ЗАДАЧА 3 «Принятие решения по политике цен

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
СБОРНИК ЗАДАЧ
учебной дисциплины «Управленческие решения»
по специальности 080507 (061100)
МЕНЕДЖМЕНТ ОРГАНИЗАЦИИ
Часть 1
Ростов-на-Дону
2006
Учебно-методический комплекс разработан
канд. воен. наук, доц.
Болошин Г.А.
Научный редактор:
Ответственный за выпуск:
канд. тех. наук, доц. Григан А.М.
д-р экон. наук, проф. Чернышев М.А.
Рецензент:
канд. тех. наук, доц. Григан А.М.
Компьютерная верстка:
асс. Кугушева Т.В.
Печатается в соответствии с решением кафедры теории и технологий в
менеджменте экономического факультета РГУ, протокол №8 от 27.10.2006
2
СОДЕРЖАНИЕ
ЗАДАЧА 1 «Принятие решения о целесообразности экспорта» ..................... 4
ЗАДАЧА 2 «Принятие решения по маркетингу» .............................................. 6
ЗАДАЧА 3 «Принятие решения по политике цен» ........................................... 7
ЗАДАЧА 4 «Выбор решения по количественной шкале оценок прибыли и
известной вероятности проявления ситуаций» ............................................................ 9
ЗАДАЧА 5 «Выбор решения по качественной шкале оценок эффективности
и известной вероятности проявления ситуаций» ....................................................... 10
ЗАДАЧА 6 «Выбор решения по количественной шкале оценок затрат и
переменной вероятности проявления ситуаций» ....................................................... 13
ЗАДАЧА 7 «Построение дерева решений при определении продуктовой
стратегии фирмы и стратегии развития ее производственных мощностей» .......... 15
ЗАДАЧА
8
«Выбор
решения
в
условиях
неопределенности
и
количественной шкалы оценок» .................................................................................. 19
ЗАДАЧА 9 «Определение эффективных решений» ........................................ 21
ЗАДАЧА 10 «Оценка согласованности мнений экспертов» .......................... 22
ЗАДАЧА 11 «Групповая оценка объектов» ..................................................... 26
ЗАДАЧА 12 .......................................................................................................... 28
ЗАДАЧА 13 .......................................................................................................... 29
ЗАДАЧА 14 .......................................................................................................... 30
ЗАДАЧА 15 .......................................................................................................... 30
ЗАДАЧА 16 .......................................................................................................... 32
ЗАДАЧА 17 .......................................................................................................... 34
ЗАДАЧА 18 .......................................................................................................... 36
ЗАДАЧА 19 .......................................................................................................... 37
ЗАДАЧА 20 .......................................................................................................... 38
3
ЗАДАЧА 1 «Принятие решения о целесообразности экспорта»
Условие.
Фирма
«Альфа»
производит
некоторую
продукцию
промышленности строительных материалов и обычно продает ее оптовикам на
внутреннем рынке по цене Ц1 ден. ед., за единицу продукции (здесь и далее
цифры измерения носят условный характер). Мощность фирмы – М единиц
продукции в месяц. В настоящее время ее месячный выпуск составляет О1
единиц. Имеется N-кратный запас мощности (М = О1* N)
Фирме было предложено заключить контракт на экспорт О2 единиц
продукции ежемесячно по цене Ц2 ден. ед. Базис поставки – «самовывоз», без
обязательства по транспортировке товара на продавце.
Издержки на производство и сбыт в расчете на единицу продукции
приведены в табл. 1.1.
Таблица 1.1 - Издержки на производство и сбыт единицы продукции
Статья расходов
1. Стоимость материалов
Индекс
Х1
2. Заработная плата
Х2
3. Переменные накладные издержки
Х3
4. Постоянные накладные издержки
Х4
ИТОГО (себестоимость производства)
5. Переменные издержки по сбыту
Х5
ВСЕГО (общие издержки)
С
Управляющий фирмой не пожелал заключить контракт в связи с тем, что
предлагаемая цена Ц2 не покрывает издержек С за единицу продукции.
Требуется определить:
1) правильное ли решение принял управляющий и как изменилась бы прибыль
фирмы, если бы он принял предложение зарубежного партнера?
2) как изменилась бы прибыль фирмы, если бы предложение было принято, но
запас мощности фирмы составлял бы N = 1)?
4
Методические рекомендации по решению:
В данной задаче необходимо выбрать решение из альтернативы «принимать
или не принимать предложение зарубежной фирмы?» для двух условий:
1) имеется N-кратный запас мощности (например, N = 2);
2) мощности фирмы «Альфа» полностью загружены (N = 1).
1. В текущий момент прибыль составляет:
П1 = (Ц1 – С1) * О1 = (20 – 18) * 1000 = 2000 ден. ед. в месяц
где
П1 – текущая прибыль;
Ц1 – цена продукции при продаже на внутреннем рынке;
C1 – издержки на единицу продукции из продаваемой партии
С1 = Х1 + Х2 + Х3 + Х4 + Х5;
О1 – текущий объем продаж в месяц.
Если бы управляющий принял предложение, то себестоимость единицы
продукции экспортной партии составила бы всего С2 = Х1 + Х2 + Х3 = 2 + 7 + 2 =
11 ден. ед., поскольку постоянные накладные уже отнесены к «внутренней»
партии и условия самовывоза не требуют издержек по сбыту. В этих условиях
дополнительная прибыль составила бы:
П2 = (Ц2 – С2) * О2 = (15 – 11) * 500 = 2000 ден. ед. в месяц
Индекс «2» отнесен к показателям экспортной партии. Таким образом общая
прибыль удвоилась бы и составила П = П1 + П2 = 4000 ден. ед. в месяц.
Следовательно, управляющий принял неверное решение.
К тому же выводу можно прийти, если несколько модифицировать расчет в
сторону большей корректности рассуждений, пересчитав суммы постоянных
накладных на единицу продукции при повышении выпуска в 1,5 раза. В этом
случае постоянные накладные на единицу продукции составят Х41 = Х4/1,5 = 5/1,5
= 3,33 ден. ед. и, следовательно, издержки по продукции на внутреннем рынке
будут равны С11 = Х1 + Х2 + Х3 + Х41 + Х5 = 2 + 7 + 2 + 3,33 + 2 = 16,33 ден. ед., а
5
экспортной продукции – С21 = Х1 + Х2 + Х3 + Х41 = 2 + 7 + 2 + 3,33 = 14,33 ден. ед.
Общая прибыль при этом составит:
П = П1 + П2 = (Ц1 – С11) * О1 + (Ц2 – С21) * О2 =
= (20 – 16,33) * 1000 + (15 – 14,33) * 500 = 3670 + 330 = 4000 ден. ед.
2. Во втором случае экспорт продукции должен осуществляться за счет
сокращения объема продаж на внутреннем рынке. Постоянные накладные на
единицу продукции при этом не меняются. Общие издержки на единицу
продукции для внутренних продаж сохраняются на уровне С1 = 18 ден. ед., а для
экспортной продукции составят С2 = 16 ден. ед. (с учетом «самовывоза»). Общая
прибыль при этом будет равна:
П = П1 + П2 = (Ц1 – С1) * (О1 – О2) + (Ц2 – С2) * О2 =
= (20 – 18) * 500 + (15 – 16) * 500 = 500 ден. ед.,
т.е. при загруженных мощностях данное предложение об экспорте было бы
невыгодным, поскольку прибыль упала бы в 4 раза.
ЗАДАЧА 2 «Принятие решения по маркетингу»
Условие. Руководителю предприятия представлен анализ нового продукта
марки А. Он решил, что продукт А будет продаваться по розничной цене Ц
ден.ед. (по его исследованиям рынка). Розничные торговцы предполагают
колебание цен в пределах Рр от продажной цены, а оптовые Ро. Переменные
