнения этих прямых.
Пример 1. Построить линию y  3x  5
Решение.
x
0
-1
y
5
2
Пример 2. Определить угловой коэффициент прямой 3x  5 y  7 .
Решение. Определим коэффициенты:
a  3, b  5 , k   a ; k   3 .
b
5
Пример 3. Определить угол между прямыми y  2 x  5 и y  3x  1.
Решение. В формуле tg  k2  k1 принимаем k1  2 , k2  3 ,
1  k1k 2
тогда tg  1 , т.е.    .
4
Пример 4. Показать, что прямые 4 x  6 y  7  0 и 20 x  30 y  11  0
параллельны.
Решение. Приведя уравнение каждой прямой к виду с угловым коэффициентом, получаем
2
7
2
11
y  x и y  x
3
6
3
30
Угловые коэффициенты этих прямых одинаковы: k1  k 2  2 . Отсю3
да и заключаем, что прямые параллельны.
Пример 5. Показать, что прямые 3x  5 y  7  0 и 10 x  6 y  3  0
перпендикулярны.
Решение. После приведения уравнений к виду с угловым коэффициентом получаем
5
1
5
3
3
7 и
y   x  . Здесь k1  , k 2   .
y x
3
2
3
5
5
5
6
Так как k 2   1 , то прямые перпендикулярны.
k1
Пример 6. Составить уравнение прямой, проходящей через точки
M  1; 3 и N 2; 5 .
Решение. В уравнении y  y1  x  x1 берем x1  1 , y1  3 ,
y2  y1 x2  x1
x2  2 , y 2  5 .
Получаем y  3  x  1 или y  3  x  1 . Итак, искомое уравнение
5  3 2 1
2
3
имеет вид 2 x  3 y  11  0 . Полезно проверить, что уравнение составлено
верно. Для этого достаточно показать, что координаты точек M и N удовлетворяют уравнению прямой.
2 1  3  3  11  0
2  2  3  5  11  0
Пример 7. Составить уравнение прямой, проходящей через точки
A 2; 4 и B 2;  1 .
Решение. Так как x1  x2  2 , то прямая имеет уравнение x  2
(параллельна оси ординат).
Пример 8. Показать, что прямые 3 x  2 y  1  0 и 2 x  5 y  12  0 пересекаются и найти координаты точки пересечения.
Решение. Так как 3   2 , то прямые пересекаются. Решив совмест2
5
но систему уравнений
3x  2 y  1  0 ,
2 x  5 y  12  0 ,
находим, что x  1, y  2 , т.е. прямые пересекаются в точке 1; 2 .
Пример 9. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(-2;
3) параллельно прямой Y  3  X  4
Решение:
1. Найдем угловой коэффициент прямой Y  3  X  4 .
Y  3  X  4 - это уравнение прямой с угловым коэффициентом и
начальной ординатой ( Y  k  X  b ). Поэтому k MN  3 .
2. Так как прямые MN и АС параллельны, то их угловые коэффициенты равны, т. е. k MN  k AC  3 .
7
3. Для нахождения уравнения прямой АС воспользуемся уравнением
прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом:
Y  Y1  k  ( X  X1 ) . В эту формулу вместо X1 и Y1 подставим координаты точки А(-2; 3), вместо k подставим – 3. В результате подстановки
получим:
Y  3  (3)  ( X  2)  Y  3  3  X  6  Y  3  X  3
Ответ: Y  3  X  3
Пример 10. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(1; –
2) параллельно прямой 2  X  3  Y  6  0 .
Решение:
1. Найдем угловой коэффициент прямой 2  X  3  Y  6  0 .
2  X  3  Y  6  0 - это общее уравнение прямой, которое в общем виде задается формулой А  X  В  Y  С  0 . Сравнивая уравнения
2  X  3  Y  6  0 и А  X  В  Y  С  0 находим, что А = 2, В = –3. Угловой
коэффициент прямой, заданной уравнением А  X  В  Y  С  0 , находится
по формуле k  
A
. Подставив в эту формулу А = 2 и В = –3, получим
B
угловой коэффициент прямой MN. Итак, k MN   2  2 .
3
3
2. Так как прямые MN и КС параллельны, то их угловые коэффици2
енты равны: k MN  k KC  .
3
3. Для нахождения уравнения прямой КС воспользуемся формулой
уравнения прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом Y  Y1  k  ( X  X 1 ) . В эту формулу вместо X 1 и Y1 подставим координаты точки К(–2; 3), вместо
k подставим
2
. В результате подста3
2
3
 2  X  3Y  8  0
Ответ: 2  X  3  Y  8  0
новки получим: Y  2   ( X  1)  3  Y  6  2  X  2  3  Y  2  X  8  0 
Пример 11. Найти уравнение прямой, проходящей через точку
K  1;  3 перпендикулярно прямой 3  X  4  Y  12  0 .
Решение:
1. 3  X  4  Y  12  0 – это общее уравнение прямой, которое в общем виде задается формулой А  X  В  Y  С  0 .
3  X  4  Y  12  0 и А  X  В  Y  С  0 находим, что А = 3, В = 4.
8
Угловой
коэффициент
прямой,
заданной
уравнением
A
А  X  В  Y  С  0 , находится по формуле: k   . Подставив в эту форB
мулу А = 3 и В = 4, получим угловой коэффициент прямой MN: k MN   3 .
4
2. Так как прямые MN и КD перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратно пропорциональны и противоположны по знаку:
1
1
4
k


