Данная работа «Исследование движения маятника переменной

Международная научно-техническая конференция школьников
«Юниор-Старт в науку»
Секция: Общая и теоретическая физика
Тема: “Исследование
движения маятника переменной
массы на подвижном основании”
Исполнитель
Антикуз Анастасия Григорьевна,
учащаяся IV курса политехнического
лицея учебно-воспитательного комплекса
г.Курахово
Научный руководитель
Антикуз Е.В., заместитель
директора по научной работе УВК
г.Курахово, учитель физики
2002-2003 учебный год
Данная работа
подвижном
«Исследование движения маятника переменной массы на
основании»
является
логическим
продолжением
работы
«Парадоксальные качели», которая была ранее представлена на конкурс.
При исследовании движения «парадоксальных качелей» - маятника на
подвижном основании – было выдвинуто ряд новых задач, решение которых –
новые научно-исследовательские работы. Одной из таких задач является задача
исследования движения тележки с маятником переменной массы.
При подготовке работы «Парадоксальные качели», была найдена статья И.
Кулаги (Российский научный центр «Курчатовский институт»), название которой
совпадало с темой работы. В ней автор статьи дал объяснение факту движения
тележки хоть и с переменным ускорением, но в одном направлении. Теоретического
объяснения данной темы в учебниках физики и научно-популярной литературы
найдено не было.
Исследование движения тележки с маятником переменной массы – также
является полностью самостоятельным исследованием, так как в использованной
литературе никаких ссылок на решение подобной задачи найдено не было.
массы.
Раздел I
Постановка и решение задачи
I.1. Задачи эксперимента
1. Исследовать движение маятника переменной массы:
- вывести зависимость периода колебаний маятника от массы маятника;
- получить экспериментальную зависимость периода колебаний маятника
от его массы;
- вывести формулу зависимости скорости маятника переменной массы от
массы маятника;
- получить экспериментальную зависимость скорости, ускорения маятника
переменной массы от массы маятника.
2. Исследовать движение тележки, на которой укреплен маятник переменной
массы при различных начальных условиях:
- вначале движения маятника тележка не упирается в препятствие;
- вначале движения маятника тележка упирается парой колес в препятствие;
3. Вывести формулу зависимости скорости движения этой тележки от
начальных условий и скорости движения маятника, с учетом переменной
массы маятника.
4. Построить
графики
зависимости
различных
физических
величин,
характеризующих движение тележки с маятником переменной массы
(скорость,
выведенной
ускорение,
формулы,
моделирования,
координата,
а
также
пройденного
используя
пути),
метод
исходя
из
математического
и сравнить с графиками, полученными на основании
экспериментальных данных.
5. Дать объяснение движению маятника переменной массы, а также –
движению тележки, на которой укреплен этот маятник при различных
начальных условиях.
I.2. Постановка эксперимента
Задача 1. Исследование движения маятника переменной массы.
Для решения поставленной задачи была использована пластиковая бутылка
емкостью 1,5 л, масса пустой бутылки -
0,06 кг, высота бутылки – 0,24 м, длина
обхвата бутылки – 0,305 м, а также нить, массой которой мы пренебрегли, длиной –
0,7 м.
Первая серия опытов была проведена следующим образом: в бутылку
первоначально было налито 1,5 л воды, затем, имитируя вытекание воды из
бутылки, каждый раз из нее отливали одинаковый объем воды. В каждом случае на
опыте определялся период колебаний маятника (при различных массах налитой
воды). Период колебаний рассчитывали по формуле: T=t/N, где t – время, за которое
произошло N колебаний.
Вторая серия опытов была проведена с бутылкой, из которой выливалась вода.
Для обеспечения равномерного вытекания воды была изготовлена конструкция,
позволяющая воздуху свободно проникать в бутылку.
Для определения характеристик движения маятника переменной массы, на
стену была прикреплена шкала с ценой деления 1 см, изготовленная на рулонной
бумаге.
