Государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования Кемеровской области

Государственное автономное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
Кемеровской области
«Кузбасский техникум архитектуры, геодезии и строительства»
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Методические указания для самостоятельной работы
по дисциплине математика
для студентов заочной формы обучения
специальностей:
08.02.01 строительство и эксплуатация зданий и сооружений
08.02.05 строительство и эксплуатация автомобильных дорог и аэродромов
Кемерово, 2014
ББК 74.57
С 86
О.Е. Медведева
Дифференциальные уравнения
[Текст]: Методические указания для самостоятельной работы
по дисциплине математика специальностей:
08.02.01 строительство и эксплуатация зданий и сооружений
08.02.05 строительство и эксплуатация автомобильных дорог и аэродромов / авт.
сост. О.Е. Медведева - Кемерово, 2014. – 79с.
РАССМОТРЕНО
Цикловой методической комиссией общеобразовательных дисциплин отделений:
Строительство и эксплуатация зданий и сооружений» и «Строительство и
эксплуатация автомобильных дорог и аэродромов»
Протокол №_____ от _________
Председатель _________ О.Е. Медведева
УТВЕРЖДЕНО:
Заместитель директора
по учебной работе __________ Н.В. Мишенина
« »_________
РЕКОМЕНДОВАНО Экспертным Советом ГАОУ СПО КО «Кузбасский техникум
архитектуры, геодезии и строительства» в качестве дополнительного учебного
пособия.
Протокол №____от __________
Председатель Экспертного Совета_________ Н.П. Негадаева
Пособие издаётся в соответствии с рабочей программой учебной
дисциплины «Математика» по рабочему учебному плану специальностей 08.02.01
строительство и эксплуатация зданий и сооружений и 08.02.05 строительство и
эксплуатация автомобильных дорог и аэродромов.
Пособие охватывает раздел «Дифференциальные уравнения», изучаемый
студентами техникума на первом курсе.
В пособии содержатся варианты контрольных работ. Методические
указания направлены на формирование профессиональных
и общих
компетенций, таких как:
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в
профессиональной деятельности.
ПК 1.1. Участвовать в геодезических работах в процессе изыскания
автомобильных дорог и аэродромов.
ПК 1.3. Участвовать в проектировании конструктивных элементов
автомобильных дорог и аэродромов.
ПК 1.4. Участвовать в проектировании транспортных сооружений и их элементов
на автомобильных дорогах и аэродромах.
ПК 2.1. Участвовать в организации работ в организациях по производству
дорожно-строительных материалов.
ПК 3.3. Участвовать в расчетах технико-экономических показателей
строительства автомобильных дорог и аэродромов.
ПК 4.5. Участвовать в расчетах технико-экономических показателей ремонта
автомобильных дорог и аэродромов.
Методические указания предназначены для студентов техникума обучающихся
по специальности 08.02.01 строительство и эксплуатация зданий и сооружений и
08.02.05 строительство и эксплуатация автомобильных дорог и аэродромов.
Содержание:
Дифференциальные
уравнения
с
разделяющимися
переменными. Примеры решений.
2 Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Примеры решений.
3 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Примеры решений.
4 Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решений.
1
6
16
31
43
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка. 52
Примеры решений.
6 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с 67
постоянными коэффициентами. Примеры решений.
7 Контрольная работа №1
76
5
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Примеры решений
Дифференциальные уравнения (ДУ). Эти два слова обычно приводят в ужас
среднестатистического обывателя. Дифференциальные уравнения кажутся чем-то
запредельным и трудным в освоении и многим студентам. Такое мнение и такой
настрой в корне неверен, потому что на самом деле ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ – ЭТО ПРОСТО И ДАЖЕ УВЛЕКАТЕЛЬНО. Что нужно знать и
уметь, для того чтобы научиться решать дифференциальные уравнения? Для
успешного изучения дифференциальных уравнений вы должны хорошо уметь
интегрировать и дифференцировать. Чем качественнее изучены темы
Производная функции одной переменной и Неопределенный интеграл, тем
будет легче разобраться в дифференциальных уравнениях. Скажу больше, если у
вас более или менее приличные навыки интегрирования, то тема практически
освоена! Чем больше интегралов различных типов вы умеете решать – тем лучше.
Почему? Придётся много интегрировать. И дифференцировать.
Сначала вспомним обычные уравнения. Они содержат переменные и числа.
Простейший пример:
. Что значит решить обычное
уравнение? Это значит, найти множество чисел, которые удовлетворяют
данному уравнению. Легко заметить, что детское уравнение
имеет
единственный корень:
.
Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит:
1) независимую переменную ;
2) зависимую переменную
(функцию);
3) первую производную функции:
.
В некоторых уравнениях 1-го порядка может отсутствовать «икс» или (и)
«игрек», но это не существенно – важно чтобы в ДУ была первая производная
, и не было производных высших порядков – ,
и т.д.
Что
значит
решить
дифференциальное
уравнение?
Решить
дифференциальное уравнение – это значит, найти множество всех функций,
которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций часто
имеет вид
( – произвольная постоянная),
который называется общим решением дифференциального уравнения.
Пример 1:
Решить дифференциальное уравнение
Полный боекомплект. С чего начать решение?
В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде.
Вспоминаем громоздкое обозначение
, которое многим из вас наверняка
казалось нелепым и ненужным. В диффурах рулит именно оно!
Итак:
На втором шаге смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит
разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить
только «игреки», а в правой части организовать только «иксы». Разделение
переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за
скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос
множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п.
Дифференциалы
и
– это полноправные множители и активные
участники боевых действий. В рассматриваемом примере переменные легко
разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:
Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части –
только «иксы».
Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё
просто,
навешиваем
интегралы
на
обе
части:
Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные:
Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два
интеграла, но константу
достаточно записать один раз (т.к. константа +
константа всё равно равна другой константе). В большинстве случаев её
помещают в правую часть.
Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение
считается решённым. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то
есть решение представлено в неявном виде. Решение дифференциального
уравнения
в
неявном
виде
называется
общим
интегралом
дифференциального уравнения. То есть,
– это общий интеграл.
Ответ в такой форме вполне приемлем, но нет ли варианта получше? Давайте
попытаемся получить общее решение.
Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен
и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после
интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но
далеко не всегда!) тоже целесообразно записать под логарифмом.
То есть, ВМЕСТО записи
обычно пишут
.
Зачем это нужно? А для того, чтобы легче было выразить «игрек». Используем
свойство
логарифмов
.
В
данном
случае:
Теперь
логарифмы
и
модули
можно
с
чистой
совестью
убрать:
Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.
Ответ: общее решение:
.
Ответы многих дифференциальных уравнений довольно легко проверить. В
нашем случае это делается совсем просто, берём найденное решение
и
дифференцируем
его:
После чего подставляем
:
и производную
в исходное уравнение
– получено верное равенство, значит, общее решение
удовлетворяет уравнению
, что и требовалось проверить.
Придавая константе различные значения, можно получить бесконечно много
частных решений дифференциального уравнения. Ясно, что любая из
функций
уравнению
,
,
и т.д. удовлетворяет дифференциальному
.
Иногда общее решение называют семейством функций. В данном примере
общее решение
– это семейство линейных функций, а
точнее, семейство прямых пропорциональностей.
После обстоятельного разжевывания первого примера уместно ответить на
несколько наивных вопросов о дифференциальных уравнениях:
1) В этом примере нам удалось разделить переменные. Всегда ли это можно
сделать? Нет, не всегда. И даже чаще переменные разделить нельзя. Например,
в однородных уравнениях первого порядка, необходимо сначала провести
замену. В других типах уравнений, например, в линейном неоднородном
уравнении первого порядка, нужно использовать различные приёмы и
методы для нахождения общего решения. Уравнения с разделяющимися
переменными, которые мы рассматриваем на первом уроке – простейший тип
дифференциальных уравнений.
2) Всегда ли можно проинтегрировать дифференциальное уравнение? Нет, не
всегда. Очень легко придумать «навороченное» уравнение, которое не
проинтегрировать, кроме того, существуют неберущиеся интегралы. Но
подобные ДУ можно решить приближенно с помощью специальных методов.
3) В данном примере мы получили решение в виде общего интеграла
есть,
. Всегда ли можно из общего интеграла найти общее решение, то
выразить «игрек» в явном виде? Нет не всегда. Например:
. Ну и как тут выразить «игрек»?! В таких случаях ответ
следует записать в виде общего интеграла. Кроме того, иногда общее решение
найти можно, но оно записывается настолько громоздко и коряво, что уж
лучше оставить ответ в виде общего интеграла
4) Еще одно простое ДУ и еще один типовой приём решения:
Пример 2:
Найти
частное
решение
дифференциального
удовлетворяющее начальному условию
уравнения
,
Решение: по условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее
заданному начальному условию. Такая постановка вопроса также называется
задачей Коши.
Сначала находим общее решение. В уравнении нет переменной «икс», но это не
должно смущать, главное, в нём есть первая производная.
Переписываем
производную
в
нужном
виде:
Очевидно, что переменные можно разделить, мальчики – налево, девочки –
направо:
Интегрируем уравнение:
Общий интеграл получен. Здесь константу я нарисовал с надстрочной
звездочкой, дело в том, что очень скоро она превратится в другую константу.
Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение (выразить
«игрек» в явном виде). Вспоминаем старое, доброе, школьное:
.В
данном
случае:
Константу в показателе обычно спускают с небес на землю. Если подробно, то
происходит это так. Используя свойство степеней, перепишем функцию
следующим
образом:
Если
– это константа, то
буквой
– тоже некоторая константа, переообозначим её
:
Запомните «снос» константы – это второй технический приём, который часто
используют в ходе решения дифференциальных уравнений.
Итак, общее решение:
экспоненциальных функций.
. Такое вот симпатичное семейство
На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее
заданному начальному условию
. Это тоже просто.
В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы
чтобы выполнялось условие
.
,
Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее
решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:
То есть,
Стандартная
версия
оформления:
Теперь в общее решение
подставляем найденное значение константы
:
– это и есть нужное нам частное решение.
Ответ: частное решение:
Выполним проверку. Проверка частного решение включает в себя два этапа:
Сначала необходимо проверить, а действительно ли найденное частное
решение
удовлетворяет начальному условию
? Вместо «икса»
подставляем
ноль
и
смотрим,
что
получится:
– да, действительно получена двойка, значит, начальное
условие выполняется.
Второй этап уже знаком. Берём полученное частное решение
и
находим
производную:
Подставляем
и
в исходное уравнение
:
– получено верное равенство.
Вывод: частное решение найдено правильно.
Переходим к более содержательным примерам.
Пример 3:
Решить дифференциальное уравнение
Решение:
Переписываем
производную
в
нужном
нам
виде:
Оцениваем, можно ли разделить переменные? Можно. Переносим второе
слагаемое в правую часть со сменой знака:
И перекидываем множители по правилу пропорции:
Переменные разделены, интегрируем обе части:
Интеграл левой части легко найти методом подведения функции под знак
дифференциала, с интегралом от котангенса расправляемся стандартным
приемом, который мы рассматривали на уроке Интегрирование
тригонометрических
функций
в
прошлом
году:
В правой части у нас получился логарифм, и, согласно моей первой
технической рекомендации, константу тоже следует записать под логарифмом.
Теперь пробуем упростить общий интеграл. Поскольку у нас одни логарифмы,
то от них вполне можно (и нужно) избавиться. С помощью известных свойств
максимально «упаковываем» логарифмы. Расписываем очень подробно:
Упаковка
завершена,
чтобы
быть
варварски
ободранной:
Можно ли выразить «игрек»? Можно. Надо возвести в квадрат обе части.
Но делать этого не нужно.
Третий технический совет: если для получения общего решения нужно
возводить в степень или извлекать корни, то в большинстве случаев следует
воздержаться от этих действий и оставить ответ в виде общего интеграла. Дело
в том, что общее решение будет смотреться просто ужасно – с большими
корнями, знаками .
Поэтому ответ запишем в виде общего интеграла. Хорошим тоном считается
представить его в виде
, то есть, в правой части, по возможности,
оставить только константу.
Ответ: общий интеграл:
! Примечание: общий интеграл любого уравнения можно записать не
единственным способом. Таким образом, если ваш результат не совпал с
заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили
уравнение.
Пример 4:
Найти частное решение дифференциального
удовлетворяющее начальному условию
самостоятельного решения.
уравнения
. Это пример
Напоминаю,
что
алгоритм
состоит
из
1)
нахождение
общего
2) нахождение требуемого частного решения.
двух
,
для
этапов:
решения;
Пример 5:
Найти частное решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальному условию
. Выполнить проверку.
,
Решение: Сначала найдем общее решение. Данное уравнение уже содержит
готовые дифференциалы
и
, а значит, решение упрощается. Разделяем
переменные:
Интегрируем
уравнение:
Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берем методом подведения
функции
под
знак
дифференциала:
Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно.
Навешиваем логарифмы на обе части. Поскольку они положительны, то знаки
модуля
излишни:
(Надеюсь, всем понятно преобразование
Итак,
.
общее
решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию
.
В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм
двух:
Более привычное оформление:
Подставляем найденное значение константы
в общее решение.
Ответ: частное решение:
Проверка: Сначала проверим, выполнено ли начальное условие
:
Теперь проверим, а удовлетворяет ли вообще найденное частное решение
дифференциальному
уравнению.
Смотрим на исходное уравнение:
дифференциалах. Есть два способа
производной
выразить
Подставим
найденное
частное
дифференциал
Используем
в
основное
Находим
производную:
– оно представлено в
проверки. Можно из найденной
дифференциал
:
решение
исходное
и
полученный
уравнение
логарифмическое
тождество
:
:
Получено верное равенство, значит, частное решение найдено правильно.
Второй способ проверки зеркален и более привычен: из уравнения
выразим производную, для этого разделим все штуки на
И в преобразованное ДУ подставим полученное частное решение
найденную производную
получиться верное равенство.
Пример 6
:
и
. В результате упрощений тоже должно
Решить
дифференциальное
уравнение
представить в виде общего интеграла
.
Ответ
.
Это пример для самостоятельного решения.
Какие трудности подстерегают при решении дифференциальных уравнений с
разделяющимися переменными?
1) Не всегда очевидно, что переменные можно разделить. Рассмотрим
условный пример:
множителей
за
. Здесь нужно провести вынесение
скобки:
и
отделить
корни:
. Как действовать дальше – понятно.
2) Сложности при самом интегрировании. Интегралы нередко возникают не
самые простые, и если есть изъяны в навыках нахождения неопределенного
интеграла, то со многими диффурами придется туго.
3) Преобразования с константой. Как все заметили, с константой в
дифференциальных уравнениях можно обращаться достаточно вольно, и
некоторые преобразования не всегда понятны новичку. Рассмотрим ещё один
условный пример:
слагаемые на 2:
. В нём целесообразно умножить все
. Полученная константа
какая-то константа, которую можно обозначить через
:
Да, и коль скоро в правой части логарифм, то константу
переписать в виде другой константы:
– это тоже
.
целесообразно
.
Беда же состоит в том, что с индексами частенько не заморачиваются и
используют одну и ту же букву . В результате запись решения принимает
следующий
вид:
Тут же ошибки! Строго говоря – да. Однако с содержательной точки зрения –
ошибок нет, ведь в результате преобразования варьируемой константы всё
равно получается варьируемая константа.
Или другой пример, предположим, что в ходе решения уравнения получен
общий интеграл
. Такой ответ выглядит некрасиво, поэтому
у каждого слагаемого целесообразно сменить знак:
Формально здесь опять ошибка – справа следовало бы записать
.
. Но
неформально подразумевается, что «минус цэ» – это всё равно константа
(которая с тем же успехом принимает любые значения!), поэтому ставить
«минус» не имеет смысла и можно использовать ту же букву .
Пример 7:
Решить дифференциальное уравнение
.
Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем
переменные:
Интегрируем:
Константу тут не обязательно определять под логарифм, поскольку ничего
путного из этого не получится.
Ответ: общий интеграл:
Пример 8:
Найти
частное
решение
ДУ.
,
Это пример для самостоятельного решения. Единственная подсказка – здесь
получится общий интеграл, и, правильнее говоря, нужно исхитриться найти не
частное решение, а частный интеграл.
Как уже отмечалось, в диффурах с разделяющимися переменными нередко
вырисовываются не самые простые интегралы. И вот еще парочка таких
примеров для самостоятельного решения. Рекомендую всем прорешать
примеры №№9-10, независимо от уровня подготовки, это позволит
актуализировать навыки нахождения интегралов или восполнить пробелы в
знаниях.
Пример 9:
Решить дифференциальное уравнение
Пример 10:
Решить дифференциальное уравнение
Помните, что общий интеграл можно записать не единственным способом, и
внешний вид ваших ответов может отличаться от внешнего вида моих ответов.
Краткий ход решения и ответы в конце урока.
Решения и ответы:
Пример 4:
Решение:
Найдем
общее
решение.
Разделяем
переменные:
Интегрируем:
Общий интеграл получен, пытаемся его упростить. Упаковываем логарифмы
и
избавляемся
от
них:
Выражаем
функцию
в
явном
виде,
используя
.
Общее решение:
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Наряду с уравнениями с разделяющимися переменными и линейными
неоднородными уравнениями этот тип ДУ встречается практически в любой
контрольной работе по теме диффуров.
В чём отличие однородных дифференциальных уравнений от других типов ДУ?
Это проще всего сразу же пояснить на конкретном примере.
Пример1:
Решить дифференциальное уравнение
Решение:
Что в первую очередь следует проанализировать при решении любого
дифференциального уравнения первого порядка? В первую очередь
необходимо проверить, а нельзя ли сразу разделить переменные с помощью
«школьных» действий? Обычно такой анализ проводят мысленно или
пытаются разделить переменные на черновике.
Нужно проверить, а не является ли данное уравнение однородным?
Проверка несложная, и сам алгоритм проверки можно сформулировать так:
В исходное уравнение:
вместо
трогаем:
подставляем
, вместо
подставляем
, производную не
Буква лямбда – это некоторый абстрактный числовой параметр, дело не в самих
лямбдах, и не в их значениях, а дело вот в чём:
Если в результате преобразований удастся сократить ВСЕ «лямбды» (т.е.
