Динамические модели оценки эффективности логистических

Динамические модели ценообразования в системах логистики.
Введение
Возрастающие требования потребительского рынка привели к существенному росту
предлагаемых объемов товаров и услуг. За прошедшее десятилетие нам были предложены
тысячи товаров и услуг, которые в настоящее время продаются почти в каждом уголке
земного шара и доставляются потребителям в любое место. Это привело к тому, что
эффективный логистический менеджмент признан ключевым элементом, необходимым
для повышения рентабельности показателей деятельности компаний, отражающих их
конкурентоспособность. Чтобы компания добилась успеха, необходимо продавать
предлагаемый продукт по обоснованной цене, обеспечивая его доступность в нужном
месте. Под ценой мы будем традиционно понимать количество денег, которые
потребитель готов платить за товар. Поставщик может попытаться увеличить объем
продаж, снизив цену на свой продукт или изменив график поставок. Если спрос на
предлагаемый товар высокоэластичен, то это может привести к увеличению валовой
выручки, но необязательно – к увеличению маржинального дохода (рентабельности).
Завышенные цены на предлагаемый товар, с одной стороны, снижают интенсивность его
продаж, с другой, - понижают эффективность вложения оборотного капитала,
используемого для оптовых закупок, а также увеличивают риски превышения срока
годности непроданного товара в торговой сети. Вопросы рационального выбора цены
товара и повышения эффективности использования оборотного капитала торговой фирмы
рассмотрены в данной работе.
1. Модели оптимизации цены реализуемого товара по критерию максимизации
валовой выручки и маржинального дохода.
Одним из инструментов, позволяющих определить как повлияют на показатели прибыли и
доходности компании такие параметры как общие затраты и валовые поступления от
продаж, является модель стратегической прибыли. Используя данные о финансовой
отчетности (бухгалтерский баланс и отчет о прибылях и убытках) компании, эта модель
позволяет рассчитать основные показатели производственно-хозяйственной деятельности
компании: доходность собственного капитала, доходность активов и финансовый рычаг. В
частности, при использовании этой модели, может быть рассмотрено влияние на
указанные выше показатели изменение таких параметров как валовые поступления от
продаж и маржинальный доход.
В данном разделе будут рассмотрены две модели выбора оптимальной цены товара в
предположении, что заданы границы изменения цены aimin  ai  aimax товара, а
интенсивность его реализации линейно меняется в зависимости от выбора цены. В этой
ситуации необходимо выбрать цену, которая бы максимизировала объем полученной
выручки на заданном временном интервале [0, T]. Обозначим, с учетом приведенных
предположений, интенсивность продаж при максимальной цене реализации товара a max
через q ( a max ,t). Будем далее предполагать, что если цена продаж будет снижена до уровня
a ( aimin  ai  aimax ), то интенсивность продаж q(a,t) задается следующим образом: q(a,t) =
q( a max ,t)+( a max -a)k, где коэффициент k отражает интенсивность роста продаж при
снижении цены. Для товаров с высокоэластичным спросом значение k больше, чем для
товаров с низкоэластичным спросом. Тогда задача, связанная с выбором оптимальной
цены сведется к оптимизации следующего функционала:
T
T
0
0
F (a)  a  q(a max , t )dt  a  (a max  a)kdt  max
a min  a  a max
(1)
(2)
T
Обозначим через I   q(a max , t )dt и перепишем выражение (1), проинтегрировав второе
0
слагаемое.
F (a)  a  I  a  a max kT  a 2 kT
Учитывая, что в точке экстремума первая производная
dF (a )
 0 , получим:
da
( I  a max kT )
I  a kT  2akT  0 , откуда a 
(3). Т.к. F " (a)  2kT и учитывая, что
2kT
k  0 ; T > 0, получаем, что значение цены a, заданное формулой (3) дает оптимум
функционалу (1).
В том случае, если a , вычисленное по формуле (3) не входит в интервал
[a min , a max ] ,оптимум функционала (1) достигается либо в точке a min , либо в точке a max в
зависимости от того, положительна или отрицательна F ' (a) на интервале [a min , a max ] .
