 

1. 7.01.01.1 #Дифференциальные уравнения первого порядка
(понятие решения)
Решением уравнения первого порядка xx  t является функция …
1) xt   t 2  1
2) xt   6t 2  1
3) xt   t 2  С  1
4) xt   Сt   1
2. 7.01.02.1 #Дифференциальные уравнения первого порядка
(понятие общего решения)
2
Найдите дифференциальное уравнение семейства линий y  1  x 2  С .
1) y   
x
1  x2
2) y   ln x
3) y   x  1
4) y   cos x  1
3. 7.01.03.1 #Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными
Найдите общее решение уравнения y   y  1 .
1) y  Ce x  1
2) y  x ln x  C
3) y  e x  C


4) y  C e x  1
4. 7.01.04.1 #Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными: задача Коши
Найдите решение задачи Коши e x 1  y 2  ye x y  yy , y0  0 .
 e x 1  e 

1) ln 


2


2) y  e x ln x  1
y2 1

3) e x 1  e  e 2 x y ln 1  x 2
 x

4) y 1  ln e
5. 7.01.05.1 #Типы дифференциальных уравнений первого порядка
Укажите номера (или номер, если он один) дифференциальных уравнений с
разделяющимися переменными:
2
 y
3)  y  2 dx  x  2 dy  0 ,
 x
4) y2 y ln y  y  x  y , 5) x  1 y  y 2   y .
1) x 2 dy  2 xy  3dx , 2) xy  y ln   ,


1) 3
2) 1, 2, 3
3) 1, 2
4) 3, 5
6. 7.01.06.2 #Дифференциальные уравнения первого порядка
(понятие особого решения)
Найдите число особых решений уравнения y  1  y 2 .
2
7. 7.01.07.1 #Типы дифференциальных уравнений первого порядка
Укажите номера (или номер, если он один) однородных дифференциальных
уравнений:


1) xy   y  x 2  y 2 , 2) y dx  x  ye y dy  0 , 3) 4 xy   y  1,
4) x dy  2 y dx  x 2 dx  0 , 5) y   2 xy  3xy 2 .
1) 1
2) 2, 4
3) 4, 5
4) 1, 3
8. 7.01.08.1 #Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Найдите общий интеграл дифференциального уравнения
2x  y  dx  4 y  x dy .
1) x 2  xy  2 y 2  C
2) x 2  xy  y 2  C
3) x 2  xy  2 y 2  C
4) x 2  xy  y 2  C
9. 7.01.09.2 #Однородные дифференциальные уравнения первого порядка:
задача Коши


Найдите y  x  – решение задачи Коши: xy  y  ln
y 
 1  0, y1  1,
x 
и вычислите значение y5 .
5
10. 7.01.10.1 #Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Найдите общее решение дифференциального уравнения y  
1) y  Cx  x 2
2) y  Cx 2  x
1
yx
x
3) y  Cx 2  x 4
4) y  Cx 4  x 2
11. 7.01.11.1 #Дифференциальные уравнения Бернулли
x2 y
Найдите общий интеграл дифференциального уравнения y 

y
x
'
1) y 2  x 2 ( 2 x  C )
2) y  Cx  2x 2
3) y  2 x  С
4) y 2  2 x  C
12. 7.01.12.1 #Типы дифференциальных уравнений первого порядка
Укажите номера линейных дифференциальных уравнений:
2


1) y  y  y 2  xy , 2) y  2 xy  x 5e  x , 3) dy  y  e x dx ,
4) dy  y dx  10 x dx , 5) dy  yx  3 dx .
1) 2, 3, 4
2) 4, 5
3) 1, 5
4) 1, 4, 5
13. 7.01.13.1 #Типы дифференциальных уравнений первого порядка
Укажите номера дифференциальных уравнений Бернулли:
1) xy  xy 2  y , 2) y  2 xy  y , 3) xy  y  y 2 ln x ,
x
y
4) y  2  , 5) dy  y x  3 dx .
x
y
1) 1, 3, 4
2) 2, 4
3) 2, 5
4) 4, 5
14. 7.01.14.2 #Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Решите задачу Коши y  y cos x  sin x cos x, y0  0 и вычислите ординату
y1 точки M1 x1 , y1  интегральной кривой с с абсциссой x1   .
0
15. 7.01.15.1 #Типы дифференциальных уравнений первого порядка
Укажите номера дифференциальных уравнений в полных дифференциалах:
1)  y  xy  e x  x  1 y 2 ,




2) 2 x  1 y  4 x  2 y ,
3) e y  ye x dx  xe y  e x dy  0 , 4) e x  y  e x  y e 2 x  y ,
5) cos y  y cos x  dx  sin x  x sin y  dy  0 .
1) 3, 5
2) 1, 4, 5
3) 2, 4
4) 2, 3, 4
16. 7.01.16.1 #Уравнения в полных дифференциалах
Подберите функцию  x , y  так, чтобы уравнение
  e x 2  y  y  dx   e x 2  y  x  dy оказалось дифференциальным уравнением