получить исходное уравнение), то данное дифференциальное уравнение
является однородным.
Очевидно, что лямбды сразу сокращаются в показателе степени:
Теперь в правой части выносим лямбду за скобки:
Обе части уравнения можно сократить на эту самую лямбду:
В результате все лямбды исчезли и мы получили исходное уравнение.
Вывод: Данное уравнение является однородным
Поначалу рекомендую проводить рассмотренную проверку на черновике, хотя
очень скоро она будет получаться и мысленно.
Как решить однородное дифференциальное уравнение?
Функцию «игрек» необходимо заменить произведением некоторой функции
(тоже зависящей от «икс») и «икса»:
Выясняем, во что превратится производная
при такой замене, используем
правило
дифференцирования
произведения.
Если
,
то:
Подставляем
и
в исходное уравнение
:
Что даст такая замена? После данной замены и проведенных упрощений мы
гарантировано получим уравнение с разделяющимися переменными. Еще раз
подчеркиваю, для ЛЮБОГО однородного уравнения нужно провести одну и
ту же замену: строго
и, соответственно, строго
.
После
подстановки
проводим
максимальные
упрощения
уравнения:
Далее алгоритм работает по накатанной колее уравнения с разделяющимися
переменными.
Если – это функция, зависящая от «икс», то
Таким образом:
.
Разделяем переменные, при этом в левой части нужно собрать только «тэ», а в
правой части – только «иксы»:
Переменные разделены, интегрируем:
После того, как уравнение проинтегрировано, нужно провести обратную
замену, она тоже стандартна и единственна:
Если
, то
В данном случае:
Ответ: общий интеграл:
Почему почти всегда ответ однородного уравнения даётся в виде общего
интеграла?
В большинстве случаев невозможно выразить «игрек» в явном виде (получить
общее решение), а если и возможно, то чаще всего общее решение получается
громоздким и ужасно корявым.
Так, например, в рассмотренном примере, общее решение получить можно:
– общее решение.
Это не ошибка, но в «хорошем» стиле общий интеграл принято записывать в
виде
. Для этого сразу после интегрирования уравнения, константу
следует записать без всякого логарифма (вот и исключение из правила!):
И после обратной замены получить общий интеграл в «классическом» виде:
Пример 2
Проверить уравнение на однородность и найти его общий интеграл. Выполнить
проверку.
Пример 3
Решить дифференциальное уравнение
Решение: проверим уравнение на однородность, для этого в исходное
уравнение вместо подставим
, а вместо подставим :
Все лямбды сократились, и получилось исходное уравнение, значит, данное ДУ
является однородным.
Проведем
стандартную
замену:
Подставим
и
После
результат
подстановки
в
стремимся
исходное
максимально
уравнение:
упростить:
Разделяем переменные и интегрируем:
Общий интеграл получен, теперь его нужно довести его до ума. Перед тем как
выполнять обратную замену
упростить полученное выражение.
Упрощаем
, рекомендую снова максимально
дальше:
Вот теперь обратная замена:
Под корнем нужно привести слагаемые к общему знаменателю и вынести изпод корня всё, что можно. Эти действия часто приходится выполнять в ходе
решения однородного уравнения, запомните их:
Ответ: общий интеграл:
Пример 4
Выполнить проверку на однородность и решить дифференциальное уравнение
Вот здесь проверка общего интеграла будет не очень сложной. Полное решение
и ответ в конце урока.
Рассмотрим пару примеров, когда однородное уравнение задано с готовыми
дифференциалами.
Пример 5
Решить дифференциальное уравнение
Решение будем привыкать оформлять компактнее. В чистовом оформлении
работы не обязательно выполнять проверку на однородность. На чистовике
она гораздо чаще не проводится, чем проводится. Проверка делается на
черновике или мысленно, а если вы прорешали первые 4 примера, то многие из
вас однородные уравнения уже узнают «в лицо».
Таким образом, почти всегда решение начинается с записи: «Данное уравнение
является однородным, проведем замену: …».
Но вернемся к нашему уравнению. В нём присутствуют дифференциалы
и
. Уравнение можно решить и с дифференциалами, но алгоритм решения
будет немного другой, более того, значительно увеличится риск путаницы и
ошибок.
Поэтому, если однородное уравнение дано в дифференциалах, то сначала
нужно выразить производную
, а дальше использовать уже накатанную
схему решения.
Для того чтобы выразить производную, нужно каждое слагаемое разделить на
:
Теперь коснёмся одного момента, который вы уже заметили в ходе решения 2го и 4-го примеров. В дифференциальных уравнениях (и особенно это типично
для однородных ДУ) некоторые решения «лежат на поверхности». Чаще всего,
это очевидное решение
. Подставим
и и её производную
в
наше
уравнение
(что
легко
сделать
и
устно):
Получено верное равенство, значит, функция
является решением
уравнения и этот факт желательно отметить при оформлении задачи.
Зачем? В ходе дальнейших преобразований существует риск потерять данное
решение, то есть оно может не войти в общий интеграл, как это, например,
случилось в Примере №4.
Дальше
всё
тривиально,
После
подстановки
проведем
максимально
замену:
упрощаем
уравнение:
Разделяем переменные:
Интегрируем:
Интеграл левой части стандартно решается с помощью выделения полного
квадрата, но в диффурах гораздо удобнее использовать метод
неопределенных коэффициентов:
Используя метод неопределенных коэффициентов, разложим подынтегральную
функцию в сумму элементарных дробей:
Таким образом:
Находим интегралы:
Перед обратной заменой в новорожденном общем интеграле опять упрощаем
всё, что можно упростить:
Вот теперь обратная замена
:
Ответ: общий интеграл:
Найденное и отмеченное ранее решение
входит в общий интеграл при
нулевом значении константы (опять же легко проверяется устно), поэтому его
не нужно дополнительно записывать в ответ.
Кстати редкий случай, когда общее решение однородного ДУ выражается в
более или менее «приличном» виде:
Ответ: общее решение:
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях
В однородных уравнениях решение может потеряться в результате типовой
замены и дальнейших сокращений, однако, на практике распространена и
другая причина потери решений – это неосмотрительное деление.
В процессе решения уравнения
«игрек» оказался в знаменателе:
,
но
, очевидно, является решением ДУ и в результате неравносильного
преобразования (деления) есть все шансы его потерять! Другое дело, что оно
вошло в общее решение
при нулевом значении константы.
Аналогичная история с уравнением
ходе решения которого мы «сбросили»
Примера 3 того же урока, в
в знаменатель. Строго говоря,
следовало предварительно проверить, а не является ли
решением
данного диффура. Ведь является! Но и тут «всё обошлось», поскольку эта
функция вошла в общий интеграл
константы.
при нулевом значении
При неравносильных преобразованиях ВСЕГДА проверяйте (по крайне
мере, устно), не теряете ли вы решения! Какие это преобразования? Чаще
всего, сокращение на что-то или деление на что-то. Так, например, при делении
на
нужно проверить, являются ли функции
решениями
дифференциального уравнения. В то же время при делении на
необходимость в такой проверке уже отпадает – по причине того, что этот
делитель не обращается в ноль.
Перечисленные тонкости также теряют актуальность, если в задаче требуется
найти только частное решение.
Следующий диффур – самостоятельно:
Пример 6
Решить дифференциальное уравнение
Пример 7
Решить дифференциальное уравнение
Решение: «любимая функция»
не является решением, что убавляет
хлопот. Идём проторенной дорогой. Данное уравнение является однородным,
проведем
замену:
После замены проводим максимальные упрощения:
Разделяем переменные:
Интегрируем:
Интеграл левой части можно найти двумя способами: методом выделения
полного квадрата или методом неопределенных коэффициентов. Здесь
многочлен на множители раскладывается: можно решить квадратное уравнение
, найти его корни и в результате:
. Опытные
студенты
способны
выполнить
подбор
корней
и
устно.
Методом неопределенных коэффициентов получим сумму дробей:
Таким образом:
Получившийся общий интеграл упрощаем:
И только после упрощений выполняем обратную замену:
Ответ: общий интеграл:
Пример 8
Решить дифференциальное уравнение
Это пример для самостоятельного решения. Время от времени однородное
уравнение встречается в виде дроби, и типичный пациент выглядит примерно
так:
Наверное, многие обратили внимание, что во всех приведенных примерах мы
не находили частные решения уравнений (задача Коши). Это не случайно. В
практических заданиях с однородными уравнениями частное решение требуют
находить крайне редко.
Решения и ответы:
Пример 2:
Решение: Проверим уравнение на однородность:
Вместо подставляем
, вместо подставляем
:
Все лямбды сократились, и получилось исходное уравнение, значит, данное
ДУ является однородным.
Очевидно, что
является одним из решений данного уравнения.
Проведем замену:
и максимально упростим уравнение:
Разделяем переменные, слева собираем «тэ», справа – «иксы»:
Интегрируем:
Надо сказать, с интегралом левой части повезло, бывает гораздо хуже.
Максимально упрощаем общий интеграл.
