Document 397651

Производная функции.
y
y  f (a )  lim
- производная функции y  f (x) в точке x  a .
x  0 x
y  f (a  x)  f (a) - приращение функции y  f (x) в точке x  a .
f ( x0 )  tg - тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции y  f (x) в точке
те
Каса
Y
y0
я
льна
x  x0 - (геометрический смысл производной)
Уравнение касательной: y  y0  f ( x0 )( x  x0 )
1
( x  x0 )
Уравнение нормали: y  y0  
f ( x0 )
Основные правила дифференцирования.
1. С   0, (C  const ) 2. (C  U )   C  U 
3. (U  V )   U   V 
4. (U V )  U  V  V  U
ал ь
Но рм
y  f (x)

5.  U  U V  V U
  
V2
V 
х0
O
X
Производная сложной функции.
Если y  f (u ) , u   (x) ,то y x  y  u u x .
Таблица производных.


1
1
1

n
n 1
1. ( x )  nx ; 1а). ( x ) 
; 1б).     2 ; 2. a x  a x ln a ;
x
2 x
 x
1



 1
2а). e x  e x ; 3. (log a x) 
; 3а). ln x   ; 4. sin x   cos x ; 5. cos x    sin x ;
x ln a
x
1
1
tgx  2 ; 7. ctgx   2 ; 8. arcsin x   1 2 ; 9. arccos x    1 2 ;
cos x
sin x
1 x
1 x
 
 

10. arctgx 
1
1

; 11. arcctgx   
2
1 x
1 x2
Приближенное вычисление значений функции. f ( x0  x)  f ( x0 )  f ( x0 )x .
Механический смысл первой и второй производных состоит в том, что скорость тела в момент
времени t равна x(t ) , а ускорение тела равно x(t ) , где x(t ) - путь, пройденный телом к моменту
времени t .
Физический смысл производной: производная характеризует скорость изменения одной физической
величины по отношению к другой, считающейся независимой переменной.
x
Средняя скорость тела за промежуток времени t0 ; t0  t  равна vcp 
.
t
Мгновенная скорость v(t0 ) , в момент времени t 0 есть предел, к которому стремится его средняя
скорость в промежуток времени t0 ; t0  t  , при t  0 : v(t0 )  lim vcp  x(t0 )
t  0
Дифференцирование неявных функций. Необходимо продифференцировать уравнение
F ( x; y )  0 по x , рассматривая при этом y как функцию x , и полученное затем уравнение разрешить
относительно y .Производная неявной функции выражается через аргумент x и функцию y .
Логарифмическое дифференцирование. Для нахождения производной первого порядка
степенно-показательной функции y  (u ( x))v ( x ) заданную функцию сначала логарифмируют, а , затем,

u( x) 
результат дифференцируют y  (u ( x))v ( x ) v( x) ln u ( x)  v( x)
.
u ( x) 

Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка.
Производная функции, заданной параметрически.
 x  x(t ),
y
  t   ,t - параметр; y x  t .

xt
 y  y (t ),
y x   y  x 
Вторая производная функции, заданной параметрически: y   t t 3 t t .
xt 
Возрастание и убывание функций.
Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции необходимо:
 Найти производную f'(x), затем найти все значения х, при которых f'(x)=0, то есть
критические точки.
 Обозначить на числовой оси точки разрыва и критические точки, тогда область определения
функции будет разбита на несколько интервалов.
 В каждом интервале выбрать произвольное значение х и найти знак f'(x) в выбранной точке.
Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна, то убывает
Схема исследования функции на локальный экстремум.
1.Найти производную.
2.Найти критические точки функции, в которых производная или не существует или равна нулю.
3.Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о
наличии экстремумов функции.
4.Найти экстремумы функции.
Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба
1.
Найти вторую производную функции.
2.
Найти точки, в которых вторая производная или не существует или равна нулю.
3.
Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об
интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.
4.
Найти значения функции в точках перегиба.
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке необходимо:
 Найти производную f'(x), затем найти все значения х, при которых f'(x)=0, то есть
критические точки.
 Вычислить значения функции в критических точках, входящих в отрезок и на концах отрезка
 Сравнить полученные значения
Общая схема исследования функций и построение их графиков
При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется использовать
следующую схему:
1.
Найти область определения функции.
2.
Исследовать функцию на четность – нечетность.
3.
Найти точки пересечения графика функции с осями координат , т.е. решить
соответственно уравнения
и
.
4.
Найти вертикальные асимптоты.
5.
Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные
асимптоты.
6.
Найти критические точки.
7.
Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
8.
Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
9.
Построить график функции.