исследование алгоритмов вторичной обработки

Волкова Г.А.
ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ ВТОРИЧНОЙ
ОБРАБОТКИ РАДИОЛОКАЦИОННОЙ
ИНФОРМАЦИИ
Учебное пособие к лабораторной работе
ВТОРИЧНАЯ ОБРАБОТКА
РАДИОЛОКАЦИОННОЙ ИНФОРМАЦИИ.
Введение
Обработку радиолокационной информации делят на первичную и
вторичную. Устройство первичной обработки решает задачи обнаружения и
измерения координат (дальности, азимута и угла места) мгновенного
положения цели относительно РЛС в каждом периоде обзора.
Координаты мгновенного положения как истинных, так и ложных
целей в цифровом виде поступают в устройство вторичной обработки, в
котором на их основе определяется местоположение каждой обнаруженной
цели в избранной системе координат, в результате чего формируются
отметки х, которые могут быть истинными и ложными. Отметка –
совокупность кодов дальности, азимута и угла места в определенный
дискретный момент времени.
Одна отметка, полученная в каком-либо обзоре, не позволяет принять
решение о наличии цели в зоне обзора, так как могла быть ложной, по ней
нельзя судить о траектории движения цели.
В устройстве вторичной обработки на основе отметок x1 , x2 ,..., xn ,
полученных в n соседних обзорах, решаются следующие основные задачи:
-обнаружение траекторий целей,
-сопровождение траекторий целей,
-траекторные расчеты в интересах потребителей радиолокационной
информации.
Эти задачи включают в себя оценивание параметров траектории,
задаваемой
обычно
векторной
функцией,
расчет
сглаженных
(интерполированных) и упрежденных (экстраполированных) координат, а
также операцию стробирования отметок целей. Вторичная обработка
информации осуществляется автоматически, с помощью ЦВМ.
Рассмотрим один из способов автозахвата траектории цели на примере
двухкоординатной РЛС. Пусть с устройства первичной обработки переданы
координаты обнаруженной цели и сформирована отметка x1, не
принадлежащая ни одной из ранее сопровождаемых траекторий. Эту отметку
принимают за начальную отметку траектории цели. Поскольку РЛС
предназначена для сопровождения объектов определенного класса
(например, самолетов), то известны минимальная Vmin и максимальная Vmаx
скорости цели. Поэтому можно выделить область S2 в виде кольца с центром
в первой отметке и с радиусами Rmin=VminTобз и Rmаx=VmаxTобз , в пределах
которой может находиться цель в следующем обзоре, см.рис.1. Операция
формирования области называется стробированием, а сама область стробом.
Если в строб S2 во втором обзоре попадает отметка x2, то происходит
завязка траектории, причем, если таких отметок несколько, то каждую из них
рассматривают как возможное продолжение траектории. Если в строб не
попадает ни одной отметки, то происходит сброс. Критерий завязки
траектории в этом случае "2/2".
По двум отметкам можно определить направление движения и
среднюю скорость цели VСР 
x2  x1
, затем рассчитать возможное положение
Tобз
отметки в очередном (третьем) обзоре. Определение положения отметки в
следующем обзоре называется экстраполяцией.
На этапе автозахвата траектории принимается простейшая гипотеза о
прямолинейном и равномерном движении цели. Экстраполированные
значения координат вычисляются по формуле :


