МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНЦЕПЦИИ КРИВОЙ А

МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНЦЕПЦИИ КРИВОЙ А. ЛАФФЕРА
- МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОСНОВЫ ФИСКАЛЬНОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ.
Власов Д.А., Антоновская О. М.
МГОПУ им. М.А. Шолохова
Предметом статьи является вывод на основе макроэкономических представлений в аналитической
форме кривой Лаффера для налоговых ставок. Показано, что кривая Лаффера имеет место как в случае
налога на добавленную стоимость, так и в случае налога на прибыль, но не реализуется в случае
подоходного налога. Сделан вывод о наличии пороговых значений ставок налога на прибыль и налога на
добавленную стоимость (<100%), выше которых легальная хозяйственная деятельность прекращается,
доходы государства исчезают.
В 1974 г. Артур Лаффер предложил кривую зависимости налоговых поступлений государства от
усредненной ставки налога, характеризующуюся наличием участка падения доходов с ростом налогов (см.
Рис.1).
Налоговые
поступления
0%
Рис. 1
Налоговая ставка
100%
В 80-е гг. кривая А. Лаффера была использована администрацией Рейгана в качестве обоснования
снижения ставки подоходного налога. Практический аспект изучения кривой А. Лаффера связан с выбором
оптимального режима налогообложения. Несомненна актуальность темы для современной России, где
бремя налогов смягчается уклонением от них.
В работе [1, с. 277-280] показано, что падение налоговых поступлений государства может быть
связано со снижением предложения труда при росте ставки подоходного налога. В работе [2, с.21-28]
предпринята попытка построения кривой Лаффера для акцизов. Авторами была использована линейная
зависимость спроса Q от рыночной цены товара р и ставки акциза Т: Q(p, T) = a – b(p + T), где a >0 и b>0
— неизвестные параметры (использованы обозначения [2]). Налоговые поступления R=QT. Полученная
зависимость R от Т является квадратичной с максимумом в точке
использование зависимости
T
( a /b )  p
. Следует отметить, что
2
Q( p, T )  c( p  T ) d , где с>0 и d>0 — неизвестные параметры, приводит
к исчезновению максимума на кривой R в случае d<1. Если d>1, то максимум кривой R находится в точке
T
p
.
d1
В [3, с. 129-141] на основе микроэкономического подхода сделан вывод о том, что зависимость
дохода государства от налога на добавленную стоимость (НДС) описывается кривой Лаффера, в то время
как для зависимости дохода государства от налога на прибыль кривая Лаффера не имеет места. В разд. 1
описана двухсекторная замкнутая линейная равновесная макроэкономическая модель расширенного
воспроизводства в рамках технологии Леонтьева. В разд. 2 получена зависимость дохода государства от
ставки налога на прибыль и ставки подоходного налога в случае экзогенной производительности труда.
Сделан вывод о наличии предельной ставки налога на прибыль, выше которой легальная хозяйственная
деятельность прекращается. В разд. 3 рассмотрена динамика модели с учетом амортизации. В разд. 4 в
модель вводится НДС, что не ведет радикальным изменениям. Показано, что зависимость дохода
государства от налоговой ставки описывается кривой Лаффера как в случае НДС, так и в случае налога на
прибыль. В то же время зависимость дохода государства от ставки подоходного налога не описывается
кривой Лаффера. Рассмотрим далее описание исследуемой модели. В целях построения кривой Лаффера
рассмотрим двухсекторную замкнутую линейную равновесную макроэкономическую модель расширенного
воспроизводства, состоящую из следующих секторов:
1-ый сектор - предприятия, производящие средства производства труда ценой
предприятия, производящие потребительские товары ценой
p2 .
p1 .
2-ой сектор -
Все средства производства, а так же
потребительские товары считаются одинаковыми. На этих предприятиях занято
Производительность труда каждого равна  1 и  2 соответственно.
L1
и
L2
человек,
Доход государства равен величине налоговых поступлений TA и складывается из подоходного налога
с занятых в 1-ом и 2-ом секторах (считаем, что остальное население не платит налоги) и налога на прибыль с
предприятий. Доход государства направляется на выплаты в размере TR=TA населению, не занятому в 1-ом
и 2-ом секторах. Бюджет является бездефицитным. Эмиссия отсутствует. Число занятых в 1-ом и 2-ом
секторах L
 L1  L 2 .
коэффициент капиталовооруженности. В i-ом секторе задействован капитал
капитал
ki p1 , где k 1 K i  Li k i pi . Совокупный
Капиталовооруженность занятого в i-ом секторе равна
K  K 1  K 2 . Каждый занятый в 1-ом и 2-ом секторах получает за единицу времени заработную
плату W. Предполагается, что вся произведенная продукция немедленно потребляется. Система
налогообложения пропорциональная. Ставка налога на прибыль равна T, ставка подоходного налога равна
1.
В целях простоты изложения НДС вплоть в данной статье не рассматривается. Предполагается
добросовестность налогоплательщиков. Охарактеризуем доход хозяйствующих субъектов по источникам и
 1 , средств производства.
Количество занятых в 1-ом секторе равно L 1 . Цена единицы продукции равна p 1 . Доход предприятий от
реализации средств производства равен L1 1 p 1 . Занятые на этих предприятиях L 1 , человек получают за
единицу времени заработную плату W каждый, их совокупный доход составляет L1 W . На предприятиях
1-го сектора задействованы средства производства стоимостью L1 k 1 p 1 . Прибыль от эксплуатации этого
имущества за единицу времени в условиях равновесия составляет rL1 k1 p1 , где r - рыночная ставка
процента. Следовательно, доход L1 1 p 1 распределяется между факторами производства в следующем
соотношении: L1 1 p1 ( W )  L1 ( W  rk 1 p1 ) ( W ) , где θ(x) - функция Хевисайда ( Функция
0 , x  0
Хевисайда  ( x )  
). Наличие функции Хевисайда здесь и далее указывает на то, что при
1
,
x

