Z  

VI.
Формулы половинного аргумента (знак – по функции в левой части):
1. sin

1  cos 

2
2
2. cos

1  cos 

2
2

1  cos 
sin 
1  cos 
3. tg  


;
2
1  cos  1  cos 
sin 
VII.
1.
Считая числовую окружность образом беговой дорожки стадиона,
отметьте на ней конец дистанции: а) 1500 м; б) 42 км 195 м.
2.
Дана окружность радиуса 1 см. Чему равна длина: а) всей окружности;
б) ее половины; в) ее четверти?
В
Горизонтальный диаметр СА и вертикальный
диаметр DB разбивают единичную окружность
на четыре четверти: АВ – первая, ВС – вторая, С
А
CD – третья, DA – четвертая.
Опираясь на эту геометрическую модель,
решите задачи № 3, 4, 5, 6, 7, 8.
D
3.
Первая четверть разделена точкой М на две равные части, а точками К и
Р – на три равные части (точка Р между М и В). Чему равна длина дуги:
АМ, МВ, АК, КР, РВ, АР, КМ?
4.
Вторая четверть разделена пополам точкой М, а третья четверть
разделена на три равные части точками К и Р (точка Р между К и D).
Чему равна длина дуги: АМ, ВК, МР, DC, КА, ВР, СВ, ВС?
5.
Вторая четверть разделена точкой М пополам, а четвертая четверть
разделена на три равные части точками К и Р (точка Р между К и А).
Чему равна длина дуги: АМ, АК, АР, РВ, МК, КМ?
6.
Первая четверть разделена на две равные части точкой М, а четвертая
разделена на три равные части точками К и Р (точка Р между К и А).
Чему равна длина дуги: АМ, ВD, CK, MP, DM, MK, СP, PС?
7.
Третья четверть разделена точкой Р в отношении 1 : 5. Чему равна
длина дуги: СР, PD, АР?
8.
Первая четверть разделена точкой М в отношении 2 : 3. Чему равна
длина дуги: АМ, МВ, DM, МС?
9.
Выразите в радианах:
    2n, n  Z
Формулы сумм:

 
cos
2
2
 
 
sin   sin   2 sin
cos
2
2

 
cos   cos   2 cos
cos
2
2

 


cos   cos   2 sin
sin
 2 sin
sin
2
2
2
2
sin(  )

tg   tg  
; ,    n, n  Z
cos  cos 
2
sin(  )
ctg   ctg  
; ,   n, n  Z
sin  sin 
1. sin   sin   2 sin
2.
3.
4.
5.
6.
VIII. Формулы произведений:
1
1. sin  sin   cos(  )  cos(  ) 
2
1
2. cos  cos   cos(  )  cos(  ) 
2
1
3. sin  cos   sin(  )  sin(  ) 
2
IX.
X.
Универсальная тригонометрическая подстановка:


2tg
1  tg 2
2
2 ;     2n, n  Z
1. sin  
2. cos  
2 
2 
1  tg
1  tg
2
2
Некоторые дополнительные формулы:
b
1. a sin   b cos   A sin(  ), где A  a 2  b 2 ,   arctg
a




2. cos   sin   2 sin     2 cos   
4

4

26
10.
1) 1;
4) 10;
7) 15;
10) 30;
2) 45;
5) 60;
8) 70;
11) 90;
3) 225;
6) 240;
9) 320;
12) 330.
Переведите из градусной меры в радианную:
1) 120;
3) 220;
5) 300;
7) 765;
2) 210;
4) 150;
6) 315;
8) 675.
3
11.
12.
13.
Выразите в градусах:
1) Error!;
4)
2) Error!;
5)
3) 0,25;
6)
I.
Error!;
Error!;
Error!;
7) Error!;
8) 1,5;
9) – Error!;
Переведите из радианной меры в градусную:
1) Error!;
3) Error!;
5) Error!;
2) Error!;
4) Error!;
6) Error!;
7)
8)
Окружность разделена на шесть равных
частей. Выразить в градусах и радианах
сумму дуг:
1)  AECBF  EAB  DCB ;
2)  AFE  EDC  CD  BD  DCBA .
Error!;
Error!.
E
4. tg   ctg   1;
F
D
II.
A
C
Угол А трапеции ABCD (AD || BC) на 70 меньше угла В и на 10 больше
угла D. Найдите радианную меру каждого из углов трапеции.
15.
Перечертите в тетрадь и заполните таблицу:
3

90
5

45
9

30
12

18
18

12
30

9
45
90

5

3
Один из углов треугольника больше другого на 20 и меньше третьего
на 50. Найдите радианную меру каждого из углов этого треугольника.
17.
Записать общий вид углов для случаев, когда
конечный радиус их занимает положение: 1) ОВ;
2) ОС и найти несколько частных значений этих
углов.
19.
4
  n, n  Z

n
, n Z
2
Формулы (теоремы) сложения аргументов:
1. sin(  )  sin  cos   cos  sin 

 n, n  Z
2

 n, n  Z
2
III.
Формулы приведения:
1) функция меняется на кофункцию при переходе через вертикальную
ось и не меняется при переходе через горизонтальную;
2) перед приведенной функцией ставится знак приводимой функции,
считая  углом первой четверти.
IV.
Формулы двойного аргумента:
В
150
А
О
1
sin 2
2
2. cos 2  cos2   sin 2   1  2 sin 2   2 cos2   1
1. sin 2  2 sin  cos ,
С
В какой четверти находится конечная точка поворота на угол:
1) 220;
3) –160;
5) 906;
2) 285;
4) –290;
6) 4825?
Представьте в виде 0 + 360  п (0  [0; 360), п  Z) углы:
1) 840;
3) –1700;
5) 3200;
7) –2450;
2) 1200;
4) –3900;
6) 3500;
8) –3100.

 n, n  Z
2

16.
18.

