Многочлены и их корни (2)

147343538
1
Многочлены и их корни (2)
Лемма о модуле старшего члена. Если дан многочлен п-й степени (п  1),
f(x) = a0x n + a1x n – 1+ a2x n – 2 ++ an
с
произвольными
комплексными
коэффициентами
и
если
k
–
любое
положительное действительное число, то для достаточно больших по модулю
значений неизвестного х справедливо неравенство
 a0x n  > k  a1x n – 1+ a2x n – 2 ++ an
(1)
то есть модуль старшего члена будет больше модуля суммы всех остальных
членов во сколько угодно раз.
Доказательство.
Пусть
А – наибольший
из
модулей
коэффициентов
a1, a2 an: А = max (a1 , a2   an ). Тогда
a1x n – 1+ a2x n – 2 ++ an  a1x n – 1+ a2x n – 2 ++ an 
 А (x n – 1+ x n – 2 ++ 1) = А (x n – 1)/( x – 1)
При x > 1 выполняется условие (x n – 1)/( x – 1) < x n / (x – 1) , откуда
следует
 a1x n – 1+ a2x n – 2 ++ an < Аx n / (x – 1)
Таким образом, неравенство (1) будет выполняться, если х удовлетворяет
условию x > 1 и неравенству
kАx n / (x – 1) a0x n  = a0x n ,
то есть, если верно неравенство
x   1+ Ak/ a0
(2)
Последнее неравенство – более сильное, чем x > 1, следовательно, при х,
удовлетворяющем (2), неравенство (1) справедливо.
Лемма о возрастании модуля многочлена. Для всякого многочлена f(x) с
комплексными коэффициентами, степень которого не меньше единицы, и всякого
положительного действительного числа М, сколь угодно большого, можно
подобрать такое положительное действительное число N, что при x > N, будет
f(x) > М.
147343538
2
Пусть
f(x) = a0x n + a1x n – 1+ a2x n – 2 ++ an
Очевидна справедливость соотношений
f(x) = a0x n + a1x n – 1+ a2x n – 2 ++ an 
 a0x n  – a1x n – 1+ a2x n – 2 ++ an
(3)
Теперь применим лемму о модуле старшего члена, положив k = 2. По этой лемме
существует такое число N1, что при х > N1, будет справедливо
a0x n  > 2a1x n – 1+ a2x n – 2 ++ an
Отсюда
a1x n – 1+ a2x n – 2 ++ an < a0x n /2
Теперь можно сказать, что из (3) следует, что
f(x) > a0x n  – a0x n /2 = a0x n /2
Правая часть этого неравенства будет больше М при
x  N2  n
2M
a0
Таким образом, при x  N  maxN1 , N 2  будет выполняться f(x) > М.
Лемма Даламбера. Если при х = х0 многочлен f(x) степени п, п  1, не обращается
в нуль, то есть f(x) > 0, то можно найти такое приращение h, в общем случае
комплексное, при котором
f(x0 + h) < f(x0).
Доказательство. Выпишем формулу Тейлора для многочлена f(x) при
произвольном h:
h2
h n n 
f x0  h   f x0   hf x0  
f x0    
f  x0 
2!
n!
По условию х0 не является корнем многочлена f(x). Однако х0 может оказаться
корнем для f (x), а также и для некоторых производных более высокого порядка.
Пусть производная k-го порядка является первой, не имеющей х0 своим корнем,
то есть f(k)(x0)  0, а все производные f(x) более низкого порядка в точке x0 в нуль
147343538
3
обращаются. Такое k существует, так как, если a0 является старшим
коэффициентом многочлена f(x), то f(n)(x0) = n! a0  0. Таким образом,
h k k 
h k 1 k 1
h n n 
 x0     f  x0 
f  x0  h   f  x0  
f  x0  
f
k  1!
k!
n!
Некоторые из чисел f(k + 1)( x0),, f(n – 1)( x0) могут равняться нулю, но это не
существенно.
Поделим обе части последнего равенства на величину f(x0), по условию
отличную от нуля, и введём обозначение
f  j   x0 
cj 
, j  k , k  1, , n
j! f x0 
В результате получится
f  x0  h 
 1  c k h k  c k 1 h k 1    c n h n =
f  x0 
c

c
 1  c k h k  c k h k  k 1 h    n h n  k 
ck
 ck

Переходя к модулям, получим
f  x0  h 
c
c
 1  c k h k  c k h k k 1 h   n h n  k
f  x0 
ck
ck
(4)
Чтобы прийти к нужному результату, будем специально подбирать модуль
и аргумент приращения h.
