Задача 2 Математическая модель оптимизации производства

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Задача 1. Математическая модель оптимизации выпуска продукции ……….3
Задача 2 Математическая модель оптимизации производства с использование
кредита …………………………………………………………………………...10
Задача 3 Максимизация объема выпускаемой продукции в условиях
ограниченных финансовых ресурсов ………………………………………….16
Задача 4 Построение и анализ сетевых графиков. Оптимизация сетевого
графика …………………………………………………………………………..24
Задача 5 Построение и анализ уравнения парной линейной регрессии …….26
2
3
Задача 1. Математическая модель оптимизации выпуска продукции
Для изготовления продукции двух видов А и B предприятие расходует
ресурсы, а от реализации этой продукции получает доход. Информация о
нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции, запасах
расходуемых ресурсов, имеющихся в распоряжении предприятия, и выручки
от реализации готовой продукции приведены в таблице.
Наименование
ресурсов
Сырье (кг)
Оборудование (ст.час.)
Трудоресурсы (чел.час.)
Цена реализации (руб.)
Норма затрат на
Продукт А
Продукт В
3
2
3
5
4
6
288
405
Объем ресурса
218
401
543
Задача предприятия заключается в том, чтобы разработать программу
выпуска, обеспечивающую получение максимальной выручки от реализации
готовой продукции.
Требуется:
1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции и
записать ее в форме задачи линейного программирования.
2. Используя графический метод решения задачи линейного
программирования, найти оптимальную программу выпуска
продукции.
3. Записать задачу, двойственную к задаче оптимизации выпуска
продукции.
4. Используя условия «дополняющей нежесткости», найти оптимальное
решение двойственной задачи.
5. Привести экономическую интерпретацию переменных и оптимального
решения двойственной задачи.
6. Провести графический анализ устойчивости изменения объемов
используемых ресурсов. Найти функции предельной полезности
ресурсов и построить их графики. Определить функциональную
зависимость максимальной выручки от объемов используемых
ресурсов, построить их графики.
3
4
Решение
1. Пусть х1 – количество выпускаемого продукта А;
х2 – количество выпускаемого продукта В.
Искомая производственная программа X = (x1; x2) выпуска изделий А и В
должна удовлетворять всем ресурсным ограничениям. Запишем их в
математической форме.
3х1 + 2х2 < 218
3x1 + 5x2 < 401
4x1 + 6x2 < 543
x1 > 0, x2 > 0
Пусть z – выручка от продажи продуктов А и В. Задача состоит в таком
выпуске продукции X = (x1; x2), который обеспечивает максимальную
выручку, т.е. z = 288 x1 + 405 x2  max
2. Построим область допустимых решений (ОДР). Запишем уравнения
граничных прямых для каждого из неравенств и по две точки на этих
прямых.
3х1 + 2х2 = 218(1)
3x1 + 5x2 = 401(2)
4x1 + 6x2 = 543(3)
x1 0
72,7
x1 0
133,7
x1 0
135,8
x2 109
0
x2 80,2 0
x2 90,5 0
При подстановке точки (0; 0) в левую часть неравенств они будут
выполняться. Следовательно, искомые полуплоскости будут располагаться
слева (ниже) граничных прямых. Получим ОДР в результате пересечения
всех полуплоскостей в первом квадранте.
4
5
Находим градиент функции:
grad r = (dz/dx1; dz/dx2) = (288; 405)
Двигая линии уровня 288х1 + 405х2 = h вдоль вектора нормали,
находим точку касания линии уровня и ОДР. Это и есть точка максимума
функции z. В нашей задаче точка максимума X* лежит на пересечении
граничных прямых (1) и (2). Находим ее координаты из системы:
3х1 + 2х2 = 218
3x1 + 5x2 = 401
x1 = 32
x2 = 61
Оптимальная производственная программа X* = (32; 61) состоит в
выпуске 32 изделий А и 61 изделий В.
Ожидаемая выручка от их продажи:
z* = 288 * 32 + 405 * 61 = 33921 руб.
3. Исходная задача:
u1  3х1 + 2х2 < 218
u2  3x1 + 5x2 < 401
u3  4x1 + 6x2 < 543
x1 > 0, x2 > 0
z = 288 x1 + 405 x2  max
5
6
Двойственная задача:
3u1 + 3u2 + 4u3  288
2u1 + 5u2 + 6u3  405
u1  0, u2  0, u3  0
w = 218u1 + 401u2 + 543u3  min
4. Для того, чтобы допустимое решение X исходной задачи и допустимое
решение U двойственной задачи были оптимальными, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялись следующие условия.