2. sin(  )  sin  cos   cos  sin 
3. cos(  )  cos  cos   sin  sin 
4. cos(  )  cos  cos   sin  sin 
tg   tg 
5. tg (  ) 
;
, ,    
1  tg  tg 
tg   tg 
6. tg (  ) 
;
, ,    
1  tg  tg 
B
14.
1
Основное тригонометрическое тождество и следствия из него:
1. sin 2   cos 2   1
1
2. 1  tg 2  
;
cos 2 
1
3. 1  ctg 2  
;
sin 2 
10) Error!;
11) 3;
12) Error!.
3. tg 2 
V.
2 tg 
1  tg 2
отсюда
sin  cos  
4. ctg 2 
ctg 2  1
2ctg 
Формулы понижения степени:
1
1  cos 2
1. sin 2   1  cos 2 
3. tg 2 
2
1  cos 2
1
1  cos 2
2
2
2. cos   1  cos 2 
4. ctg  
2
1  cos 2
25
128.
129.
130.
В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания
делит один из его катетов на отрезки 3 см и 4 см. Вычислите косинусы
острых углов треугольника.
В квадрат со стороной а вписан другой квадрат так, что вершины
второго квадрата лежат на сторонах первого, а сторона второго квадрата
образует угол  со сторонами первого. Найдите сторону вписанного
квадрата.
Пусть ,  и  – углы некоторого треугольника. Докажите, что для них
выполняются следующие соотношения:
sin   sin   sin   4 cos
2)
sin 2  sin 2  sin 2  4 sin  sin  sin  ;
3)
cos   cos   cos   1  4 sin
4)
cos2  cos2  cos2  1  4 cos cos cos ;
5)
tg   tg   tg   tg  tg  tg  ;
6)
ctg   ctg  ctg   ctg  ctg ctg  ;
7)
sin   sin   sin   4 sin
9)
Найти на числовой окружности точку, которая соответствует заданному
числу:

3
7
3
1)
;
, ,
, 2,
, 9, 
2
2
2
2
  
5 7 5
,
,
,  ,
,
2)
.
6 4 3
4
6
3
21.
Отметьте на координатной окружности точки, соответствующие
числам:
 2 
7
9  5 11
17 
,
,
, 
, , 3 ;
1)
2)  ,
.
,
,
, 
3
3
6
6
2
4
4
4
4
22.
Какой четверти числовой окружности принадлежит число:
37 
19
1)
;
2) 
;
3) 100?
6
4
23.
Запишите три числа, которые изображаются на окружности той же
точкой, что и Error!.
24.
Часы отстали на 18 минут. На какой угол надо повернуть минутную
стрелку, чтобы часы показывали верное время?
25.
Переведите углы из градусной меры в радианную:



cos cos ;
2
2
2
1)
8)
20.



sin sin ;
2
2
2



sin cos ;
2
2
2
cos   cos   cos   1  4 cos



cos cos ;
2
2
2
26.
tg   ctg  ctg   tg  ctg ctg  ;
10) sin cos cos  + cos sin cos  + cos cos sin  = sin sin sin ;
11) tg   tg  + tg   tg  + tg   tg  = 1;
27.
12) ctg   ctg  + ctg   ctg  + ctg   ctg  = 1;
13) sin 2   sin 2   sin 2   2  2 cos  cos  cos  ;
14) cos 2   cos 2   cos 2   1  2 cos  cos  cos  ;
15) sin 2   sin 2   sin 2   2 sin  sin  cos  ;
28.
1) 36;
3) –120;
5) 870;
7) –2510;
2) 265;
4) –135;
6) 1020;
8) –2940.
Найдите радианную меру дуг:
1) 18;
3) –252;
5) 1530;
2) 324;
4) 828;
6) –2490.
Чему равна градусная мера углов:
1) Error!;
3) Error!;
2) Error!;
4) Error!;
5) – Error!;
6) – Error!;
7)
8)
Error!;
Error!?
Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:
1) Error!;
3) Error!;
5) – Error!;
2) Error!;
4) Error!;
6) – Error!.
16) sin 2   sin 2   sin 2   1  2 cos  cos  sin  ;
17) cos 2   cos 2   cos 2   2 cos  cos  sin  .
24
5
29.
Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует
заданному числу:
1) Error!; Error!; – Error!; 3) Error!; Error!; –2;
2) ; Error!; – Error!;
4) 2; Error!; – Error!.
30.
На числовой окружности укажите точку, соответствующую числу:
1) 7; Error!; Error!;
3) 10; Error!; – Error!;
–
2) 4; Error!; Error!;
4) 3; Error!; Error!.
31.
Какой четверти числовой
соответствующая числу:
1) 6,1;
4) 2,8;
2) 5,4;
5) 3,2;
3) –4,3;
6) –5,1;
32.
33.
34.
35.
окружности
7) 4,8;
8) 1,4;
9) –2,8;
Какой четверти принадлежат точки:
1) Error!;
3) Error!;
5) 4,3;
2) Error!;
4) – Error!;
6) –3,3;
принадлежит
122.
точка,
10) 31;
11) –17;
12) –95?
123.
124.
7) 20;
8) –100?
125.
7) 2 sin 24 sin 44;


cos ;
10
4
8) 2 sin
126.


