ч.3гл.2 функции многих переменныхx

Глава 2 Функции многих переменных
n
2.1 R , скалярное произведение, длина вектора, расстояние и их свойства.
Функция многих переменных, область определения, линии уровня. График и
координатные линии. Примеры.
2.2 Окрестности точек. Внутренние, граничные точки множества. Открытые
и замкнутые множества. Ограниченные множества, области. Пределы
функций в точке . Арифметические свойства пределов
2.3 Непрерывные функции многих переменных в точке. Их арифметические
свойства. Непрерывность функций от одной переменной. Непрерывность
суперпозиции.
Непрерывность на множестве . Примеры. Ограниченные множества.
Граничные точки, замкнутые множества. Теоремы Вайерштрасса.
2.4 Частные производные функций многих переменных и их геометрический
смысл.
Касательная плоскость к графику, ее уравнение. Условие существования
касательной плоскости, дифференцируемость. Дифференциал,
геометрический смысл и формула.
Формула линеаризации и ее использование на примерах.
2.5 Теоремы о дифференцировании сложных функций. Примеры.
Производная по направлению. Градиент. Его геометрический смысл.
2.6 Производные высших порядков. Теорема Шварца. Примеры. Локальный
экстремум.
Необходимое и достаточное условие. Пример.
2.7 Теорема Юнга для 2-х и 3-х переменных. Уравнение касательной к
графику неявной функции. Свойство градиента. Примеры.
n
2.1 R , расстояние и его свойства.Функция многих переменных, область
определения, линии уровня. График и координатные линии. Примеры
Прежде, чем приступить к изложению материала, напомним некоторые
известные понятия, известные из алгебры.
Постранством Rn называется множество упорядоченных наборов из
n чисел, с покоординатными операциями сложения и умножения на число:
Rn={ x  (x1, x2,…,xn), xi  R, _ i  1,..., n },
x  y  (x1, x2,…,xn)+(y1, y2,…,yn), =(x1 +y1 , x2 +y2,…,xn +yn),
ax  a*(x1, x2,…,xn), =(ax1, ax2,…,axn).
Эти операции обладают многими естественными свойствами:
Перстановочность сложения,
разные правила раскрытия скобок, наличие

нулевого элемента 0  (0,…,0) ( 0  x  x  0  x ) и обратного элемента  x  (x1, -x2,…,-xn) (  x  x  x   x  0 ).
Тогда расстоянием между точками называется
d ( x , y )  ( x1  y1 ) 2  ...  ( xn  y n ) 2 .
Свойства расстояния следующие:
1) d ( x , y )  0, _ d ( x , y )  0  x  y.
2) d ( x , y )  d ( y , x ).
3) d ( x , y )  d ( x , z )  d ( z , y ).
Последнее неравенство называется неравенством треугольника.
После этого введения перейдем к предмету этой главы.
Определение 1.(функции многих переменных)
Пусть какое-то подмножество .
Тогда говорят, что задана функция n переменных с областью определения
X  R n , если для любой точки x  ( x1 , x2 ,..., xn )  X единственным образом
определено число f ( x )  f ( x1 , x2 ,..., xn )  R .
Примеры. f ( x, y )  x 2  y 2 . Область определения x 2  y 2  0, _ x  y . (рис.1)
Определение 2.(поверхности уровня)
Пусть f (x )  функция n переменных, определенная на множестве X  R n .
Тогда поверхность , принадлежащая X, на которой f ( x )  C , называется
поверхностью уровня C _ для _ f ( x ).
Замечание. Для размерности 2 поверхности уровня являются линиями и
они называются линиями уровня.
Пример. Нарисовать линии уровня 0,1, 2 для
.
f
( x,
y)