x x
xэi   xi 1  i 1 i 2 Tобз   2 xi 1  xi 2
Tобз


.
Вокруг экстраполированной отметки образуется круговой строб S3,
размеры которого определяются погрешностями измерения положения
отметки цели σ X и погрешностями расчета положения экстраполированной
i
отметки σ X Э i :
   σ 
xстр  2 σ X
2
2
X эi
i
Факт попадания очередной получаемой отметки в строб проверяется
путем сравнения разности координат полученной xi и экстраполированной xэi
отметок с размерами полустроба:
xi  xэi 
xстр
2
.
Если в строб S3 в третьем обзоре попала одна отметка, она считается
принадлежащей обнаруживаемой траектории. Процесс продолжается. Если
ни одной отметки не попадает в строб, то траектория продолжается по
экстраполированной отметке, но размеры строба увеличиваются.
При обнаружении траектории маневрирующего объекта размеры
стробов должны рассчитываться с учетом возможного маневра. Размер
строба
непосредственно влияет на показатели качества обнаружения
траектории. Его увеличение приводит к увеличению числа ложных отметок в
стробе, в результате возрастает вероятность ложного обнаружения FАЗ.
Уменьшение размера строба может привести к непопаданию истинной
отметки в строб, при этом снижается вероятность правильного обнаружения
DАЗ.
При гауссовском распределении погрешностей измерения координат и
ошибок экстраполяции для обеспечения заданной вероятности попадания
отметки в строб его форма должна совпадать с эллипсом ошибок; при
обнаружении траектории в пространстве строб — эллипсоид ошибок. Однако
формирование таких стробов сопряжено с большими вычислительными
затратами, и на практике ограничиваются формированием стробов такой
формы, которая удобна для вычислений в принятой системе координат. При
этом образуемый строб должен охватывать эллипс (эллипсоид) ошибок.
К устройству
сопровождения
Xi
,s
x
Vmin , Vmax
Стробирование и
селекция
новых
отметок
Сглаживание параметров
траектории
Экстраполяция
координат
«Сброс»
Проверка
критерия
завязки
траектории
Проверка
критерия
подтверждения
траектории
s
x
Число
пропусков
отметок
Вычисление размеров
строба на
(n+1)-й обзор
Траектория считается обнаруженной, если выполняется критерий
обнаружения. Структурная схема алгоритма автозахвата траектории
представлена на рис.2, жирными стрелками показаны линии связи, по
которым передается информация в виде кодов, по остальным линиям связи
передаются «нули» и «единицы», соответствующие отсутствию и наличию
отметки в стробе в i-м обзоре.
Обнаружение (автозахват) траекторий.
Процесс обнаружения (автозахвата) траектории является по существу
процессом проверки гипотезы Н1 о том, что совокупность полученных в
соседних обзорах отметок x1 , x2 ,..., xn является траекторией цели, относительно
гипотезы Н0, что все эти отметки возникли в результате ложной тревоги.
При автозахвате траекторий используются критерии НейманаПирсона, Байеса и Вальда. Алгоритм автозахвата может быть получен
методом отношения правдоподобия. Например, при использовании критерия
Байеса оптимальная процедура автозахвата сводится к формированию
отношения правдоподобия Λ и сравнению его с порогом Λ0:
x1 , x2 ,..., xn  
где
w ( x1 , x2 ,..., xn | H 1)
w ( x1 , x2 ,..., xn | H 2)
 0 
P0C01
P1C10
w ( x1 , x2 ,..., xn | H 1) и w ( x1 , x2 ,..., xn | H 0) - совместные плотности
распре-деления отметок x1 , x2 ,..., xn при условии, что справедливы гипотезы
Н1 и Н0 соответственно.
P0 и P1 - априорные вероятности отсутствия и наличия траектории
соответ-ственно,
С01 и С10 - стоимости ошибок : ложного захвата траектории и пропуска
траекто-рии соответственно.
Стоимости правильных решений приняты равными нулю. При этом
минимизируется величина среднего риска rср  P0C01FАЗ  P1C10 (1  DАЗ ) , где FАЗ и
DАЗ - вероятности ложного автозахвата и правильного автозахвата
траектории цели соответственно.
Большие выигрыши во времени автозахвата получаются при
использовании последовательного анализа (критерия Вальда) , когда
отношение правдоподобия формируется по мере поступления каждой i-й
1  DАЗ
DАЗ
отметки и сравнивается с двумя порогами :  Н 
и В 
:
1  FАЗ
FАЗ


(1  DАЗ ) /(1  FАЗ ) ( x1 , x2 ,..., xi ) DАЗ / FАЗ .


При превышении верхнего порога выносится решение d1 - траектория
обнаружена; если  меньше нижнего порога, то выносится решение d0 траектория не обнаружена. Если же
(1  DАЗ ) /(1  FАЗ )  ( x1 , x2 ,..., xi )  DАЗ / FАЗ ,
то принимается решение dп о продолжении испытаний: производится
(i+1)-й обзор, и описанная процедура повторяется. При этом решение в
среднем принимается менее, чем за n обзоров.
Обозначим через { δi , i=l, 2, ...} последовательность нулей и единиц,
соответствующих отсутствию или наличию отметок в стробах, формируемых
в процессе обнаружения траектории:
при наличии отметки в стробе на i-м шаге ;
в противном случае.
1
0
δi = 
Отношение правдоподобия на k-м обзоре
к
к 
Pδ1 , δ 2 ,.., δ K | θ  1

Pδ1 , δ 2 ,.., δ K | θ  0
δ
1 δ




p
q
 1i 1i
i
i
i 1
к
δ
1 δ
  p0i  q0i 
i
i
,
i 1
путем логарифмирования упрощается:

 p1i 
 q0 i  


ln  к    δ i  ln 
 δ i  1  ln   .

i 1 
 p0i 
 q1i 
к
Тогда алгоритм обнаружения траектории при использовании критерия
Вальда
d0
d1
 1  DАЗ   
 p1i 
 q0i    DАЗ 







ln 
 δi  1  ln   ln 
δi  ln 



 1  FАЗ  d i 1 
 p0i 
 q1i  d  FАЗ 
П
П
K
 p1i 
 , если δi =1 и
сводится к добавлению к сумме "веса" ln 
p
 0i 
 q0i 
 , если δi = 0 , и сравнению суммы в порогами lnΛН
ln
вычитанию "веса" 
q
 1i 
и lnΛВ .
При этом выигрыш по сравнению с обнаружителем Неймана-Пирсона
составляют во времени обнаружения истинной траектории приблизительно
ln 1  DАЗ 
e