xj * vj = 0
uj * yj = 0
где vj = aijui – cj, yj = bi - aij*xj
Подставив найденные компоненты вектора X* = (32; 61) в условия получаем:
x1 * v1 = 0; x1 = 10  v1 = 0
3u1 + 3u2 + 4u3 = 288
x2 * v2 = 0; x2 = 92  v2 = 0
2u1 + 5u2 + 6u3 = 405
u1 * y1 = 0; y1 = 218 – 3*32 – 2*61 = 0
 u1  0
u2 * y2 = 0; y2 = 401 –3*32 – 5*61 = 0
 u2  0
u3 * y3 = 0; y3 = 543 – 4*32 – 6*61 = 49
 u3 = 0
Получаем систему уравнений:
3u1 + 3u2 + 4u3 = 288
u1* = 25
2u1 + 5u2 + 6u3 = 405
u2* = 71
u3 = 0
u3* = 0
Значение целевой функции двойственной задачи на этом решении:
w* = 218*25 + 401*71 + 543*0 = 33921 руб.
Получены следующие результаты расчета модели:
6
7
x* = (32; 61)
u* = (25; 71; 0)
z* = w* = 33921 руб.
5.
Оценка u1* = 25 руб/кг показывает, что если объем сырья увеличить на
1 кг, то при прочих равных условиях максимальная выручка увеличится на 25
руб., а если уменьшить на 1 кг, то снизится на 25 руб.
Оценка u2* = 71 руб/ст.час. показывает, что если объем используемого
оборудования увеличить (уменьшить) на 1 ст.час, то максимальная выручка
увеличится (уменьшится) на 71 руб.
Оценка u3* = 0 руб/чел.час. показывает, что трудоресурсы являются
избыточным. Уменьшение (в пределах интервала устойчивости) или
увеличение фонда времени на трудоресурсы не повлияет на величину
ожидаемой выручки.
6. Сырье.
Проведем на графике прямую (1’), соответствующую минимальному
объему сырья, при котором оптимальные двойственные оценки ресурсов
остаются равными U* = (25; 71; 0). Также проведем прямую (1’’),
соответствующую максимальному при этом же условии объему сырья
(верхняя граница интервала устойчивости).
Найдем объемы сырья r1’ и r1’’, соответствующие этим прямым.
Прямая (1’) проходит через точку пересечения прямой (2) с осью Ох2.
r1’ = 3*0 + 2*80,2 = 160,4 кг
Прямая (1’’) проходит через точку пересечения прямой (2) с осью Ох1:
r1’’ = 3*133,7 + 2*0 =401,1 кг
r1  [160,4; 401,1]
Допустимое уменьшение объемов сырья:
218 – 160,4 = 57,6
Допустимое увеличение объемов сырья:
7
8
401,1– 218 = 373,1
Найдем функции предельной полезности сырья, а также зависимость
максимальной выручки от объемов используемого сырья.
Пусть объемы используемого трудоресурса и оборудования остаются
постоянными, а объемы сырья меняются. Пусть сначала r1 = 0, на графике
этому объему сырья будет соответствовать прямая (а0).
При малом r1 > 0 сырье будет лимитирующим ресурсом и предприятие
будет производить только продукт А.
Следовательно,
х1 = 0  v1  0
х2 > 0  v2 = 0
u1 > 0
u2 = 0
u3 = 0
Получаем систему уравнений:
2u1 + 5u2 + 6u3 = 405
u2 = 0
u3 = 0
Из нее находим:
u1* = 202,5
u2* = 0
u3* = 0
Эти двойственные оценки будут оптимальными, пока объемы сырья не
вырастут до уровня (а1), т.е. пока объемы сырья не станут равными: r1 = 160,4
кг.
При r1 > 160,4 оптимальным решением будет точка пересечения
прямых (1) и (3), при котором u* = (25; 71; 0), т.е. u1(r1) = 25 руб/кг при r1 
[160,4; 401,1].
При r1 > 401,1 кг (выше прямой (а2)), сырье станет избыточным.
Поэтому, u1(r1) = 0 руб/кг при r1  [401,1; ].
8
9
При r1  [0; 160,4], z = 202,5*r1. При r1 = 160,4 z = 160,4 * 202,5= 32481 руб.
При r1  [160,4; 401,1], z = 32481 + 25 (r1 – 160,4) = 28471 + 25r1.
При r1 = 401,1, z = 28471 + 25*401,1 = 38498,5
При r1  [401,1; ], z = 38498,5 руб.
Представим полученные результаты в виде таблицы.
r1 (кг)
[0; 160,4]
[160,4; 401,1]
u1(r1) (руб/кг)
202,5
25
z(r1) (руб)
202,5r1
28471 + 25r1
График функции предельной полезности сырья.
[401,1; ]
0
38498,5
График зависимости выручки от объемов используемого сырья.
9
10
Задача 2 Математическая модель оптимизации производства с
использование кредита
Малое предприятие намерено организовать в следующем квартале
выпуск новой продукции А и В, пользующейся высоким спросом на рынке.