x
2

y
2
f(x,y)=C, x2-y2=C2 , При C=0 имеем x 2  y 2  0, _ x  y . Это две прямые
y   x. При _ С  0 x2/C2-y2/C2=1-гипербола для С=1,2. (рис.2)
Определение 3. (график)
Пусть f (x )  функция n переменных, определенная на множестве X  R n .
Поверхность n+1- мерного пространства
Г  {x  ( x1 , x2 ,..., xn , xn1 ) : ( x1 ,..., xn )  X , _ xn1  f ( x1 ,..., xn )}
называется графиком функции f (x ).
Пример. График функции 2 переменных-поверхность в 3-х мерном
пространстве. Пусть f ( x, y)  x 2  y 2 . График будет параболоидом вращения.
(рис.3). Здесь линия уровня f ( x, y)  x 2  y 2  С
при С=0 будет точкой (0,0), а при С, большем 0-окружностью радиуса C ,
являющуюся проекцией окружности над графиком, расположенной на
высоте С(на «уровне» С) над плоскостью XOY.
Определение 4(координатные линии)
Пусть f (x )  функция n переменных, определенная на множестве X  R n .
Г  {x  ( x1 , x2 ,..., xn , xn1 ) : ( x1 ,..., xn )  X , _ xn1  f ( x1 ,..., xn )} график функции f (x ). Тогда координатной k-линией на графике функции
называется линия, проекция которой находится на координатной линии
x  ( x10 , x20 ,..., xk01 , xk , xk01 k 1 , xn0 ).
Пример. На графике f ( x, y)  x 2  y 2 координатными x-линиями будут
параболы z=x2 +y02 в вертикальной плоскости y=y0 , координатными yлиниями будут параболы z=x02+y2 в вертикальной плоскости x=x0.(рис.4)
2.2 Окрестности точек. Внутренние, граничные точки множества.
Открытые и замкнутые множества. Ограниченные множества, области.
Пределы функций в точке . Арифметические свойства пределов
Для перехода к определению пределов функций нужно определить
окрестности точек в Rn .
Определение 5(окрестность точки).
 -окрестностью точки x 0 называется множество точек, удаленных от x 0
менее, чем на  .
O ( x0 )  {x  R n : d ( x , x0 )   .
Примеры. На плоскости O ( x0 ) -круг радиуса  с центром x 0 без
окружности(рис.5а). В трехмерном пространстве это –шар радиуса  с
центром x 0 без граничной сферы(рис.5б)
Определение 6(ограниченного множества)
Множество A  R n называется ограниченным, если оно целиком содержится
в окрестности какой-то точки пространства.
Примеры. Окрестность любой точки ограничена(содержится в себе самой).
Треугольник на плоскости ограничен. Пирамида в пространстве
ограничена(рис.6)
Определение 7(внутренней точки множества)
Пусть дано множество A  R n .
Точка x 0 называется внутренней точкой множества A ,если какая-то
Окрестность x 0 целиком входит в множество A .
Т.е. для некоторого   0 _ O ( x0 )  A.
Определение 8(открытого множества)
Множество A  R n называется открытым, если все его точки внутренние.
Примеры.
Окрестность точки -открытое множество, так как все ее точки внутренние
(рис.6в).
Определение 9(граничной точки множества)
Пусть дано множество A  R n .
Точка x 0 называется граничной точкой множества A ,если в любой
окрестности x 0 есть как точки, входящие в множество A , так и точки, в него
не входящие(эта точка как бы находится «между множеством и немножеством»).
Примеры.
1. Круг на плоскости. Граничные точки-точки окружности.
Действительно, для всякой точки окружности A и любой
 –окрестности A часть окрестности входит в круг(заштрихована), а
часть –не входит(не заштрихована).Они граничные.
А для точки B не на окружности есть  -окрестность, вся лежащая в
круге.
Эти точки не гртаничные. (рис.7а)
2. Шар в пространстве. Граничные точки-точки сферы Действительно,
для всякой точки сферы A и любой
 –окрестности A часть окрестности входит в шар(заштрихована), а
часть –не входит(не заштрихована).Они граничные.
А для точки B не на сфере есть  -окрестность, вся лежащая в шаре.
Эти точки не граничные. (рис.7б)
3. Заметим, что окрестность OR ( x )  R n имеет те же граничные точки, что
и замкнутый шар с центром x радиуса R (см. рис. 7)
Определение 10(замкнутого множества)
Множество A  R n называется замкнутым, если содержит все свои граничные
точки.
Примеры.
Замкнутый шар-замкнутое множество, так как содержит границу-сферу.
Окрестность точки-не замкнутое множество, так как не содержит границусферу(рис.7).
Определение 11(области).
Множество A  R n называется областью, если оно открыто и ограничено.
Пример. Окрестность точки- область(примеры к определению 6 и 8).
Перейдем теперь к определению пределов функций многих переменных.
На плоскости может встретиться последовательность точек x n ,n=1,2,…
приближающаяся к какой-то точке a . (рис.8) Это можно выразить через
расстояние: d ( xn , a )  0 .
n
То же можно записать для точек R n .
Определение 12(сходимости последовательности точек).
Пусть x n  R n , n  1,2,... Тогда говорят, что lim x n  a , если lim d ( x n , a )  0
n 
n 
d ( xn , a )  числовая последовательность. Вспомним, что означает
lim d (
n 
x n , a )  0 . По определению   0 _  _ N : при _ n  N _ будет _ d ( xn , a )   .
Т.е., если последовательность точек x n ,n=1,2,… приближается к какой-то
точке a , то d ( xn , a )  0 .
n
Заменяя последовательность любыми точками , будем понимать что
x  a _ означает _ d ( x , a )  0,
Становится меньше любого
 >0.
Т.е. lim f ( x )  b мы заменяем
x a
lim
f ( x )  b. Это аналогично пределу
d ( x , a ) 0
функции одного числового переменного d ( x , a ) (Хотя f (x ) не есть функция
d ( x , a )! )
Это означало, что f (x ) становится сколь угодно близкой к b(
f ( x )  b   _   0 , если
d ( x , a ) достаточно близка к 0(т.е. при d ( x , a )   , _ для _ некоторого _   0. .
Поэтому получаем
Определение 13(предела функции многих переменных).
Пусть функция f (x ) определена в некоторой окрестности O (a )  R n ,
кроме, может быть, точки a .
Говорят, что lim f ( x )  lim f ( x )  b если
x a
d ( x , a ) 0
  0 _  _   0 : при _ d ( x , a )   _ будет _ f ( x )  b   .
Замечание 1 .Т.к.
xi  ai  d ( x , a )  ( x1  a1 ) 2  ( x 2  a 2 ) 2  ...  ( x n  a n ) 2  max ( xi  ai ) 2 , _ i  1,2,..., n
i 1,... n
то d ( x, a )  0  xi  ai  0 _  _ i  1,..., n.
Т.е. расстояние бесконечно малая тогда и только тогда, когда имеет место
покоординатная сходимость и
lim f ( x )  lim
x a
f (x) 
d ( x , a )0
lim
f ( x ).
 xi ai

i 1, 2,... n
Замечание 2.Для функций многих переменных рассматриваем только
конечные пределы.
Пример.
Найти lim x . Имеем f ( x, y )  x. И по определению
( x , y )  (1, 2 )
lim
x
( x , y )(1, 2 )
lim
d (( x ,e ),(1, 2 )) 0
покоординатная _ сходимость
x

 lim x  1.
 x 1

 y 2
Теорема 1(св-ва пределов)
Пусть lim f ( x )  b, _ lim g ( x )  c. Тогда
x a
x a
lim f ( x )  g ( x )  b  c, _ lim df ( x )  db, _ d  R.
x a
x a
f (x)
b
lim f ( x ) * g ( x )  b * c, _ lim g ( x )  c , _ при _ c  0.
Так как lim f ( x )  lim f ( x ) , то доказательство не отличается от
x a
x a
x a
d ( x , a ) 0
доказательства для функций одного переменного. Мы доказательств не
приводим.
Пример. Найти
lim
x *y+x/(y-2)=
( x , y )  (1, 2 )
lim
x*
x 1, y  2
lim
x 1, y  2
y
lim
x
x 1, y  2
lim
x 1, y  2
y
lim
2
 1(2) 
1
 2,25.
22
x 1, y  2
Замечание. Если функция двух переменных определена на множестве A,
содержащем точку
a
но не содержащем никакой ее окрестности. Тогда аналогично можно
определить предел в этой точке по множеству A
Определение 14(предела функции многих переменных по множеству).
Пусть функция f (x ) определена на множестве A и точка a
Является внутренней или граничной точкой этого множества
Говорят, что предел функции по множеству lim f ( x )  lim f ( x )  b если

ч a


 xA
 d ( x , a ) 0 ,

 xA, x  a
d ( x , a )  
  0 _  _   0 : при _ 
_ будет _ f ( x )  b   .
x

A

Замечание. Для пределов по множеству выполнены все свойства пределов.
2.3 Непрерывные функции многих переменных в точке. Их
арифметические свойства. Непрерывность функций от одной
переменной. Непрерывность суперпозиции. Непрерывность на
множестве . Теоремы Вайерштрасса.
Определение 14 (непрерывность функции в точке)
Пусть функция f( x ) n переменных определена в O (a ) . Она называется
непрерывной в a , если lim f ( x )  f (a ).
x a
Замечание. Если f( x ) непрерывна в a , то ее график(поверхность) не
«разрывается» в этой точке. Например, если (x,y)  (a, b), то
покоординатная _ сходимость
( x, y. f ( x, y))