еАЗ=DАЗ, а во времени обнаружения ложной траектории лз
ln FАЗ  .
Однако, для упрощения устройств обнаружения траекторий
используют неоптимальные алгоритмы, например, k/m. Так, при
использовании критерия «4/5» для обнаружения траектории необходимо,
чтобы после завязки траектории по критерию «2/2» еще хотя бы 2 отметки в
трех последующих обзорах попали в строб (критерий подтверждения
траектории "2 из 3"). Обнаруженная траектория передается на
сопровождение. Если подтверждения не происходит, траектория
сбрасывается.
Эффективность алгоритмов автозахвата характеризуется :
-вероятностью обнаружения истинной траектории DАЗ;
-вероятностью обнаружения ложной траектории FАЗ;
-средним временем автозахвата истинной траектории TСРАЗ;
-средним временем автозахвата ложной траектории ТСРЛЗ.
Для расчета этих характеристик используется аппарат цепей Маркова.
Применим математический аппарат цепей Маркова к анализу
устройства (автомата) захвата, работающего по следующему алгоритму:
завязка траектории производится по критерию "2/2", а обнаружение
фиксируется, если отметка попадает в строб хотя бы в одном из трех
следующих обзоров после завязки траектории (критерий подтверждения
"1/3"). Таким образом, критерий обнаружения траектории может быть назван
"2+1 из 5", т.е. "3 из 5".
Считаем, что на вход устройства захвата в очередном обзоре поступает
"единица", если отметка цели попадает в экстраполированный строб, и
"нуль", если отметка не попадает в этот строб.
Возможные комбинации "нулей" и "единиц" в течение m циклов обзора
определяют состояния автомата. Составим таблицу состояний автомата
захвата для критерия "3 из 5":
№ состояния
1
2
3
4
5
комбинации "0" и "1"
11
110
111,1101,11001
1100
11000
характерные состояния
-завязка траектории
-автозахват
-сброс траектории
По таблице состояний строится граф, см. рис. 3. В узлах графа указаны
состояния автомата. Над ребрами графа указаны вероятности перехода из
состояния в состояние, причем принято, что попадание отметки в строб
(появление "единицы" на входе автомата) происходит с вероятностью р , а
отсутствие ее в стробе (появление "нуля" на входе автомата) - с
вероятностью q.
Переход системы из состояния в состояние зависит :
-от того, в каком состоянии находится автомат в данный момент,
-от текущего входного воздействия ("единица" или "нуль" на входе).
Следовательно, состояния автомата образуют простую цепь Маркова.
Вектор начальных состояний (в нашем случае - после второго обзора,
чем и определяется индекс) -
P(2)  ( p 2 0 0 0 1  p 2 )
показывает, что с вероятностью p 2 произошла завязка траектории по
критерию "2/2", с вероятностью 1  p 2 завязка траектории отсутствовала, что
соответствует сбросу траектории, а остальные состояния автомата к началу
третьего обзора невозможны.
q
2
q
4
p
1
p
3
p
1
q
5
1
Матрица вероятностей переходов легко составляется на основе графа :
0

0
П  0

0
0

q
0
0
0
0
p
p
1
p
0
0
q
0
0
0
0

0
0 ,

q
1 
где номер строки соответствует номеру состояния, из которого
переходит автомат, а номер столбца показывает, в которое состояние
переходит автомат.
Можно определить векторы состояний автомата в 3,4 и 5 обзорах :
P (3)  P (2)  П ,
P(4)  P(3)  П  P(2)  П 2 и т.д.
Рассчитанные векторы состояний для 3,4 и 5 обзоров имеют вид :
P(3)  0 p 2  q p 3 0 1  p 2 ,

P(4)  0 0

P(5)  0 0
p 3  (1  q)