 .
KD
k MN

3
4
3
3. Для нахождения уравнения прямой КD воспользуемся формулой
уравнения прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом
Y  Y1  k  ( X  X 1 ) . В эту формулу вместо X 1 и Y1 подставим координаты точки K  1;  3 , вместо k подставим
получим:
4
. В результате подстановки
3
4
 ( X  1)  3  Y  9  4  X  4  3  Y  4  X  5  0  4  X  3  Y  5  0
3
Ответ: 4  X  3  Y  5  0
Y 3
Решите самостоятельно
1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку K  4; 1 параллельно прямой Y  2  X  7 .
Ответ: Y  2  X  9 .
2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку K 5;  2 параллельно прямой 5 x  2 y  10 .
Ответ: 5 x  2 y  29  0 .
3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку K  2;  6 перпендикулярно прямой x  y  1 .
3 2
Ответ: 3x  2 y  6  0 .
4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку K 7;  2 перпендикулярно прямой 4 y  8 x  1 .
Ответ: x  2 y  3  0 .
5. Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из точки K  6; 7
на прямую 5 x  y  4  0 .
Ответ: x  5 y  29  0 .
9
Задание
Пример 1. Построить линию y  2 x  1.
Пример 2. Определить угловой коэффициент прямой 6 x  3 y  2 .
Пример 3. Определить угол между прямыми
y  2 x  12 и
y  3 x  4 .
Пример 4. Показать, что прямые x  3 y  10  0 и 6 x  18 y  1  0
параллельны.
Пример 5. Показать, что прямые 3x  6 y  2  0 и 8 x  4 y  7  0
перпендикулярны.
Пример 6. Составить уравнение прямой, проходящей через точки
M 1;  2 и N 3; 6 .
Пример 7. Составить уравнение прямой, проходящей через точки
A9; 3 и B 2; 3 .
Пример 8. Показать, что прямые x  3 y  1  0 и x  y  3  0 пересекаются и найти координаты точки пересечения.
Ответы
1.
x
y
1
3
0
1
2. a  6 , b  3 , k   a , k  6  2 .
b
3
3. tg  1 , т.е.    .
4
4.
5.
6.
7.
8.
1
k1  k 2   .
3
1
1
k2     .
k1
2
8 x  2 y  12  0 .
y  3 , параллельно оси Oy.
x  2, y  1.
Вопросы для самопроверки
1. Общее уравнение прямой на плоскости.
2. Частные случаи уравнений прямой на плоскости.
3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
4. Угол между прямыми.
5. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
6. Уравнение прямой, проходящей через точку с заданными коэффициентами.
7. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
10
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 2
Тема: Кривые второго порядка.
Продолжительность занятия:
специальность 230103.51 «Автоматизированные системы обработки информации и управления (по отраслям)» -2 часа;
Цель занятия: Научить студентов решать задачи на кривые второго
порядка.
Порядок проведения:
1. Повторить теоретический материал;
2. Разобрать предложенные примеры;
3. Выполнить самостоятельно индивидуальные задания;
4. Ответить на контрольные вопросы.
Студент должен знать:
- основные типы задач на кривые второго порядка;
- основные уравнения кривых второго порядка.
Студент должен уметь:
- решать основные типы задач на кривые второго порядка.
Указание 1
Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат
Ax2  2Bxy  Cy 2  2Dx  2 Ey  F  0 .
Коэффициенты уравнения – действительные числа, но по крайней
мере одного из чисел А, В или С отличного от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка.
Окружность
Окружностью радиуса R с центром в точке M0 называется множество
всех точек M плоскости, удовлетворяющих условию M 0 M  R . Пусть точка
M0 в прямоугольной системе координат
Oxy имеет координаты
x0, y0, а
M x; y  – произвольная точка окружности.
Тогда из условия M 0 M  R получаем уравнение
x  x0 2   y  y0 2  R 2
O
y
M0
M
R
x
M 0 x0 ; y0 
M x; y 
Такое уравнение называется каноническим уравнением окружности.
11
В частности, полагая x0  0 и y0  0 , получим уравнение окружности с центром в начале координат x 2  y 2  R 2 .
Эллипс
Эллипсом называется
множество всех точек плоскости, сумма расстояний от
каждого из которых до двух
данных точек этой плоскости, называемых фокусами,
есть величина постоянная,
большая, чем расстояние
между фокусами.
Так как a  c , то
ложим
y
B1
A2
F1
F2
A1 x
O
a2  c2  0 .
B2
A1 a; 0
A2  a; 0
B1 0; b
B2 0;  b
По-
a2  c2  b2
Тогда последнее уравнение примет вид b 2 x 2  a 2 y 2  a 2b 2 или
x2 y2

