Домашнее задание 62013-09

Рассмотрим следующую игру:
s1
s2
t1
1;-1
6;-6
t2
3;-3
0;0
t3
0;0
9;-9
t4
4;-4
-3;3
1. Найдите все равновесия Нэша в чистых стратегиях.
2. Найдите все равновесия Нэша, в которых первый игрок играет чистую
стратегию, а второй игрок смешивает стратегии.
Далее считаем, что первый игрок играет смешанную стратегию αs1+(1-α)s2, где
0 < α < 1.
3. Для каждой чистой стратегии второго игрока определите его ожидаемые
выигрыши при использовании этой стратегии (напомним, что первый игрок играет
стратегию αs1+(1-α)s2).
4. Постройте «стакан». Для каждого значения α, 0 < α < 1, определите наилучший
ответ второго игрока на стратегию первого αs1+(1-α)s2. При каких α второму игроку
имеет смысл смешивать стратегии?
5. Рассмотрим случай тех α, для которых оптимальный ответ второго игрока может
быть только чистой стратегией (обозначим оптимальный ответ второго через
BR2(α); здесь BR – сокращение от Best Response (наилучший ответ)). Проверьте,
является ли стратегия αs1+(1-α)s2 оптимальным ответом первого игрока на
стратегию BR2(α) второго. Найдите все равновесия Нэша, соответствующие этому
случаю.
6. Рассмотрим случай тех α, для которых второму игроку может быть выгодно
смешивать стратегии. В общем случае смешанная стратегия второго игрока имеет
вид β1t1+β2t2+β3t3+β4t4, где 0 ≤ β1, β2, β3, β4 ≤ 1. Используя соображение о том, что
раз первый игрок смешивает стратегии s1 и s2, то эти две чистые стратегии
приносят ему одинаковый ожидаемый выигрыш, определите коэффициенты β1, β2,
β3, β4. Является ли стратегия αs1+(1-α)s2 оптимальным ответом первого игрока на
стратегию β1t1+β2t2+β3t3+β4t4 второго? Найдите все равновесия Нэша,
соответствующие этому случаю.
7. Выпишите все равновесия Нэша в смешанных стратегиях в этой игре.