Предприятие располагает необходимым сырьем и оборудованием и может
привлечь квалифицированных рабочих на условиях почасовой оплаты, но не
имеет средств на оплату труда рабочих. Для этого оно может получить в
банке кредит сроком на три месяца под 40% годовых с погашением кредита и
процентов по нему в конце квартала.
Информация о нормах затрат сырья, оборудования и трудовых
ресурсов, объемах сырья и парка оборудования, имеющихся в распоряжении
предприятия, размер выручки от реализации продукции А и В приведены в
таблице.
Наименование ресурсов
Сырье (кг)
Оборудование (ст.час.)
Трудоресурсы (чел.час.)
Цена реализации (руб.)
Норма затрат на
Продукт А
Продукт В
1
1
7
9
0
1
376
420
Объем ресурса
430
3150
Целью организации выпуска новой продукции является получение
максимальной суммарной прибыли, которая определяется как разность
между суммарной выручкой, полученной от реализации за квартал
продукции А и В, к затратам, связанным с обеспечением кредита.
Требуется:
1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции с
использованием кредита для выплаты зарплаты рабочим с
произвольной почасовой ставкой t (руб./чел.час.) оплаты труда.
2. Определить
оптимальную
программу
выпуска
продукции,
максимальную прибыль, необходимый размер кредита, сумму
уплаченных процентов и потребность в трудовых ресурсах, если
почасовая ставка t оплаты труда равна 10 руб./ чел.час.
3. Найти функцию спроса на трудовые ресурсы, как функцию почасовой
ставки оплаты труда t, построить график этой функции. Исследовать
зависимость размеров max прибыли и кредита, обеспечивающего ее
получение, от почасовой ставки t оплаты труда в диапазоне от 10 до 50
руб. за чел.час. Найти функции, выражающие эти зависимости и
построить их график.
10
11
Решение
1. Введем следующие обозначения:
х1 – объем выпуска продукции А
х2 – объем выпуска продукции В
S – потребность в трудоресурсах при производственной программе X =
(x1; x2)
K – сумма кредита
t – почасовая оплата труда
z – выручка от продажи производственных продуктов
К – сумма погасительного платежа
P – прибыль предприятия.
Тогда деятельность предприятия можно формализовать в виде следующих
условий:
K = S*t
1х1 + 1х2  430
7х1 + 9х2  3150
0х1 + 1х2 = S
К = (1 + 0,4*3/12)*k = 1,1*k
Целью деятельности предприятия является получение наибольшей
прибыли:
P = z – К  max
Вместе с условием не отрицательности всех введенных переменных
данные условия определяют математическую модель заданной ситуации.
2. Проведем анализ условий графическим методом. Выразим прибыль через
неизвестные х1 и х2.
P(t) = 376x1 + 420x2 – 1,1*(0x1 + 1x2)*t = 376 *x1 + x2*(420 – 1.1t).
11
12
Рассмотрим задачу с двумя неизвестными, зависящими от параметра t:
1х1 + 1х2  430
7х1 + 9х2  3150
х1  0 х2  0
P(t) = 376*x1 + x2*(420 – 1.1t) max
Построим ОДР, которая не зависит от параметра t.
1х1 + 1х2 = 430
х1 0
х2 430
430
0
7х1 + 9х2 = 3150
х1
х2
0
350
450
0
Пусть t = 10 руб/чел.час, тогда P(10) = 376х1 + 409х2
grad P(10) = (376; 409)
Точкой максимума функции будет точка A = (0; 350)
Определим для этой производственной программы все остальные
неизвестные величины:
Спрос на трудоресурс
Сумма кредита
Выручка
Сумма погашения кредита
Прибыль
или
S*(10) = 0*0+1*350 = 350 чел.час
k*(10) = 350*10 = 3500 руб.
z*(10) = 376*0+420*350 = 147000 руб.
K*(10) = 1,1*3500 = 3850 руб.
P*(10) = 147000 – 3850 = 143150 руб.
P*(10) = 376*0+409*350 = 143150 руб.
3. Так как grad p(t) = (376; 420 – 1.1*t), то при росте t нормаль к линиям
уровня будет поворачиваться вправо, т.к. вторая компонента вектора
12
13
становится нулевой раньше при росте t. Точка А остается точкой максимума,
пока линии уровня функции p(t) не станут параллельными прямой (1), т.е.
пока коэффициенты этих прямых не станут пропорциональными:
376 / 1 = (420 – 1.1t) / 1
t = 40 руб/чел.час.
Итак, если t  [0; 40], то точкой максимума остается вершина А = (360; 70).
При t = 40 оптимальной будет любая точка отрезка АВ, в том числе и
точка В.