1
a2 b2
Можно доказать, что уравнение равносильно исходному уравнению.
Оно называется каноническим уравнением эллипса.
Эллипс – кривая второго порядка.
Дополнительные сведения об эллипсе
Форма эллипса зависит от отношения b . При b  a эллипс превраa
щается в окружность, уравнение эллипса принимает вид x 2  y 2  a 2 . В
качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются отношением
c
.
a
Отношение c половины расстояния между фокусами к большой поa
луоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается
буквой  («эпсилон»):
c
a
Причем 0    1 , так как 0  c  a .

12
Гипербола
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль
разности расстояний от каждого из которых до двух данных точек этой
плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая,
чем расстояние между фокусами.
y
B1
F1
o
A2
A1
F2
x
B2
x=-a
A1 a; 0
A2  a; 0
x= a
B1 0; b
B2 0;  b
Кривая, определяемая уравнением
F1  c; 0
F2 c; 0
y 2 x2

 1 , также есть гипербола,
b2 a 2
действительная ось 2b которой расположена на оси Оу, а мнимая ось 2а –
на оси Ox. На рисунке изображена пунктиром.
2
2
y 2 x2
Очевидно, что гиперболы x  y  1 и 2  2  1 имеют общие
b
a
a2 b2
асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.
Каноническое уравнение гиперболы выглядит следующим образом:
x2 y2

1
a2 b2
где b 2  c 2  a 2
Гипербола есть линия второго порядка.
Прямые y  b x и y   b x симметричны относительно координатa
a
ных осей, являются асимптотами гиперболы.
13
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния
между фокусами к величине действительной оси гиперболы, обозначается
:

c
a
Парабола
Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной
прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы
называется параметром параболы и обозначается через p  p  0.
Уравнение y 2  2 px называется каноническим уравнением параболы.
Парабола есть линия второго порядка.
y
y
y'
x'
y0
y'
x'
y0
O1
O1
1
O
1
x
x0
O
( y – y0 )2 = 2p( x – x0)
y
( y – y0 )2 = - 2p( x – x0)
y
y0
y'
y'
O1
x0
x'
O1
x
O
x0
(x – x0)2 = 2p(y – y0)
(x – x0)2 = - 2p(y – y0)
14
x'
x
O
y0
x
x0
15
1. Окружность
Примеры:
Задача № 1.
Написать уравнение окружности с
центром С(4;-3), радиусом R=5 и построить её.
Решение.
Каноническое уравнение окружности с центром в точке С(a;b) и радиусом
R имеет вид
( x  a ) 2  ( y  b) 2  R 2
Следовательно, a = 4; b= -3; R= 5.
Тогда уравнение заданной окружности, будет ( x  4) 2  ( y  3) 2  25
Ответ: ( x  4) 2  ( y  3) 2  25 .
Задача № 2.
Определить координаты центра С и
радиус R окружности x 2  ( y  3) 2  16 и
построить ее.
Решение: из канонического уравнения
окружности с центром в точке С(a;b) и радиусом следует, что a = 0; b= -3;
откуда С(0;-3), R=4
Ответ: С(0;-3), R=4.
R 2  16.
Задача № 3.
Определить координаты центра С и радиус R окружности, заданной
общим уравнением
x 2  y 2  2 x  10 y  1  0 и построить ее.
Решение: выделяя полные квадраты в левой части уравнения, получим:
x 2  2 x  1  1  y 2  10 y  25  25  1  0