(a, b, f (a, b))  точка графика. То есть,если
двигаться по графику непрерывной функции в направлении (a,b), то
попадаешь в точку графика (a.b, f(a,b).
1, _ x * y  0
.
0, _ x * y  0
Пример. f ( x, y)  
Ее график- плоскость XOY с вырезанным «крестом» из координатных осей ,
Поднятым на уровень z=1.что он разрезан по координатным осям в XOY .
И в точках этих осей нет непрерывности функции. В точках (x,y), xy  0
будет непрерывность по графику.(рис.9)
Теорема 2(арифметические св-ва непрер. функций)
Пусть функции n переменных f ( x ), _ g ( x ) непрерывны в a . Тогда
f ( x )  g ( x ), _ df ( x ) _ d  R,
f (x)
_ при _ g (a )  0
g(x)
тоже непрерывны в a .
f ( x ) * g ( x ), _
Доказательство следует из свойств пределов, и не приводится.
Теорема 3(непрерывность функции от 1 переменного)
Пусть f (x) непрерывна как функция 1 переменного в точке a. Тогда функция
n переменных F ( x )  f ( xi ), _ 1  i  n непрерывна в любой точке
b  (a1 , a 2 ,...ai 1 , a, ai 1 ,..., a n ) .
Доказательство.
покоорд. _ сходимость

lim F ( x )
x b
lim
x1 a1 ,... xi a ,...
непрерывность
f ( xi )

f (а)  F (b ).
Непрерывность доказана.
Теорема 4(непрерывность суперпозиции, для функции 2 переменных)
Пусть функция f(x,y) непрерывна в (x0, y0), x(u,v),y(u,v) непрерывны в
(u0, v0),
причем x(u0,v0)=x0,y(u0,v0)=y0 .
Тогда f(x(u,v),y(u,v)) непрерывна в (u0, v0).
Доказательство.
По определению
lim
непрер  сть
f ( x(u , v), y (u , v))

lim
покоорд. _ сх.
f ( x(u , v), y (u , v))

( u , v )  ( u 0 , v0 ) 
( u , v )  ( u 0 , v0 )
x ( u , v )  x ( u 0 , v0 )  x 0
y ( u , v )  y ( u 0 , v0 )  y 0
f(x0,y0)=f(x(u0,v0),y(u0,v0)),
что и означает непрерывность.
Определение 15 (непрерывность функции в точке по множеству)
Пусть функция f( x ) n переменных определена на множестве A,содержащем
a . Она называется непрерывной в a по множеству A, если предел по этому
множеству lim f ( x )  f (a ).

 x a


 xA
Определение 16 (непрерывность функции на множестве)
Функция f( x ) n переменных, определенная на множестве A, называется
непрерывной на нем, если она непрерывна по этому множеству в каждой его
точке.
Аналогично функциям одного переменного для функций многих
переменных верны теоремы Вайерштрасса, которые приводятся без
доказательства.
Теорема 4(1 теорема Вайерштрвсса, ограниченность непрерывной функции)
Пусть функция f( x ) n переменных определена на замкнутом и
ограниченном множестве A и непрерывна на нем. Тогда эта функция
ограничена на множестве A.
Теорема 5(2 теорема Вайерштрвсса, достижение непрерывной функцией
максимума и минимума)
Пусть функция f( x ) n переменных определена на замкнутом и ограниченном
множестве A и непрерывна на нем. Тогда эта функция достигает на
множестве A своего максимального и минимального значения.
Пример. f ( x, y )  1  x 2  y 2 определена и непрерывна на круге x2+y2  1.
Круг замкнут и ограничен.
Там функция ограничена: 0  f ( x, y)  1 и достигает 0 в (1.0) единицы- в (0,0).
2.4 Частные производные функций многих переменных и их
геометрический смысл.
Касательная плоскость к графику, ее уравнение. Условие
существования касательной плоскости, дифференцируемость.
Дифференциал, его геометрический смысл .
Формула линеаризации и ее использование на примерах.
Изложение этого параграфа приводим для функций 2 переменных.
Это легко переносится на случай функций большего числа переменных.
Функция двух переменных 2.4 Частные производные функций многих
переменных и их геометрический смысл.
Касательная плоскость к графику, ее уравнение. Условие существования
касательной плоскости, дифференцируемость. Дифференциал,
геометрический смысл и формула.
Формула линеаризации и ее использование на примерах.
Функция 2 переменных f(x,y)
превращается в функцию 1 переменного, если фиксировать другое
переменное. А у функций 1 переменного определена производная .
Определение 15(частных производных)
Частной производной от функции 2 переменных f(x,y) в точке (x0, y0)
по переменной x называется производная от функции 1 переменного
f(x,y0) в точке x0.
df ( x, y 0 )
f
( x0 , y 0 ) 
.
x  x0
x
dx
Аналогично
частной производной от функции 2 переменных f(x,y) в точке (x0, y0)
по переменной y называется производная от функции 1 переменного
f(x0,y) в точке x0.
df ( x0 , y)
f
( x0 , y 0 ) 
.
y  y0
y
dy
Примеры.
 sin( x  2 xy  y 2 )
 1  2 y,
x
 sin( x  2 xy  y 2 )
 2 x  2 y.
y
Рассмотрим геометрический смысл частных производных.
Если рассмотреть график функции z=f(x,y), точку графика ( x0,y0, f(x0,y0)) и
координатные линии в этой точке z=f(x,y0) и z=f(x0,y),то последние являются
графиками
функций z=f(x,y0) и z=f(x0,y) в плоскостях y=y0 x=x0 соответственно. Если
первая функция имеет производную по x в x0 . вторая –производную по y в
y0, то эти производные будут равны тангенсам наклона касательных к
соответствующим координатным линиям в точке ( x0,y0, f(x0,y0))
По определению значения этих производных равны значениям
соответствующих частных производных.
Поэтому геометрический смысл частных производных z=f(x,y) в (x0,y0) тангенсы наклона касательных к соответствующим координатным
линиям в точке (x0,y0)
Выведем общепринятые формулы для частных производных.
Теорема 6(формулы для частных производных)
Если функция f(x,y) в точке (x0, y0) имеет частные производные, тогда и
только тогда, когда существуют конечные пределы, им равные
f ( x, y 0 )  f ( x0 , y0 )
f
( x0 , y0 )  lim
.
x
x  x0
x  x0
f ( x , y )  f ( x0 , y 0 )
f
( x0 , y 0 )  lim
.
y
y  y0
y  y0
Доказательство.
Эти формулы легко вытекают из расписывания определения:
Например,
df ( x, y 0 )
f
( x0 , y 0 ) 
.
x  x0
x
dx
опред. _ произв. _ по _ 1 _ перем.
f ( x, y 0 )  f ( x0 , y 0 )

,_
lim
x  x0
x  x0
ч.т.д. Для производной по y все аналогично.
Для дальнейшего изучения напишем по этим данным уравнения
касательных прямых к координатным линиям в точке (x0,y0).
В плоскости x=x0 начальная точка z0=f(x0,y0), тангенс наклона касательной
к координатной y-линии
df ( x0 , y)
f
( x0 , y 0 ) 
. Поэтому уравнение этой касательной прямой
y  y0
y
dy
f

 z  f ( x0 , y 0 )  ( x0 , y 0 )( y  y 0 )
.