Если есть дроби, то от них лучше избавиться, умножаем каждую часть на 2:
Константу
я переобозначу через
:
Собираем в правой части всё под логарифм, затем избавляемся от логарифмов
Обратная замена:
Умножаем все слагаемые на
Ответ: общий интеграл:
:
Примечание: Решение
входит в общее решение (когда
не нужно дополнительно указывать в ответе.
Проверка:
Дифференцируем
), поэтому его
общий
интеграл:
Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено
верно.
Пример 4:
Решение: Проверим уравнение на однородность:
Таким образом, данное уравнение является однородным.
Очевидно, что
является одним из решений уравнения.
Проведем замену:
После подстановки проводим максимальные упрощения:
Разделяем переменные и интегрируем:
Упрощать особо нечего, поэтому проводим обратную замену:
Общий интеграл можно упростить:
:
Ответ: общий интеграл:
. Ещё одно решение:
Примечание: здесь решение
не вошло в общий интеграл (т.к. не
существует соответствующего значения константы), поэтому его следует
указать дополнительно!
Пример 6: Решение: Преобразуем уравнение:
Очевидно, что
является решением.
Данное уравнение является однородным, проведем замену:
Максимально упрощаем:
Разделяем переменные и интегрируем:
Упрощать нечего, поэтому проводим обратную замену
Ответ: общий интеграл:
Примечание:
также
:
. Ещё одно решение:
здесь
можно
выразить
и
общее
решение:
, для этого сразу после интегрирования константу
следует загнать под логарифм.
Пример 8: Решение: Данное ДУ является однородным, проведем замену:
Обратная замена:
Ответ: общий интеграл:
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Примеры решений
Начнем с систематизации и повторения.
На что в первую очередь следует посмотреть, когда вам предложено для
решения любое дифференциальное уравнение первого порядка? В первую
очередь необходимо проверить, а нельзя ли у данного диффура разделить
переменные? Если переменные разделить можно (что, кстати, далеко не всегда
очевидно), то нужно использовать алгоритмы и приемы решения, для
дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Если
переменные в ДУ разделить не удалось, переходим к следующему этапу –
проверяем, а не является ли уравнение однородным? Проверку обычно
выполняют мысленно или на черновике, с самим алгоритмом проверки и
образцами решения однородных уравнений мы ознакомились ранее.
Если переменные разделить не удалось, и уравнение однородным не является,
то в 90% случаев перед вами как раз линейное неоднородное уравнение
первого порядка.
Линейное уравнение первого порядка в стандартной записи имеет вид:
Что
мы
видим?
1)
В
линейное
уравнение
входит
первая
производная
.
2) В линейное уравнение входит произведение
, где
– одинокая
буковка «игрек» (функция), а
– выражение, зависящее только от «икс».
3) И, наконец, в линейное уравнение входит выражение
, тоже зависящее
только от «икс». В частности,
может быть константой.
Примечание: Разумеется, в практических примерах эти три слагаемых не
обязаны располагаться именно в таком порядке, их спокойно можно
переносить из части со сменой знака.
Перед тем, как перейти к практическим задачам, рассмотрим некоторые
частные модификации линейного уравнения.
– Как уже отмечалось, выражение
может быть некоторой константой
(числом), в этом случае линейное уравнение принимает вид:
– Выражение
тоже может быть некоторой константой , тогда линейное
уравнение принимает вид:
. В простейших случаях константа равна
+1 или –1, соответственно, линейное уравнение записывается еще проще:
или
.
– Рядом с производной может находиться множитель
, зависящий только от
«икс»:
– это тоже линейное уравнение.
Пример 1
Решить дифференциальное уравнение
Решение: Данное уравнение является линейным и имеет простейший вид:
.
Как решить линейное уравнение?
Способ решения связан с заменой переменной и подстановкой, иногда его
называют методом Бернулли. В данной статье будет рассматриваться метод
подстановки, он алгоритмически прост и понятен, и решение уравнения
принимает чёткий трафаретный характер.
Линейное дифференциальное уравнение можно решить одной-единственной
заменой:
, где
«икс».
и
– некоторые, пока ещё неизвестные функции, зависящие от
Коль скоро проводится замена
, то нужно выяснить, чему равна
производная. По правилу дифференцирования произведения:
Подставляем
и
в
наше
уравнение
:
В чём состоит задача? Необходимо найти неизвестные функции «у» и «вэ»,
которые зависят от «икс». И как раз этому будут посвящены все последующие
действия.
После подстановки смотрим на два слагаемых, которые располагаются вот на
этих
местах:
У них нужно вынести за скобки всё, что можно вынести. В данном случае:
Теперь нужно составить систему уравнений. Система составляется стандартно:
Приравниваем к нулю то, что находится в скобках:
Если
, тогда
или просто
Уравнения
из
нашего
.
уравнения
получаем:
.
записываем
в
систему:
.
Именно в таком порядке.
Система опять же решается стандартно.
Сначала из первого уравнения находим функцию . Это простейшее
уравнение с разделяющимися переменными, поэтому его решение я приведу
без комментариев.
Функция найдена. Обратите внимание, что константу
не приписываем.
Далее подставляем найденную функцию
системы
на данном этапе мы
во второе уравнение
:
Из
второго
Функция
уравнения
находим
функцию
найдена. А вот здесь уже добавляем константу
Вспоминаем,
Обе
с
чего
всё
функции
Записываем
.
.
начиналось:
.
найдены:
общее
решение:
В ответе можно раскрыть скобки, это дело вкуса:
Ответ: общее решение
Проверка:
Берём
полученный
Подставим
ответ
и
и
находим
производную:
в исходное уравнение
:
Получено верное равенство, таким образом, общее решение найдено
правильно.
Пример 2
Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение: Данное уравнение имеет «классический» вид
линейного уравнения. Проведем замену:
и
в
исходное
уравнение
и подставим
:
После подстановки проведем вынесение множителя за скобки, какие два
слагаемых нужно мучить – смотрите предыдущий пример. Хотя, наверное, все
уже поняли:
Составляем систему. Для этого приравниванием к нулю то, что находится в
скобках:
, автоматически получая и второе уравнение системы:
В результате:
.
Из первого уравнения найдем функцию :
– найденную функцию
:
Теперь находим функцию
Обе
подставим во второе уравнение системы
. Уравнение опять получилось простенькое:
функции
Таким
найдены:
образом:
Общее решение:
Ответ: общее решение:
Пример 3
Найти общее решение дифференциального уравнения
Это пример для самостоятельного решения.
Как видите, алгоритм решения линейного уравнения довольно прост. В чем
особенность решения линейных уравнений? Особенность состоит в том, что
практически всегда в ответе получается общее решение, в отличие, например,
от однородных уравнений, где общее решение хорошо выражается крайне
редко и ответ приходится записывать в виде общего интеграла.
Рассмотрим что-нибудь с дробями
Пример 4
Найти частное решение дифференциального
удовлетворяющее начальному условию
уравнения
,
Напоминаю, что такая постановка вопроса также называется задачей Коши.
Решение: Алгоритм решения полностью сохраняется, за исключением того,
что в конце прибавится один небольшой пунктик.
Обратите внимание, что уравнение представлено не совсем в стандартной
форме. Этого в данном случае можно не делать, но я все-таки рекомендую
всегда переписывать уравнения в привычном виде
:
Данное ДУ является линейным, проведем замену:
Типовой вынос за скобки:
Составим и решим систему:
Из первого уравнения найдем :
– подставим найденную функцию во второе уравнение системы и найдем
функцию :
Здесь интеграл взят методом подведения функции под знак дифференциала.
Обе
функции
найдены,
таким
образом,
общее
решение:
На заключительном этапе нужно решить задачу Коши, то есть найти частное
решение, удовлетворяющее начальному условию
В
данном
случае:
Ответ: частное решение:
А вот проверку частного решения еще раз повторим. Сначала проверяем,
действительно
ли
выполняется
начальное
условие
?
– да, начальное условие выполнено.
Теперь берём полученный ответ
и находим производную. Используем
правило
дифференцирования
частного:
Подставим
и
в
исходное
уравнение
Получено верное равенство, значит, задание выполнено верно.
Пример 5
Найти решение задачи Коши
,
:
Это пример для самостоятельного решения.
Пример 6
Найти решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения
,
Решение: В данном уравнении слагаемые опять не на своих местах, поэтому
сначала пытаемся максимально близко приблизить диффур к виду
:
Что здесь особенного? Во-первых, в правой части у нас константа
. Это
допустимо. Во-вторых, рядом с производной есть множитель
, который
зависит только от «икс». Это тоже допустимо. Из-за этих особенностей
линейное уравнение не перестает быть линейным.
Алгоритм решения полностью сохраняется за исключением пары нюансов в
самом начале.
Проведем замену:
Теперь следовало бы выполнить вынесение множителя за скобки. Прозвучит
каламбурно, но сначала нам нужно раскрыть скобку, поскольку одно из
нужных нам слагаемых недоступно:
Вот
теперь
проводим
вынесение
множителя
скобки:
Обратите внимание на тот факт, что за скобки мы вынесли не только функцию
, но еще и «икс». Всё, что можно вынести за скобки – выносим.