в полных дифференциалах.
1) 2 x
2) y 2
3) x 2  y
4) 2 y
17. 7.01.17.1 #Уравнения в полных дифференциалах
Найдите общий интеграл дифференциального уравнения
3x2  6xy2  dx  6x2 y  4 y3  dy  0 .
1) x 3  3x 2 y 2  y 4  C
2) x 3  3x 2 y 2  C
3) y 4  x 2 y 2  C
4) 6 xy 2  y 4  C
18. 7.01.18.2 #Уравнения в полных дифференциалах




Решите задачу Коши: e y  y e x dx  e x  x e y dy  0, y0  1 и вычислите
ординату y1 точки M1 x1 , y1  на интегральной кривой с абсциссой x1  1.
0
19. 7.01.19.2 #Дифференциальные уравнения первого порядка (понятие
интегральной кривой)
Найдите число вертикальных асимптот интегральной кривой
дифференциального уравнения y   
M 0,  1.
x
2x
2

1
2
, проходящей через точку
2
20. 7.02.01.1 #Дифференциальные уравнения второго порядка,
допускающие понижение порядка
Найдите общее решение дифференциального уравнения y 
1) y  ln cosx  C1x  C2
2) y  tgx  C1x  C2
3) y  ln sin x  C1 x  C2
1
cos 2 x
4) y  ctgx  C1x  C2
21. 7.02.02.1 #Дифференциальные уравнения второго порядка,
.
допускающие понижение порядка
Проверьте, какая из следующих функций является решением уравнения
y  xe x .
1) y  x  2 e x  x  1
2) y  x  2
3) y  cos x  sin x
4) y  xe x
22. 7.02.03.1 #Дифференциальные уравнения второго порядка,
допускающие понижение порядка
Решите задачу Коши: y  x  sin x, y0  3, y0  0 .
x3
1) y 
 sin x  x  3
6
2) y  x 2  sin x  3x
3) y  x 3  sin x  x  3
x3
4) y 
 cos x  x  3
6
23. 7.02.03.2 #Дифференциальные уравнения второго порядка,
допускающие понижение порядка
Решите задачу Коши: y  cos x  e  x , y0  e  , y0  1 и найдите
значение y  .
1
24. 7.02.04.1 #Дифференциальные уравнения второго порядка,
допускающие понижение порядка
Проверьте, какая из следующих функций является решением уравнения
y 
3 y
 x.
x
x3
1) y  x 
5
3
2) y  1  x
4
3) y  x 4  x
4) y  x 2  x  1
25. 7.02.05.1 #Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие
понижение порядка
Найдите общее решение дифференциального уравнения
1  x 2  y  x y  2 .
1) y  arcsin x   C1 arcsin x  C2
2
2) y  arcsin x   C1 ln 1  x 2  C2
2
3) y  arcsin x  C1 arcsin x   C2
2
4) y  arccos x   C1 arccos x  C2
26. 7.02.06.2 #Дифференциальные уравнения второго порядка,
допускающие понижение порядка
2

 
 
   , y   2 и найдите
2
2
2
Решите задачу Коши: ytgx  y  1, y
значение y 0 .
1
27. 7.02.07.1 #Дифференциальные уравнения второго порядка,
допускающие понижение порядка
Решите задачу Коши: 2 y  y  y  0, y0  0, y0  3 .
3
1) y 3  y  3x
2) 3 y 3  y  x
3) y 3  y  3x
4) y 3  3 y  x
28. 7.02.07.2 #Дифференциальные уравнения второго порядка,
допускающие понижение порядка
Решите задачу Коши: y  
y
1
2 y3
, y0 
1
, y0  2 и найдите значение
2
 2   12 .
1
29. 7.02.08.1 #Линейные однородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами
Найдите решение задачи Коши: y  4 y  3 y  0, у0  6, y0  10 .
1) y  4e x  2e3 x
2) y  3e x  3e3 x
3) y  e x  5e3 x
4) y  e x  7e3 x
30. 7.02.08.2 #Линейные однородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами
Найдите значение решения задачи Коши: y  9 y  0, y0  2, y0  3
в точке x   .
2
31. 7.02.09.2 #Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
Решите дифференциальное уравнение: y  6 y  9 y  1  x  e3 x методом
вариации произвольных постоянных и найдите значение y 0 , полагая в
общем решении C1  C2  1.
1
1
32. 7.02.10.1 #Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами со специальной правой частью
Найдите частное решение линейного неоднородного дифференциального
уравнения y   y   2 x , не вычисляя неопределенных коэффициентов.
1) y  Ax 2  Bx
2) y  Ax  B
3) y  Axe x
4) y   Ax  B  e x
33. 7.02.11.2 #Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами со специальной правой частью
Решите задачу Коши: y  y  x 2 , y1  0, y1  1 и найдите значение
6y0.
8
34. 7.02.12.1 #Линейные однородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами
Определите, какой вид имеет линейное однородное дифференциальное
уравнение, если корни характеристического уравнения равны k1  2, k2  3 .
1) y  5 y  6 y  0
2) y  6 y  5 y  0
3) y  2 y  3 y  0
4) y  2 y  3 y  0
35. 7.02.13.1 #Линейные однородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами
Определите вид линейного однородного дифференциального уравнения, если
y1  cos x, y2  sin x  его фундаментальная система решений.
1) y  y  0
2) y  y  y  0
3) y  3 y  2 y  0
4) y  y  0