Вписанные углы

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Вписанные углы.
Доказать, что биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ней сторонам.
АВ – диаметр окружности с центром О, в которую вписаны треугольники АВС и АВD, причем АD делит пополам
САВ, а ВС – делит пополам АВD. Найдите СОD.
ABCDEF – вписанный шестиугольник, симметричный относительно центра описанной окружности. Доказать, что
биссектрисы углов АВС, СDЕ и ЕFА пересекаются в одной точке.
На сторонах АВ и СD квадрата АВСD взяты соответственно точки К и L, а на отрезке КL – точка М. Докажите, что
вторая (отличная от М) точка пересечения окружностей, описанных около треугольников АКМ и МLС, лежит на
диагонали АС.
Равносторонние треугольники АВС и PQR расположены так, что вершина С лежит на стороне PQ, а вершина R – на
стороне АВ (причем отрезки АР и ВQ не пересекаются). Докажите, что что АР параллельна ВQ.
Один из углов треугольника равен 30. Докажите, что радиус окружности, описанной около этого треугольника, меньше
половины его периметра.
Докажите, что в любом треугольнике биссектриса любого угла совпадает с биссектрисой угла, образованного
выходящими из той же вершины высотой и диаметром описанной окружности.
В выпуклом четырехугольнике три тупых угла. Докажите, что большая из двух диагоналей выходит из вершины острого
угла.
Докажите, что круги, основанные на двух сторонах треугольника, как на диаметрах, покрывают весь треугольник.
Докажите, что круги, основанные на сторонах четырехугольника, как на диаметрах, покрывают весь четырехугольник.
На плоскости расположены 5 точек так, что никакие 3 из них не лежат на одной прямой и никакие 4 – на одной
окружности. Доказать, что среди этих точек можно выбрать такие 2 точки, которые расположены по разные стороны от
окружности, проходящей через оставшиеся 3 точки.
Н – ортоцентр АВС. Докажите, что сумма углов АВС и АНС равна 180.
Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников АНВ, ВНС и АНС (где Н – точка пересечения
высот остроугольного АВС) равны между собой.
Н – ортоцентр АВС, а К – его проекция на медиану ВМ этого треугольника. Докажите, что точки А, К, Н, С лежат на
одной окружности. (С.Л.Берлов)
В окружность вписан равносторонний АВС. На дуге АВ, не содержащей точки С, выбрана точка М, отличная от А и В.
Пусть прямые АС и ВМ пересекаются в точке К, а прямые ВС и АМ – в точке N. Докажите, что произведение длин
отрезков АК и ВN не зависит от выбора точки М.
Докажите, что расстояние от любой точки М, лежащей на окружности, описанной около правильного АВС, до одной из
его вершин равно сумме расстояний от М до двух других вершин.
Даны окружность и точки А, В и С на ней. М – середина ломаной АВС, лежащая на отрезке ВС, а D – середина дуги
АВС. Докажите, что DМ перпендикулярна ВС.
АВDEC – вписанный пятиугольник, у которого углы АВС, ВСD и СDЕ равны 45. Докажите, что АВ2+CD2=ВС2+DE2.
На плоскости даны два равносторонних треугольника АВС и АСО и проведена окружность с центром в точке О,
проходящая через точки А и С. Докажите, что для любой точки М этой окружности МА 2+МС2=МВ2.
Во вписанном четырехугольнике АВСD диагонали АС и ВD перпендикулярны и пересекаются в точке Р. Доказать, что
прямая, проведенная через Р перпендикулярно ВС делит сторону АD пополам.
На плоскости даны две окружности с диаметрами АВ и СD соответственно. Прямая АВ касается второй окружности, а
прямая СD касается первой, причем точка пересечения этих прямых Р находится ближе к точкам В и С, чем к А и D.
Докажите, что АD параллельна ВС.
На полуокружности с диаметром АВ и центром О взяты точки К и М, а на диаметре – точка С так, что КСА=МСВ.
Доказать, что К, С, О, М лежат на одной окружности.
В окружности проведены два диаметра. Из точки М окружности на эти диаметры опущены перпендикуляры МА и МВ.
Доказать, что длина отрезка АВ не зависит от положения точки М на окружности.
Окружности 1 и 2 пересекаются в точках М и К. Через точку М проведена прямая, пересекающая окружности
соответственно в точках А и В. Через точки А и В проведены параллельные прямые, причем прямая АС пересекает
окружность 1 в точке С, а прямая ВD – окружность 2 в точке D. Доказать, что точки С, К и D лежат на одной прямой.
На сторонах АВ и АD квадрата АВСD взяты соответственно точки М и К так, что АМ=АК. На отрезке МD взята точка Р
так, что РСD=РКА. Доказать, что АРМ=90.
АВСD – ромб. На стороне ВС взята точка Р, через А, В и Р проведена окружность, которая пересекается с прямой ВD
ещё раз в точке Q. Через С, Р и Q проведена окружность, которая пересекается с ВD ещё раз в точке К. Докажите, что
точки А, К и Р лежат на одной прямой.
Внутри параллелограмма АВСD выбрана точка О так, что ОАD=ОСD. Докажите, что ОВС=ОDC. (С.Л.Берлов)
В ромбе АВСD на стороне ВС нашлась точка Е такая, что АЕ=СD. Отрезок ЕD пересекается с описанной окружностью
АВЕ в точке F. Докажите, что точки А, F и С лежат на одной прямой. (С.Л.Берлов)
В выпуклом четырехугольнике АВСD ВАD + АDC=120 и АВ=ВС=СD. Докажите, что точка пересечения
диагоналей равноудалена от вершин А и D. (С.Л.Берлов)
В АВС проведены медианы СМ, АN и биссектриса ВЕ. Оказалось, что МNЕ – равносторонний. Доказать, что АВС
также равносторонний. (С.Л.Берлов)