3 
 2 cos 
tg ;
3
6 2
3

5
cos
.
7
14
Упростите выражения:
1) cos 3 cos  – cos 7 cos 5;
3) sin 4 cos 3 – sin 5 cos 2;
2) cos 3 cos  – sin 3 sin ;
4) sin 4 cos 3 – cos 4 sin 3.
Преобразуйте выражения:
2) cos 7 cos 3 + sin 7 sin 3.
Проверьте равенства:
3
;
2
1
;
2
3) sin 5 – 2 cos 4 sin  = sin 3;
4) 2 cos 40  cos10   cos 50  
5) sin 20   2 cos 25  sin 5 
3
;
2
1
;
2
6) cos 3 – 2 sin 2 sin 5 = cos 7.
Вычислите:
1) tg 15 + tg 75;
5) sin 4
3
3
;
 cos4
8
8
2) cos2 3 + cos2 1 – cos 4 cos 2;
6) sin 4
3
3
 cos4
;
8
8
3) tg 41 tg 43 tg 45 tg 47 tg 49; 7) sin 6
3
3
 cos6
;
8
8
4) tg 20 tg 40 tg 50 tg 70;
127.
6
6) sin 31 cos 41;
3) sin 52 sin 7;
2) 2 sin 25  cos 5  sin 20  
2) tg 60   2 cos 45   3 ctg 45  ;
3) 6cos 30 – 3tg 60 + 2sin 45;
3 sin
2) 2 sin 52 cos 8;
1) cos 50   2 sin 40  sin 10  
Вычислите:
1) 2sin 30 – tg 45 + ctg 30;
5)
5) cos 50 cos 58;
1) cos 7 cos 3 + sin 8 sin 2;
Ведро в колодце поднимается на 2 м, если рукоятка ворота повернута на
пять полных оборотов по часовой стрелке. На какой угол надо
повернуть рукоятку ворота, чтобы ведро: 1) поднялось на 1,5 м?
2) опустилось на 1,25 м?
3 tg 30   4 sin 30   3 ctg 30  ;
1) cos 52 cos 22;
4) 2 cos
Как расположены на числовой окружности точки, соответствующие
числам:
1) t и –t;
3) t и t + ;
2) t и t + 2k, k  Z;
4) t –  и и t + ?
4)
Замените произведение тригонометрических функций суммой:
8) cos8


 sin 8 .
8
8
Вычислите значение выражения
cos11  3 cos 9  3 cos 7  cos 5
1
, если cos   .
cos 8
3
23
116.
Докажите тождество:
6) 2 cos
cos2 3x  cos2 4 x  sin 2 5 x  sin 2 6 x
sin 2 3x  sin 2 5 x  sin 2 4 x  sin 2 6 x
117.


3

3 cos  2 sin 
ctg ;
6
3 2
6



2 cos  2 sin  ctg ;
8)
4
6
6

3
9) 2 sin   cos 0  tg 0  3 cos  sin
;
2
3
10) 5 sin 90   2 cos 0  2 sin 270   10 cos180  .
7)
Упростите выражение:
1)
sin 5  sin 3
;
sin 5  sin 3
5)
sin 7  sin 5  sin 3
;
cos 7  cos 5  cos 3
2)
cos 2  cos 8
;
sin 2  sin 8
6)
cos 6  cos 4  cos 2  cos 8
;
sin 3  sin 
3)
sin x  sin 2 x
;
cos x  cos 2 x
7)
sin   2 sin 2  sin 3
;
2 cos 2  cos 3  cos 
2 sin 2   sin 
4)
;
sin 2  cos 
118.
 ctg 2 x ctg 9 x .
36.
2)
cos   cos 5  cos 7  cos 3
8)
.
sin 3  sin   sin 5  sin 7



 4 ctg  2 sin ;
6
4
6



4) 4 tg  2 cos  2 sin ;
4
3
6


5) 3 sin  cos 2  4 tg 0  sin   cos ;
2
2
6) 4cos 180 – 3sin 270 + 3sin 360 – ctg 90.
2) tg 9 – tg 27 – tg 63 + tg 81;
119.
37.
(Устно). Существуют ли числа ,  и , для которых:
Преобразуйте выражение:
1) sin   0,5, cos   3 , tg   2,5 ;
sin 8  sin 9  sin 10   sin 11 cos 8  cos 9  cos10   cos11

.
cos 8  cos 9  cos10   cos11 sin 8  sin 9  sin 10   sin 11
2) sin  
120.
Тангенсы двух углов треугольника равны соответственно 1,5 и 5.
Найдите третий угол треугольника.
121.
Преобразуйте произведение в сумму:
5
, cos   2,2, tg   0,31 ;
2
10
3) sin   1,3, cos  
, tg   5,2 ?
4
38.
22
2 cos 45   3 3 tg 60   6 cos 30  ;
3) 2 cos
1) cos 95 + cos 94 + cos 93 + cos 85 + cos 86 + cos 87;
2
4
2
6
4
6
.
cos
 cos cos
 cos cos
7
7
7
7
7
7
Найдите значение выражения:
1) 4 cos 60   2 sin 45   2 3 tg 30  ;
Вычислите:
3) cos