издержки на единицу продукта должны составить Ипер ден. ед., а предполагаемые
постоянные на выпуск всей партии Ипост.
Требуется принять решение о целесообразности производства нового
продукта при ожидаемом объеме продаж в О единиц.
Методические рекомендации по решению. Приведем вероятностную задачу
к детерминированному виду, установив минимальное значение продажной цены с
учетом мнений продавцов согласно самой пессимистической оценке. Такую
оценку дали розничные торговцы (Рр = 40%). Поэтому минимальная цена
6
колеблется на уровне
Рмин = (100 – Рр)/100 = (100 – 40)/100 = 0,6 от прогнозной:
Цмин = Рмин * Ц = 0,6 * 10 = 6 ден. ед.
Затем, суммируя постоянные (И1пост) и переменные (Ипер) издержки на
единицу продукции, определяем себестоимость (С); при этом постоянные
издержки рассчитываются исходя из общей суммы и объема выпуска:
И1пост = Ипост / О = 28000/9000 = 3,1 ден. ед.
С = Ипер + И1пост = 2 + 3,1 = 5,1 ден. ед.
Сравнивая себестоимость с ценой, можно сделать выбор решения из
альтернативы «да – нет»: поскольку себестоимость производства (С = 5,1 ден. ед.)
меньше продажной цены, определенной по самой пессимистической оценке (Цмин
= 6 ден.ед.), то производство продукции марки А является целесообразным.
ЗАДАЧА 3 «Принятие решения по политике цен»
Условие. Пусть производится некоторый товар А. Исходные данные
приведены в табл. 3.1.
Таблица 3.1 - Издержки на производство и сбыт продукции А
Наименование показателя
Затраты на производство единицы продукции
(ден. ед)
Индекс
Ипер
Иа
Аренда техники и помещений (ден. ед./год)
Изп
Заработная плата непроизводственного персонала
Требуется определить:
и административные расходы (ден.ед./год)
Ц
1) сколько продукции (Ог) надо продать, чтобы сделать задуманное
Планируемая цена при продаже (ден. ед)
Ир
предприятие самоокупаемым?
Планируемые расходы на рекламу (ден. ед./год)
2) сколько продукции надо продать, чтобы получить Птр = 1000 ден.ед.
прибыли?
3) какое решение будет лучшим при установлении цены, если известно, что
7
продавая продукцию по цене Ц1 за единицу, можно прогнозировать уровень
продаж в О1 единиц продукции в месяц, а по цене Ц2 уровень продаж составит О2
единиц продукции в месяц?
Методические рекомендации по решению:
1. Определим прибыль предприятия как разность между суммой,
вырученной от продаж, и затратами (переменными и постоянными) на
производство:
П = Ц * Ог – Ипер * Oг – Ипост,
(3.1)
где П – прибыль за год;
Ц – цена за единицу;
Oг – годовой объем производства;
Ипост = Иа + Изп + Ир.
Для самоокупаемости (безубыточности) необходимо, чтобы П была больше
или равна нулю. Отсюда
Ц * Ог – Ипер * Ог – Ипост  0 или Ог * (Ц – Ипер)  Ипост,.
(3.2)
Следовательно, минимальный объем выпуска находится из условия:
Ог  Ипост / (Ц – Ипер).
(3.3)
Подставляя значения параметров (Ипост = 5000 + 10000 + 2000 = 17000;
Ц = 1,5; Ипер = 0,75), получаем:
Ог  17000 / (1,5 – 0,75) = 17000 / 0,75 = 22667;
Ог  22667 единиц продукции в год (или  1889 единиц в месяц).
2. Для определения объема выпуска, при котором достигается заданный
уровень
прибыли
(Птр
=
1000
ден.ед.),
используется
формула
Преобразованная к виду 3.2а и 3.3а она дает следующий результат:
Ц * Ог – Ипер * Ипост  П или Ог * (Ц – Ипер)  Ипост + П,
(3.2а)
Ог  (Ипост + П) / (Ц – Ипер).
(3.3а)
Подставляя значения параметров, получаем:
8
3.1.
Ог  (17000 + 1000) / (1,5 – 0,75) = 18000 / 0,75 = 24000;
Ог  24000 единиц продукции в год (или  2000 единиц в месяц).
3. Подставим в формулу 3.1 прогнозные значения объемов продаж для двух
вариантов цены (приведя объемы к годовым) и проведем расчеты:
П1 = (1,5 – 0,75) * 1500 * 12 – 17000 = 13500 – 17000 = - 3500;
П2 = (3 – 0,75) * 500 * 12 – 17000 = 13500 – 17000 = - 3500.
Вывод: оба варианта являются равноубыточными, т.е. при таких условиях
выпуск продукции А является нецелесообразным.
ЗАДАЧА 4 «Выбор решения по количественной шкале оценок прибыли
и известной вероятности проявления ситуаций»
Условие. Имеются допустимые решения Yi при четырех возможных
ситуациях Sj. Известна вероятность проявления ситуаций - Pj.
Платежная матрица
Yi\Sj
Y1
S1
f 11
S2
f 12
S3
f 13
S4
f 14
i
1
Y2
f 21
f 22
f 23
f 24
2
Р
f 33
3
каждой
Р
f 34
4
3
ситуации,
определенные
P
Р
Р
Yj3
f 31
f 32
1
2
Предпочтения
решения
для
индивидуальным ЛПР по количественной шкале в условных единицах, приведены
в табл. 4.1
Таблица 4.1 - Платежная матрица с известной вероятностью событий
Yi\Sj
Y1
S1
1
S2
4
S3
5
S4
9
i
5,2
Y2
3
8
4
3
4,5
Y3
Pj
4
0,1
6
0,2
6
0,5
2
0,2
5,0
-
Требуется определить оптимальное по критерию среднего выигрыша
(Байеса-Лапласа) решение Y*.
Методические рекомендации по решению. Поскольку коэффициенты
9
матрицы в данном случае отражают поступления на фирму, то пользуясь
стандартной формулой для расчета коэффициентов важности решения
n
β i   Pj  f i, j
(i  1, m).
(4.1)
j1
определим коэффициенты i:
1 = 0,1 * 1 + 0,2 * 4 + 0,5 * 5 + 0,2 * 9 = 5,2;
2 = 0,1 * 3 + 0,2 * 8 + 0,5 * 4 + 0,2 * 3 = 4,5;
3 = 0,1 * 4 + 0.2 * 6 + 0,5 * 6 + 0,2 * 2 = 5,0
и занесем их в последнюю графу табл. 4.2.
По формуле 4.1 выберем оптимальное решение, которое соответствует
максимальному значению коэффициента i = 5,2, т.е. Y* = Y1.
Примечание. Если бы элементы матрицы отражали затраты (о чем было бы
указано в условии), то расчет коэффициентов остался тем же, а решение
выбиралось бы исходя из минимума средних затрат.
ЗАДАЧА
5
«Выбор
решения
по
качественной
шкале
оценок
эффективности и известной вероятности проявления ситуаций»
Условие. Имеются три допустимые решения при трех возможных ситуациях. Известна вероятность проявления ситуаций.
Yi\Sj
Y1
S1
f11
S2
f12
S3
f13
i
1
Y2
f21
f22
f23
2
Y3
Pj
f31
Р1
f32
Р2
f33
Р3
3
Порядковые
предпочтения
для
каждой
ситуации,
определенные
индивидуальным ЛПР по качественной шкале, приведены в табл. 5.1.
Таблица 5.1 - Ранговые предпочтения решений для разных ситуаций и
10
известной вероятности их возникновения
Yi\Sj
Y1
S1
1
S2
2
S3
1
Y2
2
1
3
Pj3
Y
0,5
3
0,3
3
0,2
2
i
Требуется определить оптимальное по критерию среднего выигрыша решение Y*.
Методические рекомендации по решению. Используя формулу
1 при fi,j  fk,j
Х i,j k 
(i, k  1, m)
(5.1)
0 при fi,j > fk,j
построим три (по количеству ситуаций) квадратные матрицы парных
сравнений размерностью, определяемой количеством альтернативных решений
(m = 3).
Первая матрица для j = 1 строится следующим образом. Первый столбец
строится для k = 1 путем последовательного сравнения элемента f1,1 с элементами
fi,1 где i = 1, 3 . Если элемент сравнивается сам с собой (k = i), т.е. он не хуже себя,
то проставляется единица; если он выше по рангу (меньше по величине), чем i-й
элемент, то проставляется ноль; если он равен или ниже по рангу, то Хji,k равен
единице. Таким образом, X11,1 = 1(1 = 1); X12,1 = 0 (2 > 1); X13,1 = 0 (3 > 1). Аналогично оцениваются значения X1i,k для k = 2 и 3. Матрица X1i, k приведена в табл.
5.2а. Так же рассчитываем значения элементов X2i,k и X3i,k – см. табл. 5.2б и 5.2в.
Таблица 5.2а
Матрица ||X1i,k||
Yi(j\ = 1) Y1
Y
1
Yk 1 Y2 Y3
Y2 1
1
Таблица 5.2б
Матрица ||X2i,k|| (j
Yi\Y=k 2)
Y1
Y1
1
Y2 Y3
Y2 0
1
Таблица 5.2в
Матрица
i\
||XY3i,k
|| (j =3) Y1
Y
1
Yk 1 Y2 Y3
Y2 1
0
Y3
0 итоговой матрицы
Y3
Y3
Элементы
||Y1i,k|| рассчитываются
в 1 два этапа по
1
1
следующим
формулам.
1
1
0
0
1
0
0
0
1
11
1
0
1
1
1 при
n
P  X
j1
j
j
i,k
 1/ 2 ;
Yi,jk =
(5.2)
0 при
n
P  X
j1
j
j
i,k
 1/ 2 ;
 m
  m m