Колебания бутылки фиксировались на видеокамеру. При просмотре
видеофрагмента мы имели возможность фиксировать количество кадров, за которое
совершалось одно полное колебание. Это количество кадров условно приняли за
время полного колебания, также покадровый просмотр видеозаписи позволил
определить координаты маятника в каждый момент времени, что позволило
рассчитать скорость маятника и его ускорение. Все полученные данные были
обработаны с помощью табличного редактора EXCEL.
Задача 2. Исследование движения тележки, на которой укреплен
маятник переменной массы при различных начальных условиях
Для решения этой задачи была использована тележка, с помощью которой
была проведена серия опытов в работе «Парадоксальные качели» (каркас для
тележки был изготовлен из трубок диаметром 1,3 мм и длиной 1, 1 м, к которому
были прикреплены колеса от детской коляски; масса тележки - каркаса вместе с
колесами - составила 2 кг.) На стальной проволоке к тележке прикреплялась
пластиковая бутылка с водой, использованная при решении задачи № 1
Метод фиксирования результатов в данной работе в данной работе оставили
прежним, как и в работе «Парадоксальные качели»: для измерения пройденного
пути
на каркас тележки была прикреплена стрелка-указатель, а также была
изготовлена “линейка”-шкала на рулонной бумаге длиной 3 м, цена деления которой
равнялась 1 см. При проведении опытов эта линейка прикреплялась к стене, тележка
располагалась не далеко от стены. Все опыты были записаны на видеокамеру, а
затем все показания были зафиксированы при покадровом воспроизведении
видеозаписи.
Вначале были проведены 2 серии опытов при различных массах налитой воды
в пластиковую бутылку (массы воды в каждом опыте соответствовали массе воды в
бутылке при исследовании движения маятника переменной массы (задача1)): 1
серия опытов – при начальных условиях, когда тележка вначале движения маятника
не упиралась в препятствие, 2 серия опытов – при начальных условиях, когда
тележка вначале движения маятника упиралась парой колес в препятствие.
Затем были проведены еще две серии опытов (при различных первоначальных
положениях тележки – с упором и без упора) для маятника (бутылки), из которого
вытекает вода.
Проведенные
эксперименты
сформулированные выше.
позволили
полностью
решить
задачи,
I.3. Решение задачи 1
Исследование движения маятника переменной массы.
Выведем зависимость периода колебаний маятника от его массы и с помощью
этой формулы построим график этой зависимости, а также,
обработав
экспериментальные данные, полученные опытным путем, построим эту же
зависимость и сравним график, полученный на основании теоретических
рассуждений с графиком, полученным экспериментальным путем.
Рассчитаем, как будет изменяться положение центра тяжести системы
«бутылка-вода» в зависимости от налитой в бутылку воды. Выведем формулу
зависимости расстояния центра тяжести системы «бутылка-вода», в зависимости от
массы воды, налитой в бутылку.
Центр тяжести бутылки находится в точке О. Центр тяжести воды – в
точке О1. Пусть центр тяжести системы бутылка-вода находится на
О
r1
прямой ОО1, на расстоянии r1 от точки О и на расстоянии r2 от точки О1.
r = r1 + r2
Расстояния r1 и r2 можно выразить через массы тел в системе:2
r2
r1 = r m2 / (m1 + m2)
О1
r2 = r m1 / (m1 + m2)
Расстояние r= ОО1 определим из формулы:
r = h/2 – hц.т. = h/2 – m2 / (2Sρ),
hц.т. = h2 /2 = V/S = m2 / (2Sρ)
где h – высота бутылки,
h2 – высота воды, налитой в бутылку
hц.т – высота центра тяжести воды,
m2 – масса воды, V – объем воды в бутылке
S – площадь дна бутылки
ρ - плотность воды.