x

x  x0
Аналогично в плоскости y=y0 начальная точка z0=f(x0,y0), тангенс наклона
касательной к координатной x-линии
df ( x, y 0 )
f
( x0 , y 0 ) 
. Поэтому уравнение этой касательной прямой
x  x0
x
dx
f

 z  f ( x0 , y 0 )  ( x0 , y 0 )( x  x0 )
.

x

y  y0
Все эти касательные изображены на рисунке 9 а, 9б в вертикальных
плоскостях и на рис.9в в трехмерном пространстве.
Заметим, что через 2 пересекающиеся прямые проходит единственная
плоскость. Сравнивая уравнения этих прямых, можно сразу написать
уравнение этой плоскости. Это
z  f ( x0 , y 0 ) 
f
f
( x0 , y 0 )( x  x0 )  ( x0 , y 0 )( y  y 0 ) ..Эта плоскость содержит обе
x
y
касательные прямые к координатным линиям на графике, значит вместе с
этими касательными она-самая близкая проходящая через( x0,y0, f(x0,y0))
плоскость к координатным линиям,
отличающаяся на o(x-x0) от x-линии и на o(y-y0) от y-линии, т.е. всегда на
, где   ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2 , т.к. x  x0   и y  y0   вблизи точки
( x0,y0, f(x0,y0)).
Значит, если плоскость, проходящая через( x0,y0, f(x0,y0)) ,отличается от
графика на o(  ) при приближении к (x0,y0), то она совпадает с найденной
плоскостью! Для любого графика это может быть не выполнено(см. рис.9)
o(  )
Определим теперь понятие касательной плоскости к гафику.
Определение 16(касательная плоскость)
Пусть z=f(x,y) определена в окрестности точки ( x0 , y0 ) . Тогда плоскостью,
касательной к графику в точке ( x0 , y0 , z 0 ), z 0  f ( x0 , y0 ) называется плоскость
z=z0+A(x-x0)+B(y-y0) все более приближающаяся к графику z=f(x,y) при (x,y)
 ( x0 , y0 ) ,что записывается :
f(x,y)=f(x0,y0) +A(x-x0)+B(y-y0) +o(  ) где   ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2 .
Замечание
В силу проведенных перед определением касательной плоскости
рассуждений получаем , если функция имеет обе частные производные в
точке, то касательная плоскость должна иметь уравнение
z  f ( x0 , y 0 ) 
f
f
( x0 , y 0 )( x  x0 )  ( x0 , y 0 )( y  y 0 ) . Сейчас покажем обратное.
x
y
Теорема 7(формула для касательной плоскости)
Если график z=f(x,y) имеет касательную плоскость z= f(x0,y0) +A(x-x0)+B(yy0) в точке ( x0 , y0 ) , то эта функция имеет частные производные в этой точке
и

A


B 

f
( x0 , y 0 )
x
.
f
( x0 , y 0 )
y
Доказательство.
Достаточно доказать для одного коэффициента, для другого все аналогично.
Будем действовать по формуле для частных производных..
df ( x, y 0 )
f ( x, y 0 )  f ( x0 , y 0 )
f
( x0 , y 0 ) 
 lim
x  x0 x x0
x
dx
x  x0
 lim
f ( x0 , y 0 )  A( x  x0 )  B( y 0  y 0 )  o( ( x  x0 ) 2  ( y 0  y 0 ) 2 )  f ( x0 , y 0 )
x  x0
x  x0
 lim
подставляем _ опр. _  _ и _ кас. _ пл.

A( x  x0 )  o( ( x  x0 ) 2 )
x  x0
x  x0
 lim A 
x  x0
o( x  x 0 )
 A0
( x  x0 )

по определению o(x-x0).
Определение 17(дифференцируемость)
Пусть z=f(x,y) определенная в окрестности точки ( x0 , y0 ) называется
дифференцируемой в точке ( x0 , y0 ) , если у графика функции в этой точке
существует касательная плоскость.
Замечание 1. Это перефразировонное определение существования
касательной плоскости удобно тем, называет существование касательной
плоскости одним словом, что упрощает изложение.
Замечание 2 . Другими словами при ( x, y)  ( x0 , y0 ) выполнено
асимптотическое равенство
f(x,y)=f(x0,y0) +A(x-x0)+B(y-y0) +o(  ) где   ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2 . , что
совпадает с общепринятым определением дифференцируемости.
В силу формулы для касательной плоскости имеем для дифференцируемой в
точке функции

 A 

B 

f
( x0 , y 0 )
x
. отсюда следует
f
( x0 , y 0 )
y
Теорема 8
Формула для приращения дифференцируемой в (x0,y0) функции f(x,y) имеет
вид
f  f(x,y)-f(x0,y0)
=
f
f
( x0 , y 0 ) (x-x0)+ ( x0 , y 0 ) (y-y0) +o(  ) где
x
y
  ( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2 .
Замечание.
f
f
( x 0 , y 0 )) 2 +( ( x0 , y 0 ) )2  0 следует равенство
x
y
f
f
f ( x0 , y 0 ) ~
( x0 , y 0 )( x  x0 )  ( x0 , y 0 )( y  y 0 )
x
y
Из этой формулы при (
Т.е. приращение дифференцируемой функции имеет в этом случае главную
линейную часть.
Эта линейная часть имеет свое название.
Определение 18(дифференциал)
Дифференциалом дифференцируемой в точке (x0,y0) функции f(x,y)
называется
f
f
( x0 , y 0 )( x  x0 )  ( x0 , y 0 )( y  y 0 ).
x
y
f
f
Замечание1. При ( ( x0 , y 0 )) 2 +( ( x0 , y 0 ) )2  0 из равенства
x
y
f
f
f ( x0 , y 0 ) ~
( x0 , y 0 )( x  x0 )  ( x0 , y 0 )( y  y 0 )
x
y
df ( x0 , y 0 ) 
следует, что при этом дифференциал есть главная линейная часть
приращения . В некоторых учебниках приводится такое определение
дифференциала.
Замечание 2.(геометрический смысл дифференциала)
Запишем уравнение касательной плоскости в несколько ином виде:
z кас
f
f
 ( x0 , y 0 )( x  x0 )  ( x0 , y 0 )( y  y 0 )
x
y
по _ определению

df ( x0 , y 0 ).
Итак, получили, что дифференциал есть приращение аппликаты
касательной плоскости(рис.10)
Так как график дифференцируемой функции приближается к графику
касательной плоскости при приближении к точке, то естественно получить
линейное приближение для дифференцируемой функции, заменяя ее
касательной плоскостью вблизи точки.
Определение 19(формула линеаризации)
Формулой линеаризации (ФЛ) для дифференцируемой точке (x0,y0) функции
f(x,y) называется приближенная формула
f ( x, y )  f ( x0 , y 0 ) 
f
f
( x0 , y 0 )( x  x0 )  ( x0 , y 0 )( y  y 0 )
x
y
Замечание. Эта формула используется для приближенных вычислений.
Но для этого нужно уметь проверять. Будет ли функция дифференцируемой.
Приведем достаточное условие дифференцируемости.
Теорема 9
Если функция
f(x,y) имеет в окрестности (x0,y0) обе частные производные, непрерывные в
(x0,y0) , то она дифференцируема в (x0,y0) .
Доказательство.
ф..Лагр.по1 _ перем.и _ фикс.друг.
f ( x, y )  f ( x 0 , y 0 )  f ( x, y )  f ( x 0 , y )  f ( x 0 , y )  f ( x 0 , y 0 )

f
f
 ( x0  1 ( x  x0 ), y)( x  x0 )  ( x0 , y 0   2 ( y  y 0 )( y  y 0 )
x
y
(
непр  сть _ произв.