β i    Yi,k  /   Yi,k 
 i 1
  i 1 k 1

(5.3)
На первом этапе производится расчет суммы
P  X
j
j
i,k
, а затем оценка
элементов Yi,k – см. табл. 5.3.
Таблица 5.3 - Последовательность расчета итоговой матрицы ||Yi,k||
n
k
1
2
3
 Pj * X ij, k
Сравнен
Yi,k
1
(j = 1) (j = 2) (j = 3) ()
0,5  1 + 0,3  1 + 0,2  1 = 1
ие
1 > 0,5
1
2
0,5  0 + 0,3  1 + 0,2  0 = 0,3
0,3 < 0,5
0
3
1
0,5
0,5  01 +
+ 0,3
0,3  00 +
+ 0,2
0,2  01 =
= 00,7
0 < 0,5
0,7 > 0,5
0
1
2
0,5  1 + 0,3  1 + 0,2  1 = 1
1 > 0,5
1
3
1
0,5  0 + 0,3  0 + 0,2  1 = 0,2
0,5  1 + 0,3  1 + 0,2  1 = 1
0,2 < 0,5
1 > 0,5
0
1
2
0,5  1 + 0,3  1 + 0,2  0 = 0,8
0,8 > 0,5
1
1 > 0,5
1
j 1
i
3
Итоговая матрица ||Yi,k|| приведена в табл. 5.4.
Расчет коэффициентов i производится по формуле 5.3 (см. две последние
графы в табл. 5.4 и итоговую строку).
Таблица 5.4 - Итоговая матрица ||Yi,k||
m
Yi\Yk
Y1 Y3
Y2 1
Y3
Y1
1
k 1
Y2
1
0
1
0
0
1
1
 Yi, k
12
i
3
0,5
2
0,333
1
0,167
m m

Итого    Yi, k  :
 i 1 k 1

Наибольшее значение 1 = 0,5
6
-
соответствует 1-му варианту решения,
поэтому согласно формуле 4.1 Y* = Y1.
ЗАДАЧА 6 «Выбор решения по количественной шкале оценок затрат и
переменной вероятности проявления ситуаций»
Условие. СМУ заказывает дневную норму раствора бетона у зaвoда ЖБИ на
сумму П1 условных единиц. В случае отсутствия поставки СМУ несет ущерб в
размере П2 ден. ед. от простоя рабочих. Вероятность поставки составляет Р1. Для
того чтобы повысить вероятность поставки, СМУ может
а) послать свой транспорт; дополнительные расходы составят П3 ден.ед.;
вероятность поставки возрастет до Р2;
б) послать представителя на завод ЖБИ и свой транспорт; дополнительные
расходы на командирование составят П4 ден. ед., плюс расходы на транспорт П3
ден. ед.; вероятность поставки возрастает до Р3;
в) заказать дневную норму у другого поставщика по цене П5 (выше, чем у
завода ЖБИ) на условиях самовывоза; вероятность поставки дополнительного
заказа составляет Р4; при этом с вероятностью Р1 существует опасность двойной
поставки, которая потребует дополнительные затраты на оплату сверхурочных в
сумме П6 ден. ед.
Следует иметь в виду, что СМУ не хочет разрывать договорные отношения
с заводом ЖБИ, поскольку завод является основным поставщиком строительных
конструкций.
Наименования переменных приведены в табл. 6.1.
13
Таблица 6.1 - Исходные данные к задаче
Переменная
Наименование
Стоимость дневной поставки
Индекс
П1
Ущерб от простоя
П2
Расходы на транспорт
П3
Расходы на представителя
П4
Стоимость поставки от другого поставщика
П5
Сверхурочные
П6
Требуется
оптимальные
действия СМУ, Р1обеспечивающие
Вероятностьопределить
поставки бетона
с завода ЖБИ
минимум
потерь. поставки при самовывозе с завода
Вероятность
Р2
ЖБИ Методические рекомендации по решению. Обозначим YРi3 управленческие
решения
СМУ: Y1 – поставки
оставить как
есть; Y
Y3 – послать
Вероятность
с ЖБИ
при
наличиисвой транспорт;
Р4
2 – послать
представителя
транспорт; Y4 – сделать дополнительный страховочный заказ.
представителя и транспорта
Ситуации
Sj определяются
основного
поставщика – завода ЖБИ: S1 –
Вероятность
поставкиповедением
дополнительного
заказа
поставка есть; S2 – поставки нет.
Оценим затраты при разных управленческих решениях в различных
ситуациях (см. табл. 6.2).
Таблица 6.2 - Расчет затрат и потерь
Решения Ситуации
П1; П5
Элементы затрат
П2
П3
П4
П6