Тогда, расстояние, необходимое нам для расчета длины физического маятника,
найдем по формуле:
r1 = r m2 / (m1 + m2) = (h/2 – m2 / (2S))
после преобразований, получим формулу:
( h Sρ - m2) m2
r1 = --------------------2Sρ (m1 + m2)
Длину физического маятника – расстояние от точки подвеса до центра
тяжести системы, найдем по формуле: L= l + h/2 + r1
( h Sρ - m2) m2
L= l + h/2 + --------------------2Sρ (m1 + m2)
Пренебрегая моментом инерции
маятника, рассчитаем период маятника,
используя формулу периода для математического маятника T= 2π√L/g, для этого
зададим значения высоты бутылки, площади дна, массы бутылки и первоначальную
массу воды (все параметры определим с помощью измерений бутылки,
используемой в опытах). Для облегчения расчетов воспользуемся табличным
редактором EXCEL. График зависимости периода колебаний бутылки от массы
воды, содержащейся в бутылке, построенный на основании теоретических расчетов,
приводятся ниже, а так как в опытах была использована бутылка массой 0,06 кг, то
график зависимости приведен именно для этой массы бутылки.
Зависимость периода маятника переменной массы от массы
(масса бутылки 0, 06кг)
1.9
1.89
1.88
1.87
Период, с
1.86
1.85
1.84
1.83
1.82
1.81
1.8
1.79
0
0.5
1
1.5
Масса маятника, кг
2
2.5
На основании экспериментальных данных был получен следующий график.
Значения периода, с
Зависимость периода от массы маятника
(экспериментальные данные)
1.9
1.89
1.88
1.87
1.86
1.85
1.84
1.83
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Масса воды в бутылке, кг
Анализируя графики, полученные на основании экспериментальных данных и
построенных с помощью выведенной формулы, можно утверждать, что наши
теоретические рассуждения были верны. Участок нелинейной зависимости периода
от массы, наблюдается при массе воды, налитой в бутылку от 0,1 кг до 0,5 кг.
Ниже
приведен
подобный
график,
построенный
на
основании
экспериментальных данных опыта, в котором вода выливалась из бутылки за t= 7
мин, крышка на бутылке была приоткрыта, так чтобы была возможность для
вытекания воды.
Зависимость периода маятника переменной массы от массы воды
54
Количество кадров
53
52
51
50
49
48
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Масса воды, кг
Анализируя полученные графики, можно утверждать, что зависимость
периода колебаний маятника переменной массы зависит от массы маятника. Эта
зависимость не является линейной.
Проведенные опыты, доказали, что наши теоретические рассуждения верны.
Период маятника переменной массы зависит от массы маятника. Эту зависимость
можно объяснить изменением положения центра масс системы «бутылка-вода».
Выведем формулу зависимости скорости маятника переменной массы от
массы маятника.
Координата маятника, в любой произвольный момент времени определяется
формулой: x = lA sin (ωt+φ), где А – амплитуда маятника, ω = 2π/Т, φ – начальная
фаза колебаний. (Обоснование этой формулы приведено в работе «Парадоксальные
качели»). Подставив вместо Т, выведенную нами ранее формулу, получим
выражение для координаты маятника:
2π t
√g*t
x = lA sin ωt = lA sin (2π t /Т + φ) = A sin( ----------------- +φ)= lA sin( ------------- +φ) =
2π√L/g
√g*t
= lA sin (
-------------------------------------- ---------- + φ)
( h Sρ - m2) m2
√ l + h/2 + --------------------2Sρ (m1 + m2)
√L
Рассчитаем координаты маятника в соответствии с этой формулой и построим
график зависимости координаты маятника от времени и массы маятника,
воспользовавшись табличным редактором EXCEL . При этом будем считать, что
масса маятника уменьшается пропорционально увеличению времени.
Затем,
построим график изменения координаты от времени и массы маятника на основании
экспериментальных данных .
Изменение координат маятника переменной массы (теоретический расчет)
0.5
0.4
Координата, м
0.3
0.2
0.1
0
-0.1 0
0.5
1
1.5
2
2.5
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
Масса маятника, кг
По графику видно, что с уменьшением массы воды в бутылке, амплитуда
колебаний маятника уменьшается, что можно объяснять убылью энергии системы.
Изменение координат маятника переменной массы
0.4
Координата, м
0.3
0.2
0.1
0
-0.1 0
0.5
1
1.5
2
-0.2
-0.3
-0.4
Масса воды, кг
Чтобы получить экспериментальные данные скорости маятника, было сделано
следующее: при пошаговом воспроизведении записи опыта, в котором вода
выливалась из бутылки, были зафиксированы координаты маятника для каждого
кадра. Значения скорости были рассчитаны как разность между последующей и
данной координатой, деленной на время (1 кадр - 1/24 с). График скорости для
маятника переменной массы приведен ниже.