0

размещению. За единицу времени один занятый в 1-ом секторе производит
отрицательной заработной плате работа прекращается.
(L1 k1  L2 k 2 )rp1 . Сумма налога на прибыль,
взимаемого по ставке  1 , составляет величину  1 ( L1 k 1  L2 k 2 )rp 1 . Суммарная прибыль предприятий
за вычетом налога на прибыль равна ( 1   1 )( L1 k 1  L2 k 2 )rp 1 и направляется в виде инвестиций
I  (1   1 )( L1 k1  L2 k 2 )rp 1 на приобретение средств производства. Следовательно,
L1 1 p1 ( W )  (1   1 )( L1 k1  L2 k 2 )rp1 ( W ) . За единицу времени занятый во 2-ом секторе
производит  2 , единиц потребительских товаров ценой p 2 . Количество занятых во 2-ом секторе равно L 2 ,
Суммарная прибыль всех предприятий равна
Следовательно, прибыль предприятий 2-го сектора за единицу времени от реализации потребительских
товаров равна
L2 k2 p2 .
Занятые на этих предприятиях
L2 ,
заработную плату W каждый, их совокупный доход составляет
человек получают за единицу времени
L2 W .
На предприятиях 2-го сектора
L2 k2 p1 . Прибыль от эксплуатации этого имущества за
составляет rL2 k 2 p1 , где r - рыночная ставка процента.
задействованы средства производства стоимостью
единицу времени в условиях равновесия
L2 k2 p2 распределяется между факторами производства в следующем соотношении:
L2 2 p2 ( W )  L2 ( W  rk 2 p1 ) ( W ) .
Следовательно, доход
Потребительские товары приобретаются населением. Доход одного занятого в 1-ом или 2-ом секторах
(его заработная плата W) облагается подоходным налогом по ставке
приходящегося на одного человека, равна
сумму
(1   2 ) .
 2 . Величина
подоходного налога,
 2 W . За вычетом подоходного налога он получает денежную
Общее количество занятых в 1-ом и 2-ом секторах равно L. Их суммарный доход за
вычетом подоходного налога составляет величину
(1   2 )LW
и направляется на приобретение
потребительских товаров. Номинальный доход государства ТА через трансферты населению также
направляется на приобретение потребительских товаров. Потребление
С  (1   2 )LW  TA .
L2 2 p2 ( W )  (1   2 )LW ( W )  TA .mУравнение обмена записывается в виде
MV  Y  L1 1 p1  L2 2 p2 , где М - количество денег в обращении, V - скорость обращения денег, Y
Следовательно,
- выпуск. Имеет место равенство Y = С + I (государственные закупки и, в силу замкнутости экономики,
чистый
экспорт
отсутствуют).
Налоговые
поступления
государства
TA  ((L1 k1  L2 k2 ) 1rp1   2 LW ) (W ) . Если доля добросовестных налогоплательщиков равна
0  c  1 , то в рамках рассматриваемой модели это эквивалентно снижению налоговой ставки  i , до
величины c i .
Представим в данной статье решение в случае экзогенной производительности труда. Пусть
Li ,
численность занятых в i-ом секторе производительность труда
скорость обращения денег V, ставка налога на прибыль
капиталовооруженности
ki
количество денег в обращении М,
 1 , ставка подоходного налога  2 , и коэффициент
являются экзогенными переменными. Заработная плата W, ставка процента r,
цена продукции i-го сектора р, и налоговые поступления государства ТА являются эндогенными
переменными. Заработная плата выражается с помощью экзогенных переменных равенством