При дальнейшем росте параметра t единственной точкой максимума
будет точка В = (430; 0). Она будет оптимальной пока линии уровня функции
p(t) не станут параллельными прямой (2):
t = 376 руб/чел.час.
Следовательно, при t  [40; 376] оптимальное решение определяется
точкой В. При t > 376 оптимальной станет С = (0; 350). Она будет точкой
оптимума, пока вторая компонента вектора градиента не станет нулевой.
Тогда вектор перейдет в третий квадрант и точкой максимума функции p(t)
станет начало координат:
420 – 1.1t = 0
t = 381.81 руб/чел.час
Найдем зависимость спроса на трудовые ресурсы от почасовой ставки
оплаты труда:
При t  [0; 40), S*(t) = SA = 350 чел.час
При t  (40; 376), S*(t) = SВ = 0*360 + 1*70 = 70 чел.час
При t  (376; 381.81), S*(t) = SС = 430*0 + 1*0 = 0 чел.час
При t  (381.81; ), S*(t) = S0 = 0 чел.час
При t = 40 спрос на трудоресурс определяется неоднозначно, т.к. его
величина
зависит
от
неоднозначной
производственной
программы.
Максимальное значение показателя S в точке А, минимальное в точке В.
Аналогично и при t = 376 и t = 381.81.
Представим функцию спроса на трудовые ресурсы в виде таблицы:
13
14
t
(руб/чел.час)
S*t (чел.час)
[0;40)
40
(40;376)
376
(376;381.81)
381.81
(381.81;)
350
[70;350]
70
[0;70]
0
[0; 0]
0
График функции S*(t)
Исследуем зависимость размеров максимальной прибыли и кредита от
почасовой ставки оплаты труда в диапазоне от 10 до 50 рублей за чел.час.
При t  [10; 40), k*(t) = kA = 350*t руб.
P*(t) = zA – kA = 147000 – 1,1*350t = 147000 –385t руб.
При t  (40; 50], k*(t) = kB = 70*t руб.
P*(t) = zB – kB = 535920 – 77 руб.
При t = 40 сумма кредита определяется неоднозначно, т.к. ее величина
зависит от неоднозначно заданного спроса на трудоресурс. Максимальное
значение показателя k – в точке А, минимальное – в точке В.
Величина прибыли:
P*(40) = PA = 147000 – 385*40 = 131600 руб.
P*(40) = PВ = 134680 – 77*40 = 131600 руб.
Представим зависимость размеров максимальной прибыли и кредита от
почасовой ставки оплаты труда в следующей таблице:
t (руб/чел.час)
K*(t) (руб)
P*(t) (руб)
[10; 40)
350*t
147000-385*t
40
[2800,14000]
131600
(40; 50]
70*t
134680-77*t
В следующей таблице представим значения суммы кредита и прибыли
предприятия при t = 10, 20, 30, 40, 50
t (руб/чел.час)
K*(t) (руб)
P*(t) (руб)
10
3500
143150
20
7000
139300
30
10500
135450
40
14000
131600
50
3500
130830
14
15
График функции k*(t):
График функции p*(t).
15
16
Задача 3 Максимизация объема выпускаемой продукции в условиях
ограниченных финансовых ресурсов
Фирма при производстве продукции использует два вида ресурсов:
рабочую силу (L, тыс. чел.-час) и оборудование (K, тыс. ст. час.).
Производственная функция (ПФ) фирмы, построенная путем обработки
статистических данных, имеет вид:
Y  6 * L ^ (0.5) * K ^ (0.5) ,
где Y –объем выпуска продукции (ед.)
Требуется:
1. Построить графики ПФ при фиксированном значении одной из
переменных: а) K=90 ) L=18
2. Найти уравнение изоквант ПФ и построить их графики для Y1=161,
Y2=241, Y3=322.
3. Известны объем выпуска продукции Y=241 и наличные трудовые
ресурсы L=18 в базовом периоде. Определить потребность в
оборудовании в плановом периоде при увеличении объема выпуска
продукции на 10%, если возможность увеличения трудовых
ресурсов составляет не более 5%.
4. Рабочая сила нанимается по контракту с почасовой оплатой труда
350 (ден.ед./тыс.чел.-час), оборудование берется в аренду с
суммарными затратами 70 (ден.ед./тыс.ст.час). Объем капитала,
который фирма может затратить на рабочую силу и оборудование,
составляет 14000 (ден.ед.). Построить математическую модель
задачи
оптимизации
выпуска
продукции,
считая,
что
производственная функция задана на множестве K>=0, L>=0, и
найти графическим методом её решение. Определить предельную
норму технологического замещения оборудования рабочей силой и
предельную эффективность финансовых ресурсов в точке оптимума.