График скорости для маятника переменной массы (экспериментальные данные)
0.15
Скорость маятника
0.1
0.05
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
-0.05
-0.1
-0.15
Масса воды, кг
Таким образом, задача 1, сформулированная на стр.3 данной работы,
полностью решена.
При изменении массы маятника, будет изменяться скорость движения
тележки. Это следует из закона сохранения импульса.
mм Vм
VT = ---------------mт
Чем меньше отношение mм /mт , тем меньше скорость движения тележки. Т.е.
при массе маятника, которая значительно меньше массы тележки, тележка вообще,
может не прийти в движение. С увеличением массы маятника, скорость движения
тележки увеличивается.
В своих опытах мы исследовали движение тележки, массой 2 кг, и маятника,
масса которого изменялась от 1,5 кг до 0,16 кг. Из теоретических рассуждений ясно,
что скорость движения тележки должна уменьшаться.
Если мы учтем, что с уменьшением массы, изменяется положение центра масс
системы «бутылка-вода», т.е. изменяется длина подвеса, то можем произвести
расчет координаты маятника по формуле, выведенной в предыдущей работе
х= l  = l Аsin(
g /l
t + ),
График, полученный в редакторе EXCEL, с помощью этой формулы и с
учетом изменения длины маятника, приведен выше и в приложении. Так как, массы
маятника и тележки в наших опытах были разные, то нельзя утверждать, что
координаты маятника, будут противоположны координатам тележки.
Для теоретических расчетов координаты тележки, воспользуемся законом
сохранения импульса, а также учтем, что скорость можем найти как изменение
координат за единицу времени, т.е.
V = S/t = (X2 – X1) / t
mм Vм
VT = ---------------mт
mм (X2 – X1)м
(X2 – X1)т = ---------------mт
mм (X2 – X1)м
X2 т =
----------------
+ X1т
mт
Графики изменения координат маятника и тележки, в зависимости от массы
маятника, при первоначальном положении тележки без упора, приведен ниже.
График, нарисованный розовым цветом соответствует изменению скорости тележки,
синим – маятнику. Быстрое затухание
массой, большей массы
движения тележки можно объяснить ее
маятника. С течением времени
масса
маятника
уменьшается, энергия маятника становится меньше, поэтому энергия, поступающая
от маятника в систему, уменьшается; тележка, масса которой больше массы
маятника, продолжает свое движение с меньшей скоростью.
Графики скорости тележки и маятника переменной массы (теоретический
расчет)
0.5
0.4
0.3
Скорость
0.2
0.1
0
-0.1
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
Время
По оси ОХ отложены единицы времени. С увеличением времени, масса воды в
бутылке уменьшается. Уменьшение скоростей движения тележки (розовый цвет) и
маятника (синий цвет) соответствует уменьшению воды в маятнике-бутылке.
Проверим, верны ли наши теоретические рассуждения с помощью опытов.
Произведем съемку опытов: движение тележки без упора при различных массах
маятников (от 1,5 кг до 0,1 кг). При пошаговом воспроизведении записи,
зафиксируем координаты тележки и маятника, все данные занесем в EXCEL
таблицы и построим графики изменения координат тележки и маятника при
различных массах маятника. Графики приведены ниже.
Графики скорости тележки и маятника переменной массы
(экспериментальные значения)
0.15
0.1
Скорость
0.05
0
1
3
5
7
9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57
-0.05
-0.1
-0.15
На этом рисунке по оси ОХ отложены единицы массы, т.е. минимальной
массе маятника соответствуют меньшие значения скорости (расположенные ближе к
началу координат).
Итак, исследование движения маятника переменной массы на подвижном
основании, если при начальных условиях движения маятника тележка не упирается
в препятствие, проведено. Выводы будут сформулированы позже.