f
f
( x0 , y 0 )   ( x, y ))( x  x0 )  ( ( x0 , y 0 )   ( x, y ))( y  y 0 ) 
x
y
f
f
( x0 , y 0 )( x  x0 )  o( x  x0 )  ( x0 , y 0 )( y  y 0 )  o( y  y 0 ) 
x
y
f
f

( x0 , y 0 )( x  x0 )  ( x0 , y 0 )( y  y 0 )  o(  )
x
y

Т.к.
x  x0   , _ y  y 0    ( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2
Пример.Вычислим приближенно
(3,023) 2  (3,934) 2 .
Для этого введем в рассмотрению функцию 2 переменных
f ( x, y )  x 2  y 2
Ее частные производные будут
f

x
x
x2  y2
,
f

y
y
x2  y2
.
Они непрерывны всюду, кроме (0,0). Следовательно всюду, кроме этой точки
функция дифференцируема. В частности в точке
(x0,y0)=(3,4). Тогда z0=f(x0,y0)=
 32  4 2  5
Применим формулу линеаризации для (x,y)=(3,023,3,934).
Тогда x-x0=0,23; y-y0=-0,66
f

x
x
x 2  y 2 (3,4)

3
f
 0,6;

5
y
y
4
.   0,8.
x 2  y 2 (3,4) 5
Подставим это в ФЛ
f ( x, y )  f ( x0 , y 0 ) 
Получим
f
f
( x0 , y 0 )( x  x0 )  ( x0 , y 0 )( y  y 0 )
x
y
(3,023) 2  (3,934) 2  5  0.6 * 0.23  0.8 * 0.66  4.61.
2.5 Теоремы о дифференцировании сложных функций. Примеры.
Производная по направлению. Градиент. Его геометрический смысл.
Теорема 10 .
Пусть функция двух переменных f (x,y) дифференцируема в точке (x0,y0),
x=x(t), y=y(t) дифференцируемы в t=t0 . причем x(t0)=x0,y(t0 )=y0. Тогда
сложная функция f(x(t),y(t)) дифференцируема в t=t0, причем
df ( x(t 0 ), y (t 0 )) f
dx
f
dy

( x0 , y 0 ) (t 0 )  ( x0 , y 0 ) (t 0 )
dt
x
dt
y
dx
Доказательство.
В силу дифференцируемости
f ( x(t ), y (t ))  f ( x(t 0 ), y (t 0 )) f
x(t )  x(t 0 ) f
y (t )  y (t 0 )

( x0 , y 0 )
 ( x0 , y 0 )

t  t0
x
(t  t 0 )
y
t  t0
 ( x(t ), y (t )) (
x(t )  x0 2
y (t )  y 0 2
) (
) ,
t  t0
t t 0
где
 ( x(t ), y (t )) 
бесконечно малая при
x(t )  x0  x(t 0 ), y(t )  y0  y(t 0 )
и значит при
t  t0 .
Тогда
x(t )  x(t 0 )
y(t )  y(t 0 )
dx
dy
 (t 0 ),
 (t 0 ),
t  t0
dt
t  t0
dt
Используя это при переходе к пределу при t  t 0 ,
получим требуемое
df ( x(t 0 ), y (t 0 )) f
dx
f
dy

( x0 , y 0 ) (t 0 )  ( x0 , y 0 ) (t 0 ).
dt
x
dt
y
dx
Пример 1. Получим для примера, используя эту формулу формулу для
дифференцирования частного двух функций u=u(x), v=v(x).
u
дифференцируема при v  0 . u(x),v(x)- дифференцируемы в
v
f 1 f
u
 ,
  2 . Поэтому по теореме 10
x0 , причем v( x0 )  0. Тогда
u v v
v
u ( x)
d(
) du u dv du v  dv u
v( x)
 dx 2 dx . Это известная формула.
= dx  dx
v
dx
v2
v
f(u,v,)=
Теорема 11.
Пусть функция двух переменных f (x,y) дифференцируема в точке (x0,y0),
x=x(u,v), y=y(u,v) дифференцируемы в (u0,v0) . причем x(u0,v0)=x0,y(u0,v0 )=y0.
Тогда сложная функция f(x(t),y(t)) дифференцируема в t=t0, причем
f ( x(u 0 , v0 ), y (u 0 , v0 )) f
x
f
y

( x0 , y 0 ) (u 0 , v0 )  ( x0 , y 0 ) (u 0 , v0 ),
u
x
u
y
u
f ( x(u 0 , v0 ), y (u 0 , v0 )) f
x
f
y

( x0 , y 0 ) (u 0 , v0 )  ( x0 , y 0 ) (u 0 , v0 ).
v
x
v
y
v
Доказательство.
Частная производная от функции по u считается при фиксированном v. При
этом x(u,v), y(u,v) тоже превращаются в функции 1 переменного u ,а частные
производные есть производные от функций одного u. Таким образом первая
формула-это формула предыдущей теоремы. Вторая формула получается
прификсировании u.
Пример.Найти частные производные
f(x,y)= ln( x 2  y 4  sin 3 ( x  y)) .
Можно рассмотреть вспомогательные функции u(x,y)=x2+y2,v(x,y)=sin3(x+y).
 ln( u  v)
1