16
17
Решение
Производственная
функция
(ПФ)
–
функция,
описывающая
зависимость максимального объема производимого продукта от затрат
ресурсов (факторов), используемых в производственном процессе. В данной
задаче в качестве ресурсов выступает рабочая сила (L, тыс. чел.- час) и
оборудование (К, тыс. ст.- час.). Производственная функция фирмы,
построенная путем обработки статистических данных, имеет вид:
Y  6 * K 0.5 L0.5
Построим графики производственной функции при фиксированном
значении одной из переменных.
А) К=90
Тогда ПФ – степенная функция следующего вида:
Y  6 * (90) 0.5 L0.5  56,92 * L0.5
Пусть L в промежутке от 55 до 64
ПФ при К=90
3700
3600
3500
3400
K
3300
3200
3100
3000
2900
2800
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
L
17
18
Б) L=18
ПФ при L=18
700
600
500
L
400
300
200
100
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
K
Пусть K в промежутке от 2 до 11
Отметим,
что
заданная
ПФ
удовлетворяет
основным
свойствам
производственных функций:
 при отсутствии хотя бы одного ресурса объем выпуска продукции
равен нулю, то есть Y(0,0)=Y(K,0)=Y(0,L);
 с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска Y растет;
 с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого
величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу
увеличивающегося ресурса убывает, т.е. имеет место закон убывающей
эффективности ресурсов.
2) Изокванта – совокупность всех комбинаций факторов производства (К,L),
обеспечивающих одинаковый объем выпускаемой продукции. Изокванты
дают графическое представление двухфакторной производственной функции
Y(K,L) в виде её линий уровня.
Вычислим необходимые значения ПФ:
Y1  161 ; Y2  241 ; Y3  322
18
19
Для построения на декартовой плоскости ОКL изоквант целесообразно
из их уравнений в явном виде выразить переменную L как функцию от
переменной K:
L0.5 
Y
Y
1
 ( )10 / 5 *
0.5
6
K
6* K
Итак, уравнения, трех изоквант запишем в следующем виде:
L(
161 10 / 5 1 720.03
) * 
6
K
K
L(
241 10 / 5 1 1613,36
) * 
6
K
K
L(
322 10 / 5 1 2880,11
) * 
6
K
K
Графики изоквант
350
300
250
L
200
150
100
50
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
K
Y=161
Y=241
Y=322
3) Известны объем выпуска продукции Y=241 и наличные трудовые ресурсы
L=18 в базовом периоде. Определим потребность в оборудовании в плановом
периоде при увеличении объема выпуска продукции на 10% , если
возможность увеличения трудовых ресурсов составляет не более 5%.
При заданном увеличении объем выпуска продукции составит
Y=1.1*Yбаз=1,1*241=265,1
Существует множество комбинаций факторов производства (K,L),
обеспечивающих выпуск продукции в объеме 265,1. Потребность в
19
20
оборудовании в плановом периоде можно выразить как функцию от объема
трудовых ресурсов. Используя уравнение изокванты
Y  6 * K 0.5 L0.5  265,1 имеем:
K
1952,17
L
Таким образом, если объем трудовых ресурсов, используемых в
производстве, не изменится и останется на уровне L=18, то потребность в
оборудовании в плановом периоде составит
K
1952,17 1952,17

 108,45 (тыс. ст. – час.).
L
18
Если же объем трудовых ресурсов увеличится на 5% по отношению к
базовому и составит
L  1.05 * Lбба  1.05 *18  18,9
То потребность в оборудовании в плановом периоде составит
K
1952,17
 103,29
18,9
Итак, при объеме трудовых ресурсов L [ Láàç ;1,05 * Láàç ] потребность в
оборудовании
в
плановом
периоде
составит
некоторую
величину
K  [103,29;108,45] , обеспечивающие выпуск продукции в объеме 241 ед.