 2 sin  2 sin ;
3
6
4
1) sin 42 cos 12;
5) cos 23 cos 27;
2) cos 42 cos 18;
6) 2 sin 18 sin 22;
3) 2 sin 42 sin 3;
7) sin 40 cos 56;


4) 2 sin cos ;
8
10

3
8) 2 cos cos .
5
10
39.
Оцените выражение, т.е. укажите его наименьшее и наибольшее
значение:
1) 1 + 2sin ;
4) 2sin x + 3;
7) 1 – 4cos2x;
2) 4sin  + 1;
5) 2cos2;
8) 4 + cos( – 15);
3) 1 – 3cos ;
6) 5 + 2cos2x;
9) 2 – sin ( – ).
Найти наибольшее и наименьшее значение выражения:
1) 3sin x – 1;
3) 2cos x – 3;
5) 10 – 9sin2x;
2) 2 + 3cos x;
4) 5 – 4sin x;
6) sin2x – 5.
7
40.
Определить, в какой четверти находится конечная точка поворота на
угол  и каковы знаки cos  и sin , если угол равен:
1) 260;
3) 565;
5) –915;
7) 8760;
2) 290;
4) 480;
6) –825;
8) 8000.
109.
Вычислите:

3
5
7
sin 4  cos4
 sin 4
 cos4
.
8
8
8
8
41.
Определить знак каждого из данных произведений:
1) sin 100  sin 132;
5) ctg 300  sin 222;
2) cos 210  sin 115;
6) sin 118  cos 118  tg 118;
3) cos 285  cos 316;
7) sin 2,1  ctg 2,1  cos 2,1;
4) tg 112  sin 165;
8) cos 123  tg 123  sin 312.
110.
Известно, что sin  
111.
Вычислите sin
112.
В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине равен
42.
Какой знак имеет произведение sin   cos   tg , если число  равно:
1) 4,1;
2) – 240;
3) Error!?
43.
Вычислите:
   
   
1) sin   cos    sin   cos   ;
 6  4
 4  6
113.
 
 
 
3) sin    cos    tg     ctg    .
2
4




 2
Найдите значение выражения:
   
   
1) cos   cos    sin   cos   ;
4
3

 

 4  3
114.
46.
8
Вычислите:
1) sin 2580;
2) ctg 2190;
5)
6)
7)
8)
sin(–4005);
tg 3630;
ctg 2100;
cos(–3210);
3) tg(–2835);
4) sin 2490;
1) sin 50 + sin 20;
4) cos 160 + cos 80; 7) cos 3 – cos 5;
2) cos 28 – cos 12;
5) sin 83 – sin 23;
115.
9) cos(–2220);
10) sin(–3555);
11) tg(–2460);
12) ctg(–2115).
5) ctg(–2565);
6) cos(–2820).
2
3
 cos
;
5
5
6) sin

5
;
 sin
12
12
8) sin 10 + cos 40;
9) sin


 sin .
10
12
Замените сумму произведением:
1) cos 40 – cos 10;
4) cos 37 + cos 23;
2) sin 42 – sin 26;
5) sin 130 + sin 110; 8) sin  – sin 3;
3) sin
 3 
 
3) cos 2  sin    ctg     tg   .
 2 
 4
Найдите значение:
1) cos 2550;
2) tg 2205;
3) sin 3300;
4) ctg 2130;
5
.
13
Преобразуйте сумму в произведение и упростите результат, если это
возможно:
3) cos
   
   
2) sin   cos    sin   cos   ;
 4  6
 3  3
45.

 sin 22,5 .
8
Найдите синус угла при основании.
 
 
   
2) sin   ctg     cos   tg    ;
 4
 4
 6  4
44.
336
5

, где
   3 . Вычислите sin .
625
4
4
5
7
 sin
;
24
24
6) sin

5
;
 sin
12
12
7) cos 20 – cos 70;
9) cos


 cos .
8
10
Упростите выражение:
1)
sin 3  sin 5
;
cos 3  cos 5
5)
sin 3  sin 7  sin 11
;
cos 3  cos 7  cos11
2)
cos x  cos 3 x
;
sin x  sin 3 x
6)
cos 4  cos 6  cos10  cos 8
;
cos 8  cos 6
3)
sin 2  sin 3
;
cos 2  cos 3
7)
cos   2 sin 3  cos 5
;
sin 5  2 cos 3  sin 
8)
sin 3  sin 4  sin   sin 2
.
cos   cos 2  cos 4  cos 3
4)
sin   sin 2
cos   2 cos 
2
;
21
99.
Упростите выражения:
1  tg 
;
1  tg 2 
2 tg 
2)
;
1  tg 2 
3)
tg 
;
tg 2  tg 
5)
tg 
tg 

;
1  tg  1  tg 
Определите:
37 
1) sin
;
6
4)
tg 2  tg 
;
tg 2  tg 
6)
1
1
.