В том случае, если критерием выбора цены является маржинальный доход, полученный от
розничной продажи товара, т.е. объем выручки за вычетом затрат на оптовую его закупку,
целевой функцией является следующее выражение:
max
T
T
T
T
0
0
0
0
F1 (a)  a  q(a max , t )dt a  (a max  a)kdt  b  q(a max , t )dt  b (a max  a)kdt  max (4)
При ограничении на цену:
a min  ai  a max (5)
Здесь, b - оптовая цена товара. Рассчитаем значение F1 (a) и определим точку экстремума:
( I  a max kT  bkT )
(6).
2kT
Учитывая, что в этом случае, как и в предыдущем F1" (a)  2kT  0 , получим, что
формула (6) определяет точку максимума функционала (4). В том случае, если a ,
вычисленное по формуле (6), не является точкой интервала [a min , a max ] , максимум
функционала (4) при ограничении (5) достигается либо в точке a min , либо в точке a max .
Рассмотрим пример определения оптимального значения цены для приведенных выше
критериев (1) и (4). Определим период, на котором происходит оптимизация цены в
четыре недели, т.е. Т=4, и далее a min =150 р., a max =250 р., b =120 р., k=4; q(a max , t ) =300
единиц товара в неделю (ед./нед.); q(a min , t ) =700 ед./нед. Рассчитаем, используя формулу
(3) цену, при которой максимизируется функционал (1). Вычислим значение I при
заданном q(a max , t ) :
F '1 (a)  I  a max kT  2akT  bkT  0 . Откуда, a 
T
I   300dt  300t |T0  300  4  1200 .
0
Следовательно:
(1200  300  4  4)
a
 162,5 рубля за ед.товара.
244
Т.к. цена 162,5 рубля за единицу товара входит в интервал цен [150,250] , следовательно,
функционал (1) при цене равной a =162,5 рубля за единицу товара достигает максимума.
Если в качестве критерия использовать функционал (4), то оптимальное значение цены a
рассчитывается по следующей формуле:
(1200  300  4  4  120  4  4)
a
 222,5 рубля за единицу товара. Учитывая, что
244
222,5  [150,250] , получаем оптимальное значение цены для модели (4)-(5).
2. Динамическая модель оптимизации цены товара с учетом ограничений на срок его
годности.
В данной модели, в отличие от ранее рассмотренных, будем предполагать, что торговое
предприятие заключило договор поставок товара по оптовым ценам на период времени [0,
T], согласно которому их интенсивность задана функцией U(t). Максимальный срок
годности товара с момента его поступления в магазин до момента реализации задается
величиной Т кр . Цена реализации товара a(t), как и ранее, может меняться в диапазоне
a min  a(t )  a max . Также меняется по линейному закону интенсивность реализации товара.
В этих условиях необходимо, управляя ценой товара a(t) в диапазоне [a min , a max ] ,
обеспечить максимум маржинального дохода, не допуская превышения срока хранения
товара Т кр в торговой сети. В формализованном виде эта задача может быть записана
следующим образом.
Необходимо максимизировать маржинальный доход на интервале [0, T].
T
T
0
0
F2 (a)   a(t )  q(t , a(t )) dt  b  q(t , a(t )) dt  max
(7)
При ограничениях:
t
t
0
0
V (0)   u (t ' )dt '   q(t ' , a(t )) dt '
(8)
t  [0, T ]
T
T
 q(t, a(t ))dt   U (t )dt
(8.1)
0
0
T1 (t )  Tкр ,
t  [0, T ]
(9)
T2 (t )  Tкр ,
t  [0, T ]
(10)
a min  a(t )  a max
U min  U (t )  U max
(11)
Дадим некоторые пояснения к сформулированной задаче оптимального управления (7) –
(10). Будем, как и ранее, предполагать линейный характер изменения интенсивности
реализации товара в зависимости от спроса, т.е.:
q(t , a(t ))  q(t , a max)  (a max  a(t )) K для любого t  [0, T ] .