4)Согласно условию фирма может приобрести на рынке используемые в
производстве ресурсы по ценам pk  70 и pl  350 . Величина её затрат С на
покупку L единиц рабочей силы и K единиц оборудования составит
C  pk * K  pl * L  70K  350L
Задача фирмы состоит в нахождении максимального объема выпуска
продукции при условии, что уровень затрат на покупку ресурсов не
превосходит 14000 ед. Математическая модель этой задачи может быть
записана так:
Найти объемы ресурсов K и L, удовлетворяющие ограничениям
70K+350L≤14000
K≥0, L≥0
20
21
Её решение можно найти графическим методом:
K
0
200
L
40
0
Для нахождения значений координат точки D используем тот факт, что
градиент целевой функции grad Y= (
Y Y
; ) , вычисленный в точке касания,
YK L
перпендикулярен прямой АВ. Это означает, что вектор grad Y и вектор
нормали ОС=(Pk;Pl) этой прямой пропорциональны, т.е. справедливо
равенство
(
p
Y Y
; ) k
YK L
pl
Y Y
0.5 * 6 * K 0.5 L0.5 0.5 * L
( ; )

, отсюда имеем, что
YK L
0.5 * 6 * K 0.5 L0.5 0.5 * K
0.5 * L
70

0.5 * K 350
Следовательно,
5L  K
K=5 L Подставляя полученное выражение K через L в уравнении граничной
прямой АВ, получаем:
350 L +350L=14000 или L=20
Оптимальный объем оборудования равен K*=100
А соответствующий объем выпуска Y  6 * K 0.5 L0.5  6 *1000.5 200.5  126,89
21
22
Отношение предельных производительностей оборудования и рабочей
силы
называется
предельной
нормой
технологического
замещения
оборудования рабочей силой и обозначается MRTS. Эта, величина
показывает, на сколько единиц нужно увеличить затраты рабочей силы,
чтобы при уменьшении затрат оборудования на одну единицу объем выпуска
продукции остался на прежнем уровне.
MRTS=350/70=5
Равенство можно записать иначе:
Y
K
pk
Y
 L
pL
Величину этого отношения можно интерпретировать как предельную
эффективность финансовых ресурсов
Y
.
C
Y Y

pk  (0.5 * 6 *100 0.5 * 20 0.5 ) / 70  0.061
C k
Что означает следующее: при увеличении затрат на 1 ден.ед. объем
выпускаемой продукции возрастает на 0.061 ед.
22
23
Задача 4 Построение и анализ сетевых графиков. Оптимизация сетевого
графика
Фирма может влиять дополнительным финансированием на скорость
строительства своего торгового павильона. Очередность выполнения работ,
их нормальная и ускоренная продолжительность выполнения, а также
стоимость строительно-монтажных работ при нормальном и ускоренном
режиме выполнения приведены в следующей таблице.
Имя работы
Опирается на работу
A
E,H
B
G
C
Нормальный
срок
(дни)
Ускоренный
срок
(дни)
Норм.
стоимость
(млн. руб.)
Плата за ускор. (млн.
руб.)
28
28
56
20
20
126
50,4
D
E
F
E,H
G
V
H
G
Q
V
V
14
45
14
14
14
47
14
40
10
30
10
10
10
30
10
52
116
72
225
28
21
24
261
90
20,8
46,4
28,8
112,5
11,2
8,4
9,6
147,9
36
C,F,Q
,B
Требуется:
1. С учетом технологической последовательности работ построить
сетевой график выполнения этих работ.
2. Рассчитать временные характеристики сетевого графика при
нормальном режиме выполнения работ. Найти критический путь и его
продолжительность, указать все возможные критические пути,
определить стоимость всего комплекса работ.
3. Указать стратегию минимального удорожания комплекса работ при
сокращении сроков строительства на 2 дня. В какую итоговую сумму
обойдется фирме ускоренная стройка павильона?
23
24
Решение
Построим сетевой график на основе данных условия.
Итак, T6P = 75 дней - критическое время сетевого графика, т.е. раньше
75 дней торговый павильон построен быть не может.
Критический путь: {VQD}
Стоимость строительства при нормальном режиме выполнения работ:
Sнор = 126+52+116+72+225+28+21+24+261+90=1015
3. Рассчитаем для каждой работы дополнительные затраты на один день
ускорения.
Полученные результаты приведем в таблице:
Работа
Tнор-tcр

(затраты)
Так
A
8
6,3
как
B
8
2,6
C
16
2,9
D
4
7,2
критическое
E
15
7,5
время
F
4
2.8
сетевого
G
4
2,1
H
4
2,4
графика
Q
17
8,7
V
4
9
определяется
длительностями критических работ, то уменьшение этого времени может
24
25
быть
осуществлено
только
за
счет
ускорения
критических
работ.
Критический срок будем сокращать последовательно по одному дню.
D = 7,2 млн. руб.
Ускорим работу D на 2 дня. Получим следующий сетевой график.
S1,2 = 1015+7,2*2 = 1029,4 млн. руб.
Нормальный режим:
Ускоренный режим:
Критическое время - 75 дней
Директивный срок - 73 дня
Критический путь {VQD}
Критические пути {VQD};{EA}
Стоимость – 1015 млн. руб.
Стоимость – 1029,4 млн. руб.
25
26
Задача 5 Построение и анализ уравнения парной линейной регрессии
Имеются данные по 15 субъектам Российской Федерации за январь –
март 2001 г. о денежных доходах и потребительских расходах на душу
населения в среднем за месяц, которые приведены в таблице.
Номер
субъекта РФ
Денежные
доходы, тыс.
руб.