Так как
c k 1
c
h   n h n  k
ck
ck
представляет собой многочлен без свободного члена, то по лемме о многочлене с
равным нулю свободным членом можно подобрать такое 1, что при h < 1
будет выполняться неравенство
c k 1
c
1
h   n h n  k 
ck
ck
2
С другой стороны, при
(5)
147343538
4
h   2  k ck
1
будет выполняться неравенство
ck h k  1
(6)
Если модуль h выбран по условию
h < min(1, 2),
(7)
то неравенство (4) превращается в строгое неравенство
f  x0  h 
1
 1  ck h k  ck h k
f  x0 
2
(8)
Для выбора аргумента h потребуем, чтобы число ckhk было отрицательным
действительным числом, то есть чтобы
arg(ckhk) = argck + kargh = 
или
argh 
  argc k
k
(9)
Теперь число ckhk будет отличаться от своего модуля знаком:
ckhk = –ckhk
и, используя неравенство (6), можно утверждать, что
1 + ckhk = 1 – ckhk = 1 – ckhk
Таким образом, при выборе h на основании условий (7) и (9) неравенство (8)
принимает вид
f  x0  h 
1
1
 1  ck h k  ck h k  1  ck h k ,
f  x0 
2
2
а отсюда следует
f  x0  h 
f  x0  h 

1
f x0 
f x0 
то есть,
f  x0  h   f  x0  ,
и лемма Даламбера доказана.
147343538
5
Основная теорема алгебры комплексных чисел. Всякий многочлен с любыми
числовыми коэффициентами, степень которого не меньше единицы, имеет
хотя бы один комплексный корень, в общем случае комплексный.
Примем без доказательства теорему из теории функций комплексного
переменного.
Если действительная функция g(x) комплексного переменного х непрерывна
во всех точках замкнутого круга E, то в круге Е существует такая точка х0, что для
всех х из Е имеет место неравенство g(x) > g(x0). Точка х0, следовательно, является
точкой минимума для g(x) в круге Е.
Приведенная теорема имеет простую и понятную геометрическую
интерпретацию.
Доказательство основной теоремы. Рассмотрим многочлен f(x) степени п,
п  1. Очевидно, что f(0) = ап, где ап – свободный член многочлена. Применим к
многочлену лемму о возрастании модуля многочлена, полагая М = f(0) = ап.
По этой лемме существует такое N, что при х  > N будет выполняться
f(х) > f(0). Построим замкнутый круг Е, ограниченный окружностью радиуса
N, с центром в точке 0. К этому кругу применим выше приведенную теорему о
существовании точки минимума. По этой теореме существует в круге Е некоторая
точка х0, которая и является точкой минимума многочлена f(x) в этом круге. Из
этого следует, что f(х0)  f(0).
Можно заключить, что х0 будет точкой минимума для f(х) для всей
комплексной плоскости, так как если точка х1 не принадлежит кругу Е, то
х1 > N, и поэтому f(х1)  f(0)  f(х0). Отсюда следует, что f(х0) = 0, то есть х0
является корнем многочлена f(x). Если бы это условие не выполнялось, то есть
f(х0)  0, то по лемме Даламбера существовала бы такая точка х*, что
f(x*) < f(х0) , но это противоречит только что установленному свойству
точки х0.
Следствия из основной теоремы.
147343538
6
1. Многочлен f(x) п-й степени можно разложить в произведение п линейных
множителей.
Доказательство. Основная теорема позволяет утверждать, что многочлен f(x) с
комплексными
коэффициентами
имеет
корень
1 ,
комплексный
или
действительный. Поэтому многочлен можно представить в виде
f  x    x  1   x 
Многочлен   x  также должен иметь корень, который обозначим  2 , и получим
f  x    x  1  x   2   x 
Продолжая
далее,
придём
окончательно
к
разложению
многочлена
в
произведение линейных множителей
f  x   a0  x  1  x   2   x   n 
(1)
Разложение (1) является для многочлена f(x) единственным с точностью до
порядка сомножителей.