1  tg  1  tg 
 37  
2) tg  
;
 3 
47.
2
1)
100.
Преобразуйте следующие выражения:
1
1



1) sin 2 1 
 ctg  1 
 tg   ;
sin

cos




2)
101.
cos2 2  4 cos2   1
3)
;
tg 2   ctg2   6
.
tg 2   ctg2   2
48.
Вычислите без помощи калькулятора или таблиц:
1)
102.
cos2 2  4 cos2   3
tg 255   tg 555tg 795  tg 195 ;
2)
tg 61 5  tg 555 
.
tg 79 5  tg 73 5
Вычислите:
2
5 

sin  2   , если tg   .
3
4


103.
7 
2

cos  2 
 , если ctg   .
4
3


104.
1
1
tg (4х – у), если tg x  , tg y 
.
5
239
105.
(sin 4 + 2sin 2) cos , если sin  
106.
107.
108.
20
1
.
4

 5

Упростите выражение cos 
 2   cos2   2  .
 4

 4

Найдите значение выражения:

11
1) sin 2  sin 2
;
13
26
 23  
7) sin  
;
 6 
4) cos
17 
;
4
8) ctg
Вычислите:
19 
1) cos
;
3
2) cos2
 10  
3) ctg 
;
 3 
4) cos
59 
;
6
10) ctg
49 
;
4
 49  
11) sin  
;
 6 
 27  
12) tg 
.
4 

5) sin
35 
;
3
 17  
6) tg 
.
 3 
3x
2
;

5
2
4) cos
4x
3
;

3
2
6) cos 3x  1 .
Используя единичную окружность, решите уравнения:
1
x
2
1) sin 
;
3) cos 6 x  ;
5) sin 3x  1 ;
2
6
2
2x
3
;

5
2
4) cos
x
2
;

8
2
6) cos
4x
 0.
5
51.
Найдите значения тригонометрических функций угла , если известно,
что:
5

4

;
1) sin   ,
3) tg   , 0    ;
13 2
3
2
4 3
12
3
   2 ;
2) cos   ,
4) ctg   ,    
.
5
2
5
2
52.
По заданному значению функции найдите значения остальных
тригонометрических функций:
8

3
1) cos   0,6,    
;
2) sin   , 0    .
17
2
2
3
7
 cos2
.
34
17
Без помощи таблиц или калькулятора вычислите:

3
5
7
.
sin 2  cos2
 sin 2
 cos2
8
8
8
8
26 
;
3
 11 
9) cos 
;
 3 
С помощью тригонометрической окружности решите уравнения:
x
1
1
x
1) sin 6 x  ;
3) cos   ;
5) sin  0 ;
5
2
3
2
2) sin
2  5
31
;
6
47 
;
4
2) sin
50.
6) tg
13 
;
3
3) ctg
 23  
2) sin  
;
 4 
49.
5) cos
9
53.
Упростите выражения (предпочтительно устно):
2
2
95.
2
2
1) 4cos 3 + 4sin 3;
2) 2sin 5 + 2cos 5;
1) 0,5 sin 2 ctg ;
5) cos2 2x – 4 sin2 x cos2 x;
3) 1 – sin 3x;
5) sin27y – 1;
4) 1 – cos 4;
6) cos23t – 1;
2) 2 sin  + cos 2;
6) 2sin2 4 + cos 8 + 1;
3) cos2 4 – cos 8;
7) 4 sin4 x + sin2 2x.
7) 2sin t – 1;
8) 1 – 2cos 3;
9) tg 3 ctg 3;
10) ctg 1,1  tg 1,1;
11) tg  cos ;
12) sin 2 ctg 2;
13) ctg2 sin2;
14) tg2 cos2;
15) tg  cos  sin ;
16) sin 2 cos 2 ctg 2;
17) (1 – cos 3)(1 + cos 3);
18) (1 – sin 2)(1 + sin 2);
2
2
2
2
2
96.
20) (cos 5 – 1)(1 + cos 5);
21) sin2 cos2 + cos4;
22) sin4 + sin2 cos2;
Преобразуйте следующие выражения:
1) sin2 + cos2 – cos2;
13) cos2 + cos2 ctg2;
2) tg x ctg x – cos 3;
14) sin  + cos  – cos ;
4
4
15) sin4 + sin2 cos2 + cos2;
4) (1 – sin 3) tg 3;
16) tg2 – sin2 – tg2 sin2;
5) ctg2(cos2 – 1) + 1;
17) (ctg2 – cos2) tg2;
6) 1 + cos2 – sin2;
18) ctg2y (1 – cos y)(1 + cos y);
1
19) tg x  12 
;
cos 2 x
1
 ctg x  12 ;
20)
sin 2 x
2
2
7) 1 – sin  cos  ctg ;
8) (tg  cos )2 + (ctg  sin )2;
9) 2 – cos2 tg2 – cos2;
10)
1
cos 
2
21)
 tg 2   cos 2  ;
22)
12)
1
cos 2 


 sin   cos  ;
2
2
1  cos2 7 y
cos2 7 y
1  sin 2 7
24) tg 
2
97.
 tg
cos2 
sin 2   1


ctg ;
9
9
98.
ctg (1 – cos 2);
2)
sin ctg 
;
sin 2
8)
3)
cos 2t  cos2 t
;
1  cos2 t
9) (tg t + ctg t) sin 2t;
4)
1  cos 2
;
2 cos 
10)
2
;
tg t  ctg t
5)
1  cos 2
;
2 sin 
11)
1  cos 2 x  sin 2 x
;
1  cos 2 x  sin 2 x
6)
sin 2
;
1  cos 2
 cos 
cos  
 sin 2 .