,
u
uv
u
u
v
v
 ln( u  v)
1

,
 2 x,
 4y3,
 3 sin 2 ( x  y ) cos( x  y )  .
v
u  v x
y
x
y
f
1
( x, y )  2
(2 x  3 sin 2 ( x  y ) cos( x  y )),
4
x
x  y  sin 3 ( x  y )
Здесь внешняя функция ln(u+v). Ее производные
f
1
( x, y )  2
(4 y 3  3 sin 2 ( x  y ) cos( x  y )).
4
3
x
x  y  sin ( x  y )
Перейдем к рассмотрению производной в точке по заданному направлению.
Определение 20.(производной по направлению)
Пусть функция f(x,y) определена в некоторой окрестности точки (x0,y0).
e  (a, b) 
единичный вектор, приложенный в этой точке.
 x  at  x0
имеет часть, лежащую в этой окрестности, на
 y  bt  y 0
Тогда прямая 
которой будет определена функция. На прямой она будет функцией одного
переменного t f(at+x0,bt+y0), имеющей в t=0 значение f(x0, y0).
Если эта функция дифференцируема в t=0, то эта производная называется
производной от f(x,y) в точке (x0,y0) по направлению e  (a, b). Это
записывается так:
f
e
( x0 , y 0 ) 
d
f (at  x0 , bt  y 0 )
.
t 0
dt
Следствие. Производная по направлению, как производная функции 1
переменного определяет скорость изменения функции в начальной точке.
Теорема 12(формула для производной по направлению)
Пусть функция f(x,y) дифференцируема в точке (x0,y0). e  (a, b) 
единичный вектор, приложенный в этой точке.
Тогда ее производная по направлению этого вектора будет:
f
e
( x0 , y 0 )  a
f
f
( x0 , y 0 )  b ( x0 , y 0 ).
x
y
Доказательство следует из применения формулы теоремы 10.
Дадим теперь следующее
Определение 21(градиента)
Если функция f(x,y) имеет в точке (x0,y0) обе производные, то составленный
из них вектор называется градиентом функции f(x,y) в точке (x0,y0) .
Он обозначается
grad f ( x0 , y 0 )  (
f
f
( x0 , y 0 ), ( x0 , y 0 ))
x
y
Следствие1 теоремы 12. С учетом этого определения формулу для
производной по направлению можно переписать через скалярное
произведение вектора направления и градиента:
f
e
( x0 , y 0 )  a
f
f
( x0 , y 0 )  b ( x0 , y 0 )  (( a, b),.grad f ( x0 , y 0 ))
x
y
Следствие2
Вектор градиент задает направление наибольшего изменения(возрастания)
функции в точке его приложения.
Достаточно доказать, что модуль производной по направлению градиента
максимален.
Действительно
f
e
нерав.К  Б
(a, b)  един.
( x0 , y 0 )  (( a, b),.grad f ( x0 , y 0 ))

(a, b) grad f ( x0 , y 0

gradf ( x0 , y 0
И если (a,b) сонаправлен градиенту, то
( a, b) 
f
e
( x0 , y 0 )  (( a, b),. grad f ( x0 , y 0 )
gragf
gradf

.
gradf
gradf
2
 grad f ( x0 , y 0 )  0
достигает максимального значения. При этом производная больше 0,значит
в направлении градиента функция всегда возрастает.
Пример1. Найти направления максимального изменения ln(x+y2) в точке
(1.0) и скорость изменения функции по этому направлению.
Убывает или возрастает функция в направлении градиента?
1
2y
,
)
 (1,2).
2
2
grad f(1,0)=( x  y x  y (1,0)
(
Единичный вектор по этому направлению будет
 1 2 

,

 5 5
f
e
(1,0)  ((
1
5
,
 1 2 
),.grad f (1,0))   
,
, (1,2)
5
 5 5
2

1
5

4
5
 5 0
Производная по направлению положительна, поэтому функция по нему
возрастает.
2.6 Производные высших порядков. Теорема Шварца. Примеры.
Локальный экстремум.
Необходимое и достаточное условие. Пример.
Аналогично производным функции одного переменного определяются
производные высших порядков для функции многих переменных.
Причем производные каждого следующего порядка есть производные от
производных предыдущего порядка. Определим подробнее производные 2
Порядка функции 2 переменных.
Определение 22(производных 2 порядка)
Если производные 1 порядка имеют свои производные в точке, то эти
производные называются производными 2 порядка.
При этом в зависимости от порядка дифференцирования они обозначаются
 f  2 f
 f
2 f
 f  2 f
 f  2 f

(
),

(
),

( ),
 ( ).
2
2
y y xy x y yx y x
x x y
x
Последние 2 производные называются смешенными. Причем понимание
связи записи для них с порядком дифференцирование условное, может
меняться в разных учебниках. Но в силу следующей теоремы это не является
существенным.
Теорема 13.
Если все производные функции1 и 2 порядка непрерывны в точке, то
смешанные производные 2 порядка в ней равны.
Доказательство.
Напомним, что непрерывность двух производных функции дает ее
дифференцируемость.
Имеем
f ( x0  x, y0  y)  f ( x0 , y0  y)  f ( x0 , y0  y)  f ( x0 , y0 )  f ( x0  x, y0  y)  f ( x0 , y0 ) 
f ( x0  x, y 0  y)  f ( x0  x, y 0 )  f ( x0  x, y 0 )  f ( x0 , y 0 ) (**)
Из непрерывности первых производных следует дифференцируемость
функции в точке и формула для дифференцируемости дает
f ( x 0  x, y 0  y )  f ( x 0 , y 0  y ) 
f
( x 0 , y 0  y )x  o(x),
x
f
( x 0 , y 0 )y  o(y ),
y
f
f ( x 0  x, y 0  y )  f ( x 0  x, y 0 )  ( x 0  x, y 0 )y  o(y ),
y
f
f ( x 0  x, y 0 )  f ( x 0 , y 0 )  ( x 0 , y 0 )x  o(x)
x
f ( x 0 , y 0  y )  f ( x 0 , y 0 ) 
Подставив в (**), получим
f
f
f
( x 0 , y 0  y )x  o(x) 
( x 0  x, y 0 )y  o(y ) 
( x 0 , y 0 )y  o(y ) 
x
y
y
f

( x 0 , y 0 )x  o(x) .
x
Тогда
f
f
( x 0 , y 0  y )x 
( x 0 , y 0 )x  o(x) =
x
x
f
f
= ( x0 , y 0 )y  ( x 0  x, y 0 )y  o(y ) (***)
y
y
Из дифференцируемости 1 производных по формуле дифференцируемости
 f
f
f
( x0 , y0 )y  o(y))x  o(x),
( x 0 , y 0  y )x 
( x 0 , y 0 )x  o(x) = (
x
x
yx
2
 f
f
f
( x0 , y0 )x  o(x))y  o(y).
( x 0  x, y 0 )y  o(y ) = (
( x 0 , y 0 )y 
y
y
xy
2
Подставив это в (***), получим
2 f
2 f
(
( x0 , y0 )y  o(y)) x  o(x)  (
( x0 , y0 )x  o(x))y  o(y) .
yx
xy
2 f
2 f
Отсюда (
( x0 , y 0 ) 
( x0 , y0 ))xy  o(x)y  o(y)  o(x)  0 .
yx
xy
Положим x  y и поделим на y 2 :
Получим
2 f
2 f
(
( x0 , y 0 ) 
( x0 , y0 )  o(1))  o(1)  o(1)  0.
yx
xy
Перейдем к пределу при x, y   0 . Все o(1)-бесконечно малые.
Получим
2 f
2 f
( x0 , y 0 ) 
( x0 , y 0 ) , что и требовалось.
yx
xy
Пример 1.
Продемонстрируем это на примере.
x
y
f(x,y)=arctg( ( ).
f