Составим и решим систему:
Из первого уравнения найдем :
– подставим во второе уравнение системы:
Таким
образом,
общее
решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:
Ответ: частное решение:
Пример 7
Найти частное решение ДУ
,
Это пример для самостоятельного решения.
Какие трудности встречаются в ходе решения линейного уравнения? Основной
камень преткновения состоит в том, что может появиться довольно сложный
интеграл. Как правило, неприятный интеграл появляется при нахождении
функции
(в то время как с нахождением функции обычно проблем не
возникает).
Рассмотрим пару примеров с такими интегралами.
Пример 8
Найти
общее
решение
Решение: Сначала приводим линейное уравнение к родному виду
:
Проведем замену:
Составим и решим систему:
.
ДУ
Из первого уравнения найдем :
– подставим найденную функцию во второе уравнение:
Такой интеграл, кстати, еще нигде не встречался в моих уроках. Он берется по
частям. Вспоминаем формулу интегрирования по частям:
. Но,
вот незадача, буквы и у нас уже заняты, и использовать те же самые буквы
в формуле – не есть хорошо. Что делать? Используем ту же формулу, но с
другими
буквенными
обозначениями.
Интегрируем
по
частям:
Таким
образом:
Ответ: общее решение:
Пример 9
Найти
общее
решение
дифференциального
уравнения
Решения и ответы:
Пример 3:
Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным, проведем
замену:
Составим и решим систему:
Из первого уравнения найдем :
– подставим во второе уравнение системы:
Таким образом:
Ответ: общее решение:
Пример 5:
Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным, замена:
Составим и решим систему:
.
Из первого уравнения найдем :
– подставим во второе уравнение системы:
Общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:
Ответ: частное решение:
Пример 7:
Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным, замена:
(раскрыли только левые скобки!)
Составим и решим систему:
.
Из первого уравнения найдем :
– подставим во второе уравнение:
(Примечание: здесь использовано основное логарифмическое тождество:
).
Таким образом, общее решение:
Найдем частное, соответствующее заданному начальному условию:
Ответ: частное решение:
Пример 9:
Решение: Данное ДУ является линейным, проведем замену:
Решим систему:
Из первого уравнения найдем :
– подставим во второе уравнение:
Интегрируем по частям:
Таким образом:
Ответ: общее решение:
Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решений
Речь пойдет о так называемых уравнениях Бернулли, которые нет-нет, да и
встречаются в практических работах и контрольных заданиях. Уравнение
Бернулли рекомендую изучать только в том случае, если у вас уже есть опыт
решения дифференциальных уравнений первого порядка, в особенности,
следует хорошо ориентироваться в линейных неоднородных уравнениях
вида
.
Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид:
Очевидно – уравнение Бернулли по общей структуре напоминает линейное
неоднородное уравнение первого порядка.
Характерным признаком, по которому можно определить уравнения
Бернулли, является наличие функции «игрек» в степени «эн»: .
Если
или
, то уравнение Бернулли превращается в уравнения,
которые вы уже должны уметь решать.
Целая степень
может быть как положительной, так и отрицательной (во
втором случае получится дробь), кроме того,
может быть обыкновенной
дробью, например
.
Как и линейное неоднородное уравнение первого порядка, уравнение
Бернулли может приходить на новогодний утренник в разных костюмах.
Волком:
Зайчиком:
Или
Важно, чтобы в уравнении присутствовал персонаж
может маскироваться под корень.
белочкой:
, который, иногда
Обратите внимание, что одним из очевидных решений уравнения Бернулли
(если
) является решение:
. Действительно, если найти
и
подставить
равенство.
в уравнения рассмотренных типов, то получится верное
Пример 1
Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее
заданному
начальному
условию.
,
Когда для решения предложено уравнение Бернулли, почему-то очень часто
требуется найти частное решение.
Решение: Данный диффур имеет вид
уравнением Бернулли
, а значит, является
Как решить дифференциальное уравнение Бернулли?
Алгоритм достаточно прост и незамысловат.
На первом шаге необходимо избавиться от «игрека» в правой части. Для этого
сбрасываем
Далее
в
необходимо
низ
левой
части
избавиться
Для этого проводим замену:
«зет».
Находим производную:
.
Смотрим на первое слагаемое:
от
и
проводим
игрека
вот
почленное
в
этом
деление:
слагаемом:
, то есть меняем дробь с «игреком» на букву
И что-то подсказывает, что нужно заменить
Это легко: если
.
, то
Таким образом, в результате проведенной замены
превращается
уравнение
в
уравнение:
Получено линейное неоднородное уравнение первого порядка. С той лишь
разницей, что вместо привычного «игрека» у нас буква «зет».
Вывод: Уравнение Бернулли с помощью замены сводится к линейному
неоднородному уравнению первого порядка
Сменим у каждого слагаемого знак, делать это не обязательно, просто запись
будет
выглядеть
стандартнее
что
ли:
Дальше алгоритм работает по накатанной колее, важно только уметь решать
неоднородное уравнение 1-го порядка:
Проведем замену:
Составим
Из
и
первого
решим
уравнения
систему:
найдем
– подставим найденную функцию во второе уравнение системы:
:
Подобные называют дурными интегралами, они не столько сложные, сколько
творческие – нужно догадаться (хотя бы научным тыком), как их решать.
Данный
интеграл
берётся
по
частям:
Творчество присутствует, помимо интегрирования по частям, использован
метод подведения функции под знак дифференциала.
Таким
Но
образом:
это
ещё
Если изначально было
не
всё,
выполняем
обратную
замену:
, то обратно будет
В результате получаем общее решение исходного уравнения Бернулли:
Тривиальное решение
потерялось (это произошло в самом начале при
делении на
) и не вошло в общий интеграл. Однако это обстоятельство нас
совершенно не волнует, поскольку по условию требовалось решить только
задачу Коши (! заметьте, что если бы условие требовало указать в ответе и
общее решение, то его следовало бы дополнить функцией
). Найдем
частное
решение,
удовлетворяющее
начальному
условию
:
Ответ: частное решение:
Алгоритм проверки дифференциального уравнения:
1)
проверяем,
выполнено
ли
2)
берём
ответ
и
находим
3) подставляем ответ и найденную производную
получиться верное равенство.
начальное
условие;
производную
;
в исходное ДУ – должно
Проверить дифференциальное уравнение Бернулли действительно не всем под
силу, так как в большинстве случаев приходится находить трудную
производную и выполнять громоздкую подстановку.
Примеры для самостоятельного решения:
Пример 2
Найти решение ДУ
, удовлетворяющее начальному условию
Пример 3
Найти
решение
задачи
Коши
,
В третьем примере перед решением целесообразно представить уравнение в
стандартном виде:
Вообще, иногда составители
уравнения
до
Пример 4
.
сборников и методичек
неузнаваемости,
зашифровывают
например:
Найти решение ДУ
Решение:
Бернулли.
Пожалуйста,
, соответствующее начальному условию
классический
вид
уравнения
По условию требуется решить только задачу Коши.
Сначала убираем «игрек» из правой части, для этого делим каждую часть на
:
Теперь с помощью замены нужно избавиться от «игрека» вот в этом слагаемом:
Из вышесказанного следует замена:
Найдем производную:
, откуда выразим:
Таким образом:
Получено линейное неоднородное уравнение, проведем замену:
Составим и решим систему:
Из первого уравнения найдем :
.
– подставим во второе уравнение:
Таким образом:
Обратная замена: если
, то
Общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:
Уравнение
имеет два корня
и в результате получаются…
два частных решения
, каждое из которых удовлетворяет
начальному условию
. Желающие могут выполнить проверку для обеих
функций. Однако зададимся вопросом, а могло ли такое получиться в
принципе? Может быть где-нибудь допущена ошибка?
В теории математического анализа строго доказано, что задача Коши имеет
единственное решение лишь при выполнении определённых условий
(соответствующая теорема формулируется в первых параграфах любого
учебника/раздела, посвященного диффурам).
В данном случае условие единственности нарушено, и в точке
пересекаются (именно пересекаются, а не касаются друг друга!) графики
многочленов
.
Ответ: начальному условию
соотвествуют два частных решения:
Якоб Бернулли почти итальянец, жил в Швейцарии, говорил на 5-ти языках. В
семье Бернулли 9 (!) математиков, причём у некоторых представителей
династии есть серьёзные достижения и в области физики. Пример 5
Найти общее решение (или общий интеграл) дифференциального уравнения
первого
порядка.
Немногочисленный пример из моей выборки, когда требуется найти только
общее решение. Полное решение и ответ в конце урока.
Мы рассмотрели наиболее распространенные версии уравнения Бернулли – с
«игреком» во второй степени и с «игреком» под квадратным корнем. Другие
варианты встречаются реже. Разберём пример, когда «игрек» находится в кубе.
Пример 6
Найти
общее
решение
дифференциального
уравнения
Решение: Данное ДУ является уравнением Бернулли.
Очевидно, что
И
только
является решением этого уравнение.