p2  q2 1 p2 ,

p 3  p 3  q  (1  q) 0 1  p 2 (q 3  1) .
Сумма вероятностей по строке при этом равна единице.
Третий элемент вектора состояний дает значение вероятности
автозахвата траектории за соответствующее число циклов обзора:
PАЗ 3  p 3 ,
PАЗ  4  p 3  p 3q ,
PАЗ 5  p 3  p 3q(1  q) .
Поскольку р есть вероятность попадания отметки в строб, то по своему
физическому смыслу
р
соответствует вероятности правильного
обнаружения цели в стробе автозахвата Dстр , а q = 1- Dстр. На рис.4а
построена зависимость вероятности автозахвата от номера обзора при разных
вероятностях правильного обнаружения в стробе Dстр . Видно, что с
увеличением номера обзора вероятность автозахвата DАЗ возрастает, причем
DАЗ тем больше, чем больше Dстр .
Вероятность ложного автозахвата определяется тем же соотношением,
с той лишь разницей, что р есть вероятность ложной тревоги в стробе
автозахвата Fстр , а q = 1- Fстр.
Зависимости вероятности ложного автозахвата от номера обзора при
разных вероятностях ложной тревоги в стробе приведены на рис.4б.
Вероятности Dстр и Fстр вычисляются по формулам:
Dстр =D ; Fстр =MF,
где D и F - вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги в
элементе разрешения при первичной обработке, М - число элементов
разрешения в стробе.
DАЗ(n) при Dстр=0,8
FАЗ(n) при Fстр= 102
DАЗ(n) при Dстр=0,9
FАЗ(n) при Fстр= 10 1
рис .4,а
рис .4,б
Рассмотренный выше метод определения характеристик качества
работы устройства автозахвата с использованием математического аппарата
цепей Маркова является строгим аналитическим методом. Однако,
недостатком этого метода является громоздкость вычислений при
использовании более сложных критериев. Так, например, увеличение n
приводит к повышению порядка матриц, и операции с ними становятся
затруднительными. В этом случае для возведения матриц в степень и
выполнения других операций необходимо использовать ЭВМ. Поэтому ниже
предлагается упрощенная методика вычисления характеристик качества
автозахвата, позволяющая с помощью графических построений рассмотреть
процесс автозахвата на плоскости случайных блужданий.
Процесс автозахвата будем рассматривать в тех же предположениях,
т.е. за начало автозахвата принимается наличие двух единиц подряд.
Появление нулей и единиц на следующих шагах (циклах обзора) должно
привести либо к пересечению верхнего порога "автозахват", либо нижнего
порога "сброс". Между моментами появления комбинации "11" и
пересечением верхнего или нижнего порога процесс переходит на каждом
шаге в то или иное состояние. Поскольку появление на входе устройства
нулей и единиц носит случайный характер, процесс перехода устройства из
одного состояния в другое эквивалентен случайным "блужданиям". При этом
плоскость, на которой происходят блуждания, принято называть "плоскостью
случайных блужданий".
Траекторию блуждания процесса на плоскости можно рассматривать
как движение (блуждание) некоторой точки, которую обычно называют
"изображающей" точкой. Таким образом, весь процесс автозахвата можно
представить графически. При этом расчет характеристик качества работы
устройства автозахвата значительно упрощается и составления матриц в этом
случае не требуется.
На рис.5 изображен график случайных блужданий для критерия "3 из
6". По оси ординат отложены номера шагов (циклов обзора), а по оси абсцисс
- число нулей в имеющейся комбинации.
3
110001 p q
6
3
110000
2
Область
11001
"автозахват" p3 q 2
5
4
pq
11000
2
3
pq
1101
№ шага
4
1100
2 2
3
pq
111
3
110
3
2
р
11
2
pq
pq
Область
"сброс"
10
pq
р
2
1
0
0
1
2
3
4
5
Число нулей в комбинации
Движение изображающей точки начинается с момента появления двух
единиц подряд, вероятность этого состояния р2. Стрелками указываются
возможные направления перемещения изображающей точки, т.е. переходы из
одного состояния в другое. Переходы в направлении вверх по вертикали
происходят с вероятностью р, а по диагонали вправо и вверх - с
вероятностью q. В предположении, что отдельные состояния независимы,
вычисляются вероятности нахождения точки в каждом из состояний.
Случайные блуждания этой точки происходят дискретно внутри области
"неопределенность" до тех пор, пока точка не окажется либо на верхней
пунктирной линии (состояние "автозахват"), либо на нижней (состояние
"сброс"), после чего движение изображающей точки прекращается. Видно,
что автозахват может произойти на третьем, на четвертом, на пятом и на
шестом шаге, при этом оказываются вычисленными вероятности автозахвата
на 3-м шаге (цикле обзора) PАЗ 3  p 3 , на 4-м шаге PАЗ 4  p 3  q , на 5-м шаге
PАЗ 5  p 3  q 2 и на 6-м шаге PАЗ 6  p 3  q 3 .
Вычисленные вероятности автозахвата на конкретном шаге позволяют
определить, путем суммирования, вероятности автозахвата за конечное число
шагов. Нетрудно убедиться, что при использовании критерия "3 из 6"
3
вероятность автозахвата за 3 шага (цикла обзора) PАЗ 3  p ; за четыре шага
PАЗ  4  p 3  p 3  q , за пять шагов PАЗ 5  p 3  p 3  q  p 3  q 2 и, наконец, за шесть
шагов PАЗ  6  p 3  p 3  q  p 3  q 2  p 3  q 3 .
Для расчета вероятности правильного автозахвата Dаз как функции
числа шагов по-прежнему считаем p= Dстр , q=1 - Dстр , а для расчета
вероятности ложного автозахвата FАЗ принимаем p= Fстр , q=1 - Fстр
(используя те же соотношения).
Для расчета среднего времени автозахвата воспользуемся известной
формулой математического ожидания:
Tср   Pl  l ,
l
где вероятности Pl (на конкретном l-м шаге) должны удовлетворять
условию нормировки :
 P  1,
l
l
т.е. соответствовать полной группе событий.
Легко убедиться в том, что события "автозахват произведен на l-м
цикле обзора" при l от k до m для любого критерия вида "k из m" не образуют
полной группы. Поэтому для вычисления Т необходимо произвести
нормировку. Для критерия автозахвата "k из m" нормировка осуществляется
следующим образом :
Pl 
PАЗ l
m
P
l k
АЗ l
Тогда для критерия "3 из 6" среднее время автозахвата вычисляется по
формуле:

 P
АЗ l
Tср    6

l 3
  PАЗ l
 l 3
6
6
где
P
l 3
АЗ l


3
3
3
2
3
3
l  p 3  p  q  4  p  q 5  p  q 6
6
,

P


АЗ l
l 3

 p3  p3  q  p3  q 2  p3  q3 .
Для расчета среднего времени правильного автозахвата TСРАЗ
подставляем p= Dстр ,
q=1 - DСТР , а при расчете среднего времени ложного автозахвата TСРЛЗ
:
p= Fстр, q=1 - Fстр .
Результаты расчета вероятностей правильного и ложного обнаружения
траектории, а также среднего времени автозахвата по предлагаемой методике
с использованием "плоскости случайных блужданий" полностью совпадают с
расчетом, основанным на применении аппарата дискретных цепей Маркова.
Сопровождение траекторий.
Сопровождение траекторий состоит в непрерывной привязке вновь
получаемых в очередном обзоре отметок к соответствующим траекториям,
сглаживании координат и оценивании параметров траектории движения
цели. Структурная схема алгоритма сопровождения траектории представлена
на рис.8.
Алгоритм оценивания
параметров
траектории и сглаживания координат
Информация
потребителям
Признак маневра
X , sx
Стробирование
и селекция
новых отметок
Проверка
критерия
сброса
траектории
Сброс
сопровождения
Оценивание
параметров
траектории
Признак
маневра
Число
пропусков
отметок
Экстраполяция
координат
Вычисление
размеров
строба на
(n+1) обзор
sx
Признак
маневра
Пусть в результате сопровождения селектированы отметки x1 , x2 ,..., xn .
На основе этих отметок, полученных с ошибками, необходимо вырабатывать
непрерывные данные о траектории (сглаживание или интерполяция), а также
определить параметры траектории с возможно меньшей ошибкой.
Обычно траектория цели задается полиномом -й степени
(сглаживающая функция) для каждой из координат (дальности, азимута и
угла места). Например, для координаты дальности:
r (t )  θ 0  θ1  t  θ 2  t 2  ...  θ ν  t ν ,
степень которого зависит от маневренности цели. Коэффициенты полинома
θ  θ 0 , θ1 , θ 2 ,..., θ ν  , имеющие смысл дальности r0, скорости Vr , ускорения ar
и т.д. подлежат оценке.
Оценка параметров траектории может быть произведена методом
максимума функции правдоподобия, при этом роль помехи играют ошибки
измерения координат, распределенные нормально с нулевым средним
значением.
Функция правдоподобия отселектированных отметок x1 , x2 ,..., xn
опре-деляется
n-мерной
гауссовской
плотностью
вероятностей

L( θ )  wx1 , x2 ,..., xn  .

Логарифмируя L( θ ) и определяя частную производную по каждой из
оцениваемой величин θ 0 , θ1 , θ 2 ,..., θ ν , составляется система уравнений
правдоподобия:
 
 L( θ )  0
 θ 0

 ......

 L( θ )

0
 θ v
решая каждое из которых получаем алгоритмы оценивания в виде:
^
θ i  f ( x1 , x2 ,..., xn ) ,
Конкретные алгоритмы оценивания параметров траектории,
описываемой полиномом первой степени (ν=1), полученные методом
максимума функции правдоподобия для частного случая, когда в соседних
обзорах помеха не коррелирована и дисперсии ошибок в соседних n обзорах
постоянны для координаты дальности, имеют вид:
n
6i  4  4 n
r 0  
 ri   ri  ηr0 (i ) ,
n
(
n

1
)
i 1
i 1
n
^
1 n 12  i  6  6  n
1 n
Vr 

 ri 
  ri  ηVr (i) ,
2
Tобз i 1 n(n  1)
Tобз i 1
^
где ηr0 и ηVr - весовые функции оценки соответствующего параметра, n число используемых обзоров.
^
^
Если n=2 , т. е. оценки r 0 и V r производятся по результатам
измерения дальности r1 и r2 в первом и втором обзорах соответственно, то
^
r 0  r1 ,
^
Vr 
r2  r1
Tобз .
^
^
Алгоритмы оценивания сглаженной
координат имеют вид:
r сгл и экстраполированной r э
n
6i  2  2 n

 ri   ri  ηrсгл (i ) ,
n
(
n

1
)
i 1
i 1
n
^
r сгл
n
6i  4  2 n
rэ  
 ri   ri  ηrЭ (i ) .
n
(
n

1
)
i 1
i 1
n
^
Соответственно для n=2
^
r сгл  r2
^
r э  2r2  r1 .
;
Среднеквадратические
погрешности
оценивания
координаты,
скорости, сглаженной и экстраполированной координат при использовании n
обзоров
σ r0  σ r 
2(2n  1)
n(n  1)
σ rсгл (n)  σ r 
σVr (n) 
;
2(2n  1)
n(n  1)
;
σr
12