x
1
y (1 
2
x
)
y2

y
f
,

2
x  y y
2
x
y 2 (1 
2
x
)
y2

x
,
x  y2
2
2 f

y
x2  y2  2y2
x2  y2
 (
)
 2
,
yx y x 2  y 2
(x2  y 2 )2
(x  y 2 )2
2 f

x
 x 2  y 2  2x 2
x2  y2
 (
)
 2
xy x x 2  y 2
(x2  y 2 )2
(x  y 2 )2
Смешанные производные равны.
Пример 2. Пусть f(x,y) имеет непрерывные первые и вторые частные
производные в O  (x0,y0) e  (a,b), a 2  b 2  1.
x=x0+at, y=y0+bt-параметрические уравнения прямой.
Тогда по теореме
df
f
f
f
f
( x(t ), y(t )) 
( x(t ), y(t )) x (t )  ( x(t ), y (t )) y (t )  a ( x(t ), y (t ))  b ( x(t ), y (t )),
dx
x
y
x
y
d2 f
2 f
2 f
(
x
(
t
),
y
(
t
))

a
(
(
x
(
t
),
y
(
t
))
a

( x(t ), y(t ))b) 
yx
dx 2
x 2
2 f
2 f
2 f
2 f
 b(
( x(t ), y (t )) a  2 ( x(t ), y (t ))b) = a 2 2 ( x(t ), y(t ))  2ab
( x(t ), y(t ))b) 
xy
y
yx
x
 b2
2 f
( x(t ), y (t ))
y 2
Замечание. (x,y)  O  (x0,y0)  t   . Действительно, d((x,y),(x0,y0)=
( x(t )  x(0)) 2  ( y(t )  y(0)) 2  (at  x0  a * 0  x0 ) 2  (bt  y0  b * 0  y0 ) 2  ( a 2  b 2 ) t  t ,
так как – e -единичный вектор.
Т.е. d((x,y),(x0,y0)    t   . Это значит, что расстояние между точками
прямой можно измерять по параметру t, если направляющий вектор имеет
длину 1.
Далее будем изучать локальные экстремумы функции 2 переменных.
Определение 23.
Пусть f(x,y) определена в окрестности O ( x0 , y0 ). . Если в этой окрестности
f ( x, y)  f ( x0 , y 0 ) . то говорят, что (x0,y0)-точка локального максимума для
f(x,y), если в этой окрестности f ( x, y)  f ( x0 , y0 ) . то говорят, что (x0,y0)-точка
локального минимума.
Точка (x0,y0) называется точкой локального экстремума. если она является
точкой локального максимума или локального минимума.
Замечание. В точке локального максимума график образует «горку», в точке
Локального минимума-«ямку» (см. рис. 11)
Теорема 14(необходимые условия экстремума)
Если (x0,y0) точка локального экстремума для f(x,y) и существует какаялибо частная производная в этой точке. то она равна 0.
Доказательство.
Пусть для определенности существует частная производная по x.
Тогда по определению
df ( x, y0 )
f
( x0 , y 0 ) 
.
x  x0
x
dx
График функции f(x,y0) является координатной x–линией на графике f(x,y) и
одновременно с ним имеет в x=x0 «горку»,
или «ямку», т.е. локальный экстремум(см. рис.12) Так как функция f(x,y0)
дифференцируема в x=x0 , то ее производная равна 0, а вместе с ней равная
ей частная производная
df ( x, y 0 )
f
( x0 , y 0 ) 
 0. .
x  x0
x
dx
Замечание. Если существуют обе частные производные, то они обе равны
0. На этом основании разыскиваются точки, в которых может быть
локальный экстремум.
Определение 24.
Точка (x0,y0) называется критической точкой для f(x,y), если обе ее частные
производные в этой точке равны 0:
f ( x0 , y 0 )
f
( x0 , y 0 ) 
 0.
x
y
Теорема 15(достаточные условия экстремума)
Пусть f(x,y) определена в окрестности O ( x0 , y0 ). и имеет в ней непрерывные
первые и вторые производные. В точке (x0,y0) выполнены необходимые
условия экстремума:
f ( x0 , y 0 )
f
( x0 , y 0 ) 
 0.
x
y
Обозначим
2 f
2 f
2 f
(
x
,
y
)

A
,
( x0 , y 0 )  C ,   AC  B 2 .
(
x
,
y
)

B
,
0
0
0
0
2
2
y
x
xy
Тогда
если   0, то в точке (x0,y0)будет локальный экстремум: максимум при
A<0 и минимум при A>0;
если   0, то в точке (x0,y0)будет локального экстремума нет;
если   0, то ничего сказать нельзя.
Доказательство.
Рассмотрим функции
2 f
2 f
2 f
( x, y )  A( x, y ),
( x, y)  B( x, y), 2 ( x, y )  C ( x, y ),
y
x 2
xy
2
( x, y)  A( x, y)C ( x, y)  B ( x, y).
В точке (x0,y0) они совпадают с A,B,C,  соответственно.
Все эти функции вместе с вторыми производными непрерывны в
окрестности O ( x0 , y0 ). По свойствам непрерывных функций, если
в (x0,y0) эти функции не равны 0, то они сохраняют знак в некоторой
окрестности O ( x0 , y 0 ). Эту окрестность можно считать одинаковой для всех
не равных нулю в (x0,y0) функций A и .
Рассмотрим единичный вектор e  (a,b), a 2  b 2  1.
Возьмем прямую x(t)=x0+at, y(t)=y0+bt, заданную параметрически. В силу
примера 2 к теореме 13
f
f
df
df
( x(t ), y (t ))  a ( x(t ), y (t ))  b ( x(t ), y (t )),
( x(0), y (0))  0 из-за необх. условий
dx
dx
x
y
Экстремума.
2
2 f
d2 f
2  f
( x(t ), y (t ))  = a
( x(t ), y(t ))  2ab
( x(t ), y(t ))b) 
dx 2
yx
x 2
по введ. обозн.
2
2  f
b
( x(t ), y (t ))

a 2 A(t )  2ab B(t )  b 2 C (t ).
2
y
Все эти производные непрерывны на прямой x=x0+at, y=y0+bt.
Запишем для функции f(x,y) на этой прямой формулу Тейлора 1 порядка в
форме Лагранжа в точке t=0.
t2
f(x(t),y(t))-f(x0,y0)= f ( x0 , y0 )t  f (a  x0 , b  y 0 )
2
 (a 2 A( )  2ab B( )  b 2 C ( ))
по ф  лам (1)