12) 
 1  sin  1  sin  
1  sin 2 x
sin x  cos x 2
;
Выполните преобразование:
1)
2 cos2  tg 
;
cos2   sin 2 
5) tg  (1 + cos 2);
2)
sin 2t  2 sin t
;
cos t  1
6)
3)
1  cos 2
;
sin 2
7)
4)
1  cos 2
;
1  cos 2
sin  
 sin 

8) 
 sin 2 .
 1  cos  1  cos  
;
1  cos 7
sin 2 x
23)
;
cos 0  cos x

1
11) tg 
;
4 sin 2 3
10
2
3) tg 5 + tg t ctg t;
2
7)
2
19) (sin t + 1) (sin t – 1);
2
Преобразуйте выражение:
1) sin 2t ctg t – 1;
23) (sin  – cos )2 + (sin  + cos )2;
24) (3sin t + 4 cos t)2 + (4sin t – 3 cos t)2.
54.
Упростите выражения:
sin   cos 2
1  sin 2
;
2
;
tg t  ctg t
Вычислите:
1) tg 1  tg 2  tg 3  ... tg 87  tg 88  tg 89 ;
2) cos2 3  cos2 1  cos 4  cos 2 .
.
(Указание: представьте 3 = 2 + 1, 1 = 2 – 1, 4 = 2  2, 2 = 2  1).
19
87.
88.
Применить формулы двойного угла к следующим выражениям:
1) sin 80;
5) cos 46;
9)
2) sin 4;
6) cos 6;
10) tg 8;
3) sin 15y;
7) cos 13x;
11) tg 11;
sin 66 
4)
;
2 sin 33 
cos 20 
8)
;
sin 10   cos10 
12)
55.
tg 72;
2tg 70
1  tg 2 70 
.
Применить формулы двойного угла к следующим выражениям:
1) sin 42;
4) cos 38;
2) sin 10;
3)
7) tg 54;
5) cos 12;
sin 50 
;
cos 25 
6)
8) tg 14;
cos18   sin 18 
;
cos 36 
9)
2tg 10 
.
1  tg 210 
1) sin2x – tg 2 ctg 2;
10) sin2 tg2 + sin2;
2) sin24 + tg2 + cos24;
11) cos4x – sin4x + sin2x;
3) tg 3 ctg 3 + ctg2x;
12) sin2 + sin2 cos2 + cos4;
4) 7 – 4sin2 – 4cos2;
13) cos2t + ctg2t cos2t – ctg2t;
5) cos  ctg  sin  – 1;
14) (ctg2 – cos2) tg2;
 1
 1

 tg  
 tg   ;
6) 
 cos 
 cos 

15)
7)
Вычислите:
8)
89.
а) sin 15; б) cos 75.
90.
а) cos 15; б) sin 75.
91.
Упростите выражения:
56.
sin 2 3 x
 ctg 2 3 x  sin 2  ;
17)
1
;
sin 2 2 x
1) ctg t 
5

    . Найти sin 2, cos 2, tg 2.
Дано: sin   ,
13 2
15 3
   2 . Найти sin 2, cos 2, tg 2.
Дано: cos   ,
17
2
4)
5) 8 sin2  cos2  + cos 4;
2) cos 6 + sin 3;
6) 1 + 2cos t – cos 2t;
3) cos 2 – 2 cos ;
7) 4 sin4 x + sin2 2x;
2
2
4) 1 + cos 2;
sin 2 
2 cos 2 x  1
;
sin x  cos x
sin 2 t  1
5) 2 sin  
6)
 ctg  cos  ;
sin t ctg t 2  cos2 t ;
2
8) cos4  – sin4 .
cos t  1
;
sin t
cos  tg 
3) sin x 
Упростите выражения:
1) 2 cos2 x tg x;
18
1
18)
1  sin 2 
ctg 2 ;
1  cos 2 3 x
1  sin 2 3 x
;
cos2 5
;

2 cos  sin 5
3
cos2 x  cos 2 0
.

sin 2 x  sin 2
2
Преобразуйте выражения:
2)
94.
16)
1) cos 20 cos 40 cos 80;
7
5

sin sin ;
18
18
18

2
3
4
5
3) cos cos cos cos cos
.
11
11
11
11
11
93.
 tg 2 2t ;
cos 2 2t
9) 1 
2) sin
92.
1
sin 2 
cos   cos3 
;
sin  cos 
1  2 cos2 
2 sin   1
2
 cos2  ;


7) sin 2   tg 2 sin 2  ctg  ;
8)
sin 2 x  cos 2 x 2  1 ;
2 sin 2 x ctg 2 x
9) sin t cos t (tg t + ctg t);
10) sin t – cos t (tg t + ctg t);
11)
12)
1
1  tg 2
1
1  tg 
2


1
1  ctg2
1
1  ctg 2
;
.
11
57.
Замените выражение ему равным:
1) cos2   ctg2  1 sin 2  ;
7) cos  ctg   cos  ctg  ;
1  sin x
 tg x ;
2)
cos x
1  cos 3  sin 3 
8)
;
2 cos 3 tg3

3) tg 2  
4)

5) ctg t 
1  cos2 
cos   tg 
2
2
1  2 cos2 t
1  2 sin 2 t
cos  tg 
1 ;
6)
sin   sin 3 
58.
2
2

81.
9)
;
1  sin  1  sin 
;

cos 
cos 
;
83.
Вычислите:
60.
12) tg   ctg  2  tg   ctg  2 .
2) ctg 585   2 cos1080   2 sin 1125  ;
3) 3tg 930 + sin 1200 – cos 1770.
84.
2) ctg 510   2 cos 765   3 tg 855  ;
3) 2sin 750 + sin 1230 + ctg 1395.
Преобразуйте в синус, косинус или тангенс некоторого угла выражение:
Вычислите остальные три тригонометрические функции, если:
9
3
7

