V. Формулы сокращенного умножения (п. 31 – 38)

V. Формулы сокращенного умножения (п. 31 – 38)
Базовые знания и умения:
- знать все формулы сокращенного умножения;
- уметь применять формулы сокращенного умножения при преобразовании целых
выражений;
- уметь применять различные способы для разложения многочлена на множители.
Теоретический материал.
1. Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого выражения, плюс
удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат
второго выражения:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения,
минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат
второго выражения:
(a - b)² = a² – 2ab + b²
3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих
выражений и их суммы:
a² – b² = (a – b)(a + b)
4. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений
и неполного квадрата их разности:
a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
5. Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих
выражений и неполного квадрата их суммы:
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
Примеры решения заданий.
1. Преобразовать в многочлен:
а)
;
б)
;
в) ( a + 7 ) ( a – 7 );
г) ( 8m + 3y ) ( 3y – 8m );
д)
;
е)
.
Решение:
а)
= - 2·х·4 + = – 8х + 16;
б)
=
+ 2·5m·5n +
= 25
+ 50mn + 25 ;
в) ( a + 7 ) ( a – 7 ) = = – 49;
г) ( 8m + 3y ) ( 3y – 8m ) =
= 9 - 64
;
д)
=
- 2· ·2x +
=
-4 x+4 ;
е)
=
+2·
·
+
= 4 + 20
+ 25
.
2. Разложить на множители:
а) – 100;
б) 9 - 64 ;
в)
+ 10a + 25 ;
г) 7 – 28 ;
д) – 3 + 48ху - 192 ;
е) 64 - .
Решение:
+
а) – 100 = ( х – 10 ) ( х + 10 );
б) 9 - 64 = ( 3х – 8у ) ( 3х + 8у );
в)
+ 10a + 25 =
+ 2 · a ·5 + =
;
г) 7 – 28 = 7· ( – 4 ) = 7( х – 2 ) ( х + 2 ) ;
д) – 3 + 48ху - 192 = -3·( – 16ху + 64 ) = -3
;
е) 64 - =
- = ( 4у – х ) ( 16 + 4ху + ).
3. Упростить выражение:
а)
–(а–2)(а+2);
б) ( 2mn – 1 ) ( 2mn + 1 ) ( 4
+ 1 ) ( 16
+ 1 );
в) ( – 3 ) ( + 3 ) .
Решение:
а)
–(а–2)(а+2)=
+ 12а + 36 – (
–4)=
+ 12а + 36 –
12а + 40;
б) ( 2mn – 1 ) ( 2mn + 1 ) ( 4
+ 1 ) ( 16
+1)=(4
–1)(4
( 16
+ 1 ) = ( 16
- 1 ) ( 16
+ 1 ) = 256
– 1;
в) ( – 3 ) ( + 3 ) =
– 9 – ( – 8 + 16 ) = – 9 – + 8
= 8 – 25.
4. Решить уравнение:
а) 3х ( 5 + 12х ) – ( 6х – 1 ) ( 6х + 1 ) = 2,5х;
б) ( х – 2 ) ( х + 2 ) = 3
– 2х ( х + 5 );
в) – 81 = 0;
г) 25 + 36 = 0.
Решение:
а) 3х ( 5 + 12х ) – ( 6х – 1 ) ( 6х + 1 ) = 2,5х;
15х + 36 – ( 36 – 1 ) = 2,5х;
15х + 36 – 36 + 1 = 2,5х;
15х + 1 = 2,5х;
15х – 2,5х = -1;
12,5х = -1;
х = - 1: 12,5;
х = - 0,08.
Ответ: - 0,08.
б) ( х – 2 ) ( х + 2 ) = 3
– 2х ( х + 5 );
– 4 = 3 ( + 8х + 16 ) - 2 – 10х;
– 4 = 3 + 24х + 48 - 2 – 10х;
- 3 - 24х + 2 + 10х = 48 + 4;
- 14х = 52;
х = 52 : ( - 14 );
х=-3
+4=
+1)
- 16 =
Ответ: - 3 .
в)
– 81 = 0;
( х – 9 ) ( х + 9 ) = 0;
х – 9 = 0 или х + 9 = 0 ;
х=9
х = - 9.
Ответ: - 9; 9.
г) 25 + 36 = 0;
25 = - 36;
=- .
Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому данное уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет.
Решите самостоятельно.
Задания обязательного уровня.
1. Преобразовать в многочлен:
а)
;
б)
$
в) ( 5 – а ) ( 5 + а );
г) ( 7х + 10у ) ( 10у – 7х );
д)
;
е) (
-9 z)(
+ 9 z ).
2. Разложить на множители:
а) 100 - 9 ;
б) 16
- 25 ;
в) 4 + 20а3b + 25 ;
г) 49 у - ;
д) – 6
+ 12mn - 6 $
е)
-8 .
3. Упростить выражение:
– ( х – 4 ) ( х + 4 ) + ( х – 3 ) ( х + 7 ).
Задания повышенного уровня.
4.Упростить выражение:
( 1 – а ) ( 1 + а ) ( 1 + ) – ( а + 3 ) ( - 3а + 9 ).
5. Решить уравнение:
4
– 27 = ( 4у + 9 ) ( 4у - 9 ) + 2 ( 5у + 2 ) ( 2у – 7 ) .
6. Разложить на множители:
а) а + b + - ;
б) 9 – 6аb +
– 16;
в)
- -х +х;
г) b - а – ас + аb + bc – c .
7. Доказать, что выражение – 14х + 51 принимает положительные значения при
всех значениях х .