Tобз n(n 2  1)
σ rэ  σ r 
2(2n  1)
n(n  1)
,
.
где σ r - среднеквадратическая ошибка измерения координаты в одном
обзоре.
Аналогичные алгоритмы для траектории, описываемой полиномом второй
степени, имеют вид:
^
n
r 0   ri  ηr0 (i ) ,
i 1
^
n
a r   ri  η a (i ) ,
i 1
^
^
n
V r   ri  ηVr (i ) ,
i 1
^
n
r сгл   ri  η rсгл (i ) ,
i 1
n
r э   ri  η rэ (i ) ,
i 1
где
3(n  1)(n  2)  2i(6n  7)  10i 2
ηr0 (i)  3 
;
n(n  1)( n  2)
(n  1)( n  2)(6n  7)  2i(16n 2  19)  30i 2 (n  1)
ηVr (i)  6 
;
Tобз  n(n 2  1)( n 2  4)
(n  1)( n  2)  6i (n  1)  6i 2
ηa (i)  60 
;
(Tобз ) 2  n(n 2  1)( n 2  4)
(n  1)( n  2)  2i(4n  3)  10i 2
;
n(n  1)( n  2)
(n  2)( n  3)  2i(4n  7)  10i 2
ηr (i)  3 
.
n(n  1)( n  2)
Среднеквадратические погрешности оценивания скорости и ускорения при
использовании n обзоров:
ηrсгл (i)  3 
э
Таблица 2.
Сглаживаю-
r(t)=r0+Vrt
щая функция
r(t)=r0+Vrt+art2
Количество
используемых
nm i n =2
обзоров
n=3
nm i n =3
n=4
^
19
3
r1 
r2 
20
20
3
1

r3 
r4
20
20
^
1
21
Vr 
(
r1 
Tобз 20
r0 
^
r 0  r1
^
^
r 0  r1
Оценки параметров
^
Vr 
r 0  r1
r2  r1
Tобз
^
Vr 
r3  r1
2Tобз
^
V r  1 Tобз [ 12 r3 
 2r2  32 r1 ]
^
ar  1 T
2
обз
[r3 
 2r2  r1 ]
13
17
9
r2 
r3 
r4 )
20
20
20
^
1 1
1
ar 
( r1  r2 
2
2
2
Tобз
1
1
 r3  r4 )
2
2
^
^
Сглаженная
^
r сгл  r2
координата
r сгл  r 
^
5
6 3
r сгл  r3
 62 r2  12 r1
^
координата
σVr (n) 
^
^
r э  2r2  r1
r э  86 r3 
 62 r2  64 r1
2 3  σr
2(n  1)(8n  11)
 2 2
;
Tобз
n (n  1)( n 2  4)
3
5
r1  r2 
4
4
3
11
 r3  r4
4
4
rэ 
Экстраполированная
1
2
r1  r2 
5
5
3
4
 r3  r4
5
5
r сгл 
^
r э  3r3  3r2  r1
σа 
12 5  σ r
Tобз  n(n 2  1)( n 2  4)
2
.
Увеличение числа обзоров при неизменной сглаживающей функции
приводит к уменьшению ошибок оценивания параметров.
Для случаев, когда траектория описывается полиномами первой или
второй степени и используются отметки, получаемые в 2-х или 3-х соседних
обзорах, формулы для оценки параметров траектории, сглаженной и
экстраполированной координат приведены в табл.2.
Аналогичные алгоритмы справедливы для оценки азимута, скорости
изменения
азимута,
ускорения
по
азимуту,
сглаженного
и
экстраполированного азимута и аналогичных оценок для угла места.
На разных участках полета цели используются сглаживающие функции
разной степени и соответственно различные алгоритмы оценки параметров
траектории, сглаженной и экстраполированной координат. Команда на
переключение с одних алгоритмов на другие и изменение размеров строба
поступает с устройства обнаружения маневра, которое вычисляет оценку
ускорения объекта и сравнивает ее с порогом (порог превышается, когда
появляется ускорение, это признак маневра).
Алгоритмы оценивания реализуются с помощью нерекурсивных
цифровых фильтров, содержащих устройства памяти (регистры) для
хранения отметок x1 , x2 , x3 , блоки весовых коэффициентов и сумматор, см.
рис.9. Для примера указаны весовые коэффициенты при оценивании
экстраполированной координаты.
rn
rn-1
Z
x
-1
rn-2
Z
h (n)
x
-1
h (n-1)
x
h (n-2)