1 1
 ( 1   1 ) , где введено пороговое (предельное) значение ставки налога
W  MV 
 L( 1   1 )  L1 
на прибыль  1  K 2 / K , выше которого легальная хозяйственная деятельность прекращается, поскольку
заработная плата становится отрицательной. Функция Хевисайда
неотрицательности W. Если
L1  0
(1-ый сектор отсутствует) или
ставки налога исчезает, поскольку в этом случае
 1  1.
 ( 1   1 )
выражает требование
k1  0 , то эффект наличия предельной
Эндогенизация переменных
Li
не ведет к
изменению обнаруженного эффекта наличия порогового значения ставки налога при условии отсутствия
структурных изменений в производственной сфере. Рыночная ставка процента
r
1   1 1
 ( 1   1 )
1   1 k1
пропорциональна производительности труда. Смысл функции Хевисайда в последнем выражении состоит в
том, что спрос на деньги в отсутствии товаров исчезает. Цена продукции 1-го сектора определяются
равенством
p2 
p1 
1  1
MV
L( 1   1 )  L1  1
L1  L21 MV
 (1  1 ) .
L

L(1  1 )  L1 2 1
( 1   1 ) .
Цена
Налоговые
продукции
2-го
поступления




1 2
TA  MV  2 
 ( 1   1 )
L

1  ( 1   1 ) 


L1
налоговые
поступления
0%
Налоговая ставка
Рис.2
100%
сектора
равна
государства
 1   1 , налоговые поступления государства ТА обращается в ноль
(см. Рис.2, соответствующий случаю  1   2 ). Так проявляется эффект наличия предельной ставки налога
При ставке налога на прибыль
на прибыль, не имеющий места в случае подоходного налога. Отношение дохода труда к доходу капитала
равно
W
 1
k 1
rp 1
1 1
и снижается с ростом ставки налога на прибыль.
Исследуем в заключении динамику построенной модели. Динамика модели задается уравнением
dK i  (1   1 )r   )K i ( W )dt ,
где δ - коэффициент амортизации (норма выбытия капитала), t-
время. Смысл уравнения состоит в том, что орудия труда приобретаются предприятиями на сумму
инвестиций, часть орудий труда выбывает по негодности из эксплуатации. Поскольку в рамках
рассматриваемой модели r = const(t), имеет место равенство
Поскольку процентная ставка равна
i
r
интенсивность развития экономики
1 1 1
1   1 k1
K i (t )  K i (0) exp(( 1   1 )r   )t.
то в случае экзогенности производительности труда
(1   1 )r   
1 1
1 
k1
— не зависит от ставки налога
на прибыль и ставки подоходного налога.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Эффект наличия предельной ставки налога может быть обоснован следующим образом: государство
не потребляет часть ВНП, соответствующую произведенным в текущем периоде средствам производства.
Поэтому предельная ставка налога мажорируется отношением ВНП за вычетом стоимости произведенных
средств производства ко всему ВНП.
Существует аналогия между производителем- монополистом и государством. Оба предоставляют
обществу за плату товары и услуги, от которых, как правило, сложно отказаться. Прибыль монополиста при
цене производимых им благ равной 0 также обращается в 0. С ростом цены прибыль будет возрастать, но
лишь до определенного предела, выше которого спрос начнет снижаться по причине отказа возрастающего
числа потребителей от товаров и услуг монополиста хотя бы и ценой прекращения ими своей деятельности.
Наконец, достигается цена, выше которой никто не приобретает товары и услуги монополиста. Его прибыль
вновь исчезает. Если рассматривать стоимость всех произведенных товаров и услуг монополиста как долю
ВНП, то очевидно, что цена, при которой прибыль монополиста вновь обращается в 0, соответствует доле
ВНП, меньшей 100%. Цена, которую платит общество государству за предоставляемые им товары и услуги,
выражается в доле ВНП, составляющей доход государства и равной ставке обобщенного налога. Если цена
равна 0 (налогообложение отсутствует), то и доход государства обращается в 0 (эмиссия отсутствует). С
ростом цены (с ростом ставки налога) происходит повышение дохода государства, но лишь до
определенного предела, выше которого общество начинает отказываться от услуг государства (например,
уход бизнеса в другие государства), или уклоняется от уплаты налогов. Далее с ростом налогов идет
снижение дохода государства, в частности, по причине непроизводительного отвлечения ресурсов.
Рассмотренная модель позволяет сделать предположение о наличии порогового (предельного) значения
ставки налога, выше которого легальная экономическая деятельность прекращается и доходы государства
исчезают, экономика переходит в новую фазу. Это предельное значение ставки налога, в отличие от
общепринятой формулировки эффекта Лаффера, может быть значительно меньше 100%.
Литература
1.
2.
3.
4.
Varian Н.L. Intermediate Microeconomics. А Modern Approach. Third Edition. NY, London: W.W.
Norton & Company, 1993.
Shugart // WF., Tollison R.0. Fiscal Federalism and the Laffer Curve // Economia delle scelte
pubbliche. 1991. V. .1.
Мовшович С.М., Соколовской С.Е. Налоги и кривая Лаффера // Экономика и мат. методы. 1994.
Т. 30. Вып. 3.
Власов Д.А., Монахов Б.М. Прикладная математика: дидактический практикум для студентов
университетов. Волгоград, 2001 г.,