x  1



  y  5  25 .
Сравнение полученного уравнения с каноническим уравнением
окружности ( x  a) 2  ( y  b) 2  R 2 с центром в точке С(a;b) и радиусом R,
показывает, что оно определяет окружность с центром в точке С(-1;5) и
радиусом R=5.
Ответ: С(-1;5), R=5.
2
2
16
Задача № 4.
Написать уравнение окружности,
диаметром которой служит отрезок
MN, где точка M(2;-3) и точка N(-6;3)
и построить ее.
Решение.
Координаты центра С(a;b) окружности найдем как координаты точки,
делящий отрезок MN пополам:
Xc  a 
Yc  b 
XM  XN 2  6

 2
2
2
YM  YN  3  3

0
2
2
Следовательно С(-2;0). Радиус окружности
R  ( X c  X m ) 2  (Yc  Ym ) 2  (2  2) 2  (3) 2  5
Тогда ( X  2) 2  Y 2  25 - искомое решение
Ответ: ( X  2) 2  Y 2  25
Индивидуальные задания
Задача 1. Составить уравнение окружности с центром в заданной
точке С и данным радиусом R:
1) С (4;-7), R =5; 2) С (-6;3), R  2
3) С (-1;0), R =3; 4) С (0;-2), R  1
2
5) С (-1;0), R  3 ;
Ответ: 1) ( X  4) 2  (Y  7) 2  25
2) ( X  6) 2  (Y  3) 2  2
3) ( X  3) 2  (Y  2) 2  9
4) X 2  (Y  2) 2  1
4
5) ( X  1) 2  Y 2  3
Задача 2. Для указанных окружностей определить координаты центра С и радиуса R:
1) X 2  Y 2  8 X  12Y  29  0
2) X 2  Y 2  16 X  20Y  5  0
3) X 2  Y 2  7Y  18  0
17
Ответ: 1) С(4;-6), R =9; 2) С(-8; 10); R =13; 3) C  0;  7  , R = - 11

Задача
2
2
расположены по отношению к окружности
2
2
( X  2)  (Y  3)  25 следующие точки А(-1;-1); В(2;-3); С(-3;5); Д(4;-1);
Е (2;-2); F(5:7); G(1;0).
Ответ: точки А, Е и F лежат на окружности, точки В и С - вне окружности, точки Д и G-внутри окружности.
Задача 4. Проходит ли окружность с центром в точке С(-5;7) и радиусом, равным 10, через точку М(-11;15)?
Ответ: да.
Задача 5. Окружность с центром в точке С(12;-5) походит через
начало координат. Составить уравнение этой окружности.
Ответ: ( X  12) 2  (Y  5) 2  169
Задача 6. Известно, что концы одного из диаметров окружности
3.
Как
находятся в точках М 1 (2;-7) и М 2 (-4;3)
Составить уравнение окружности.
Ответ: ( X  1) 2  (Y  2) 2  34
2. Эллипс
Примеры:
Задача № 1. Найти оси, вершины, фокусы и эксцентриситет эллипса
2
9 x  25 y 2  225  0 и построить его.
Решение:
Приведем данное уравнение эллипса к коническому виду
x2 y2