^
η (n - 2)  
η (n - 1) 
η (n) 
2
4
6
r (t)  θ 0  θ1t
rэ
n3
6
8
6
Для каждой из оцениваемых величин (начальная координата, скорость,
ускорение, сглаженная и экстраполированная координаты) проектируется
свой нерекурсивный цифровой фильтр. Их совокупность составляет набор
для сопровождения по одной координате (например дальности, как
рассматривалось выше). Для сопровождения по двум другим координатам
(азимуту и углу места) должны быть предусмотрены соответствующие
наборы фильтров.
Поскольку траектория как правило представляет собой чередование
участков, описываемых полиномами первой и второй степени, то
необходимо иметь набор фильтров для ν=1 и ν=2, переключаемых по
сигналам от устройства обнаружения маневра.
Каждая такая система фильтров осуществляет сопровождение
траектории отдельной цели.
Однако описанный метод оценивания параметров траектории обладает
рядом недостатков, важнейшими из которых являются большой объем
памяти для хранения отметок, полученных не менее чем в 4-6 соседних
обзорах, а также задержка выдачи данных.
Значительно большей эффективностью обладают рекуррентные
алгоритмы, обеспечивающие последовательное уточнение параметров
траектории по результатам новых измерений и полученным ранее
экстраполированным значениям координат. Эти алгоритмы синтезируются с
привлечением теории оптимальной нелинейной фильтрации.
На практике широко распространены линейные рекуррентные
алгоритмы, определяющие дискретные фильтры Калмана. Структурная схема
многомерного дискретного фильтра Калмана приведена на рис.10.
Yk+1
k1
B k+1
Ck+1
Fk+1
k
В рассматриваемом случае, когда нам необходимо оценить параметры
линейной траектории при равноточных и равнодискретных измерениях с
^
периодом Tобз
, фильтр получается двумерным, а оценки дальности r k и
^
скорости V rk определяются последовательно для k=1,2,... с помощью
рекуррентных соотношений
^
^
^
^
^
r k 1  r k  Tобз V rk  b1,k 1 ( yk 1  r k  Tобз V rk ) ,
^
^
^
^
V rk1  V rk  b2,k 1 ( yk 1  r k  Tобз V rk ) ,
2(2k  1)
,
(k  1)( k  2)
6
b2,k 1 
.
(k  1)( k  2)  Tобз
На рис.11 показана схема фильтра, реализующего алгоритм.
Фильтр Калмана обладает существенным преимуществом по
сравнению с нерекурсивными фильтрами. Однако, при практической
реализации этого алгоритма возникают некоторые трудности. Во-первых,
элементы матрицы коэффициентов усиления Bk1 довольно быстро
уменьшаются, стремясь в пределе к нулю, в результате чего оценки
параметров практически перестают зависеть от наблюдаемых данных, а
значит, возможные маневры объекта никак не будут учтены. Во-вторых, при
некотором k элементы матрицы Bk1 становятся соизмеримыми с ошибками
счета, неизбежно возникающими при реализации фильтра на ЭВМ.
где b1,k 1 
b1, k +1
Yk+1
-
x
+
Vr
b2, k +1
x
rk
k
+
rk 1
T обз
x
Vr
+
k1
Один из способов преодоления этих трудностей - фиксирование
элементов матрицы Bk1 . Такой упрощенный двумерный фильтр Калмана
иногда называют
   - фильтром, а зафиксированные коэффициенты
обозначают  и  .
Стробирование отметок целей
Одной из основных операций, выполняемых в процессе
автоматического сопровождения целей по данным обзорной РЛС, является
отбор отметок (из числа полученных в новом обзоре) для продолжения
каждой из сопровождаемых траекторий. Отбор отметок и их "привязка" к
сопровождаемым траекториям называется селекцией отметок и производится
на основе сравнения координат и параметров новых отметок с
экстраполированными координатами и характеристиками сопровождаемых
траекторий.
Для упрощения процесса селекции траекторий и сокращения объема
вычислений сравнение координат наблюдаемых отметок (НО) и
экстраполированных отметок (ЭО) обычно производится в стробах.
Строб представляет собой заранее выбранную область зоны обзора
РЛС, координаты центра которой совпадают с координатами ЭО. Размер и
форма строба обычно выбираются так, чтобы вероятность попадания в него
НО, принадлежащей данной траектории, была близка к единице.
Стробирование отметок может быть физическим и математическим.
Под физическим стробированием понимают выделение предполагаемой
области появления новой отметки, принадлежащей сопровождаемой
траектории, путем непосредственного воздействия на приемное устройство
РЛС (например, путем отпирания выхода приемника только в областях
предполагаемого появления отметки) . Под математическим стробированием
понимается формирование предполагаемой области появления новой
отметки в виде некоторой совокупности чисел (границ строба). Форму
строба, как правило, выбирают простейшей, легко реализуемой в аппаратуре
физического стробирования или на ЦВМ (при математическом
стробировании).
При обработке информации в полярной системе координат простейший
строб задается двумя значениями дальности Rн стр и Rк стр (границы строба
по дальности) и двумя значениями азимута н стр и к стр (границы строба по
азимуту), либо координатами центра строба Rэ, э и его размерами
относительно центра (
Rстр
2
,
α стр
2
). Строб в полярной системе координат
изображен на рис.13,а.
При обработке информации в прямоугольной системе координат (при
этом возможно только матаматическое стробирование) простейший
(прямоугольный) строб также задается двумя парами чисел, определяющих
границы строба (хн стр, хк стр, ун стр, ук стр), или координатами центра строба
хэ, уэ и его размерами
xстр
2
,
yстр
2
относительно центра. Строб в
прямоугольной системе координат изображен на рис.13,б.
Rстр
2
стр
2
э
э
R
к.стр
Rн.стр
н.стр
Rк.стр
 x стр
2
y
y к.стр
yэ
2
y н.стр
x н.стр
x
xэ
x к.стр
При отборе отметок в полярный строб проверяются неравенства :
Ri  Rэ 
αi  α э 
Rстр
2
α стр
,
2
.
Аналогично при отборе отметок в прямоугольный строб проверяются