4.2. Исследование движения тележки, на которой укреплен маятник
переменной массы
(тележка в момент начала движения маятника упирается в препятствие)
Если первоначально маятник отклоняют в сторону упора, сообщая ему
потенциальную энергию, движение тележки, полностью описанное и объясненное в
предыдущей работе, происходило своеобразно: в зависимости от положения
маятника тележка либо перемещалась вперед на значительное расстояние, либо на
мгновение останавливалась, или немного откатывалась назад, затем движение
вперед повторялось.
Воспользуемся результатами предыдущей работы. Ниже приведены графики
движения тележки, полученные в результате обработки экспериментальных данных
опытов,
произведенных
при
различных
амплитудах
колебаний
маятника.
Воспользуемся графиками, полученными в опытах 1 и 2.
Графики движения тележки при амплитудах колебаний 30 0 и 450 (опыт 1 и 2)
были получены для маятника массой 2 кг. Произведем подобные опыты для
маятников массой от 1,56 кг до 0,16 кг (масса воды в бутылке от 1,5 кг до 0,1 кг).
Зафиксируем координаты тележки при пошаговом воспроизведении видеозаписи,
обработаем
данные
и
построим
график
движения
тележки.
Графики движения тележки с маятником переменной массы
160
140
КОординаты тележки
120
100
80
60
40
20
0
1
5
9
13
17
21
25
29
33
37
41
45
49
53
57
61
65
69
73
77
81
85
89
93
97
101 105 109 113 117
-20
Время (номер кадра)
Ряд1
Ряд2
Ряд3
Ряд4
Ряд7
Ряд8
Ряд9
Ряд10
Ряд5
Ряд6
На этом рисунке нас будут интересовать три графика, изображенные
коричневым, синим и голубым цветом, или соответствующие рядам 6, 8,10. График,
соответствующий ряду 6 (коричневый цвет) - построен для тележки с маятником 1
кг, график (ряд 10, голубой цвет) – для тележки с маятником 0,5 кг, график (ряд 8,
синий цвет) - для тележки с маятником переменной массы (бутылка без крышки,
вода выливается).
Построим графики движения тележки для опыта 2 рис.
на одном рисунке.
и для рядов 6,8,10,
Графики движ ения тележ ки с маятником
200
180
Координаты тележ ки
160
140
Опыт 2
120
1л
100
0.5
80
в ода в ылив
60
40
20
0
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64
Время (кол-во кадров)
Анализируя эти графики, можно сказать, что движение тележки с маятником,
с фиксированной массой отличается тем, что путь, проходимый тележкой, на
которой укреплен маятник меньшей массы, будет меньше пути, пройденного
тележкой с маятником большей массы. Это можно объяснить различием в
потенциальной энергии, сообщенной системе в начале движения. Также этот факт
объясняет быстрое затухание амплитуды колебаний тележки, на которой укреплен
маятник меньшей массы.
При движении тележки с маятником переменной массы, затухание колебаний
тележки проявляется более отчетливо, что можно объяснить убылью энергии
вследствие уменьшения массы в ходе опыта.
В предыдущей работе была выведена формула скорости движения маятника и
скорости движения тележки при условии равенства масс маятника и тележки.
(Vao - Vо cos )
Vao2 -4gL(1- cos)
Vo2 =
_____________________
Vт =
_____________________
cos 2 
2
Где Vo - скорость движения тележки относительно маятника,
Vao - максимальная скорость маятника, определяемая из начальных условий,
Vт - скорость движения тележки.
Ниже приводим формулы для скоростей маятника и тележки с учетом их масс.
(в этом варианте работы вывод не приводим).
m+M
Vao2 -2 --------- gL(1- cos)
Vo2
=
M
Vт = m(Vao - Vо cos )
m+M
cos2 
Если считать, что массы маятника и тележки равны, то мы получим формулы,
выведенные в предыдущей работе полностью совпадут с выведенными в данной
работе.
Так же как и в предыдущей работе «Парадоксальные качели» была написана
компьютерная программа, демонстрирующая движение тележки с маятником
переменной массы от упора.
Выводы
Целью
данной
работы
ставилось
исследование
движения
маятника
переменной массы, а также движение тележки, на которой укреплен этот маятник
при различных первоначальных условиях (движение без упора и
с упором).