после
этой
оговорки
делим
обе
части
на
:
Избавляемся от «игрека» в «полюбившемся» слагаемом, для этого проведем
замену:
В
результате:
Получено
линейное
уравнение,
проведем
замену:
Решим
Из
систему:
первого
уравнения
– подставим во второе уравнение:
найдем
:
Таким образом:
Проведём обратную замену: если изначально
В
принципе,
здесь
можно
выразить
Ответ: общий интеграл:
, то обратно:
общее
решение
в
виде:
. Ещё одно решение:
Пример 7
Найти
частное
решение
,
дифференциального
уравнения
Это пример для самостоятельного решения.
Решения и ответы:
Пример 2:
Решение: Данное ДУ является уравнением Бернулли. Найдем общее решение.
Проведем
замену:
Получено линейное неоднородное уравнение, замена:
.
Составим
Из
:
и
первого
решим
уравнения
систему:
найдем
– подставим во второе уравнение…
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Различают три основных типа таких уравнений.
По какому принципу решаются данные уравнения? Уравнения, допускающие
понижение порядка, в конечном итоге сводятся к дифференциальным
уравнениям первого порядка и интегрируются с помощью методов, знакомых
нам по ранее пройденному материалу.
Метод повторного интегрирования правой части
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
, где
–
производная «энного» порядка, а правая часть
зависит только от «икс». В
простейшем случае
может быть константой.
Данное
дифференциальное
уравнение
решается
последовательным
интегрированием правой части. Причём интегрировать придется ровно раз.
На практике наиболее популярной разновидность является уравнение второго
порядка:
. Дважды интегрируем правую часть и получаем общее
решение. Уравнение третьего порядка
необходимо проинтегрировать
трижды, и т.д.
Пример 1
Найти
общее
решение
дифференциального
Решение: Данное дифференциальное уравнение имеет вид
Понижаем
Или короче:
степень
уравнения
, где
до
первого
уравнения
.
порядка:
– константа
Теперь интегрируем правую часть еще раз, получая общее решение:
Ответ: общее решение:
Проверить общее решение такого уравнения обычно очень легко. В данном
случае
необходимо
лишь
найти
вторую
производную:
Получено исходное дифференциальное уравнение
решение найдено правильно.
, значит, общее
Пример 2
Решить
дифференциальное
уравнение
Это пример для самостоятельного решения. В предложенном примере сначала
необходимо привести уравнение к стандартному виду
.
Нахождение частного решения (задача Коши) имеет свои особенности, которые
мы рассмотрим в следующих двух примерах:
Пример 3
Найти частное решение уравнения, соответствующее заданным начальным
условиям
,
,
Решение: Данное уравнение имеет вид
. Согласно алгоритму,
необходимо последовательно три раза проинтегрировать правую часть.
Сначала
понижаем
степень
уравнения
до
второго
порядка:
Первый интеграл принёс нам константу
. В уравнениях рассматриваемого
типа рационально сразу же применять подходящие начальные условия.
Итак, у нас найдено
подходит начальное условие
, и, очевидно, к полученному уравнению
.
В
соответствии
с
начальным
условием
:
Таким образом:
На следующем шаге берём второй интеграл, понижая степень уравнения до
первого
порядка:
Выползла константа
В
, с которой мы немедленно расправляемся.
соответствии
с
начальным
условием
:
Таким образом:
И, наконец, третий интеграл:
Для
третьей
константы
используем
последнее
условие:
:
Ответ: частное решение:
Выполним
Проверяем
проверку:
начальное
условие
:
– выполнено.
Находим
Проверяем
производную:
начальное
– выполнено.
условие
:
Находим
вторую
Проверяем
начальное
производную:
условие
:
– выполнено.
Найдем
третью
производную:
Получено исходное дифференциальное уравнение
Вывод: задание выполнено, верно
Наверное, все обратили внимание на следующую вещь: каков порядок
уравнения – столько и констант. Уравнение второго порядка располагает
двумя константами
, в уравнении третьего порядка – ровно три константы
, в уравнении четвертого порядка обязательно будет ровно четыре
константы
и т.д. Причем, эта особенность справедлива вообще для
любого диффура высшего порядка.
Пример 4
Найти частное решение уравнения, соответствующее заданным начальным
условиям
,
,
Это пример для самостоятельного решения.
В дифференциальном уравнении в явном виде отсутствует функция
Простейшее
уравнение данного типа в общем виде выглядит так:
– всё есть, а «игрека» нет. Точнее, его нет в явном виде, но он
обязательно всплывёт в ходе решения.
Кроме того, вместе с «игреком» в явном виде может отсутствовать первая
производная:
– это уже уравнение третьего порядка.
Может
дополнительно
отсутствовать
– уравнение четвертого порядка.
и
вторая
производная:
И так далее. Думаю, все увидели закономерность, и теперь смогут без труда
определить такое уравнение в практических примерах. Кроме того, во всех этих
уравнениях обязательно присутствует независимая переменная «икс».
Как решать такие уравнения? Они решаются с помощью очень простой замены.
Пример 5
Найти
общее
решение
дифференциального
уравнения
Решение: В данном уравнении второго порядка в явном виде не участвует
переменная . Заменим первую производную
новой функцией , которая
зависит
от
«икс»:
Если
Цель
, то
проведённой
замены
очевидна
–
понизить
степень
уравнения:
Получено линейное неоднородное уравнение первого порядка, с той лишь
разницей, что вместо привычной функции «игрек» у нас функция «зет». Грубо
говоря, отличие только в букве.
Линейное неоднородное уравнение первого порядка можно решить двумя
способами: методом Бернулли (замены переменной). Здесь выбираем метод
вариации произвольной постоянной.
Решим
Разделяем
вспомогательное
переменные
уравнение:
и
интегрируем:
Общее решение вспомогательного уравнения:
Варьируя постоянную
проведем
,
в неоднородном уравнении
замену:
Пара слагаемых в левой части сокращается, значит, мы на верном пути:
Разделяем
переменные
и
интегрируем:
Таким
образом:
Итак, функция
найдена. Тут на радостях можно забыть про одну вещь и
машинально записать ответ. Нет-нет, ещё не всё. Вспоминаем, что в начале
задания была выполнена замена
, следовательно, нужно провести
обратную
замену
:
Общее
решение
восстанавливаем
интегрированием:
На заключительном этапе нарисовался партизан «игрек», который, как мы
помним, в дифференциальное уравнение в явном виде не входил.
Ответ: Общее решение:
В большинстве случае проверить и такие уравнения не составляет особого
труда. Берём полученный ответ, находим первую и вторую производные:
Подставим
первую
:
и
вторую
производную
в
исходное
уравнение
Получено верное равенство, значит, общее решение найдено правильно.
Пример 6
Решить
дифференциальное
уравнение
Это пример для самостоятельного решения.
Теперь вспомним начало заданий. С помощью замены
мы понижали
степень уравнения и получали линейное неоднородное уравнение первого
порядка. Всегда ли получается именно линейное уравнение в результате
замены? Так происходит часто, но не всегда. После замены
может
получиться уравнение с разделяющимися переменными, однородное
уравнение первого порядка, а также некоторые другие интересности.
Пример 7
Решить
дифференциальное
уравнение
Решение: В данном уравнении третьего порядка в явном виде не участвуют
функция
и первая производная
. Замена будет очень похожей, за «зет»
обозначаем
младшего
брата:
Если
, то
Таким
образом,
уравнение
понижено
до
первого
порядка:
Получено уравнение
переменные
Проведем
с
разделяющимися
и
обратную
переменными, разделяем
интегрируем:
замену:
Данное уравнение имеет уже знакомый с первого параграфа вид:
.
Дважды
часть:
интегрируем
правую
Ответ: общее решение:
Пример 8
Найти
общее
решение
дифференциального
уравнения
Это пример для самостоятельного решения. После понижения степени
получится линейное неоднородное уравнение первого порядка, которое
решено методом Бернулли.
В дифференциальном уравнении в явном виде отсутствует независимая
переменная
Третий, чуть более сложный тип уравнения, допускающий понижение порядка
- отличительная особенность данного диффура состоит в том, что в нём в явном
виде отсутствует независимая переменная «икс». То есть, в исходном
дифференциальном уравнении нет «икса». Вообще нет. Ни одного. Нигде.
Пример 9
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее
заданным
начальным
условиям
,
,
Решение: В данном уравнении в явном виде не участвует переменная .
Подстановка здесь более замысловата. Первую производную
заменим
некоторой пока еще неизвестной функцией
, которая зависит от функции
«игрек»:
. Обратите внимание, что функция
– это сложная
функция. Внешняя функция – «зет», внутренняя функция – «игрек» («игрек»
сам по себе является функцией).
Находим вторую производную. По правилу дифференцирования сложной
функции:
Учитывая, что
, окончательно получаем:
В принципе, можно запомнить данную замену формально и коротко:
Другой вопрос, что студентам часто не понятно, почему в замене такая
странная вторая производная:
, «совершенно же очевидно, что должно
быть
». А вот, оно, и не очевидно.
Итак,
в
Цель
исходном
замены
Одно
–
уравнении
опять
проведём
же
«зет»
понизить
сразу
нашу
порядок
замену:
уравнения:
сокращаем:
Получено уравнение с разделяющимися переменными. Если
– функция,
зависящая от «игрек», то первая производная в дифференциалах расписывается
так:
. Не допускаем машинальной ошибки – не пишем «привычное»
!!!