 1 , для чего свободный член перенесем вправо и разделим на
a2 b2
2
2
него обе части уравнения. В результате получим x  y  1 отсюда
25
9
2
2
.
a  25, b  9
Значит, длины полуосей равны соответственно a=5, b=3
А осей эллипса имеют координаты: А1 А2  2а, В1 В2  2b  6 .
Вершины эллипса имеют координаты:
А1 (5;0), А2 (5;0), В1 (0;3), В2 (0;3)
Поскольку b 2  a 2  c 2 , то C  a 2  b 2  25  9  4
По формуле l  c находим эксцентриситет эллипса: l  4
b
5
По полученным данным построим эллипс:
18
Ответ: А1 А2  10, В1 В2  6 ; А1 (5;0), В1 (0;3), В2 (0;3) A2 (5;0)
F1 (4;0), F2 (4;0); l  4 ;
5
2
2
Задача № 2. Дан эллипс x  y  1 , получаем a 2  25, b 2  9 . Зна25
9
чит, длины полуосей равны соответственно a=5, b=3, а осей А1 А2  2а  6, В1 В2  2b  10 .
Вершины же имеют координаты:
А1 (a;0)  A1 (3;0), А2 (a;0)  A2 (3;0), В1 (0;b)  B1 (0;4), В2 (0; b)  B2 (0;4)
Так как b>a, то F1  OY и F2  OY
следовательно b 2  a 2  c 2 , l 
c
b
Тогда C  a 2  b 2  25  9  4
Откуда координаты фокусов
F1 (о;с)  F1 (0;4);
F2 (0; с)  F2 (4;0); а эксцентриситет l 
4
, по полученным данным
5
строим эллипс.
Ответ: А1 А2  6, В1 В2  10 ,
A1 (3;0), A2 (3;0), B1 (0;4), B2 (0;4) ,
F1 (0;4); F2 (0;4); l  4
5
19
Задача № 3. Написать каноническое уравнение эллипса, проходящего через точку М(5;0), если фокальное расстояние равно 6.
2
2
Решение: Запишем каноническое уравнение эллипса x  y  1
2
2
a
b
Так как фокальное расстояние F1 F2  2С  6, то С=3.
По условию точка М(5;0) принадлежит эллипса. Поэтому при подстановке координат точки М в уравнение эллипса, получим 25  1 , откуда
а2
2
2
2
2
a 2  25, . Из равенства b  a  c , находим b  25  9  16 ,
2
2
Итак, искомым уравнением эллипса будет уравнение x  y  1
25
16
Индивидуальные задания
Задача № 1. Напишите каноническое уравнение эллипса, если фокальное расстояние равно 8, а эллипс проходит через точку М(0;-3).
2
2
Ответ: x  y  1
25
9
Задача № 2. Составить простейшее уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ОX, если его полуоси равны 4 и 5.
2
2
Ответ: x  y  1
16
5
Задача № 3. Найти координаты вершин, оси, фокусы и эксцентриситет эллипсов:
2
2
y2
x2
1)
2) x  y  1

1
225
81
25
16
Ответ: 1) А1 А2  30, В1 В2  18 ; A1 (15;0), A2 (15;0), B1 (0;9), B2 (0;9) ;
4
F1 (12;0); F2 (12;0); l 
5
2) А1 А2  10, В1 В2  8 ; A1 (5;0), A2 (5;0), B1 (0;4), B2 (0;4) ;
F1 (3;0); F2 (3;0); l 
3
5
Задача № 4. Найти координаты вершин, оси, фокусы и эксцентриситет эллипсов:
1) 9x 2 9 y 2  36
2) 16x 2 9 y 2  144
3) 25x 2 9 y 2  900
Ответ: 1) А1 А2  6, В1 В2  4 ; A1 (3;0), A2 (3;0), B1 (0;2), B2 (0;2) ;
F1 ( 5 ;0); F2 (5;0); l  5
3
20
2) А1 А2  6, В1 В2  8 ; A1 (3;0), A2 (3;0), B1 (0;4), B2 (0;4) ; F1 (0; 7 );
F2 (0; 7 ); l 
7
4
3) А1 А2  12, В1 В2  20 ; A1 (6;0), A2 (6;0), B1 (0;10), B2 (0;10) ; F1 (0;8);
4
F2 (0;8); l 
5
Задача № 5. Составить простейшее уравнение эллипса, у которого
длина малой оси равна 24, а один из фокусов имеет координаты (-5;0)
y2
x2
Ответ:

1
169
144
Задача № 6. Расстояние между фокусами эллипса равно 30, а большая ось, лежащая на оси ОX, равна 34. Написать простейшее уравнение
эллипса и найти его эксцентриситет.
y2
x2
Ответ:

 1; l  15
17
289
64
Задача № 7. Составить простейшее уравнение эллипса, если известно,
Что один из фокусов находится в точке (6;0), а эксцентриситет l  2
3
2
2
Ответ: x  y  1
81
45
Задача № 8. Составить простейшее уравнение эллипса, если:
1. между фокусами эллипса равно 6, а большая полуось равна 5;
2.
малая полуось равна 3, эксцентриситет равен
2
2
большая полуось равна 10, эксцентриситет равен 4
5
2
2
2
2
2
y2
x
y
x
y
x
Ответ: 1)
3)