Потребительс
кие расходы,
тыс. руб.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1,57
1,3
1,75
1,46
1,91
2,19
1,17
1,38
2
1,9
9
2,29
2,07
2,01
2,99
1,91
1,29
1,15
1,3
1,36
1,67
1,59
0,92
1,08
1,65
1,7
6
1,7
1,88
1,38
2,74
1,46
На основе имеющихся данных требуется:
1. Построить поле рассеяния наблюдаемых значений показателей и на
основе его визуального наблюдения выдвинуть гипотезу о виде
статистической зависимости потребительских расходов y от денежных
доходов x; записать эту гипотезу в виде математической модели.
2. Используя метод наименьших квадратов найти точечные оценки
неизвестных параметров модели, записать найденное уравнение
регрессии и построить график функции регрессии.
3. Найти коэффициент парной корреляции между денежными доходами и
потребительскими расходами; проверить значимость найденного
коэффициента корреляции. Найти коэффициент детерминации.
4. Проверить с помощью критерия Фишера значимость уравнения
регрессии.
5. Найти точечный и интервальный прогноз среднемесячных
потребительских расходов в 10-м субъекте РФ в будущем периоде
предполагая, что среднемесячные денежные доходы в этом субъекте
РФ увеличатся на 30%.
6. Привести содержательную интерпретацию полученных результатов.
26
27
Решение
Поле рассеяния характеризует зависимость потребительских расходов
от денежных доходов. Очевидно, между ними
существует прямая
зависимость.
3
y = 0,8712x - 0,0971
2,5
R2 = 0,8653
2
1,5
1
0,5
0
0
1
2
3
4
Визуальный анализ поля рассеяния позволяет выдвинуть гипотезу о
линейной зависимости потребительских расходов от денежных доходов и
записать эту зависимость в виде линейной модели:
y = a0 + a1 x + e
где y - результативный фактор (потребительские расходы)
a0 a1 - параметры модели (постоянные)
е
-
некоторая
изменяющаяся
величина,
благодаря
которой
любое
индивидуальное значение y может отклоняться от линии регрессии.
Оценим параметры регрессии. Для удобства вычисления оценок
искомых коэффициентов модели составим таблицу.
№
x
субъекта
РФ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
x2
y
1,57
1,3
1,75
1,46
1,91
2,19
1,17
1,38
2
1,99
2,29
2,07
2,01
1,29
1,15
1,3
1,36
1,67
1,59
0,92
1,08
1,65
1,76
1,7
1,88
1,38
xy
2,4649
1,69
3,0625
2,1316
3,6481
4,7961
1,3689
1,9044
4
3,9601
5,2441
4,2849
4,0401
2,0253
1,495
2,275
1,9856
3,1897
3,4821
1,0764
1,4904
3,3
3,5024
3,893
3,8916
2,7738
y2
yi
1,6641
1,3225
1,69
1,8496
2,7889
2,5281
0,8464
1,1664
2,7225
3,0976
2,89
3,5344
1,9044
yi-yi
1,271
1,035
1,428
1,175
1,567
1,811
0,922
1,105
1,645
1,637
1,898
1,706
1,654
0,019
0,115
-0,128
0,185
0,103
-0,221
-0,002
-0,025
0,005
0,123
-0,198
0,174
-0,274
(yi-yi)2
0,000373
0,013119
0,016256
0,03428
0,010631
0,048765
4,86E-06
0,000633
2,21E-05
0,015231
0,039183
0,030177
0,075083
27
28
14
15
сумма
2,99
1,91
27,99
2,74
1,46
22,93
8,9401
3,6481
55,1839
8,1926
2,7886
45,3615
7,5076
2,1316
37,6441
2,508
1,567
0,232
-0,107
0,053922
0,011426
0,349107
x = xi / 15 = 27,99 / 15 = 1,87 тыс. руб. – среднее значение среднедушевых
доходов
y = yi / 15 = 22.93 / 15 = 1,53 тыс. руб. – среднее значение среднедушевых
потребительских расходов.
xy = 45,36 / 15 = 3.02
x2 = 55.18 / 15 = 3.68
Тогда,
a1 = 0,159 / 0,1831 = 0,871
a0 = y - a1 *x = -0,1
Таким образом, искомое уравнение регрессии имеет вид:
y = -0,1 + 0,871*x
Выборочный коэффициент парной корреляции:
rxy 
n x i y i   x i  y i
n x i  ( x i ) 2 * n y i  ( y i ) 2
2
2
rxy = 0,93
Для того, чтобы с большей уверенностью полагаться на значение
коэффициента корреляции выясним значимо ли значение коэффициента
корреляции.
Рассчитаем статистику:
rxy * n  2
1  rxy2
 9,59
При уровне значимости а = 0,05, t (0,975; 13) = 2,16
При а = 0,01, t (0,995; 13) = 3,01
Так как |t| > tтабл, то коэффициент корреляции существенно отличается
от нуля и существует сильная связь между x и y.