Y1
S1
S2
П1 = 200
-
800
-
-
-
200
800
Y2
S1
S2
S1
S2
П1 = 200
П1 = 200
-
800
800
100
100
100
100
80
80
-
300
900
380
980
Y3
14
Y4
S1
S2
П = П1 + П5 =
200 + 300 =
500
-
100
-
400
1000
П5 = 300
-
100
-
-
400
Перенесем полученные данные в платежную матрицу затрат (см. табл. 6.3.) и
воспользуемся формулой для расчета i.
Таблица 6.3 - Матрица затрат
Yi\Sj
Y1
S1
200
S2
800
Pi
0,4  200 + 0,6  800 = 560
P1,j
Y2
0,4
300
0,6
900
0,6  300 + 0,4  900 = 540
P2,j
Y3
0,6
380
0,4
980
0,7  380 + 0,3  980 = 560
P3,j
Y4
0,7
1000
0,3
400
0,4  1000 + 0,6  400 = 640
P4,j
0,4
0,6
Поскольку в данной задаче эффективное решение выбирается по минимуму
затрат, а не по максимуму прибыли, то Y*  min i, следовательно Y* = Y2
(следует послать на завод ЖБИ свой транспорт и не предпринимать иных
действий).
ЗАДАЧА 7 «Построение дерева решений при определении продуктовой
стратегии фирмы и стратегии развития ее производственных мощностей»
Условие. Начальник ДСКа, в настоящее время выпускающего некоторую
продукцию X1 в текущем объеме V1тек, считает, что расширяется рынок
продукции Х2. Были проведены маркетинговые исследования, определившие
уровни спроса на продукцию X1 и Х2 (V1max, V1min; V2max, V2min, соответственно) и
вероятности высокого и низкого спроса (P1max, P1min = 1 – P1max; P2max, P2min = 1 –
P2max). Установлено, что действующие мощности ДСКа могут быть использованы
для производства продукции обоих видов. Известна прибыль на единицу
продукции каждого вида (П1 и П2). Рассчитаны затраты (К) на удвоение мощности
ДСКа (для параллельного производства продукции X1 в текущем объеме и
15
продукции Х2 в эквивалентном количестве), на увеличение мощности комбината
под максимальный спрос на текущую продукцию Х1 (K1) и под максимальный
спрос на продукцию Х2 (соответственно К2).
Цифровые данные следующие: V1тек = 1000 единиц; П1 = 0,001 ден.ед; V1max
= 10000 единиц; K1 = 2 ден. ед.; V1min = 5000 единиц; V2экв = 900 единиц; П2 =
0,0009 ден. ед.; V2max = 8000 единиц; К2 = 1,2 ден. ед.; V2min = 4000 единиц; К = 0,4
ден. ед.; P1max = 0,7; P1min =1 – 0,7 = 0,3; P2max = 0,6; Р2min = 1 – 0,6 = 0,4.
Требуется определить целесообразность замены продукции и развития
мощностей, в том числе под одновременный выпуск продукции.
Методические рекомендации по решению. Представим ход решения в виде
дерева, наложенного на таблицу, и рассчитаем последствия решений (см. рис. 7.1).
Установив последствия решений при выпуске продукции одного вида (Х 1 и
Х2), определим рациональные действия во 2-й точке принятия решений.
Для этого вычеркнем нерациональные действия (точнее, бездействие по
поводу развития мощностей) и перенесем данные об ожидаемом выигрыше в 4-ю
графу. Далее с учетом вероятности спроса на продукцию рассчитываем среднюю
эффективность действий в точках разветвления событий (3-я графа). Оказывается,
что продолжить выпуск продукции X1 при одновременном развитии мощностей
выгоднее, чем перейти на выпуск продукции Х2 вместо X1.
Однако мы не учли возможность одновременною выпуска продукции Х1 и
Х2 при развитии мощностей ДСКа под максимальный спрос. Поэтому из первой
точки принятия решения проведем еще одну ветвь, соответствующую данному
варианту решения. Его эффективность, складывается из эффективности первого и
второго вариантов за вычетом затрат на первоначальное удвоение мощностей.
Эффективность данного варианта является наиболее высокой, поэтому первые два
варианта следует вычеркнуть.
Общий
вывод:
требуется
существенное
одновременный выпуск двух видов продукции.
16
развитие
мощностей
и
Данная
схема
решения
несколько
упрощена,
поскольку
нами
не
рассматривались варианты меньшего развития мощностей, использования
резервов по выпуску продукции одного вида при низком уровне спроса для
выпуска другой продукции, ограничения по капиталовложениям (для этого в
10,66
1-я точка Возможные
принятия действия
решения
События и их
вероятности
Последствия
(ожидаемый
выигрыш)
2-я точка
принятия
решения
Рис. 7.1. Дерево решений к задаче 7
Возможные действия
Последствия
условиях задачи недостает данных).
17
18
ЗАДАЧА
8
«Выбор
решения
в
условиях
неопределенности
и
количественной шкалы оценок»
Условие. Исходные данные аналогичны задаче 3, но без известной
вероятности событий (см. табл. 8.1).
Таблица 8.1 - Платежная матрица (количественная шкала – прибыли)
Sj
S1
S2
S3
S4
Y1
1
4
5
9
Y2
3
8
4
3
Yi
Требуется
выбрать
оценки
Y3
4 наилучшие6 решения 6по известным критериям
2
для разных стратегий ЛПР. При расчете по критерию Гурвица принять долю
пессимизма h.
Методические рекомендации по решению. Решение по критерию Вальда
(максимину) представлено в табл. 8.2а.
Таблица 8.2а
а) выбор по критерию Вальда
S
S1
Sj
2
Yi
S
3
S
 iп
4
Y1
1
4
5
9
1
Y2
3
8
4
3
3
Y3
4
6
2
2
S
S
iс
Y* =6Y2
Таблица 8.2б
б) матрица потерь
S
S1
Sj
2
3
4
Yi Y1
3
4
1
0
4
Y2
1
0
2
6
6
7
7
Y3
Y* =0Y1 (седловой
2 точки 0нет)
Для решения по критерию Сэвиджа (минимаксу), сформируем матрицу
потерь (см. табл. 8.2б).
19
Решение по критерию оптимизма (максимакса) дано в табл. 8.2в.
Таблица 8.2в
в) выбор по критерию оптимизма
S1
S
Sj
S
2
Yi
3
S
 io
4
Y1
1
4
5
9
9
Y2
3
8
4
3
8
Y3
4
6
2
6
6
Y* = Y1
Решение по критерию Гурвица представлено в табл. 8.3 (в нем
использованы значения  iп и io из табл. 8.2а и 8.2в).
Таблица 8.3 - Выбор решения по критерию Гурвица при h = 0,4
Yi \ Sj
S1
S2
S3
S4
 iп
 io
Y1
Y2
Y3
1
3
4
4
8
6
5
4
6
9
3
2
1
3
2
9
8
6
h