Ограничение (2) задает балансовое соотношение между объемом реализации товара в
торговой сети и объемом его поступления в сеть, т.е. для любого момента времени
t  [0, T ] , объем поставленного товара не может быть меньше объема проданного товара.
Т кр – максимально возможное время пребывания товара в торговой сети с момента
поступления до момента его продажи. .
Т 2 (t ) - время нахождения товара в торговой сети, проданного в момент времени t, при
соблюдении дисциплины FIFO.
T1 (t ) - время нахождения товара в торговой сети до момента его продажи, если он
поступил в торговую сеть в момент времени t. Дисциплина продаж предполагается FIFO.
Вычисление T1 (t ) и Т 2 (t ) производится исходя из следующих соотношений:
T1 (t ) :
V (t ) 
t T1 ( t )
 q(t ' , a(t ' ))dt '
t
t
 U (t ' )dt '
Т 2 (t ) : V (t ) 
t T2 ( t )
Здесь V (t ) - запасы товаров на момент времени t, которые вычисляются исходя из
следующего уравнения:
dV (t )
 U (t )  q (t , a (t ))
dt
Откуда:
t
V (t )  V (0)   (U (t ' )  q(t ' , a(t ' )) dt ' для всех t  [0, T ] .
0
Ограничение (11) задает диапазон изменения цен и границы интенсивности поставок
товара в торговую сеть. Ограничение (8.1) означает, что весь товар, который поступил на
интервале времени [0,T], в течение этого времени должен быть продан.
Модель (7)-(11) является моделью оптимального управления. Аналитическое получение
решения a(t) крайне сложно, поэтому рассмотрим эвристическую стратегию управления
ценой a(t) в классе кусочно-постоянных функций a(t), заключающуюся в следующем.
В начале торговое предприятие назначает максимально возможную цену на товар, и эта
цена сохраняется до тех пор, пока запасы товара V(t) в магазине не увеличатся до уровня,
при котором, либо T1 (t ) , либо Т 2 (t ) будут близки к Т кр . В этой ситуации магазин снижает
цены до уровня a min и он остаются такими, пока запасы товара в магазине перестанут
быть критическими. Эта ситуация часто встречается на практике, когда супермаркеты
устраивают так называемые акции распродажи товаров по сниженным ценам. После
проведения подобной акции цены на товары снова повышаются до тех пор, пока не будет
вновь достигнут критический запас товаров в магазине и т.д. Рассмотрим пример
использования данной стратегии.
Пусть, согласно существующего договора о поставках интенсивность поставок U(t)
составляет 500 единиц товара в неделю. Интенсивность продаж товара по максимальной
цене q(a max , t ) составляет 300 единиц в неделю. Интенсивность продаж по минимальной
цене q(a min , t ) составляет 700 единиц товара в неделю. Минимальная и максимальная
цены соответственно равны: a max =250 руб. за единицу и a min =150 рублей за единицу
товара. Коэффициент, задающий интенсивность изменения объема продаж в зависимости
от цены К=4. Критическое время нахождения товара в магазине равно двум неделям, т.е.
Т кр = 2. Интервал времени, на котором происходит моделирование, равен 10 неделям, т.е.
Т=10. Пусть магазин в начале периода [0, T] устанавливает цену a max =250 рублей за
единицу товара. В этом случае T1 (t ) будет близко к критическому значению в момент
времени t, когда V(t) = 1400 единиц. Действительно:
t T1 ( t )
V(t) =

t
t 2
q(a min , t )dt 
 700dt  700  (t  T (t ))  700t  700  T (t )  1400
1
1
t
Отсюда, T1 (t ) =1400 / 700=2 недели.
Рассмотрим, за какой период образуется запас товаров на складе, равный 1400 единиц:
t
 (500  300)dt ' . Если V(0) = 0 в момент времени t=0, то для того, чтобы
1400 = V(0) +
0
запас товара стал равен 1400 необходимо время:
1400 = 200t
Откуда t= 7 недель.