1

1

 1 ; 2)
100
36
18
9
25
16
3.
3. Гипербола
Примеры:
Задача № 1. Найти координаты вершин, оси, фокусы, эксцентриситет
2
2
и уравнения асимптот гиперболы x  y  1 , и построить её.
9
16
21
Решение: Сравнивая данное уравнение с каноническим уравнением
2
2
гиперболы x  y  1 . Имеем a 2  9, b 2  16 .Следовательно, соответa2 b2
ственно a=3, b=4 . Тогда, действительно ось гиперболы А1 А2  2а  6 , а
мнимая В1 В2  2b  8 ; координаты вершин А 1 (-3;0), А 2 (3;0).
Далее, C  a 2  b 2  9  16  5 ; следовательно, фокусами гиперболы служат точки F1 (5;0), F2 (5;0); Эксцентриситет гиперболы вычисляется по формуле, следовательно, l  5 . Наконец, подставляя значения
3
а=3, b=4 в формулу y   b x , получаем уравнение асимптот гиперa
4
4
болы: y  x и y   x .
3
3
Ответ: А1 А2  6 ; В1 В2  8 ; А 1 (-3;0), А 2 (3;0), F1 (5;0), F2 (5;0);
l
5;
4
y x
3
3
Задача № 2. Найти
оси, вершины, фокусы,
эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы
16 x 2  9 y 2  144  0 ,
9 x 2  16 y 2  144  0 и построить их.
Решение:
Перенесем свободный
член вправо и разделим на
него все члены данного
уравнения. В результате получим простейшие уравнения гипербол
y2
x2 y2
x2

1

1 и 
16 8
9
16
2
Так как знак «-» стоит перед x , то фокусы гиперболы расположены
16
на оси Oy, а действительной осью В1 В2 , принадлежащая оси Oy. Срав2
2
нивая полученное уравнение с уравнением  x  y  1 , имеем a=4,
a2 b2
22
b=3, В1 В2  2b  6 , координаты вершин В1 (0;-3), В2 (0;3). Далее, из формулы a 2  c 2  b 2 получаем c 2  a 2  b 2 , т.е. c  16  9  5 .
Следовательно, фокусами гиперболы служат точки F1 (0;5);
F2 (0;5); Эксцентриситет гиперболы вычисляется по
формуле l  c  5 . Наконец,
b 3
подставляя значения a = 4, b
= 3 в формулу y   b x , поa
лучаем уравнение асимптот
гиперболы: y   3 x .
4
Ответ: А1 А2  8 ; В1 В2  6 ;
В2 (0;3).
В1 (0;-3),
F1 (0;5); F2 (0;5); y   3 x
4
Задача № 3.
Напишите каноническое уравнение гиперболы, если фокальное расстояние равно 30 и гипербола проходит через точку М(-9;0).
Решение:
Так как гипербола проходит через точку М(-9;0), то следовательно
М(-9;0)=А 1 (-9;0) - вершина гиперболы, принадлежащая оси Оx, по2
2
этому каноническое уравнение гиперболы имеет вид x  y  1 под2
2
a
b
ставляя координаты точки М в указанное уравнение, получаем
(9) 2 0 2
2
 2  1  а  81
2
a
b
Так как фокальное расстояние F1 F2  2c  30 , то с=15, используя
2
2
формулу b 2  c 2  a 2 , получаем b 2  225  81  144 . Тогда x  y  1
81
144
Индивидуальные задания
Задача № 1. Найти оси, вершины, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот следующих гипербол.
2
2
2
2
1) x  y  1
2)  x  y  1 и построить их.
25 36
64 36
23
Ответ: 1) А1 А2  10 ;
В1 В2  12 ;
A1 (5;0), A2 (5;0),
F1 (  61;0);
6
F2 ( 61;0); l  61 , y   x
5
5
2) А1 А2  16 ; В1 В2  12 ; В1 (0;-6), В2 (0;6) F1 (0;10); F2 (0;10);
3
5
l , y x
4
3
Задача № 2. Найти координаты вершин, оси, фокусы, эксцентриситет
и уравнения асимптот следующих гипербол.
1) 4 x 2  5 y 2  100  0
2) 9 x 2  4 y 2  144  0
2
2
3) 9 x  7 y  252  0
и построить их.
Ответ: 1) А1 А2  10 ; В1 В2  4 5 ; A1 (5;0), A2 (5;0), F1 (3 5;0);
F2 (3 5 ;0); l  3 5 , y   2 5 x
5
5
2) А1 А2  8 ; В1 В2  12 ; A1 (4;0), A2 (4;0),
3) А1 А2  4 7 ; В1 В2  12 ; В1 (0;-6), В2 (0;6), F1 (0;8); F2 (0;8);
l
3 7
4,
y
x
7
3
Задача № 3. Напишите уравнение гиперболы, если:
а) ее действительная полуось равна 4, а мнимая -14;
б) фокальное расстояние равно 16, а мнимая полуось -6;
в) фокальное расстояние равно 6, а l =1,5
г) действительная полуось равна 8, а l  5 ;
4
3
д) уравнение асимптоты y  x , а действительная полуось равна 3,
2
а l5
4
2
2
Ответ: а) x  y  1
16
9
2
2
б) x  y  1
28
36
2
2
в) x  y  1
4
5
2
2
2
2
x2 y2
y
x
y
x
г)
д)
е)