Разделяем
переменные
и
интегрируем:
Проведем
обратную
замену
:
Как и в первом параграфе, константу целесообразно отстрелить
незамедлительно, это значительно упростит дальнейшее интегрирование.
Используем оба начальных условия одновременно:
В
полученное
уравнение
,
подставим
и
Таким
:
образом:
Дальнейшее
просто:
Вторую константу тоже отстреливаем. Используя начальное условие
проводим
подстановку
,
:
Таким образом:
Выразим
частное
решение
в
явном
Ответ: частное решение:
Для закрепления материала пара заключительных примеров.
Пример 10
виде:
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее
заданным
начальным
условиям
,
,
Решение: В данном уравнении в явном виде не участвует переменная . Еще
здесь нет первой производной, но это не должно смущать – важно, что нет
«иксов»,
а
значит,
используется
стандартная
замена:
Таким
образом,
Разделяем
переменные
Переобозначим
.
Проведём
степень
уравнения
и
понижена
интегрируем,
константу
обратную
не
до
первого
забывая,
что
:
через
:
замену
Используем одновременно оба начальных условия
,
значение константы
. Для этого в полученное уравнение
подставим
Таким
порядка:
:
и найдём
и
:
образом:
Разделяем
В
переменные
соответствии
Окончательно:
с
и
начальным
интегрируем:
условием
:
или
Ответ: частное решение:
Пример 11
Найти
решение
,
задачи
Коши.
,
Это пример для самостоятельного решения.
Обратите внимание, что все три примера последнего параграфа идут с задачей
Коши. Это не случайно. Специфика рассмотренного типа дифференциальных
уравнений такова, что если предложить найти общее решение, то в
большинстве уравнений нарисуются сложные, вычурные, а то и вообще
неберущиеся интегралы. Поэтому практически всегда вам будет предложено
найти частное решение.
Решения и ответы:
Пример 2:
Решение:
Преобразуем
Данное ДУ имеет вид
уравнение:
. Дважды интегрируем правую часть:
Ответ: общее решение:
Пример 4:
Решение:
Преобразуем
Данное уравнение имеет вид
уравнение:
. Трижды интегрируем правую часть:
В
соответствии
с
начальным
условием:
В
соответствии
с
начальным
условием:
с
начальным
условием:
В
соответствии
Ответ: частное решение:
Пример 6:
Решение: В данное уравнение в явном виде не входит функция
замену:
, проведем
Получено линейное неоднородное уравнение первого порядка. Используем
метод вариации произвольной постоянной. Решим вспомогательное
уравнение:
Разделяем
В
Таким
переменные
неоднородном
уравнении
и
интегрируем:
проведем
замену:
образом:
Обратная
замена:
Ответ: Общее решение:
Пример 8:
Решение:
Проведем
замену:
Получено линейное неоднородное уравнение, замена:
Составим
Из
–
Таким
Обратная
Дважды
и
первого
решим
систему:
уравнения
подставим
во
найдем
:
второе
уравнение:
правую
часть:
образом:
замена:
интегрируем
Интеграл от логарифма берётся по частям, и, строго говоря, последний
интеграл
нужно
расписать
подробнее.
Ответ:
общее
решение:
Пример 11:
Решение: В данном уравнении в явном виде не участвует переменная
проведем
замену:
Обратная
В
соответствии
,
замена:
с
начальными
условиями
,
:
В
соответствии
с
начальным
условием
:
Ответ: частное решение:
Линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
Примеры решений
Переходим к рассмотрению дифференциальных уравнений второго порядка и
дифференциальных уравнений высших порядков.
Наиболее популярны дифференциальные уравнения второго порядка. В
дифференциальное уравнение второго порядка обязательно входит вторая
производная
и не входят производные более высоких порядков:
Следует отметить, что некоторые из малышей
(и даже все сразу)
могут отсутствовать в уравнении, важно, чтобы дома был отец
. Самое
примитивное дифференциальное уравнение второго порядка выглядит так:
В дифференциальное уравнение третьего порядка обязательно входит третья
производная
и не входят производные более высоких порядков:
Самое простое дифференциальное уравнение третьего порядка выглядит так:
.
Дифференциальные уравнения высших порядков, которые предлагаются в
практических задачах, можно разделить на две основные группы.
1) Первая группа – так называемые уравнения, допускающие понижение
порядка.
2) Вторая группа – линейные уравнения высших порядков с постоянными
коэффициентами. Которые мы начнем рассматривать прямо сейчас.
Линейные
дифференциальные
с постоянными коэффициентами
уравнения
второго
порядка
В теории и практике различают два типа таких уравнений – однородное
уравнение и неоднородное уравнение.
Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет
следующий
вид:
, где и – константы (числа), а в правой части – строго
ноль.
Неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет
вид:
, где
и – константы, а
– функция, зависящая только
от «икс». В простейшем случае функция
может быть числом, отличным от
нуля.
Чтобы научиться решать неоднородные уравнения необходимо уметь решать
однородные уравнения. По этой причине сначала рассмотрим алгоритм
решения
линейного
однородного
уравнения
второго
порядка:
Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое
характеристическое
уравнение:
По какому принципу составлено характеристическое уравнение, отчётливо
видно:
вместо
второй
производной
записываем
;
вместо
первой
производной
записываем
вместо функции ничего не записываем.
просто
«лямбду»;
– это обычное квадратное уравнение, которое предстоит
решить.
Характеристическое уравнение имеет два различных действительных
корня
Если характеристическое уравнение
имеет два различных
действительных корня ,
(т.е., если дискриминант
), то общее решение
однородного
уравнения
выглядит
так:
, где
– константы.
В случае если один из корней равен нулю, решение очевидным образом
упрощается;
пусть,
например,
,
тогда
общее
решение:
.
Пример 1
Решить дифференциальное уравнение
Решение:
составим
и
решим
характеристическое
уравнение:
,
Получены два различных действительных корня (от греха подальше лучше
сразу же
выполнить проверку, подставив корни в уравнение).
Всё, что осталось сделать – записать ответ, руководствуясь формулой
Ответ: общее решение:
Не будет ошибкой, если записать общее решение наоборот:
, но
хорошим стилем считается располагать коэффициенты по возрастанию,
сначала –2, потом 1.
Придавая константам
много частных решений.
различные значения, можно получить бесконечно
Решить дифференциальное уравнение – это значит найти множество
решений, которое удовлетворяет данному уравнению. Такое множество
решений, напоминаю, называется общим интегралом или общим решением
дифференциального уравнения.
Таким образом, в рассмотренном примере найденное общее решение
должно удовлетворять исходному уравнению
.
Точно так же, как и диффура 1-го порядка, в большинстве случаев легко
выполнить проверку:
Берем
наш
ответ
и
Находим
находим
вторую
Подставляем
уравнения
производную:
производную:
и
,
в левую часть
:
Получена правая часть исходного уравнения (ноль), значит, общее решение
найдено правильно (оно, как проверено, удовлетворяет
уравнению
).
Пример 2
Найти общее решение дифференциального уравнения, выполнить проверку
Это пример для самостоятельного решения.
Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня
Если характеристическое уравнение
имеет два кратных
(совпавших) действительных корня
(дискриминант
), то общее
решение
однородного
уравнения
принимает
вид:
Вместо
,
где
в формуле можно было нарисовать
Если оба корня равны нулю
–
константы.
, корни всё равно одинаковы.
, то общее решение опять же упрощается:
. Кстати,
является общим решением того
самого примитивного уравнения
, о котором я упоминал в начале урока.
Почему? Составим характеристическое уравнение:
– действительно,
данное уравнение как раз и имеет совпавшие нулевые корни
.
Пример 3
Решить дифференциальное уравнение
Решение:
составим
и
решим
характеристическое
уравнение:
Здесь можно вычислить дискриминант, получить ноль и найти кратные корни.
Но можно невозбранно
сокращенного
применить
известную
школьную формулу
умножения:
(конечно, формулу нужно увидеть, это приходит с опытом решения)
Получены два кратных действительных корня
Ответ: общее решение:
Пример 4
Найти общее решение дифференциального уравнения
Это пример для самостоятельного решения.
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни
Для понимания третьего случая требуются элементарные знания про
комплексные числа.
Если
характеристическое
уравнение
комплексные корни
решение
,
однородного
, где
имеет
(дискриминант
уравнения
сопряженные
), то общее
принимает
вид:
– константы.
Примечание: Сопряженные комплексные корни почти всегда записывают
кратко следующим образом:
Если получаются чисто мнимые сопряженные комплексные корни:
, то
общее
решение
упрощается:
Пример 5
Решить
однородное
дифференциальное
уравнение
второго
Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
– получены сопряженные комплексные корни
Ответ: общее решение:
Пример 6
порядка
Решить
однородное
дифференциальное
уравнение
второго
порядка
Полное решение и ответ в конце урока.
Иногда в заданиях требуется найти частное решение однородного ДУ второго
порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям, то есть, решить
задачу Коши. Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце задачи
добавляется один пункт.
Пример 7
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее
начальным
условиям
,
Решение:
составим
и
решим
характеристическое
уравнение:
,
Получены два различных действительных корня, поэтому общее решение:
Теперь нужно найти частное решение, соответствующее заданным начальным
условиям. Наша задача состоит в том, чтобы найти ТАКИЕ значения
констант
,
чтобы
выполнялись
ОБА
условия.