Таким образом, если торговая фирма использует дисциплину FIFO, то в течение 7 недель
она может продавать товар по цене 250 рублей за единицу товара, не нарушив выражение
T1 (t )  Т кр .
Если рассмотреть динамику изменения величины Т 2 (t ) , при реализации товара по цене
a max , то здесь критическим объемом запаса является запас в 1000 единиц товара.
Действительно:
t
Т кр 
 500dt '  500t  500(t  T (t ))
2
t T2 ( t )
Или:
500T2 (t )  1000
Откуда, Т 2 (t ) = 2 недели. Следовательно, учитывая, что должны выполняться условия
модели (7)-(11) и ограничения (9) и (10), критическим является объем запасов, равный
1000 единицам. Время, в течение которого образуется данный запас продукции,
вычисляется из соотношения:
t
1000 = V(0) +  (500  300)dt '
0
Откуда:
1000=200t
Следовательно, t=5 недель.
Критический объем запаса товара в магазине будет достигнут через 5 недель и после этого
магазин должен снизить цену, чтобы не превысить критическое время пребывания товара
в торговой сети. Таким образом, в конце пятой недели цены на товар снижаются до
уровня a min =150 рублей, и объем реализации возрастает с 300 единиц товара в неделю до
700. Эта цена будет оставаться до момента времени, пока полностью не будут исчерпаны
запасы товара на складе. Для того, чтобы определить это время, рассмотрим следующее
соотношение:
t 
V (t )  0  1000   (500  700)dt
t 5
Откуда следует, что 200   1000   =5.
График изменения цен на десятинедельном интервале продаж товара выглядит
следующим образом:
Цена
300
200
100
0
5
10
t
Объем продаж за 10 недель составит 5000 единиц товара. Маржинальный доход
соответственно равен:
Dm  1500  250  2500  150  120  5000  300000 рублей. Рассмотрим, каков будет
маржинальный доход в случае, если a(t) = a, t  [0, T ] при условии выполнения условий
(8)-(11). В этом случае, как легко видеть, цена в частности может быть такой, чтобы
интенсивность поступления совпадала с интенсивностью продаж, т.е. U (t )  q(t , a(t )) ,
t  [0, T ] , т.е. q (t , a (t )) = 500. Определим, какой в этом случае должна быть цена, из
соотношения q(t , a(t ))  500  300  (250  a)  4 , откуда следует, что a = 200.
Легко посчитать маржинальный доход для этого уровня цен:
Dm  5000  200  5000  120  400000 .
Из последнего соотношения следует, что маржинальный доход для двух рассмотренных
ценовых стратегий различается на сто тысяч рублей в пользу второй стратегии. Вторая
стратегия имеет ещё и то преимущество, что время с момента поступления товара в
магазин до момента его продажи минимально по сравнению с другими стратегиями.
Выбирая интенсивность поставки товара равной 300 единиц в неделю, т.е. U(t) = 300
t  [0, T ] и используя a = a max =250, получим следующий маржинальный доход:
T
T
0
0
10
Dm  250 300dt  120 300dt  180  300 |  750000  360000  390000
0
Эта стратегия также дает значение маржинального дохода ниже, чем при U(t) = 500;
a =200.
И, наконец, рассмотрим ситуацию продажи товара по минимальной цене, т.е. a =150 и
U(t) = 700 единиц в неделю. Очевидно, что в этом случае маржинальный доход равен:
T
T
0
0
Dm  150 700dt  120 700dt  30  7000  210000
Очевидно, что продажа по минимальной цене дает маржинальный доход значительно
более низкий, чем для двух предыдущих стратегий.
3. Модель управления оборотным капиталом торговой фирмы с учетом ценовой
политики торговой сети
В этой модели, как и ранее, будем предполагать, что интенсивность реализации товара в
торговой сети линейным образом зависит от цены, и рассмотрим задачу оптимизации
управления оборотным капиталом фирмы при оптовой закупке нескольких видов товаров.