Доказательство. Если бы существовало другое разложение:
f  x   a0  x  1  x   2 x   n  ,
(2)
то было бы верно равенство
a0 x  1  x   2   x   n   a0  x  1 x   2   x   n 
(3)
Тогда должен бы существовать корень  i , отличный от всех корней
 j , j  1,2,  , n . Подставляя этот корень вместо неизвестного в равенство (3), мы
получили бы слева нуль, а справа число, нулю не равное. Отсюда следует
единственность разложения (1).
Чтобы доказать совпадение разложений (1) и (2), нужно доказать, что если
среди корней  i есть s равных  i    , то и среди корней  j содержатся корни,
равные  , причём их ровно s. Если же число этих корней t, причём t > s, то
поделив обе части равенства (3) на x   s , получим из равенства (3) равенство
двух разложений, в правой части которого содержится хотя бы один множитель
x    , а в левой части такого множителя нет. Таким образом, при х =  правая
часть равенства обращается в нуль, а левая в нуль не обращается, что и
147343538
7
доказывает
справедливость
теоремы
(очевиден
способ
доказательства
в
предположении, что t < s).
Объединяя в разложении (1) одинаковые множители
x    ,
это
разложение можно переписать в виде
f x   a0 x  1 k1 x   2 k 2 x   i k i
(4)
Здесь k1  k 2    k i  n . Число ki называется кратностью корня i. Теперь
можно сделать важный вывод: всякий многочлен f(x) степени п, п  1, с любыми
числовыми коэффициентами имеет п корней, если каждый из корней считать
столько раз, какова его кратность.
Теорема. Если многочлены f(x) и g(x), степени которых не превосходят п,
имеют равные значения при более чем п значениях неизвестного, то f(x) = g(x).
Доказательство. Многочлен f(x) – g(x) имеет при наших предположениях более п
корней, но его степень не превосходит п, откуда следует, что f(x) – g(x) = 0.
Доказанная теорема позволяет утверждать, что многочлен, степень которого
не больше п, вполне определяется своими значениями при любых различных
значениях неизвестного, число которых больше п. Также можно утверждать, что
всегда существует многочлен не более чем п-й степени, принимающий наперёд
заданные значения при п + 1 заданных различных значениях неизвестного. Такой
многочлен, принимающий значения c1 ,c2,,cn 1 , при значениях неизвестного,
равных a1 , a , , a n 1, имеет вид
f x  
ci x  a1 x  a 2  x  a n 1 
 a  a 
ai  ai 1 ai  ai 1 ai  a n 1 
1
i 1 i
n 1
Этот многочлен называется интерполяционным многочленом Лагранжа.
Пусть многочлен с действительными коэффициентами
f(x) = a0x n + a1x n – 1+ a2x n – 2 ++ an
имеет комплексный корень , то есть
a0 n + a1 n – 1+ a2 n – 2 ++ an = 0
147343538
8
Это равенство не нарушится, если все числа  заменить сопряженными, то есть
приходим к равенству
a0 n  a1 n 1    a n  0 ,
то есть f    0 .
Таким образом, если комплексное (но не действительное) число  является
корнем многочлена f  x  с действительными коэффициентами, то корнем для
f  x  будет и сопряженное число  .
Многочлен f  x  будет, следовательно, делиться на квадратный трёхчлен
x   x   x     x 2     x   ,
(5)
коэффициенты которого действительны. Пользуясь этим, докажем, что корни  и
 имеют в многочлене f  x  одну и ту же кратность.
Пусть эти корни имеют соответственно кратности k и l и пусть k > l. Тогда
f  x  делится на l-ю степень многочлена   x 
f x   x l qx 
Многочлен q(x), как частное от деления двух многочленов с действительными
коэффициентами, также имеет действительные коэффициенты, но в противоречие
с доказанным выше, он имеет число  своим корнем, тогда как  не является для
него корнем. Отсюда следует, что k = l.
Теперь можно сказать, что комплексные корни любого многочлена с
действительными коэффициентами попарно сопряжены. И далее:
Любой многочлен f  x  с действительными коэффициентами представим,
причём единственным образом (с точностью до порядка сомножителей) в виде
произведения своего старшего коэффициента а0 и нескольких многочленов с
действительными коэффициентами, линейных вида х – , соответствующих его
действительным корням, и квадратных вида (5), соответствующих парам
сопряженных комплексных корней.