п
o
 1 h 
i
i
β
0,4  1 + 0,6  9
0,4  3 + 0,6  8
0,4  2 + 0,6  6
p
i
5,8
6,0
4,4
Y* = Y2
Итоговые данные по вариантам решения задач для разных стратегий и
критериев приведены в табл. 8.4.
Таблица 8.4 - Итоги решения задач
Y
i
/ Sj
1
3
S
4
Y
4
P
Y,1
0
0
1
3
1
j
2
S
4 95
3
8 4
2
6 6
Y
2
S
0
Осторожная
крит
кр
стратегия
Агрес
крите
сивная
Рациональная
кр
кр
страт.
S
ерий
итерий
рий
итерий
итерий
Вальда
Сэвиджа
оптимизма
Гурвица
Байеса
1
4
9
5,8
5,2
3
6
8
6.0
4,5
2
7
6
4,4
5,0
Y*
Y*
Y* =
Y*
Y*
0
,2 ,5
,2
= Y2
=Y
Y1
= Y2 зависят
= Y1 не только от
1
Анализ
итогов
показывает,
что
результаты
выбора
3
полноты данных и избранной стратегии ЛПР, но и от непосредственного выбора
20
критерия оценки и доли пессимизма в критерии Гурвица.
ЗАДАЧА 9 «Определение эффективных решений»
Условие. Пусть имеются четыре допустимые решения, и групповое ЛПР
состоит из двух членов с функциями предпочтения Ф1 и Ф2, соответственно. Оба
ЛПР провели упорядочение решений следующим образом:
Ф1 : Y2  Y3  Y1  Y4 ;
Ф2 : Y3  Y1  Y2
(9.1)
Y4
В соответствии с этим упорядочением значения функций предпочтения,
измененные в рангах, представлены в табл. 9.1
Таблица 9.1 - Предпочтения членов группы
\Решения
Предпочтен
ия
Ф1
Ф2
Yl
Y2
Y3
Y4
3
1
2
4
2
3,5
1
3,5
Требуется определить эффективные решения, используя принцип Парето.
Методические рекомендации по решению. Задача иллюстрирует, как из
множества допустимых (приемлемых, удовлетворяющих ограничениям) решений
методом
логического
анализа
осуществляется
отбор
эффективных
недоминирующих решений. Эффективные решения между собой несравнимы, так
как нельзя сказать, какое из них предпочтительнее. Эффективные решения
составляют «множество Парето», из которого уже иным способом выбирается
оптимальное (единственное, наилучшее) с привлечением дополнительной
информации (вероятности событий, значимости целей, веса членов группового
ЛПР. Общая формула отбора: Y  Yд  Yэ  Y*, где Y – множество
альтернативных решений. Yд – м ножество допустимых решений. Yэ – множество
эффективных решений, Y* - оптимальное решение.
Осуществляя выделенный этап отбора решений, будем сравнивать
21
последовательно пары решений по предпочтительности. Решения Y1 и Y2, как это
следует из таблицы ранжировок, между собой несравнимы, так как мнения
группы по их приоритету разделились. В то же время оба члена группы считают,
что решения Y1 и Y3 находятся в отношении Y3  Y1 , поэтому решение Y1 не
может быть эффективным, поскольку есть доминирующее лучшее решение Y3.
Следовательно, решение Y1 исключается из дальнейшего рассмотрения. Оба
члена группы считают, что Y3  Y4 , поэтому решение Y4 также является
неэффективным. Таким образом, из исходного множества четырех решений
остались всего два решения Y2 и Y3, которые и будем считать эффективными, не
отдавая предпочтения ни одному из членов группы.
Для
наглядности
процедуры
определения
эффективных
решений
представим все решения как точки на плоскости в системе координат Ф1 и Ф2. На
рис. 9.1 по оси Ф1 отложены предпочтения первого члена группы, а по оси Ф2 –
предпочтения второго члена группы. Измерения предпочтений проведены в
порядковой шкале, в которой нет понятий масштаба и начала отсчета, поэтому
точки на осях координат, характеризующие ранги, могут быть расположены
неравномерно при соблюдении единственного условия 1  2  3  4 . Эффективные
решения Y2 и Y3 обведены на рисунке контуром.
1
2
3
4
Рисунок 9.1 – Графическая оценка предпочтений решений
ЗАДАЧА 10 «Оценка согласованности мнений экспертов»
Условие.
Результаты
ранжирования
шести
управленческих
(объектов оценки) пятью экспертами представлены в табл. 10.1.
22
решений
Таблица 10.1 - Результаты ранжирования m = 6 объектов d = 5 экспертами
(rij - ранг i-го объекта / решения, присвоенный j-м экспертом)
\ Эксперты
Решение(объект)\
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Э1
Э2
Э3
Э4
Э5
Итого
1
2
1,5
1
2
7,5
r11
r12
r13
r14
r15
2,5
2
1,5
2,5
1
r21
r22
r23
r24
r25
2,5
2
3
2,5
3
r31
r32
r33
r34
r35
4
5
4,5
4,5
4
r41
r42
r43
r44
r45
5
4
4,5
4,5
5,5
r51
r52
r53
r54
r55
6
6
6
6
5,5
r61
r62
r63
r64
r65
9,5
13
22
23,5
29.5
Всего / среднее: 105 / 17,5
Требуется оценить согласованность мнений экспертов.
Методические
рекомендации
по
решению.
Согласованность
оценок
экспертов характеризуется двумя показателями: величиной коэффициента
конкордации
W
и
наблюдаемым
распределением
частот
(расчетной
вероятностью) f2.
Дисперсный коэффициент конкордации W характеризует достоверность
итоговой оценки (согласованность мнений экспертов и сходимость результатов);
он рассчитывается по формуле:
W

12  S

d
, где
(10.1)
d 2  m 3  m  d   Tj
j 1
23
S – сумма квадратов отклонений оценок от математического ожидания
(среднего значения) суммарного ранга одного объекта:
2
 d

S     ri, j  r  ;


i 1 j 1

m
(10.2)
r - математическое ожидание суммарного ранга одного объекта:
m d
r  1 / m    ri, j
(10.3)
i 1 j 1
m - число объектов ранжирования (m = 6);
d - число экспертов (d = 5);
i - индекс объекта;
j - индекс эксперта;
ri,j - ранг, присвоенный i-му объекту j-м экспертом (см. табл. 4.18);
Tj - показатель связанных рангов в ранжировке j-ro эксперта:
Tj 
 h 3k  h k ;
Hj
(10.4)
k 1
k - номер группы связанных (равных) рангов;
Hj - число групп связанных рангов в ранжировке j-ro эксперта;
hk - число равных рангов в k-й группе связанных рангов
Если в ранжировках совпадающих рангов нет, то все Hj = 0; hk = 0 и,
следовательно, Tj = 0; в этом случае формула 10.1 принимает вид:
W
12  S

d  m3  m
2
.
Величина W = 1 характеризует полное совпадение мнений; W = 0 свидетельствует, что все ранжировки разные.
Показатель наблюдаемого распределения частот f2 применяется для
статистической проверки гипотезы согласованности экспертов путем его
24
сравнения с теоретическим (табличным) 2, найденным для принятого уровня
значимости. Сравнение на основе «-квадрат-критерия» (2-критерия) позволяет
сделать вывод, что если f2 < 2, то гипотезу о согласии экспертов следует
отвергнуть.
2 - теоретическое распределение частот получают на основе таблиц в
учебниках математической статистики в соответствии с принятым уровнем
значимости
(5%-й
уровень
значимости
соответствует
95%-му
уровню
достоверности) и числом степеней свободы  = m - 1, определяемым исходя из
числа ранжируемых объектов (наблюдений).
f2 - наблюдаемое распределение частот рассчитывается по формуле:
f2 
12  S
d
d  m  m  1  1 / m  1   Tj
.
(10.5)
j 1
Проведем последовательный расчет значений


r, S, Tj , j  1, d , W, соответственно, по формулам 10.1-10.5 на основе
заданных исходных данных:
6 5
r  1 / 6    ri, j = 17,5;
i 1 j 1
2
 5