Критерием управления оборотным капиталом фирмы будет маржинальный доход,
полученный от его реализации в розничной сети продаж на заданном временном
интервале [0, T]. Будем полагать, что оптовые закупки товаров на складе возможны
партиями, минимальный объем которых равен  i (i=1,2,…,n), количество партий каждого
товара на складе равно K i . Цена единицы товара при оптовой закупке равна bi , а при
розничной продаже цена товара i-го вида a i может меняться в диапазоне ai
min
 ai  ai
max
;
bi  a imin .
Математическая постановка задачи максимизации маржинального дохода в этом случае
будет следующей:
T
n
 (a
i 1
i
 bi )  qi (a
max
i
n
T
i 1
0
, t )dt   (ai  bi )  (aimax  ai ) K i dt  max
0
При ограничениях:
(12)
T
T
0
0
max
max
 qi (ai , t )dt   (ai  ai ) K i dt  xii , i=1,2,…,n
n
x b
i 1
i
i i
(13)
F
(14)
0  xi  K i ; x i  Z 
(15)
Таким образом в задаче (12) – (15) необходимо так выбрать объемы оптовых закупок
товаров в пределах имеющегося оборотного капитала F и так определить цены на товары
a i (i=1,2,…,n), чтобы максимизировать маржинальный доход от проданных в розничной
сети товаров на временном интервале [0, T].
4. Модель оценки эффективности управления оборотным капиталом с учетом риска.
Во многих случаях qi (aimax , t ) не является детерминированной функцией, а может быть
задана как случайный процесс следующим образом.
Будем считать, что qi (aimax , t ) = qij (aimax , t j ) с вероятностью p j , и коэффициент k i  K i так
же с вероятностью p j (j=1,2,…,m); p j  0 , j=1,2,…,m,
m
p
j 1
j
 1.
Тогда математическое ожидание qi (aimax , t ) вычисляется по следующей формуле:
m
qi (aimax , t )   qij (aimax )  p j .
j 1
Аналогичным образом задается математическое ожидание коэффициента k i :
m
ki   kij p j .
j 1
В этом случае можно говорить о математическом ожидании маржинального дохода,
которое, с одной стороны должно быть максимизировано, и в то же время дисперсия этого
дохода не должна быть слишком большой. Согласно [2] дисперсия дохода часто является
количественным показателем риска доходности инвестиций. Поэтому ниже мы будем
говорить о такой структуре оптовых закупок и такой стратегии управления ценой товаров
ai (t ) (i=1,2,…,n), которая минимизировала бы риск доходности инвестиций при
ограничении снизу на их доходность.
Обозначим объем продаж товара вида i по цене a i при реализации исхода j с
вероятностью p j (j=1,2,…,m) через Qi j (ai ) . Тогда исходя из выше приведенных
предположений:
T
T
0
0
Qi j (ai )   qij (aimax , t )dt   (aimax  ai )k i j dt
Математическое ожидание объема продаж товара вида i по цене a i соответственно равно:
m
Qi (ai )   Qi j p j .
j 1
Математическое ожидание маржинального дохода от продаж товара i по цене a i равно:
m
f (ai )  (ai  bi ) Qi j (ai ) p j .
j 1
Дисперсия маржинального дохода от продажи товара i по цене a i равна:
m
 i2   ( f (ai )  f i j (ai )) 2  p j , где f i j (ai )  Qi j (ai )( ai  bi ) . Здесь bi - цена оптовой закупки
j 1
товара вида i. Ковариация маржинального дохода от продаж товаров вида i и l по цене a i
и al соответственно равна:
m
cov il (ai , al )   ( f (ai )  f i j (ai ))  ( f (al )  f l (al ))  p j .
j 1
Используя приведенные выше обозначения, рассмотрим задачу минимизации риска
маржинальной доходности инвестиций в оптовую закупку товаров при ограничении на
совокупную ожидаемую доходность портфеля закупок.