Коэффициент детерминации определяется по формуле:
28
29
R2 = (y’i -y)2 / (yi -y)2 = 1 – ((yi – y’i)2 / (yi -y)2)
(yi – y’i)2 - это мера разброса, объясненная с помощью уравнения регрессии;
(yi -y)2 - это мера разброса не объясненная уравнением регрессии.
R2 = 1-0.349 / 2.592=0.865
Так как R2 достаточно близок к единице, то уравнение регрессии
достаточно точно отражает истинную зависимость между доходами и
расходами.
4. Рассмотрим найденное уравнение y = -0.1 + 0,871*x и проверим его
значимость.
Q = yi2 – n *y2 = 2.592
Q1 = Q – Q2 = 2,243
Q2 = (y’i -yi)2 = 0,349
Fфакт = Q1 / (Q2 / (n-2)) = 89,72
Пусть  = 0,05, тогда F0,05;1;13 = 4,67
Так как Fфакт > F0,05;1;13. (89,72 > 4,67), то адекватность модели
подтверждается, т.е. уравнение регрессии является достаточно надежным и
может
использоваться
в
прикладных
целях,
в
частности,
для
прогнозирования.
5. Найдем точечный прогноз для 10-го субъекта.
x0 = 1,3* 1.99 = 2,587 тыс. руб.
y’0 = a + b*x0 = 2.157 тыс. руб.
Интервальным прогнозом зависимой переменной y, соответствующим
некоторому значению переменной x = x0, называется доверительный
интервал, границы которого находятся по формуле:
yвн = y(x0)  t1-/2, n-2 Sy
где y(x0) - точечный прогноз
Пусть  = 0,1, тогда 1 -  = 0,9; t1-/2, n-2 = 1,771
S2 = (y’i -yi)2 / (n-2);
(x1 –x)2 = xi2 – n * (x )2
29
30
S y  2.587  1,771* 1 / n 
( x0  x ) 2
 2.587  0,865
 ( xi  x) 2
Следовательно, y’в,н = y’(x0)  t1-/2, n-2 * Syi = 2.587  0,865
y’в = 3,452
y’н = 1,722
Это означает, что при увеличении среднедушевых денежных доходов в
на 30%, размер среднедушевых среднемесячных потребительских расходов с
вероятностью 0,9 будет колебаться в пределах от 1.722 тыс. руб. до 3.452
тыс. руб.
Следовательно, y0  (1.722; 3.452) с 90% вероятностью.
Рассмотрим найденное уравнение регрессии y = -0.1 + 0,871*x. Оно
было найдено по методу наименьших квадратов. Прямая регрессии,
изображенная на рисунке поля рассеяния наилучшим образом приближается
к заданным точкам, т.к. сумма квадратов отклонений фактических значений y
от расчетных минимально.
Коэффициент а0 = -0.1 не имеет экономического смысла, поскольку
формально соответствует размеру потребительских расходов при нулевом
уровне денежных доходов. Коэффициент а1 = 0.871 определяет прирост
потребительских расходов, обусловленный приростом денежных доходов,
т.е. прирост денежных доходов, например, на 100 руб. вызовет прирост
потребительских расходов на 87.1 руб.
30
31
Выпишем итоговые результаты.
y = а0 + а1 * x + е
-
математическая
модель
зависимости
потребительских расходов от денежных доходов
y’ = -0.1 + 0,871 * x
- уравнение регрессии, количественно выражающее
зависимость расходов от доходов
rxy = 0.93
- коэффициент корреляции между x и y, его
значение
свидетельствует
о
наличии
линейной
зависимости
между
тесной
доходами
и
расходами
R2 = 0,865
-
коэффициент
детерминации,
его
значение
показывает, что уравнение регрессии отражает
имеющуюся зависимость между расходами и
доходами
Fфакт = 89,72
- значение критерия Фишера для найденного
уравнения регрессии, что подтверждает значимость
уравнения
регрессии
(адекватность
модели
исследуемой зависимости) при 5%-ном уровне
значимости
y’0 = 2,157
-
точечный
прогноз.
Так
как
вероятность
совпадения фактических потребительских расходов
(вероятность попадания в любую точку) равна
нулю, то были составлены интервальные прогнозы
y’н = 1,722; y’в = 3.452
- интервальный прогноз с 95%-ой доверительной
вероятностью
31
32
Список использованной литературы
1. Барабан С.Б., Воронович Н.В, Экономико-математические методы и
модели.- М., Статус, 2008.-773 с.
2. Математические моделирование в экономике. – Новосибирск, 2005.
636с.
3. Фомин Г.П. математические методы
и модели в коммерческой
деятельности. - М., Финансы и статистика, 2007. -603с.
32