S     ri, j  17,5   361;


i 1 j 1

6
H1 = 1; h1 = 2; T1 = 23 – 2 = 6;
H2 = 1; h1 = 3;, T2 = З3 – 3 = 24;
H3 = 2; h1 = 2; h2 = 2; Т3 = (23 – 2) + (23 – 2) = 12;
H4 = 2; h1 = 2; h2 = 2; T4 = (23 – 2) + (23 – 2) = 12;
H5 = 1; h1 = 2; T5 = 23 – 2 = 6;
5
 Tj  6  24  12  6  60;
j 1
25
W

12  361

5  63  6  5  60
2
= 0,874.
Для числа степеней свободы  = 6 – 1 = 5 и 5%-го уровня значимости 2 =
11,07 - по таблице.
f2 
12  361
 21,8 - по формуле 10.5.
5  6  7  0,2  60
Поскольку 21,8 > 11,07, то гипотеза о согласии экспертов по ранжировании
принимается.
ЗАДАЧА 11 «Групповая оценка объектов»
Условие. Три эксперта (d = 3) оценили значения двух мероприятий (m = 2)
решения одной проблемы и дали нормированные оценки этих мероприятий (Х1,j
+X2,j = 1) (см. табл. 11.1).
Таблица 11.1 - Нормированные оценки мероприятий
\Эксперты (Эj)
Мероприятия (Yi)\
Y1
Y2
Э1
Э2
Э3
0,3
X11
0,7
X21
0,5
X12
0,5
X22
0,2
X13
0,8
X23
Требуется дать групповые оценки мероприятий и вычислить коэффициенты
компетентности экспертов.
Методические рекомендации по решению. Расчеты осуществляются
методом последовательного приближения в итеративном процессе по следующим
формулам:
K tj
 
m
 1/    X i, j  X it для j  1, d , где
t
i 0
K tj - коэффициент компетентности j-ro эксперта;
26
(11.1)
d
X it   X i, j  K tj 1
для i  1, m;
(11.2)
j 1
X it = групповые значения оценок мероприятий с учетом компетентности
экспертов;
m
d
i 1
j 1
t   X i   X i, j для t = 1, 2, …;
t
-
суммарная
оценка
мероприятий
экспертами
с
учетом
их
компетентности;
Xi,j - оценки экспертов (см. табл. 11.1);
i - индекс мероприятия;
m - число мероприятий (m = 2);
j - индекс эксперта;
d - число экспертов (d = 3);
t - шаг итерации.
Вычисления начинаются с t = 1. Начальные значения коэффициентов
компетентности принимаются одинаковыми K oj = 1/d. Групповые оценки
мероприятий первого приближения равны среднеарифметическим значениям
оценок экспертов:
d
m
d
j 1
i 1
j 1
X1i  1 / d    X i, j для i  1, m; 1   X1i   X i, j ;
 
m
K1j  1 / 1   X i, j  X1i для j  1, d .
(11.3)
i 1
Первый шаг
X11 = (1/3) * (0,3 + 0,5 + 0,2) = 0,333;
Х21 = (1/3) * (0,7 + 0,5 + 0,8) = 0,667;
1 = 0,333 * (0,3 + 0,5 + 0,2) + 0,667 * (0,7 +0,5 + 0,8) = 1,667;
K11 = (1/1,667) * (0,3 * 0,333 + 0,7 * 0,667) = 0,34;
27
К21 = (1/1,667) * (0,5 * 0,333 + 0,5 * 0,667) = 0,30;
К31 = (1/1,667) * (0,2 * 0,333 + 0,8 * 0,667) = 0,36.
Второй шаг
X12 = 0,3 * 0,34 + 0,5 * 0,30 + 0,2 * 0,36 = 0,334;
Х22 = 0,7 * 0,34 + 0,5 * 0,30 + 0,8 * 0.36 = 0,676;
2 = 0,324 * (0,3 + 0,5 + 0,2) + 0,676 * (0,7 + 0,5 + 0,8) = 1,676 ;
K12 = (1/1,676) * (0,3 * 0,324 + 0,7 * 0,676) = 0,341;
К22 = (1/1,676) * (0,5 * 0,324 + 0,5 * 0,676) = 0,298;
К32 = (1/1,676) * (0,2 * 0,324 + 0,8 * 0,676) = 0,361.
Третий шаг;
X13 = 0,3 * 0,341 + 0,5 * 0,298 + 0,2 * 0,361 = 0,3235;
Х23 = 0,7 * 0,341 + 0,5 * 0,298 + 0,8 * 0,361 = 0,6765,
3 = 0,3235 * (0,3 + 0,5 + 0,2) + 0,6765 * (0,7 + 0,5 + 0,8) = 1,6765;
K13 = (1/1,6765) * (0,3 * 0,03235 + 0,7 * 0,6765) = 0,341;
К23 = (1/1,6765) * (0,5 * 0,3235 + 0,5 * 0,6765) = 0,298;
К33 = (1/1,6765) * (0,2 * 0,3235 + 0,8 * 0,6765) = 0,361.
Как следует из результатов третьего приближения, вектор коэффициентов
компетентности стабилизировался, поэтому дальнейшие вычисления не дают
существенного уточнения.
ЗАДАЧА 12
В среднем за день фирма продает Х штук товара А. Чему равна вероятность
(Рi) того, что фирме удастся продать в один из дней более Yi штук этого товара?
Рекомендации по решению
Х = 100, Y = 300.
28
100
Р(Х  300)  300 = 0,333
Смысл этой формулы в следующем: если в прошлом фирма смогла продать
100 штук, то, очевидно, она сможет продать 100 из 200, 300, 400 и т.д. штук в
будущем, т.е. половину, треть или четверть имеющегося товара. В то же время
возможная доля проданной продукции может рассматриваться как вероятность
продажи всей партии товара. Она будет не больше 0,5, 0,333 и 0,25.
ЗАДАЧА 13
Покупатель просит поставщика отпустить продукцию без предоплаты, т.е. в
долг. Чему равна вероятность (Р) того, что поставщик получит оплату
отпущенной продукции вовремя и не понесет потерь, если известно, что
продолжительное время КТЛ покупателя находился на среднем уровне, равном К
= 1.8? На какую минимальную прибыль (Пмин) должен рассчитывать поставщик,
чтобы признать сделку целесообразной.
Рекомендации по решению
При той информации, что здесь имеется, для оценки вероятности возврата
долга можно использовать лишь лемму Маркова либо попытаться оценить
упомянутую вероятность чисто субъективно. Первый вариант на вопрос о
вероятности возврата долга дает такой ответ:
 К 1,8 
Р(Х  )     = 0,9
 2 
т.е. вероятность возврата долга менее 90%, а потерь как минимум 10%. При
таком риске потерь следует заключать сделку только в том случае, если она
принесет прибыль более
Пмин =
100
 100  11,1%
1  0,1
В качестве величины  здесь был взят тот порог, который отделяет
29
платежеспособные
предприятия
от
неплатежеспособного
(