n

i 1
n
2
i
(ai )  y  2 cov ij (ai , a j ) yi y j  min
2
i
(16)
i 1 j i
Здесь yi - доля инвестиций, направленная на закупку товара вида i:
n
( xi i bi )
yi 
i 1
n
f
i 1
(17)
F
p
i
(ai )  y i  Dгр
Здесь f i  p (ai ) 
n
x b
i
i 1
f i (ai )  Qi (ai )bi
f i (ai )
F
i i
(18)
(19)
С учетом соотношения (17) ограничение (19) может быть переписано в следующем виде:
n
 y 1
(19.1)
i
i 1
0  xi  k i ; x i  Z 
(20)

Здесь Z - это множество целых положительных чисел.
Qi (a i )  xi i , i=1,2,…,n
a
min
i
 ai  a
(21)
max
i
(22)
Решением задачи (16) – (22) будет вектор a  (a1 ,..., an ) , задающий цены реализации
закупаемой оптом торговой фирмой продукции, а также число минимальных партий
оптовых закупок товаров каждого вида, заданных целочисленным вектором x  ( x1 ,..., xn ) .
Стратегия выбора ценовой политики и определение объемов оптовых закупок в рамках
существующего инвестиционного капитала F должна обеспечить минимум
инвестиционного плана в условиях обеспечения граничной доходности D гр оптовых
закупок товаров.
5. Оценка риска завышения объема оптовых закупок.
Ещё одним видом риска при организации оптовых закупок в определенных выше
условиях, является риск завышения оптовых закупок, связанный с возможностью
неполной продажи закупленных оптом товаров в розничной сети на интервале [0, T]. В
качестве меры риска в этом случае будем использовать математическое ожидание
завышенных объемов оптовых закупок товаров, умноженное на оптовую цену закупок.
Таким образом, вычисляется математическое ожидание нерационально используемого
инвестиционного капитала.
Для вычисления этого показателя определим функцию  i j (qi (ai , t ), ai , qij (ai , t ))
следующим образом:
T
T
T
T
0
0
0
0
 i j (qi , ai , qij )  ai  qij (t )( aimax , t )dt  ai  (aimax  ai )k i j dt  ai  qi (aimax , t )dt  ai  (aimax  ai )k i dt ,
если Qi (ai )  Qi (ai ) и
j
 i j (qi , ai , qij )  0 , если Qi j (ai )  Qi (ai )
В этом случае математическое ожидание финансовых потерь, связанное с завышенным
объемом оптовых закупок, которое в данном случае является оценкой риска R,
вычисляется следующим образом:
n
m
i 1
j 1
R   bi  i j (qi , ai , qij )  p j
(23)
С учетом формулы (23) может быть, например, сформулирована задача оптимизации
ожидаемой доходности портфеля товаров с ограничением на риск завышенного объема
оптовых закупок.
n
f
i 1
p
i
n
 y i  max
n
 b  
i
i 1
i 1
n
i
i 1
(25)
i i
(26)
F
n
i 1
(qi , ai , qij ) p j  Rтр
x b
yi 
y
j
i
(24)
i
1
(27)
0  xi  k i ; xi  Z  ; i=1,2,…,n
(28)
Qi (a i )  xi i , i=1,2,…,n
(29)
a
min
i
 ai  a
max
i
(30)
Как и ранее в качестве решения задачи (23) – (30) выбирается вектор цен a  (a1 ,..., an ) и
вектор x  ( x1 ,..., xn ) , задающий число минимальных партий оптовых закупок по каждому
товару.
Литература
1. Дж. Сток, Д. Ламберт «Стратегическое управление логистикой». – М. ИНФР-М,
2005
2. 2. У. Шарп, Г. Дж. Александер, Дж. Бэйли «Инвистиции». – М. ИНФР-М, 2007
Работа представляет материалы гранта «Индивидуальный исследовательский проект №0901-0018 «Методы и модели управления ограниченными ресурсами логистических
систем». Выполнена при поддержке ГУ-ВШЭ.