t2
.
2
При наличии экстремума в t=0 в рассматриваемой окрестности необходимо и
достаточно неизменение знака этого приращения функции.
t2>0, значит надо исследовать знак
a 2 A( )  2ab B( )  b 2 C ( ). при  между 0 и t , т.е. соотв. точка прямой внутри
O ( x0 , y 0 ).
Пусть   0, а значит тоже  ( )  0, (сохраняет знак   0 ).
Направляющий вектор прямой не равен 0. Пусть для определенности
b  0. Тогда
a
a
( )  b 2 ( A( )( ) 2  2 B ( )  C ( )).
b
b
b2>0. В скобке стоит квадратный трехчлен относительно
Он не меняет знак при
a
.
b
2
D
  A( x, y )C ( x, y )  B ( x, y )  ( )  0 , что выполнено.
4
При этом знак трехчлена(приращения функции) совпадает со знаком A.
Т.е. при A>0 приращение положительно-локальный минимум, при A<0
приращение отрицательно-локальный максимум, что и требовалось.
2
Если   0 то   AC  B  0
И аналогичным образом
d2 f
( x(0), y (0))  a 2 A  2abB  Cb 2 меняет знак при
2
dx
разных (a,b). Т.е. на 2 разных прямых x(t)=x0+at, y(t)=y0+bt имеем в t=0
выполнение необходимых и достаточных строгих экстремумов, на одной для
максимума(2 произв. В 0 меньше 0), для другой для минимума(2 произв. В 0
больше 0). Т.е общего экстремума во всей окрестности нет. Что и
требовалось.
2.7 Теорема Юнга для 2-х и 3-х переменных. Уравнение касательной к
графику неявной функции. Свойство градиента. Примеры.
Разберем теоремы о неявных функциях.
Для примера рассмотрим уравнение x2+y2=4 или x2+y2+z2=1.
Первое является уравнением окружности на плоскости, второе – уравнением
сферы в пространстве. Возникает вопрос, являются ли эти множества или их
части графиками функций? Первое можно разрешить относительно y,
второе- относительно z. Получим y   4  x 2 , z   1  x 2  y 2 .
В обоих случаях получим по 2 разные функции. Попробуем получить
условия разрешимости таких уравнений.
Теорема 16.
Пусть имеем уравнение F(x,y)=0.(*)
Оно определяет кривую на плоскости.
(x0,y0) принадлежит этой кривой. Пусть F(x,y) непрерывна и имеет в
некоторой окрестности
каждой точки кривой непрерывные в этой точке частные производные.
F
( x0 , y 0 )  0. Тогда существует единственная в некоторой окрестности
y
O 1 ( x0 , y 0 ) функция y=y(x), y(x0)=y0, определенная в окрестности O ( x0 ) и
Пусть
удовлетворяющая там уравнению(*).При этом y=y(x) дифференцируема в x0.
F
( x0 , y 0 )
При этом y ( x0 )   x
.
F
( x0 , y 0 )
y
Доказательство.
F
( x, y )  0 и сохраняет
y
F
знак(существует из непрерывности и условия теоремы ( x0 , y0 )  0. )
y
Рассмотрим любую окрестность O 1 (x0,y0), где
Предположим для определенности, что эта производная там больше
0.Уменьшив окрестность, можно считать, что это выполнено вплоть до ее
границы.
Тогда F(x0,y) строго возрастает в пределах этой окрестности по y. Поэтому
В на границе той же окрестности существуют точки (x0,y1), (x0,y2) (y 1<y0<y2),
где F(x0,y1)<0=F(x0,y0)<F(x0,y2) , (см. рис. 13). В силу непрерывности
найдется


O ( x0 ) где для всех ( x, y1 ), ( x, y 2 ) на нижней и верхней границах окрестности
будет F(x, y1 )<0<F(x, y 2  ), Тогда из-за положительности
F
( x0 , y 0 )  0 и
y
непрерывности F(x,y)


x  O ( x0 ) единственное y1  y( x)  y 2 , такое, что F ( x, y( x))  0 .
Итак, решение уравнения найдено. Это будет непрерывная функция по
x. Действительно,   0 при уменьшении исходной окрестности до рад.
  1 , мы получим
решение при  ( )   , которое в его области определения будет совпадать с
построенным в силу его единственности(рис. 13a). Кроме того  x  x0   ( )
точки (x,y(x))  O ( x0 , y0 )  y( x)  y( x0 )   (рис. 13б). Это есть непрерывность
y(x) в x0. Все другие точки графика y(x), x  x0   , ничем не отличаются от
(x0,y0), т.е. в них функция тоже непрерывна. Значит, она непрерывна во всей
области своего определения.
Далее по свойству дифференцируемости F(x,y)= F(x0,y0)+

F
F
( x  x0 ) 
( x0 , y 0 )( y  y 0 )  o(  ). Так как F(x0,y0)=0,то
x
y
F
F
( x0 , y 0 )( x  x0 ) 
( x0 , y 0 )( y  y 0 )  o(  )  0.
x
y
Подставим найденное решение, получим тождество:
F
F
( x0 , y 0 )( x  x0 ) 
( x0 , y 0 )( y ( x)  y 0 )  o(  )  0.
x
y
F
( x0 , y 0 )  0. Поэтому
y
F
( x0 , y 0 )
y ( x)  y ( x0 )  x
( x  x 0 )  o( ( x  x 0 ) 2  ( y ( x )  y 0 ) 2 )
F
( x0 , y 0 )
y
Поскольку у(x) непрерывна в x0 , то при
x  x 0  y ( x)  y 0 и ( x  x 0 ) 2  ( y ( x)  y 0 ) 2  0 и
o( ( x  x0 ) 2  ( y( x)  y0 ) 2 )  o(( x  x0 ))
Получаем формулу дифференцируемости y(x) в x0.
F
( x0 , y 0 )

x
y ( x)  y ( x0 ) 
( x  x0 )  o( x  x0 ). При этом
F
( x0 , y 0 )
y
F
( x0 , y 0 )

x
y ( x 0 )  
.
F
( x0 , y 0 )
y
Теорема 17.
Пусть имеем уравнение F(x,y,z)=0(*).
Оно определяет поверхность в пространстве.
(x0,y0,z0) принадлежит этой поверхности. Пусть F(x,y,z) непрерывна и имеет в
некоторой окрестности
каждой точки поверхности непрерывные в этой точке частные производные.
Пусть
F
( x0 , y 0 , z 0 )  0. Тогда существует единственная в некоторой
z
окрестности
O 1 ( x0 , y0 , z 0 ) функция z=z(x,y), z(x0,y0)=z0, определенная в окрестности
O ( x0 , y 0 ) и удовлетворяющая там уравнению(*).При этом z=z(x,y)
дифференцируема в (x0,y0).
При этом
F
( x0 , y 0 , z 0 )
z
( x0 , y 0 )   x
,
F
x
( x0 , y 0 , z 0 )
z
F
( x0 , y 0 , z 0 )
z
y
( x0 , y 0 )  
.
F
y
( x0 , y 0 , z 0 )
z
Доказательство аналогично доказательству теоремы 16, его не приводим.
Рассмотрим пример:
Дано уравнение xy2+5y6x3-6=0. Точка (1,1) ему удовлетворяет.
1)Разрешимо ли оно относительно y в окрестности x=1?
2) Существуют ли у него 2 производные и чему они равны?
По теореме 16 имеем F(x,y)= xy2+5y6x3-6,
F
 2 xy  30 y 5 x 3
 32  0.
( x, y )  (1,1)
y
Поэтому