2).
Значит, чтобы отдать долги поставщику, покупатель должен будет повысить
значение КТЛ до 2.
ЗАДАЧА 14
По данным за ряд прошлых периодов просрочка выданных банком ссуд
колеблется вокруг среднего уровня, равного Р1 = 20%. Чему равна вероятность
(Р) того, что в будущем просрочка возврата банку ссуд превысит Р2 = 30%?
Рекомендации по решению
20
Р(Х  )  30 = 0,67
ЗАДАЧА 15
У банка имеются два должника, значения КТЛ у которых за три прошедших
месяца составили: у первого – К11 = 1.5, К12 = 1.3, К13 = 1.7 и у второго – К21 =
1.6, К22 = 1.4 и К23 = 1.5. Используя Лемму Маркова и неравенство Чебышева
необходимо определить, какова вероятность (Р) того, что они в течение
ближайшего месяца погасят свои долги перед банком?
Рекомендации по решению
Среднее значение КТЛ у обоих должников равно одной и той же величине:
1,5. В силу этого лемма Маркова здесь показала бы совершенно одинаковую
вероятность погашения долга у двух должников:
1.5
 0.75
Р(Х  2)  2
, т.е. менее 75%
Вероятность же невозврата долга у обоих по лемме Маркова здесь
составила бы как минимум 25%.
Неравенство Чебышева даст разные значения этих вероятностей для
упомянутых должников, ибо оно кроме среднего уровня КТЛ учитывает еще и его
30
колеблемость, которая у первого больше, чем у второго, что видно по величине
дисперсий:
(1.5  1.5) 2  (1.3  1.5) 2  (1.7  1.5) 2
 0.0267
1 
3
2
 22 
(1.6  1.5) 2  (1.4  1.5) 2  (1.5  1.5) 2
 0.0067
3
Упомянутые должники погасят свой долг перед банком, если восстановят
свою платежеспособность, т.е. повысят свой КТЛ до уровня 2. Для этого он у них
должен будет отклониться в большую сторону от нынешнего своего значения как
минимум на 0.5.
Вероятность такого отклонения в обе стороны по неравенству Чебышева
равна:
0.0267
 0.1068
2
0
.
5
для первого должника - Р(|х -1.5| > 0.5) <
0.0067
2
для второго - Р(|х -1.5|  0.5) < 0.5 = 0.0268.
Как, как уже отмечалось, нужна вероятность отклонения только в одну –
большую сторону. Она составит для первого должника меньше 10.68% : 2 =
5.34%; для второго должника меньше 2.68% : 2 = 1.34%.
Таким образом, вероятность невозврата долга первым должником будет как
минимум 100 – 5.34 = 94.66%, а вторым – как минимум
100 – 1.34 = 98.66%.
Почему должник с меньшей колеблемостью вернет ссуду с меньшей
вероятностью? Ведь чем ниже колеблемость, тем выше, казалось бы, должна быть
его надежность! Объясняется все это очень просто. В данном примере меньшая
колеблемость КТЛ у второго должника говорит о его большей устойчивости в
состоянии неплатежеспособности. Быть устойчивым неплательщиком – отнюдь
не положительное качество. Поэтому и вероятность невозврата им долга
31
оказалась выше. Если бы у него была меньшая колеблемость вблизи значения
КТЛ, равного, например, 2.5, тогда все обстояло бы у него по-другому. Но он
«застрял» на КТЛ куда меньше 2.
Большим достоинством леммы Маркова и неравенства Чебышева остается
то, что они пригодны для употребления при любом количестве наблюдений и
любом законе распределения вероятностей.
Платой
за
отсутствие
жестких
ограничений
является
некоторая
неопределенность оценок уровня вероятности, причем при использовании леммы
Маркова она значительно больше, чем при применении неравенства Чебышева.
ЗАДАЧА 16
Фирме предстоит заключение сделки с предприятием о поставке ему
продукции на крупную сумму. Согласно бухгалтерским данным, фактическое
значение КТЛ у этого предприятия х = 1,6.
Фирма ведет статистику неплатежей. Согласно ей, у контрагентов фирмы,
оказавшихся должниками, КТЛ находился в интервале Кд = 0.9 - 1.8, а у
аккуратных плательщиков – Ка = 1.2 – 2.7. Чему равна вероятность (Рп) того, что
предприятие окажется неплатежеспособным и не сможет расплатиться за
поставленную ему продукцию? На какую минимальную прибыль (Пмин) должен
рассчитывать поставщик, чтобы признать сделку целесообразной.
Рекомендации по решению
Согласно приведенным выше данным, зону неопределенности или риска
для значений КТЛ у контрагентов данного конкретного предприятия можно
определить как 1.2 - 1.8. Отсюда вероятность невозврата долга за поставленную
продукцию можно определить так:
Рп 
bx
ba .
Здесь b - верхняя граница зоны риска,
32
a - нижняя граница зоны риска,
х - фактическое значение КТЛ
Рп 
1.8  1.6
 0.33
1.8  1.2
, т.е. 33%.
На сделку с таким риском потерь можно идти только в том случае,
если ожидаемая прибыль превысит
100
 100  49%
Пмин = 1  0.33
.
Если бы у предприятия не было собственной статистики неплатежей, то
расчет уровня риска здесь выглядел бы так:
Рп 
2.0  1.6
 0.4,
2.0  1.0
т.е. 40%.
Допущение
о
существовании
закона
равномерного
распределения
вероятностей банкротств является, конечно в определенной мере натяжкой. Но
когда нет точных данных, о действительно существующем законе распределения
вероятностей, то, естественно, приходится идти на подобные допущения. К тому
же равномерный закон распределения вероятностей оказывается очень простым и
легким к употреблению, а для использования других законов могут понадобиться
основательные знания в области математики.
Противоположным понятию риска потерь выступает понятие надежности.
Вероятность того, что партнер окажется надежным и не подведет, можно
определить как
Рн  1  Рп 
ха
bа .
При 33%-ном риске потерь надежность партнера будет равна
100% - 33% = 67%.
Приведенные выше формулы можно использовать для перевода
значений не только КТЛ, но и многих других показателей в вероятностные оценки
33
риска. В частности их можно применять для перевода баллов надежности банков,
исчисляемых по методике В. Кромонова, являющейся сейчас одной из лучших.
Рейтинги банков с ее использованием регулярно публикуются. Например, по этим
публикациям установлено, что среди банков, у которых ЦБ РФ в то или иное
время отозвал лицензию на право осуществления банковской деятельности, не
было ни одного, который бы перешагнул границу в 60 баллов. В то же время ни
один банк из числа сохранивших лицензию, не опускался ниже 30 баллов.
Учитывая это, подсчитаны вероятности отзыва лицензии у банков, находившихся
в зоне неопределенности, т.е. имеющих баллы надежности по В. Кромонову в
интервале 30 - 60.
ЗАДАЧА 17
Эксперты определили надежность банка А на уровне Р(А) = 90%, а банка В
– на уровне Р(В) = 80%. Следовательно они считают, что банк А может оказаться

 
банкротом с вероятностью в Р А = 10%, а банк В с вероятностью Р В = 20%.
Определить вероятность:
того, что оба банка не станут банкротами – Р(АиВ);


2) банкротства двух банков – Р АиВ ;
 
4) банкротства только банка В – РАиВ ;
3) банкротства только банка А – Р АиВ ;
5) банкротства только одного какого-нибудь банка (или банка А, или банка


В) – РА В или АВ ;