1

1

1
4
9
9
16
36
64
Задача № 4. Составить простейшее уравнение гиперболы, действительная ось которой равна 6, а расстояние между фокусами равно 8.
Написать уравнение сопряженной гиперболы.
x2 y2
x2 y2
Ответ:

 1; 

1
9
7
9
7
24
Задача № 5. Напишите каноническое уравнение гиперболы, зная, что
асимптоты её имеют уравнение y  2 x , а фокусное расстояние равно 10.
y2
x2

1
5
20
Задача № 6. Сумма полуосей гиперболы равна 17, а эксцентриситет
13 . Написать простейшее уравнение гиперболы и найти координаты
l
Ответ:
12
её фокусов.
2
2
Ответ: x  y  1 , F1 (13;0); F2 (13;0);
144
25
Задача № 7. Эксцентриситет гиперболы равен 3 , а фокусами служат точки F1 (6;0); F2 (6;0);
Составить Уравнение гиперболы и написать уравнение её асимптот.
2
2
Ответ: x  y  1 , y   2 x .
12
24
4. Парабола
Задача № 1. Определить координаты фокусов и составить уравнение
директрисы параболы y 2  4 x
Решение:
Сравнивая это уравнение с
уравнением y 2  2 px , находим, что
2p=4, откуда p  1 . Таким образом,
2
точка F ( p ;0)  F (1;0) - фокусы па2
раболы, а прямая x   p , т. е. x=-1
2
или x+1=0 – её директриса.
Ответ: (1;0).
Задача № 2. Фокусы параболы с вершиной в начале координат лежит
в точке F(0;-4). Написать уравнение этой параболы.
Решение: Так как F(0;-4) с Оy, то данная парабола симметрична относительно оси Оy, а ветви её направлены вниз. Кроме того О(0;0) вершина параболы. Следовательно искомое уравнение параболы запи25
шется в форме x 2  2 py . Поскольp
2
ку, F (0; )  F (0;4) . Тогда, уравнение параболы будет x 2  16 y
Задача № 3. Директрисой параболы с вершиной в начале координат
служит прямая 2x+5=0
Написать уравнение и найти координаты фокуса параболы.
Решение: Так как директрисой
параболы с вершиной в начале координат служит прямая 2x+5=0 или
p
5
x   ( x   ) , то ее фокус имеет коор2
2
динаты
5 
p 
F  ;0   F  ;0  , поэтому иско2 
2 
мая кривая симметрична относительно
оси Оx F  5 ;0   Ox и ветви ее
2 
направлены вправо (абсцисса фокуса 5
2
положительна). Следовательно, уравнение параболы имеет вид y 2  2 px
Так как
5 p
 , то p  5 и уравнение параболы будет: y 2  10 x , а
2 2
координаты ее фокуса F(2,5;0)
Ответ: y 2  10 x ; F(2,5; 0).
Задача №4. Написать уравнение параболы, симметричной относительно оси Оy, с центром в начале системы координат, если она проходит
через точку В(1; -2).
Решение:
Так как парабола симметрична относительно оси Оy и имеет вершину в начале системы координат, то ее уравнение имеет вид x 2  2 py . Поскольку точка В(1; -2) лежит на параболе, то ее координаты удовлетворяют параболы, т.е. 12  2 p(2) ,
26
Откуда 2 p   1 , и, следовательно, x 2   1 y - уравнение параболы.
2
2
1
2
Ответ: x   y .
2
Задача № 5. Найти высоту арки моста длиной 24м, если арка имеет
вид параболы, уравнение которой x 2  48 y .
Решение:
Построим эскиз параболы x 2  48 y в декартовой прямоугольной
системе координат. Обозначим
через h высоту моста, а через
l =24 - длину арки мосту. Тогда, А(12;-h)  П: x 2  48 y .
Так как точка А принадлежит параболе x 2  48 y , то
ее координаты удовлетворяют
уравнению параболы. Это дает
возможность вместо текущих координат (x;y) подставить координаты
данной точки в уравнение параболы. Тогда имеем
12 2  48(h)
48h  144
h3
Итак, высота арки моста 3 м.
Ответ: h=3.
Задача № 6. Струя воды, направленная под углом к плоскости горизонта поднимается на высоту 2 м и падает в 12 м от наконечника шланга.
Найти параболическую траекторию струи.
Решение: Свяжем параболическую траекторию струи с декартовой
прямоугольной системой координат так, чтобы параболическая траектория была симметрична оси Оy, ветви были бы направлены вниз, а ее
вершина лежала бы в
начале координат.
Тогда уравнение такой параболической траектории
имеет
вид
2
,
точка
А(6;x  2 py