   2 ;
   .
1) sin    ,
2) ctg    ,
41
2
24 2
1) 2 sin  cos ;
7)
cos2 70 – sin2 70;
2) 2 sin 12 cos 12;
8)
cos2 112,5 – sin2 67,5;
Упростите выражения:
tg   1
1)
;
1  ctg 
3) 2 cos 105 sin 105;
9) cos2
4) 4 sin  cos  cos 2;
10) sin2 3x – cos2 3x;
x
x
x
2x
5) 7 sin cos cos cos
;
6
6
3
3
11) cos2
ctg 
2)
;
ctg   tg 
3)
tg 
cos 
 tg  ;
1  sin 
cos 2 
8)
 sin  ;
1  sin 
1  ctg 2 
;
tg 2   1 ctg 

9)
sin t  cos t 
1
;
tg t  sin t cos t
2 sin 2 
 2 cos  ;
1  cos 
2
4)
5)
6)
12
Найдите значение выражения:
1) 3tg 570 – 2cos 1350 + 2 sin 1200;
Зная значение одной функции угла , найдите значения остальных
тригонометрических функций этого угла:

5
3
1) cos    ,    
;
2) sin   0,6, 0    .
13
2
2
7)
cos2   ctg 2 
sin 2   tg 2 
;
2 sin x cos x  cos x
1  sin x  sin x  cos x
2
2
;
1
.
7
1) tg 420 + 2cos 870 – 2 cos 1410;
2
85.
59.
1
,
3
20
3
и
.
29
5
Найдите косинус внешнего угла треугольника, не смежного с двумя
данными.
Синусы острых углов треугольника соответственно равны
11) 1  tg    1  tg   ;
2
1
,
2
82.
sin   ctg 
;
1  sin  tg 
10)
Тангенсы трех острых углов соответственно равны
Докажите, что первый угол равен сумме двух других углов.
2
1  2 sin 2 
 cos  ;
sin   cos 
2

2
10)
1
1

;
1  cos  1  cos 
11)
1  sin 
cos 

;
cos 
1  sin 
12)
cos 
cos 
.

1  sin  1  sin 
6) 8 cos 2x cos 4x cos 8x;
86.


 sin 2 ;
2
2
5
5
;
 sin 2
2
2
3
3
12) sin 2
.
 cos2
8
8
Упростите выражение:
1) 2 sin 2 cos 2;
5) cos2 75 – sin2 75;
2) 2 cos 72 sin 72;
6) cos2 22,5 – sin2 22,5;
3) 3 sin  cos  cos 2;
7) cos2 5 – sin2 5;
4) 16 cos 3x cos 6x cos 12x;
8) sin 2


.
 cos2
12
12
17
77.
Вычислите:
1) cos 73 sin 103 + cos 17 sin 13;
6) cos 73 sin 107 + sin 73 sin 197;
2) sin 170 cos 20 + sin 20 cos 350;
7) cos 109 cos 49 + cos 41 sin 71;
3) cos 118 cos 28 – cos 152 sin 28;
8) sin 7 cos 217 + cos 7 cos 53;
4) cos 5 cos 40 – sin 140 sin 175;
9) sin 22 cos 203 + cos 22 cos 113;
6)
sin   cos 2  1 ;
ctg   sin  cos 
3)
sin 
sin 

;
1  cos  1  cos 
8)
Найдите значение выражения:
1) sin 49 cos 11 + cos 229 cos 101; 5) cos 11 sin 236 – sin 214 sin 11;
4)
sin 
sin 

;
1  cos  1  cos 
9)
2) sin 43 cos 13 + cos 103sin 47;
6) sin 175 cos 140 – sin 85 cos 50;
5)
sin 24  cos 6  sin 6 sin 66 
3)
;
sin 21  cos 39   cos 51  sin 69 
cos 54  cos 7  cos 36  sin 7
7)
;
sin 73  cos 44   cos 73  cos 46 
cos 34  cos154   sin 386  sin 34 
cos 378  sin 27   cos 27  sin 18 
; 10)
.
sin 53  cos 8  cos 53  sin 172 
sin 158  sin 52   cos 52  cos 22 
ctg 78   ctg 303 
;
1  tg(  192 ) ctg 237 
8)
62.
tg 225   ctg 81 ctg 69 
.
ctg 26 1  tg 20 1
cos2   2 sin 2 
cos 
3

1  сtg 
;
1  tg 
tg 2t
tg 2 t  ctg 2 t  2
tg 2t  1
tg 2 t  ctg 2 t  2
Докажите тождество:
1) ctg2  cos2   ctg2  cos2  ;
 cos  sin  
 : tg   ctg   1  sin   cos  ;
5) 

 tg  ctg  
 3

2) cos     sin   cos2 3     tg 5    ctg  ;
 2

1  
1 

2
2
6)  sin x 
   cos x 
  7  tg x  ctg x .
sin x  
cos x 

Преобразуйте выражения:
 3



1) tg     tg      cos    sin    ;
 2

2

3)
cos      ctg    
cos      tg 2   
.