6) наступления хотя бы одного банкротства – Р АилиВ
7) Проверить, что полная группа событий (полное отсутствие банкротств,
банкротство только для одного банка, банкротство сразу двух банков) равно 1,0.
Рекомендации по решению
34
Согласно теореме умножения, вероятность того, что оба банка не станут
банкротами, здесь будет равна
Р(А и В) = Р(А)  Р(В) = 0.9  0.8 = 0.72.
Вероятность же того, что оба банка станут банкротами составит
Р( А и В ) = 0.1  0.2 = 0.02.
Здесь А и В - события противоположные А и В.
Вероятность того, что банкротом станет только банк А, а банк В продолжит
свою деятельность, будет равна


Р А и В = 0.1  0.8 = 0.08.
Вероятность банкротства только банка В составит


Р А и В = 0.9  0.2 = 0.18.
Заметим, что вероятность одновременного банкротства сразу двух банков
многократно меньше вероятности банкротства каждого из них в отдельности (0.02
против 0.10 или 0.20). Значит, если надо во что бы то ни стало избежать потери
всех средств, следует помещать их не в один, пусть самый надежный банк, а в
несколько банков. Это называется диверсификацией. Иной раз она может
несколько снизить доход, зато повышает гарантию сохранности хотя бы части
средств, т.е. помогает инвесторам избежать при рискованных инвестициях
полного финансового краха.
Как уже отмечалось, теорема сложения вероятностей позволяет определять
вероятность наступления или события А, или события В. Согласно ей,
вероятность банкротства только одного какого-нибудь банка (или банка А, или
банка В) равна


 
РА В или АВ  РАВ  Р АВ  0.08  0.18  0.26 .
От понятия наступление только одного банкротства надо отличать понятие
наступление хотя бы одного банкротства. Вероятность последнего (или банка А,
или банка В, или сразу двух) составит по формуле суммы вероятностей для
35
совместных событий

      
Р А или В  Р А  Р В  Р А  Р В  0.1  0.2  0.02  0.28 .
Этот же результат можно также получить, суммируя ранее найденные
вероятности банкротства только одного какого-нибудь банка и банкротства сразу
двух банков: 0.26 + 0.02 = 0.28. Наконец, ту же самую цифру можно получить как
вероятность события, противоположного отсутствию всяких банкротств: 1 – 0.72
= 0.28.
Полную группу событий в данном примере составляет следующий перечень
событий: полное отсутствие банкротств, банкротство только для одного банка,
банкротство сразу двух банков.
Сумма их вероятностей равна единице: 0.72 + 0.26 + 0.02 = 1.
ЗАДАЧА 18
Эксперты установили, что вероятность банкротства банка (фирмы,
компании) в течение предстоящего года составляет Рб = 10%. Чему равна
вероятность того (Р3), что банкротство этого банка произойдет в течение трех
ближайших лет? в течение одного квартала (Рк)? в течение одного месяца (Рм)?
Рекомендации по решению
Правильный
ответ
на
первый
вопрос
нельзя
получить
простым
суммированием вероятностей банкротств за три года. Для правильного ответа
надо использовать теорему умножения вероятностей.
Вероятность того, что банк в течение трех лет не станет банкротом (будет
благополучным и в первом, и во втором, и в третьем году), равна по теореме
умножения вероятностей 0.9  0.9  0.9 = 0.729. Отсюда вероятность того, что он
потерпит крах в течение трех ближайших лет, составит
Р3 = 1 – 0.729 = 0.271 или 27.1%.
Складывать уровни риска банкротства здесь нельзя по той же причине, по
36
которой нельзя суммированием получить общее за три года снижение
себестоимости, если ее ежегодное снижение равно 10%. Себестоимость за три
года снизится, если правильно считать, не на 30%, а на 27.1%.
Уровень банкротства банка в течение части года, например квартала,
подсчитывается так:
Рк = 1 -
4
0.9 = 1 – 0.074 = 0.026 или 2.6%, но не 10% : 4 = 2.5%.
Уровень банкротства банка в течение только одного месяца получают
следующим образом: 1 -
12
0.9 = 1 – 0.991 = 0.009 или 0.9 %., но не 10% : 12 =
0.83%.
ЗАДАЧА 19
У банка имеются n = 10 должников. Вероятность невозврата каждым из них
своего долга оценена экспертами банка на уровне р = 10%. Чему равна
вероятность, что не погасят свой долг не менее m = 3 должников, т.е. не вернут
долг m = 1, m = 2 или m = 3 должника из
n = 10 должников банка?
Рекомендации по решению
Здесь
можно
воспользоваться
теоремами
сложения
и
умножения
вероятностей, но решение получится несколько громоздким. В последнем случае
лучше применить формулу Бернулли:
m n m
Pn m   C m
np q
,
где Рn(m) - вероятность наступления события m раз в n испытаниях,
р – вероятность наступления события в единичном испытании,
q - вероятность противоположного события,
Cmn - число сочетаний из n элементов по m.
Число сочетаний в свою очередь подсчитывается по формуле:
37
C mn 
n!
m!n  m ! .
В нашем примере р = 0.1, q = 1 – р = 0.9, n = 10.
Найдем вероятности того, что не погасят свой долг 1, 2 и 3 должника
из 10.
1
Р10(1) = С10 0.1  0.99 = 0.3974,
2
Р10(2) = С10 0.12  0.98 = 0.1937,
3
Р10(3) = С10 0.13  0.97 = 0.0574,
а всего 0.2898.
1
2
3
Здесь С10  10, С10  45, С10  120.
ЗАДАЧА 20
По мнению экспертов фирмы «Заря», конкурент может пойти на выпуск
новой, очень конкурентоспособной продукции, вероятность чего они оценили на
уровне Р(Н1) = 70%. Эта вероятность вызывает у руководства фирмы «Заря»
тревогу, но она еще не достаточна для того, чтобы идти на довольно
дорогостоящие ответные меры. решено собрать дополнительную информацию о
намерениях конкурента.
Эксперты фирмы «3аря» считают, что для выпуска новой продукции
конкурент с 90%-ной вероятностью – Р(А/Н1) пойдет на расширение своих
производственных
площадей.
Конечно
он
может
начать
расширять
производственные площади и по другим причинам. Но вероятность последнего
эксперты оценили на уровне всего Р(А/Н2) = 20%.
Руководству фирмы «Заря» стало известно о начале нового строительства у
конкурента. Как эта информация должна изменить представление руководства
фирмы «Заря» о возможности перехода конкурента на выпуск новой продукции.
Найти Р(Н1/А).
38
Рекомендации по решению
Для переоценки вероятности перехода конкурента на выпуск новой
продукции после получения информации о начале нового строительства следует
применить формулу Байеса:
РН1 / А  
РА / Н1   Р(Н1 )
Р( А)
.
Здесь Р(Н1/А) - уточненная вероятность предположения о переходе
конкурента на выпуск новой продукции (Н1) в результате получения информации
о начале у него нового строительства (А).
Р(Н1) – первоначальная вероятность предположения Н1. Она по условию
задачи равна 0,7.
Р(А) – полная вероятность начала нового строительства у конкурента по
разным причинам, а не только в связи с выпуском новой продукции.
Р(А) = Р(А/Н1)Р(Н1) + Р(А/Н2)Р(Н2) = 0.9  0.7 + 0.2  0.3 = 0.69.
После подстановки соответствующих значений в формулу Байеса
получаем:
Р(Н1 / А) 
0.9  0.7
 0.913
0.69
.
Это уже тот уровень вероятности, когда надо принимать решения об
ответных мерах на угрозу конкурента.
39