2)  П: x 2  2 py , следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению параболы. Подстановка координат точки А вместо текущих координат x и y параболы
27
36
 9 . Следовательно,
4
x 2  18 y - уравнение параболической траектории струи.
Ответ: x 2  18 y .
2
x 2  2 py , дает равенство 6  2(2) p  p 
Индивидуальные задания
Задача № 1. Сечение рефлектора плоскостью проходящей через ось
рефлектора, есть парабола. Написать ее уравнение, если ширина рефлектора 30 см, а глубина 20 см, (ось рефлектора совпадает с осью Ox)
Ответ: y 2  15x .
Задача № 2. Из отверстия, находящегося на поверхности земли вытекает вода струей, представляющей ветвь параболы x 2  6 y . На каком
расстоянии от края бака падает струя на землю, если высота отверстия
1,5 м?
Ответ: 3 м.
Задача № 3. Осевое сечение параболического зеркала является параболой y 2  12 x .
Определить диаметр зеркала, если его «глубина» равна 18,75 см.
Ответ: 30 см.
Задача № 4. Камень брошенный под острым углом к плоскости горизонта, достиг наибольшей высоты 16 м., Описав параболическую траекторию, камень упал в 48 м., от точки бросания. Найти траекторию камня.
Ответ: 3x 2  32 y .
Задача № 5. Найти параболу с вершиной в начале координат, если ее
фокус лежит в точке а) F(3;0); б) F(-2;0); в) F(0;4); г) F(0;-
1
).
4
Ответ: а) y 2  12 x ; б) y 2  8 x ; в) x 2  16 y ; г) x 2   y .
Задача № 6. Найти параболы с вершиной в начале координат, если
даны директрисы: а) x  2 ; б) x=-5 ; в) y=3 ; г) y=-2 ;
Ответ: а) y 2  8 x ; б) y 2  20 x ; в) x 2  12 y ; г) x 2  8 y .
Задача № 7. Найти координаты фокуса и написать уравнение директрисы для каждой из парабол.
а) y 2  8 x ; б) y 2  12 x ; в) x 2  10 y ; г) x 2  16 y . Построить эти
параболы.
Ответ: а) F(2;0); x+2=0; б) F(-3;0); x-3=0; в) F(0; 5 ); 2y+5=0;
2
г) F(0;-4); x-4=0.
28
Задача № 8. Проверить, лежат ли точки А(2;-2) и В(1;2) на параболе
y 2  2x .
Ответ: А лежат, В не лежат.
Задача № 9. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оx и проходящей через точку
А(4;-2).
Ответ: y 2  x
Задача № 10. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале
координат, если:
а) парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 4;
б) парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 6;
в) парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 3;
г) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 5.
Ответ а) x 2  8 y ; б) x 2  12 y ; в) y 2  6 x ; г) y 2  10 x .
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Уравнение окружности.
Уравнение эллипса.
Фокусы эллипса.
Эксцентриситет эллипса.
Уравнение гиперболы.
Эксцентриситет гиперболы.
Уравнение параболы.
Директриса параболы.
Литература
1.
Пехлецкий И. Д. Математика. Учебник 2-е изд.: М. – Издательский центр «Академия», Мастерство. 2002 г.
2.
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике.: М. – «Высшая школа»,
2004 г.
29
Содержание
Введение..............................................................................................
Практическое занятие 1………………………………..……………
Практическое занятие 2……………………………....……………..
Контрольные вопросы…………………............……………………
Литература……………………………....…………………………...
30
3
4
11
28
28
Составитель Иван Николаевич Рыльцев
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПРЯМУЮ НА ПЛОСКОСТИ.
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Математика»
Под редакцией автора
Темплан 2008 г., поз. № 79К.
Подписано в печать 15. 02. 2008 г. Формат 60×84 1/16.
Бумага листовая. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 1,88. Усл. авт. л. 1,69.
Тираж 50 экз. Заказ №
Волгоградский государственный технический университет
400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28.
РПК «Политехник»
Волгоградского государственного технического университета
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.
31