 3





 3

sin 
    tg     sin      ctg 
 
 2

2

2

 2

.
cos2   4 sin   sin 2 
;
cos  4 sin   1
 3

1) cos 3    ctg 3,5    cos     ctg    ;
 2

 3



 3



sin      tg     sin      ctg    
2
2
2
2







.
cos (2  )  tg (  )
 3

cos (  )  ctg    
 2

;
2) sin 4   cos4   sin 2   cos2  ;
3) 1  sin   cos   ctg   1  sin 1  ctg  ;
4) sin   tg cos   ctg   1  sin 1  cos  ;
Упростите выражения:
 3



2) ctg     ctg     ctg     tg 2   ;
2
2




16
sin 
;
1  cos 
7) tg 
3)
80.
1) ctg  
cos 
 tg  ;
1  sin 
4)
79.
Преобразуйте выражения:
2)
5)
78.
61.
2
63.
2
Покажите, что при всех допустимых значениях углов значение
выражения не зависит от величины угла:
1) sin 2  2  ctg 2ctg   1  5sin  cos ;
2) sin 2   sin 2   cos2   cos2   sin 2   cos2   cos2   sin 2  ;
sin   tg   1cos   ctg   1 ;
cos   ctg   1sin   tg  1
2
3)
2
2
2
2
2
2
2
 tg   ctg  tg   ctg   1
1 
 2 
4) 

;
2
 tg   ctg  tg   ctg   sin  cos  
5)
6)
cos4   sin 2   sin 2   sin 2   cos2   sin 2   cos2 
sin 2   sin 2   sin 2   cos2   cos4   cos2   sin 2 
sin 4   cos4   1
sin 6   cos6   1
;
.
13
64.
Вычислите:
1) sin 17 cos 13 + cos 17 sin 13;
6) sin 20 cos 50 – cos 20 sin 50;
2) sin 9 cos 99 – sin 99 cos 9;
7) cos 10 cos 35 – sin 35 sin 10;
3) cos
2
5
2
5
cos
 sin
sin
;
7
7
7
7
4) sin 15 sin 15 – cos 15 cos 15;
5)
65.
67.
14
8) sin

11

11
cos
 cos sin
;
12
12
12
12
9) sin 22,5 sin 22,5 – cos 22,5 cos 22,5;
sin 20 cos 5  sin 5 cos 20
cos 18 cos 28  sin 18 sin 28
 tg 15 ; 10)
.
sin 34 sin 12  cos 12 cos 34
cos 10 cos 5  sin 10 sin 5
68.
69.
70.
71.
72.
Найдите значение выражения:
1) sin 10 cos 20 + sin 20 cos 10;
6) cos 109 cos 49 + sin 109 sin 49;
2) sin 50 cos 20 – cos 50sin 20;
7) cos 71 sin 11 – sin 71 cos 11;




3) sin cos  cos sin
;
5
20
5
20
66.
Дано:
8)
sin 37  cos 7  cos 37  sin 7
;
cos 47  cos17   sin 17  sin 47 
9)
5)
sin 0,3 cos(2,8)  cos 0,3 sin(2,8)
;
cos 0,3 cos 2,3  sin 0,3 sin(2,3)
10)
tg 31   tg 14 
;
1  tg 31  tg 14 
73.
tg 74   tg 14 
.
1  tg 74  tg 14 
Упростите выражения:
sin(2  )  sin(2  )
1)
;
sin(2  )  sin(2  )
cos(3x  a)  sin 3x sin a
4)
;
cos(3x  a)  sin 3x sin a
sin(5  )  sin  cos 5
2)
;
sin(5  )  sin  cos 5
cos(  3)  sin 3 sin 
5)
;
cos(3  )  sin  sin 3




sin     cos   
6
3



;
3)






sin     sin   
4

4





sin     sin   
6
6



6)
.






sin     cos   
6

3

Упростите следующие выражения:
1)
sin(3a  2b)  sin(2b  3a)
;
cos(2b  3a)  cos(2b  3a)
3)
sin(45   )  cos(45   )
;
sin(45   )  cos(45   )
2)
sin(  2)  2 cos  sin 2
;
2 cos  cos 2  cos(  2)
4)
tg 3  tg 7
.
1  tg 3 tg 7
Упростите выражения:
sin(  )  cos(  )  cos(  )  sin(  )
1)
;
cos(  )  cos(  )  sin(  )  sin(  )
2)
2

2

cos cos  sin
sin ;
15
5
15
5
4)
1
tg   3; tg   . Найти: а) tg ( + ); б) tg ( – ).
2
3
4 
3
sin   ; cos    ;
   ;    
. Найти sin ( – ).
5
5 2
2
7
4 3

cos  
; sin   ;
   2;
   . Найти tg ( – ).
25
5
2
2
3
12
7
 
sin   , sin   , sin  
, , ,   0;  . Найти cos( +  + ).
5
13
25
 2
74.
sin(   ) sin(  ) sin(  )


.
cos  cos  cos  cos  cos  cos 
Замените тригонометрической функцией угла :


 3

 3

1) sin    ;
5) cos     ;
9) tg     ;
2

 2

 2

2) ctg ( + );
6) tg (180 – );
10) cos (90 – );
3) cos (2 – );
7) sin (180 + );
11) sin (270 – );
4) sin (2 + );
8) ctg (360 – );
12) tg (270 + ).
3 

2) cos     ;
2 

3) tg ( – 2).
Упростите выражение:


1) sin    ;
2

75.
Преобразуйте выражение:
1) sin 2    ;
76.


2) tg 2     ;
2

 3

3) cos2     .
 2

Приведите к тригонометрической функции угла :


1) sin    ;
2


2) tg ( + );
 3

5) cos     ;
2


6) ctg ( – );


9) sin    ;
2

10) cos ( – );
3) cos (2 + );
7) sin ( + );
11) ctg ( – 360);
4) tg (90 – );
8) cos (90 + );
12) tg (– + 270).
15