Алгоритм нахождения частного решения следующий:
Сначала
используем
начальное
условие
:
Согласно начальному условию, получаем первое уравнение:
или просто
Далее берём наше общее решение
Используем
второе
и находим производную:
начальное
условие
:
Согласно второму начальному условию, получаем второе уравнение:
или просто
Составим
и
решим
систему
из
двух
найденных
уравнений:
Допустимо использовать «школьный» метод решения, но в высшей
математике чаще применяют метод почленного сложения/вычитания
уравнений системы.
В составленной системе удобно разделить второе уравнение на 2 и почленно
сложить
уравнения:
Всё, что осталось сделать – подставить найденные значения констант
в
общее
решение
:
Ответ: частное решение:
Проверка
осуществляется
по
следующей
Сначала проверим, выполняется ли начальное условие
– начальное условие выполнено.
схеме:
:
Находим
ответа:
первую
производную
от
– второе начальное условие тоже выполнено.
Находим
Подставим
уравнения
вторую
и
производную:
в левую часть исходного дифференциального
:
, что и требовалось проверить.
Такие образом, частное решение найдено верно.
Пример 8
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее
начальным
условиям
,
.
Выполнить
проверку.
Как видите, особых сложностей с однородными уравнениями нет, главное,
правильно решить квадратное уравнение.
Иногда встречаются нестандартные однородные уравнения, например
уравнение в виде
, где при второй производной есть некоторая
константа , отличная от единицы (и, естественно, отличная от нуля).
Алгоритм решения ничуть не меняется, следует невозмутимо составить
характеристическое уравнение и найти его корни. Если характеристическое
уравнение
будет иметь два различных действительных корня,
например:
, то общее решение запишется по обычной схеме:
.
В ряде случаев из-за опечатки в условии могут получиться «нехорошие» корни,
что-нибудь вроде
так:
С
«плохими»
. Что делать, ответ придется записать
сопряженными
тоже
комплексными
никаких
корнями
наподобие
общее
решение:
проблем,
То есть, общее решение в любом случае существует. Потому что любое
квадратное уравнение имеет два корня.
Решения и ответы:
Пример 2:
Решение:
,
Ответ:
Проверка:
Составим
и
–
характеристическое
различные
общее
Найдем
Подставим
:
решим
уравнение:
действительные
корни
решение:
Найдем
производную:
вторую
производную:
и
в левую часть исходного уравнения
,
таким
образом,
общее
решение
найдено
правильно.
Пример 4:
Решение:
составим
и
решим
характеристическое
уравнение:
Получены
два
кратных
действительных
корня
Ответ: общее решение:
Пример 6:
Решение:
Составим
и
решим
характеристическое
уравнение:
– сопряженные комплексные корни
Ответ: общее решение:
Пример 8:
Решение:
Составим
и
решим
характеристическое
уравнение:
– получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее
решение:
Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
, то есть
, (значение
константы
получилось
сразу
же).
.
То
Составим
Ответ:
Проверка:
есть
и
решим
частное
решение:
– начальное условие выполнено.
–
Подставим
уравнения:
.
систему:
и
второе
начальное
условие
выполнено.
в левую часть исходного
Получена
правая
часть
исходного
Такие образом, задание выполнено верно.
уравнения
(ноль).
Варианты
Варианты
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1.8
1.7
1.5
1.4
1.6
1.3
1.2
1.1
2а
2в
2
3а
3в
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
1.8
1.7
3а
3
5
6
7
8
9.1
9.2
9.3
10.1
10.2
10.3
4
11.1
11.2
12.1
12.2
11.1
11.2
12.1
12.2
12.1
12.2
5
13
14
15
16
17
18
13
14
15
16
6
19.1
19.2
19.3
20.1
20.2
20.3
20.4
20.5
20.6
20.7
п/п
Если Ваш вариант №10, то Вашему варианту соответствуют задания:
2в, 3а, 10.3, 12.2, 16, 20.7
Указания к выполнению контрольных заданий:
1. Каждое контрольное задание должно выполняться в
отдельной тонкой тетради в клетку, чернилами чёрного или синего цвета.
Необходимо оставлять поля для замечаний преподавателя.
2. На титульном листе тетради должны быть чётко написаны фамилия
студента, его инициалы, название дисциплины, номер выполняемого варианта.
Как правило, номер варианта задаётся преподавателем.
3. Решения задач нужно располагать в порядке возрастания их номеров,
обязательно записывая условие каждой задачи.
4. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и
мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.
5. Оформление решения задачи следует завершать словом «Ответ».
6. После получения проверенной преподавателем работы студент должен
в этой же тетради исправить все отмеченные ошибки и недочёты. Вносить
исправления в текст работы после её рецензирования запрещается.
Контрольные задания
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
1. Найти
общее и частное решение дифференциального уравнения с
разделяющимися переменными:
1)
2)
3)
4)
5)
dy dx
  0;
y x

ydx  ctgxdy  0; y ( )  1;
3
dy
dx

;
2
1 y
x
tgx


 0; y  , x  ;
ctgy
6
3
ds
tgtdt 
 0;
s
y '
6)
dy
dx

;
y
x 1
7)
(1  x 2 )dy  2 xydx  0; y  4; x  1;
8)
(1  x 3 )dy  3x 2 ydx; y  2; x  0;
Найти частные решения
разделяющимися переменными:
2.
a) x  3 dy   y  2 dx  0,
b) y   2 y  4  0,
дифференциальных
уравнений
с
уравнений
с
если у  3 при x  2
если у  5 при x  0
Найти частные решения
разделяющимися переменными:
3.
a) 1 x  dy   y 1 dx  0,
b) y   y  4  0,
дифференциальных
если у  3 при x  2
если у  5 при x  0
Найти общее и частное решение дифференциального уравнения с
разделяющимися переменными:
4.
1) 𝑥𝑦 / = 1 + 𝑦 2 ;
2) (𝑥 + 𝑥𝑦)𝑑𝑦 + (𝑦 − 𝑥𝑦)𝑑𝑥 = 0, 𝑦(1) = 1;
3) 𝑦𝑦 / =
1−2𝑥
𝑦
𝑑𝑦
4)
𝑒 −𝑥 (1 +
5)
𝑦 / ∙ 𝑡𝑔𝑥 − 𝑦 = 0.
𝑑𝑥
)=1
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка:
5. Найти общее решение уравнения: 3𝑦 / =
𝑦2
𝑥2
/
𝑦
+ 9 + 9;
6. Найти общее и частное решение: 𝑥𝑦 = 𝑦 +
𝑥
√𝑥 2
+ 𝑦2,
𝑦(1) = 0
7. Найти общее и частное решение: 𝑦𝑑𝑥 + (√𝑥𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦 = 0, 𝑦(1) = 1.
8. Найти общее решение уравнения: 𝑦 / =
𝑦2
𝑥2
− 2.
9. Найти общее решение уравнения:
𝑥
𝑦
1) 𝑦 / = 𝑒 𝑦 + ;
/
𝑥
𝑦
𝑦
𝑥
𝑥
2) 𝑦 = + ;
3) (3𝑦 2 + 3𝑥𝑦 + 𝑥 2 )𝑑𝑥 = (𝑥 2 + 2𝑥𝑦)𝑑𝑦.
10. Найти общее решение уравнения:
1) 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 / = 𝑥𝑦𝑦 / ;
𝑦
2) 𝑥𝑦 / = 𝑦 𝑙𝑛 ;
𝑥
3) 𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 = 𝑦𝑑𝑦.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
11. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения:
1) 2𝑥𝑦𝑑𝑥 + (𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦 = 0, 𝑦(−2) = 4;
2) 𝑦 / = 2𝑦 − 𝑥 + 𝑒 𝑥 ,
𝑦(0) = −1.
12. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения:
1) y / + y ∙ tgx =
1
cosx
2x 2
,
2) y / + 3y = e y ,
y(π) = 5;
y(0) = 1;
Неполные дифференциальные уравнения второго порядка
Решите уравнения:
13. y ,, = 2x;
14. y ,, = cos2x;
−
x
15. y ,, = e 2 ;
16. y ,,, = 5cosx − sin5x;
17.
18. y ,,, = 62x − 5x 2 .
;
Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами
19. Найдите общее решение уравнения:
1. y ,, + 4y , + 3y = 0
2. y ,, + 8y , + 16y = 0
3. y ,, + 9y = 0
20. Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие заданным начальным
условиям:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
y ,, + 3y , + 2y = 0, y = −1, y , = 3 при x = 0
y ,, + 2y , + 5y = 0, y = 1, y , = 1 при x = 0
y ,, − 4√2y , + 6y = 0, y = −3, y , = √2 при x = 0
y ,, + 4y , + 4y = 0, y = 1, y , = −1 при x = 0
y ,, − 10y , + 15y = 0, y = 2, y , = 8 при x = 0
y ,, + 2y , − 8y = 0, y = 4, y , = −4 при x = 0
y ,, − 2y , + y = 0, y = 4, y , = 2 при x = 0