неравенства :
xi  xэ 
yi  yэ 
xстр
2
yстр
,
.
2
Все отметки, удовлетворяющие приведенным выше неравенствам,
могут явиться продолжением траектории. Отбор единственной отметки,
которая имеет наибольшую вероятность принадлежности к траектории,
производится в процессе селекции отметок в стробе.
Размеры строба выбираются из условия обеспечения заданной
вероятности попадания в него истинных отметок. Так, например, если
выбрать узкий строб с размерами,
xстр
2
 σ x ,
yстр
2
 σ y
где σ x  , σ y  -
суммарные среднеквадратичные отклонения истинных отметок от
экстраполированных по осям х и у , то вероятность попадания истинных
отметок в строб P0 будет приблизительно равна 0.68 (при нормальном законе
распределения суммарных ошибок). При среднем стробе с размерами
yстр
xстр
 2  σ y
 2  σ x и
эта вероятность будет равна 0.92. Для
2
2
получения вероятности Р0, близкой к единице (например, 0.997), необходимо
размеры широкого строба брать равными :
- в прямоугольной системе координат
xстр
2
yстр
2
 3  σ x
,
 3 σ y .
- в полярной системе координат
Rстр
2
 3 σR
α стр
,
2
 3  σα
.
В системе сопровождения для селекции траекторий должны
вырабатываться стробы, по крайней мере, трех размеров.
1. Узкий строб для сопровождения не маневрирующих или слабо
маневрирующих целей при отсутствии пропусков отметок.
2. Средний строб для сопровождения сильно маневрирующих целей при
отсутствии пропусков отметок.
3. Широкий строб для сопровождения при наличии пропусков отметок.
При построении траектории одиночной цели предполагается, что в
стробы кроме истинных будут попадать также ложные отметки,
образованные помехами, прошедшими фильтр первичной обработки. В
результате анализа ситуаций в стробе, используя метод селекции отметок по
минимуму отклонения от центра строба, возможны следующие решения.
1. При наличии в стробе нескольких отметок продолжать траектории
по каждой из них, т. е. допускать размножение траекторий. Продолжения
траектории по ложным отметкам из-за отсутствия подтверждений через несколько обзоров будут сброшены с сопровождения, а продолжение
траектории по истинным отметкам останется. Однако при высокой плотности
ложных отметок возможно лавинообразное размножение ложных траекторий, приводящее к перегрузке запоминающих устройств вычислительных
средств.
2. Выбрать в стробе одну отметку, вероятность принадлежности
которой к сопровождаемой траектории наибольшая, а остальные отбросить
как ложные. Такой подход целесообразен с точки зрения уменьшения
трудоемкости вычислений, но требует решения задачи оптимальной селекции отметок.
Оптимизация процесса селекции отметок по отклонению от центра
строба производится по критерию максимального правдоподобия, в
соответствии с которым за истинную отметку надо принимать ту, для
которой функция правдоподобия максимальна.
При селекции в трехмерном стробе, грани которого параллельны
главным полуосям эллипсоида суммарных ошибок, в качестве отметки для
продолжения траектории надо взять ту, эллиптическое отклонение которой
от центра строба минимально. Также в качестве упрощения можно
использовать селекцию по минимуму суммы квадратов линейных
отклонений отметки от центра строба. Качество процесса селекции отметок
можно оценить вероятностью правильной селекции, т. е. вероятностью события, состоящего в том, что в очередном обзоре для продолжения
траектории будет отобрана истинная отметка.
Методика проведения машинного эксперимента
Целью машинного эксперимента является исследование влияния
параметров сглаживания а и b на флуктуационные s[xср] и s[vср],
динамические dx, dv ошибки, переходный процесс и устойчивость фильтра с
эффективной конечной памятью второго порядка, предназначенного для
сглаживания параметров движения линейной траектории. Входными
воздействиями являются отсчеты линейной траектории совместно с
наложенными на них ошибками измерения, а также отсчеты квадратичной
траектории без ошибок измерения. В последнем случае исследуются
динамические характеристики фильтра.
Машинный эксперимент проводится следующим образом:
1) по заданию преподавателя студент рассчитывает величину квадрата
динамической ошибки по координате d x2 , скорости d v2 . Для заданных To и g
строится график d 2  f (a) при b в качестве параметра.
2) В соответствии с критерием оптимизации, заданным
преподавателем, графическим методом, используя рассчитанный график и
результаты расчёта, выбираются оптимальные параметры фильтрации a и b,
минимизирующие заданный критерий оптимальности.
3) Рассчитанные значения параметров фильтрации a и b вводятся в
ПЭВМ.
4) Студент распечатывает результаты моделирования, в которых
представлены:
- отсчёты координаты дальности совместно с наложенными ошибками
измерения как функция времени;
- сглаженная траектория движения цели как функция времени;
- отсчёты скорости цели как функция времени;
- сглаженная скорость как функция времени;
- флуктуационные ошибки по координате s[xср] и скорости s[vср],
полученные методом статистических испытаний (методом Монте-Карло);
- квадратичная траектории на входе и выходе фильтра, сравнение которых
позволяет оценить переходный процесс и установившееся рассогласование –
динамическую ошибку.
5) Сравнивая флуктуационные и динамические ошибки, рассчитанные
предварительные и полученные с помощью ПЭВМ, проверяем правильность
расчётов.
Литература
1. Кузьмин С.З. Основы проектирования систем цифровой обработки
радиолокационной информации. – М.: Радио и связь, 1986. – 352 с.
2. В.А. Лихарев, В.Я. Плёкин. Проектирование цифровых устройств
обработки информации. – М.: МАИ, 1983.
3. В.А. Лихарев, В.Я. Плекин. Моделирование радиолокационных и
радионавигационных систем. – М.: МАИ, 1978.