Решение поставленных задач было осуществлено вначале теоретически. Были
выведены формулы:
- периода маятника переменной массы в зависимости от массы маятника;
- координаты, скорости маятника переменной массы;
- скорости тележки в зависимости от скорости движения маятника переменной
массы (при движении с упором и без него).
Используя полученные формулы, были построены графики зависимости
периода маятника от его массы, координат, скорости маятника; координат и
скорости движения тележки, на которой укреплен маятник переменной массы.
Для проверки правильности выведенных формул был проведен ряд
экспериментов с маятником переменной массы, а также с тележкой, на которую этот
маятник прикреплялся. Графики соответствующих величин, построенные по
результатам этих опытов, по форме полностью совпали с графиками, построенными
по выведенным формулам.
В результате решения задачи 1 – Исследование движения маятника
переменной массы – было установлено:
1. Период маятника переменной массы зависит от массы маятника. С уменьшением
массы маятника, период увеличивается, при достижении некоторой массы, которую
назовем предельной, начинает уменьшаться. Эту зависимость можно объяснить
изменением положения центра тяжести системы. С уменьшением массы, центр
тяжести системы опускается ниже, таким образом, длина подвеса, в данном случае
физического маятника, увеличивается, увеличивая период колебаний маятника
переменной массы.
Эту задачу можно было рассмотреть глубже, например, исследовать период
маятника, изменяя положение центра тяжести бутылки, в которую наливалась вода,
но в данной работе такой цели мы не преследовали. В принципе, это могло бы
послужить темой для новой работы.
При решении задачи 2 – «Исследование движения тележки, на которой
укреплен маятник переменной массы» при движении без упора - было установлено:
- с уменьшением массы воды, налитой в бутылку, скорость движения тележки, на
которой был укреплен этот маятник, резко уменьшалась, что можно объяснить
убылью энергии из системы;
- характер движения и тележки, и маятника остается периодический; с уменьшением
массы воды, налитой в бутылку, координаты движения бутылки уменьшались, но
не столь значительно по сравнению с координатами тележки, на которой была
укреплена эта бутылка;
- скорость движения тележки резко уменьшается с уменьшением массы воды в
бутылке;
При движении тележки с маятником массу которого изменяли фиксировано (с
упором), с уменьшением массы маятника, тележка проходила меньший путь, что
можно объяснить уменьшением энергии, переданной системе в начале движения.
Чем меньше масса маятника, тем меньше будет скорость движения тележки.
Если же на тележке прикреплен маятник, масса которого изменяется при
колебаниях, тележка движется так же, как двигалась при колебаниях маятника с
фиксированной массой: при движении маятника из левого крайнего положения до
положения равновесия, она покоится, так как упор слева мешает ее движению в
направлении, противоположном направлению движения маятника; далее тележка
приходит в движение, и увеличивает свою скорость до тех пор, пока маятник из
крайнего правого положения приходит к положению равновесия. Абсолютная
скорость маятника обращается в нуль, а тележка приобретает максимальную
скорость, которая будет зависеть от скорости движения маятника в начальный
момент движения системы и от соотношения масс тележки и маятника; далее
маятник увеличивает свою скорость, а скорость тележки уменьшается до тех пор,
пока маятник не возвращается к положению равновесия. В этот момент тележка
останавливалась, и в наших опытах немного откатывалась назад. При исследовании
этого движения, было установлено, что координаты тележки, на которой укреплен
маятник переменной массы, изменялись значительно, только при первом полном
колебании маятника, а затем, тележка практически останавливалась. Причем
координаты тележки, на которой был укреплен маятник переменной массы, были
меньше координат тележки, на которой был укреплен маятник с фиксированной
массой 1 кг.
Каковы
могут быть дальнейшие перспективы
исследований
в этом
направлении? Считаю интересной задачей, исследовать движение тележки с
маятником,
масса
которого
будет
соответствовать
нелинейному
участку
зависимости периода колебаний от его массы, а также выяснить, как изменяется при
этом скорость и ускорение маятника и тележки. Кроме колебательного движения,
маятник-бутылка с течением времени начинал совершать крутильные колебания,
было бы интересно рассмотреть движение маятника переменной массы на
растяжимом подвесе.